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\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)
Éducation Nationale Française · Cinquième

Proportionnalité

⌚ ~274 min ▢ 32 blocs ✓ 124 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Probabilités
I Représenter une situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l'on obtient toujours l'une à partir de l'autre en multipliant par le même nombre. Une même situation peut alors s'écrire de quatre façons différentes : le tableau pour lire plusieurs valeurs d'un coup d'œil, la flèche pour voir l'opération, la notation fonctionnelle pour calculer n'importe quelle valeur, et le graphique pour lire les valeurs intermédiaires quand la grandeur en admet.
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Méthode — Représenter une situation de proportionnalité
Du tissu est vendu \(6~\Euro\) le mètre. Le prix est proportionnel à la longueur achetée, et cette situation peut s'écrire :
  • Avec un tableau de proportionnalité : le nom et l'unité de chaque grandeur ouvrent la ligne, puis les nombres qui se correspondent sont écrits dans la même colonne. Descendre des longueurs vers les prix multiplie par le coefficient, ici \(6~\Euro\) par mètre ; remonter divise par lui.
  • Avec une notation fléchée : une flèche va d'une grandeur à l'autre — ici elle signifie « coûte » — et porte l'opération qui transforme l'une en l'autre, la multiplication par le coefficient \(6~\Euro\) par mètre.
  • Avec une notation fonctionnelle : on écrit \(p(4)\) — qui se lit « \(p\) de \(4\) » — pour le prix de \(4\) mètres, \(p(10)\) pour le prix de \(10\) mètres, et \(p(\ell)\) pour le prix de \(\ell\) mètres, quelle que soit la longueur \(\ell\). Attention : \(p(4)\) n'est pas un produit — les parenthèses ne signifient pas « \(p\) fois \(4\) », elles disent « le prix quand la longueur vaut \(4\) ».
  • Avec un graphique : chaque couple de valeurs devient un point, la première grandeur sur l'axe horizontal et la seconde sur l'axe vertical — et, la situation étant proportionnelle, ces points sont alignés sur une droite passant par l'origine.
Exemple
Du tissu est vendu \(6~\Euro\) le mètre. Écrire cette situation des quatre façons, puis utiliser chacune pour donner le prix de \(4\) mètres.

  • Tableau : un mètre coûte \(6~\Euro\), donc la colonne \(1\) / \(6\) ouvre le tableau et toutes les autres s'en déduisent.
    Longueur (en m) \(1\) \(2\) \(\textcolor{colordef}{4}\)
    Prix (en \(\Euro\)) \(6\) \(12\) \(\textcolor{colordef}{24}\)
  • Notation fléchée : la flèche signifie « coûte » et porte \(\times 6\), le coefficient en \(\Euro\) par mètre.
    Illustration
  • Notation fonctionnelle : \(p(\ell) = \ell \times 6\), donc \(p(1) = 6\) et \(p(\textcolor{colordef}{4}) = 4 \times 6 = \textcolor{colordef}{24}\).
  • Graphique : les points sont alignés sur une droite passant par l'origine, et la lecture du point d'abscisse \(4\) donne \(24\).
    Illustration
Les quatre écritures donnent la même réponse : \(4\) mètres coûtent \(24~\Euro\).

Compétences à pratiquer
  • Lire une situation de proportionnalité sur une représentation
  • Produire les représentations d'une situation de proportionnalité
II Reconnaître la proportionnalité

On achète des cookies. Le prix est de 2 euros par cookie. Le nombre de cookies est \(\textcolor{colordef}{x}\) et le coût total est \(\textcolor{colorprop}{y}\). On a :
\(\textcolor{colordef}{1}\) cookie coûte \(\textcolor{colorprop}{2} = \textcolor{olive}{2} \times \textcolor{colordef}{1}\)
\(\textcolor{colordef}{2}\) cookies coûtent \(\textcolor{colorprop}{4} = \textcolor{olive}{2} \times \textcolor{colordef}{2}\)
\(\textcolor{colordef}{3}\) cookies coûtent \(\textcolor{colorprop}{6} = \textcolor{olive}{2} \times \textcolor{colordef}{3}\)
\(\textcolor{colordef}{4}\) cookies coûtent \(\textcolor{colorprop}{8} = \textcolor{olive}{2} \times \textcolor{colordef}{4}\)
\(\textcolor{colordef}{x}\) cookies coûtent \(\textcolor{colorprop}{y} = \textcolor{olive}{2} \times \textcolor{colordef}{x}\)
Illustration
  • Définition par le rapport : Peu importe le nombre de cookies achetés, le rapport \(\dfrac{\textcolor{colorprop}{y}}{\textcolor{colordef}{x}}\) est toujours le même et il vaut le prix d’un cookie : $$\dfrac{\textcolor{colorprop}{8}}{\textcolor{colordef}{4}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{6}}{\textcolor{colordef}{3}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{4}}{\textcolor{colordef}{2}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{y}}{\textcolor{colordef}{x}} = \textcolor{olive}{2}.$$
  • Définition par la linéarité : On peut aussi exprimer le coût total avec une formule : $$\textcolor{colorprop}{y} = \textcolor{olive}{2} \times \textcolor{colordef}{x}.$$

Définition — Proportionnalité
Deux grandeurs \(\textcolor{colordef}{x}\) et \(\textcolor{colorprop}{y}\) sont dites proportionnelles si, pour chaque couple de valeurs qui se correspondent avec \(\textcolor{colordef}{x} \neq 0\), le quotient \(\dfrac{\textcolor{colorprop}{y}}{\textcolor{colordef}{x}}\) vaut toujours la même chose, une valeur \(\textcolor{olive}{k}\) appelée coefficient de proportionnalité : $$\dfrac{\textcolor{colorprop}{y}}{\textcolor{colordef}{x}} = \textcolor{olive}{k}.$$ On dit aussi que \(\textcolor{colorprop}{y}\) est proportionnel à \(\textcolor{colordef}{x}\) si, pour la même constante \(\textcolor{olive}{k}\), $$\textcolor{colorprop}{y} = \textcolor{olive}{k}\times \textcolor{colordef}{x}.$$
Exemple
Ce tableau représente-t-il une situation de proportionnalité ?
\(\textcolor{colordef}{x}\) \(\textcolor{colordef}{1}\) \(\textcolor{colordef}{2}\) \(\textcolor{colordef}{3}\)
\(\textcolor{colorprop}{y}\) \(\textcolor{colorprop}{15}\) \(\textcolor{colorprop}{30}\) \(\textcolor{colorprop}{45}\)

Oui. Ce tableau représente une situation de proportionnalité car chaque rapport est égal : $$\dfrac{\textcolor{colorprop}{15}}{\textcolor{colordef}{1}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{30}}{\textcolor{colordef}{2}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{45}}{\textcolor{colordef}{3}} = \textcolor{olive}{15}.$$

Compétences à pratiquer
  • Reconnaître un tableau de proportionnalité
  • Tester la proportionnalité dans des énoncés
  • Analyser une situation
III Le coefficient est une grandeur

Une voiture roule à vitesse constante : la distance parcourue est proportionnelle au temps.
Illustration
Le coefficient \(\textcolor{olive}{60}\) n'est pas qu'un nombre : il signifie \(\textcolor{olive}{60}\) km parcourus chaque heure. C'est une grandeur avec une unité — une vitesse, notée \(\textcolor{olive}{60}\) km/h.

Définition — Vitesse moyenne
La vitesse moyenne d'un trajet est la distance totale parcourue divisée par la durée totale du trajet : $$\textcolor{olive}{\text{vitesse moyenne}} = \textcolor{colorprop}{\text{distance totale}} \div \textcolor{colordef}{\text{durée totale}}$$ Quand la distance parcourue est proportionnelle au temps, la vitesse moyenne est le coefficient de proportionnalité : c'est la distance parcourue en une unité de temps.
Elle s'écrit avec son unité : km/h (kilomètres par heure).
Méthode — Conserver les unités
Le coefficient de proportionnalité relie deux grandeurs : on conserve les unités dans les calculs.
Exemple. \(\textcolor{colordef}{3}\) kg de poires coûtent \(\textcolor{colorprop}{12}\) euros : $$\begin{aligned}[t] \text{Coefficient} &= \textcolor{colorprop}{12} \div \textcolor{colordef}{3} = \textcolor{olive}{4}\text{ \Euro/kg} && \text{(euros par kilogramme)} \\ \text{Prix de }5\text{ kg} &= \textcolor{olive}{4} \times \textcolor{colordef}{5} = \textcolor{colorprop}{20}\text{ \Euro} && \text{(multiplier par la masse)} \end{aligned}$$
Exemple
Une cycliste parcourt \(\textcolor{colorprop}{45}\) km en \(\textcolor{colordef}{3}\) heures à vitesse constante.
  1. Quelle est sa vitesse moyenne ?
  2. Quelle distance parcourt-elle en \(\textcolor{colordef}{5}\) heures ?

  1. $$\begin{aligned}[t] \text{Vitesse} &= \textcolor{colorprop}{45} \div \textcolor{colordef}{3} = \textcolor{olive}{15}\text{ km/h} && \text{(distance} \div \text{temps)} \end{aligned}$$
  2. $$\begin{aligned}[t] \text{Distance en }5\text{ h} &= \textcolor{olive}{15} \times \textcolor{colordef}{5} = \textcolor{colorprop}{75}\text{ km} && \text{(multiplier par le temps)} \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Calculer une vitesse moyenne
  • Utiliser le coefficient avec ses unités
IV Calculer une quatrième proportionnelle
Proposition — Multiplier ou diviser par le coefficient
Dans une situation de proportionnalité, on multiplie ou on divise toujours par le même nombre : le coefficient de proportionnalité — diviser suppose bien sûr qu'il soit non nul.
Exemple. Un kilogramme de pêches coûte \(5\Euro\), donc le coefficient est \(\textcolor{olive}{5}\) euros par kilogramme :
Illustration
Proposition — La proportionnalité conserve les sommes
Dans un tableau de proportionnalité, quand on additionne deux valeurs de la première ligne, les valeurs correspondantes de la seconde ligne s'additionnent aussi.
Exemple. Quand j'ajoute \(\textcolor{colordef}{2}\) et \(\textcolor{colordef}{3}\), j'obtiens \(\textcolor{colordef}{5}\). Donc quand j'ajoute \(\textcolor{colorprop}{10}\) et \(\textcolor{colorprop}{15}\), j'obtiens \(\textcolor{colorprop}{25}\) :
Illustration
Proposition — La proportionnalité conserve les multiples
Dans un tableau de proportionnalité, quand on multiplie une valeur de la première ligne par un nombre, la valeur correspondante de la seconde ligne est multipliée par le même nombre.
Exemple. Quand je multiplie \(\textcolor{colordef}{1}\) par \(10\), j'obtiens \(\textcolor{colordef}{10}\). Donc quand je multiplie \(\textcolor{colorprop}{5}\) par \(10\), j'obtiens \(\textcolor{colorprop}{50}\) :
Illustration
Exemple
Ce tableau est un tableau de proportionnalité. Le compléter sans revenir à l'unité.
\textcolor{colordef}{Nombre de cahiers} \(\textcolor{colordef}{2}\) \(\textcolor{colordef}{3}\) \(\textcolor{colordef}{5}\) \(\textcolor{colordef}{20}\)
\textcolor{colorprop}{Prix (\(\Euro\))} \(\textcolor{colorprop}{8}\) \(\textcolor{colorprop}{12}\) \(?\) \(?\)

  • Comme \(\textcolor{colordef}{5} = \textcolor{colordef}{2} + \textcolor{colordef}{3}\) cahiers, la conservation des sommes donne \(\textcolor{colorprop}{8} + \textcolor{colorprop}{12} = \textcolor{colorprop}{20}~\Euro\).
  • Comme \(\textcolor{colordef}{20} = \textcolor{colordef}{2} \times 10\) cahiers, la conservation des multiples donne \(\textcolor{colorprop}{8} \times 10 = \textcolor{colorprop}{80}~\Euro\).

Méthode — Calculer une quatrième proportionnelle
Si 4 billets coûtent 28\(~\Euro\), combien coûtent 6 billets, sachant que chaque billet a le même prix ?
  • Méthode 1 : Coefficient de proportionnalité
    On cherche le prix pour une place : $$\text{Prix unitaire} = \dfrac{28}{4} = 7.$$ Pour 6 places : $$\text{Total pour 6 places} = 7 \times 6 = 42.$$
  • Méthode 2 : Produit en croix
    Illustration
Donc, \(\textcolor{colordef}{6}\) places coûtent \(\textcolor{colorprop}{42}\) euros.

La méthode du retour à l'unité est une excellente technique pour résoudre les problèmes de proportionnalité. L'idée principale est de trouver d'abord la valeur d'une seule unité, puis d'utiliser cette valeur pour trouver la quantité dont on a besoin.

Méthode — Retour à l'unité
Si \(\textcolor{colordef}{5}\) pommes coûtent \(\textcolor{colorprop}{10}\Euro\), combien coûtent \(\textcolor{colordef}{8}\) pommes ?
  • Étape 1 : Trouver le prix d'une pomme (le coût unitaire).
    Diviser le coût total par le nombre de pommes.
    Illustration
    Une pomme coûte \(\textcolor{colorprop}{2}\Euro\).
  • Étape 2 : Trouver le prix de 8 pommes.
    Multiplier le coût unitaire par le nombre de pommes voulu.
    Illustration
    Ainsi, \(\textcolor{colordef}{8}\) pommes coûtent \(\textcolor{colorprop}{16}\Euro\).
  • Illustration
Méthode — Choisir la procédure adaptée
Pour résoudre un problème de proportionnalité, on regarde les nombres et on choisit le chemin le plus rapide.
  • Multiplier une colonne quand la valeur cherchée est un multiple d'une colonne connue.
  • Ajouter deux colonnes quand la valeur cherchée est la somme de deux colonnes connues.
  • Revenir à l'unité (le coefficient), ou utiliser les produits en croix, quand rien de plus simple ne fonctionne.
Exemple. Une recette pour \(\textcolor{colordef}{4}\) personnes utilise \(\textcolor{colorprop}{300}\) g de farine.
Illustration
  • Pour \(\textcolor{colordef}{8}\) personnes (\(8 = 4 \times 2\)) : \(\textcolor{colorprop}{300} \times 2 = \textcolor{colorprop}{600}\) g.
  • Pour \(\textcolor{colordef}{2}\) personnes (\(2 = 4 \div 2\)) : \(\textcolor{colorprop}{300} \div 2 = \textcolor{colorprop}{150}\) g.
  • Pour \(\textcolor{colordef}{6}\) personnes (\(6 = 4 + 2\)) : \(\textcolor{colorprop}{300} + \textcolor{colorprop}{150} = \textcolor{colorprop}{450}\) g.
Exemple
Compléter ce tableau de proportionnalité en choisissant, pour chaque colonne, la procédure la plus rapide.
\(\textcolor{colordef}{\text{Personnes}}\) \(\textcolor{colordef}{4}\) \(\textcolor{colordef}{8}\) \(\textcolor{colordef}{12}\) \(\textcolor{colordef}{7}\)
\(\textcolor{colorprop}{\text{Sucre (g)}}\) \(\textcolor{colorprop}{120}\) \(?\) \(?\) \(?\)

  • Pour \(\textcolor{colordef}{8}\) (\(= 4 \times 2\)), on multiplie la colonne : \(\textcolor{colorprop}{120} \times 2 = \textcolor{colorprop}{240}\) g.
  • Pour \(\textcolor{colordef}{12}\) (\(= 4 + 8\)), on ajoute les colonnes : \(\textcolor{colorprop}{120} + \textcolor{colorprop}{240} = \textcolor{colorprop}{360}\) g.
  • Pour \(\textcolor{colordef}{7}\), on revient à l'unité : \(\textcolor{colorprop}{120} \div \textcolor{colordef}{4} = \textcolor{olive}{30}\) g par personne, puis \(\textcolor{olive}{30} \times \textcolor{colordef}{7} = \textcolor{colorprop}{210}\) g.

Compétences à pratiquer
  • Additionner deux colonnes
  • Multiplier une colonne
  • Calculer une quatrième proportionnelle
  • Calculer les valeurs manquantes dans un tableau de proportionnalité
  • Revenir à l'unité
  • Résoudre avec la procédure adaptée
  • Construire un tableau de proportionnalité
  • Calculer une valeur manquante
V Représenter graphiquement la proportionnalité
Méthode — Du tableau au graphique
Chaque colonne du tableau devient un point : la première grandeur sur l'axe horizontal, la seconde sur l'axe vertical.
Exemple. Le tableau de proportionnalité \(\textcolor{colordef}{1}, \textcolor{colordef}{2}, \textcolor{colordef}{3} \to \textcolor{colorprop}{2}, \textcolor{colorprop}{4}, \textcolor{colorprop}{6}\) donne les points ci-dessous.
Illustration
Proposition — Caractérisation graphique de la proportionnalité
Une situation est proportionnelle exactement lorsque les points de son graphique sont alignés avec l'origine.
Illustration
Au milieu, les points sont alignés mais la droite ne passe pas par l'origine ; à droite, la courbe qui passe par les points passe par l'origine, mais les points ne sont pas alignés. Aucune des deux situations n'est proportionnelle : il faut les deux conditions.
Exemple
Ce graphique montre le prix des cerises en fonction de la masse. Le prix est-il proportionnel à la masse ? Lire le prix de \(\textcolor{colordef}{3}\) kg.
Illustration

  • Les points sont alignés avec l'origine, donc le prix est proportionnel à la masse.
  • En suivant les pointillés depuis \(\textcolor{colordef}{3}\) kg jusqu'au graphique puis vers l'axe vertical : \(\textcolor{colordef}{3}\) kg coûtent \(\textcolor{colorprop}{9}\) euros.

Compétences à pratiquer
  • Reconnaître la proportionnalité sur un graphique
  • Lire un graphique
VI Les pourcentages
Définition — Pourcentage
Un pourcentage est une façon d'écrire une fraction de dénominateur \(100\) : \(42\pourcent\), c'est \(\dfrac{42}{100}\), soit \(42\) sur \(100\).
Le symbole \(\pourcent\) signifie « pour cent », ce qui veut dire « sur cent ».
Exemple
Cette grille a 100 carrés. Comme \(\textcolor{colorprop}{23}\) des \(\textcolor{colordef}{100}\) carrés sont coloriés, on dit que \(\textcolor{colorprop}{23}\textcolor{colordef}{\pourcent}\) de la grille est coloriée.
Illustration
$$\textcolor{colorprop}{23}\textcolor{colordef}{\pourcent} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{23}}{\textcolor{colordef}{100}}$$

Les pourcentages, les fractions et les nombres décimaux sont trois manières différentes de parler de la même valeur. Par exemple, \(\textcolor{colorprop}{50}\textcolor{colordef}{\pourcent}\), la fraction \(\dfrac{\textcolor{colorprop}{1}}{\textcolor{colordef}{2}}\), et le nombre décimal \(0{,}5\) signifient tous « la moitié ». Savoir convertir entre ces formes est une compétence très utile.
Remarque : Une idée très importante est que \(100\pourcent = \dfrac{100}{100} = 1\).
Puisque \(100\pourcent\) est juste une autre façon d'écrire le nombre \(1\), on peut multiplier n'importe quel nombre par \(100\pourcent\) sans changer sa valeur. C'est une astuce très utile pour convertir des nombres décimaux et des fractions en pourcentages.

Méthode — Convertir un pourcentage en fraction
Pour convertir un pourcentage en fraction, l'écrire comme une fraction sur 100, puis simplifier si possible.
Illustration
Méthode — Convertir une fraction en pourcentage
Pour convertir une fraction comme \(\dfrac{\textcolor{colorprop}{3}}{\textcolor{colordef}{4}}\) en pourcentage, on dispose de deux méthodes courantes :
  • Méthode 1 : Fractions égales. Trouver une fraction égale de dénominateur \(100\) (quand c'est possible, notamment quand le dénominateur divise \(100\) ; ce n'est pas le cas pour \(\dfrac{1}{3}\)).
    Illustration
  • Méthode 2 : Multiplier par \(100\pourcent\). Cela fonctionne car multiplier par \(100\pourcent\) revient à multiplier par 1. $$ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{colorprop}{3}}{\textcolor{colordef}{4}} &= 0{,}75 \quad (\text{car } 3 \div 4 = 0{,}75) \\ &= 0{,}75 \times \textcolor{colordef}{100\pourcent} \\ &= \textcolor{colorprop}{75}\textcolor{colordef}{\pourcent} \end{aligned} $$
Méthode — Convertir un pourcentage en nombre décimal
Pour convertir un pourcentage en nombre décimal, diviser par 100. Une façon rapide de le faire est de déplacer la virgule de deux places vers la gauche. $$ \textcolor{colorprop}{45}\textcolor{colordef}{\pourcent} = \textcolor{colorprop}{45} \div \textcolor{colordef}{100} = 0{,}45 $$
Méthode — Convertir un nombre décimal en pourcentage
Pour convertir un nombre décimal en pourcentage, multiplier par 100. Une façon rapide de le faire est de déplacer la virgule de deux places vers la droite et d'ajouter le symbole pour cent (\(\pourcent\)). $$ 0{,}68 = 0{,}68 \times 100\pourcent = \textcolor{colorprop}{68}\textcolor{colordef}{\pourcent} $$

Les pourcentages sont l'un des meilleurs moyens de comparer une partie à un tout.
Par exemple, s'il y a \(\textcolor{colorprop}{12}\) filles dans une classe de \(\textcolor{colordef}{20}\) élèves, quel est le pourcentage de filles ? Pour résoudre ce problème, on cherche une fraction égale de dénominateur \(100\) : $$\frac{\text{partie}}{\text{tout}} = \frac{\textcolor{colorprop}{12}}{\textcolor{colordef}{20}} = \frac{\textcolor{colorprop}{12} \times 5}{\textcolor{colordef}{20} \times 5} = \frac{\textcolor{colorprop}{60}}{\textcolor{colordef}{100}} \qquad \text{(fractions égales : numérateur et dénominateur multipliés par } 5\text{)}$$ Le pourcentage de filles dans la classe est de \(\textcolor{colorprop}{60}\textcolor{colordef}{\pourcent}\). Cela signifie que sur \(\textcolor{colordef}{100}\) élèves, \(\textcolor{colorprop}{60}\) seraient des filles.

Méthode — Du rapport au pourcentage
Pour convertir un rapport partie-tout (la fraction partie/tout) en pourcentage, utiliser la formule suivante : $$\text{Pourcentage}= \frac{\textcolor{colorprop}{\text{partie}}}{\textcolor{colordef}{\text{tout}}} \times \textcolor{colordef}{100}\pourcent$$ Mettre le tout à l'échelle \(\textcolor{colordef}{100}\) donne directement le pourcentage : par exemple, \(\textcolor{colorprop}{5}\) filles sur \(\textcolor{colordef}{25}\) deviennent (\(\times 4\)) \(\textcolor{colorprop}{20}\) sur \(\textcolor{colordef}{100}\).
Illustration
Exemple
À un quiz de mathématiques, Léo a répondu correctement à \(\textcolor{colorprop}{21}\) questions sur un total de \(\textcolor{colordef}{25}\). Calculer son score en pourcentage.

  • La \(\textcolor{colorprop}{\text{partie}}\) est le nombre de bonnes réponses : \(\textcolor{colorprop}{21}\).
  • Le \(\textcolor{colordef}{\text{tout}}\) est le nombre total de questions : \(\textcolor{colordef}{25}\).
  • \(\begin{aligned}[t]\text{Score en pourcentage} &= \frac{\textcolor{colorprop}{21}}{\textcolor{colordef}{25}} \times \textcolor{colordef}{100}\pourcent\\ &= 0{,}84 \times 100\pourcent \\ &= \textcolor{colorprop}{84}\textcolor{colordef}{\pourcent}\end{aligned}\)


Au Parlement A, il y a \(\textcolor{colorprop}{26}\) femmes sur \(\textcolor{colordef}{50}\) membres. Au Parlement B, il y a \(\textcolor{colorprop}{60}\) femmes sur \(\textcolor{colordef}{200}\) membres. Hugo dit : « Comme il y a plus de femmes au Parlement B, les femmes y sont mieux représentées. »
Cette affirmation est-elle une comparaison juste ?

Pour faire une comparaison juste, il faut comparer les pourcentages, pas les nombres absolus.
  • Parlement A :
    \(\text{Pourcentage de femmes} = \frac{\textcolor{colorprop}{26}}{\textcolor{colordef}{50}} \times 100\pourcent = \textcolor{colorprop}{52}\textcolor{colordef}{\pourcent}\)
  • Parlement B :
    \(\text{Pourcentage de femmes} = \frac{\textcolor{colorprop}{60}}{\textcolor{colordef}{200}} \times 100\pourcent = \textcolor{colorprop}{30}\textcolor{colordef}{\pourcent}\)
Conclusion : Comme \(\textcolor{colorprop}{52}\textcolor{colordef}{\pourcent} > \textcolor{colorprop}{30}\textcolor{colordef}{\pourcent}\), les femmes sont proportionnellement mieux représentées au Parlement A.


Méthode — Comparer avec des pourcentages
Pour comparer différents rapports partie-tout, les convertir en pourcentages fournit une base commune (sur 100), ce qui permet une comparaison juste et directe.
  • Étape 1 : Calculer le pourcentage pour chaque groupe.
  • Étape 2 : Comparer les pourcentages pour tirer une conclusion.
Méthode — Calculer la partie
Pour trouver une partie d'un total, multiplier le pourcentage par le tout. $$\textcolor{colorprop}{\text{Partie}} = \text{Pourcentage} \times \textcolor{colordef}{\text{Tout}}$$ Prendre \(x\pourcent\) d'un nombre, c'est en prendre la fraction \(\dfrac{x}{100}\). Ne pas oublier de convertir le pourcentage en nombre décimal ou en fraction avant de calculer.
Exemple
Dans une école de \(\textcolor{colordef}{200}\) élèves, \(\textcolor{colorprop}{60}\textcolor{colordef}{\pourcent}\) sont des filles. Calculer le nombre de filles.

Méthode 1 : Utilisation de la formule $$\begin{aligned}\textcolor{colorprop}{\text{Nombre de filles}} &= \textcolor{colorprop}{60}\textcolor{colordef}{\pourcent} \times \textcolor{colordef}{200} \\ &= 0{,}60 \times \textcolor{colordef}{200} \\ &= \textcolor{colorprop}{120}\end{aligned}$$ Il y a \(\textcolor{colorprop}{120}\) filles dans l'école. Méthode 2 : « pour 100 »
\(60\pourcent\) signifie \(60\) filles pour \(100\) élèves. Comme \(200 = 2 \times 100\), il y a \(2 \times 60 = 120\) filles.
\hline Élèves \(100\) \(200\)
Filles \(60\) \(120\)

Méthode — Calculer le tout
Pour trouver le tout quand on connaît une partie et son pourcentage, diviser la partie par le pourcentage — ce qui suppose un pourcentage non nul : une partie qui représente \(0\pourcent\) ne dit rien du tout. $$\textcolor{colordef}{\text{Tout}} = \frac{\textcolor{colorprop}{\text{Partie}}}{\text{Pourcentage}}$$ Ne pas oublier de convertir le pourcentage en nombre décimal ou en fraction avant de calculer.
Exemple
Dans une classe, \(\textcolor{colorprop}{40}\textcolor{colordef}{\pourcent}\) des élèves sont des filles. S'il y a \(\textcolor{colorprop}{14}\) filles, quel est le nombre total d'élèves ?

Méthode 1 : Utilisation de la formule $$\begin{aligned}\textcolor{colordef}{\text{Total des élèves}} &= \frac{\textcolor{colorprop}{14}}{\textcolor{colorprop}{40}\textcolor{colordef}{\pourcent}} \\ &= \frac{\textcolor{colorprop}{14}}{0{,}40} \\ &= \textcolor{colordef}{35}\end{aligned}$$ Il y a \(\textcolor{colordef}{35}\) élèves dans la classe. Méthode 2 : Produit en croix
Écrire l'égalité de rapports où \(x\) est le nombre total d'élèves. $$\begin{aligned}\frac{\textcolor{colorprop}{40}}{\textcolor{colordef}{100}} &= \frac{\textcolor{colorprop}{14}}{\textcolor{colordef}{x}} \\ \textcolor{colorprop}{40} \times \textcolor{colordef}{x} &= \textcolor{colorprop}{14} \times \textcolor{colordef}{100} \\ \textcolor{colordef}{x} &= \frac{1400}{40} = \textcolor{colordef}{35}\end{aligned}$$

Compétences à pratiquer
  • Convertir des fractions en pourcentages
  • Convertir des pourcentages en décimaux
  • Convertir des décimaux en pourcentages
  • Calculer le pourcentage d'une partie
  • Comparer avec des pourcentages
  • Calculer une partie à l'aide d'un pourcentage
  • Calculer le tout à l'aide d'un pourcentage
VII Les échelles

Pour concevoir une maison, un architecte crée un dessin beaucoup plus petit que le bâtiment réel. Pour ce faire, chaque mesure de la maison réelle est réduite de manière proportionnelle. Cette relation de proportionnalité est appelée l' échelle.
Pour les plans de maison, une échelle courante est de \(1{:}100\). Cela signifie que chaque longueur sur le dessin est 100 fois plus petite que la longueur réelle. Ce type de dessin est appelé un dessin à l'échelle.
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{\imagepath floorplan2.png}

Définition — Dessin à l'échelle et facteur d'échelle
Un dessin à l'échelle représente un objet réel avec toutes ses longueurs réduites (ou agrandies) dans la même proportion. L'échelle est le rapport d'une longueur dessinée sur la longueur réelle correspondante, écrites dans la même unité et simplifié pour ramener le terme dessiné à~\(1\) : $$\text{échelle} = (\text{long. dessinée}):(\text{long. réelle}) = \textcolor{colorprop}{1}:\textcolor{colordef}{N}.$$ Le second terme~\(\textcolor{colordef}{N}\) est le facteur d'échelle : pour une réduction — le cas usuel, avec \(N > 1\) — il indique combien de fois la réalité est plus grande que le dessin.
Exemple. Si \(\textcolor{colorprop}{4}\,\mathrm{cm}\) sur le plan représentent \(\textcolor{colordef}{8}\,\mathrm{m}\) en réalité, on écrit les deux dans la même unité puis on simplifie le rapport : $$\textcolor{colorprop}{4}\,\mathrm{cm}:\textcolor{colordef}{8}\,\mathrm{m} = \textcolor{colorprop}{4}:\textcolor{colordef}{800} = \textcolor{colorprop}{1}:\textcolor{colordef}{200}.$$ L'échelle est donc \(1{:}200\) (facteur d'échelle \(200\)).
Proposition — Formules
Comme l'échelle est \(\textcolor{colorprop}{1}:\textcolor{colordef}{N}\), une longueur dessinée et sa longueur réelle sont toujours dans ce rapport : \((\text{dessinée}):(\text{réelle}) = 1:N\). Trouver une longueur manquante revient à agrandir ou réduire ce rapport, ce qui donne trois formules utiles : $$\begin{aligned}\text{Longueur réelle} &= \text{Longueur dessinée} \times \text{Facteur d'échelle}\\ \text{Longueur dessinée} &= \frac{\text{Longueur réelle}}{\text{Facteur d'échelle}}\\ \text{Facteur d'échelle} &= \frac{\text{Longueur réelle}}{\text{Longueur dessinée}}\end{aligned}$$ Note : Pour calculer le facteur d'échelle, les deux longueurs doivent être dans la même unité.
Illustration

En partant de l'égalité de rapports principale : $$\frac{\textcolor{colorprop}{1}}{\textcolor{colordef}{\text{Facteur d'échelle}}}= \frac{\textcolor{colorprop}{\text{Longueur dessinée}}}{\textcolor{colordef}{\text{Longueur réelle}}}$$ Par produit en croix, on obtient : $$\textcolor{colorprop}{1} \times \textcolor{colordef}{\text{Longueur réelle}} = \textcolor{colorprop}{\text{Longueur dessinée}} \times \textcolor{colordef}{\text{Facteur d'échelle}}$$ Cela se simplifie en la formule principale : $$\textcolor{colordef}{\text{Longueur réelle}} = \textcolor{colorprop}{\text{Longueur dessinée}} \times \textcolor{colordef}{\text{Facteur d'échelle}}$$

Exemple
Calculer la largeur réelle de cette maison.
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La largeur dessinée de la maison est de \(4\,\mathrm{cm}\). L'échelle \(1{:}200\) signifie que le facteur d'échelle est de \(200\). $$\begin{aligned}\text{Largeur réelle} &= \text{Largeur dessinée} \times \text{Facteur d'échelle}\\ &= 4\,\mathrm{cm} \times 200 \\ &= 800\,\mathrm{cm} \\ &= 8\,\mathrm{m}\end{aligned}$$ La largeur réelle de la maison est de \(8\) mètres.

Exemple
Pour une échelle de \(1{:}200\), calculer la longueur dessinée correspondant à une longueur réelle de \(6\,\mathrm{m}\).

Le facteur d'échelle est de \(200\). $$\begin{aligned}\text{Longueur dessinée} &= \frac{\text{Longueur réelle}}{\text{Facteur d'échelle}}\\ &= \frac{6\,\mathrm{m}}{200}\\ &= \frac{600\,\mathrm{cm}}{200} &&(\text{conversion d'unités})\\ &= 3\,\mathrm{cm}\end{aligned}$$ Une longueur réelle de \(6\,\mathrm{m}\) est représentée par une longueur dessinée de \(3\,\mathrm{cm}\).

Exemple
Une longueur dessinée de \(2\,\mathrm{cm}\) représente une longueur réelle de \(5\,\mathrm{m}\). Calculer le facteur d'échelle et l'échelle.

On écrit l'échelle comme le rapport (longueur dessinée : longueur réelle) dans la même unité, puis on le simplifie sous la forme \(1:N\) : $$\textcolor{colorprop}{2}\,\mathrm{cm} : \textcolor{colordef}{5}\,\mathrm{m} = \textcolor{colorprop}{2}\,\mathrm{cm} : \textcolor{colordef}{500}\,\mathrm{cm} = \textcolor{colorprop}{2}:\textcolor{colordef}{500} = \textcolor{colorprop}{1}:\textcolor{colordef}{250}.$$ L'échelle est \(1{:}250\), donc le facteur d'échelle est \(250\).

Compétences à pratiquer
  • Déterminer l'échelle
  • Calculer des longueurs avec les formules
  • Calculer les longueurs réelles sur un dessin à l'échelle
  • Convertir des longueurs avec une échelle
VIII Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
  • Problèmes
  • Critiquer un modèle proportionnel
  • Interpréter un graphique de proportionnalité
  • Résoudre des problèmes en plusieurs étapes
  • Quiz
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