Éducation Nationale Française · Terminale Spécialité
Fonctions cosinus et sinus
I
Les fonctions cosinus et sinus
I.1
Cosinus et sinus d'un nombre réel
Définition — Fonction sinus
La fonction sinus, notée \(\sin\), est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) qui, à tout réel \(x\), associe l'ordonnée du point \(M\) du cercle trigonométrique associé à \(x\) : \(x\mapsto \sin(x)\). Définition — Fonction cosinus
La fonction cosinus, notée \(\cos\), est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) qui, à tout réel \(x\), associe l'abscisse du point \(M\) du cercle trigonométrique associé à \(x\) : \(x\mapsto\cos(x)\). Compétences à pratiquer
- Compléter un tableau de valeurs
- Tracer un graphe
I.2
Périodicité et parité
Définition — Fonction périodique
Une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) est dite périodique s'il existe une constante \(P>0\) telle que :$$ f(x+P) = f(x), \quad \text{pour tout réel } x $$Lorsqu'il existe une plus petite constante \(P\) qui convient, elle est appelée la période de \(f\). Proposition — Périodicité des fonctions cosinus et sinus
Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période \(2\pi\) : pour tout réel \(x\),$$\cos(x + 2\pi) = \cos x \qquad \text{et} \qquad \sin(x + 2\pi) = \sin x.$$ Leurs courbes sont inchangées par la translation de longueur \(2\pi\) le long de l'axe des abscisses : il suffit de les tracer sur un intervalle de longueur \(2\pi\), par exemple \([-\pi\,;\,\pi]\), puis de répéter le motif. 
Proposition — Parité des fonctions cosinus et sinus
Rappel : une fonction \(f\) est paire lorsque \(f(-x) = f(x)\) pour tout \(x\), impaire lorsque \(f(-x) = -f(x)\) pour tout \(x\). La fonction cosinus est paire : pour tout réel \(x\), \(\cos(-x) = \cos x\). Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. La fonction sinus est impaire : pour tout réel \(x\), \(\sin(-x) = -\sin x\). Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine \(O\). 
Compétences à pratiquer
- Identifier un comportement périodique à partir d'un graphe
- Utiliser la périodicité et la parité
I.3
Dérivées des fonctions sinus et cosinus
Pourquoi étudier la dérivée du sinus et du cosinus ?
Les courbes des fonctions sinus et cosinus sont lisses, sans point anguleux : elles semblent dérivables partout. La lecture d'une tangente sur le graphique suggère même que la pente de la courbe du sinus en \(0\) vaut \(1\), et qu'elle s'annule au sommet de chaque arche. Transformer ces lectures en résultats demande deux outils, tous deux admis : la proposition « Limites trigonométriques fondamentales », et les formules « Cosinus de la somme » et « Sinus de la somme et de la différence ». Ils donnent la dérivée de chaque fonction en un seul calcul, dont découlent ensuite les variations et l'allure des deux courbes.
Proposition — Formule du cosinus de la somme
$$\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B.$$ Proposition — Formule du sinus de la somme et de la différence
$$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B,$$ $$\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B.$$ Proposition — Limites trigonométriques fondamentales
On admet les deux limites suivantes :$$ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(x)}{x} = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(x)-1}{x} = 0 $$ Proposition — Dérivées de sinus et cosinus
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur \(\mathbb{R}\). Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :$$ \sin'(x) = \cos(x) \quad \text{et} \quad \cos'(x) = -\sin(x) $$
Soit \(x\) un nombre réel et soit \(h \neq 0\). La formule « Sinus de la somme et de la différence » donne \(\sin(x + h) = \sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h)\), donc le taux de variation de la fonction sinus entre \(x\) et \(x + h\) vaut $$\begin{aligned}[t] \dfrac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h} &= \dfrac{\sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) - \sin(x)}{h} &&\text{(sinus d'une somme)} \\
&= \dfrac{\sin(x)\left(\cos(h) - 1\right) + \cos(x)\sin(h)}{h} &&\text{(on factorise par } \sin(x)\text{)} \\
&= \sin(x) \times \dfrac{\cos(h) - 1}{h} + \cos(x) \times \dfrac{\sin(h)}{h} \end{aligned}$$ La proposition « Limites trigonométriques fondamentales », admise dans ce chapitre, donne \(\dfrac{\cos(h) - 1}{h} \xrightarrow[h \to 0]{} 0\) et \(\dfrac{\sin(h)}{h} \xrightarrow[h \to 0]{} 1\), tandis que \(\sin(x)\) et \(\cos(x)\) ne dépendent pas de \(h\). Le taux de variation tend donc vers \(\sin(x) \times 0 + \cos(x) \times 1 = \cos(x)\) : la fonction sinus est dérivable en \(x\) et \(\sin'(x) = \cos(x)\). Le même calcul avec la formule « Cosinus de la somme », \(\cos(x + h) = \cos(x)\cos(h) - \sin(x)\sin(h)\), donne $$\dfrac{\cos(x+h) - \cos(x)}{h} = \cos(x) \times \dfrac{\cos(h) - 1}{h} - \sin(x) \times \dfrac{\sin(h)}{h} \xrightarrow[h \to 0]{} -\sin(x),$$ d'où \(\cos'(x) = -\sin(x)\). Les deux résultats valent pour tout nombre réel \(x\).
Compétences à pratiquer
- Dériver sinus et cosinus
II
Étudier une fonction trigonométrique
II.1
Dérivées de sin(ax+b) et cos(ax+b)
Proposition — Dérivée de \(x \mapsto g(ax+b)\)
Soit \(g\) une fonction dérivable sur un intervalle \(J\), et \(a\), \(b\) deux réels. La fonction \(f\) définie par \(f(x) = g(ax+b)\) est dérivable en tout \(x\) tel que \(ax+b \in J\), et $$ f'(x) = a \times g'(ax+b). $$ Proposition — Dérivées de \(\sin(ax+b)\) et de \(\cos(ax+b)\)
Soient \(a\) et \(b\) deux réels. Les fonctions \(x \mapsto \sin(ax+b)\) et \(x \mapsto \cos(ax+b)\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\), et : - la dérivée de \(x \mapsto \sin(ax+b)\) est \(x \mapsto a\cos(ax+b)\) ;
- la dérivée de \(x \mapsto \cos(ax+b)\) est \(x \mapsto -a\sin(ax+b)\).
On applique la proposition sur la dérivée de \(x \mapsto g(ax+b)\) : lorsque \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), la fonction \(x \mapsto g(ax+b)\) l'est aussi, et sa dérivée est \(x \mapsto a \times g'(ax+b)\).
- Pour le sinus : \(g = \sin\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(\sin' = \cos\), donc la dérivée de \(x \mapsto \sin(ax+b)\) est \(x \mapsto a\cos(ax+b)\).
- Pour le cosinus : \(g = \cos\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(\cos' = -\sin\), donc la dérivée de \(x \mapsto \cos(ax+b)\) est \(x \mapsto a \times (-\sin(ax+b)) = -a\sin(ax+b)\).
Exemple
Déterminer la dérivée de chaque fonction, définie sur \(\mathbb{R}\). - \(f(x) = \sin(2x + 1)\)
- \(g(x) = \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\)
- \(f(x) = \sin(2x + 1)\) est de la forme \(\sin(ax+b)\) avec \(a = 2\) et \(b = 1\), donc$$ f'(x) = a\cos(ax+b) = 2\cos(2x+1). $$
- \(g(x) = \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\) est de la forme \(\cos(ax+b)\) avec \(a = \dfrac{1}{2}\) et \(b = 0\), donc$$ g'(x) = -a\sin(ax+b) = -\dfrac{1}{2}\sin\left(\dfrac{x}{2}\right). $$
Compétences à pratiquer
- Dériver sin(ax+b) et cos(ax+b)
II.2
Variations et étude d'une fonction trigonométrique
Proposition — Variations de sinus et cosinus
Les fonctions sinus et cosinus étant \(2\pi\)-périodiques, leur étude peut être restreinte à un intervalle d'amplitude \(2\pi\), comme \([-\pi\,;\,\pi]\). Leurs variations sur cet intervalle sont données par les tableaux suivants : 
Les variations sont déterminées par le signe des fonctions dérivées :
- Pour le sinus : La dérivée est \(\sin'(x) = \cos(x)\). Sur l'intervalle \([-\pi\,;\,\pi]\), \(\cos(x)\) est positif sur \([-\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{\pi}{2}]\) et négatif sur \([-\pi\,;\,-\frac{\pi}{2}] \cup [\frac{\pi}{2}\,;\,\pi]\). Ainsi, le sinus est croissant sur \([-\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{\pi}{2}]\) et décroissant ailleurs.
- Pour le cosinus : La dérivée est \(\cos'(x) = -\sin(x)\). Sur l'intervalle \([-\pi\,;\,\pi]\), \(\sin(x)\) est négatif sur \([-\pi\,;\,0]\) (donc \(-\sin(x) > 0\)) et positif sur \([0\,;\,\pi]\) (donc \(-\sin(x) < 0\)). Ainsi, le cosinus est croissant sur \([-\pi\,;\,0]\) et décroissant sur \([0\,;\,\pi]\).
Méthode — Étudier une fonction trigonométrique
- Lorsque la fonction est périodique, réduire l'intervalle d'étude à une période, puis utiliser la parité si la fonction est paire ou impaire : ce que l'on sait sur cet intervalle est alors connu partout. Une fonction qui n'est ni périodique, ni paire, ni impaire s'étudie directement sur l'intervalle donné.
- Dériver, à l'aide des dérivées du sinus et du cosinus et des règles sur un produit, un quotient et \(\sin(u)\), \(\cos(u)\) où \(u\) est affine.
- Déterminer le signe de la dérivée. Cela revient presque toujours à lire sur le cercle le signe de \(\cos\) ou de \(\sin\).
- Dresser le tableau de variations, avec les valeurs aux bornes de l'intervalle.
- Lire sur le tableau la réponse à la question posée : le sens de variation sur chaque partie, et les extremums, avec la valeur atteinte et l'endroit où elle l'est.
Exemple
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x + \cos(x)\). Étudier les variations de \(f\) sur \([0\,;\,2\pi]\), puis donner son minimum et son maximum sur cet intervalle.
La fonction \(f\) n'est ni périodique, ni paire, ni impaire : on l'étudie donc directement sur \([0\,;\,2\pi]\). Elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme somme de deux fonctions dérivables, et $$f'(x) = 1 - \sin(x).$$ Comme \(\sin(x) \leq 1\) pour tout réel \(x\), on a \(f'(x) \geq 0\) sur \([0\,;\,2\pi]\). La dérivée s'annule exactement là où \(\sin(x) = 1\), c'est-à-dire au seul point \(x = \dfrac{\pi}{2}\) de cet intervalle. D'après la proposition « Signe de la dérivée et sens de variation », \(f\) est donc strictement croissante sur \([0\,;\,2\pi]\). $$\begin{aligned}[t] f(0) &= 0 + \cos(0) = 1 \\
f(2\pi) &= 2\pi + \cos(2\pi) = 2\pi + 1 \end{aligned}$$ 
Étant strictement croissante, \(f\) atteint son minimum à la borne de gauche et son maximum à la borne de droite : le minimum vaut \(f(0) = 1\) et le maximum \(f(2\pi) = 2\pi + 1\). En \(\dfrac{\pi}{2}\) la tangente est horizontale, mais la fonction ne rebrousse pas chemin : ce point n'est pas un extremum.
Compétences à pratiquer
- Déterminer la dérivée et où elle s'annule
- Étudier une fonction trigonométrique
III
Équations et inéquations trigonométriques
III.1
Résoudre une équation à l'aide du cercle
Combien de solutions a une équation trigonométrique ?
Sur le cercle trigonométrique, on lit tout de suite que \(\dfrac{\pi}{3}\) est solution de \(\cos(x) = \dfrac{1}{2}\). Est-ce la seule ? Une équation de ce type a en général une infinité de solutions, et une question n'en demande presque jamais une : elle demande toutes celles qui appartiennent à un intervalle donné. Il faut donc deux choses, que la propriété ci-dessous fournit l'une et l'autre : une façon de décrire l'ensemble des solutions, et une façon d'en extraire celles de l'intervalle demandé.
Proposition — Résoudre \(\cos(x) \equal \cos(a)\) et \(\sin(x) \equal \sin(a)\)
Soit \(a\) un nombre réel. Pour tout nombre réel \(x\) : $$\cos(x) = \cos(a) \iff x = a + 2k\pi \ \text{ ou } \ x = -a + 2k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z}\,;$$ $$\sin(x) = \sin(a) \iff x = a + 2k\pi \ \text{ ou } \ x = \pi - a + 2k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z}.$$ Le cercle trigonométrique explique les deux. Les points de même abscisse \(\cos(a)\) sont symétriques par rapport à l'axe horizontal, ce qui donne \(a\) et \(-a\) : 
Méthode — Résoudre une équation trigonométrique à l'aide du cercle
Cette méthode s'applique lorsque l'équation peut s'écrire avec une valeur remarquable au second membre. Pour une valeur qui n'est pas remarquable, la calculatrice donne une valeur approchée d'une solution et le cercle donne alors les autres. - Écrire l'équation sous la forme \(\cos(X) = \cos(a)\) ou \(\sin(X) = \sin(a)\), où \(a\) se lit sur le cercle trigonométrique.
- Écrire les deux familles de solutions en \(X\) : \(X = a + 2k\pi\) ou \(X = -a + 2k\pi\) pour le cosinus, \(X = a + 2k\pi\) ou \(X = \pi - a + 2k\pi\) pour le sinus (\(k \in \mathbb{Z}\)).
- Revenir à \(x\) si \(X\) était une expression telle que \(2x\) ou \(3x - \frac{\pi}{4}\).
- Sélectionner les entiers \(k\) pour lesquels la solution appartient à l'intervalle demandé, puis énumérer les solutions.
Exemple
Résoudre l'équation \(2\cos(2x) = 1\) sur l'intervalle \([0\,;\,2\pi[\).
Pour tout nombre réel \(x\), en notant \(k\) un entier : $$\begin{aligned}[t] 2\cos(2x) = 1 &\iff \cos(2x) = \dfrac{1}{2} &&\text{(on divise par 2)} \\
&\iff \cos(2x) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) &&\text{(valeur remarquable)} \\
&\iff 2x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \ \text{ ou } \ 2x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi &&\text{(propriété précédente)} \\
&\iff x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi \ \text{ ou } \ x = -\dfrac{\pi}{6} + k\pi \end{aligned}$$ Il reste à sélectionner les entiers \(k\) donnant une solution dans \([0\,;\,2\pi[\). Pour la première famille, \(k = -1\) donne \(-\dfrac{5\pi}{6} < 0\), \(k = 0\) donne \(\dfrac{\pi}{6}\), \(k = 1\) donne \(\dfrac{7\pi}{6}\), et \(k = 2\) donne \(\dfrac{13\pi}{6} > 2\pi\). Pour la seconde famille, \(k = 0\) donne \(-\dfrac{\pi}{6} < 0\), \(k = 1\) donne \(\dfrac{5\pi}{6}\), \(k = 2\) donne \(\dfrac{11\pi}{6}\), et \(k = 3\) donne \(\dfrac{17\pi}{6} > 2\pi\). L'ensemble des solutions est $$\left\{\dfrac{\pi}{6}\,;\,\dfrac{5\pi}{6}\,;\,\dfrac{7\pi}{6}\,;\,\dfrac{11\pi}{6}\right\}.$$
Compétences à pratiquer
- Résoudre des équations trigonométriques de base
- Résoudre une équation entre \(-\pi\) et \(\pi\)
- Résoudre des équations de forme quadratique
- Résoudre des équations à arguments transformés
III.2
Résoudre une inéquation à l'aide du cercle
Proposition — Résoudre une inéquation trigonométrique
Soit \(a\) un nombre réel de \([0\,;\,\pi]\). Sur l'intervalle \([-\pi\,;\,\pi]\) : $$\cos(x) \leq \cos(a) \iff x \in [-\pi\,;\,-a] \cup [a\,;\,\pi], \qquad \cos(x) \geq \cos(a) \iff x \in [-a\,;\,a].$$ Sur le cercle trigonométrique, \(\cos(x)\) est l'abscisse du point associé à \(x\) : la condition \(\cos(x) \leq \cos(a)\) sélectionne les points situés à gauche de la droite verticale d'abscisse \(\cos(a)\), c'est-à-dire l'arc tracé en gras ci-dessous. La condition \(\cos(x) \geq \cos(a)\) sélectionne l'autre arc. Les deux arcs sont fermés et partagent les deux points \(a\) et \(-a\), car les inégalités sont larges. 
Méthode — Résoudre une inéquation trigonométrique à l'aide du cercle
- Écrire l'inéquation sous la forme \(\cos(x) \leq \cos(a)\) ou \(\sin(x) \geq \sin(a)\), où \(a\) est une valeur remarquable lue sur le cercle trigonométrique.
- Tracer le cercle, puis la droite verticale d'abscisse \(\cos(a)\), ou la droite horizontale d'ordonnée \(\sin(a)\).
- Colorier l'arc des points qui vérifient l'inéquation, et marquer ses deux extrémités.
- Lire l'ensemble des solutions sur l'intervalle demandé, sous forme d'un intervalle ou d'une réunion de deux intervalles lorsque l'arc franchit \(\pi\) ou \(-\pi\).
Exemple
Résoudre l'inéquation \(\cos(x) \leq \dfrac{1}{2}\) sur l'intervalle \([-\pi\,;\,\pi]\).
Comme \(\dfrac{1}{2} = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\) et que \(\dfrac{\pi}{3}\) appartient à \([0\,;\,\pi]\), l'inéquation s'écrit \(\cos(x) \leq \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\). Sur le cercle trigonométrique, les points dont l'abscisse est inférieure ou égale à \(\dfrac{1}{2}\) forment l'arc allant de \(\dfrac{\pi}{3}\) à \(\pi\) et, par symétrie par rapport à l'axe horizontal, de \(-\pi\) à \(-\dfrac{\pi}{3}\). La lecture des extrémités sur \([-\pi\,;\,\pi]\) donne $$\left[-\pi\,;\,-\dfrac{\pi}{3}\right] \cup \left[\dfrac{\pi}{3}\,;\,\pi\right].$$ Vérification sur deux valeurs : \(\cos(\pi) = -1 \leq \dfrac{1}{2}\), et \(\cos(0) = 1 > \dfrac{1}{2}\), donc \(0\) est bien exclu.
Compétences à pratiquer
- Lire l'ensemble des solutions d'une inéquation
- Résoudre des inéquations trigonométriques
IV
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Raisonner et résoudre des problèmes
- Problèmes
- Type bac
- Quiz
Contrôle du chapitre
4 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h 30.
À traiter sur papier, puis à photographier : la correction est automatique, par IA.
Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.
Aucun exercice composé.
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