I Moitiés et quarts

Léa et Tom veulent partager une pizza de façon juste. Voici deux façons de la couper en deux parts.

Quelle découpe est juste pour Léa et Tom ?

La découpe B est juste : ses deux parts ont la même taille. Ce sont des parts égales.
Avec la découpe A, une part est plus grande que l'autre : l'enfant qui la reçoit a plus de pizza.

Définition — Moitié et quart

Quand on coupe une unité (un gâteau, une bande, une figure) en 2 parts égales, chaque part est une moitié de l'unité. On écrit $\dfrac{1}{2}$ et on lit « un demi ».

Quand on coupe une unité en 4 parts égales, chaque part est un quart de l'unité. On écrit $\dfrac{1}{4}$ et on lit « un quart ».

Deux moitiés font une unité. Quatre quarts font une unité.
Quand les parts ne sont pas égales, l'unité n'est coupée ni en moitiés ni en quarts.

Deux quarts font une moitié

Deux bandes identiques : la première est coupée en $2$ parts égales, la deuxième en $4$ parts égales.

Plus on coupe une unité en beaucoup de parts égales, plus chaque part est petite. La moitié d'une unité est plus grande que le quart de la même unité.

Deux quarts recouvrent exactement une moitié : deux quarts font une moitié.

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Méthode — Plier une bande en moitiés et en quarts

Pour couper une bande de papier ou un ruban en moitiés ou en quarts, sans mesurer :

Plier la bande en deux, bout contre bout. Le pli est au milieu : les $2$ parts sont égales, chaque part est une moitié.
Sans la déplier, la plier encore en deux. Dépliée, la bande montre $3$ plis et $4$ parts égales : chaque part est un quart.

Exemple

Un ruban a $8$ carreaux égaux.

Plier le ruban en deux : combien de carreaux y a-t-il dans la moitié du ruban ? Le plier encore en deux : combien de carreaux y a-t-il dans le quart du ruban ?

Correction

Plié en deux, le ruban fait $2$ parts égales de $4$ carreaux : il y a 4 carreaux dans la moitié du ruban, car $4 + 4 = 8$.
Plié encore en deux, il fait $4$ parts égales de $2$ carreaux : il y a 2 carreaux dans le quart du ruban, car $2 + 2 + 2 + 2 = 8$.

Compétences à pratiquer

Reconnaître des moitiés et des quarts
Nommer la part
Colorier une moitié ou un quart

II Qu'est-ce qu'une fraction ?

Découverte

Hugo a 1 unité, ce qui est un gâteau complet :

. Il coupe l'unité en 2 parts égales pour la partager. Hugo prend 1 part sur 2 parts égales :

. On écrit cela $\displaystyle \dfrac{1}{2}$. Quelle part du gâteau reste-t-il pour sa sœur ?

Définition — Fraction

Une fraction a deux nombres séparés par une barre de fraction : le numérateur (en haut) et le dénominateur (en bas).

Définition — Lire une fraction à voix haute

Le nombre du bas a un nom, et ce nom dit comment s'appelle une part.

$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{5}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{8}$	$\dfrac{1}{10}$
un demi	un tiers	un quart	un cinquième	un sixième	un huitième	un dixième

De cinq à dix, le nom se termine par -ième : cinquième, sixième, huitième, dixième. Seuls $2$, $3$ et $4$ ont des noms à eux : demi, tiers, quart. Le nombre du haut dit ensuite combien on prend de ces parts. $$\dfrac{3}{4} \;\longrightarrow\; \text{trois quarts} \qquad\qquad \dfrac{2}{3} \;\longrightarrow\; \text{deux tiers}$$

Définition — Fraction unitaire

Une fraction qui a $1$ en haut s'appelle une fraction unitaire : c'est une seule part de l'unité.

$$\dfrac{1}{8}$$

Proposition — Toute fraction est faite de parts unitaires

Toute fraction est faite de fractions unitaires, mises bout à bout.

$$\dfrac{3}{8} \;=\; \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8}$$ Cela se lit : trois huitièmes, c'est trois fois un huitième. Quand on met bout à bout des parts de même taille, le nombre du bas ne change pas ; c'est seulement combien on en prend qui change.

Compétences à pratiquer

Déterminer si les parts sont égales
Déterminer la fraction dans des figures
Déterminer les fractions
Déterminer la fraction dans des problèmes courants
Déterminer les numérateurs et les dénominateurs
Écrire les fractions à partir des mots
Fabriquer une fraction avec des parts
Dessiner des fractions

III Comparer des fractions

Découverte

Léa et Tom ont chacun une bande de papier. Les deux bandes sont identiques, et toutes les deux sont coupées en dixièmes. Léa a colorié $\dfrac{3}{10}$ de la sienne, Tom $\dfrac{7}{10}$ de la sienne. Léa

Tom

Dire qui a colorié le plus.

Correction

C'est Tom. Et il n'y a rien eu à compter deux fois : les deux bandes sont identiques, coupées de la même façon, donc chaque part est de la même taille.
Quand les parts sont de la même taille, seul combien on en colorie décide. Tom a $7$ parts coloriées, Léa en a $3$, et $3$ est plus petit que $7$. $$\dfrac{3}{10} \lt \dfrac{7}{10}$$

Proposition — Ordonner les fractions avec le même dénominateur

Pour deux fractions ayant le même dénominateur, celle dont le numérateur est plus grand est la plus grande.

Exemple

Comparer $\dfrac{6}{8}$ et $\dfrac{5}{8}$.

Correction

$= \dfrac{6}{8} > \dfrac{5}{8} = $

Méthode — Quand le nombre du haut est 1

Attention — ici, les choses marchent à l'envers de ce qu'on croit. Prends la même unité, et coupe-la de deux façons : en $3$ parts égales, puis en $6$ parts égales.

$6$ est plus grand que $3$, et pourtant $\dfrac{1}{6}$ est plus petit que $\dfrac{1}{3}$. $$\dfrac{1}{6} \lt \dfrac{1}{3}$$ Plus on partage la même unité en un grand nombre de parts égales, plus chaque part est petite. Partager un gâteau entre $6$ enfants donne des parts plus petites qu'entre $3$. Donc, quand le nombre du haut est $1$, la fraction dont le nombre du bas est le plus grand est la plus petite.

Compétences à pratiquer

Comparer avec le même dénominateur avec des barres
Comparer avec le même dénominateur
Comparer quand le nombre du haut est 1
Choisir la bonne règle

IV Additionner et soustraire des fractions

Découverte

Le gâteau d'Hugo est coupé en $4$ parts égales (des quarts). Hugo mange $\dfrac{2}{4}$ du gâteau $=$

, puis encore $\dfrac{1}{4}$ $=$

.
Quelle fraction du gâteau a-t-il mangée ?

Correction

Les parts sont toutes de la même taille (des quarts), alors on compte simplement ensemble les parts mangées : $2+1=3$ quarts.

Hugo a mangé $\dfrac{3}{4}$ du gâteau.

Définition — Addition de fractions avec des dénominateurs communs

Pour additionner des fractions de même dénominateur, on additionne les numérateurs et on conserve le dénominateur :

$$\begin{aligned}\dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} &= \dfrac{2 + 1}{4}\\ &= \dfrac{3}{4}\end{aligned}$$

Découverte

Un autre jour, il reste $\dfrac{3}{4}$ du gâteau d'Hugo $=$

. Hugo mange encore $\dfrac{1}{4}$.
Quelle fraction du gâteau reste-t-il maintenant ?

Correction

Les parts sont de la même taille (des quarts), alors on soustrait les nombres de parts : $3-1=2$ quarts restent.

Il reste $\dfrac{2}{4}$ du gâteau.

Définition — Soustraction de fractions avec des dénominateurs communs

Pour soustraire des fractions de même dénominateur, on soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur :

$$\begin{aligned}\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} &= \dfrac{3 - 1}{4}\\ &= \dfrac{2}{4}\end{aligned}$$ Ici la première fraction est la plus grande, donc on peut enlever ces parts.

Le gâteau entier

Hugo découpe un gâteau en $3$ parts égales — et il les mange toutes :

. Il a mangé $3$ parts sur $3$ : le gâteau entier. $$\dfrac{3}{3} = 1$$ Avant la première bouchée, c'était l'inverse — $0$ part sur $3$, rien du gâteau :

. $$\dfrac{0}{3} = 0$$

Signaler une erreur

Proposition — Quand la fraction vaut 1 ou 0

Quand les deux nombres sont égaux, toutes les parts sont prises : la fraction est toute l'unité. Elle vaut $1$.

$$\dfrac{3}{3} = 1$$ Quand le nombre du haut est $0$, aucune part n'est prise : la fraction vaut $0$.

$$\dfrac{0}{3} = 0$$

Compétences à pratiquer

Additionner avec la barre
Additionner sans la barre
Soustraire avec la barre
Soustraire sans la barre
Trouver la partie blanche

V Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Compléter des fractions en images
Dessiner et corriger des fractions
Problèmes
Quiz

\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{1}{3}\)	\(\dfrac{1}{4}\)	\(\dfrac{1}{5}\)	\(\dfrac{1}{6}\)	\(\dfrac{1}{8}\)	\(\dfrac{1}{10}\)
un demi	un tiers	un quart	un cinquième	un sixième	un huitième	un dixième