Éducation Nationale Française · Première Spécialité
Dérivation
I
Nombre dérivé et tangente
I.1
La pente d'une droite
Définition — Pente
La pente (également appelée coefficient directeur) d'une droite non verticale est définie comme le rapport du changement vertical (\(\Delta y\)) sur le changement horizontal (\(\Delta x\)), pour deux points distincts quelconques de la droite. Ce rapport est le même quels que soient les deux points choisis sur la droite :$$\text{pente} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{\Delta y}}{\textcolor{colordef}{\Delta x}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{\text{changement vertical}}}{\textcolor{colordef}{\text{changement horizontal}}}, \quad \text{où } \textcolor{colordef}{\Delta x} \neq 0$$ 
Dans le cas particulier où \(x\) augmente d'exactement \(1\) — c'est-à-dire \(\Delta x = 1\) — la pente vaut simplement \(\Delta y\) : la pente dit de combien \(y\) varie pour un pas de \(1\) en \(x\).
Proposition — Formule de la pente
La pente (ou coefficient directeur) d'une droite non verticale passant par deux points distincts \(A\left(\textcolor{colordef}{x_A}\,;\textcolor{colorprop}{y_A}\right)\) et \(B\left(\textcolor{colordef}{x_B}\,;\textcolor{colorprop}{y_B}\right)\) est donnée par la formule :$$\text{pente} = \frac{\textcolor{colorprop}{y_B}-\textcolor{colorprop}{y_A}}{\textcolor{colordef}{x_B}-\textcolor{colordef}{x_A}}, \quad \text{où } \textcolor{colordef}{x_A} \neq \textcolor{colordef}{x_B}$$ L’ordre des points n’a pas d’importance, à condition de faire les soustractions au numérateur et au dénominateur dans le même ordre. 
Exemple
Déterminer la pente de la droite \(\LineFr{AB}\) pour \(A\left(\textcolor{colordef}{1}\,;\textcolor{colorprop}{2}\right)\) et \(B\left(\textcolor{colordef}{5}\,;\textcolor{colorprop}{4}\right)\). 
Compétences à pratiquer
- Calculer la pente à partir de deux points
I.2
Taux de variation et sécantes
On considère deux points \(A\) et \(B\) sur la courbe d'une fonction \(f\). La droite \((AB)\) est appelée une sécante à la courbe. Sa pente mesure de combien \(f\) varie, en moyenne, entre les abscisses de \(A\) et de \(B\) : c'est le taux de variation de \(f\).
Définition — Taux de variation
Le taux de variation d'une fonction \(f\) entre deux points \(A(a\,;\,f(a))\) et \(B(b\,;\,f(b))\) (avec \(a \neq b\)) est la pente de la droite sécante \((AB)\).$$ \textcolor{colordef}{\text{Taux de variation} = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}} $$ 
Exemple
Soit \(f(x) = x^2\). - Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(1\) et \(3\), et l'interpréter avec la sécante.
- Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(-1\) et \(2\).
- \(f(1) = 1\) et \(f(3) = 9\), donc $$ \dfrac{f(3)-f(1)}{3-1} = \dfrac{9-1}{2} = 4. $$ La sécante passant par \(A(1\,;\,1)\) et \(B(3\,;\,9)\) a pour pente \(4\) : entre \(x = 1\) et \(x = 3\), \(f(x)\) augmente en moyenne de \(4\) quand \(x\) augmente de \(1\).
- \(f(-1) = 1\) et \(f(2) = 4\), donc $$ \dfrac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)} = \dfrac{4-1}{3} = 1. $$
Compétences à pratiquer
- Calculer un taux de variation
- Rédiger le calcul d'un taux de variation à partir d'un tableau
I.3
Nombre dérivé : limite du taux de variation
Pour déterminer le taux de variation en un unique point \(A\), on peut examiner le taux de variation moyen sur un très petit intervalle. Soit le second point \(B(a+h\,;f(a+h))\), où \(h\) est une petite variation en \(x\). Le coefficient directeur de la sécante \((AB)\) est donné par :$$ \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} $$ Lorsqu'on laisse \(B\) se rapprocher de \(A\), la valeur de \(h\) tend vers 0. La droite sécante s'approche de la droite tangente au point A. La limite des coefficients directeurs des sécantes est le coefficient directeur de la tangente, défini comme le nombre dérivé. 
Définition — La dérivée en un point
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle contenant \(a\). Lorsque la limite du taux de variation ci-dessous existe et est un nombre réel, on dit que \(f\) est dérivable en \(a\), et cette limite est appelée nombre dérivé de \(f\) en \(a\), notée \(f'(a)\) :$$ \textcolor{colordef}{f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}} $$ Géométriquement, \(f'(a)\) est la pente de la tangente à la courbe de \(f\) au point \((a\,;\,f(a))\). C'est aussi le taux de variation instantané de \(f\) en \(a\).Lorsque cette limite n'existe pas, ou est infinie, \(f\) n'est pas dérivable en \(a\) : la courbe n'admet pas en ce point de tangente de pente finie.
Exemple
Déterminer le nombre dérivé en \(x=1\) de \(f(x)=x^2\).
On évalue la limite du taux de variation lorsque \(h \to 0\).$$\begin{aligned}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} &= \dfrac{(1+h)^2 - 1^2}{h} \\
&= \dfrac{1+2h+h^2 - 1}{h} \\
&= \dfrac{2h+h^2}{h} \\
&= 2+h \quad (\text{pour } h \neq 0)\end{aligned}$$ On prend la limite :$$ f'(1) = \lim_{h \to 0} (2+h) = 2 $$ La dérivée en \(x=1\) est 2. Cela signifie que la pente de la tangente à la courbe de \(f(x)=x^2\) au point \((1 ; 1)\) est 2. La figure ci-dessous montre comment la pente de la droite sécante de \((1 ; 1)\) à \((1+h\,;\,f(1+h))\) s'approche de la pente de la tangente à mesure que \(h\) diminue. 
Compétences à pratiquer
- Conjecturer puis calculer le nombre dérivé
- Lire le nombre dérivé sur une tangente
- Vérifier la définition
- Rédiger le calcul d'un nombre dérivé par la définition
I.4
Approcher le nombre dérivé par un algorithme
Méthode — Approcher un nombre par une boucle
- Écrire un tour : la mise à jour qui change la valeur courante en une meilleure. Sa formule vient des mathématiques du nombre approché.
- Choisir quand s'arrêter : après un nombre de tours fixé, ou lorsque deux valeurs successives diffèrent de moins d'un écart choisi — un écart testé des deux côtés, puisque les valeurs peuvent descendre aussi bien que monter. Un petit écart entre deux valeurs successives ne garantit pas, à lui seul, que la valeur est proche du nombre approché.
- Tracer à la main les premiers tours, et vérifier que les valeurs se rapprochent bien les unes des autres.
- Dire ce qu'est le résultat : une valeur approchée, accompagnée du nombre de tours ou de l'écart qui l'a produite — jamais le nombre lui-même.
- Compter le coût : combien de tours de plus coûte une décimale juste de plus.
Exemple
Les pentes des sécantes de la courbe de la fonction carré au point d'abscisse \(1\) se rapprochent de son nombre dérivé en ce point, \(2\). L'algorithme ci-dessous range ces pentes dans une liste pour les pas \(1\), \(0{,}1\), \(0{,}01\) et \(0{,}001\). L'exécuter à la main et donner les quatre valeurs qu'il affiche. Fonction f(x)
Renvoyer x × x
Fin Fonction
h ← 1
lst ← liste vide
Pour k allant de 1 à 4
s ← (f(1 + h) - f(1)) ÷ h
Ajouter s à lst
Afficher s
h ← h ÷ 10
Fin Pour| Instruction | \(k\) | \(h\) | \(s\) | Affichage |
| départ | \(1\) | |||
| tour 1 | \(1\) | \(1\) | \(3\) | \(3\) |
| tour 2 | \(2\) | \(0{,}1\) | \(2{,}1\) | \(2{,}1\) |
| tour 3 | \(3\) | \(0{,}01\) | \(2{,}01\) | \(2{,}01\) |
| tour 4 | \(4\) | \(0{,}001\) | \(2{,}001\) | \(2{,}001\) |
3, 2,1, 2,01 et 2,001, et la liste lst garde les quatre pentes. Chaque pente vaut exactement \(2 + h\), donc chaque tour divise par \(10\) l'erreur, égale au pas. Sur la machine pourtant, l'arrondi se voit dès le deuxième tour, qui affiche 2.100000000000002, et la dernière valeur sort sous la forme 2.0009999999996975 : les nombres décimaux sont rangés avec un arrondi, et diviser une toute petite différence par un tout petit pas rend cet arrondi visible. Continuer n'aide pas indéfiniment. Avec le pas \(10^{-8}\), la pente vaut 1.999999987845058, à peu près le plus près que la machine obtienne ; avec \(10^{-12}\), elle vaut 2.000177801164682, moins bien ; avec \(10^{-16}\), la machine calcule \(f(1 + h) = f(1)\) et affiche 0.0. Un pas plus petit est meilleur en mathématiques, pas toujours sur une machine. Compétences à pratiquer
- La machine et les pentes des sécantes
I.5
La forme point-pente
Définition — Forme point-pente
Une droite de pente \(m\) passant par le point \((x_1\,;y_1)\) a pour équation $$y - y_1 = m(x - x_1),$$ appelée sa forme point-pente. C'est la formule de la pente déguisée : un point \((x\,;y)\) avec \(x \neq x_1\) appartient à la droite exactement lorsque \(\dfrac{y - y_1}{x - x_1} = m\). Exemple
Déterminer l'équation de la droite de pente \(2\) passant par \(A(3\,;1)\).
$$\begin{aligned}[t] y - 1 &= 2(x - 3) && \text{(forme point-pente avec } m=2, \ (x_1\,;y_1)=(3\,;1)\text{)} \\
y - 1 &= 2x - 6 && \text{(développement)} \\
y &= 2x - 5. \end{aligned}$$ Pour une droite passant par deux points, on calcule d'abord la pente avec la formule de la pente, puis on utilise la forme point-pente avec l'un des deux points.
Compétences à pratiquer
- Déterminer une équation de droite avec la forme point-pente
- Rédiger une équation de droite avec la forme point-pente
I.6
Tangente à la courbe
L'interprétation géométrique la plus directe de la dérivée est qu'elle donne la pente de la droite tangente. Déterminer l'équation de cette droite est une application fondamentale de la dérivation.
Proposition — Équation de la tangente
On suppose que \(f\) est dérivable en \(x=a\) et que la tangente n'est pas verticale. L'équation de la tangente à la courbe \(y=f(x)\) au point \((a\,;\,f(a))\) est donnée par :$$\textcolor{colorprop}{y = f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)}$$ 
Soit \(B(x\,;\,y)\) un point quelconque de la droite tangente. Le point de tangence est \(A(a\,;\,f(a))\), qui appartient également à la droite tangente.
La pente d'une droite est le quotient \(m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\). Avec les points \(A\) et \(B\), la pente de la tangente est :$$ m = \dfrac{y-f(a)}{x-a} \quad \text{pour } x\neq a. $$ Par définition, la pente de la tangente à la courbe \(y=f(x)\) au point d'abscisse \(x=a\) est la valeur de la dérivée en ce point, donc :$$ m = f'(a). $$ En égalant les deux expressions de la pente, on obtient :$$ f'(a) = \dfrac{y-f(a)}{x-a}. $$ En multipliant les deux membres par \((x-a)\), on obtient :$$ y - f(a) = f'(a)(x-a). $$ En isolant \(y\), on obtient :$$ y = f'(a)(x-a) + f(a). $$
La pente d'une droite est le quotient \(m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\). Avec les points \(A\) et \(B\), la pente de la tangente est :$$ m = \dfrac{y-f(a)}{x-a} \quad \text{pour } x\neq a. $$ Par définition, la pente de la tangente à la courbe \(y=f(x)\) au point d'abscisse \(x=a\) est la valeur de la dérivée en ce point, donc :$$ m = f'(a). $$ En égalant les deux expressions de la pente, on obtient :$$ f'(a) = \dfrac{y-f(a)}{x-a}. $$ En multipliant les deux membres par \((x-a)\), on obtient :$$ y - f(a) = f'(a)(x-a). $$ En isolant \(y\), on obtient :$$ y = f'(a)(x-a) + f(a). $$
Exemple
Soit \(f(x) = x^2 + 1\). - À l'aide de la définition du nombre dérivé, calculer \(f'(2)\).
- En déduire l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(2\).
- \(f(2) = 5\) et \(f(2+h) = (2+h)^2 + 1 = 5 + 4h + h^2\). Pour \(h \neq 0\), $$ \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = \dfrac{4h + h^2}{h} = 4 + h \xrightarrow[h \to 0]{} 4. $$ Donc \(f'(2) = 4\).
- La tangente passe par le point \((2\,;\,f(2)) = (2\,;\,5)\) avec la pente \(f'(2) = 4\) : $$ y = f'(2)(x - 2) + f(2) = 4(x-2) + 5 = 4x - 3. $$
Compétences à pratiquer
- Rédiger l'équation d'une tangente à partir de la définition
II
Fonction dérivée et fonctions de référence
II.1
Fonction dérivable et fonction dérivée
En calculant la dérivée en un point quelconque \(x\) plutôt qu'en un point particulier \(a\), on construit une nouvelle fonction, \(f'(x)\), dont la valeur en tout \(x\) est la pente de la tangente à la courbe de \(f\) en ce point.
Le calcul de la dérivée à l'aide de cette limite est appelé la dérivation à partir de la définition.
Le calcul de la dérivée à l'aide de cette limite est appelé la dérivation à partir de la définition.
Définition — La fonction dérivée
La fonction dérivée de \(f\), notée \(f'\), est la fonction définie par :$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} $$ Exemple
Pour \(f(x)=x^2\), déterminer sa fonction dérivée \(f'\).
On évalue la limite du taux de variation.$$\begin{aligned}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h} \\
&= \dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} \\
&= \dfrac{2xh+h^2}{h}\\
&= \dfrac{h(2x+h)}{h}\\
& = 2x+h \quad (\text{pour } h \neq 0)\\
&\xrightarrow[h \to 0]{ } 2x.\end{aligned}$$ Donc$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = 2x $$
Définition — Notation de Leibniz
Soit \(y\) une fonction de \(x\), c'est-à-dire \(y=f(x)\).La fonction dérivée peut s'écrire :$$ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f'(x) $$ Ceci se lit « dé y sur dé x » et représente la dérivée de \(y\) par rapport à la variable \(x\).
Compétences à pratiquer
- Déterminer la fonction dérivée à partir de la définition
- Lire la pente de la tangente avec la fonction dérivée
II.2
Dérivées des fonctions de référence
Proposition — Dérivées des fonctions de référence
| Fonction \(f\) | \(f\) est dérivable pour | Dérivée \(f'\) |
| \(f(x) = k\) (constante) | tout \(x \in \mathbb{R}\) | \(f'(x) = 0\) |
| \(f(x) = x\) | tout \(x \in \mathbb{R}\) | \(f'(x) = 1\) |
| \(f(x) = x^2\) | tout \(x \in \mathbb{R}\) | \(f'(x) = 2x\) |
| \(f(x) = x^3\) | tout \(x \in \mathbb{R}\) | \(f'(x) = 3x^2\) |
| \(f(x) = x^n\) avec \(n \in \mathbb{Z}\), \(n \geq 1\) | tout \(x \in \mathbb{R}\) | \(f'(x) = nx^{n-1}\) |
| \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) | \(x \neq 0\) | \(f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\) |
| \(f(x) = x^n\) avec \(n \in \mathbb{Z}\), \(n \leq -1\) | \(x \neq 0\) | \(f'(x) = nx^{n-1}\) |
| \(f(x) = \sqrt{x}\) | \(x > 0\) | \(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) |
Constante, \(x\) et \(x^2\). Pour \(f(x) = k\), le taux de variation vaut \(\dfrac{k - k}{h} = 0\) ; pour \(f(x) = x\), il vaut \(\dfrac{(x+h) - x}{h} = 1\). Pour \(f(x) = x^2\) : $$ \dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \dfrac{2xh + h^2}{h} = 2x + h \xrightarrow[h \to 0]{} 2x. $$ Inverse. Pour \(x \neq 0\) et \(h\) assez petit pour que \(x + h \neq 0\), $$ \dfrac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} = \dfrac{\frac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h} = \dfrac{-h}{h\,x(x+h)} = -\dfrac{1}{x(x+h)} \xrightarrow[h \to 0]{} -\dfrac{1}{x \times x} = -\dfrac{1}{x^2}. $$ Racine carrée. Pour \(x > 0\), on multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{x+h} + \sqrt{x}\) (l'expression conjuguée) : $$ \dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} = \dfrac{\left(\sqrt{x+h}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}{h\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)} = \dfrac{(x+h) - x}{h\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)} = \dfrac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} \xrightarrow[h \to 0]{} \dfrac{1}{2\sqrt{x}}. $$ Puissances. Pour \(f(x) = x^3\), comme \((x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3\), $$ \dfrac{(x+h)^3 - x^3}{h} = \dfrac{h(3x^2 + 3xh + h^2)}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2 \xrightarrow[h \to 0]{} 3x^2. $$ La formule générale \((x^n)' = nx^{n-1}\) pour \(n \in \mathbb{Z}\) est admise : pour \(n \geq 1\) le calcul suit le même schéma, et pour \(n \leq -1\) elle découle du cas \(n \geq 1\) et de la dérivée de l'inverse d'une fonction.
Compétences à pratiquer
- Appliquer la formule de \(x^n\)
- Démontrer les dérivées de référence par la définition
II.3
Dérivabilité en 0 : racine carrée et valeur absolue
Toutes les fonctions usuelles ne sont pas dérivables partout. Deux exemples importants échouent en \(0\), chacun à sa manière géométrique : la fonction racine carrée, dont la courbe quitte l'origine verticalement, et la fonction valeur absolue, dont la courbe présente un point anguleux à l'origine.
Proposition — La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0
La fonction \(x \mapsto \sqrt{x}\), définie pour \(x \geq 0\), n'est pas dérivable en \(0\).Graphiquement, les sécantes passant par l'origine deviennent de plus en plus raides : la courbe admet une tangente verticale à l'origine.
Comme \(\sqrt{x}\) n'est définie que pour \(x \geq 0\), on prend \(h > 0\). Le taux de variation entre \(0\) et \(h\) est $$ \dfrac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h} = \dfrac{\sqrt{h}}{h} = \dfrac{\sqrt{h}}{\sqrt{h}\times\sqrt{h}} = \dfrac{1}{\sqrt{h}}. $$ Quand \(h\) se rapproche de \(0\), \(\sqrt{h}\) se rapproche de \(0\) et \(\dfrac{1}{\sqrt{h}}\) devient plus grand que n'importe quel nombre fixé : pour \(h = 10^{-2}\) il vaut \(10\), pour \(h = 10^{-4}\) il vaut \(100\), pour \(h = 10^{-6}\) il vaut \(1000\). Le taux de variation n'a pas de limite finie, donc \(\sqrt{x}\) n'est pas dérivable en \(0\).
Comme les pentes des sécantes passant par \(O\) grandissent sans borne, ces droites se rapprochent de l'axe vertical : la courbe admet une tangente verticale à l'origine.
Comme les pentes des sécantes passant par \(O\) grandissent sans borne, ces droites se rapprochent de l'axe vertical : la courbe admet une tangente verticale à l'origine.
Proposition — La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0
La fonction \(x \mapsto |x|\), définie sur \(\mathbb{R}\), n'est pas dérivable en \(0\).Sa courbe est formée de deux demi-droites, \(y = -x\) pour \(x \leq 0\) et \(y = x\) pour \(x \geq 0\), qui se rejoignent à l'origine avec les pentes \(-1\) et \(1\) : un point anguleux.
On rappelle que \(|h| = h\) si \(h \geq 0\) et \(|h| = -h\) si \(h < 0\). Pour \(h \neq 0\), le taux de variation entre \(0\) et \(h\) est $$ \dfrac{|0+h|-|0|}{h} = \dfrac{|h|}{h} = \begin{cases} \dfrac{h}{h} = 1 & \text{si } h > 0, \\
\dfrac{-h}{h} = -1 & \text{si } h < 0. \end{cases} $$ Quand \(h\) se rapproche de \(0\) par valeurs positives, le taux de variation vaut constamment \(1\) ; par valeurs négatives, il vaut constamment \(-1\). Une limite serait un seul nombre, donc le taux de variation n'a pas de limite : \(|x|\) n'est pas dérivable en \(0\).
Graphiquement, la courbe arrive à l'origine avec la pente \(-1\) et en repart avec la pente \(1\) : deux demi-tangentes différentes, donc un point anguleux.
Graphiquement, la courbe arrive à l'origine avec la pente \(-1\) et en repart avec la pente \(1\) : deux demi-tangentes différentes, donc un point anguleux.
Compétences à pratiquer
- Démontrer la non-dérivabilité en un point
III
Opérations sur les fonctions dérivables
III.1
Somme et produit par un réel
Bien que le calcul d'une dérivée à partir de la définition par la limite soit fondamental pour comprendre le concept, c'est souvent un processus long et répétitif. Pour dériver des fonctions plus complexes de manière efficace, les mathématiciens ont développé un ensemble de règles puissantes. Ces règles essentielles constituent le fondement de la dérivation pratique. Elles permettent de déterminer la dérivée de presque toutes les fonctions usuelles.
Proposition — Règles de dérivation de base
- Règle de la constante : Si \(f(x)=c\), alors \(f'(x)=0\).
- Règle de la puissance : Si \(f(x)=x^n\), alors \(f'(x)=nx^{n-1}\) pour tout entier \(n\) — en tout \(x \neq 0\) lorsque \(n < 0\) ; pour \(n = 0\), \(f\) est constante et \(f' = 0\) (et, admis, pour tout réel \(n\) lorsque \(x > 0\)).
- Produit par une constante : Si \(f(x)=c \cdot u(x)\) avec \(u\) dérivable, alors \(f'(x)=c \cdot u'(x)\).
- Règle de la somme : Si \(f(x)=u(x) + v(x)\) avec \(u\) et \(v\) dérivables, alors \(f'(x)=u'(x) + v'(x)\).
Démonstration de la règle de la somme : si \(f(x)=u(x)+v(x)\), alors \(f'(x)=u'(x)+v'(x)\).
On calcule la limite du taux de variation.$$\begin{aligned}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \dfrac{\left[u(x+h)+v(x+h)\right] - \left[u(x)+v(x)\right]}{h} \\ &= \dfrac{\left[u(x+h)-u(x)\right] + \left[v(x+h)-v(x)\right]}{h} \\ &= \dfrac{u(x+h)-u(x)}{h} + \dfrac{v(x+h)-v(x)}{h} \\ &\xrightarrow[h \to 0]{ } u'(x) + v'(x)\quad \text{(somme des limites)}.\end{aligned}$$ Donc \( f'(x) = u'(x)+v'(x) \).
Les autres démonstrations sont faites en exercices.
On calcule la limite du taux de variation.$$\begin{aligned}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \dfrac{\left[u(x+h)+v(x+h)\right] - \left[u(x)+v(x)\right]}{h} \\ &= \dfrac{\left[u(x+h)-u(x)\right] + \left[v(x+h)-v(x)\right]}{h} \\ &= \dfrac{u(x+h)-u(x)}{h} + \dfrac{v(x+h)-v(x)}{h} \\ &\xrightarrow[h \to 0]{ } u'(x) + v'(x)\quad \text{(somme des limites)}.\end{aligned}$$ Donc \( f'(x) = u'(x)+v'(x) \).
Les autres démonstrations sont faites en exercices.
Exemple
Déterminer la dérivée de \(f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 7x - 2\).
On applique les règles à chaque terme :$$\begin{aligned}f'(x) &= 4(x^3)' - 5(x^2)' + 7(x)' - (2)' \\
&= 4(3x^2) - 5(2x) + 7(1) - 0 \\
&= 12x^2 - 10x + 7\end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Dériver des fonctions polynômes
- Transformer l'expression avant de dériver
- Démontrer et appliquer les règles de dérivation
III.2
Produit
Alors que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, ce n'est pas le cas pour un produit. Pour déterminer la dérivée d'une fonction qui est le produit de deux autres fonctions, comme \(f(x) = (x^2+1)\sqrt{x}\), on doit utiliser une formule spécifique appelée la règle du produit.
Proposition — Règle du produit
Si \(f(x)=u(x)v(x)\) avec \(u\) et \(v\) dérivables, alors$$ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $$ En notation de Leibniz, si \(y=u\cdot v\) :$$ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}= \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}v + u\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} $$
Soit \(u\) et \(v\) dérivables en \(x\). Au numérateur du taux de variation, on retranche et on ajoute le même terme \(u(x)v(x+h)\) : $$\begin{aligned} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \\
&= \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x+h) + u(x)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \\
&= \dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}\times v(x+h) + u(x)\times \dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}. \end{aligned}$$ On fait maintenant tendre \(h\) vers \(0\) :
- \(\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h} \xrightarrow[h \to 0]{} u'(x)\) et \(\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h} \xrightarrow[h \to 0]{} v'(x)\) (définition du nombre dérivé) ;
- \(v(x+h) \xrightarrow[h \to 0]{} v(x)\), car \(v(x+h) - v(x) = h \times \dfrac{v(x+h)-v(x)}{h} \xrightarrow[h \to 0]{} 0 \times v'(x) = 0\).
En mots : « La dérivée de la première multipliée par la seconde, plus la première multipliée par la dérivée de la seconde. »
Exemple
Déterminer la dérivée de \(f(x) = (x+1)(x^2+3)\). - Avec la notation \(f'(x)\) :
Pour \(f(x)=u(x)v(x)\) avec \(u(x)=x+1\) et \(v(x)=x^2+3\), les dérivées sont \(u'(x)=1\) et \(v'(x)=2x\).$$\begin{aligned}f'(x) &= u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \\ &= (1)(x^2+3) + (x+1)(2x) \\ &= x^2+3 + 2x^2+2x \\ &= 3x^2+2x+3\end{aligned}$$ - Avec la notation de Leibniz (\(y=f(x)\)) :
Pour \(y=uv\) avec \(u=x+1\) et \(v=x^2+3\), les dérivées sont \(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=1\) et \(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=2x\).$$\begin{aligned}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}v + u\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \\ &= (1)(x^2+3) + (x+1)(2x) \\ &= x^2+3 + 2x^2+2x \\ &= 3x^2+2x+3\end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Dériver avec la règle du produit
- Rédiger une dérivée avec la règle du produit
III.3
Inverse d'une fonction
On connaît la dérivée de la fonction inverse \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\). Qu'en est-il de l'inverse d'une fonction quelconque, \(x \mapsto \dfrac{1}{v(x)}\), comme \(\dfrac{1}{x^2+1}\) ou \(\dfrac{1}{2x-3}\) ? La réponse est la formule de dérivation de l'inverse, qui prépare aussi celle du quotient.
Proposition — Dérivée de l'inverse d'une fonction
Si \(v\) est dérivable sur un intervalle \(I\) et ne s'annule pas sur \(I\), alors la fonction \(f = \dfrac{1}{v}\) est dérivable sur \(I\) et $$ f'(x) = \left(\dfrac{1}{v}\right)'(x) = -\dfrac{v'(x)}{[v(x)]^2}. $$ Pour \(v(x) = x\), on retrouve \(\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}\).
Soit \(x \in I\) et \(h \neq 0\) assez petit pour que \(x + h \in I\) ; alors \(v(x+h) \neq 0\) et $$\begin{aligned} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \dfrac{\frac{1}{v(x+h)} - \frac{1}{v(x)}}{h} \\
&= \dfrac{v(x) - v(x+h)}{h\, v(x)\, v(x+h)} && \text{(dénominateur commun)} \\
&= -\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h} \times \dfrac{1}{v(x)\,v(x+h)}. \end{aligned}$$ Quand \(h\) tend vers \(0\), le premier facteur tend vers \(v'(x)\) (définition du nombre dérivé) et \(v(x+h)\) tend vers \(v(x)\), car \(v(x+h) - v(x) = h \times \dfrac{v(x+h)-v(x)}{h} \xrightarrow[h \to 0]{} 0 \times v'(x) = 0\). Le taux de variation tend donc vers \(-v'(x) \times \dfrac{1}{v(x)\,v(x)} = -\dfrac{v'(x)}{[v(x)]^2}\).
Exemple
Déterminer la dérivée de \(f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}\) sur \(\mathbb{R}\), puis de \(g(x) = \dfrac{1}{2x-3}\) sur \(\left]\dfrac{3}{2}\,;\,+\infty\right[\).
Pour \(f\) : \(v(x) = x^2+1\) ne s'annule jamais et \(v'(x) = 2x\), donc $$ f'(x) = -\dfrac{v'(x)}{[v(x)]^2} = -\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}. $$ Pour \(g\) : \(v(x) = 2x-3\) est strictement positif sur \(\left]\dfrac{3}{2}\,;\,+\infty\right[\) et \(v'(x) = 2\), donc $$ g'(x) = -\dfrac{2}{(2x-3)^2}. $$
Compétences à pratiquer
- Dériver avec la formule de l'inverse
- Rédiger la dérivée de l'inverse d'une fonction
III.4
Quotient
Tout comme pour les produits, déterminer la dérivée du quotient de deux fonctions nécessite une formule spécifique. La règle du quotient est utilisée pour dériver des fonctions de la forme \(f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}\), telles que \(f(x) = \dfrac{2x+1}{x^2+1}\).
Proposition — Règle du quotient
Si \(f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\) avec \(u\) et \(v\) dérivables et \(v(x) \neq 0\), alors$$ f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $$ En notation de Leibniz, \(y=\dfrac{u}{v}\), alors$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}v - u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}}{v^2} $$
On écrit le quotient comme le produit par un inverse : \(f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)} = u(x) \times \dfrac{1}{v(x)}\). D'après la dérivée de l'inverse d'une fonction, \(\left(\dfrac{1}{v}\right)'(x) = -\dfrac{v'(x)}{[v(x)]^2}\). En appliquant la règle du produit : $$\begin{aligned} f'(x) &= u'(x) \times \dfrac{1}{v(x)} + u(x) \times \left(-\dfrac{v'(x)}{[v(x)]^2}\right) \\
&= \dfrac{u'(x)}{v(x)} - \dfrac{u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \\
&= \dfrac{u'(x)v(x)}{[v(x)]^2} - \dfrac{u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} && \text{(dénominateur commun)} \\
&= \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}. \end{aligned}$$
Exemple
Déterminer la dérivée de \(f(x) = \frac{x}{x+1}\). - Avec la notation \(f'(x)\) :
Pour \(f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\) avec \(u(x)=x\) et \(v(x)=x+1\), les dérivées sont \(u'(x)=1\) et \(v'(x)=1\).$$\begin{aligned}f'(x) &= \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \\ &= \frac{(1)(x+1) - (x)(1)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{x+1-x}{(x+1)^2} \\ &= \frac{1}{(x+1)^2}\end{aligned}$$ - Avec la notation de Leibniz \((y=f(x))\) :
Pour \(y=\frac{u}{v}\) avec \(u=x\) et \(v=x+1\), les dérivées sont \(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=1\) et \(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=1\).$$\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}v - u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}}{v^2} \\ &= \frac{(1)(x+1) - (x)(1)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{x+1-x}{(x+1)^2} \\ &= \frac{1}{(x+1)^2}\end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Dériver avec la règle du quotient
- Vérifier les règles
- Rédiger une dérivée avec la règle du quotient
III.5
Dérivée de \(x \mapsto g(ax+b)\)
De nombreuses fonctions s'obtiennent en remplaçant la variable d'une fonction de référence \(g\) par une expression affine \(ax+b\) : \(\sqrt{2x+1}\) (avec \(g(X) = \sqrt{X}\)), \((3x-1)^2\) (avec \(g(X) = X^2\)), \(\dfrac{1}{4x+2}\) (avec \(g(X) = \dfrac{1}{X}\)). Leur dérivée se déduit de celle de \(g\) par une règle simple.
Proposition — Dérivée de \(x \mapsto g(ax+b)\)
Soit \(g\) une fonction dérivable sur un intervalle \(J\), et \(a\), \(b\) deux réels. La fonction \(f\) définie par \(f(x) = g(ax+b)\) est dérivable en tout \(x\) tel que \(ax+b \in J\), et $$ f'(x) = a \times g'(ax+b). $$
Si \(a = 0\), alors \(f(x) = g(b)\) est constante, donc \(f'(x) = 0 = a \times g'(b)\).
On suppose \(a \neq 0\) et l'on pose \(X = ax+b\). Pour \(h \neq 0\), \(f(x+h) = g(a(x+h)+b) = g(X + ah)\). On pose \(k = ah\) : alors \(k \neq 0\), et \(k\) tend vers \(0\) quand \(h\) tend vers \(0\). Ainsi $$ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{g(X+k)-g(X)}{h} = \dfrac{g(X+k)-g(X)}{k} \times \dfrac{k}{h} = a \times \dfrac{g(X+k)-g(X)}{k} \xrightarrow[h \to 0]{} a \times g'(X) = a \times g'(ax+b). $$
On suppose \(a \neq 0\) et l'on pose \(X = ax+b\). Pour \(h \neq 0\), \(f(x+h) = g(a(x+h)+b) = g(X + ah)\). On pose \(k = ah\) : alors \(k \neq 0\), et \(k\) tend vers \(0\) quand \(h\) tend vers \(0\). Ainsi $$ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{g(X+k)-g(X)}{h} = \dfrac{g(X+k)-g(X)}{k} \times \dfrac{k}{h} = a \times \dfrac{g(X+k)-g(X)}{k} \xrightarrow[h \to 0]{} a \times g'(X) = a \times g'(ax+b). $$
Exemple
Déterminer la dérivée de chaque fonction. - \(f(x) = (3x-1)^2\) sur \(\mathbb{R}\).
- \(f(x) = \sqrt{2x+1}\) sur \(\left]-\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[\).
- \(f(x) = \dfrac{1}{4x+2}\) pour \(x \neq -\dfrac{1}{2}\).
- \(f(x) = g(3x-1)\) avec \(g(X) = X^2\), \(g'(X) = 2X\) et \(a = 3\) : $$ f'(x) = 3 \times 2(3x-1) = 6(3x-1) = 18x - 6. $$ Vérification : en développant, \(f(x) = 9x^2 - 6x + 1\), dont la dérivée est bien \(18x - 6\).
- \(f(x) = g(2x+1)\) avec \(g(X) = \sqrt{X}\), \(g'(X) = \dfrac{1}{2\sqrt{X}}\) (pour \(X > 0\)) et \(a = 2\) : $$ f'(x) = 2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{2x+1}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}. $$
- \(f(x) = g(4x+2)\) avec \(g(X) = \dfrac{1}{X}\), \(g'(X) = -\dfrac{1}{X^2}\) (pour \(X \neq 0\)) et \(a = 4\) : $$ f'(x) = 4 \times \left(-\dfrac{1}{(4x+2)^2}\right) = -\dfrac{4}{(4x+2)^2}. $$
Compétences à pratiquer
- Dériver \(g(ax+b)\)
- Rédiger la dérivée de \(x \mapsto g(ax+b)\)
IV
Applications
IV.1
Tracer une droite de pente donnée
Méthode — Tracer une droite avec l’ordonnée à l’origine et la pente
Pour tracer une droite \(y = mx + p\) : - Placer l’ordonnée à l’origine :
- Placer le point \((0\,;p)\) sur le graphique.
- Utiliser la pente \(m\) pour déterminer un deuxième point :
- À partir du point \((0\,;p)\), se décaler horizontalement d’une valeur choisie \(\Delta x\) (par exemple \(1\) ou \(2\) unités).
- Puis se décaler verticalement de \(\Delta y = m \cdot \Delta x\).
- Placer le deuxième point.
- Tracer la droite :
- Tracer la droite passant par les deux points.
Exemple
Tracer la droite d’équation \(y = 2x - 1\). - L’ordonnée à l’origine est \(-1\) : on place le point \((0\,;-1)\).
- La pente est \(2\) : à partir de \((0\,;-1)\), on se décale d’\(1\) unité vers la droite (\(\Delta x = 1\)), puis de \(2\) unités vers le haut (\(\Delta y = 2\)), pour arriver en \((1\,;1)\).
- On trace la droite passant par ces deux points.
-
Compétences à pratiquer
- Tracer une droite à partir de son équation réduite
IV.2
Tangentes : équation et tracé
Méthode — Construire une tangente à partir du nombre dérivé
Pour tracer la tangente à la courbe de \(f\) au point \(A(a\,;\,f(a))\) lorsque le nombre \(f'(a)\) est connu : - Placer le point \(A\) sur la courbe.
- Utiliser la pente \(f'(a)\) pour obtenir un second point : à partir de \(A\), se déplacer de \(1\) unité vers la droite et de \(f'(a)\) unités vers le haut (vers le bas si \(f'(a) < 0\)). Si \(f'(a) = \dfrac{p}{q}\) est une fraction, se déplacer plutôt de \(q\) unités vers la droite et de \(p\) unités vers le haut.
- Tracer la droite passant par \(A\) et ce second point : c'est la tangente.
Exemple
La courbe d'une fonction \(f\) est tracée ci-dessous. On sait que \(f(1) = 2\) et \(f'(1) = -\dfrac{1}{2}\). Construire la tangente à la courbe au point d'abscisse \(1\). 
La tangente passe par \(A(1\,;\,2)\) avec la pente \(f'(1) = -\dfrac{1}{2}\) : à partir de \(A\), on se déplace de \(2\) unités vers la droite et de \(1\) unité vers le bas, ce qui donne le second point \(B(3\,;\,1)\). La tangente est la droite \((AB)\). 
Vérification : la droite \((AB)\) a pour équation \(y = -\dfrac{1}{2}(x-1) + 2 = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}\), ce qui est bien \(y = f'(1)(x-1) + f(1)\).
Compétences à pratiquer
- Déterminer l'équation d'une tangente avec les règles
- Construire une tangente à partir du nombre dérivé
IV.3
L'approximation affine
Définition — Fonction affine tangente
Soit \(f\) une fonction dérivable en \(a\). La fonction affine tangente à \(f\) en \(a\) est la fonction affine $$t : x \longmapsto f(a) + f'(a)\,(x - a),$$ dont la courbe est la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\). Elle prend la même valeur que \(f\) en \(a\), \(t(a) = f(a)\), et elle y a la même pente que la courbe, \(t'(a) = f'(a)\). Proposition — Approximation affine
Soit \(f\) une fonction dérivable en \(a\). Pour \(h\) proche de \(0\), $$\textcolor{colorprop}{f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h}.$$ Plus précisément, \(f(a + h) = f(a) + f'(a)\,h + h\,\varepsilon(h)\) où \(\varepsilon(h)\) tend vers \(0\) quand \(h\) tend vers \(0\) : l'erreur de l'approximation est petite devant \(h\), et elle diminue plus vite que \(h\). 
Par définition du nombre dérivé en \(a\), le taux de variation \(\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}\) tend vers \(f'(a)\) quand \(h\) tend vers \(0\). On pose, pour \(h \neq 0\), $$\varepsilon(h) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} - f'(a).$$ Alors \(\varepsilon(h)\) tend vers \(0\), et en multipliant par \(h\) on obtient \(f(a+h) - f(a) - f'(a)\,h = h\,\varepsilon(h)\), c'est-à-dire \(f(a+h) = f(a) + f'(a)\,h + h\,\varepsilon(h)\). L'erreur \(h\,\varepsilon(h)\) est le produit de deux quantités qui tendent toutes deux vers \(0\) : elle est négligeable devant \(h\).
Le zoom. Près du point de contact, la courbe et sa tangente ne se distinguent plus : c'est ce que dit l'approximation. Remplacer \(f(a + h)\) par \(f(a) + f'(a)\,h\), c'est remplacer la courbe par sa tangente, la meilleure droite pour le faire. Pour une fonction qui n'est pas affine, l'approximation est d'autant meilleure que \(h\) est petit, et n'a en général plus de valeur loin du point de contact : pour la fonction carré en \(a = 1\), \((1 + h)^2 = 1 + 2h + h^2\), donc l'erreur \(h^2\) vaut \(0{,}01\) pour \(h = 0{,}1\) mais seulement \(0{,}0001\) pour \(h = 0{,}01\) — diviser \(h\) par \(10\) divise l'erreur par \(100\).
Exemple
À l'aide de l'approximation affine en \(a = 1\), donner une valeur approchée de chaque nombre, puis comparer avec la calculatrice. - \(1{,}02^2\) (fonction carré).
- \(\dfrac{1}{1{,}02}\) (fonction inverse).
- \(\sqrt{1{,}02}\) (fonction racine carrée).
Dans chaque cas \(a = 1\) et \(h = 0{,}02\), et \(f(1 + h) \approx f(1) + f'(1) \times 0{,}02\).
- \(f(x) = x^2\), \(f'(x) = 2x\) : \(f(1) = 1\) et \(f'(1) = 2\), donc \(1{,}02^2 \approx 1 + 2 \times 0{,}02 = 1{,}04\). Calculatrice : \(1{,}0404\) ; l'erreur est \(0{,}0004 = h^2\).
- \(f(x) = \dfrac{1}{x}\), \(f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\) : \(f(1) = 1\) et \(f'(1) = -1\), donc \(\dfrac{1}{1{,}02} \approx 1 - 0{,}02 = 0{,}98\). Calculatrice : \(0{,}98039\ldots\) ; l'erreur est d'environ \(0{,}0004\).
- \(f(x) = \sqrt{x}\), \(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) : \(f(1) = 1\) et \(f'(1) = \dfrac{1}{2}\), donc \(\sqrt{1{,}02} \approx 1 + \dfrac{1}{2} \times 0{,}02 = 1{,}01\). Calculatrice : \(1{,}00995\ldots\) ; cette fois l'approximation est légèrement trop grande, d'environ \(0{,}00005\).
Exemple
La tangente à la courbe d'une fonction \(f\) au point d'abscisse \(3\) a pour équation \(y = 5x - 4\). Donner la valeur que fournit l'approximation affine en \(3\) pour \(f(3{,}01)\).
La tangente en \(3\) donne à la fois \(f(3)\) et \(f'(3)\) : sa pente est \(f'(3) = 5\), et elle passe par le point de la courbe, donc \(f(3) = 5 \times 3 - 4 = 11\). Avec \(h = 0{,}01\), $$f(3{,}01) \approx f(3) + f'(3) \times 0{,}01 = 11 + 0{,}05 = 11{,}05.$$ C'est la valeur de la fonction affine tangente en \(3{,}01\) : \(5 \times 3{,}01 - 4 = 11{,}05\). On ne peut rien dire de plus sans connaître \(f\) : la tangente seule donne la valeur approchée, pas la taille de l'erreur — petite pour les fonctions usuelles quand \(h = 0{,}01\), mais que la tangente ne garantit pas.
Compétences à pratiquer
- L'approximation affine
IV.4
Vitesse instantanée et coût marginal
Le nombre dérivé \(f'(a)\) est un taux de variation instantané : il indique à quelle vitesse \(f(x)\) varie à l'instant précis où \(x = a\). Selon ce que mesure \(f\), ce nombre a un sens concret.
- Géométrie : \(f'(a)\) est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a\).
- Mouvement : si \(d(t)\) est la distance parcourue après \(t\) secondes, le taux de variation \(\dfrac{d(t_0+h)-d(t_0)}{h}\) est la vitesse moyenne entre les instants \(t_0\) et \(t_0+h\), et \(d'(t_0)\) est la vitesse instantanée à l'instant \(t_0\) (celle qu'affiche le compteur).
- Économie : si \(C(q)\) est le coût de production de \(q\) objets, \(C'(q)\) est le coût marginal : approximativement le coût de production d'un objet supplémentaire au-delà de \(q\), puisque \(C(q+1)-C(q) = \dfrac{C(q+1)-C(q)}{1}\) est un taux de variation avec \(h = 1\), proche de \(C'(q)\) quand un objet est petit devant les quantités produites, de sorte que \(C'\) varie peu entre \(q\) et \(q+1\).
Exemple
On lâche une bille du haut d'une tour. La distance parcourue après \(t\) secondes est \(d(t) = 5t^2\) (en mètres). - Calculer la vitesse moyenne de la bille entre \(t = 2\) et \(t = 3\).
- À l'aide de la définition du nombre dérivé, calculer \(d'(2)\) et interpréter ce nombre.
- La vitesse moyenne est le taux de variation de \(d\) entre \(2\) et \(3\) : $$ \dfrac{d(3)-d(2)}{3-2} = \dfrac{45 - 20}{1} = 25\ \text{m/s}. $$
- Pour \(h \neq 0\), $$\begin{aligned} \dfrac{d(2+h)-d(2)}{h} &= \dfrac{5(2+h)^2 - 20}{h} \\ &= \dfrac{20 + 20h + 5h^2 - 20}{h} \\ &= \dfrac{h(20 + 5h)}{h} \\ &= 20 + 5h \xrightarrow[h \to 0]{} 20. \end{aligned}$$ Donc \(d'(2) = 20\) : à l'instant \(t = 2\), la bille tombe à la vitesse instantanée de \(20\ \text{m/s}\). Elle est inférieure à la vitesse moyenne sur \([2\,;\,3]\) car la bille continue d'accélérer.
Exemple
Le coût, en euros, de la production de \(q\) objets dans un atelier est \(C(q) = 0{,}1q^2 + 20q + 500\). - Calculer \(C(101) - C(100)\), le coût du \(101^{\text{e}}\) objet.
- À l'aide de la définition du nombre dérivé, calculer \(C'(100)\) et comparer avec le résultat précédent.
- \(C(100) = 0{,}1 \times 10\,000 + 2000 + 500 = 3500\) et \(C(101) = 0{,}1 \times 10\,201 + 2020 + 500 = 3540{,}1\). Le \(101^{\text{e}}\) objet coûte \(C(101) - C(100) = 40{,}1~\Euro\).
- Pour \(h \neq 0\), $$\begin{aligned} \dfrac{C(100+h)-C(100)}{h} &= \dfrac{0{,}1(100+h)^2 + 20(100+h) + 500 - 3500}{h} \\ &= \dfrac{1000 + 20h + 0{,}1h^2 + 2000 + 20h + 500 - 3500}{h} \\ &= \dfrac{h(40 + 0{,}1h)}{h} \\ &= 40 + 0{,}1h \xrightarrow[h \to 0]{} 40. \end{aligned}$$ Donc \(C'(100) = 40\) : le coût marginal en \(q = 100\) est de \(40~\Euro\), très proche du coût réel du \(101^{\text{e}}\) objet (\(40{,}1~\Euro\)). Le coût marginal est un taux de variation instantané ; il approche le coût d'un objet de plus, qui est le taux de variation avec \(h = 1\).
Compétences à pratiquer
- Interpréter le nombre dérivé dans un contexte
V
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Diagnostiquer et corriger
- Problèmes
- Quiz
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