Proportionnalité

La vitesse moyenne d'un trajet est la distance totale parcourue divisée par la durée totale du trajet : $$\textcolor{olive}{\text{vitesse moyenne}} = \textcolor{colorprop}{\text{distance totale}} \div \textcolor{colordef}{\text{durée totale}}$$ Quand la distance parcourue est proportionnelle au temps, la vitesse moyenne est le coefficient de proportionnalité : c'est la distance parcourue en une unité de temps.
Elle s'écrit avec son unité : km/h (kilomètres par heure).

Une grandeur quotient est le quotient de deux grandeurs de natures différentes. Son unité combine les deux unités : km/h pour une vitesse, \(\Euro{}\)/kg pour un prix unitaire, L/min pour un débit, kg/m\(^3\) pour une masse volumique.
Quand les deux grandeurs sont proportionnelles, la grandeur quotient est leur coefficient de proportionnalité.

Soit \(p\), \(q\), \(r\) des nombres non nuls. Trois nombres \(a\), \(b\), \(c\) sont dans le ratio \(p:q:r\), ce qu'on note \(a:b:c = p:q:r\), lorsque $$\dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q} = \dfrac{c}{r}.$$ Les quotients égaux expriment que \(a\), \(b\), \(c\) sont proportionnels à \(p\), \(q\), \(r\). Multiplier ou diviser tous les termes d'un ratio par un même nombre non nul ne change pas le ratio.
Pour deux nombres, \(a:b = p:q\) lorsque \(\dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q}\) ; quand \(b\) n'est pas nul, cela signifie \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{p}{q}\) : le ratio \(a:b\) est donné par le quotient \(\dfrac{a}{b}\), qu'on appelle aussi le rapport de \(a\) à \(b\).

Un ratio partie-tout compare une partie d'un tout avec le tout.$$\textcolor{colordef}{\text{Partie 1}}:\textcolor{olive}{\text{Tout}}\text{ ou }\textcolor{colorprop}{\text{Partie 2}}:\textcolor{olive}{\text{Tout}}$$

Un dessin à l'échelle représente un objet réel avec toutes ses longueurs réduites (ou agrandies) dans la même proportion. L'échelle est le rapport d'une longueur dessinée sur la longueur réelle correspondante, écrites dans la même unité et simplifié pour ramener le terme dessiné à~\(1\) : $$\text{échelle} = (\text{long. dessinée}):(\text{long. réelle}) = \textcolor{colorprop}{1}:\textcolor{colordef}{N}.$$ Le second terme~\(\textcolor{colordef}{N}\) est le facteur d'échelle : pour une réduction — le cas usuel, avec \(N > 1\) — il indique combien de fois la réalité est plus grande que le dessin.
Exemple. Si \(\textcolor{colorprop}{4}\,\mathrm{cm}\) sur le plan représentent \(\textcolor{colordef}{8}\,\mathrm{m}\) en réalité, on écrit les deux dans la même unité puis on simplifie le rapport : $$\textcolor{colorprop}{4}\,\mathrm{cm}:\textcolor{colordef}{8}\,\mathrm{m} = \textcolor{colorprop}{4}:\textcolor{colordef}{800} = \textcolor{colorprop}{1}:\textcolor{colordef}{200}.$$ L'échelle est donc \(1{:}200\) (facteur d'échelle \(200\)).

• Augmenter une quantité de \(t\pourcent\), c'est la multiplier par \(1 + \dfrac{t}{100}\).
• Diminuer une quantité de \(t\pourcent\), c'est la multiplier par \(1 - \dfrac{t}{100}\).

Ce multiplicateur s'appelle le coefficient multiplicateur de l'évolution. En effet, ajouter à une grandeur \(V\) ses \(t\pourcent\) donne $$V + \dfrac{t}{100} \times V = V \times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right) \qquad \text{(distributivité)},$$ et soustraire ces \(t\pourcent\) de \(V\) donne \(V \times \left(1 - \dfrac{t}{100}\right)\). Par exemple, augmenter de \(15\pourcent\), c'est multiplier par \(1 + \dfrac{15}{100} = 1{,}15\) ; diminuer de \(15\pourcent\), c'est multiplier par \(1 - \dfrac{15}{100} = 0{,}85\).
On peut aussi donner un signe au taux d'évolution : une hausse de \(15\pourcent\) est une évolution de \(+15\pourcent\), une baisse de \(15\pourcent\) une évolution de \(-15\pourcent\). Les deux formules n'en font alors plus qu'une : avec le nombre signé \(t\), le coefficient multiplicateur (noté \(CM\)) s'écrit toujours \(CM = 1 + \dfrac{t}{100}\), par exemple \(1 + \dfrac{-15}{100} = 1 - \dfrac{15}{100} = 0{,}85\). Attention à ne pas mélanger les deux écritures : avec \(t = -15\), écrire \(1 - \dfrac{t}{100}\) donnerait \(1{,}15\), une hausse.