Les fractions

Pour représenter la fraction \(\dfrac{\textcolor{colordef}{2}}{\textcolor{colorprop}{3}}\) sur la demi-droite graduée :

1. Dessiner une droite et marquer les points \(0\) et \(1\).
2. Diviser le segment de \(0\) à \(1\) en \(\textcolor{colorprop}{3}\) parties égales (le dénominateur).
3. Compter \(\textcolor{colordef}{2}\) parts à partir de \(0\) (le numérateur) et marquer le point en \(\dfrac{\textcolor{colordef}{2}}{\textcolor{colorprop}{3}}\) .

Toute fraction supérieure à \(1\) peut s'écrire comme la somme d'un nombre entier et d'une fraction inférieure à \(1\) ; réciproquement, la somme d'un entier non nul et d'une fraction non nulle inférieure à \(1\) est une fraction supérieure à \(1\) : Une telle écriture, comme \(2 + \dfrac{1}{3}\), s'appelle un nombre mixte.

Pour écrire \(\dfrac{n}{b}\) comme un entier plus une fraction inférieure à \(1\) :

1. Chercher le nombre d'unités entières : chaque unité entière est faite de \(b\) parts, donc poser la division avec reste : \(n = q \times b + r\), où le reste \(r\) est plus petit que \(b\).
2. Les \(r\) parts restantes forment la fraction : \(\dfrac{n}{b} = q + \dfrac{r}{b}\), et \(\dfrac{r}{b} < 1\) puisque \(r < b\).

Réciproquement, pour recomposer une seule fraction, chaque unité entière redevient \(b\) parts. Sur la demi-droite graduée, la décomposition encadre aussi la fraction entre deux entiers consécutifs : \(q < \dfrac{n}{b} < q+1\) (lorsque le reste n'est pas nul — si \(r = 0\), la fraction est exactement l'entier \(q\)).

Dès qu'une fraction supérieure à \(1\) est écrite comme un entier plus une fraction inférieure à \(1\), sa place sur la droite graduée est fixée : l'entier est celui juste en dessous, et l'entier suivant est juste au-dessus. $$\dfrac{7}{3} = 2 + \dfrac{1}{3} \qquad\text{donc}\qquad 2 < \dfrac{7}{3} < 3$$ Les deux voisins se lisent sur la décomposition : il n'y a rien d'autre à calculer. Si la partie fractionnaire est nulle, la fraction est ce nombre entier lui-même, comme \(\dfrac{6}{3} = 2\).

Une fraction compte des parts qui ont toutes la même taille. Donc \(\dfrac{4}{3}\), c'est quatre parts d'un tiers, et compter quatre parts égales, c'est une multiplication : $$\dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = 4 \times \dfrac{1}{3}$$ La règle se lit directement sur l'écriture : le numérateur dit combien, le dénominateur dit quelle part. $$\dfrac{n}{b} = n \times \dfrac{1}{b}$$

Certaines égalités reviennent si souvent qu'on les connaît, au lieu de les recalculer. Couper chaque part en un même nombre de parts égales plus petites multiplie le nombre de parts et le nombre de parts prises par ce même nombre — la valeur reste inchangée. Couper chaque moitié en deux parts égales donne des quarts ; la couper en cinq parts égales donne des dixièmes.

	\(=\)		\(=\)
\(\dfrac{1}{2}\)		\(\dfrac{2}{4}\)		\(\dfrac{5}{10}\)

$$\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{50}{100} \qquad\qquad \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{25}{100} \qquad\qquad \dfrac{1}{10} = \dfrac{10}{100}$$ Les dernières valent d'être sues pour elles-mêmes : les dixièmes et les centièmes sont les fractions dont les nombres décimaux sont faits.

Deux fractions placées sur la même droite se comparent comme des longueurs : la plus à droite est la plus grande. Trois cas :

1. Même dénominateur. Mêmes graduations : le plus grand numérateur va plus loin. \(\dfrac{5}{12}\), c'est \(5\) douzièmes, \(\dfrac{7}{12}\), c'est \(7\) douzièmes : \(\dfrac{5}{12} < \dfrac{7}{12}\).
2. Même numérateur. Le même nombre de pas, mais les pas sont plus petits quand le dénominateur est plus grand : \(5\) douzièmes, ce sont \(5\) petits pas, \(5\) huitièmes, \(5\) pas plus grands. \(\dfrac{5}{12} < \dfrac{5}{8}\).
3. Un dénominateur est un multiple de l'autre. Écrire la fraction aux grandes parts dans les graduations les plus fines : \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}\) (chaque sixième vaut deux douzièmes). Puis comparer sur la droite en douzièmes : \(\dfrac{7}{12} < \dfrac{10}{12}\), donc \(\dfrac{7}{12} < \dfrac{5}{6}\).

Pour additionner ou soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, suivre cette procédure en trois étapes :

1. Trouver un dénominateur commun : Identifier un multiple commun des dénominateurs.
2. Créer des fractions équivalentes : Convertir chaque fraction en une fraction équivalente avec le dénominateur commun.
3. Additionner ou soustraire les numérateurs : Maintenant que les dénominateurs sont identiques, effectuer l'opération sur les numérateurs et conserver le dénominateur commun. Pour une soustraction, la première fraction ne doit pas être plus petite que la seconde.

Le langage courant nomme ces fractions avant tout calcul : la moitié de, le tiers de, le quart de. Prendre une telle part d'une quantité se lit de deux façons, et les deux donnent le même nombre.

• Comme un partage — partager les \(4\) pommes en \(2\) parts égales et prendre une part : \(4 \div 2 = 2\).
• Comme une multiplication — la moitié de \(4\) pommes s'écrit \(\dfrac{1}{2} \times 4 = 2\).

Donc « la moitié de », c'est une multiplication par \(\dfrac{1}{2}\), « le tiers de » une multiplication par \(\dfrac{1}{3}\), et ainsi de suite. La lecture partage est celle qui calcule ; la lecture multiplication est celle qui écrit.