Éducation Nationale Française · Cinquième
Nombres rationnels
I
Les fractions
I.1
Qu'est-ce qu'une fraction ?
On considère le modèle ci-dessous, qui représente une unité entière et une moitié d'unité : 
. Pour exprimer cette longueur en une seule fraction, on suit deux étapes :
. Pour exprimer cette longueur en une seule fraction, on suit deux étapes : - Identifier le dénominateur : Les unités sont divisées en deux parts égales, donc le dénominateur est 2.
- Compter les parts : Au total, il y a 3 parts coloriées de cette taille. Ce nombre devient le numérateur.
Définition — Fraction
Une fraction a deux nombres séparés par une barre de fraction : le numérateur (en haut) et le dénominateur (en bas). 
Compétences à pratiquer
- Déterminer des fractions
- Écrire les fractions à partir des mots
I.2
La fraction comme quotient
On considère une situation où deux unités identiques (des gâteaux) doivent être partagées équitablement entre trois personnes. 
Cette situation correspond à la division \(2 \div 3\). Comment le résultat de cette division peut-il être exprimé sous forme de fraction ?
Pour résoudre ce problème, on partage chaque unité en trois parts égales (des tiers). Chacune des trois personnes reçoit une part de chacune des deux unités. 
La part totale de chaque individu se compose de deux morceaux, où chaque morceau représente \(\dfrac{1}{3}\) d'une unité. Chaque personne reçoit donc un total de \(\dfrac{2}{3}\) d'une unité. Cela démontre que la division \(2 \div 3\) est égale à la fraction \(\dfrac{2}{3}\).
Proposition — Fraction comme quotient
Pour tous les entiers naturels \(a\) et \(b\) (où \(b \neq 0\)), la division de \(a\) par \(b\) est représentée par la fraction \(\dfrac{a}{b}\).$$a \div b = \frac{a}{b}$$ Dans ce contexte : - Le numérateur (\(a\)) correspond au dividende.
- Le dénominateur (\(b\)) correspond au diviseur.
Partager \(a\) unités entre \(b\) personnes. Couper chaque unité en \(b\) parts égales : chaque personne reçoit une part de chaque unité, soit \(a\) parts de taille \(\frac{1}{b}\), donc $$\begin{aligned}[t] a \div b &= a \times \tfrac{1}{b} && \text{(\(a\) parts de taille \(\tfrac{1}{b}\))}\\
&= \tfrac{a}{b}. && \text{(une fraction compte ses parts)}\end{aligned}$$ Réciproquement, \(b\) personnes ayant chacune \(\frac{a}{b}\) ont ensemble \(b \times a\) parts de taille \(\frac{1}{b}\) ; \(b\) de ces parts font une unité : elles ont donc \(a\) unités, \(\frac{a}{b} \times b = a\).
Exemple
La fraction \(\dfrac{2}{3}\) signifie « 2 divisé par 3 ». 
Compétences à pratiquer
- Déterminer le nombre quotient
- Convertir des divisions en fractions
- Convertir des fractions en divisions
- Convertir des fractions en nombres entiers
- Déterminer la fraction dans des problèmes
I.3
Repérer sur une droite graduée
Les fractions ne représentent pas seulement des parties d'une forme ; elles peuvent aussi représenter des points sur une demi-droite graduée. Le segment de 0 à 1 est une unité.
Si on divise l'unité en 2 parties égales, le point au milieu représente la fraction \(\dfrac{1}{2}\). 
Si on divise l'unité en 2 parties égales, le point au milieu représente la fraction \(\dfrac{1}{2}\).
Méthode — Représenter les fractions sur la demi-droite graduée
Pour représenter la fraction \(\dfrac{\textcolor{colordef}{2}}{\textcolor{colorprop}{3}}\) sur la demi-droite graduée : - Dessiner une droite et marquer les points \(0\) et \(1\).
- Diviser le segment de \(0\) à \(1\) en \(\textcolor{colorprop}{3}\) parties égales (le dénominateur).
- Compter \(\textcolor{colordef}{2}\) parts à partir de \(0\) (le numérateur) et marquer le point en \(\dfrac{\textcolor{colordef}{2}}{\textcolor{colorprop}{3}}\) .
Compétences à pratiquer
- Déterminer les fractions à l'aide de barres
- Lire des fractions sur une droite graduée
- Lire des fractions supérieures à 1 sur une droite graduée
I.4
Quotients égaux
Un gâteau est coupé en 3 parts égales. Une part, qui représente \(\dfrac{1}{3}\) du gâteau, est mise de côté. 
Puis chacune des trois parts est coupée en deux. Le gâteau est maintenant divisé en 6 parts égales. La même quantité de gâteau qu’avant correspond maintenant à 2 de ces parts. 
Même si le nombre de morceaux a changé, la quantité de gâteau coloriée a-t-elle changé ?
Non—la quantité de gâteau n’a pas changé. Les modèles montrent que la partie coloriée est la même dans les deux cas. \(\quad=\quad\) Donc, les fractions \(\dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{2}{6}\) représentent la même valeur.
\(\quad=\quad\)Définition — Fractions égales
Deux fractions sont égales (on dit aussi équivalentes) si elles représentent la même quantité : ce sont deux écritures du même nombre. On peut obtenir une fraction égale en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même nombre entier non nul, ou en les divisant par un diviseur commun. 
Compétences à pratiquer
- Déterminer le numérateur manquant (en simplifiant)
- Déterminer le numérateur manquant (en multipliant)
- Déterminer le dénominateur manquant (en simplifiant)
- Déterminer le dénominateur manquant (en multipliant)
I.5
Simplifier une fraction
On considère la fraction \(\dfrac{4}{6}\) : 
. Bien qu'il s'agisse d'une représentation valide d'une quantité, ce n'est pas la plus efficace. Parmi toutes les fractions équivalentes possibles, il en existe une qui utilise les plus petits entiers possibles pour le numérateur et le dénominateur (aucun nombre entier plus grand que \(1\) ne divise les deux).
Le processus pour trouver cette forme la plus simple est appelé la simplification ou la réduction d'une fraction.
. Bien qu'il s'agisse d'une représentation valide d'une quantité, ce n'est pas la plus efficace. Parmi toutes les fractions équivalentes possibles, il en existe une qui utilise les plus petits entiers possibles pour le numérateur et le dénominateur (aucun nombre entier plus grand que \(1\) ne divise les deux).Le processus pour trouver cette forme la plus simple est appelé la simplification ou la réduction d'une fraction.
Méthode — Simplifier une fraction
Simplifier une fraction consiste à trouver une fraction équivalente qui utilise les plus petits nombres entiers possibles pour son numérateur et son dénominateur.La procédure consiste à diviser à la fois le numérateur et le dénominateur par un même nombre (un facteur commun). Il peut être nécessaire de répéter ce processus jusqu'à ce qu'aucun nombre entier plus grand que \(1\) ne divise à la fois le numérateur et le dénominateur.
Compétences à pratiquer
- Simplifier les fractions
- Simplifier les fractions : niveau 2
I.6
Prendre une fraction d'un nombre
Combien vaut \(\dfrac{2}{3}\) de \(18\) ? Partager \(18\) en \(3\) parts égales : une part vaut \(18\div 3 = 6\). Deux parts font \(2\times 6 = 12\). Donc \(\dfrac{2}{3}\) de \(18\) vaut \(12\).
Prendre \(\dfrac{a}{b}\) d'un nombre fonctionne toujours ainsi : diviser par le dénominateur, multiplier par le numérateur — c'est exactement la multiplication \(\dfrac{a}{b}\times N\).
Prendre \(\dfrac{a}{b}\) d'un nombre fonctionne toujours ainsi : diviser par le dénominateur, multiplier par le numérateur — c'est exactement la multiplication \(\dfrac{a}{b}\times N\).
Proposition — Multiplier une fraction par un nombre
Jusqu'ici on prenait une fraction d'une quantité ; la même règle s'applique à n'importe quel nombre entier \(N\). Pour un nombre entier \(N\) et une fraction \(\dfrac{a}{b}\) (avec \(b \neq 0\)) : $$\frac{a}{b} \times N = \frac{a \times N}{b}.$$ Seul le numérateur est multiplié : le dénominateur dit en combien de parts égales l'unité est partagée, et multiplier ne change pas ce partage. Deux lectures, un seul résultat : - diviser d'abord : \(N \div b\) donne une part, puis \(\times\, a\) en prend \(a\) ;
- multiplier d'abord : \(a \times N\), puis \(\div\, b\).
Exemple
Calculer \(\dfrac{3}{4} \times 20\) avec chacune des deux lectures. - Diviser d'abord. Un quart de \(20\) vaut \(20 \div 4 = 5\) ; trois quarts valent \(5 \times 3 = \textcolor{colordef}{15}\).
- Multiplier d'abord. \(\dfrac{3}{4} \times 20 = \dfrac{3 \times 20}{4} = \dfrac{60}{4} = \textcolor{colordef}{15}\).
Exemple
Calculer \(\dfrac{2}{5} \times 7\).
Ici \(7\) n'est pas un multiple de \(5\) : diviser d'abord ne donnerait pas un nombre entier. On multiplie d'abord : $$\frac{2}{5} \times 7 = \frac{2 \times 7}{5} = \frac{14}{5}.$$ Le résultat est une fraction, et c'est tout à fait normal — une fraction d'une quantité n'est pas forcément un nombre entier.
Méthode — Prendre une fraction d'une quantité
Pour déterminer une fraction d’une quantité, multiplier cette quantité par la fraction : $$\textcolor{colorprop}{\frac{a}{b}\,\text{de }N=\frac{a}{b}\times N}$$ Exemple
Dans une classe de 30 élèves, \(\dfrac{2}{3}\) de la classe sont des filles. Combien y a-t-il de filles ?
La fraction \(\dfrac{2}{3}\) indique la part de la classe qui est composée de filles. 
- Méthode 1 (retour à l’unité). On trouve une part : \(30\div 3=10\). Puis deux parts : \(10\times 2=\textcolor{colorprop}{20}\).
- Méthode 2 (formule).$$\begin{aligned}\textcolor{colorprop}{\text{Nombre de filles}}&=\frac{2}{3}\text{ de }\textcolor{colordef}{30}\\ &=\frac{2}{3}\times \textcolor{colordef}{30}\\ &=\frac{2\times 30}{3}\\ &=(2\times 30)\div 3\\ &=\textcolor{colorprop}{20}.\end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Identifier les fractions dans des contextes réels
- Calculer une fraction d'une quantité
- Appliquer les fractions à des problèmes concrets
I.7
L'écriture décimale d'une fraction
Les fractions et les nombres décimaux sont deux écritures différentes des nombres, et beaucoup de nombres peuvent s'écrire des deux façons. Toutes deux peuvent décrire des valeurs qui se situent entre des nombres entiers. Savoir passer d'une écriture à l'autre est une compétence mathématique fondamentale. Par exemple, le nombre « un demi » peut s'écrire soit comme une fraction, soit comme un nombre décimal :$$ \frac{1}{2} = 0{,}5 $$
Méthode — Conversion d'une fraction en nombre décimal
Il existe deux méthodes principales pour convertir une fraction en nombre décimal, quand c'est possible. - Méthode 1 : Division directe
Puisqu'une fraction \(\frac{a}{b}\) est égale au quotient \(a \div b\), effectuer la division du numérateur par le dénominateur. Quand la division s'arrête, on obtient l'écriture décimale de la fraction ; sinon, la fraction n'est égale à aucun nombre décimal. - Méthode 2 : Dénominateur en puissance de 10 (fractions égales)
Trouver une fraction égale dont le dénominateur est une puissance de 10 (par ex., 10, 100, 1000). Cette nouvelle fraction s'écrit alors sous forme décimale : \(\dfrac{75}{100} = 0{,}75\). Cette méthode ne s'applique que si le dénominateur peut devenir une puissance de \(10\) (par exemple \(2\), \(4\), \(5\), \(25\)). Pour un dénominateur comme \(3\), aucune puissance de \(10\) ne convient : on utilise alors la méthode 1 : \(\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0{,}333\ldots\) (l'écriture décimale ne se termine jamais).
Exemple
Convertir \(\dfrac{3}{4}\) en nombre décimal. - Application de la méthode 1 (Division directe) : $$ \frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75 $$
- Application de la méthode 2 (Puissance de 10) : On cherche un nombre par lequel multiplier le dénominateur (4) pour obtenir une puissance de 10. On sait que \(4 \times 25 = 100\). $$ \frac{3}{4} = \frac{3 \textcolor{olive}{\times 25}}{4 \textcolor{olive}{\times 25}} = \frac{75}{100} $$ La fraction « soixante-quinze centièmes » s'écrit sous la forme décimale \(0{,}75\).
Méthode — Conversion d'un nombre décimal en fraction
La procédure pour convertir une écriture décimale finie en fraction est la suivante : - Écrire le nombre décimal comme numérateur d'une fraction sans la virgule.
- Le dénominateur est 1 suivi d'autant de zéros qu'il y a de décimales dans le nombre original.
- Simplifier la fraction à sa plus simple expression, si nécessaire.
Exemple
Convertir \(1{,}3\) en fraction. - Le nombre \(1{,}3\) a une décimale.
- Écrire le nombre sans la virgule comme numérateur : 13.
- Le dénominateur sera 1 suivi d'un zéro : 10.
Compétences à pratiquer
- Convertir des fractions en nombres décimaux
- Convertir des nombres décimaux en fractions
I.8
Les fractions supérieures à 1
Les fractions peuvent représenter des valeurs supérieures à un. On considère la fraction \(\dfrac{5}{2}\), qui représente 5 demis. 
Bien que cette fraction supérieure à \(1\) soit une écriture mathématique valide, il est souvent plus parlant d'écrire de tels nombres comme la somme d'un nombre entier et d'une fraction inférieure à \(1\).
Définition — Fractions propres et impropres
Les fractions sont classées en fonction de la relation entre le numérateur et le dénominateur. - Une fraction propre est une fraction où le numérateur est inférieur au dénominateur. Sa valeur est toujours inférieure à 1. Exemple : \(\dfrac{2}{3}\).
- Une fraction impropre est une fraction où le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur. Sa valeur est toujours supérieure ou égale à 1. Exemple : \(\dfrac{5}{3}\).
Définition — Nombre mixte
Un nombre mixte est une autre manière de représenter une fraction impropre. Il se compose d'une partie entière (le nombre d'unités complètes) et d'une partie fractionnaire propre.La fraction impropre \(\dfrac{5}{2}\) peut être visualisée comme deux unités entières et un demi.
Compétences à pratiquer
- Écrire les nombres mixtes à partir de barres
- Convertir des nombres mixtes en fractions
- Convertir des fractions en nombres mixtes
- Résoudre des problèmes de la vie quotidienne
II
Comparer, additionner et soustraire
II.1
Comparer et ranger
Laquelle est la plus grande : \(\dfrac{3}{4}\) ou \(\dfrac{5}{8}\) ? 
\(\;\) 
Visuellement, il est difficile de les comparer car l'une est divisée en quarts et l'autre en huitièmes. Un moyen sûr de les comparer précisément consiste à les écrire d'abord avec un dénominateur commun.
\(\;\)
Pour comparer \(\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{5}{8}\), on les écrit avec un dénominateur commun. \(8\) est un multiple de \(4\) : chaque quart est coupé en \(2\) huitièmes, donc on multiplie par \(2\) le numérateur et le dénominateur de \(\dfrac{3}{4}\). $$\begin{aligned}[t] \dfrac{3}{4} &= \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} && \text{(chaque quart coupé en 2 huitièmes)}\\
&= \dfrac{6}{8} \end{aligned}$$ \(\;=\;\) 
\(\;>\;\) Les deux fractions comptent alors des huitièmes. Avec le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur : \(6 > 5\), donc \(\dfrac{6}{8} > \dfrac{5}{8}\). Ainsi \(\dfrac{3}{4} > \dfrac{5}{8}\) : c'est \(\dfrac{3}{4}\) la plus grande.
\(\;=\;\) \(\;>\;\) Proposition — Ordonner les fractions avec le même dénominateur
Pour deux fractions ayant le même dénominateur, celle dont le numérateur est plus grand est la plus grande. Exemple
Comparer \(\dfrac{6}{8}\) et \(\dfrac{5}{8}\). 
\(= \dfrac{6}{8} > \dfrac{5}{8} = \) 
Méthode — Comparer des fractions avec des dénominateurs différents
La procédure standard pour comparer deux fractions avec des dénominateurs différents est la suivante : - Trouver un dénominateur commun : Identifier un multiple commun aux deux dénominateurs. Une méthode simple consiste à multiplier les dénominateurs entre eux.
- Créer des fractions équivalentes : Convertir chaque fraction en une fraction équivalente avec le dénominateur commun choisi.
- Comparer les numérateurs : Une fois que les dénominateurs sont identiques, la fraction ayant le plus grand numérateur est la plus grande.
Exemple
Comparer \(\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{5}{8}\).
On applique la procédure en trois étapes.
- 1. Trouver un dénominateur commun : Les dénominateurs sont 4 et 8. Un multiple commun est 8.
- 2. Créer des fractions équivalentes :
- La fraction \(\dfrac{5}{8}\) a déjà le dénominateur commun.
- Convertir \(\dfrac{3}{4}\) en une fraction équivalente avec un dénominateur de 8. Pour passer du dénominateur 4 à 8, on multiplie par 2. Il faut donc aussi multiplier le numérateur par 2.
- 3. Comparer les numérateurs : On compare maintenant les fractions équivalentes. \(= \dfrac{6}{8} > \dfrac{5}{8} = \)
- Conclusion : On en déduit que \(\dfrac{3}{4} > \dfrac{5}{8}\).
Proposition — Comparer une fraction à 1
On compare une fraction à \(1\) en comparant son numérateur à son dénominateur : - si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est plus petite que \(1\) : \(\dfrac{13}{21} < 1\) ;
- s'ils sont égaux, la fraction est égale à \(1\) : \(\dfrac{21}{21} = 1\) ;
- si le numérateur est plus grand, la fraction est plus grande que \(1\) : \(\dfrac{16}{12} > 1\).
Proposition — Même numérateur
Deux fractions de même numérateur non nul sont rangées dans l'ordre inverse de leurs dénominateurs : plus le dénominateur est grand, plus les parts sont petites, donc plus la fraction est petite. $$\dfrac{3}{5} > \dfrac{3}{8} \qquad \text{car un cinquième est plus grand qu'un huitième, et il y en a trois de chaque.}$$ Exemple
Comparer, sans aucun calcul : \(\dfrac{7}{8}\) et \(\dfrac{10}{9}\) ; \(\dfrac{4}{7}\) et \(\dfrac{4}{11}\) ; \(\dfrac{5}{12}\) et \(\dfrac{6}{11}\). - \(\dfrac{7}{8} < 1\) (numérateur plus petit que le dénominateur) et \(\dfrac{10}{9} > 1\) : donc \(\dfrac{7}{8} < \dfrac{10}{9}\) — le nombre \(1\) se place entre les deux.
- Même numérateur \(4\) : les septièmes sont plus grands que les onzièmes, donc \(\dfrac{4}{7} > \dfrac{4}{11}\).
- On compare les deux à \(\dfrac{1}{2}\) : \(\dfrac{5}{12} < \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\), et \(\dfrac{6}{11} > \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\) (même numérateur, dénominateur plus petit). Donc \(\dfrac{5}{12} < \dfrac{1}{2} < \dfrac{6}{11}\).
Méthode — Ranger plusieurs fractions
- Écrire toutes les fractions avec le même dénominateur (un multiple commun des dénominateurs).
- Ranger les numérateurs : à dénominateurs égaux, plus le numérateur est grand, plus la fraction est grande.
- Écrire la chaîne avec les fractions de départ, dans l'ordre croissant ou décroissant.
Exemple
Ranger dans l'ordre croissant : \(\dfrac{2}{3}\), \(\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{7}{12}\).
Un dénominateur commun de \(3\), \(4\) et \(12\) est \(12\) : $$\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}, \qquad \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}, \qquad \dfrac{7}{12}.$$ On range les numérateurs : \(7 < 8 < 9\), donc $$\dfrac{7}{12} < \dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4}.$$
Compétences à pratiquer
- Comparer avec le même dénominateur à l'aide de barres
- Comparer avec le même dénominateur
- Comparer des fractions de dénominateurs différents
- Comparer des fractions dans des problèmes concrets
- Comparer des fractions de dénominateurs différents : niveau 2
- Ranger plusieurs fractions
II.2
Additionner et soustraire avec le même dénominateur
Le gâteau d'Hugo est coupé en \(4\) parts égales (des quarts). Hugo mange \(\dfrac{2}{4}\) du gâteau \(=\) 
, puis encore \(\dfrac{1}{4}\) \(=\) 
.
Quelle fraction du gâteau a-t-il mangée ?
, puis encore \(\dfrac{1}{4}\) \(=\) .Quelle fraction du gâteau a-t-il mangée ?
Les parts sont toutes de la même taille (des quarts), alors on compte simplement ensemble les parts mangées : \(2+1=3\) quarts. 
Hugo a mangé \(\dfrac{3}{4}\) du gâteau.
Définition — Addition de fractions avec des dénominateurs communs
Pour additionner des fractions de même dénominateur, on additionne les numérateurs et on conserve le dénominateur : Définition — Soustraction de fractions avec des dénominateurs communs
Pour soustraire des fractions de même dénominateur, on soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur : 
Compétences à pratiquer
- Additionner des fractions de même dénominateur
- Soustraire des fractions de même dénominateur
II.3
Additionner et soustraire avec des dénominateurs différents
Pour additionner ou soustraire des fractions en combinant leurs numérateurs, il faut d'abord qu'elles représentent des parts de la même taille, c'est-à-dire qu'elles soient écrites avec un dénominateur commun. Considérons le problème de l'addition de \(\dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{1}{4}\). 
\(+\) 
Comme les fractions ont des dénominateurs différents (2 et 4), les parts sont de tailles différentes. Une addition directe des numérateurs n'est pas possible. Pour résoudre ce problème, il faut d'abord exprimer les fractions avec un dénominateur commun.
\(+\) Méthode — Procédure pour l'addition ou la soustraction de fractions
Pour additionner ou soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, suivre cette procédure en trois étapes : - Trouver un dénominateur commun : Identifier un multiple commun des dénominateurs.
- Créer des fractions équivalentes : Convertir chaque fraction en une fraction équivalente avec le dénominateur commun.
- Additionner ou soustraire les numérateurs : Maintenant que les dénominateurs sont identiques, effectuer l'opération sur les numérateurs et conserver le dénominateur commun. Pour une soustraction, la première fraction ne doit pas être plus petite que la seconde.
Exemple
Calculer \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}\). - Trouver un dénominateur commun : Pour additionner des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur.
- Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, \(\dots\)
- Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, \(\dots\)
- Le plus petit dénominateur commun est 12.
- $$\begin{aligned}[t]\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6}&= \frac{3 \times \textcolor{olive}{3}}{4 \times \textcolor{olive}{3}}+\frac{5 \times \textcolor{olive}{2}}{6 \times \textcolor{olive}{2}}&&\\ &=\dfrac{9}{12}+\dfrac{10}{12}&&\quad\text{(dénominateur commun}= 12)\\ &=\dfrac{9+10}{12}&&\quad\text{(additionner les numérateurs)}\\ &=\dfrac{19}{12}&&\\ \end{aligned}$$
- Représentation visuelle :
\(+\)
\(=\) 
\(+\)
\(=\) 
Exemple
Calculer \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{4}\).
Aucun dénominateur n'est un multiple de l'autre : un multiple commun de \(6\) et \(4\) est \(12\). $$\begin{aligned}[t] \dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{4} &= \dfrac{5\times 2}{6\times 2} - \dfrac{3\times 3}{4\times 3} && \text{(dénominateur commun 12)}\\
&= \dfrac{10}{12} - \dfrac{9}{12}\\
&= \dfrac{1}{12}. \end{aligned}$$
Exemple
Lucie parcourt \(\dfrac{1}{4}\) du chemin de l'école, puis encore \(\dfrac{2}{5}\) du chemin. Quelle fraction du chemin a-t-elle parcourue ? Quelle fraction reste-t-il ?
La distance parcourue est la somme des deux fractions ; un multiple commun de \(4\) et \(5\) est \(20\) : $$\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{13}{20}.$$ Le chemin entier est \(\dfrac{20}{20}\), donc la partie restante est $$\dfrac{20}{20} - \dfrac{13}{20} = \dfrac{7}{20}.$$ Contrôle : \(\dfrac{13}{20} + \dfrac{7}{20} = \dfrac{20}{20} = 1\).
Compétences à pratiquer
- Additionner des fractions
- Soustraire des fractions
- Additionner des fractions avec des dénominateurs non multiples
- Soustraire des fractions avec des dénominateurs non multiples
- Résoudre des problèmes de la vie quotidienne
III
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes
- Quiz
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