Éducation Nationale Française · Sixième
Les pourcentages
I
Qu'est-ce qu'un pourcentage ?
Définition — Pourcentage
Un pourcentage est une façon d'écrire une fraction de dénominateur \(100\) : \(42\pourcent\), c'est \(\dfrac{42}{100}\), soit \(42\) sur \(100\).Le symbole \(\pourcent\) signifie « pour cent », ce qui veut dire « sur cent ».
Exemple
Cette grille a 100 carrés. Comme \(\textcolor{colorprop}{23}\) des \(\textcolor{colordef}{100}\) carrés sont coloriés, on dit que \(\textcolor{colorprop}{23}\textcolor{colordef}{\pourcent}\) de la grille est coloriée. 
Exemple
Une céréale de petit-déjeuner contient \(42\pourcent\) de glucides. Quelle masse de glucides y a-t-il dans \(100\) g de céréale ? Dans \(200\) g ? Dans \(50\) g ?
« \(42\pourcent\) » signifie « \(42\) pour \(100\) » : dans \(100\) g de céréale, il y a \(42\) g de glucides. La masse de glucides est proportionnelle à la masse de céréale :
| \hline Céréale (g) | \(100\) | \(200\) | \(50\) |
| Glucides (g) | \(42\) | \(84\) | \(21\) |
Compétences à pratiquer
- Lire un pourcentage sur une grille de 100
- Lire un pourcentage comme « pour 100 »
II
Convertir entre les formes
Les pourcentages, les fractions et les nombres décimaux sont trois manières différentes de parler de la même valeur. Par exemple, \(\textcolor{colorprop}{50}\textcolor{colordef}{\pourcent}\), la fraction \(\dfrac{\textcolor{colorprop}{1}}{\textcolor{colordef}{2}}\), et le nombre décimal \(0{,}5\) signifient tous « la moitié ». Savoir convertir entre ces formes est une compétence très utile.
Remarque : Une idée très importante est que \(100\pourcent = \dfrac{100}{100} = 1\).
Puisque \(100\pourcent\) est juste une autre façon d'écrire le nombre \(1\), on peut multiplier n'importe quel nombre par \(100\pourcent\) sans changer sa valeur. C'est une astuce très utile pour convertir des nombres décimaux et des fractions en pourcentages.
Remarque : Une idée très importante est que \(100\pourcent = \dfrac{100}{100} = 1\).
Puisque \(100\pourcent\) est juste une autre façon d'écrire le nombre \(1\), on peut multiplier n'importe quel nombre par \(100\pourcent\) sans changer sa valeur. C'est une astuce très utile pour convertir des nombres décimaux et des fractions en pourcentages.
Méthode — Convertir un pourcentage en fraction
Pour convertir un pourcentage en fraction, l'écrire comme une fraction sur 100, puis simplifier si possible. 
Méthode — Convertir une fraction en pourcentage
Pour convertir une fraction comme \(\dfrac{\textcolor{colorprop}{3}}{\textcolor{colordef}{4}}\) en pourcentage, on dispose de deux méthodes courantes : - Méthode 1 : Fractions égales. Trouver une fraction égale de dénominateur \(100\) (quand c'est possible, notamment quand le dénominateur divise \(100\) ; ce n'est pas le cas pour \(\dfrac{1}{3}\)).
- Méthode 2 : Multiplier par \(100\pourcent\). Cela fonctionne car multiplier par \(100\pourcent\) revient à multiplier par 1. $$ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{colorprop}{3}}{\textcolor{colordef}{4}} &= 0{,}75 \quad (\text{car } 3 \div 4 = 0{,}75) \\ &= 0{,}75 \times \textcolor{colordef}{100\pourcent} \\ &= \textcolor{colorprop}{75}\textcolor{colordef}{\pourcent} \end{aligned} $$
Méthode — Convertir un pourcentage en nombre décimal
Pour convertir un pourcentage en nombre décimal, diviser par 100. Une façon rapide de le faire est de déplacer la virgule de deux places vers la gauche. $$ \textcolor{colorprop}{45}\textcolor{colordef}{\pourcent} = \textcolor{colorprop}{45} \div \textcolor{colordef}{100} = 0{,}45 $$ Méthode — Convertir un nombre décimal en pourcentage
Pour convertir un nombre décimal en pourcentage, multiplier par 100. Une façon rapide de le faire est de déplacer la virgule de deux places vers la droite et d'ajouter le symbole pour cent (\(\pourcent\)). $$ 0{,}68 = 0{,}68 \times 100\pourcent = \textcolor{colorprop}{68}\textcolor{colordef}{\pourcent} $$ Compétences à pratiquer
- Convertir des fractions en pourcentages
- Convertir des fractions en pourcentages (modèle en barres)
- Convertir des pourcentages en fractions
- Convertir des pourcentages en décimaux
- Convertir des décimaux en pourcentages
III
Exprimer une proportion en pourcentage
Les pourcentages sont l'un des meilleurs moyens de comparer une partie à un tout.
Par exemple, s'il y a \(\textcolor{colorprop}{12}\) filles dans une classe de \(\textcolor{colordef}{20}\) élèves, quel est le pourcentage de filles ? Pour résoudre ce problème, on cherche une fraction égale de dénominateur \(100\) : $$\frac{\text{partie}}{\text{tout}} = \frac{\textcolor{colorprop}{12}}{\textcolor{colordef}{20}} = \frac{\textcolor{colorprop}{12} \times 5}{\textcolor{colordef}{20} \times 5} = \frac{\textcolor{colorprop}{60}}{\textcolor{colordef}{100}} \qquad \text{(fractions égales : numérateur et dénominateur multipliés par } 5\text{)}$$ Le pourcentage de filles dans la classe est de \(\textcolor{colorprop}{60}\textcolor{colordef}{\pourcent}\). Cela signifie que sur \(\textcolor{colordef}{100}\) élèves, \(\textcolor{colorprop}{60}\) seraient des filles.
Par exemple, s'il y a \(\textcolor{colorprop}{12}\) filles dans une classe de \(\textcolor{colordef}{20}\) élèves, quel est le pourcentage de filles ? Pour résoudre ce problème, on cherche une fraction égale de dénominateur \(100\) : $$\frac{\text{partie}}{\text{tout}} = \frac{\textcolor{colorprop}{12}}{\textcolor{colordef}{20}} = \frac{\textcolor{colorprop}{12} \times 5}{\textcolor{colordef}{20} \times 5} = \frac{\textcolor{colorprop}{60}}{\textcolor{colordef}{100}} \qquad \text{(fractions égales : numérateur et dénominateur multipliés par } 5\text{)}$$ Le pourcentage de filles dans la classe est de \(\textcolor{colorprop}{60}\textcolor{colordef}{\pourcent}\). Cela signifie que sur \(\textcolor{colordef}{100}\) élèves, \(\textcolor{colorprop}{60}\) seraient des filles.
Méthode — Du rapport au pourcentage
Pour convertir un rapport partie-tout (la fraction partie/tout) en pourcentage, utiliser la formule suivante : $$\text{Pourcentage}= \frac{\textcolor{colorprop}{\text{partie}}}{\textcolor{colordef}{\text{tout}}} \times \textcolor{colordef}{100}\pourcent$$ Mettre le tout à l'échelle \(\textcolor{colordef}{100}\) donne directement le pourcentage : par exemple, \(\textcolor{colorprop}{5}\) filles sur \(\textcolor{colordef}{25}\) deviennent (\(\times 4\)) \(\textcolor{colorprop}{20}\) sur \(\textcolor{colordef}{100}\). 
Exemple
À un quiz de mathématiques, Léo a répondu correctement à \(\textcolor{colorprop}{21}\) questions sur un total de \(\textcolor{colordef}{25}\). Calculer son score en pourcentage. - La \(\textcolor{colorprop}{\text{partie}}\) est le nombre de bonnes réponses : \(\textcolor{colorprop}{21}\).
- Le \(\textcolor{colordef}{\text{tout}}\) est le nombre total de questions : \(\textcolor{colordef}{25}\).
- \(\begin{aligned}[t]\text{Score en pourcentage} &= \frac{\textcolor{colorprop}{21}}{\textcolor{colordef}{25}} \times \textcolor{colordef}{100}\pourcent\\ &= 0{,}84 \times 100\pourcent \\ &= \textcolor{colorprop}{84}\textcolor{colordef}{\pourcent}\end{aligned}\)
Une proportion ne dépasse jamais 1
Une proportion est le rapport entre une partie et le tout : \(\dfrac{\text{partie}}{\text{tout}}\). Comme la partie ne dépasse jamais le tout, une proportion est toujours inférieure ou égale à \(1\), et, en pourcentage, inférieure ou égale à \(100\pourcent\). Dans une classe de \(25\) élèves dont \(11\) filles, la proportion de filles est \(\dfrac{11}{25} = \dfrac{44}{100} = 44\pourcent\).
Compétences à pratiquer
- Vérifier qu'une proportion est possible
- Exprimer une proportion en pourcentage
- Calculer le pourcentage d'une partie
IV
Comparer avec des pourcentages
Au Parlement A, il y a \(\textcolor{colorprop}{26}\) femmes sur \(\textcolor{colordef}{50}\) membres. Au Parlement B, il y a \(\textcolor{colorprop}{60}\) femmes sur \(\textcolor{colordef}{200}\) membres. Hugo dit : « Comme il y a plus de femmes au Parlement B, les femmes y sont mieux représentées. »
Cette affirmation est-elle une comparaison juste ?
Cette affirmation est-elle une comparaison juste ?
Pour faire une comparaison juste, il faut comparer les pourcentages, pas les nombres absolus.
- Parlement A :
\(\text{Pourcentage de femmes} = \frac{\textcolor{colorprop}{26}}{\textcolor{colordef}{50}} \times 100\pourcent = \textcolor{colorprop}{52}\textcolor{colordef}{\pourcent}\) - Parlement B :
\(\text{Pourcentage de femmes} = \frac{\textcolor{colorprop}{60}}{\textcolor{colordef}{200}} \times 100\pourcent = \textcolor{colorprop}{30}\textcolor{colordef}{\pourcent}\)
Méthode — Comparer avec des pourcentages
Pour comparer différents rapports partie-tout, les convertir en pourcentages fournit une base commune (sur 100), ce qui permet une comparaison juste et directe. - Étape 1 : Calculer le pourcentage pour chaque groupe.
- Étape 2 : Comparer les pourcentages pour tirer une conclusion.
Compétences à pratiquer
- Comparer des parties avec des pourcentages
- Problèmes
V
Calculer une partie avec un pourcentage
Méthode — Les pourcentages à connaître par cœur
Certains pourcentages sont des fractions déguisées, et leur valeur s'obtient par une division : - \(50\pourcent = \dfrac{50}{100} = \dfrac{1}{2}\) : la moitié — diviser par \(2\) ;
- \(25\pourcent = \dfrac{1}{4}\) : le quart — diviser par \(4\) ; \(75\pourcent = \dfrac{3}{4}\) : les trois quarts ;
- \(10\pourcent = \dfrac{1}{10}\) : le dixième — diviser par \(10\) ; \(20\pourcent = \dfrac{1}{5}\) : le cinquième — diviser par \(5\) ;
- \(5\pourcent\), c'est la moitié de \(10\pourcent\) ; \(100\pourcent\), c'est la quantité entière.
Exemple
Calculer de tête : \(25\pourcent\) de \(32\) ; \(10\pourcent\) de \(250\) ; \(75\pourcent\) de \(4\) ; \(5\pourcent\) de \(60\).
$$\begin{aligned}[t] 25\pourcent \text{ de } 32 &= 32 \div 4 = 8 &&\text{(le quart)}\\
10\pourcent \text{ de } 250 &= 250 \div 10 = 25 &&\text{(le dixième)}\\
75\pourcent \text{ de } 4 &= 3 \times (4 \div 4) = 3 &&\text{(les trois quarts)}\\
5\pourcent \text{ de } 60 &= 6 \div 2 = 3 &&\text{(la moitié de } 10\pourcent \text{ de } 60\text{)} \end{aligned}$$
Méthode — Calculer la partie
Pour trouver une partie d'un total, multiplier le pourcentage par le tout. $$\textcolor{colorprop}{\text{Partie}} = \text{Pourcentage} \times \textcolor{colordef}{\text{Tout}}$$ Prendre \(x\pourcent\) d'un nombre, c'est en prendre la fraction \(\dfrac{x}{100}\). Ne pas oublier de convertir le pourcentage en nombre décimal ou en fraction avant de calculer. Exemple
Dans une école de \(\textcolor{colordef}{200}\) élèves, \(\textcolor{colorprop}{60}\textcolor{colordef}{\pourcent}\) sont des filles. Calculer le nombre de filles.
Méthode 1 : Utilisation de la formule $$\begin{aligned}\textcolor{colorprop}{\text{Nombre de filles}} &= \textcolor{colorprop}{60}\textcolor{colordef}{\pourcent} \times \textcolor{colordef}{200} \\
&= 0{,}60 \times \textcolor{colordef}{200} \\
&= \textcolor{colorprop}{120}\end{aligned}$$ Il y a \(\textcolor{colorprop}{120}\) filles dans l'école. Méthode 2 : « pour 100 »
\(60\pourcent\) signifie \(60\) filles pour \(100\) élèves. Comme \(200 = 2 \times 100\), il y a \(2 \times 60 = 120\) filles.
\(60\pourcent\) signifie \(60\) filles pour \(100\) élèves. Comme \(200 = 2 \times 100\), il y a \(2 \times 60 = 120\) filles.
| \hline Élèves | \(100\) | \(200\) |
| Filles | \(60\) | \(120\) |
Compétences à pratiquer
- Calculer un pourcentage de tête
- Calculer une partie avec un pourcentage
VI
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Calculer un pourcentage
- Quiz
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