Proportionnalité

Du tissu est vendu \(6~\Euro\) le mètre. Le prix est proportionnel à la longueur achetée, et cette situation peut s'écrire :

• Avec un tableau de proportionnalité : le nom et l'unité de chaque grandeur ouvrent la ligne, puis les nombres qui se correspondent sont écrits dans la même colonne. Descendre des longueurs vers les prix multiplie par le coefficient, ici \(6~\Euro\) par mètre ; remonter divise par lui.
• Avec une notation fléchée : une flèche va d'une grandeur à l'autre — ici elle signifie « coûte » — et porte l'opération qui transforme l'une en l'autre, la multiplication par le coefficient \(6~\Euro\) par mètre.
• Avec une notation fonctionnelle : on écrit \(p(4)\) — qui se lit « \(p\) de \(4\) » — pour le prix de \(4\) mètres, \(p(10)\) pour le prix de \(10\) mètres, et \(p(\ell)\) pour le prix de \(\ell\) mètres, quelle que soit la longueur \(\ell\). Attention : \(p(4)\) n'est pas un produit — les parenthèses ne signifient pas « \(p\) fois \(4\) », elles disent « le prix quand la longueur vaut \(4\) ».
• Avec un graphique : chaque couple de valeurs devient un point, la première grandeur sur l'axe horizontal et la seconde sur l'axe vertical — et, la situation étant proportionnelle, ces points sont alignés sur une droite passant par l'origine.

Le coefficient de proportionnalité relie deux grandeurs : on conserve les unités dans les calculs.
Exemple. \(\textcolor{colordef}{3}\) kg de poires coûtent \(\textcolor{colorprop}{12}\) euros : $$\begin{aligned}[t] \text{Coefficient} &= \textcolor{colorprop}{12} \div \textcolor{colordef}{3} = \textcolor{olive}{4}\text{ \Euro/kg} && \text{(euros par kilogramme)} \\ \text{Prix de }5\text{ kg} &= \textcolor{olive}{4} \times \textcolor{colordef}{5} = \textcolor{colorprop}{20}\text{ \Euro} && \text{(multiplier par la masse)} \end{aligned}$$

Pour exprimer une grandeur quotient dans d'autres unités, convertir séparément le numérateur et le dénominateur, puis diviser : $$72 \text{ km/h} = \frac{72 \text{ km}}{1 \text{ h}} = \frac{72\,000 \text{ m}}{3\,600 \text{ s}} = 20 \text{ m/s}.$$ Égalités utiles : \(1\) h \(= 3\,600\) s, \(1\) min \(= 60\) s, \(1\) km \(= 1\,000\) m, \(1\) m\(^3 = 1\,000\) L. En particulier, \(1\) m/s \(= \dfrac{3\,600 \text{ m}}{1 \text{ h}} = 3{,}6\) km/h : pour passer des m/s aux km/h, multiplier par \(3{,}6\).

Pour comparer deux nombres ou deux grandeurs de même nature, on calcule leur quotient (leur rapport).
Exemple. Une corde mesure \(\textcolor{colorprop}{18}\) m et une autre \(\textcolor{colordef}{12}\) m : $$\begin{aligned}[t] \text{Rapport} &= \textcolor{colorprop}{18} \div \textcolor{colordef}{12} = \textcolor{olive}{1{,}5} && \text{(quotient des longueurs)} \end{aligned}$$ La première corde est \(\textcolor{olive}{1{,}5}\) fois plus longue que la seconde.

Pour résoudre un problème de proportionnalité, on regarde les nombres et on choisit le chemin le plus rapide.

• Multiplier une colonne quand la valeur cherchée est un multiple d'une colonne connue.
• Ajouter deux colonnes quand la valeur cherchée est la somme de deux colonnes connues.
• Revenir à l'unité (le coefficient), ou utiliser les produits en croix, quand rien de plus simple ne fonctionne.

Exemple. Une recette pour \(\textcolor{colordef}{4}\) personnes utilise \(\textcolor{colorprop}{300}\) g de farine.

• Pour \(\textcolor{colordef}{8}\) personnes (\(8 = 4 \times 2\)) : \(\textcolor{colorprop}{300} \times 2 = \textcolor{colorprop}{600}\) g.
• Pour \(\textcolor{colordef}{2}\) personnes (\(2 = 4 \div 2\)) : \(\textcolor{colorprop}{300} \div 2 = \textcolor{colorprop}{150}\) g.
• Pour \(\textcolor{colordef}{6}\) personnes (\(6 = 4 + 2\)) : \(\textcolor{colorprop}{300} + \textcolor{colorprop}{150} = \textcolor{colorprop}{450}\) g.

Pour des nombres \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) avec \(b \neq 0\) et \(d \neq 0\) : $$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \quad \text{exactement lorsque} \quad \textcolor{colordef}{a} \times \textcolor{colorprop}{d} = \textcolor{colorprop}{b} \times \textcolor{colordef}{c}.$$ Les produits \(a \times d\) et \(b \times c\) s'appellent les produits en croix.

On écrit l'égalité de rapports, on applique les produits en croix, puis on divise.
Exemple. \(\textcolor{colordef}{4}\) cahiers coûtent \(\textcolor{colorprop}{7}\) euros. Prix \(\textcolor{colorprop}{x}\) de \(\textcolor{colordef}{10}\) cahiers : $$\begin{aligned}[t] \dfrac{\textcolor{colorprop}{7}}{\textcolor{colordef}{4}} &= \dfrac{\textcolor{colorprop}{x}}{\textcolor{colordef}{10}} \\ \textcolor{colordef}{4} \times \textcolor{colorprop}{x} &= \textcolor{colorprop}{7} \times \textcolor{colordef}{10} && \text{(produits en croix)} \\ \textcolor{colorprop}{x} &= 70 \div \textcolor{colordef}{4} = \textcolor{colorprop}{17{,}5} && \text{(diviser par }\textcolor{colordef}{4}) \end{aligned}$$ Les produits en croix ne doivent pas devenir automatiques : quand un coefficient ou un multiple est visible, les procédures plus simples restent le meilleur chemin.

Pour partager une somme proportionnellement à des nombres donnés : on compte les parts, on cherche la valeur d'une part, puis on multiplie.
Exemple. Partager \(\textcolor{colorprop}{100}\) euros entre deux personnes proportionnellement à leurs âges, \(\textcolor{colordef}{20}\) et \(\textcolor{colordef}{30}\) ans : $$\begin{aligned}[t] \text{Nombre de parts} &= \textcolor{colordef}{20} + \textcolor{colordef}{30} = \textcolor{colordef}{50} && \text{(additionner les nombres)} \\ \text{Valeur d'une part} &= \textcolor{colorprop}{100} \div \textcolor{colordef}{50} = \textcolor{olive}{2} && \text{(diviser la somme)} \\ \text{Parts} &= \textcolor{colordef}{20} \times \textcolor{olive}{2} = \textcolor{colorprop}{40} \text{ et } \textcolor{colordef}{30} \times \textcolor{olive}{2} = \textcolor{colorprop}{60} && \text{(multiplier)} \end{aligned}$$ Les parts \(\textcolor{colorprop}{40}\) et \(\textcolor{colorprop}{60}\) sont dans le ratio \(20:30 = 2:3\).