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Éducation Nationale Française · Sixième

Ratio et proportionnalité

⌚ ~322 min ▢ 38 blocs ✓ 166 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Les fractions, des nombres, Opérations sur les nombres décimaux
I Le ratio
I.1 Qu'est-ce qu'un ratio ?
Définition — Ratio
Un ratio est une comparaison de deux quantités. Le ratio de \(\textcolor{colordef}{2}\) par rapport à \(\textcolor{colorprop}{3}\) s'écrit \(\textcolor{colordef}{2}:\textcolor{colorprop}{3}\) (lu « \(2\) pour \(3\) »).
On emploie souvent le mot rapport à la place de ratio.
Compétences à pratiquer
  • Exprimer les ratios sous différentes formes
I.2 Comparer deux parties
Définition — Ratio partie-partie
Un ratio partie-partie compare deux parties distinctes d'un même tout.$$\textcolor{colordef}{\text{Partie 1}}:\textcolor{colorprop}{\text{Partie 2}}$$
Illustration
Exemple
Un bol de fruits contient 3 cerises et 2 pommes. Quel est le ratio des cerises par rapport aux pommes ?
Illustration

Le ratio des cerises par rapport aux pommes est de \(\textcolor{colordef}{3}:\textcolor{colorprop}{2}\). Cela compare les deux parties de la collection de fruits l'une par rapport à l'autre.

Compétences à pratiquer
  • Trouver les ratios dans les relations partie-partie
I.3 Comparer une partie au tout
Définition — Ratio partie-tout
Un ratio partie-tout compare une partie d'un tout avec le tout.$$\textcolor{colordef}{\text{Partie 1}}:\textcolor{olive}{\text{Tout}}\text{ ou }\textcolor{colorprop}{\text{Partie 2}}:\textcolor{olive}{\text{Tout}}$$
Illustration
Exemple
Un jus est fait avec 1 citron et 2 oranges. Quel est le ratio du nombre d'oranges par rapport au nombre total de fruits?
Illustration

  • D'abord, on détermine le nombre total de fruits. Le total est \(1 + 2 = 3\) fruits.
  • Le ratio du nombre d'oranges (la partie) par rapport au nombre total de fruits (le tout) est de \(\textcolor{orange}{2}:3\).
  • Ce ratio partie-tout peut aussi être exprimé par la fraction \(\dfrac{\textcolor{orange}{2}}{3}\).

Compétences à pratiquer
  • Trouver les ratios dans les relations partie-tout
  • Trouver un ratio partie-tout dans une situation
I.4 Ratios équivalents
Définition — Ratios équivalents
Deux ratios sont équivalents s'ils représentent la même relation. On peut trouver des ratios équivalents en multipliant ou en divisant les deux parties du ratio par le même nombre non nul.
Exemple
Le ratio des pommes rouges par rapport à toutes les pommes est \(\dfrac{2}{4}\), ce qui est équivalent à \(\dfrac{1}{2}\) (la moitié des pommes sont rouges).
Illustration
Méthode — Utiliser les fractions
Pour vérifier si deux ratios sont équivalents, on peut comparer leurs fractions. Si les fractions sont équivalentes, alors les ratios sont équivalents.
Exemple
Comme Illustration, les ratios sont équivalents : \(\textcolor{colordef}{1}:\textcolor{colorprop}{2} = \textcolor{colordef}{2}:\textcolor{colorprop}{4}\)
Compétences à pratiquer
  • Multiplier et simplifier des ratios
  • Trouver la valeur manquante
  • Écrire et simplifier des ratios
II Prendre une fraction d'une quantité
II.1 Une fraction unitaire d'une quantité
Méthode — Prendre une fraction unitaire d'une quantité
Pour prendre \(\dfrac{1}{b}\) d'une quantité, partager la quantité en \(b\) parts égales et en prendre une : $$\frac{1}{b}\,\text{de }N = N \div b$$
Exemple
  1. Combien de billes vaut un tiers de \(12\) billes ?
  2. Combien d'euros vaut un quart de \(20\) euros ?

  1. Un tiers de \(12\) : partager \(12\) en \(3\) parts égales et en prendre une : \(12 \div 3 = 4\) billes.
    Illustration
  2. Un quart de \(20\) : partager \(20\) en \(4\) parts égales et en prendre une : \(20 \div 4 = 5\) euros.

Compétences à pratiquer
  • Prendre une fraction unitaire d'une quantité
  • Résoudre des problèmes avec une fraction unitaire
II.2 Multiplier par la fraction

Combien vaut \(\dfrac{2}{3}\) de \(18\) ? Partager \(18\) en \(3\) parts égales : une part vaut \(18\div 3 = 6\). Deux parts font \(2\times 6 = 12\). Donc \(\dfrac{2}{3}\) de \(18\) vaut \(12\).
Prendre \(\dfrac{a}{b}\) d'un nombre fonctionne toujours ainsi : diviser par le dénominateur, multiplier par le numérateur — c'est exactement la multiplication \(\dfrac{a}{b}\times N\).

Méthode — Prendre une fraction d'une quantité
Pour déterminer une fraction d’une quantité, multiplier cette quantité par la fraction : $$\textcolor{colorprop}{\frac{a}{b}\,\text{de }N=\frac{a}{b}\times N}$$
Exemple
Dans une classe de 30 élèves, \(\dfrac{2}{3}\) de la classe sont des filles. Combien y a-t-il de filles ?

La fraction \(\dfrac{2}{3}\) indique la part de la classe qui est composée de filles.
Illustration
  • Méthode 1 (retour à l’unité). On trouve une part : \(30\div 3=10\). Puis deux parts : \(10\times 2=\textcolor{colorprop}{20}\).
    Illustration  Illustration
  • Méthode 2 (formule).$$\begin{aligned}\textcolor{colorprop}{\text{Nombre de filles}}&=\frac{2}{3}\text{ de }\textcolor{colordef}{30}\\ &=\frac{2}{3}\times \textcolor{colordef}{30}\\ &=\frac{2\times 30}{3}\\ &=(2\times 30)\div 3\\ &=\textcolor{colorprop}{20}.\end{aligned}$$
Vérification. \(\dfrac{20}{30}=\dfrac{2}{3}\).

Proposition — Multiplier une fraction par un nombre
Jusqu'ici on prenait une fraction d'une quantité ; la même règle s'applique à n'importe quel nombre entier \(N\). Pour un nombre entier \(N\) et une fraction \(\dfrac{a}{b}\) (avec \(b \neq 0\)) : $$\frac{a}{b} \times N = \frac{a \times N}{b}.$$ Seul le numérateur est multiplié : le dénominateur dit en combien de parts égales l'unité est partagée, et multiplier ne change pas ce partage. Deux lectures, un seul résultat :
  • diviser d'abord : \(N \div b\) donne une part, puis \(\times\, a\) en prend \(a\) ;
  • multiplier d'abord : \(a \times N\), puis \(\div\, b\).
Exemple
Calculer \(\dfrac{3}{4} \times 20\) avec chacune des deux lectures.

  • Diviser d'abord. Un quart de \(20\) vaut \(20 \div 4 = 5\) ; trois quarts valent \(5 \times 3 = \textcolor{colordef}{15}\).
  • Multiplier d'abord. \(\dfrac{3}{4} \times 20 = \dfrac{3 \times 20}{4} = \dfrac{60}{4} = \textcolor{colordef}{15}\).
Les deux lectures donnent le même résultat, et c'est toujours le cas. La première est plus commode quand \(N\) est un multiple de \(b\) ; la seconde marche à tous les coups.

Exemple
Calculer \(\dfrac{2}{5} \times 7\).

Ici \(7\) n'est pas un multiple de \(5\) : diviser d'abord ne donnerait pas un nombre entier. On multiplie d'abord : $$\frac{2}{5} \times 7 = \frac{2 \times 7}{5} = \frac{14}{5}.$$ Le résultat est une fraction, et c'est tout à fait normal — une fraction d'une quantité n'est pas forcément un nombre entier.

Compétences à pratiquer
  • Calculer une fraction d'une quantité
  • Appliquer les fractions à des problèmes concrets
  • Multiplier une fraction par un nombre entier
  • Choisir l'ordre le plus astucieux
III La proportionnalité
III.1 Reconnaître une situation de proportionnalité

Au marché, les cerises sont vendues \(4~\Euro\) le kilogramme : \(2\)~kg coûtent \(8~\Euro\) et \(3\)~kg coûtent \(12~\Euro\). Au cinéma, une carte coûte \(10~\Euro\), puis chaque film coûte \(3~\Euro\) avec la carte : \(2\) films coûtent \(16~\Euro\) et \(3\) films coûtent \(19~\Euro\). Dans laquelle des deux situations prendre deux fois plus revient-il à payer deux fois plus ?

Les cerises. De \(2\)~kg à \(4\)~kg, la masse double et le prix passe de \(8~\Euro\) à \(16~\Euro\) : il double aussi. De \(3\)~kg à \(1\)~kg, la masse est divisée par \(3\) et le prix passe de \(12~\Euro\) à \(4~\Euro\) : divisé par \(3\) aussi. Quelle que soit la masse, un kilogramme coûte toujours \(4~\Euro\).
Pas le cinéma. De \(2\) films à \(4\) films, le nombre double mais le prix passe de \(16~\Euro\) à \(22~\Euro\) : il ne double pas. La carte se paie une seule fois, quel que soit le nombre de films : le coût moyen d'un film, carte comprise, n'est pas le même — \(8~\Euro\) par film pour deux films, environ \(6{,}33~\Euro\) par film pour trois.


Définition — La proportionnalité entre deux grandeurs
Deux grandeurs sont proportionnelles quand, chaque fois qu'une valeur de la première est multipliée (ou divisée) par un nombre, la valeur correspondante de la seconde est multipliée (ou divisée) par le même nombre.
Cela revient à dire que la valeur de la seconde grandeur pour une unité de la première — le prix au kilo, le nombre de pages par minute, le nombre de battements du cœur par minute — est la même pour tous les couples de valeurs.
Proportionnalité et ratios équivalents
Dans une situation de proportionnalité, tous les couples de valeurs forment des ratios équivalents : \(2\)~kg pour \(8~\Euro\), \(3\)~kg pour \(12~\Euro\), \(1\)~kg pour \(4~\Euro\).
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Le modèle de la proportionnalité
Dire qu'une situation relève du modèle de la proportionnalité, c'est dire qu'elle se comporte comme les cerises : deux fois plus de la première grandeur, deux fois plus de la seconde. Beaucoup de situations de la vie courante en relèvent — un prix au poids, une distance parcourue à allure régulière, les ingrédients d'une recette. Beaucoup n'en relèvent pas, pour deux raisons habituelles :
  • une part fixe, payée une seule fois — la carte de cinéma, la prise en charge d'un taxi, les frais de livraison d'une commande ;
  • un rythme qui change — la taille d'un enfant ne double pas quand son âge double ; un coureur ralentit sur une longue course.
Avant d'utiliser la proportionnalité, la première question est toujours : la situation relève-t-elle du modèle ?
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Exemple
Dire si chaque situation relève du modèle de la proportionnalité et justifier.
  1. Des photocopies coûtent \(0{,}10~\Euro\) chacune.
  2. Un forfait téléphonique coûte \(15~\Euro\) par mois, quel que soit le nombre d'appels.
  3. Un robinet, qui coule toujours au même débit, remplit \(6\)~L en \(2\) minutes et \(15\)~L en \(5\) minutes.

  1. Oui. Deux fois plus de copies, deux fois plus cher : le prix d'une copie, \(0{,}10~\Euro\), est le même pour toutes.
  2. Non. Deux fois plus d'appels, le même prix : le prix ne suit pas du tout le nombre d'appels — le forfait est une part fixe.
  3. Oui. Le robinet coule toujours au même débit : chaque minute, il verse le même volume. Les relevés concordent : de \(2\) à \(5\) minutes, il n'y a pas de multiplication simple ; on regarde donc le volume pour une minute : \(6~\text{L} \div 2 = 3\)~L par minute, et \(15~\text{L} \div 5 = 3\)~L par minute, le même pour les deux couples.

Compétences à pratiquer
  • Reconnaître une situation de proportionnalité
  • Reconnaître si une situation relève du modèle
  • Reconnaître à partir d'un tableau
  • Multiplier ou diviser une quantité
  • Justifier si une situation relève du modèle
III.2 Représenter une situation de proportionnalité
Méthode — Trois façons d'écrire une situation de proportionnalité
Du tissu est vendu \(6~\Euro\) le mètre. Le prix est proportionnel à la longueur achetée, et la situation peut s'écrire de trois façons.
  • Avec un tableau. Chaque ligne commence par le nom d'une grandeur et son unité ; les valeurs qui se correspondent sont écrites dans la même colonne.
    \textcolor{colordef}{Longueur (m)} \(\textcolor{colordef}{1}\) \(\textcolor{colordef}{2}\) \(\textcolor{colordef}{4}\) \(\textcolor{colordef}{10}\)
    \textcolor{colorprop}{Prix (\(\Euro\))} \(\textcolor{colorprop}{6}\) \(\textcolor{colorprop}{12}\) \(\textcolor{colorprop}{24}\) \(\textcolor{colorprop}{60}\)
  • Avec une flèche. La flèche va d'une grandeur à l'autre et porte l'opération qui transforme le nombre de mètres en nombre d'euros :
    Illustration
  • Avec des parenthèses. Le nom de la grandeur cherchée, puis, entre parenthèses, la valeur à partir de laquelle on la calcule : \(\text{prix}(4~\text{m}) = 24~\Euro\), \(\text{prix}(10~\text{m}) = 60~\Euro\). Cela se lit « le prix de \(4\) mètres est \(24\) euros ».
Les trois écritures disent la même chose : un mètre coûte \(6~\Euro\), donc \(4\) mètres coûtent \(4 \times 6~\Euro = 24~\Euro\).
Exemple
Une recette utilise \(3\) œufs pour \(12\) crêpes, et le nombre de crêpes est proportionnel au nombre d'œufs. Écrire cette situation des trois façons, puis utiliser chacune pour trouver combien de crêpes font \(9\) œufs.

  • Tableau. Un œuf fait \(12 \div 3 = 4\) crêpes, donc la colonne \(1\) / \(4\) peut ouvrir le tableau, et \(9\) œufs, c'est \(3\) fois \(3\) œufs :
    \textcolor{colordef}{Œufs (nombre)} \(\textcolor{colordef}{1}\) \(\textcolor{colordef}{3}\) \(\textcolor{colordef}{9}\)
    \textcolor{colorprop}{Crêpes (nombre)} \(\textcolor{colorprop}{4}\) \(\textcolor{colorprop}{12}\) \(\textcolor{colorprop}{36}\)
  • Flèche. Du nombre d'œufs au nombre de crêpes, l'opération est \(\times\,4\) : \(9 \times 4 = 36\).
  • Parenthèses. \(\text{crêpes}(9~\text{œufs}) = 3 \times \text{crêpes}(3~\text{œufs}) = 3 \times 12 = 36\).
Les trois écritures s'accordent : \(9\) œufs font \(36\) crêpes.

Compétences à pratiquer
  • Reconnaître la bonne écriture
  • Lire un tableau avec les noms et les unités
  • Écrire avec une flèche et avec des parenthèses
  • Construire un tableau de proportionnalité
III.3 Compléter un tableau
Proposition — La proportionnalité conserve les sommes
Dans un tableau de proportionnalité, quand on additionne deux valeurs de la première ligne, les valeurs correspondantes de la seconde ligne s'additionnent aussi.
Exemple. Quand j'ajoute \(\textcolor{colordef}{2}\) et \(\textcolor{colordef}{3}\), j'obtiens \(\textcolor{colordef}{5}\). Donc quand j'ajoute \(\textcolor{colorprop}{10}\) et \(\textcolor{colorprop}{15}\), j'obtiens \(\textcolor{colorprop}{25}\) :
Illustration
Proposition — La proportionnalité conserve les multiples
Dans un tableau de proportionnalité, quand on multiplie une valeur de la première ligne par un nombre, la valeur correspondante de la seconde ligne est multipliée par le même nombre.
Exemple. Quand je multiplie \(\textcolor{colordef}{1}\) par \(10\), j'obtiens \(\textcolor{colordef}{10}\). Donc quand je multiplie \(\textcolor{colorprop}{5}\) par \(10\), j'obtiens \(\textcolor{colorprop}{50}\) :
Illustration
Exemple
Ce tableau est un tableau de proportionnalité. Le compléter sans revenir à l'unité.
\textcolor{colordef}{Nombre de cahiers} \(\textcolor{colordef}{2}\) \(\textcolor{colordef}{3}\) \(\textcolor{colordef}{5}\) \(\textcolor{colordef}{20}\)
\textcolor{colorprop}{Prix (\(\Euro\))} \(\textcolor{colorprop}{8}\) \(\textcolor{colorprop}{12}\) \(?\) \(?\)

  • Comme \(\textcolor{colordef}{5} = \textcolor{colordef}{2} + \textcolor{colordef}{3}\) cahiers, la conservation des sommes donne \(\textcolor{colorprop}{8} + \textcolor{colorprop}{12} = \textcolor{colorprop}{20}~\Euro\).
  • Comme \(\textcolor{colordef}{20} = \textcolor{colordef}{2} \times 10\) cahiers, la conservation des multiples donne \(\textcolor{colorprop}{8} \times 10 = \textcolor{colorprop}{80}~\Euro\).

Méthode — Trouver une valeur manquante dans un tableau
Une valeur manquante dans un tableau de proportionnalité se trouve en raisonnant sur les nombres, jamais par une recette appliquée à l'aveugle. Regarder les valeurs de la même grandeur et dire à voix haute comment elles sont liées.
  1. « Deux fois plus, trois fois moins. » Si une valeur connue de la première ligne est multipliée (ou divisée) par un nombre pour atteindre la valeur cherchée, faire de même à sa partenaire de la seconde ligne — la proportionnalité conserve les multiples.
  2. « La somme de deux colonnes. » Si la valeur cherchée est la somme de deux valeurs connues de sa ligne, additionner leurs deux partenaires — la proportionnalité conserve les sommes.
  3. « Retour à l'unité (le passage à l'unité). » Si ni l'un ni l'autre ne marche, utiliser la valeur constante pour une unité — le prix au kilo, le nombre de crêpes par œuf : la trouver par une division, puis multiplier, ou, dans l'autre sens, diviser par elle.
Quelle que soit la voie, les unités restent à l'intérieur du calcul : \(9~\Euro \div 2~\text{kg} = 4{,}50~\Euro\) par kg.
Exemple
Compléter ce tableau de proportionnalité en choisissant, pour chaque colonne, le raisonnement le plus court.
\textcolor{colordef}{Masse de pommes (kg)} \(\textcolor{colordef}{2}\) \(\textcolor{colordef}{4}\) \(\textcolor{colordef}{6}\) \(\textcolor{colordef}{7}\)
\textcolor{colorprop}{Prix (\(\Euro\))} \(\textcolor{colorprop}{9}\) \(?\) \(?\) \(?\)

  • \(\textcolor{colordef}{4}\)~kg, c'est deux fois \(\textcolor{colordef}{2}\)~kg, donc le prix double : \(\textcolor{colorprop}{9}~\Euro \times 2 = \textcolor{colorprop}{18}~\Euro\).
  • \(\textcolor{colordef}{6}\)~kg, c'est \(\textcolor{colordef}{2}\)~kg plus \(\textcolor{colordef}{4}\)~kg, donc les prix s'ajoutent : \(\textcolor{colorprop}{9}~\Euro + \textcolor{colorprop}{18}~\Euro = \textcolor{colorprop}{27}~\Euro\).
  • \(\textcolor{colordef}{7}\)~kg n'est ni un multiple ni une somme de masses connues : retour à l'unité. Un kilogramme coûte \(\textcolor{colorprop}{9}~\Euro \div 2~\text{kg} = 4{,}50~\Euro\) par kg, donc \(7\)~kg coûtent \(7 \times 4{,}50~\Euro = \textcolor{colorprop}{31{,}50}~\Euro\).

Pourquoi pas une recette ?
Les trois raisonnements ci-dessus donnent les mêmes réponses, et l'un d'eux suffit toujours. Ce qui compte, c'est de dire quelle relation on utilise — « \(4\), c'est deux fois \(2\) », « \(6\), c'est \(2\) plus \(4\) », « un kilogramme coûte \(4{,}50~\Euro\) » — parce que ces relations ne valent que si la situation est proportionnelle : les dire rappelle de vérifier d'abord que la situation relève du modèle, et protège d'appliquer un calcul à une situation qui n'en relève pas.
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Exemple
Le raisin est vendu au poids : \(3\)~kg coûtent \(12~\Euro\), et le prix est proportionnel à la masse. Compléter ce tableau de proportionnalité, dont les valeurs manquantes sont des masses, en choisissant pour chaque colonne le raisonnement le plus court.
\textcolor{colordef}{Masse de raisin (kg)} \(\textcolor{colordef}{3}\) \(?\) \(?\) \(?\)
\textcolor{colorprop}{Prix (\(\Euro\))} \(\textcolor{colorprop}{12}\) \(\textcolor{colorprop}{24}\) \(\textcolor{colorprop}{20}\) \(\textcolor{colorprop}{30}\)

  • \(\textcolor{colorprop}{24}~\Euro\), c'est deux fois \(\textcolor{colorprop}{12}~\Euro\), donc la masse double : \(\textcolor{colordef}{3}~\text{kg} \times 2 = \textcolor{colordef}{6}\)~kg.
  • \(\textcolor{colorprop}{20}~\Euro\) n'est ni un multiple ni une somme de prix connus : retour à l'unité. Le prix d'un kilogramme est \(12~\Euro \div 3~\text{kg} = 4~\Euro\) par kg. Dans l'autre sens, on divise le prix par le prix d'un kilogramme : \(20~\Euro \div 4~\Euro\) par kg \(= \textcolor{colordef}{5}\)~kg. Vérification : \(5 \times 4~\Euro = 20~\Euro\).
  • De même, \(30~\Euro \div 4~\Euro\) par kg \(= \textcolor{colordef}{7{,}5}\)~kg. Vérification : \(7{,}5 \times 4~\Euro = 30~\Euro\).
La flèche de la situation se lit dans les deux sens : multiplier par \(4\) transforme une masse en son prix, et diviser par \(4\) ramène un prix à sa masse.
Illustration

Compétences à pratiquer
  • Choisir le raisonnement
  • Trouver une valeur manquante
  • Compléter un tableau de proportionnalité
  • Trouver la valeur pour une unité
  • Calculer un total à partir de l'unité
  • Calculer une quantité à partir de l'unité
  • Justifier le raisonnement
  • Problèmes
III.4 Les échelles

Le plan d'une salle de classe est dessiné à l'échelle \(1/100\) : \(1\)~cm sur le plan représente \(100\)~cm dans la réalité, c'est-à-dire \(1\)~m. Sur le plan, le tableau mesure \(4\)~cm de long et la salle \(9\)~cm de long. Quelles sont les longueurs réelles du tableau et de la salle ? Le bureau du professeur mesure \(1{,}50\)~m de long : combien mesure-t-il sur le plan ?

Chaque centimètre du plan est un mètre de la réalité, donc les longueurs réelles sont proportionnelles aux longueurs dessinées.
  • Le tableau : \(4\)~cm sur le plan, c'est \(4\) fois \(1\)~cm, donc \(4\) fois \(1\)~m : le tableau réel mesure \(\textbf{4 m}\).
  • La salle : \(9\)~cm sur le plan, donc la salle réelle mesure \(\textbf{9 m}\).
  • Le bureau : \(1{,}50\)~m de réalité, c'est \(1{,}5\) fois \(1\)~m, donc \(1{,}5\) fois \(1\)~cm sur le plan : le bureau mesure \(\textbf{1{,}5~cm}\) sur le plan.


Définition — L'échelle d'un plan
Un plan (ou une carte) est un dessin d'un objet réel dont toutes les longueurs représentées ont été réduites de la même façon : les longueurs réelles sont proportionnelles aux longueurs du plan.
L'échelle du plan dit ce qu'une unité du plan représente dans la réalité. Elle est donnée par une phrase ou par une fraction :
  • « \(1\)~cm pour \(2\)~m » : un centimètre sur le plan représente deux mètres dans la réalité ;
  • « échelle \(1/100\) » : un centimètre sur le plan représente \(100\)~centimètres dans la réalité, c'est-à-dire \(1\)~m. Plus généralement, une unité du plan représente \(100\) fois la même unité dans la réalité : \(1\)~mm représente \(100\)~mm.
Méthode — Du plan à la réalité, et retour
Puisque les longueurs réelles sont proportionnelles aux longueurs du plan, un problème d'échelle est un problème de proportionnalité. Commencer le tableau par la colonne de l'unité : ce que \(1\)~cm du plan représente.
\textcolor{colordef}{Sur le plan (cm)} \(\textcolor{colordef}{1}\) \(\textcolor{colordef}{3}\) \(?\)
\textcolor{colorprop}{Dans la réalité (m)} \(\textcolor{colorprop}{2}\) \(?\) \(\textcolor{colorprop}{9}\)
 (échelle « \(1\)~cm pour \(2\)~m »)
  1. Du plan à la réalité : \(3\)~cm, c'est \(3\) fois \(1\)~cm, donc \(3\) fois \(2\)~m : \(\textbf{6 m}\).
  2. De la réalité au plan : \(9\)~m, c'est \(4{,}5\) fois \(2\)~m (\(9 \div 2 = 4{,}5\)), donc \(4{,}5\) fois \(1\)~cm : \(\textbf{4{,}5~cm}\).
Quand l'échelle est une fraction comme \(1/50\), la traduire d'abord en phrase : \(1\)~cm pour \(50\)~cm, c'est-à-dire \(1\)~cm pour \(0{,}50\)~m.
Exemple
Le plan d'une chambre est dessiné à l'échelle \(1/50\).
  1. Sur le plan, le lit mesure \(4\)~cm de long. Déterminer sa longueur réelle.
  2. L'armoire mesure \(1{,}20\)~m de large dans la réalité. Déterminer sa largeur sur le plan.

Échelle \(1/50\) : \(1\)~cm sur le plan représente \(50\)~cm dans la réalité.
  1. \(4\)~cm sur le plan, c'est \(4\) fois \(1\)~cm, donc \(4\) fois \(50\)~cm : le lit réel mesure \(200\)~cm, c'est-à-dire \(\textbf{2 m}\).
  2. \(1{,}20\)~m, c'est \(120\)~cm. \(120\)~cm, c'est \(2{,}4\) fois \(50\)~cm (\(120 \div 50 = 2{,}4\)), donc \(2{,}4\) fois \(1\)~cm sur le plan : l'armoire mesure \(\textbf{2{,}4~cm}\) sur le plan.

La même unité des deux côtés
Une échelle écrite en fraction, comme \(1/50\) ou \(1/100\,000\), compare deux longueurs dans la même unité : \(1\)~cm pour \(50\)~cm, \(1\)~cm pour \(100\,000\)~cm. Avant de l'utiliser, convertir la longueur réelle dans cette unité — \(1{,}20\)~m \(= 120\)~cm — ou convertir ce que \(1\)~cm représente dans une unité commode : au \(1/100\,000\), \(1\)~cm représente \(100\,000\)~cm \(= 1\,000\)~m \(= 1\)~km, et c'est ainsi que se lit une carte routière.
Signaler une erreur
Compétences à pratiquer
  • Lire une échelle
  • Passer du plan à la réalité
  • Passer de la réalité au plan
  • Dessiner un plan à l'échelle
  • Résoudre des problèmes d'échelle
IV Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
  • Comparer et utiliser des ratios équivalents
  • Analyser une situation
  • Calculer une valeur manquante
  • Quiz
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