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Éducation Nationale Française · Sixième

Calculer avec des fractions

⌚ ~178 min ▢ 20 blocs ✓ 79 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Les fractions, des nombres
I Comparer et ordonner des fractions
I.1 Comparer avec le même dénominateur
Proposition — Ordonner les fractions avec le même dénominateur
Pour deux fractions ayant le même dénominateur, celle dont le numérateur est plus grand est la plus grande.
Exemple
Comparer \(\dfrac{6}{8}\) et \(\dfrac{5}{8}\).

Illustration \(= \dfrac{6}{8} > \dfrac{5}{8} = \) Illustration

Compétences à pratiquer
  • Comparer avec le même dénominateur
I.2 Comparer une fraction et un entier
Méthode — Comparer une fraction et un entier
Pour comparer une fraction et un nombre entier :
  1. Écrire l'entier comme une fraction ayant le dénominateur de la fraction : chaque unité vaut autant de parts que l'indique le dénominateur.
  2. Comparer les numérateurs : les deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.
Exemple
Comparer \(\dfrac{7}{3}\) et \(2\).

$$\begin{aligned}[t] 2 &= \dfrac{2 \times 3}{3} && \text{(chaque unité vaut trois tiers)}\\ &= \dfrac{6}{3} \end{aligned}$$ Les deux fractions ont le même dénominateur, et \(7 > 6\) : donc \(\dfrac{7}{3} > \dfrac{6}{3}\), c'est-à-dire \(\dfrac{7}{3} > 2\).
Illustration

Compétences à pratiquer
  • Comparer une fraction à 1
  • Comparer une fraction et un entier
I.3 Comparer avec des dénominateurs différents
Méthode — Comparer des fractions avec des dénominateurs différents
La procédure standard pour comparer deux fractions avec des dénominateurs différents est la suivante :
  1. Trouver un dénominateur commun : Identifier un multiple commun aux deux dénominateurs. Une méthode simple consiste à multiplier les dénominateurs entre eux.
  2. Créer des fractions équivalentes : Convertir chaque fraction en une fraction équivalente avec le dénominateur commun choisi.
  3. Comparer les numérateurs : Une fois que les dénominateurs sont identiques, la fraction ayant le plus grand numérateur est la plus grande.
Exemple
Comparer \(\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{5}{8}\).

On applique la procédure en trois étapes.
  • 1. Trouver un dénominateur commun : Les dénominateurs sont 4 et 8. Un multiple commun est 8.
  • 2. Créer des fractions équivalentes :
    • La fraction \(\dfrac{5}{8}\) a déjà le dénominateur commun.
    • Convertir \(\dfrac{3}{4}\) en une fraction équivalente avec un dénominateur de 8. Pour passer du dénominateur 4 à 8, on multiplie par 2. Il faut donc aussi multiplier le numérateur par 2.
      Illustration  Illustration  Illustration
  • 3. Comparer les numérateurs : On compare maintenant les fractions équivalentes.
    Illustration \(= \dfrac{6}{8} > \dfrac{5}{8} = \) Illustration
  • Conclusion : On en déduit que \(\dfrac{3}{4} > \dfrac{5}{8}\).

Méthode — Ranger plusieurs fractions
  1. Écrire toutes les fractions avec le même dénominateur (un multiple commun des dénominateurs).
  2. Ranger les numérateurs : à dénominateurs égaux, plus le numérateur est grand, plus la fraction est grande.
  3. Écrire la chaîne avec les fractions de départ, dans l'ordre croissant ou décroissant.
Exemple
Ranger dans l'ordre croissant : \(\dfrac{2}{3}\), \(\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{7}{12}\).

Un dénominateur commun de \(3\), \(4\) et \(12\) est \(12\) : $$\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}, \qquad \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}, \qquad \dfrac{7}{12}.$$ On range les numérateurs : \(7 < 8 < 9\), donc $$\dfrac{7}{12} < \dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4}.$$

Compétences à pratiquer
  • Comparer des fractions dont un dénominateur est multiple de l'autre
  • Comparer des fractions avec des dénominateurs non multiples
  • Ranger plusieurs fractions
  • Ranger une liste de fractions ou de nombres mixtes
II Additionner et soustraire des fractions
II.1 Avec le même dénominateur
Définition — Addition de fractions avec des dénominateurs communs
Pour additionner des fractions de même dénominateur, on additionne les numérateurs et on conserve le dénominateur :
Illustration
$$\begin{aligned}\dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} &= \dfrac{2 + 1}{4}\\ &= \dfrac{3}{4}\end{aligned}$$
Définition — Soustraction de fractions avec des dénominateurs communs
Pour soustraire des fractions de même dénominateur, on soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur :
Illustration
$$\begin{aligned}\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} &= \dfrac{3 - 1}{4}\\ &= \dfrac{2}{4}\end{aligned}$$ Ici la première fraction est la plus grande, donc on peut enlever ces parts.
Compétences à pratiquer
  • Additionner des fractions avec des dénominateurs communs
  • Soustraire des fractions avec des dénominateurs communs
  • Compléter des égalités à trous avec des quarts et des demis
II.2 Un entier et une fraction
Méthode — Additionner ou soustraire un entier et une fraction
Pour additionner ou soustraire un nombre entier et une fraction :
  1. Écrire l'entier comme une fraction ayant le dénominateur de la fraction : chaque unité vaut autant de parts que l'indique le dénominateur.
  2. Additionner ou soustraire les numérateurs et garder le dénominateur.
Pour une soustraction, le premier nombre ne doit pas être plus petit que le second.
Exemple
Écrire \(3 - \dfrac{1}{4}\) sous la forme d'une seule fraction.

$$\begin{aligned}[t] 3 - \dfrac{1}{4} &= \dfrac{3 \times 4}{4} - \dfrac{1}{4} && \text{(chaque unité vaut quatre quarts)}\\ &= \dfrac{12 - 1}{4} && \text{(même dénominateur)}\\ &= \dfrac{11}{4} \end{aligned}$$
Illustration
Trois unités partagées en quarts font \(12\) quarts ; on enlève un quart : il reste \(11\) quarts.

Compétences à pratiquer
  • Additionner ou soustraire un entier et une fraction
II.3 Avec des dénominateurs différents
Méthode — Procédure pour l'addition ou la soustraction de fractions
Pour additionner ou soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, suivre cette procédure en trois étapes :
  1. Trouver un dénominateur commun : Identifier un multiple commun des dénominateurs.
  2. Créer des fractions équivalentes : Convertir chaque fraction en une fraction équivalente avec le dénominateur commun.
  3. Additionner ou soustraire les numérateurs : Maintenant que les dénominateurs sont identiques, effectuer l'opération sur les numérateurs et conserver le dénominateur commun. Pour une soustraction, la première fraction ne doit pas être plus petite que la seconde.
Exemple
On applique la procédure pour calculer \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\).
  • Étape 1 : Trouver un dénominateur commun. Les dénominateurs sont 2 et 4. Un multiple commun est 4.
  • Étape 2 : Créer des fractions équivalentes.
    • La fraction \(\dfrac{1}{4}\) a déjà le dénominateur commun.
    • Convertir \(\dfrac{1}{2}\) en une fraction équivalente avec un dénominateur de 4 :
      Illustration Illustration Illustration
  • Étape 3 : Additionner les numérateurs. Maintenant que les deux fractions ont le même dénominateur, on peut les additionner : $$ \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{4} = \frac{3}{4} $$
La représentation visuelle de ce processus est :
Illustration \(+\) Illustration \(=\) Illustration \(+\) Illustration
\(=\) Illustration
\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\) \(=\) \(\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}\)
\(=\) \(\dfrac{3}{4}\)
La fraction totale est \(\dfrac{3}{4}\).
Quand un dénominateur est multiple de l'autre
Quand l'un des deux dénominateurs est un multiple de l'autre, le dénominateur commun est simplement le plus grand des deux, et une seule fraction est à réécrire.
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Exemple
Calculer \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}\).

  • Trouver un dénominateur commun : Pour additionner des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur.
    • Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, \(\dots\)
    • Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, \(\dots\)
    • Le plus petit dénominateur commun est 12.
  • $$\begin{aligned}[t]\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6}&= \frac{3 \times \textcolor{olive}{3}}{4 \times \textcolor{olive}{3}}+\frac{5 \times \textcolor{olive}{2}}{6 \times \textcolor{olive}{2}}&&\\ &=\dfrac{9}{12}+\dfrac{10}{12}&&\quad\text{(dénominateur commun}= 12)\\ &=\dfrac{9+10}{12}&&\quad\text{(additionner les numérateurs)}\\ &=\dfrac{19}{12}&&\\ \end{aligned}$$
  • Représentation visuelle :
    Illustration\(+\)Illustration \(=\) Illustration\(+\)Illustration
    \(=\) Illustration

Exemple
Calculer \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{4}\).

Aucun dénominateur n'est un multiple de l'autre : un multiple commun de \(6\) et \(4\) est \(12\). $$\begin{aligned}[t] \dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{4} &= \dfrac{5\times 2}{6\times 2} - \dfrac{3\times 3}{4\times 3} && \text{(dénominateur commun 12)}\\ &= \dfrac{10}{12} - \dfrac{9}{12}\\ &= \dfrac{1}{12}. \end{aligned}$$

Exemple
Lucie parcourt \(\dfrac{1}{4}\) du chemin de l'école, puis encore \(\dfrac{2}{5}\) du chemin. Quelle fraction du chemin a-t-elle parcourue ? Quelle fraction reste-t-il ?

La distance parcourue est la somme des deux fractions ; un multiple commun de \(4\) et \(5\) est \(20\) : $$\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{13}{20}.$$ Le chemin entier est \(\dfrac{20}{20}\), donc la partie restante est $$\dfrac{20}{20} - \dfrac{13}{20} = \dfrac{7}{20}.$$ Contrôle : \(\dfrac{13}{20} + \dfrac{7}{20} = \dfrac{20}{20} = 1\).

Compétences à pratiquer
  • Additionner des fractions
  • Soustraire des fractions
  • Additionner des fractions avec des dénominateurs non multiples
  • Soustraire des fractions avec des dénominateurs non multiples
  • Résoudre des problèmes de la vie quotidienne
  • Problèmes
III Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
  • Inventer des problèmes
  • Culture mathématique : les nombres rompus
  • Explorer des régularités de fractions
  • Quiz