Éducation Nationale Française · CE2
Les fractions
I
Qu'est-ce qu'une fraction ?
Hugo a 1 unité, ce qui est un gâteau complet : 
. Il coupe l'unité en 2 parts égales pour la partager. Hugo prend 1 part sur 2 parts égales : 
. On écrit cela \(\displaystyle \dfrac{1}{2}\). Quelle part du gâteau reste-t-il pour sa sœur ?
. Il coupe l'unité en 2 parts égales pour la partager. Hugo prend 1 part sur 2 parts égales : . On écrit cela \(\displaystyle \dfrac{1}{2}\). Quelle part du gâteau reste-t-il pour sa sœur ? Définition — Fraction
Une fraction a deux nombres séparés par une barre de fraction : le numérateur (en haut) et le dénominateur (en bas). 
Définition — Lire une fraction à voix haute
Le nombre du bas a un nom, et ce nom dit comment s'appelle une part. | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{1}{3}\) | \(\dfrac{1}{4}\) | \(\dfrac{1}{5}\) | \(\dfrac{1}{6}\) | \(\dfrac{1}{8}\) | \(\dfrac{1}{10}\) |
| un demi | un tiers | un quart | un cinquième | un sixième | un huitième | un dixième |
Définition — Fraction unitaire
Une fraction qui a \(1\) en haut s'appelle une fraction unitaire : c'est une seule part de l'unité. 
Proposition — Toute fraction est faite de parts unitaires
Toute fraction est faite de fractions unitaires, mises bout à bout. 
Compétences à pratiquer
- Déterminer la fraction dans des figures
- Déterminer les fractions
- Déterminer la fraction dans des problèmes courants
II
Fractions équivalentes
Un gâteau est coupé en 3 parts égales. Une part, qui représente \(\dfrac{1}{3}\) du gâteau, est mise de côté. 
Puis chacune des trois parts est coupée en deux. Le gâteau est maintenant divisé en 6 parts égales. La même quantité de gâteau qu’avant correspond maintenant à 2 de ces parts. 
Même si le nombre de morceaux a changé, la quantité de gâteau coloriée a-t-elle changé ?
Non—la quantité de gâteau n’a pas changé. Les modèles montrent que la partie coloriée est la même dans les deux cas. \(\quad=\quad\) Donc, les fractions \(\dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{2}{6}\) représentent la même valeur.
\(\quad=\quad\)Définition — Fractions équivalentes
Deux fractions sont équivalentes si elles représentent la même quantité. On obtient une fraction équivalente en coupant chaque part en un même nombre de parts plus petites : le numérateur et le dénominateur sont multipliés par ce nombre. Regrouper les parts fait l'inverse : on les divise tous les deux par un même nombre, qui doit diviser exactement le numérateur et le dénominateur. 
Méthode — Reconnaître des fractions équivalentes
Deux fractions sont équivalentes quand elles représentent la même quantité de la même unité : sur deux bandes identiques, elles couvrent la même longueur. - Le dire. « Si, pour une même unité, je fais des parts deux fois plus petites et si je prends deux fois plus de parts, alors j'en prends la même quantité. » Des quarts coupés en deux donnent des huitièmes : \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8}\).
- Le voir sur deux bandes identiques. La première bande est coupée en quarts, la seconde en huitièmes : \(\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{6}{8}\) couvrent la même longueur.
- Trouver un numérateur manquant. \(\dfrac{?}{8} = \dfrac{1}{2}\) : les huitièmes sont \(4\) fois plus petits que les demis, donc prendre \(4\) fois plus de parts : \(\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\).
- Trouver un dénominateur manquant. \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{?}\) : deux fois plus de parts sont prises, donc les parts sont deux fois plus petites : des sixièmes, \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}\).
Exemple
Parmi les fractions \(\dfrac{1}{3}\), \(\dfrac{2}{4}\), \(\dfrac{3}{4}\), \(\dfrac{2}{6}\) et \(\dfrac{3}{6}\), quelles sont celles qui sont équivalentes à \(\dfrac{1}{2}\) ? Puis trouver le numérateur manquant : \(\dfrac{?}{10} = \dfrac{2}{5}\).
\(\dfrac{1}{2}\), c'est une part sur deux : la moitié du tout.
- \(\dfrac{2}{4}\) : des parts deux fois plus petites, deux fois plus de parts prises : équivalente à \(\dfrac{1}{2}\).
- \(\dfrac{3}{6}\) : des parts trois fois plus petites, trois fois plus de parts prises : équivalente à \(\dfrac{1}{2}\).
- \(\dfrac{1}{3}\) est plus petite qu'un demi (\(3\) parts, une seule prise), \(\dfrac{3}{4}\) est plus grande qu'un demi, \(\dfrac{2}{6}\) est équivalente à \(\dfrac{1}{3}\), pas à \(\dfrac{1}{2}\).
Compétences à pratiquer
- Reconnaître des fractions équivalentes en images
- Colorier une fraction de la bande
- Trouver le numérateur manquant
- Trouver le dénominateur manquant
III
Sur la demi-droite graduée
Les fractions ne représentent pas seulement des parties d'une forme ; elles peuvent aussi représenter des points sur une demi-droite graduée. Le segment de 0 à 1 est une unité.
Si on divise l'unité en 2 parties égales, le point au milieu représente la fraction \(\dfrac{1}{2}\). 
Si on divise l'unité en 2 parties égales, le point au milieu représente la fraction \(\dfrac{1}{2}\).
Méthode — Représenter les fractions sur la demi-droite graduée
Pour représenter la fraction \(\dfrac{\textcolor{colordef}{2}}{\textcolor{colorprop}{3}}\) sur la demi-droite graduée : - Dessiner une droite et marquer les points \(0\) et \(1\).
- Diviser le segment de \(0\) à \(1\) en \(\textcolor{colorprop}{3}\) parties égales (le dénominateur).
- Compter \(\textcolor{colordef}{2}\) parts à partir de \(0\) (le numérateur) et marquer le point en \(\dfrac{\textcolor{colordef}{2}}{\textcolor{colorprop}{3}}\) .
La fraction est une longueur
Sur la demi-droite graduée, une fraction n'est pas seulement un point : c'est aussi une longueur. Le segment de \(0\) à \(\dfrac{3}{4}\) mesure \(\dfrac{3}{4}\) d'unité — les trois quarts du chemin de \(0\) à \(1\). 
Une bande de papier aussi longue que l'unité, pliée en \(4\) parts égales, devient une règle graduée en quarts : posée le long d'un segment, elle le mesure en quarts d'unité. Avec un quadrillage, prendre une bande-unité de \(10\) carreaux : chaque carreau est une part, une règle graduée en dixièmes.
Méthode — Mesurer avec une règle graduée en fractions d'unité
Pour mesurer une longueur qui n'est pas un nombre entier d'unités : - Graduer l'unité. Plier la bande-unité en \(4\) parts égales pour les quarts, ou prendre une bande-unité de \(10\) carreaux sur un quadrillage pour les dixièmes. Pour une longueur plus grande que l'unité, reporter la bande bout à bout autant de fois qu'il le faut, puis lire la fraction qui reste.
- Poser la règle avec son \(0\) à une extrémité du segment.
- Lire la graduation à l'autre extrémité et donner la réponse de l'une des trois façons :
- une fraction de l'unité : « la longueur du segment est égale à \(\dfrac{3}{4}\) d'unité » ;
- un encadrement, quand l'extrémité tombe entre deux graduations : « la longueur de la bande est comprise entre \(\dfrac{7}{10}\) d'unité et \(\dfrac{8}{10}\) d'unité » ;
- des unités entières et une fraction : « la longueur du segment est égale à \(2\) unités et \(\dfrac{1}{4}\) d'unité », ce qui s'écrit aussi \(2 + \dfrac{1}{4}\).
Méthode — Tracer un segment d'une longueur donnée
- Choisir la règle dont les graduations conviennent à la fraction : les quarts pour \(\dfrac{3}{4}\), les dixièmes pour \(\dfrac{3}{10}\).
- Partir de \(0\) et compter les intervalles : \(3\) quarts pour \(\dfrac{3}{4}\), c'est-à-dire \(3\) graduations après \(0\).
- Si la fraction n'est pas écrite dans les graduations de la règle, utiliser une fraction équivalente. Sur la règle en dixièmes, \(\dfrac{1}{2}\), c'est \(\dfrac{5}{10}\) : compter \(5\) dixièmes.
- Pour une longueur plus grande que l'unité, comme \(1 + \dfrac{3}{10}\), tracer d'abord l'unité entière, puis \(3\) dixièmes de plus.
Exemple — Fractions équivalentes
Sur une demi-droite graduée, deux fractions différentes peuvent marquer le même point. Diviser l'unité de \(0\) à \(1\) en \(2\) parts égales : \(\dfrac{1}{2}\) est le point du milieu. Diviser la même unité en \(4\) parts égales : \(\dfrac{2}{4}\) tombe exactement sur ce même point. 
Compétences à pratiquer
- Graduer la bande-unité
- Déterminer les fractions avec la barre
- Déterminer les fractions sur la droite
- Placer des fractions sur la demi-droite graduée
- Placer des fractions équivalentes sur la droite graduée
- Lire une longueur sur la règle graduée
- Encadrer une longueur entre deux graduations
- Tracer un segment d'une longueur donnée
IV
Comparer des fractions
Méthode — Comparer des fractions sur la droite graduée
Deux fractions placées sur la même droite se comparent comme des longueurs : la plus à droite est la plus grande. Trois cas : - Même dénominateur. Mêmes graduations : le plus grand numérateur va plus loin. \(\dfrac{5}{12}\), c'est \(5\) douzièmes, \(\dfrac{7}{12}\), c'est \(7\) douzièmes : \(\dfrac{5}{12} < \dfrac{7}{12}\).
- Même numérateur. Le même nombre de pas, mais les pas sont plus petits quand le dénominateur est plus grand : \(5\) douzièmes, ce sont \(5\) petits pas, \(5\) huitièmes, \(5\) pas plus grands. \(\dfrac{5}{12} < \dfrac{5}{8}\).
- Un dénominateur est un multiple de l'autre. Écrire la fraction aux grandes parts dans les graduations les plus fines : \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}\) (chaque sixième vaut deux douzièmes). Puis comparer sur la droite en douzièmes : \(\dfrac{7}{12} < \dfrac{10}{12}\), donc \(\dfrac{7}{12} < \dfrac{5}{6}\).
Exemple
Comparer \(\dfrac{5}{12}\) et \(\dfrac{5}{8}\) ; puis \(\dfrac{2}{3}\) et \(\dfrac{7}{12}\). Enfin, ranger \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{5}{8}\) et \(\dfrac{3}{4}\) du plus petit au plus grand à l'aide de la droite graduée en huitièmes. - Même numérateur : \(5\) pas à chaque fois, mais un huitième est un pas plus grand qu'un douzième, donc \(\dfrac{5}{12} < \dfrac{5}{8}\).
- \(12\) est un multiple de \(3\) : chaque tiers vaut quatre douzièmes, \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}\). Sur la droite en douzièmes, \(\dfrac{7}{12} < \dfrac{8}{12}\), donc \(\dfrac{7}{12} < \dfrac{2}{3}\).
- Sur la droite en huitièmes : \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8}\) et \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8}\). En lisant de gauche à droite : \(\dfrac{4}{8} < \dfrac{5}{8} < \dfrac{6}{8}\), c'est-à-dire \(\dfrac{1}{2} < \dfrac{5}{8} < \dfrac{3}{4}\).
Compétences à pratiquer
- Comparer des fractions sur la droite graduée
- Ranger des fractions sur la règle graduée
V
Additionner des fractions
Le gâteau d'Hugo est coupé en \(4\) parts égales (des quarts). Hugo mange \(\dfrac{2}{4}\) du gâteau \(=\) 
, puis encore \(\dfrac{1}{4}\) \(=\) 
.
Quelle fraction du gâteau a-t-il mangée ?
, puis encore \(\dfrac{1}{4}\) \(=\) .Quelle fraction du gâteau a-t-il mangée ?
Les parts sont toutes de la même taille (des quarts), alors on compte simplement ensemble les parts mangées : \(2+1=3\) quarts. 
Hugo a mangé \(\dfrac{3}{4}\) du gâteau.
Définition — Addition de fractions avec des dénominateurs communs
Pour additionner des fractions de même dénominateur, on additionne les numérateurs et on conserve le dénominateur : Compétences à pratiquer
- Additionner avec la barre
- Additionner avec le même dénominateur
VI
Soustraire des fractions
Un autre jour, il reste \(\dfrac{3}{4}\) du gâteau d'Hugo \(=\) 
. Hugo mange encore \(\dfrac{1}{4}\).
Quelle fraction du gâteau reste-t-il maintenant ?
. Hugo mange encore \(\dfrac{1}{4}\).Quelle fraction du gâteau reste-t-il maintenant ?
Les parts sont de la même taille (des quarts), alors on soustrait les nombres de parts : \(3-1=2\) quarts restent. 
Il reste \(\dfrac{2}{4}\) du gâteau.
Définition — Soustraction de fractions avec des dénominateurs communs
Pour soustraire des fractions de même dénominateur, on soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur :
Le gâteau entier
Hugo découpe un gâteau en \(3\) parts égales — et il les mange toutes : 
. Il a mangé \(3\) parts sur \(3\) : le gâteau entier. $$\dfrac{3}{3} = 1$$ Avant la première bouchée, c'était l'inverse — \(0\) part sur \(3\), rien du gâteau : 
. $$\dfrac{0}{3} = 0$$
. Il a mangé \(3\) parts sur \(3\) : le gâteau entier. $$\dfrac{3}{3} = 1$$ Avant la première bouchée, c'était l'inverse — \(0\) part sur \(3\), rien du gâteau : . $$\dfrac{0}{3} = 0$$
Proposition — Quand la fraction vaut 1 ou 0
Quand les deux nombres sont égaux, toutes les parts sont prises : la fraction est toute l'unité. Elle vaut \(1\). 
Compétences à pratiquer
- Soustraire avec la barre
- Soustraire avec le même dénominateur
VII
Addition et soustraction avec des dénominateurs différents
Pour additionner ou soustraire des fractions en combinant leurs numérateurs, il faut d'abord qu'elles représentent des parts de la même taille, c'est-à-dire qu'elles soient écrites avec un dénominateur commun. Considérons le problème de l'addition de \(\dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{1}{4}\). 
\(+\) 
Comme les fractions ont des dénominateurs différents (2 et 4), les parts sont de tailles différentes. Une addition directe des numérateurs n'est pas possible. Pour résoudre ce problème, il faut d'abord exprimer les fractions avec un dénominateur commun.
\(+\) Méthode — Procédure pour l'addition ou la soustraction de fractions
Pour additionner ou soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, suivre cette procédure en trois étapes : - Trouver un dénominateur commun : Identifier un multiple commun des dénominateurs.
- Créer des fractions équivalentes : Convertir chaque fraction en une fraction équivalente avec le dénominateur commun.
- Additionner ou soustraire les numérateurs : Maintenant que les dénominateurs sont identiques, effectuer l'opération sur les numérateurs et conserver le dénominateur commun. Pour une soustraction, la première fraction ne doit pas être plus petite que la seconde.
Exemple
On applique la procédure pour calculer \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\). - Étape 1 : Trouver un dénominateur commun. Les dénominateurs sont 2 et 4. Un multiple commun est 4.
- Étape 2 : Créer des fractions équivalentes.
- La fraction \(\dfrac{1}{4}\) a déjà le dénominateur commun.
- Convertir \(\dfrac{1}{2}\) en une fraction équivalente avec un dénominateur de 4 :
- Étape 3 : Additionner les numérateurs. Maintenant que les deux fractions ont le même dénominateur, on peut les additionner : $$ \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{4} = \frac{3}{4} $$
| \(+\) | \(=\) |  \(+\) |
| \(=\) |  | |
| \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\) | \(=\) | \(\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}\) |
| \(=\) | \(\dfrac{3}{4}\) |
Quand un dénominateur est multiple de l'autre
Quand l'un des deux dénominateurs est un multiple de l'autre, le dénominateur commun est simplement le plus grand des deux, et une seule fraction est à réécrire.
Exemple
Calculer \(\dfrac{3}{10} + \dfrac{2}{5}\) et \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}\). - \(10\) est un multiple de \(5\) : le dénominateur commun est \(10\). $$\begin{aligned}\dfrac{3}{10} + \dfrac{2}{5} &= \dfrac{3}{10} + \dfrac{4}{10} && \text{(chaque cinquième vaut deux dixièmes)}\\ &= \dfrac{7}{10}\end{aligned}$$
- \(6\) est un multiple de \(3\) : le dénominateur commun est \(6\). $$\begin{aligned}\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3} &= \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} && \text{(chaque tiers vaut deux sixièmes)}\\ &= \dfrac{3}{6}\end{aligned}$$ Trois sixièmes, c'est un demi.
Compétences à pratiquer
- Placer la somme sur la droite graduée
- Additionner quand un dénominateur est un multiple de l'autre
- Soustraire quand un dénominateur est un multiple de l'autre
VIII
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Mesurer et comparer dans des problèmes
- Quiz
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