Éducation Nationale Française · Quatrième

Pourcentages

⌚ ~154 min ▢ 17 blocs ✓ 73 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Proportionnalité

I Calculer avec des pourcentages

I.1 Qu'est-ce qu'un pourcentage ?

Définition — Pourcentage

Un pourcentage est une façon d'écrire une fraction de dénominateur $100$ : $42\pourcent$, c'est $\dfrac{42}{100}$, soit $42$ sur $100$.
Le symbole $\pourcent$ signifie « pour cent », ce qui veut dire « sur cent ».

Exemple

Cette grille a 100 carrés. Comme $\textcolor{colorprop}{23}$ des $\textcolor{colordef}{100}$ carrés sont coloriés, on dit que $\textcolor{colorprop}{23}\textcolor{colordef}{\pourcent}$ de la grille est coloriée.

$$\textcolor{colorprop}{23}\textcolor{colordef}{\pourcent} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{23}}{\textcolor{colordef}{100}}$$

Compétences à pratiquer

Convertir des modèles de fractions en pourcentages

I.2 Convertir entre les formes

Découverte

Les pourcentages, les fractions et les nombres décimaux sont trois manières différentes de parler de la même valeur. Par exemple, $\textcolor{colorprop}{50}\textcolor{colordef}{\pourcent}$, la fraction $\dfrac{\textcolor{colorprop}{1}}{\textcolor{colordef}{2}}$, et le nombre décimal $0{,}5$ signifient tous « la moitié ». Savoir convertir entre ces formes est une compétence très utile.
Remarque : Une idée très importante est que $100\pourcent = \dfrac{100}{100} = 1$.
Puisque $100\pourcent$ est juste une autre façon d'écrire le nombre $1$, on peut multiplier n'importe quel nombre par $100\pourcent$ sans changer sa valeur. C'est une astuce très utile pour convertir des nombres décimaux et des fractions en pourcentages.

Méthode — Convertir un pourcentage en fraction

Pour convertir un pourcentage en fraction, l'écrire comme une fraction sur 100, puis simplifier si possible.

Méthode — Convertir une fraction en pourcentage

Pour convertir une fraction comme $\dfrac{\textcolor{colorprop}{3}}{\textcolor{colordef}{4}}$ en pourcentage, on dispose de deux méthodes courantes :

Méthode 1 : Fractions égales. Trouver une fraction égale de dénominateur $100$ (quand c'est possible, notamment quand le dénominateur divise $100$ ; ce n'est pas le cas pour $\dfrac{1}{3}$).
Méthode 2 : Multiplier par $100\pourcent$. Cela fonctionne car multiplier par $100\pourcent$ revient à multiplier par 1. $$ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{colorprop}{3}}{\textcolor{colordef}{4}} &= 0{,}75 \quad (\text{car } 3 \div 4 = 0{,}75) \\ &= 0{,}75 \times \textcolor{colordef}{100\pourcent} \\ &= \textcolor{colorprop}{75}\textcolor{colordef}{\pourcent} \end{aligned} $$

Méthode — Convertir un pourcentage en nombre décimal

Pour convertir un pourcentage en nombre décimal, diviser par 100. Une façon rapide de le faire est de déplacer la virgule de deux places vers la gauche. $$ \textcolor{colorprop}{45}\textcolor{colordef}{\pourcent} = \textcolor{colorprop}{45} \div \textcolor{colordef}{100} = 0{,}45 $$

Méthode — Convertir un nombre décimal en pourcentage

Pour convertir un nombre décimal en pourcentage, multiplier par 100. Une façon rapide de le faire est de déplacer la virgule de deux places vers la droite et d'ajouter le symbole pour cent ($\pourcent$). $$ 0{,}68 = 0{,}68 \times 100\pourcent = \textcolor{colorprop}{68}\textcolor{colordef}{\pourcent} $$

Compétences à pratiquer

Convertir des fractions en pourcentages
Convertir des pourcentages en décimaux
Convertir des décimaux en pourcentages
Convertir des pourcentages en fractions

I.3 Exprimer une proportion en pourcentage

Découverte

Les pourcentages sont l'un des meilleurs moyens de comparer une partie à un tout.
Par exemple, s'il y a $\textcolor{colorprop}{12}$ filles dans une classe de $\textcolor{colordef}{20}$ élèves, quel est le pourcentage de filles ? Pour résoudre ce problème, on cherche une fraction égale de dénominateur $100$ : $$\frac{\text{partie}}{\text{tout}} = \frac{\textcolor{colorprop}{12}}{\textcolor{colordef}{20}} = \frac{\textcolor{colorprop}{12} \times 5}{\textcolor{colordef}{20} \times 5} = \frac{\textcolor{colorprop}{60}}{\textcolor{colordef}{100}} \qquad \text{(fractions égales : numérateur et dénominateur multipliés par } 5\text{)}$$ Le pourcentage de filles dans la classe est de $\textcolor{colorprop}{60}\textcolor{colordef}{\pourcent}$. Cela signifie que sur $\textcolor{colordef}{100}$ élèves, $\textcolor{colorprop}{60}$ seraient des filles.

Méthode — Du rapport au pourcentage

Pour convertir un rapport partie-tout (la fraction partie/tout) en pourcentage, utiliser la formule suivante : $$\text{Pourcentage}= \frac{\textcolor{colorprop}{\text{partie}}}{\textcolor{colordef}{\text{tout}}} \times \textcolor{colordef}{100}\pourcent$$ Mettre le tout à l'échelle $\textcolor{colordef}{100}$ donne directement le pourcentage : par exemple, $\textcolor{colorprop}{5}$ filles sur $\textcolor{colordef}{25}$ deviennent ($\times 4$) $\textcolor{colorprop}{20}$ sur $\textcolor{colordef}{100}$.

Exemple

À un quiz de mathématiques, Léo a répondu correctement à $\textcolor{colorprop}{21}$ questions sur un total de $\textcolor{colordef}{25}$. Calculer son score en pourcentage.

Correction

La $\textcolor{colorprop}{\text{partie}}$ est le nombre de bonnes réponses : $\textcolor{colorprop}{21}$.
Le $\textcolor{colordef}{\text{tout}}$ est le nombre total de questions : $\textcolor{colordef}{25}$.
$\begin{aligned}[t]\text{Score en pourcentage} &= \frac{\textcolor{colorprop}{21}}{\textcolor{colordef}{25}} \times \textcolor{colordef}{100}\pourcent\\ &= 0{,}84 \times 100\pourcent \\ &= \textcolor{colorprop}{84}\textcolor{colordef}{\pourcent}\end{aligned}$

Compétences à pratiquer

Calculer le pourcentage d'une partie

I.4 Comparer avec des pourcentages

Découverte

Au Parlement A, il y a $\textcolor{colorprop}{26}$ femmes sur $\textcolor{colordef}{50}$ membres. Au Parlement B, il y a $\textcolor{colorprop}{60}$ femmes sur $\textcolor{colordef}{200}$ membres. Hugo dit : « Comme il y a plus de femmes au Parlement B, les femmes y sont mieux représentées. »
Cette affirmation est-elle une comparaison juste ?

Correction

Pour faire une comparaison juste, il faut comparer les pourcentages, pas les nombres absolus.

Parlement A :
$\text{Pourcentage de femmes} = \frac{\textcolor{colorprop}{26}}{\textcolor{colordef}{50}} \times 100\pourcent = \textcolor{colorprop}{52}\textcolor{colordef}{\pourcent}$
Parlement B :
$\text{Pourcentage de femmes} = \frac{\textcolor{colorprop}{60}}{\textcolor{colordef}{200}} \times 100\pourcent = \textcolor{colorprop}{30}\textcolor{colordef}{\pourcent}$

Conclusion : Comme $\textcolor{colorprop}{52}\textcolor{colordef}{\pourcent} > \textcolor{colorprop}{30}\textcolor{colordef}{\pourcent}$, les femmes sont proportionnellement mieux représentées au Parlement A.

Méthode — Comparer avec des pourcentages

Pour comparer différents rapports partie-tout, les convertir en pourcentages fournit une base commune (sur 100), ce qui permet une comparaison juste et directe.

Étape 1 : Calculer le pourcentage pour chaque groupe.
Étape 2 : Comparer les pourcentages pour tirer une conclusion.

Compétences à pratiquer

Comparer l'efficacité à l'aide de pourcentages

I.5 Calculer la partie ou le tout

Méthode — Calculer la partie

Pour trouver une partie d'un total, multiplier le pourcentage par le tout. $$\textcolor{colorprop}{\text{Partie}} = \text{Pourcentage} \times \textcolor{colordef}{\text{Tout}}$$ Prendre $x\pourcent$ d'un nombre, c'est en prendre la fraction $\dfrac{x}{100}$. Ne pas oublier de convertir le pourcentage en nombre décimal ou en fraction avant de calculer.

Exemple

Dans une école de $\textcolor{colordef}{200}$ élèves, $\textcolor{colorprop}{60}\textcolor{colordef}{\pourcent}$ sont des filles. Calculer le nombre de filles.

Correction

Méthode 1 : Utilisation de la formule $$\begin{aligned}\textcolor{colorprop}{\text{Nombre de filles}} &= \textcolor{colorprop}{60}\textcolor{colordef}{\pourcent} \times \textcolor{colordef}{200} \\ &= 0{,}60 \times \textcolor{colordef}{200} \\ &= \textcolor{colorprop}{120}\end{aligned}$$ Il y a $\textcolor{colorprop}{120}$ filles dans l'école. Méthode 2 : « pour 100 »
$60\pourcent$ signifie $60$ filles pour $100$ élèves. Comme $200 = 2 \times 100$, il y a $2 \times 60 = 120$ filles.

\hline Élèves	$100$	$200$
Filles	$60$	$120$

Méthode — Calculer le tout

Pour trouver le tout quand on connaît une partie et son pourcentage, diviser la partie par le pourcentage — ce qui suppose un pourcentage non nul : une partie qui représente $0\pourcent$ ne dit rien du tout. $$\textcolor{colordef}{\text{Tout}} = \frac{\textcolor{colorprop}{\text{Partie}}}{\text{Pourcentage}}$$ Ne pas oublier de convertir le pourcentage en nombre décimal ou en fraction avant de calculer.

Exemple

Dans une classe, $\textcolor{colorprop}{40}\textcolor{colordef}{\pourcent}$ des élèves sont des filles. S'il y a $\textcolor{colorprop}{14}$ filles, quel est le nombre total d'élèves ?

Correction

Méthode 1 : Utilisation de la formule $$\begin{aligned}\textcolor{colordef}{\text{Total des élèves}} &= \frac{\textcolor{colorprop}{14}}{\textcolor{colorprop}{40}\textcolor{colordef}{\pourcent}} \\ &= \frac{\textcolor{colorprop}{14}}{0{,}40} \\ &= \textcolor{colordef}{35}\end{aligned}$$ Il y a $\textcolor{colordef}{35}$ élèves dans la classe. Méthode 2 : Produit en croix
Écrire l'égalité de rapports où $x$ est le nombre total d'élèves. $$\begin{aligned}\frac{\textcolor{colorprop}{40}}{\textcolor{colordef}{100}} &= \frac{\textcolor{colorprop}{14}}{\textcolor{colordef}{x}} \\ \textcolor{colorprop}{40} \times \textcolor{colordef}{x} &= \textcolor{colorprop}{14} \times \textcolor{colordef}{100} \\ \textcolor{colordef}{x} &= \frac{1400}{40} = \textcolor{colordef}{35}\end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Calculer un pourcentage de tête
Calculer une partie avec un pourcentage
Calculer le tout à l'aide d'un pourcentage

II Les évolutions en pourcentage

II.1 Le coefficient multiplicateur

Découverte

Les quantités changent souvent d'un certain pourcentage :

Un magasin offre une réduction de $20\pourcent$ (une diminution).
Un salaire augmente de $7\pourcent$ (une augmentation).
La population d'une ville croît de $10\pourcent$.

Dans chaque cas on peut procéder en deux temps — calculer la variation, puis l'ajouter à la quantité de départ ou la soustraire de celle-ci. Mais il existe un chemin plus court : une seule multiplication mène de la quantité de départ à la quantité d'arrivée. C'est ce multiplicateur que cette section construit.

Définition — Coefficient multiplicateur

Augmenter une quantité de $t\pourcent$, c'est la multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$.
Diminuer une quantité de $t\pourcent$, c'est la multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$.

Ce multiplicateur s'appelle le coefficient multiplicateur de l'évolution. En effet, ajouter à une grandeur $V$ ses $t\pourcent$ donne $$V + \dfrac{t}{100} \times V = V \times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right) \qquad \text{(distributivité)},$$ et soustraire ces $t\pourcent$ de $V$ donne $V \times \left(1 - \dfrac{t}{100}\right)$. Par exemple, augmenter de $15\pourcent$, c'est multiplier par $1 + \dfrac{15}{100} = 1{,}15$ ; diminuer de $15\pourcent$, c'est multiplier par $1 - \dfrac{15}{100} = 0{,}85$.
On peut aussi donner un signe au taux d'évolution : une hausse de $15\pourcent$ est une évolution de $+15\pourcent$, une baisse de $15\pourcent$ une évolution de $-15\pourcent$. Les deux formules n'en font alors plus qu'une : avec le nombre signé $t$, le coefficient multiplicateur (noté $CM$) s'écrit toujours $CM = 1 + \dfrac{t}{100}$, par exemple $1 + \dfrac{-15}{100} = 1 - \dfrac{15}{100} = 0{,}85$. Attention à ne pas mélanger les deux écritures : avec $t = -15$, écrire $1 - \dfrac{t}{100}$ donnerait $1{,}15$, une hausse.

La méthode en deux étapes est la même

Le multiplicateur cache la méthode élémentaire en deux étapes — calculer la variation, puis l'ajouter à la quantité ou la soustraire de celle-ci. Les deux chemins mènent au même endroit. On prend $20~\Euro$ avec une réduction de $25\pourcent$ :

En une étape. Multiplier par $1 - \dfrac{25}{100} = 0{,}75$ : $\quad 20 \times 0{,}75 = 15~\Euro$.
En deux étapes. La réduction vaut $\dfrac{25}{100}\times 20 = 5~\Euro$, puis $20 - 5 = 15~\Euro$.

Le multiplicateur fait simplement les deux étapes d'un coup.

Signaler une erreur

Exemple

Le prix initial d'une chemise est de $50~\Euro$. Calculer le prix final après une réduction de $20\pourcent$.

Correction

Une réduction est une diminution : le coefficient multiplicateur est $1 - \dfrac{20}{100} = 0{,}80$. $$50 \times 0{,}80 = 40~\Euro.$$

Exemple

Un loyer de $640\,\Euro$ augmente de $5\pourcent$. Déterminer le nouveau loyer. Puis une ville de $1\,200$ habitants voit sa population augmenter de $150\pourcent$ : déterminer la nouvelle population.

Correction

Une hausse : le coefficient multiplicateur est plus grand que $1$. $$\begin{aligned} 1 + \dfrac{5}{100} &= 1{,}05 && \text{(coefficient de la hausse)}\\ 640 \times 1{,}05 &= \textcolor{colordef}{672} && \text{(nouveau loyer, en euros)} \end{aligned}$$ Un pourcentage d'évolution peut dépasser $100\pourcent$ : le coefficient est alors plus grand que $2$. $$\begin{aligned} 1 + \dfrac{150}{100} &= 2{,}5 && \text{(coefficient de la hausse)}\\ 1\,200 \times 2{,}5 &= \textcolor{colordef}{3\,000} && \text{(nouvelle population)} \end{aligned}$$ Augmenter de $150\pourcent$, c'est multiplier par $2{,}5$ — ni par $150$, ni par $1{,}5$.

Compétences à pratiquer

Calculer le coefficient multiplicateur
Calculer la nouvelle quantité
Utiliser le coefficient multiplicateur

II.2 Le taux d'évolution

Méthode — Calculer le taux d'évolution à partir de deux valeurs

Lorsque la valeur de départ et la valeur d'arrivée sont toutes deux connues, la valeur de départ étant strictement positive :

on calcule la variation : valeur d'arrivée $-$ valeur de départ ;
on compare cette variation à la valeur de départ, en pourcentage :

$$\text{taux d'évolution} = \frac{\text{valeur d'arrivée} - \text{valeur de départ}}{\text{valeur de départ}} \times 100\pourcent.$$ Le résultat sort positif pour une augmentation et négatif pour une diminution : c'est le signe qui donne le sens ($+12\pourcent$, $-25\pourcent$), et on énonce la réponse avec le mot qui va avec — « une diminution de $25\pourcent$ ».

Exemple

Un poids passe de $25$ kg à $28$ kg. Déterminer le taux d'évolution.

Correction

La variation vaut $28 - 25 = 3$ kg, comparée à la valeur de départ $25$ : $$\frac{28-25}{25}\times 100\pourcent = \frac{3}{25}\times 100\pourcent = +12\pourcent.$$ Le résultat est positif : c'est une augmentation de $12\pourcent$. Contrôle : $25 \times 1{,}12 = 28$.

Exemple

Un prix baisse de $500~\Euro$ à $420~\Euro$. Déterminer le taux d'évolution.

Correction

La variation vaut $420 - 500 = -80$, comparée à la valeur de départ $500$ : $$\frac{420-500}{500}\times 100\pourcent = \frac{-80}{500}\times 100\pourcent = -16\pourcent.$$ Le résultat est négatif : c'est une diminution de $16\pourcent$. Contrôle : $500 \times 0{,}84 = 420$.

Compétences à pratiquer

Convertir une augmentation ou une diminution en taux d'évolution
Calculer le taux d'évolution en autonomie
Calculer un taux d'évolution

III Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes
Quiz

\hline Élèves	\(100\)	\(200\)
Filles	\(60\)	\(120\)