Éducation Nationale Française · CM1

Les fractions

⌚ ~314 min ▢ 37 blocs ✓ 172 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections

I Les fractions

I.1 Qu'est-ce qu'une fraction ?

Définition — Fraction

Une fraction a deux nombres séparés par une barre de fraction : le numérateur (en haut) et le dénominateur (en bas).

Le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers naturels, et le dénominateur n'est jamais nul : on ne peut pas partager une unité en zéro parts égales.

Définition — Fraction unitaire

Une fraction qui a $1$ en haut s'appelle une fraction unitaire : c'est une seule part de l'unité.

$$\dfrac{1}{8}$$

Proposition — Toute fraction est faite de parts unitaires

Toute fraction est faite de fractions unitaires, mises bout à bout.

$$\dfrac{3}{8} \;=\; \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8}$$ Cela se lit : trois huitièmes, c'est trois fois un huitième. Quand on met bout à bout des parts de même taille, le nombre du bas ne change pas ; c'est seulement combien on en prend qui change.

Le gâteau entier

Hugo découpe un gâteau en $3$ parts égales — et il les mange toutes :

. Il a mangé $3$ parts sur $3$ : le gâteau entier. $$\dfrac{3}{3} = 1$$ Avant la première bouchée, c'était l'inverse — $0$ part sur $3$, rien du gâteau :

. $$\dfrac{0}{3} = 0$$

Signaler une erreur

Proposition — Quand la fraction vaut 1 ou 0

Quand les deux nombres sont égaux, toutes les parts sont prises : la fraction est toute l'unité. Elle vaut $1$.

$$\dfrac{3}{3} = 1$$ Quand le nombre du haut est $0$, aucune part n'est prise : la fraction vaut $0$.

$$\dfrac{0}{3} = 0$$

Compétences à pratiquer

Déterminer si les parts sont égales
Déterminer la fraction
Déterminer la fraction dans des figures
Déterminer la fraction dans des problèmes courants
Déterminer les numérateurs et les dénominateurs
Écrire les fractions à partir des mots

I.2 Prendre une fraction unitaire d'une quantité

Méthode — Prendre une fraction unitaire d'une quantité

Pour prendre $\dfrac{1}{b}$ d'une quantité, partager la quantité en $b$ parts égales et en prendre une : $$\frac{1}{b}\,\text{de }N = N \div b$$

Exemple

Combien de billes vaut un tiers de $12$ billes ?
Combien d'euros vaut un quart de $20$ euros ?

Correction

Un tiers de $12$ : partager $12$ en $3$ parts égales et en prendre une : $12 \div 3 = 4$ billes.
Un quart de $20$ : partager $20$ en $4$ parts égales et en prendre une : $20 \div 4 = 5$ euros.

Compétences à pratiquer

Prendre une fraction unitaire d'une quantité
Résoudre des problèmes avec une fraction unitaire

I.3 Fractions supérieures à 1

Découverte

On considère le modèle ci-dessous, qui représente une unité entière et une moitié d'unité :

. Pour exprimer cette longueur en une seule fraction, on suit deux étapes :

Identifier le dénominateur : Les unités sont divisées en deux parts égales, donc le dénominateur est 2.
Compter les parts : Au total, il y a 3 parts coloriées de cette taille. Ce nombre devient le numérateur.

Cette longueur est donc représentée par la fraction $\dfrac{3}{2}$.

Proposition — Entier plus fraction

Toute fraction supérieure à $1$ peut s'écrire comme la somme d'un nombre entier et d'une fraction inférieure à $1$ ; réciproquement, la somme d'un entier non nul et d'une fraction non nulle inférieure à $1$ est une fraction supérieure à $1$ :

Une telle écriture, comme $2 + \dfrac{1}{3}$, s'appelle un nombre mixte.

Méthode — Décomposer une fraction supérieure à 1

Pour écrire $\dfrac{n}{b}$ comme un entier plus une fraction inférieure à $1$ :

Chercher le nombre d'unités entières : chaque unité entière est faite de $b$ parts, donc poser la division avec reste : $n = q \times b + r$, où le reste $r$ est plus petit que $b$.
Les $r$ parts restantes forment la fraction : $\dfrac{n}{b} = q + \dfrac{r}{b}$, et $\dfrac{r}{b} < 1$ puisque $r < b$.

Réciproquement, pour recomposer une seule fraction, chaque unité entière redevient $b$ parts. Sur la demi-droite graduée, la décomposition encadre aussi la fraction entre deux entiers consécutifs : $q < \dfrac{n}{b} < q+1$ (lorsque le reste n'est pas nul — si $r = 0$, la fraction est exactement l'entier $q$).

Exemple

Écrire $\dfrac{7}{3}$ sous la forme de la somme d'un nombre entier et d'une fraction inférieure à $1$.

Correction

$\begin{aligned}[t]\dfrac{7}{3}&=\dfrac{2\times 3+1}{3}&&(\text{division de 7 par 3 : } 7=2\times 3+1)\\&=\dfrac{2\times 3}{3}+\dfrac{1}{3}\\&=2+\dfrac{1}{3}\\\end{aligned}$

Exemple

Écrire $3 + \dfrac{2}{5}$ sous la forme d'une seule fraction.

Correction

$\begin{aligned}[t]3+\dfrac{2}{5}&=\dfrac{3\times 5}{5}+\dfrac{2}{5}&&\left(3=\dfrac{15}{5}\right)\\&=\dfrac{15+2}{5}\\&=\dfrac{17}{5}\\\end{aligned}$

Exemple

Encadrer $\dfrac{11}{4}$ entre deux entiers consécutifs.

Correction

$\dfrac{11}{4}=2+\dfrac{3}{4}$ (division de 11 par 4 : $11 = 2 \times 4 + 3$), donc : $$2 < \dfrac{11}{4} < 3.$$

Méthode — Encadrer une fraction entre deux entiers

Dès qu'une fraction supérieure à $1$ est écrite comme un entier plus une fraction inférieure à $1$, sa place sur la droite graduée est fixée : l'entier est celui juste en dessous, et l'entier suivant est juste au-dessus. $$\dfrac{7}{3} = 2 + \dfrac{1}{3} \qquad\text{donc}\qquad 2 < \dfrac{7}{3} < 3$$

Les deux voisins se lisent sur la décomposition : il n'y a rien d'autre à calculer. Si la partie fractionnaire est nulle, la fraction est ce nombre entier lui-même, comme $\dfrac{6}{3} = 2$.

Exemple

Encadrer $\dfrac{29}{4}$ entre deux entiers consécutifs.

Correction

$$\begin{aligned}[t] 29 &= 7 \times 4 + 1 && \text{(division avec reste par le dénominateur)} \\ \dfrac{29}{4} &= 7 + \dfrac{1}{4} && \text{(les 7 unités entières, puis la part restante)} \\ 7 &< \dfrac{29}{4} < 8 && \text{(le reste n'est pas nul)} \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Déterminer des fractions supérieures à 1 dans des figures
Écrire une fraction supérieure à 1 à partir des mots
Décomposer en entier plus fraction
Recomposer en une seule fraction
Encadrer entre deux entiers consécutifs
Résoudre des problèmes avec entier plus fraction

II Repérer et comparer

II.1 La demi-droite graduée

Découverte

Les fractions ne représentent pas seulement des parties d'une forme ; elles peuvent aussi représenter des points sur une demi-droite graduée. Le segment de 0 à 1 est une unité.
Si on divise l'unité en 2 parties égales, le point au milieu représente la fraction $\dfrac{1}{2}$.

Méthode — Représenter les fractions sur la demi-droite graduée

Pour représenter la fraction $\dfrac{\textcolor{colordef}{2}}{\textcolor{colorprop}{3}}$ sur la demi-droite graduée :

Dessiner une droite et marquer les points $0$ et $1$.
Diviser le segment de $0$ à $1$ en $\textcolor{colorprop}{3}$ parties égales (le dénominateur).
Compter $\textcolor{colordef}{2}$ parts à partir de $0$ (le numérateur) et marquer le point en $\dfrac{\textcolor{colordef}{2}}{\textcolor{colorprop}{3}}$ .

Compétences à pratiquer

Déterminer les fractions avec la bande
Déterminer les fractions

II.2 Placer et repérer au-delà de 1

Méthode — Placer une fraction supérieure à 1 sur la demi-droite graduée

Une fraction supérieure à $1$ se place comme toute fraction : le dénominateur dit en combien de parts égales on partage chaque unité, le numérateur compte ces parts à partir de $0$. Pour placer $\dfrac{\textcolor{colordef}{5}}{\textcolor{colorprop}{3}}$ :

Marquer $0$, $1$, $2$ à égale distance, et partager chaque unité en $\textcolor{colorprop}{3}$ parts égales (le dénominateur).
Compter $\textcolor{colordef}{5}$ parts à partir de $0$ (le numérateur). Après $3$ parts, on arrive à $1$, car $\dfrac{3}{3} = 1$ ; $2$ parts de plus donnent le point.

Pour placer la somme d'un entier et d'une fraction, comme $1 + \dfrac{2}{3}$, aller directement à l'entier $1$, puis compter $2$ parts d'un tiers après lui.

Les deux écritures repèrent le même point : $\dfrac{5}{3} = 1 + \dfrac{2}{3}$.

Exemple

Placer sur une demi-droite graduée :

la fraction $\dfrac{9}{4}$ ;
le nombre $3 + \dfrac{1}{2}$.

Correction

Le dénominateur est $4$ : chaque unité est partagée en $4$ parts égales. On compte $9$ parts à partir de $0$ : $4$ parts mènent à $1$, $4$ parts de plus mènent à $2$, et $1$ part de plus donne le point. Le point est un quart après $2$ : $$\begin{aligned}[t] \dfrac{9}{4} &= \dfrac{8}{4} + \dfrac{1}{4} && \text{(8 quarts font 2 unités)}\\ &= 2 + \dfrac{1}{4} \end{aligned}$$
Ici, la fraction ajoutée à $3$ est $\dfrac{1}{2}$ : chaque unité est partagée en $2$ parts égales. On va à l'entier $3$, puis on compte $1$ demi après lui. En comptant les demis à partir de $0$, on trouve le même point : $$\begin{aligned}[t] 3 + \dfrac{1}{2} &= \dfrac{6}{2} + \dfrac{1}{2} && \text{(3 unités font 6 demis)}\\ &= \dfrac{7}{2} \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Trouver des fractions supérieures à 1
Placer une fraction supérieure à 1 ou un entier plus une fraction

II.3 Fractions équivalentes

Découverte

Un gâteau est coupé en 3 parts égales. Une part, qui représente $\dfrac{1}{3}$ du gâteau, est mise de côté.

Puis chacune des trois parts est coupée en deux. Le gâteau est maintenant divisé en 6 parts égales. La même quantité de gâteau qu’avant correspond maintenant à 2 de ces parts.

Même si le nombre de morceaux a changé, la quantité de gâteau coloriée a-t-elle changé ?

Correction

Non—la quantité de gâteau n’a pas changé. Les modèles montrent que la partie coloriée est la même dans les deux cas.

$\quad=\quad$

Donc, les fractions $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{2}{6}$ représentent la même valeur.

Définition — Fractions équivalentes

Deux fractions sont équivalentes si elles représentent la même quantité. On obtient une fraction équivalente en coupant chaque part en un même nombre de parts plus petites : le numérateur et le dénominateur sont multipliés par ce nombre. Regrouper les parts fait l'inverse : on les divise tous les deux par un même nombre, qui doit diviser exactement le numérateur et le dénominateur.

Compétences à pratiquer

Identifier des fractions équivalentes
Écrire des fractions équivalentes
Déterminer le numérateur manquant
Déterminer le dénominateur manquant

II.4 Comparer des fractions

Découverte

Laquelle est la plus grande : $\dfrac{3}{4}$ ou $\dfrac{5}{8}$ ?

$\;$

Visuellement, il est difficile de les comparer car l'une est divisée en quarts et l'autre en huitièmes. Un moyen sûr de les comparer précisément consiste à les écrire d'abord avec un dénominateur commun.

Correction

Pour comparer $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{5}{8}$, on les écrit avec un dénominateur commun. $8$ est un multiple de $4$ : chaque quart est coupé en $2$ huitièmes, donc on multiplie par $2$ le numérateur et le dénominateur de $\dfrac{3}{4}$. $$\begin{aligned}[t] \dfrac{3}{4} &= \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} && \text{(chaque quart coupé en 2 huitièmes)}\\ &= \dfrac{6}{8} \end{aligned}$$

$\;=\;$

$\;>\;$

Les deux fractions comptent alors des huitièmes. Avec le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur : $6 > 5$, donc $\dfrac{6}{8} > \dfrac{5}{8}$. Ainsi $\dfrac{3}{4} > \dfrac{5}{8}$ : c'est $\dfrac{3}{4}$ la plus grande.

Proposition — Ordonner les fractions avec le même dénominateur

Pour deux fractions ayant le même dénominateur, celle dont le numérateur est plus grand est la plus grande.

Exemple

Comparer $\dfrac{6}{8}$ et $\dfrac{5}{8}$.

Correction

$= \dfrac{6}{8} > \dfrac{5}{8} = $

Méthode — Comparer des fractions sur la droite graduée

Deux fractions placées sur la même droite se comparent comme des longueurs : la plus à droite est la plus grande. Trois cas :

Même dénominateur. Mêmes graduations : le plus grand numérateur va plus loin. $\dfrac{5}{12}$, c'est $5$ douzièmes, $\dfrac{7}{12}$, c'est $7$ douzièmes : $\dfrac{5}{12} < \dfrac{7}{12}$.
Même numérateur. Le même nombre de pas, mais les pas sont plus petits quand le dénominateur est plus grand : $5$ douzièmes, ce sont $5$ petits pas, $5$ huitièmes, $5$ pas plus grands. $\dfrac{5}{12} < \dfrac{5}{8}$.
Un dénominateur est un multiple de l'autre. Écrire la fraction aux grandes parts dans les graduations les plus fines : $\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}$ (chaque sixième vaut deux douzièmes). Puis comparer sur la droite en douzièmes : $\dfrac{7}{12} < \dfrac{10}{12}$, donc $\dfrac{7}{12} < \dfrac{5}{6}$.

Exemple

Comparer $\dfrac{5}{12}$ et $\dfrac{5}{8}$ ; puis $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{7}{12}$. Enfin, ranger $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{5}{8}$ et $\dfrac{3}{4}$ du plus petit au plus grand à l'aide de la droite graduée en huitièmes.

Correction

Même numérateur : $5$ pas à chaque fois, mais un huitième est un pas plus grand qu'un douzième, donc $\dfrac{5}{12} < \dfrac{5}{8}$.
$12$ est un multiple de $3$ : chaque tiers vaut quatre douzièmes, $\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$. Sur la droite en douzièmes, $\dfrac{7}{12} < \dfrac{8}{12}$, donc $\dfrac{7}{12} < \dfrac{2}{3}$.
Sur la droite en huitièmes : $\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8}$ et $\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8}$. En lisant de gauche à droite : $\dfrac{4}{8} < \dfrac{5}{8} < \dfrac{6}{8}$, c'est-à-dire $\dfrac{1}{2} < \dfrac{5}{8} < \dfrac{3}{4}$.

Compétences à pratiquer

Comparer sur la demi-droite graduée
Ranger des fractions sur la règle graduée
Comparer des fractions de même dénominateur avec des barres
Comparer avec le même dénominateur

III Additionner et soustraire

III.1 Avec le même dénominateur

Découverte

Le gâteau d'Hugo est coupé en $4$ parts égales (des quarts). Hugo mange $\dfrac{2}{4}$ du gâteau $=$

, puis encore $\dfrac{1}{4}$ $=$

.
Quelle fraction du gâteau a-t-il mangée ?

Correction

Les parts sont toutes de la même taille (des quarts), alors on compte simplement ensemble les parts mangées : $2+1=3$ quarts.

Hugo a mangé $\dfrac{3}{4}$ du gâteau.

Définition — Addition de fractions avec des dénominateurs communs

Pour additionner des fractions de même dénominateur, on additionne les numérateurs et on conserve le dénominateur :

$$\begin{aligned}\dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} &= \dfrac{2 + 1}{4}\\ &= \dfrac{3}{4}\end{aligned}$$

Découverte

Un autre jour, il reste $\dfrac{3}{4}$ du gâteau d'Hugo $=$

. Hugo mange encore $\dfrac{1}{4}$.
Quelle fraction du gâteau reste-t-il maintenant ?

Correction

Les parts sont de la même taille (des quarts), alors on soustrait les nombres de parts : $3-1=2$ quarts restent.

Il reste $\dfrac{2}{4}$ du gâteau.

Définition — Soustraction de fractions avec des dénominateurs communs

Pour soustraire des fractions de même dénominateur, on soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur :

$$\begin{aligned}\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} &= \dfrac{3 - 1}{4}\\ &= \dfrac{2}{4}\end{aligned}$$ Ici la première fraction est la plus grande, donc on peut enlever ces parts.

Compétences à pratiquer

Additionner des fractions de même dénominateur
Soustraire des fractions de même dénominateur
Rédiger un calcul de même dénominateur

III.2 Avec des dénominateurs différents

Découverte

Pour additionner ou soustraire des fractions en combinant leurs numérateurs, il faut d'abord qu'elles représentent des parts de la même taille, c'est-à-dire qu'elles soient écrites avec un dénominateur commun. Considérons le problème de l'addition de $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{4}$.

$+$

Comme les fractions ont des dénominateurs différents (2 et 4), les parts sont de tailles différentes. Une addition directe des numérateurs n'est pas possible. Pour résoudre ce problème, il faut d'abord exprimer les fractions avec un dénominateur commun.

Méthode — Procédure pour l'addition ou la soustraction de fractions

Pour additionner ou soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, suivre cette procédure en trois étapes :

Trouver un dénominateur commun : Identifier un multiple commun des dénominateurs.
Créer des fractions équivalentes : Convertir chaque fraction en une fraction équivalente avec le dénominateur commun.
Additionner ou soustraire les numérateurs : Maintenant que les dénominateurs sont identiques, effectuer l'opération sur les numérateurs et conserver le dénominateur commun. Pour une soustraction, la première fraction ne doit pas être plus petite que la seconde.

Exemple

On applique la procédure pour calculer $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}$.

Étape 1 : Trouver un dénominateur commun. Les dénominateurs sont 2 et 4. Un multiple commun est 4.
Étape 2 : Créer des fractions équivalentes.
- La fraction $\dfrac{1}{4}$ a déjà le dénominateur commun.
- Convertir $\dfrac{1}{2}$ en une fraction équivalente avec un dénominateur de 4 :
Étape 3 : Additionner les numérateurs. Maintenant que les deux fractions ont le même dénominateur, on peut les additionner : $$ \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{4} = \frac{3}{4} $$

La représentation visuelle de ce processus est :

$+$	$=$	$+$
	$=$
$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}$	$=$	$\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}$
	$=$	$\dfrac{3}{4}$

La fraction totale est $\dfrac{3}{4}$.

Quand un dénominateur est multiple de l'autre

Quand l'un des deux dénominateurs est un multiple de l'autre, le dénominateur commun est simplement le plus grand des deux, et une seule fraction est à réécrire.

Signaler une erreur

Compétences à pratiquer

Placer la somme sur la demi-droite graduée
Additionner et soustraire quand un dénominateur est un multiple de l'autre
Trouver un dénominateur commun
Additionner pas à pas
Additionner avec des dénominateurs différents
Soustraire pas à pas
Soustraire avec des dénominateurs différents

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre des problèmes
Quiz

Aller à la section

\(+\)	\(=\)	\(+\)
	\(=\)
\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\)	\(=\)	\(\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}\)
	\(=\)	\(\dfrac{3}{4}\)