Éducation Nationale Française · CM2
La proportionnalité
I
Reconnaître une situation de proportionnalité
Définition — Situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont en situation de proportionnalité quand, chaque fois que l'une est multipliée (ou divisée) par un nombre, l'autre est multipliée (ou divisée) par le même nombre. Par exemple, quand les pains sont tous au même prix : « si j'achète \(3\) fois plus de pains, je paie \(3\) fois plus » ; « si j'en achète \(2\) fois moins, je paie \(2\) fois moins ». Compétences à pratiquer
- Reconnaître une situation de proportionnalité
II
Trouver une valeur manquante
Méthode — Multiplier par le même nombre
Dans une situation de proportionnalité, quand une quantité est multipliée (ou divisée) par un nombre, sa valeur est multipliée (ou divisée) par le même nombre : \(2\) fois plus de kilogrammes coûtent \(2\) fois plus cher, et \(2\) fois moins de kilogrammes coûtent \(2\) fois moins cher.Exemple. Chaque kilogramme de pommes coûte le même prix : \(\textcolor{colordef}{3}\) kg coûtent \(\textcolor{colorprop}{10}\) euros. Combien coûtent \(\textcolor{colordef}{6}\) kg ? $$\begin{aligned}[t] \text{Prix de }\textcolor{colordef}{6}\text{ kg} &= \textcolor{colorprop}{10} \times 2 = \textcolor{colorprop}{20} && \text{(}6 = 3 \times 2\text{ : deux fois plus de kilogrammes, deux fois plus cher)} \end{aligned}$$ Les \(\textcolor{colordef}{6}\) kg coûtent \(\textcolor{colorprop}{20}\) euros, et le prix d'un kilogramme, qui ne tombe pas juste, n'a jamais servi.
Méthode — Le passage à l'unité
Dans une situation de proportionnalité, une méthode utile est de trouver d'abord la valeur pour un, puis de multiplier.Exemple. Si \(\textcolor{colordef}{4}\) stylos coûtent \(\textcolor{colorprop}{12}\) euros, combien coûtent \(\textcolor{colordef}{7}\) stylos ? $$\begin{aligned}[t] \text{Prix de }1\text{ stylo} &= \textcolor{colorprop}{12} \div \textcolor{colordef}{4} = \textcolor{olive}{3} && \text{(diviser par }\textcolor{colordef}{4}) \\ \text{Prix de }7\text{ stylos} &= \textcolor{olive}{3} \times \textcolor{colordef}{7} = \textcolor{colorprop}{21} && \text{(multiplier par }\textcolor{colordef}{7}) \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Trouver une valeur manquante
III
Ajouter les quantités
Au marché, les pains sont tous au même prix : \textcolor{colordef}{4} pains coûtent \textcolor{colorprop}{7} euros. Nolan en veut \textcolor{colordef}{12}. Il commence par chercher le prix d'un seul pain : \textcolor{colorprop}{7} divisé par \textcolor{colordef}{4} ne tombe pas juste : ce n'est pas un nombre entier d'euros, et le calcul est difficile à faire de tête. Lila regarde les nombres autrement : \textcolor{colordef}{12} pains, c'est \textcolor{colordef}{4} pains et encore \textcolor{colordef}{8} pains. Elle n'a pas du tout besoin du prix d'un pain.
Méthode — Ajouter deux quantités
Dans une situation de proportionnalité, quand deux quantités sont ajoutées, leurs valeurs s'ajoutent aussi.Exemple. Les pains sont tous au même prix : \textcolor{colordef}{4} pains coûtent \textcolor{colorprop}{7} euros. Combien coûtent \textcolor{colordef}{12} pains ? $$\begin{aligned}[t] \text{Prix de }\textcolor{colordef}{8}\text{ pains} &= \textcolor{colorprop}{7} \times 2 = \textcolor{colorprop}{14} && \text{(deux fois plus de pains, deux fois plus cher)} \\ \text{Prix de }\textcolor{colordef}{12}\text{ pains} &= \textcolor{colorprop}{7} + \textcolor{colorprop}{14} = \textcolor{colorprop}{21} && \text{(les }\textcolor{colordef}{4}\text{ pains et les }\textcolor{colordef}{8}\text{ pains, donc leurs deux prix)} \end{aligned}$$ Les \textcolor{colordef}{12} pains coûtent \textcolor{colorprop}{21} euros, et le prix d'un pain n'a jamais servi.
Méthode — Multiplier ou ajouter ?
Pour résoudre un problème de proportionnalité, on regarde les nombres et on prend le chemin le plus court. - Multiplier ou diviser une quantité quand celle que l'on cherche est un multiple, ou une part simple (la moitié, le quart), d'une quantité connue.
- Ajouter deux quantités quand celle que l'on cherche est la somme de deux quantités connues.
- Passer par l'unité quand rien de plus simple ne marche.
- Pour \textcolor{colordef}{8} personnes (\(8 = 4 \times 2\)) : \textcolor{colorprop}{300} \(\times 2 = \textcolor{colorprop}{600}\) g.
- Pour \textcolor{colordef}{2} personnes (\(2 = 4 \div 2\)) : \textcolor{colorprop}{300} \(\div 2 = \textcolor{colorprop}{150}\) g.
- Pour \textcolor{colordef}{6} personnes (\(6 = 4 + 2\)) : \textcolor{colorprop}{300} \(+ \textcolor{colorprop}{150} = \textcolor{colorprop}{450}\) g.
Exemple
\textcolor{colordef}{200} feuilles d'un certain papier forment une pile de \textcolor{colorprop}{24} mm d'épaisseur. Quelle est l'épaisseur d'une pile de \textcolor{colordef}{250} feuilles de ce papier ?
On part de \textcolor{colordef}{50} feuilles, quatre fois moins que \textcolor{colordef}{200} : $$\begin{aligned}[t] \text{Épaisseur de }\textcolor{colordef}{50}\text{ feuilles} &= \textcolor{colorprop}{24} \div 4 = \textcolor{colorprop}{6}\text{ mm} && \text{(quatre fois moins de feuilles)} \end{aligned}$$ Puis deux chemins mènent à \textcolor{colordef}{250} feuilles, et ils donnent la même réponse : $$\begin{aligned}[t] \text{Épaisseur de }\textcolor{colordef}{250}\text{ feuilles} &= \textcolor{colorprop}{6} \times 5 = \textcolor{colorprop}{30}\text{ mm} && \text{(}250 = 50 \times 5\text{)} \\
\text{Épaisseur de }\textcolor{colordef}{250}\text{ feuilles} &= \textcolor{colorprop}{24} + \textcolor{colorprop}{6} = \textcolor{colorprop}{30}\text{ mm} && \text{(}250 = 200 + 50\text{)} \end{aligned}$$ La pile fait \textcolor{colorprop}{30} mm d'épaisseur, et l'épaisseur d'une seule feuille n'a jamais servi.
Exemple
Les croissants sont tous au même prix : \textcolor{colordef}{6} croissants coûtent \textcolor{colorprop}{10} euros. Combien coûtent \textcolor{colordef}{9} croissants ?
Le prix d'un croissant n'est pas un nombre entier d'euros. Mais \(9 = 6 + 3\), et \(3 = 6 \div 2\) : $$\begin{aligned}[t] \text{Prix de }\textcolor{colordef}{3}\text{ croissants} &= \textcolor{colorprop}{10} \div 2 = \textcolor{colorprop}{5} && \text{(deux fois moins, deux fois moins cher)} \\
\text{Prix de }\textcolor{colordef}{9}\text{ croissants} &= \textcolor{colorprop}{10} + \textcolor{colorprop}{5} = \textcolor{colorprop}{15} && \text{(les }\textcolor{colordef}{6}\text{ et les }\textcolor{colordef}{3}\text{)} \end{aligned}$$ Les \textcolor{colordef}{9} croissants coûtent \textcolor{colorprop}{15} euros.
Exemple
Les pommes sont vendues au même prix le kilogramme : \textcolor{colordef}{10} kg coûtent \textcolor{colorprop}{24} euros. Combien coûtent \textcolor{colordef}{15} kg ?
\(15 = 10 + 5\), et \(5 = 10 \div 2\) : $$\begin{aligned}[t] \text{Prix de }\textcolor{colordef}{5}\text{ kg} &= \textcolor{colorprop}{24} \div 2 = \textcolor{colorprop}{12} && \text{(deux fois moins de kilogrammes)} \\
\text{Prix de }\textcolor{colordef}{15}\text{ kg} &= \textcolor{colorprop}{24} + \textcolor{colorprop}{12} = \textcolor{colorprop}{36} && \text{(les }\textcolor{colordef}{10}\text{ kg et les }\textcolor{colordef}{5}\text{ kg)} \end{aligned}$$ Les \textcolor{colordef}{15} kg coûtent \textcolor{colorprop}{36} euros.
Ajouter n'est pas une règle nouvelle : c'est la même proportionnalité, lue sur des quantités que l'on met bout à bout. Et cela demande souvent moins de travail que l'unité, car le prix d'un n'est pas toujours un nombre entier, et il est alors difficile à calculer de tête — c'est justement ce qui a ralenti Nolan.
Compétences à pratiquer
- Ajouter deux quantités
- Multiplier ou ajouter ?
- Vrai ou faux ?
IV
Les problèmes à plusieurs étapes
À la boulangerie, les croissants sont tous au même prix : \textcolor{colordef}{6} croissants coûtent \textcolor{colorprop}{12} euros. Zoé en prend \textcolor{colordef}{10} et tend un billet de \textcolor{colorprop}{25} euros. « Combien me rend-on ? » demande-t-elle. Nolan trouve tout de suite le prix des \textcolor{colordef}{10} croissants, mais ce n'est pas ce que Zoé a demandé : sa question réclame une étape de plus. Beaucoup de problèmes sont ainsi — la proportionnalité donne un nombre, et la question en veut un autre, construit à partir de lui.
Méthode — Résoudre en plusieurs étapes
Certains problèmes ne se répondent pas d'un coup : le nombre que demande la question n'est pas celui que la proportionnalité donne directement. - Lire la question finale et nommer ce qui manque pour y répondre.
- Première étape : utiliser la proportionnalité pour trouver cette valeur manquante.
- Seconde étape : s'en servir pour répondre — une autre proportionnalité, une addition, une soustraction ou une comparaison.
Exemple
\textcolor{colordef}{4} paquets de biscuits identiques coûtent \textcolor{colorprop}{6} euros. Marc achète \textcolor{colordef}{10} paquets et paie avec un billet de \textcolor{colorprop}{20} euros. Combien lui rend-on ?
$$\begin{aligned}[t] \text{Prix de }2\text{ paquets} &= 6 \div 2 = 3 && \text{(deux fois moins de paquets)} \\
\text{Étape 1 : prix de }\textcolor{colordef}{10}\text{ paquets} &= \textcolor{colorprop}{6} + \textcolor{colorprop}{6} + \textcolor{colorprop}{3} = \textcolor{colorprop}{15} && \text{(}10 = 4 + 4 + 2\text{)} \\
\text{Étape 2 : rendu} &= \textcolor{colorprop}{20} - \textcolor{colorprop}{15} = \textcolor{colorprop}{5} && \text{(ce qui reste du billet)} \end{aligned}$$ On rend \textcolor{colorprop}{5} euros à Marc.
Exemple
Une voiture consomme régulièrement : \textcolor{colorprop}{8} litres d'essence pour \textcolor{colordef}{120} km. Combien de litres consomme-t-elle pour \textcolor{colordef}{300} km, et combien cela coûte-t-il si le litre vaut \textcolor{olive}{2} euros ?
$$\begin{aligned}[t] \text{Litres pour }60\text{ km} &= 8 \div 2 = 4 && \text{(}60 = 120 \div 2\text{ : deux fois moins de km)} \\
\text{Étape 1 : litres pour }\textcolor{colordef}{300}\text{ km} &= \textcolor{colorprop}{8} \times 2 + \textcolor{colorprop}{4} = \textcolor{colorprop}{20} && \text{(}300 = 120 \times 2 + 60\text{)} \\
\text{Étape 2 : coût} &= \textcolor{colorprop}{20} \times \textcolor{olive}{2} = \textcolor{colorprop}{40} && \text{(chaque litre coûte }\textcolor{olive}{2}\text{)} \end{aligned}$$ La voiture consomme \textcolor{colorprop}{20} litres, ce qui coûte \textcolor{colorprop}{40} euros.
Compétences à pratiquer
- Résoudre en deux étapes
V
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes à plusieurs étapes
- Quiz
Aller à la section