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Éducation Nationale Française · Sixième

Les fractions, des nombres

⌚ ~218 min ▢ 25 blocs ✓ 108 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Opérations sur les nombres décimaux, Division euclidienne, multiples et diviseurs
I Qu'est-ce qu'une fraction ?
I.1 Des parts d'une unité

On considère le modèle ci-dessous, qui représente une unité entière et une moitié d'unité : Illustration. Pour exprimer cette longueur en une seule fraction, on suit deux étapes :
  1. Identifier le dénominateur : Les unités sont divisées en deux parts égales, donc le dénominateur est 2.
  2. Compter les parts : Au total, il y a 3 parts coloriées de cette taille. Ce nombre devient le numérateur.
Cette longueur est donc représentée par la fraction \(\dfrac{3}{2}\).

Définition — Fraction
Une fraction a deux nombres séparés par une barre de fraction : le numérateur (en haut) et le dénominateur (en bas).
Illustration
Le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers naturels, et le dénominateur n'est jamais nul : on ne peut pas partager une unité en zéro parts égales.
Compétences à pratiquer
  • Reconnaître une fraction sur des représentations variées
  • Déterminer des fractions supérieures à 1 dans des figures
I.2 La fraction comme quotient

On considère une situation où deux unités identiques (des gâteaux) doivent être partagées équitablement entre trois personnes.
Illustration
Cette situation correspond à la division \(2 \div 3\). Comment le résultat de cette division peut-il être exprimé sous forme de fraction ?

Pour résoudre ce problème, on partage chaque unité en trois parts égales (des tiers). Chacune des trois personnes reçoit une part de chacune des deux unités.
Illustration
La part totale de chaque individu se compose de deux morceaux, où chaque morceau représente \(\dfrac{1}{3}\) d'une unité. Chaque personne reçoit donc un total de \(\dfrac{2}{3}\) d'une unité. Cela démontre que la division \(2 \div 3\) est égale à la fraction \(\dfrac{2}{3}\).


Proposition — Fraction comme quotient
Pour tous les entiers naturels \(a\) et \(b\) (où \(b \neq 0\)), la division de \(a\) par \(b\) est représentée par la fraction \(\dfrac{a}{b}\).$$a \div b = \frac{a}{b}$$ Dans ce contexte :
  • Le numérateur (\(a\)) correspond au dividende.
  • Le dénominateur (\(b\)) correspond au diviseur.
La fraction \(\dfrac{a}{b}\) est donc le nombre qui, multiplié par le diviseur \(b\), donne le dividende \(a\).

Partager \(a\) unités entre \(b\) personnes. Couper chaque unité en \(b\) parts égales : chaque personne reçoit une part de chaque unité, soit \(a\) parts de taille \(\frac{1}{b}\), donc $$\begin{aligned}[t] a \div b &= a \times \tfrac{1}{b} && \text{(\(a\) parts de taille \(\tfrac{1}{b}\))}\\ &= \tfrac{a}{b}. && \text{(une fraction compte ses parts)}\end{aligned}$$ Réciproquement, \(b\) personnes ayant chacune \(\frac{a}{b}\) ont ensemble \(b \times a\) parts de taille \(\frac{1}{b}\) ; \(b\) de ces parts font une unité : elles ont donc \(a\) unités, \(\frac{a}{b} \times b = a\).

Exemple
La fraction \(\dfrac{2}{3}\) signifie « 2 divisé par 3 ».
Illustration
De plus, la fraction \(\dfrac{2}{3}\) est le nombre qui, lorsqu'il est multiplié par \(3\), donne \(2\) :$$\dfrac{2}{3}\times 3 = 2 $$
Compétences à pratiquer
  • Convertir des divisions en fractions et inversement
  • Convertir des fractions en nombres entiers
  • Compléter des égalités à trous multiplicatives
  • Déterminer la fraction dans des problèmes courants
II Les fractions sur la demi-droite graduée
II.1 Placer une fraction
Méthode — Représenter les fractions sur la demi-droite graduée
Pour représenter la fraction \(\dfrac{\textcolor{colordef}{2}}{\textcolor{colorprop}{3}}\) sur la demi-droite graduée :
  1. Dessiner une droite et marquer les points \(0\) et \(1\).
    Illustration
  2. Diviser le segment de \(0\) à \(1\) en \(\textcolor{colorprop}{3}\) parties égales (le dénominateur).
    Illustration
  3. Compter \(\textcolor{colordef}{2}\) parts à partir de \(0\) (le numérateur) et marquer le point en \(\dfrac{\textcolor{colordef}{2}}{\textcolor{colorprop}{3}}\) .
    Illustration
Compétences à pratiquer
  • Déterminer les fractions
  • Trouver des fractions supérieures à 1
  • Lire une abscisse fractionnaire
  • Placer une fraction sur une demi-droite graduée
II.2 Graduer un segment
Méthode — Graduer un segment avec un guide-âne
Pour partager un segment \([AB]\) en \(5\) parts égales sans mesurer, on utilise un guide-âne : une feuille de droites parallèles régulièrement espacées — les lignes d'un cahier conviennent.
  1. Poser le segment en biais sur les lignes, de façon que \(A\) soit sur la première droite et \(B\) sur la sixième : \(6\) droites font \(5\) intervalles. Choisir un guide-âne dont les lignes sont assez serrées pour que le segment atteigne la sixième.
  2. Marquer les points où les quatre droites intermédiaires coupent \([AB]\) : elles partagent \([AB]\) en \(5\) parts égales (les droites sont régulièrement espacées, donc les morceaux sont égaux).
  3. Lire la graduation : chaque part vaut \(\dfrac{1}{5}\) de \(AB\) ; les points marqués sont à \(\dfrac{1}{5}\), \(\dfrac{2}{5}\), \(\dfrac{3}{5}\), \(\dfrac{4}{5}\) de \(AB\) à partir de \(A\).
Illustration
Pour des demis, des quarts ou des huitièmes, ajuster d'abord une bande de papier à la longueur de \([AB]\), puis la plier en \(2\), en \(4\), en \(8\) : on obtient la même graduation.
Exemple
Un segment \([AB]\) mesure \(10\) cm. Le graduer en tiers avec un guide-âne, puis placer le point \(C\) tel que \(AC = \dfrac{2}{3}\,AB\). Vérifier en calculant \(AC\).

On pose \(A\) sur la première droite et \(B\) sur la quatrième du guide-âne (\(4\) droites, \(3\) intervalles) : les deux droites intermédiaires partagent \([AB]\) en \(3\) parts égales. \(C\) est la deuxième marque à partir de \(A\).
Illustration
Vérification : \(AC\) vaut \(\dfrac{2}{3}\) de \(10\) cm, donc \(AC = \dfrac{20}{3}\) cm, soit environ \(6{,}7\) cm : une longueur que la règle ne peut pas marquer exactement — le guide-âne la donne exactement, et la règle ne la confirme qu'à peu près.

Compétences à pratiquer
  • Graduer un segment
III Fractions égales
III.1 Fractions égales
Définition — Fractions égales
Deux fractions sont égales (on dit aussi équivalentes) si elles représentent la même quantité : ce sont deux écritures du même nombre. On peut obtenir une fraction égale en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même nombre entier non nul, ou en les divisant par un diviseur commun.
Illustration Illustration Illustration
Illustration Illustration Illustration
Compétences à pratiquer
  • Reconnaître des fractions égales
  • Déterminer le numérateur ou le dénominateur manquant (par agrandissement)
III.2 Simplification

On considère la fraction \(\dfrac{4}{6}\) : Illustration. Bien qu'il s'agisse d'une représentation valide d'une quantité, ce n'est pas la plus efficace. Parmi toutes les fractions équivalentes possibles, il en existe une qui utilise les plus petits entiers possibles pour le numérateur et le dénominateur (aucun nombre entier plus grand que \(1\) ne divise les deux).
Le processus pour trouver cette forme la plus simple est appelé la simplification ou la réduction d'une fraction.

Méthode — Simplifier une fraction
Simplifier une fraction consiste à trouver une fraction équivalente qui utilise les plus petits nombres entiers possibles pour son numérateur et son dénominateur.
La procédure consiste à diviser à la fois le numérateur et le dénominateur par un même nombre (un facteur commun). Il peut être nécessaire de répéter ce processus jusqu'à ce qu'aucun nombre entier plus grand que \(1\) ne divise à la fois le numérateur et le dénominateur.
Exemple
Simplifier \(\dfrac{4}{6}\).

Illustration Illustration Illustration

Compétences à pratiquer
  • Déterminer le numérateur ou le dénominateur manquant (par simplification)
  • Simplifier les fractions
III.3 Écrire un entier sous forme de fraction
Méthode — Écrire un entier sous forme de fraction
Pour écrire un nombre entier comme une fraction de dénominateur donné :
  1. Écrire l'unité avec ce dénominateur : une unité partagée en \(2\) parts égales vaut \(2\) demis, \(1=\dfrac{2}{2}\) ; de même \(1=\dfrac{3}{3}\) et \(1=\dfrac{4}{4}\).
  2. Compter les parts de toutes les unités : multiplier l'entier par le dénominateur ; le résultat est le numérateur.
On vérifie avec le quotient : le numérateur divisé par le dénominateur redonne l'entier.
Exemple
Écrire \(2\) comme une fraction de dénominateur \(2\).

Chaque unité vaut \(2\) demis, donc \(2\) unités valent \(2 \times 2 = 4\) demis : $$2 = \dfrac{4}{2}$$
Illustration
Vérification : \(4 \div 2 = 2\).

Compétences à pratiquer
  • Écrire un entier sous forme de fraction
IV Décomposer et encadrer une fraction
IV.1 Décomposer une fraction supérieure à 1
Proposition — Entier plus fraction
Toute fraction supérieure à \(1\) peut s'écrire comme la somme d'un nombre entier et d'une fraction inférieure à \(1\) ; réciproquement, la somme d'un entier non nul et d'une fraction non nulle inférieure à \(1\) est une fraction supérieure à \(1\) :
Illustration
Une telle écriture, comme \(2 + \dfrac{1}{3}\), s'appelle un nombre mixte.
Méthode — Décomposer une fraction supérieure à 1
Pour écrire \(\dfrac{n}{b}\) comme un entier plus une fraction inférieure à \(1\) :
  1. Chercher le nombre d'unités entières : chaque unité entière est faite de \(b\) parts, donc poser la division avec reste : \(n = q \times b + r\), où le reste \(r\) est plus petit que \(b\).
  2. Les \(r\) parts restantes forment la fraction : \(\dfrac{n}{b} = q + \dfrac{r}{b}\), et \(\dfrac{r}{b} < 1\) puisque \(r < b\).
Réciproquement, pour recomposer une seule fraction, chaque unité entière redevient \(b\) parts. Sur la demi-droite graduée, la décomposition encadre aussi la fraction entre deux entiers consécutifs : \(q < \dfrac{n}{b} < q+1\) (lorsque le reste n'est pas nul — si \(r = 0\), la fraction est exactement l'entier \(q\)).
Exemple
Écrire \(\dfrac{7}{3}\) sous la forme de la somme d'un nombre entier et d'une fraction inférieure à \(1\).

\(\begin{aligned}[t]\dfrac{7}{3}&=\dfrac{2\times 3+1}{3}&&(\text{division de 7 par 3 : } 7=2\times 3+1)\\&=\dfrac{2\times 3}{3}+\dfrac{1}{3}\\&=2+\dfrac{1}{3}\\\end{aligned}\) Illustration

Compétences à pratiquer
  • Décomposer en entier plus fraction
  • Recomposer en une seule fraction
IV.2 Encadrer entre deux entiers
Méthode — Encadrer une fraction entre deux entiers
Dès qu'une fraction supérieure à \(1\) est écrite comme un entier plus une fraction inférieure à \(1\), sa place sur la droite graduée est fixée : l'entier est celui juste en dessous, et l'entier suivant est juste au-dessus. $$\dfrac{7}{3} = 2 + \dfrac{1}{3} \qquad\text{donc}\qquad 2 < \dfrac{7}{3} < 3$$
Illustration
Les deux voisins se lisent sur la décomposition : il n'y a rien d'autre à calculer. Si la partie fractionnaire est nulle, la fraction est ce nombre entier lui-même, comme \(\dfrac{6}{3} = 2\).
Exemple
Encadrer \(\dfrac{29}{4}\) entre deux entiers consécutifs.

$$\begin{aligned}[t] 29 &= 7 \times 4 + 1 && \text{(division avec reste par le dénominateur)} \\ \dfrac{29}{4} &= 7 + \dfrac{1}{4} && \text{(les 7 unités entières, puis la part restante)} \\ 7 &< \dfrac{29}{4} < 8 && \text{(le reste n'est pas nul)} \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Encadrer entre deux entiers consécutifs
  • Résoudre des problèmes avec entier plus fraction
V Fraction, nombre entier ou nombre décimal
V.1 Passer d'une écriture à l'autre
Méthode — Conversion d'une fraction en nombre décimal
Il existe deux méthodes principales pour convertir une fraction en nombre décimal, quand c'est possible.
  • Méthode 1 : Division directe
    Puisqu'une fraction \(\frac{a}{b}\) est égale au quotient \(a \div b\), effectuer la division du numérateur par le dénominateur. Quand la division s'arrête, on obtient l'écriture décimale de la fraction ; sinon, la fraction n'est égale à aucun nombre décimal.
  • Méthode 2 : Dénominateur en puissance de 10 (fractions égales)
    Trouver une fraction égale dont le dénominateur est une puissance de 10 (par ex., 10, 100, 1000). Cette nouvelle fraction s'écrit alors sous forme décimale : \(\dfrac{75}{100} = 0{,}75\). Cette méthode ne s'applique que si le dénominateur peut devenir une puissance de \(10\) (par exemple \(2\), \(4\), \(5\), \(25\)). Pour un dénominateur comme \(3\), aucune puissance de \(10\) ne convient : on utilise alors la méthode 1 : \(\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0{,}333\ldots\) (l'écriture décimale ne se termine jamais).
Attention : toute fraction n'est pas égale à un nombre décimal — \(\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots\) ne s'arrête jamais. Une fraction (une fois simplifiée) se convertit en nombre décimal exactement quand son dénominateur peut être complété en une puissance de \(10\).
Exemple
Convertir \(\dfrac{3}{4}\) en nombre décimal.

  • Application de la méthode 1 (Division directe) : $$ \frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75 $$
    Illustration
  • Application de la méthode 2 (Puissance de 10) : On cherche un nombre par lequel multiplier le dénominateur (4) pour obtenir une puissance de 10. On sait que \(4 \times 25 = 100\). $$ \frac{3}{4} = \frac{3 \textcolor{olive}{\times 25}}{4 \textcolor{olive}{\times 25}} = \frac{75}{100} $$ La fraction « soixante-quinze centièmes » s'écrit sous la forme décimale \(0{,}75\).

Méthode — Conversion d'un nombre décimal en fraction
La procédure pour convertir une écriture décimale finie en fraction est la suivante :
  1. Écrire le nombre décimal comme numérateur d'une fraction sans la virgule.
  2. Le dénominateur est 1 suivi d'autant de zéros qu'il y a de décimales dans le nombre original.
  3. Simplifier la fraction à sa plus simple expression, si nécessaire.
Exemple
Convertir \(1{,}3\) en fraction.

  • Le nombre \(1{,}3\) a une décimale.
  • Écrire le nombre sans la virgule comme numérateur : 13.
  • Le dénominateur sera 1 suivi d'un zéro : 10.
La fraction résultante est \(\dfrac{13}{10}\).

Compétences à pratiquer
  • Passer d'une fraction usuelle à son écriture décimale et inversement
  • Convertir des fractions en nombres décimaux
V.2 Entier, décimal ou ni l'un ni l'autre
Proposition — Nombre entier, nombre décimal ou ni l'un ni l'autre
Une fraction \(\dfrac{a}{b}\) est le résultat exact de la division \(a \div b\). Trois cas peuvent se produire :
  • la division donne un nombre entier : \(\dfrac{12}{4} = 12 \div 4 = 3\) ;
  • la division s'arrête après quelques chiffres après la virgule : la fraction est un nombre décimal non entier : \(\dfrac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75\) ;
  • la division ne s'arrête jamais : la fraction n'est pas un nombre décimal : \(\dfrac{4}{3} = 4 \div 3 = 1{,}333\ldots\) — \(1{,}33\) n'est que sa valeur arrondie au centième, et aucune écriture à virgule finie n'est exacte : une fraction (\(\dfrac{4}{3}\), ou une fraction égale) écrit ce nombre exactement.
Exemple
Pour chaque fraction, dire s'il s'agit d'un nombre entier, d'un nombre décimal non entier, ou d'un nombre qui n'est pas décimal : \(\dfrac{15}{5}\) ; \(\dfrac{7}{4}\) ; \(\dfrac{5}{3}\) ; \(\dfrac{9}{10}\).

  • \(\dfrac{15}{5} = 15 \div 5 = 3\) : un nombre entier.
  • \(\dfrac{7}{4} = 7 \div 4 = 1{,}75\) : la division s'arrête, un nombre décimal non entier.
  • \(\dfrac{5}{3} = 5 \div 3 = 1{,}666\ldots\) : le reste \(2\) revient à chaque étape, la division ne s'arrête jamais : ce n'est pas un nombre décimal.
  • \(\dfrac{9}{10} = 0{,}9\) : un nombre décimal (une fraction décimale en est toujours un).

Compétences à pratiquer
  • Classer une fraction : entier, décimal ou ni l'un ni l'autre
VI Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
  • Problèmes
  • Raisonner sur les fractions comme nombres
  • Quiz
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