Éducation Nationale Française · CM1
La proportionnalité
I
Reconnaître une situation de proportionnalité
À la boulangerie, un gâteau coûte \(\Euro 2\). Pour trouver le prix de plusieurs gâteaux, on les compare à un seul gâteau. Par exemple, \(\textcolor{colordef}{3}\) gâteaux, c'est \(3\) fois plus qu'un gâteau : on paie \(3\) fois plus.
\(2\) fois plus de gâteaux coûtent \(2\) fois plus cher, \(3\) fois plus de gâteaux coûtent \(3\) fois plus cher : le prix est proportionnel au nombre de gâteaux.
Ce n'est pas toujours le cas. Un bébé mesure \(70\) cm à \(1\) an. Si la taille était proportionnelle à l'âge, le bébé mesurerait \(70 \times 2 = 140\) cm à \(2\) ans, et \(70 \times 3 = 210\) cm à \(3\) ans — ce qui est impossible. Un enfant grandit, mais pas en multipliant sa taille par le même nombre, donc la taille n'est pas proportionnelle à l'âge.
| \(\textcolor{colordef}{1}\) gâteau coûte | \(\textcolor{colordef}{1} \times \textcolor{olive}{2} = \textcolor{colorprop}{2}\) |
| \(\textcolor{colordef}{2}\) gâteaux coûtent | \(\textcolor{colordef}{2} \times \textcolor{olive}{2} = \textcolor{colorprop}{4}\) |
| \(\textcolor{colordef}{3}\) gâteaux coûtent | \(\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{olive}{2} = \textcolor{colorprop}{6}\) |
Ce n'est pas toujours le cas. Un bébé mesure \(70\) cm à \(1\) an. Si la taille était proportionnelle à l'âge, le bébé mesurerait \(70 \times 2 = 140\) cm à \(2\) ans, et \(70 \times 3 = 210\) cm à \(3\) ans — ce qui est impossible. Un enfant grandit, mais pas en multipliant sa taille par le même nombre, donc la taille n'est pas proportionnelle à l'âge.
Définition — Situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont en situation de proportionnalité quand, chaque fois que l'une est multipliée (ou divisée) par un nombre, l'autre est multipliée (ou divisée) par le même nombre. Par exemple, quand les pains sont tous au même prix : « si j'achète \(3\) fois plus de pains, je paie \(3\) fois plus » ; « si j'en achète \(2\) fois moins, je paie \(2\) fois moins ». Exemple
Un magasin vend des cahiers qui ont tous le même prix. Le prix est-il proportionnel au nombre de cahiers ? | \(\textcolor{colordef}{\text{Cahiers}}\) | \(\textcolor{colordef}{2}\) | \(\textcolor{colordef}{3}\) | \(\textcolor{colordef}{5}\) |
| \(\textcolor{colorprop}{\text{Prix }(\Euro)}\) | \(\textcolor{colorprop}{6}\) | \(\textcolor{colorprop}{9}\) | \(\textcolor{colorprop}{15}\) |
Oui. Les cahiers ont tous le même prix : quand le nombre de cahiers est multiplié par un nombre, le prix est multiplié par le même nombre. On le vérifie sur les prix donnés : \(1\) cahier, c'est la moitié de \(2\) cahiers, il coûte \(2\) fois moins, \(\textcolor{colorprop}{6} \div 2 = \textcolor{olive}{3}\) ; \(3\) cahiers, c'est \(3\) fois plus qu'un cahier, ils coûtent \(3\) fois plus, \(3 \times \textcolor{olive}{3} = \textcolor{colorprop}{9}\) ; \(5\) cahiers, \(5\) fois plus, coûtent \(5 \times \textcolor{olive}{3} = \textcolor{colorprop}{15}\). Le prix est proportionnel au nombre de cahiers.
Compétences à pratiquer
- Reconnaître à partir d'une situation
II
Trouver une valeur manquante
Méthode — Multiplier par le même nombre
Dans une situation de proportionnalité, quand une quantité est multipliée (ou divisée) par un nombre, sa valeur est multipliée (ou divisée) par le même nombre : \(2\) fois plus de kilogrammes coûtent \(2\) fois plus cher, et \(2\) fois moins de kilogrammes coûtent \(2\) fois moins cher.Exemple. Chaque kilogramme de pommes coûte le même prix : \(\textcolor{colordef}{3}\) kg coûtent \(\textcolor{colorprop}{10}\) euros. Combien coûtent \(\textcolor{colordef}{6}\) kg ? $$\begin{aligned}[t] \text{Prix de }\textcolor{colordef}{6}\text{ kg} &= \textcolor{colorprop}{10} \times 2 = \textcolor{colorprop}{20} && \text{(}6 = 3 \times 2\text{ : deux fois plus de kilogrammes, deux fois plus cher)} \end{aligned}$$ Les \(\textcolor{colordef}{6}\) kg coûtent \(\textcolor{colorprop}{20}\) euros, et le prix d'un kilogramme, qui ne tombe pas juste, n'a jamais servi.
Méthode — Le passage à l'unité
Dans une situation de proportionnalité, une méthode utile est de trouver d'abord la valeur pour un, puis de multiplier.Exemple. Si \(\textcolor{colordef}{4}\) stylos coûtent \(\textcolor{colorprop}{12}\) euros, combien coûtent \(\textcolor{colordef}{7}\) stylos ? $$\begin{aligned}[t] \text{Prix de }1\text{ stylo} &= \textcolor{colorprop}{12} \div \textcolor{colordef}{4} = \textcolor{olive}{3} && \text{(diviser par }\textcolor{colordef}{4}) \\ \text{Prix de }7\text{ stylos} &= \textcolor{olive}{3} \times \textcolor{colordef}{7} = \textcolor{colorprop}{21} && \text{(multiplier par }\textcolor{colordef}{7}) \end{aligned}$$
Exemple
Une recette utilise la même quantité de sucre pour chaque gâteau. Pour \(\textcolor{colordef}{3}\) gâteaux, il faut \(\textcolor{colorprop}{150}\) g de sucre. Combien de sucre faut-il pour \(\textcolor{colordef}{8}\) gâteaux ?
On passe par l'unité : on cherche le sucre pour \(1\) gâteau, puis on multiplie par \(8\). $$\begin{aligned}[t] \text{Sucre pour }1\text{ gâteau} &= \textcolor{colorprop}{150} \div \textcolor{colordef}{3} = \textcolor{olive}{50} \text{ g} && \text{(diviser par }\textcolor{colordef}{3}) \\
\text{Sucre pour }8\text{ gâteaux} &= \textcolor{olive}{50} \times \textcolor{colordef}{8} = \textcolor{colorprop}{400} \text{ g} && \text{(multiplier par }\textcolor{colordef}{8}) \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Multiplier par le même nombre
- Revenir à l'unité
- Partir de l'unité
- Revenir puis partir de l'unité
- Reconnaître à partir d'une phrase
III
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Analyser une situation
- Calculer une valeur manquante
- Problèmes
- Quiz
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