Comment enseigner les fractions

Ce guide s'adresse aux enseignants qui utilisent CommeUnJeu avec une classe, du CE1 à la 3e. Il est en deux temps, parce qu'une fraction sert de deux façons que les manuels mélangent et que les élèves confondent. D'abord, la fraction est un nombre : une part d'une unité, une longueur, un point de la droite graduée, que l'on compare, additionne et multiplie comme les autres nombres. Ensuite, la fraction est un outil : elle agit sur une quantité (les deux tiers des élèves, \(25\,\pourcent\) d'un prix, un plan au \(1/100\)), et c'est le ratio, la proportionnalité, le pourcentage et l'échelle. Le nombre vient en premier parce que l'outil s'en sert : « les \(\dfrac{2}{3}\) de \(30\) » ne devient une multiplication que lorsque \(\dfrac{2}{3}\) est un nombre. Chaque étape est montrée comme le cours l'enseigne : concret (un gâteau, une bande de papier, un sac de billes), puis imagé (la figure du cours, à projeter au tableau), puis abstrait (l'écriture que les élèves gardent). Les figures ci-dessous sont celles des cours, ou dessinées dans le même style. Un seul fil les relie toutes : on partage une unité en parts égales, on mesure la part comme une longueur, et cette longueur devient un point de la droite graduée.
Dans chaque chapitre, vous trouvez :

• des sections qui s'ouvrent le plus souvent sur une courte vidéo, en français et en anglais (le guide les reprend aussi, en tête des passages qu'elles concernent) ;
• le cours : définitions, méthodes et exemples rédigés, à projeter ou à imprimer (le PDF du cours et celui des corrections sont en haut de la page du chapitre) ;
• sous chaque section, les compétences à pratiquer : des groupes d'exercices corrigés aussitôt, chaque réponse suivie de sa correction rédigée ;
• à la fin, une section Pour aller plus loin, avec des problèmes et un quiz ;
• certains exercices se rédigent sur papier : l'élève envoie la photo de sa copie pour la faire corriger.

La même barre, partagée en \(3\) parts égales dont \(2\) sont coloriées, se lit de deux façons. Le nombre \(\dfrac{2}{3}\) est le même dans les deux ; ce qui change, c'est la question posée, et l'étiquette du tout dit laquelle.

1. Le tout est \(1\). La barre est l'unité, et \(\dfrac{2}{3}\) est un nombre : le point aux deux tiers du chemin de \(0\) à \(1\). Le résultat d'un calcul est une fraction : \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\).
2. Le tout est une quantité. La barre est la classe, \(30\) élèves, et la question est « combien font les deux tiers de la classe ? » : le même nombre \(\dfrac{2}{3}\) agit maintenant comme un multiplicateur, et le résultat est une quantité, \(20\) filles. Derrière l'action, il y a une comparaison, le ratio : \(2\) filles pour \(3\) élèves, une partie par rapport au tout, qui est encore la fraction \(\dfrac{2}{3}\) ; ou \(2\) filles pour \(1\) garçon, une partie par rapport à une autre, \(2:1\). Le ratio mène à la proportionnalité, au pourcentage et à l'échelle.

Deux questions tranchent à chaque exercice : quel est le tout ? et que demande-t-on, une fraction ou une quantité ? Si la réponse à la première est « un », « l'unité », « le segment de \(0\) à \(1\) », l'élève travaille avec un nombre : c'est le premier temps. Si la réponse est « la classe », « le prix », « la longueur réelle », l'élève se sert de la fraction comme d'un outil : c'est le second temps. Même avec la classe pour tout, les deux questions se posent : « quelle fraction de la classe sont les filles ? » demande un nombre, \(\dfrac{20}{30} = \dfrac{2}{3}\) ; « combien de filles ? » demande une quantité, \(20\). Les chapitres de CommeUnJeu suivent la même ligne : les chapitres de fractions construisent le nombre et introduisent ses premiers usages sur des quantités (une fraction d'une collection, puis d'une quantité) ; les chapitres de ratio, de proportionnalité, de pourcentages et d'échelle développent ces usages. Les deux fils démarrent les mêmes années, et ils se rejoignent quand l'action « les deux tiers de » s'écrit comme la multiplication par \(\dfrac{2}{3}\), au CM2 et en 6e.

Une fraction, c'est d'abord une part d'une unité partagée en parts égales. Cette part se lit ensuite comme une longueur : la barre de \(\dfrac{3}{4}\) mesure trois quarts de la barre unité. Posée à partir de \(0\), cette longueur s'arrête sur un point de la droite graduée, et la fraction prend sa place parmi les nombres.    Quatre habitudes pour la classe :

1. Nommer l'unité, toujours. « L'unité, c'est la barre entière », « l'unité, c'est le segment de \(0\) à \(1\) » : dites-le à chaque exercice. Beaucoup d'erreurs sur la droite graduée viennent d'un élève qui a perdu l'unité de vue.
2. La barre plutôt que le disque. Le disque est un bon objet de partage (un gâteau, une pizza), et les premiers cours l'utilisent. Mais une barre se pose sur une règle, se prolonge au-delà de \(1\) et se met bout à bout avec une autre barre ; un secteur, non. Dans les cours, c'est la barre qui porte les définitions, la droite graduée et les calculs.
3. Séparer les deux lectures. Dans ce premier temps, le tout est toujours \(1\). Quand un exercice dit « les \(\dfrac{2}{3}\) de \(30\) », le tout a changé : c'est l'outil du second temps, et les cours ne l'écrivent comme une multiplication qu'au CM2 et en 6e, quand \(\dfrac{2}{3}\) a déjà sa place sur la droite.
4. Les barres que l'on compare sont debout. Une barre seule est le plus souvent couchée : une bande de papier, une longueur. Dès que deux fractions se font face (\(<\), \(>\), \(=\), équivalentes, simplifiées, additionnées), les exercices et la plupart des cours mettent les barres debout, côte à côte, avec la même hauteur pour l'unité et les pieds alignés : la couleur monte depuis le pied de chaque barre, son haut est un niveau, et l'élève compare les niveaux atteints par la couleur, comme l'eau dans deux verres. « Plus haut » se lit tout de suite ; « plus à droite » est une convention que la droite graduée enseigne au CE2. Une barre seule se met debout, elle aussi, quand la valeur dépasse l'unité : les unités s'empilent alors, et \(\dfrac{3}{2}\) est plus haut que l'unité. Les barres de l'outil (second temps), avec leurs accolades, restent couchées : on n'y compare rien, on y lit une quantité. Quelques cours couchent encore une comparaison ; le guide met ces barres debout et le dit.

Chaque chapitre reprend ce que l'année précédente a enseigné, puis va un pas plus loin. Le tableau donne ce pas et le lien vers le chapitre.

Classe	Chapitre	Ce qui est nouveau
CE1	Les premières fractions	moitiés et quarts ; la notation ; comparer ; premières sommes
CE2	Les fractions	fractions équivalentes ; la demi-droite graduée et la règle ; sommes
CM1	Les fractions	au-delà de \(1\) ; sommes pas à pas ; fraction d'une quantité (second temps)
CM2	Les fractions	décomposer, encadrer ; fraction d'une quantité (second temps)
6e	Les fractions, des nombres	la fraction comme quotient ; le guide-âne ; fraction et décimal
6e	Calculer avec des fractions	comparer et additionner avec des dénominateurs quelconques
5e	Nombres rationnels	écriture décimale ; nombres mixtes ; fraction d'un nombre (second temps)
4e	Nombres rationnels	multiplier, diviser ; les signes ; les priorités
3e	Nombres rationnels	forme irréductible ; calculs enchaînés ; type brevet

Concret. Hugo a un gâteau, l'unité. Il le coupe en \(2\) parts égales et prend \(1\) part sur \(2\). Faites-le avec une vraie bande de papier : on la plie en deux, puis encore en deux. Imagé. Le cours montre un quart sur un disque, un carré et une bande (et une moitié de la même façon) : les parts doivent être égales, et deux moitiés font l'unité, quatre quarts font l'unité. Abstrait. Le cours donne la notation. Lisez la figure avec les élèves : le nombre du bas, c'est le découpage ; le nombre du haut, c'est le compte. Puis la phrase clé de l'année, toute fraction est faite de parts unitaires : \(\dfrac{3}{8}\), c'est trois fois \(\dfrac{1}{8}\). $$\dfrac{3}{8} \;=\; \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8}$$ Où le trouver. Chapitre Les premières fractions : sections Moitiés et quarts (plier une bande) et Qu'est-ce qu'une fraction ? (la notation, Toute fraction est faite de parts unitaires) ; exercices Déterminer si les parts sont égales, Colorier une moitié ou un quart, Fabriquer une fraction avec des parts.

Concret. Un gâteau pour \(3\) enfants, le même gâteau pour \(6\) enfants : qui a la plus grosse part ?
Imagé. La même unité, découpée de deux façons, et les deux barres debout, côte à côte, comme les exercices dessinent les comparaisons (le cours de CE1 couche encore ces deux-là ; le guide les met debout et ajoute le niveau en pointillé). La couleur monte depuis le pied de chaque barre ; l'élève compare jusqu'où elle monte. \(6\) est plus grand que \(3\), et pourtant la couleur de \(\dfrac{1}{6}\) s'arrête plus bas que celle de \(\dfrac{1}{3}\). Abstrait. \(\dfrac{1}{6} < \dfrac{1}{3}\). Plus on partage la même unité en parts égales, plus chaque part est petite. Avec le même nombre du bas, la règle est la règle habituelle, et les exercices écrivent la comparaison sur une ligne, une barre à chaque bout : \(=\dfrac{5}{8}\lt \dfrac{7}{8}=\) L'exercice Choisir la bonne règle mélange exprès les deux cas : c'est là que sort l'erreur \(\dfrac{1}{6} > \dfrac{1}{3}\) « parce que \(6 > 3\) », et là que les deux barres debout la règlent.
Plus tard. Au CM1 (Repérer et comparer), Comparer des fractions s'ouvre sur les mêmes barres debout, avec \(\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{5}{8}\) : des parts de tailles différentes, deux niveaux proches, l'œil hésite, et c'est la raison du dénominateur commun. Une fois \(\dfrac{3}{4}\) écrit \(\dfrac{6}{8}\), on lit de nouveau les deux niveaux. \(\;=\;\) \(\;>\;\) Où le trouver. CE1, section Comparer des fractions : Quand le nombre du haut est 1 ; exercices Comparer avec le même dénominateur avec des barres, Comparer quand le nombre du haut est 1, Choisir la bonne règle. CM1, Repérer et comparer : Comparer des fractions.

C'est l'année centrale. La barre devient une longueur, puis un point.
Concret. Une bande de papier pliée en quarts est une règle graduée en quarts d'unité. On la pose, son \(0\) à un bout du segment, et on lit l'autre bout. Ici, sur une règle en dixièmes, la bande coloriée s'arrête entre \(\dfrac{7}{10}\) et \(\dfrac{8}{10}\). Imagé. Pour placer \(\dfrac{2}{3}\), le cours a trois étapes, chacune avec sa figure : marquer \(0\) et \(1\) ; partager l'unité en \(3\) parts égales ; compter \(2\) parts à partir de \(0\), une flèche par part. Demandez aux élèves de dessiner les flèches : c'est ce qui les empêche de compter les traits. Les fractions équivalentes se voient sur deux barres identiques, debout côte à côte : \(\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{6}{8}\) montent au même niveau (le cours les couche ; le guide les met debout, comme les exercices). Puis, une fois la droite installée, le même point : \(\dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{2}{4}\) sont deux noms d'un seul nombre. Abstrait. La règle, écrite avec ses flèches : couper chaque part en deux multiplie les deux nombres par \(2\). Ici les barres sont debout : les deux couleurs s'arrêtent au même niveau. Sur la droite, comparer devient comparer des longueurs : la fraction la plus à droite est la plus grande, ce que devient « plus haut » une fois la barre couchée le long de la droite. Même nombre du haut, \(5\) pas chaque fois, mais les pas des douzièmes sont plus petits : \(\dfrac{5}{12} < \dfrac{5}{8}\). Où le trouver. CE2, section Sur la demi-droite graduée : Représenter les fractions sur la demi-droite graduée, Mesurer avec une règle graduée en fractions d'unité, Tracer un segment d'une longueur donnée ; exercices Graduer la bande-unité, Placer des fractions sur la demi-droite graduée, Placer des fractions équivalentes sur la droite graduée, Lire une longueur sur la règle graduée, Tracer un segment d'une longueur donnée ; section Fractions équivalentes (Reconnaître des fractions équivalentes) ; section Comparer des fractions.

Concret. Cinq tiers de gâteau : plus d'un gâteau. On met des bandes bout à bout.
Imagé. Le chapitre s'ouvre sur une barre debout (Qu'est-ce qu'une fraction ?) : une unité, et au-dessus une deuxième unité dont une moitié est coloriée. Plus haut que l'unité, donc plus que \(1\), avant même de compter ; puis \(3\) moitiés en tout, \(\dfrac{3}{2}\) (l'accolade est ajoutée par le guide ; le petit espace entre les deux unités ne représente aucune quantité). La droite continue après \(1\) : chaque unité est partagée en tiers, et l'élève compte \(5\) tiers à partir de \(0\). Après \(3\) parts, \(1\) ; deux de plus, le point. Le même point, atteint par \(1\) unité puis \(2\) tiers : Abstrait. \(\dfrac{5}{3} = 1 + \dfrac{2}{3}\), et \(1 < \dfrac{5}{3} < 2\). La chaîne donne la raison : $$\begin{aligned}\dfrac{5}{3} &= \dfrac{3}{3} + \dfrac{2}{3} && \text{(3 tiers font 1 unité)}\\ &= 1 + \dfrac{2}{3}\end{aligned}$$ Point de vigilance. « On ne peut pas prendre cinq parts sur trois. » L'élève lit encore « des parts parmi toutes les parts ». Sur la droite, rien n'oblige à s'arrêter à \(1\) : on compte des tiers.
Où le trouver. CM1, sections Fractions supérieures à 1 (Décomposer une fraction supérieure à 1) et Placer et encadrer au-delà de 1 (Encadrer une fraction entre deux entiers) ; exercices Placer une fraction supérieure à 1 ou un entier plus une fraction, Décomposer en entier plus fraction, Encadrer entre deux entiers consécutifs. En 6e, Écrire un entier sous forme de fraction reprend cette idée avec deux gâteaux, soit quatre demis.

Concret. Deux gâteaux identiques pour trois personnes. Chaque gâteau est coupé en \(3\), et chaque personne reçoit une part de chaque gâteau : deux tiers. Abstrait. \(2 \div 3 = \dfrac{2}{3}\). La fraction \(\dfrac{a}{b}\) est le nombre qui, multiplié par \(b\), donne \(a\) : un second sens, ajouté au premier, qui ne le remplace pas. $$a \div b = \dfrac{a}{b} \qquad (b \neq 0)$$ Imagé, pour graduer sans mesurer. Une feuille de lignes parallèles équidistantes (les lignes d'un cahier) partage tout segment assez long en parts égales : \(A\) sur la première ligne, \(B\) sur la sixième, et les quatre lignes entre les deux donnent les cinquièmes. Le second chapitre de 6e, Calculer avec des fractions, compare et additionne avec des dénominateurs quelconques : la chaîne de symboles prend le relais des barres.
Où le trouver. 6e, Les fractions, des nombres : La fraction comme quotient, Graduer un segment avec un guide-âne, Fraction, nombre entier ou nombre décimal ; exercices Convertir des divisions en fractions et inversement, Graduer un segment, Classer une fraction : entier, décimal ou ni l'un ni l'autre.

Concret. Trois bandes de deux tiers d'unité, mises bout à bout : exactement deux unités. Le tout est toujours \(1\) ; le produit est une longueur.
Imagé. En 4e, une fraction fois un entier est une addition répétée, en barres :

\(3\times\)	\(=\)	\(+\) \(+\)
	\(=\)

Le produit de deux fractions est l'aire d'un rectangle dans le carré unité : \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2}\) couvre \(2\) des \(6\) petits rectangles. $$\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{2 \times 1}{3 \times 2} = \dfrac{2}{6}$$ Abstrait. On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ; diviser par une fraction non nulle, c'est multiplier par son inverse ; viennent ensuite les signes et la barre de fraction comme parenthèse.
Point de vigilance. « Multiplier, ça agrandit toujours. » Avant tout calcul, demandez la taille du résultat : \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2}\) est plus petit que \(\dfrac{1}{2}\), et l'aire le montre. Et la procédure de soustraction, rencontrée avec des fractions positives, dit que la première fraction ne doit pas être plus petite que la seconde : avec les nombres relatifs, cette condition tombe, \(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{12}\). Dites-le à la classe.
Où le trouver. 4e, Multiplier, L'inverse et la division, Les signes et l'opposé, Enchaîner les opérations ; exercices Multiplier des fractions : niveau 1, Diviser des fractions : niveau 1, Comparer des rationnels relatifs.

Abstrait, avec une vérification numérique. En 3e, les mêmes chaînes servent à mettre sous forme irréductible et à enchaîner les opérations. Une erreur classique, et un nombre suffit à l'attraper : simplifier « en barrant » des termes d'une somme. Dans \(\dfrac{2+6}{2}\), on ne barre pas les \(2\) : \(\dfrac{2+6}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\), et non \(6\). Seul un facteur commun se simplifie : $$\dfrac{15}{35} = \dfrac{3 \times \cancel{5}}{7 \times \cancel{5}} = \dfrac{3}{7}$$ Faites écrire le facteur commun avant de barrer : c'est l'habitude qui tiendra avec des lettres, l'année suivante.
Où le trouver. 3e, Mettre sous forme irréductible, Calculer et donner le résultat sous forme irréductible ; exercices Mettre sous forme irréductible : niveau 2, Calculer et donner le résultat sous forme irréductible, puis Type brevet dans Pour aller plus loin.

Dans CommeUnJeu, une addition de fractions ne s'illustre pas par un dessin posé à côté du calcul : elle s'écrit avec les barres. Chaque terme est une barre de la même unité, coloriée à sa fraction ; les signes \(+\) et \(=\) se placent entre les barres, comme entre des nombres ; dans la barre du résultat, les parts de chaque terme gardent leur couleur, et l'élève voit les deux couleurs empilées dans une seule barre. Les barres sont debout, pour que les hauteurs se lisent, et c'est une égalité au sens plein : le signe \(=\) dit que la hauteur coloriée du résultat est la somme des hauteurs coloriées des deux termes.
Les premières corrections écrivent le même calcul trois fois : avec les barres, avec les symboles, et en une phrase.

Barres	\(+\) \(=\)
Symboles	\(\begin{aligned}[t]\dfrac{3}{8} + \dfrac{4}{8} &= \dfrac{3 + 4}{8} \\&= \dfrac{7}{8}\end{aligned}\)
Mots	Trois huitièmes de l'unité plus quatre huitièmes de l'unité font sept huitièmes de l'unité.

Faites dire la phrase d'abord, puis écrire la chaîne. La phrase dit pourquoi le dénominateur ne change pas : on compte des huitièmes, et des huitièmes restent des huitièmes.

Avec des dénominateurs différents, l'égalité de barres devient une chaîne d'égalités de barres, écrite ligne à ligne au-dessus de la chaîne de symboles. Voici \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\), tel que le cours l'écrit :

\(+\)	\(=\)	\(+\)
	\(=\)
\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\)	\(=\)	\(\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}\)
	\(=\)	\(\dfrac{3}{4}\)

La ligne du milieu est la plus importante : la moitié est recoupée en deux quarts. La barre ne change pas de longueur, seulement de découpage : c'est pour cela qu'on écrit \(=\). C'est le dénominateur commun, vu avant d'être calculé. On ne compte pas ensemble des demis et des quarts ; des quarts et des quarts, si.
Et l'erreur de l'année, attrapée par les barres. Louis écrit \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{6}\). Dessinez \(\dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{2}{6}\) sur deux barres identiques, debout : la « somme » s'arrête plus bas que \(\dfrac{1}{2}\) seule. Or la somme de deux nombres strictement positifs est plus grande que chacun d'eux.

1. Dessinez toutes les barres debout, avec la même hauteur pour une unité, les pieds alignés ; au-delà de \(1\), répétez l'unité vers le haut. Deux unités de hauteurs différentes comparent des parts de tailles différentes, et l'égalité ne veut plus rien dire.
2. Écrivez \(+\) et \(=\) entre les barres, comme entre des nombres, et lisez la ligne à voix haute.
3. Sous chaque ligne de barres, écrivez la ligne de symboles qui lui correspond. Chaque ligne de symboles doit dire ce que montre le dessin au-dessus d'elle.
4. Vérifiez la hauteur. Quand les deux termes sont strictement positifs, la couleur du résultat monte plus haut que celle de chaque terme.
5. Laissez la barre passer la main. Avec des douzièmes ou des quinzièmes, le dessin ne calcule plus ; il vérifie une étape. La chaîne de symboles prend le relais, avec une raison écrite à côté de la ligne qui transforme.

Où le trouver. CE1, section Additionner et soustraire des fractions, avec les exercices Additionner avec la barre et Soustraire avec la barre, puis Additionner sans la barre ; CE2, sections Additionner des fractions à Addition et soustraction avec des dénominateurs différents, avec les exercices Placer la somme sur la droite graduée ; CM1, Rédiger un calcul de même dénominateur, Additionner pas à pas, Soustraire pas à pas. Les corrections des exercices d'addition, du CE1 à la 6e, reprennent cette écriture. En 6e (Calculer avec des fractions), la sous-section Un entier et une fraction prolonge ce travail : trois gâteaux, un quart en moins.

Ces erreurs ne sont pas de l'étourderie : pour la plupart, l'élève applique aux fractions ce qui était vrai des nombres entiers. Pour chacune, une figure du cours donne la réponse ; l'élève la dessine, et l'erreur se voit.

1. « \(\dfrac{1}{6} > \dfrac{1}{3}\), parce que \(6 > 3\). » Deux barres de la même unité, debout côte à côte : la couleur de \(\dfrac{1}{6}\) s'arrête plus bas. Plus de parts, des parts plus petites (CE1, Choisir la bonne règle).
2. « \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{6}\). » Deux barres identiques, debout : \(\dfrac{2}{6}\) s'arrête plus bas que \(\dfrac{1}{2}\) seule, ce ne peut pas être la somme (CE2, égalités de barres).
3. \(\dfrac{3}{8}\) décalé d'un cran. L'élève a compté le trait de \(0\) comme « un » et s'est arrêté à \(\dfrac{2}{8}\). On compte les intervalles, une flèche par part (CE2, Placer des fractions sur la demi-droite graduée).
4. \(\dfrac{1}{2}\) placé au milieu d'une droite de \(0\) à \(2\). L'élève a pris toute la droite pour l'unité. Nommez l'unité : de \(0\) à \(1\) (CM1, Placer et encadrer au-delà de 1).
5. « \(\dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{2}{4}\) sont deux nombres différents. » Le même point sur la droite (CE2, Placer des fractions équivalentes sur la droite graduée).
6. « Cinq parts sur trois, c'est impossible. » On compte des tiers au-delà de \(1\) : la figure du CM1.
7. « Multiplier, ça agrandit toujours. » \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2}\) couvre \(2\) des \(6\) petits rectangles du carré unité : moins que \(\dfrac{1}{2}\) seule. L'aire le montre avant tout calcul (4e, Multiplier).
8. \(\dfrac{2+6}{2} = 6\). On calcule : \(\dfrac{8}{2} = 4\). Seul un facteur commun se simplifie (3e, Mettre sous forme irréductible).

La même tâche, « placer une fraction sur la droite graduée », peut être facile ou difficile. Quatre réglages en décident ; les exercices les font varier un à un. Les voici.

1. Le découpage donné. L'unité est déjà coupée en huitièmes : l'élève compte. Elle n'est pas coupée : l'élève la gradue lui-même, en pliant une bande ou avec un guide-âne (CE2, Graduer la bande-unité).
2. Graduation et dénominateur. Placer \(\dfrac{1}{2}\) sur une droite graduée en quarts, c'est déjà une tâche d'équivalence : \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}\) (CE2, Placer des fractions équivalentes sur la droite graduée).
3. La longueur de la droite. Une droite de \(0\) à \(1\) cache l'unité, puisque le segment tracé est l'unité. Une droite de \(0\) à \(2\) révèle l'élève qui prend toute la droite pour l'unité (CM1, Trouver des fractions supérieures à 1).
4. La taille de la fraction. On n'atteint pas \(\dfrac{5}{3}\) en comptant « des parts parmi » l'unité : la tâche sépare les élèves qui comptent des tiers de ceux qui comptent des parts d'un tout.

Pour savoir où en est un élève, donnez la dernière : \(\dfrac{5}{3}\) sur une droite de \(0\) à \(2\) graduée en sixièmes.

Maintenant le tout est une quantité : une classe de \(30\) élèves, un prix, la longueur réelle d'un jardin. La fraction garde sa place sur la droite graduée, mais elle sert maintenant de multiplicateur : elle agit sur la quantité, et le résultat est une quantité lui aussi. Les cours gardent la barre, mais son étiquette change : l'accolade au-dessus de la barre dit \(30\), et non \(1\), et l'accolade sous la partie coloriée demande un nombre d'élèves. C'est la barre de l'outil, celle que la méthode de Singapour appelle le modèle en barres. Elle est dessinée exactement comme la barre du premier temps, et c'est tout l'intérêt : l'élève qui sait lire « deux tiers de l'unité » sait lire « deux tiers de \(30\) ». Seul le tout a changé.
Trois habitudes pour ce second temps :

1. Écrire le tout sur la barre. « \(30\) élèves », « le prix avant la réduction », « la longueur réelle » : l'accolade au-dessus de la barre dit ce qui est partagé. Un élève qui ne sait pas dire quel est le tout ne peut pas commencer.
2. Partager d'abord, multiplier ensuite. Les deux tiers de \(30\) se trouvent par partage (\(30 \div 3 = 10\), puis \(2\) parts : \(20\)) bien avant de s'écrire \(\dfrac{2}{3} \times 30\). Les cours écrivent la multiplication au CM2 et en 6e, quand \(\dfrac{2}{3}\) est déjà un nombre.
3. Dire ce que compte le résultat. \(20\) filles, \(12\) cm, \(15\,\pourcent\) du prix : la réponse de l'outil est une quantité, ou une comparaison de deux quantités nommées. Un « \(20\) » tout nu a oublié ce qui était partagé.

L'outil traverse deux familles de chapitres : les chapitres de fractions, où l'on partage une collection puis où l'action s'écrit comme une multiplication, et les chapitres de ratio, de proportionnalité, de pourcentages et d'échelle, où l'outil est le sujet.

Classe	Chapitre	L'outil dans ce chapitre
CM1	Les fractions	une fraction unitaire d'une quantité
CM1	La proportionnalité	reconnaître ; trouver une valeur manquante
CM2	Les fractions	de « la moitié de » à « multiplier par »
CM2	La proportionnalité	ajouter les quantités ; plusieurs étapes
6e	Ratio et proportionnalité	le ratio ; multiplier par la fraction ; les échelles
6e	Les pourcentages	une proportion en \(\pourcent\) ; une partie avec un \(\pourcent\)
5e	Nombres rationnels	une fraction d'un nombre
5e	Proportionnalité	le coefficient est une grandeur ; les échelles
4e	Proportionnalité	grandeurs quotients ; partage proportionnel
4e	Pourcentages	la partie ou le tout ; coefficient multiplicateur
3e	Proportionnalité	choisir la procédure ; taux d'évolution

Concret. La moitié de \(8\) jetons : l'élève les partage en \(2\) groupes égaux, un par un, jusqu'au dernier. Un groupe est une moitié. Le quart : \(4\) groupes égaux. Imagé. Le cours dessine les groupes : \(12\) perles partagées en \(3\) groupes égaux, un groupe est un tiers des perles. Abstrait. Rien ne s'écrit encore, sinon la phrase : la moitié de \(8\) jetons, c'est \(4\) jetons ; le tiers de \(12\) perles, c'est \(4\) perles. La vérification est une somme : \(4 + 4 = 8\), \(4 + 4 + 4 = 12\). L'élève partage, puis compte ; aucune multiplication n'apparaît. Cela ne marche que s'il ne reste rien : \(7\) billes ne se partagent pas en \(2\) groupes égaux, et le cours le dit.
Point de vigilance. La réponse est un nombre d'objets, « \(4\) jetons », jamais la fraction « \(\dfrac{1}{2}\) ». Le tout est la collection ; l'élève qui répond \(\dfrac{1}{2}\) est retombé dans le nombre.
Où le trouver. CM1, Prendre une fraction unitaire d'une quantité ; 6e, Une fraction unitaire d'une quantité, exercices Prendre une fraction unitaire d'une quantité, Résoudre des problèmes avec une fraction unitaire.

C'est la charnière entre les deux temps. Concret. La moitié de \(4\) pommes : les élèves le font depuis le CM1, par partage. Abstrait. La même action, lue de deux façons : comme un partage, \(4 \div 2 = 2\) ; comme une multiplication, \(\dfrac{1}{2} \times 4 = 2\). La lecture par le partage, c'est celle qui calcule ; la lecture par la multiplication, c'est celle qui écrit. Le cours ne l'écrit que maintenant, quand \(\dfrac{1}{2}\) est un nombre sur la droite depuis deux ans : le nombre du premier temps devient l'outil du second.
Imagé. Les deux tiers de \(12\) pommes, avec les barres du cours : un tiers d'abord, \(12 \div 3 = 4\) ; puis deux de ces parts, \(4 \times 2 = 8\).    $$\begin{aligned}\text{les deux tiers de } 12 &= (12 \div 3) \times 2 && \text{(3 parts égales, on en prend 2)}\\ &= 4 \times 2 = 8\end{aligned}$$ En 6e, les deux tiers d'une classe de \(30\) élèves, avec les mêmes barres : un tiers d'abord, \(30 \div 3 = 10\) ; puis deux de ces parts, \(10 \times 2 = 20\).    $$\text{nombre de filles} = \dfrac{2}{3} \text{ de } 30 = \dfrac{2}{3} \times 30 = \dfrac{2 \times 30}{3} = 20$$ Diviser par le dénominateur, multiplier par le numérateur, ou dans l'autre ordre : les deux lectures donnent le même nombre, et la vérification relit le résultat comme une part du tout, \(\dfrac{20}{30} = \dfrac{2}{3}\). En 5e, la même méthode est reprise pour tout nombre, entier ou non.
Point de vigilance. Un résultat plus grand que le tout (les \(\dfrac{2}{3}\) de \(30\) « \(= 45\) », l'élève a divisé par \(2\) et multiplié par \(3\)) : la barre montre la partie dans le tout, donc une partie de \(30\) est plus petite que \(30\). Et un résultat sans unité : « \(20\) » n'est pas une réponse, « \(20\) filles » en est une.
Où le trouver. CM2, Prendre une fraction d'une quantité : De « la moitié de » à « multiplier par » ; exercices Reconnaître une part comme une multiplication, Écrire une part sous la forme d'une multiplication. 6e, Ratio et proportionnalité : Multiplier par la fraction ; exercices Calculer une fraction d'une quantité, Choisir l'ordre le plus astucieux. 5e, Prendre une fraction d'un nombre.

Concret. Un jus est fait avec \(1\) citron et \(2\) oranges. Deux questions, deux ratios : les oranges parmi tous les fruits, \(2\) sur \(3\) ; les oranges par rapport aux citrons, \(2\) pour \(1\).
Imagé. Le cours dessine le tout avec une accolade au-dessus et la partie avec une accolade en dessous : le ratio des oranges parmi les fruits est \(2:3\), « ou sous la forme de la fraction \(\dfrac{2}{3}\) ». C'est l'image aux accolades de la section d'ouverture, et c'est là que la fraction et le ratio se rejoignent. Quand aucune des deux quantités n'est le tout, le cours dessine deux parties côte à côte sous une seule barre : un ratio partie-partie, \(3:2\), compare deux parties d'un même tout, et ce tout a \(5\) parts. Abstrait. Les ratios équivalents sont des fractions équivalentes, avec les mêmes flèches qu'au premier temps : \(1:2 = 2:4\) parce que \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}\). Le partage proportionnel (4e) se sert de la barre de l'outil : \(30\) euros partagés selon \(2:3\), c'est une barre de \(5\) parts égales, une part vaut \(30 \div 5 = 6\), les parts valent \(12\) et \(18\).
Point de vigilance. « \(2\) filles pour \(3\) garçons, donc les filles sont les \(\dfrac{2}{3}\) de la classe. » Le ratio \(2:3\) est ici partie-partie ; le tout a \(5\) parts, et les filles sont les \(\dfrac{2}{5}\) de la classe. La barre et ses deux parties tranchent : demandez quelle accolade est le tout.
Où le trouver. 6e, Ratio et proportionnalité : Qu'est-ce qu'un ratio ?, Comparer deux parties, Comparer une partie au tout, Ratios équivalents ; exercices Trouver les ratios dans les relations partie-partie, Trouver les ratios dans les relations partie-tout, Multiplier et simplifier des ratios. 4e, Le ratio, Ratios et égalités de rapports, Le partage proportionnel.

Concret. \(4\) stylos coûtent \(12\) euros. Combien coûtent \(7\) stylos ? Deux fois plus de stylos coûtent deux fois plus cher ; et le prix d'un stylo, \(12 \div 4 = 3\), donne tous les autres prix.
Imagé. Une autre situation du cours, \(2\) kg pour \(6\) euros : le tableau avec ses deux flèches, on multiplie par le coefficient (\(3\) euros par kg) pour descendre des quantités aux prix, on divise par lui pour remonter. Avant le coefficient, les cours raisonnent sur les quantités elles-mêmes : deux fois plus, la somme de deux colonnes. Sur un troisième tableau, à \(5\) euros le kg, la proportionnalité conserve les sommes, et le tableau le montre. Abstrait. Le coefficient est la valeur pour une unité, trouvée par une division : \(12 \div 4 = 3\) euros par stylo. C'est un quotient, la fraction du premier temps avec une unité accrochée, et le retour à l'unité est la chaîne d'égalités de la fraction elle-même. Pour \(5\) pommes qui coûtent \(10\) euros : \(\dfrac{10}{5} = \dfrac{2}{1} = \dfrac{16}{8}\), une pomme coûte \(2\), huit coûtent \(16\). À partir de la 5e, le coefficient devient une grandeur à part entière, une vitesse en km par heure, et l'élève choisit déjà la procédure et lit la proportionnalité sur un graphique ; en 4e, le coefficient est une grandeur quotient ; la 3e reprend l'ensemble des procédés.
Point de vigilance. Additionner au lieu de multiplier : « \(4\) stylos coûtent \(12\), donc \(6\) stylos coûtent \(14\) ». Faites dire la relation à voix haute, « \(6\) stylos, c'est \(4\) stylos et \(2\) stylos », avant tout nombre. Et la recette appliquée à l'aveugle : le produit en croix est le dernier outil des cours, après « deux fois plus » et « revenir à l'unité ».
Où le trouver. CM1, Reconnaître une situation de proportionnalité, Trouver une valeur manquante ; exercices Multiplier par le même nombre, Revenir à l'unité, Partir de l'unité. CM2, Ajouter les quantités ; exercices Multiplier ou ajouter ? 6e, Compléter un tableau ; exercices Choisir le raisonnement, Trouver la valeur pour une unité. 5e, Le coefficient est une grandeur, Calculer une quatrième proportionnelle. 4e, Les grandeurs quotients. 3e, Choisir la procédure adaptée.

Concret. Dans une classe, \(5\) élèves sur \(25\) viennent à pied ; dans une autre, \(12\) sur \(20\). Dans quelle classe la part des élèves venant à pied est-elle la plus grande ? Les touts diffèrent, donc les parties ne se comparent pas telles quelles.
Imagé. Le cours part d'une grille de \(100\) carreaux : \(23\) carreaux coloriés, \(23\,\pourcent\) de la grille. Puis il ramène un tout de \(25\) à un tout de \(100\) : \(5\) sur \(25\) devient \(20\) sur \(100\), la fraction équivalente du premier temps, dessinée sur deux grilles. Abstrait. Un pourcentage est une fraction de dénominateur \(100\) : \(23\,\pourcent = \dfrac{23}{100}\), et \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100} = 75\,\pourcent\) avec les flèches du premier temps. Les deux classes se comparent alors sur une même base de \(100\) : \(\dfrac{5}{25} = 20\,\pourcent\) et \(\dfrac{12}{20} = 60\,\pourcent\). Et prendre \(x\,\pourcent\) d'une quantité, c'est en prendre la fraction \(\dfrac{x}{100}\), l'outil des sections précédentes : \(60\,\pourcent\) de \(200\) élèves, c'est \(120\) élèves, lu « \(60\) pour \(100\), donc \(2 \times 60\) pour \(200\) ».

Élèves	\(100\)	\(200\)
Filles	\(60\)	\(120\)

Les pourcentages à connaître par cœur sont des fractions déguisées : \(50\,\pourcent\), c'est la moitié, \(25\,\pourcent\) le quart, \(10\,\pourcent\) le dixième ; \(100\,\pourcent\), c'est la quantité entière.
Point de vigilance. Le pourcentage du mauvais tout. « \(35\) cm, c'est \(35 \div 7 = 500\,\pourcent\) de \(7\) m » : la même unité d'abord, \(35\) cm sur \(700\) cm font \(5\,\pourcent\), et une partie ne dépasse jamais son tout. « \(-25\,\pourcent\) puis \(+10\,\pourcent\), cela fait \(-15\,\pourcent\) » : la seconde évolution s'applique au prix du moment, pas au prix de départ, et des pourcentages de deux touts différents ne s'additionnent pas.
Où le trouver. 6e, Les pourcentages : Qu'est-ce qu'un pourcentage ?, Convertir entre les formes, Exprimer une proportion en pourcentage, Comparer avec des pourcentages, Calculer une partie avec un pourcentage ; exercices Lire un pourcentage sur une grille de 100, Vérifier qu'une proportion est possible, Comparer des parties avec des pourcentages, Calculer un pourcentage de tête. 4e, Calculer la partie ou le tout, Le coefficient multiplicateur, Le taux d'évolution. 3e, Taux d'évolution et coefficient multiplicateur, Évolutions successives et réciproques.

Concret. Le plan d'un parc, dessiné sur un quadrillage de carreaux de \(1\) cm. La mare mesure \(3\) cm sur le plan. Combien mesure-t-elle en vrai ?
Imagé. En 6e, l'échelle est une phrase ou déjà une fraction : « \(1\) cm pour \(2\) m », « échelle \(1/100\) ». La barre ci-dessous, dessinée dans le style du cours, en garde la lecture : « \(1\) cm représente \(5\) m ». La mare, c'est \(3\) fois \(1\) cm, donc \(3\) fois \(5\) m : \(15\) m. Abstrait. En 5e, la phrase devient un ratio de deux longueurs dans la même unité, simplifié pour que le terme du dessin soit \(1\) : \(4\) cm pour \(8\) m, c'est \(4:800 = 1:200\). Le second terme, \(200\), est le facteur d'échelle : la longueur réelle est la longueur dessinée multipliée par \(200\), et retour par une division, dans la même unité. Encore les deux flèches de la proportionnalité. Une échelle est le rapport d'une longueur dessinée à la longueur réelle correspondante, écrites dans la même unité : à \(1:200\), toute longueur dessinée vaut le \(\dfrac{1}{200}\) de la longueur réelle. Elle compare deux longueurs ; le dessin n'est pas une partie de l'objet réel.
Point de vigilance. « Échelle \(1:200\), donc \(1\) cm, c'est \(200\) m. » Les deux termes d'une échelle sont dans la même unité : \(1\) cm pour \(200\) cm, c'est-à-dire \(2\) m. Dites si la longueur demandée est celle du plan ou celle de la réalité, et écrivez son unité.
Où le trouver. 6e, Ratio et proportionnalité : Les échelles ; exercices Lire une échelle, Passer du plan à la réalité, Passer de la réalité au plan, Dessiner un plan à l'échelle. 5e, Les échelles ; exercices Déterminer l'échelle, Calculer les longueurs réelles sur un dessin à l'échelle. 3e, Les échelles.

La plupart des erreurs de l'outil viennent d'un tout perdu ou échangé. Pour chacune, la figure qui répond.

1. « Les \(\dfrac{2}{3}\) de \(30\), c'est \(\dfrac{2}{3}\). » Le résultat de l'outil est une quantité : \(20\) filles. Demandez l'unité dans chaque réponse ; l'accolade sous la barre demande un nombre d'élèves (6e, Multiplier par la fraction).
2. « Les \(\dfrac{2}{3}\) de \(30\), c'est \(45\). » Divisé par \(2\), multiplié par \(3\). La barre montre la partie dans le tout : une partie de \(30\) est plus petite que \(30\) (6e, Calculer une fraction d'une quantité).
3. « \(2\) filles pour \(3\) garçons, donc les filles sont les \(\dfrac{2}{3}\) de la classe. » Partie-partie n'est pas partie-tout : le tout a \(5\) parts, les filles en sont les \(\dfrac{2}{5}\). La barre aux deux parties sous un seul tout (6e, Comparer deux parties).
4. « \(4\) stylos coûtent \(12\), donc \(6\) stylos coûtent \(14\). » La proportionnalité multiplie, elle n'ajoute pas \(2\) : \(6\) stylos, c'est \(4\) stylos et \(2\) stylos, \(12 + 6 = 18\). Le tableau et ses sommes (CM2, Multiplier ou ajouter ?).
5. « \(35\) cm, c'est \(500\,\pourcent\) de \(7\) m. » La même unité d'abord : \(35\) cm sur \(700\) cm, c'est \(5\,\pourcent\). Une partie ne dépasse jamais son tout (6e, Vérifier qu'une proportion est possible).
6. « \(-25\,\pourcent\) puis \(+10\,\pourcent\), cela fait \(-15\,\pourcent\). » La seconde évolution s'applique au prix du moment : \(80 \times 0{,}75 = 60\), puis \(60 \times 1{,}10 = 66\), et non \(68\). Des pourcentages de deux touts ne s'additionnent pas (3e, Évolutions successives et réciproques).
7. « Échelle \(1:200\), donc \(1\) cm, c'est \(200\) m. » Les deux termes sont dans la même unité : \(1\) cm pour \(200\) cm (5e, Déterminer l'échelle).
8. « La moitié de la classe, c'est \(15\) filles, donc \(\dfrac{1}{2} = 15\). » Les deux lectures ont été confondues. Sur la droite, \(\dfrac{1}{2}\) reste le point à mi-chemin de \(0\) à \(1\) ; sur la barre de \(30\), la moitié fait \(15\) élèves. Dessinez côte à côte les deux barres de la section d'ouverture.

1. Demandez « quel est le tout ? » avant tout calcul, et écrivez la réponse sur la barre : \(1\), ou la quantité.
2. Gardez les deux barres côte à côte au tableau, la barre de \(1\) et la barre de la quantité, toute l'année du CM2 et de la 6e, quand les deux lectures se rencontrent.
3. Partager avant de multiplier. \(\dfrac{2}{3} \times 30\) est accepté quand l'élève sait trouver \(20\) par partage ; pas avant.
4. Exigez que la réponse dise ce qu'elle compte au second temps (\(20\) élèves, \(15\,\pourcent\) du prix), et gardez nus les calculs du premier temps : \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\) est un nombre.
5. Une tâche pour savoir où en est un élève. Dans une classe de \(30\) élèves, les deux tiers sont des filles. (a) Placer \(\dfrac{2}{3}\) sur une droite graduée de \(0\) à \(1\). (b) Combien y a-t-il de filles ? Deux réponses, un point et une quantité ; l'élève qui écrit \(20\) sur la droite, ou \(\dfrac{2}{3}\) comme nombre de filles, a confondu les deux lectures.   

Les choix décrits ici (une seule unité, la barre, le nombre avant l'outil, les égalités de barres) sont analysés dans un article de recherche, en anglais, qui dit aussi où les chapitres n'y répondent pas encore tout à fait : Partager une unité, mesurer une longueur.