Nombres rationnels

• \(-\dfrac{3}{4} = \dfrac{-3}{4}\) : le quotient des entiers relatifs \(-3\) et \(4\).
• \(7 = \dfrac{7}{1}\) : tout entier relatif est un nombre rationnel.
• \(-2{,}5 = \dfrac{-25}{10}\) : le quotient des entiers relatifs \(-25\) et \(10\) (on peut aussi écrire \(\dfrac{-5}{2}\)).

$$\begin{aligned}[t]\dfrac{84}{126} &= \dfrac{42}{63} && \text{(Diviser les deux par le facteur commun 2)} \\ &= \dfrac{14}{21} && \text{(Diviser les deux par le facteur commun 3)} \\ &= \dfrac{2}{3} && \text{(Diviser les deux par le facteur commun 7)}\end{aligned}$$ Les nombres \(2\) et \(3\) n'ont aucun facteur commun autre que \(1\) : la fraction \(\dfrac{2}{3}\) est irréductible. Contrôle : les diviseurs successifs ont pour produit \(2 \times 3 \times 7 = 42\), et \(2 \times 42 = 84\), \(3 \times 42 = 126\).

• $$\begin{aligned}[t]\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4} &= \dfrac{1 + 2}{4} \\ &= \dfrac{3}{4}\end{aligned}$$
• \(+\) \(=\)

• Trouver un dénominateur commun : Pour additionner des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur.
  • Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, \(\dots\)
  • Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, \(\dots\)
  • Le plus petit dénominateur commun est 12.
• $$\begin{aligned}[t]\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6}&= \frac{3 \times \textcolor{olive}{3}}{4 \times \textcolor{olive}{3}}+\frac{5 \times \textcolor{olive}{2}}{6 \times \textcolor{olive}{2}}&&\\ &=\dfrac{9}{12}+\dfrac{10}{12}&&\quad\text{(dénominateur commun}= 12)\\ &=\dfrac{9+10}{12}&&\quad\text{(additionner les numérateurs)}\\ &=\dfrac{19}{12}&&\\ \end{aligned}$$
• Représentation visuelle :

  \(+\)	\(=\)	\(+\)
  	\(=\)

En appliquant la définition, on multiplie l'entier (3) par le numérateur (2) et conservons le dénominateur (5). $$ \begin{aligned} 3 \times \dfrac{2}{5} &= \dfrac{3 \times 2}{5} \\ &= \dfrac{6}{5} \end{aligned} $$ Le calcul peut être visualisé comme l'addition répétée de \(\dfrac{2}{5}\):

\(3\times\)	\(=\)	\(+\) \(+\)
	\(=\)

En appliquant la règle de multiplication des fractions :$$\begin{aligned}[t]\dfrac{5}{2} \times \dfrac{3}{4} &= \dfrac{5 \times 3}{2 \times 4} \\ &= \dfrac{15}{8}\end{aligned}$$

Le nombre 31 est un facteur à la fois dans un numérateur et dans un dénominateur. On peut simplifier avant de multiplier.$$\begin{aligned}[t]\dfrac{31}{7} \times \dfrac{12}{31}&= \dfrac{\textcolor{colordef}{\cancel{31}} \times 12}{7 \times \textcolor{colordef}{\cancel{31}}} \quad \text{(Simplifier le facteur commun 31)} \\ &= \dfrac{12}{7}\end{aligned}$$

La simplification suit ces étapes :$$\begin{aligned}[t]\frac{-4}{-6} &= \frac{4}{6} && \text{(Application de la règle des signes : négatif } \div \text{ négatif } = \text{ positif)} \\ &= \frac{2 \times \cancel{2}}{3 \times \cancel{2}} && \text{(factorisation et simplification par le facteur commun 2)} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}$$

Les deux dénominateurs sont déjà positifs. Pour deux nombres négatifs, celui qui est le plus proche de zéro est le plus grand : on compare donc les distances à zéro sur le dénominateur commun \(12\) : $$\begin{aligned} \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12} \quad\text{et}\quad \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}, && \text{(dénominateur commun)}\\ \dfrac{8}{12} < \dfrac{9}{12} \quad\text{donc}\quad -\dfrac{2}{3} > -\dfrac{3}{4}. && \text{(le signe renverse l'ordre)} \end{aligned}$$ La seconde comparaison ne demande aucun calcul : un nombre négatif est plus petit qu'un nombre positif, donc \(-\dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4}\).

L'addition et la soustraction fonctionnent comme avant ; seuls les numérateurs portent les signes, et une soustraction se lit comme l'addition de l'opposé. $$\begin{aligned} \dfrac{2}{3} - \dfrac{3}{4} &= \dfrac{8}{12} - \dfrac{9}{12} && \text{(dénominateur commun)}\\ &= \dfrac{8-9}{12} && \text{(même dénominateur)}\\ &= \textcolor{colorprop}{-\dfrac{1}{12}.} && \text{(le résultat peut être négatif)} \end{aligned}$$ La condition rencontrée avec les fractions positives, que la première fraction ne soit pas plus petite que la seconde, n'est plus nécessaire : avec les nombres négatifs, toute soustraction a un résultat. $$\begin{aligned} -\dfrac{2}{3} - 2 &= -\dfrac{2}{3} - \dfrac{6}{3} && \left(2 = \dfrac{6}{3}\right)\\ &= \dfrac{-2-6}{3} = \textcolor{colorprop}{-\dfrac{8}{3}.} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} -\dfrac{2}{3} - \left(-\dfrac{4}{3}\right) &= -\dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3} && \text{(soustraire, c'est ajouter l'opposé)}\\ &= \dfrac{-2+4}{3} = \textcolor{colordef}{\dfrac{2}{3}.} && \text{(retirer un négatif fait grandir)} \end{aligned}$$

L'inverse de \(\dfrac{5}{7}\) est \(\dfrac{7}{5}\).

En appliquant la procédure de division de fractions :$$\begin{aligned}[t]\frac{2}{3} \div \frac{5}{7} &= \frac{2}{3} \times \frac{7}{5} && \text{(Multiplier par l'inverse du diviseur)} \\ &= \frac{2 \times 7}{3 \times 5} && \text{(Multiplier les numérateurs et les dénominateurs)} \\ &= \frac{14}{15}\end{aligned}$$

Les règles des signes des nombres relatifs se transfèrent aux fractions : un facteur négatif donne un résultat négatif. $$\begin{aligned} -\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{7} &= -\dfrac{2\times5}{3\times7} && \text{(un facteur négatif : négatif)}\\ &= \textcolor{colorprop}{-\dfrac{10}{21}.} \end{aligned}$$ Diviser, c'est multiplier par l'inverse : $$\begin{aligned} \left(-\dfrac{3}{4}\right)\div\dfrac{2}{5} &= -\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{2}\\ &= \textcolor{colorprop}{-\dfrac{15}{8}.} \end{aligned}$$

En appliquant les priorités opératoires aux fractions :$$\begin{aligned}[t]\frac{1+7}{3\times 4} &= \frac{(1+7)}{(3\times 4)} && \text{(Reconnaître le regroupement implicite)} \\ &= \frac{8}{12} && \text{(Calculer le numérateur et le dénominateur)} \\ &= \frac{2 \times \cancel{4}}{3 \times \cancel{4}} && \text{(simplification par le facteur commun 4)} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}[t]B &= \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} && \text{(La multiplication d'abord)} \\ &= \dfrac{3}{6} && \text{(Soustraire les numérateurs)} \\ &= \dfrac{1}{2} && \text{(Diviser les deux par 3)}\end{aligned}$$ Les nombres \(1\) et \(2\) n'ont aucun facteur commun autre que \(1\) : le résultat \(\dfrac{1}{2}\) est irréductible.