Éducation Nationale Française · Terminale Complémentaire

Calcul intégral

⌚ ~202 min ▢ 23 blocs ✓ 101 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections PDFÉvaluation PDFCorrigé de l'évaluation ➣ Prérequis : Primitives et équations différentielles, Convexité, Dérivation

I Intégrale d'une fonction continue positive

I.1 Définition de l'intégrale

La mesure des aires est un besoin fondamental pour la science et la société depuis l'Antiquité. Dans l'Égypte ancienne, les arpenteurs utilisaient des cordes à nœuds pour construire des angles droits, leur permettant de mesurer et de rétablir les limites des champs rectangulaires emportées par les crues annuelles du Nil. Si l'aire d'une figure aux côtés rectilignes se calcule simplement, le calcul intégral offre un outil révolutionnaire pour déterminer l'aire de domaines délimités par des courbes.

On cherche une méthode pour calculer l'aire exacte $\mathcal{A}$ du domaine délimité par la courbe d'une fonction positive $y=f(x)$, l'axe des abscisses et les droites verticales $x=a$ et $x=b$. On note cette aire à l'aide d'une intégrale :

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Définition — Intégrale d'une fonction continue positive

Dans un repère orthogonal d'origine $O$, on note $I(1 ; 0)$ et $J(0 ; 1)$. L'unité d'aire, notée u.a., est l'aire du rectangle de côtés $[OI]$ et $[OJ]$.
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a ; b]$ (c'est-à-dire $f(x) \ge 0$ pour tout $x$ de $[a ; b]$), et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$. On la note $$ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x. $$

Remarques

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ est un nombre réel positif, qui ne dépend que de $f$, $a$ et $b$.
La variable est muette : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$.
$\displaystyle\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ : le domaine se réduit à un segment.
Pour une fonction constante $x \mapsto k$ avec $k \ge 0$, le domaine est un rectangle de largeur $b - a$ et de hauteur $k$ : $\displaystyle\int_a^b k\,\mathrm{d}x = k(b - a)$.

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Exemple

Déterminer l'intégrale $\displaystyle\int_{-1}^{2} 1\,\mathrm{d}x$ en l'interprétant comme une aire.

Correction

L'intégrale représente l'aire sous la courbe de la fonction constante $f(x)=1$ de $x=-1$ à $x=2$ : ce domaine est un rectangle de largeur $2 - (-1) = 3$ et de hauteur $1$.

Donc $\displaystyle\int_{-1}^{2}1\,\mathrm{d}x= 3$.

Compétences à pratiquer

Calculer des intégrales avec des formules d'aire
Identifier l'intégrale d'une aire donnée

I.2 Encadrer une intégrale avec des rectangles

Proposition — Encadrement par la méthode des rectangles

Soit $a < b$ et $f$ une fonction continue, positive et croissante sur $[a ; b]$, $n$ un entier naturel non nul, $h = \frac{b-a}{n}$ et $x_k = a + kh$ pour $0 \le k \le n$. On note $$ s_n = h\sum_{k=0}^{n-1} f(x_k) \qquad \text{et} \qquad S_n = h\sum_{k=1}^{n} f(x_k) $$ les sommes des aires des rectangles construits sur les extrémités gauches et droites. Alors $$ s_n \le \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \le S_n \qquad \text{et} \qquad S_n - s_n = \frac{(b-a)\big(f(b) - f(a)\big)}{n}, $$ un écart qui tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Pour une fonction décroissante, les deux inégalités s'inversent.

Compétences à pratiquer

Encadrer avec des rectangles à gauche et à droite

II Intégrale et primitive

II.1 La fonction aire

De l'aire à la primitive

Les rectangles donnent un encadrement d'une aire, de plus en plus fin quand $n$ grandit, mais en général pas sa valeur exacte en un nombre fini d'étapes. Pour obtenir la valeur exacte, on regarde l'aire de $a$ à $x$ comme une fonction de $x$, et l'on se demande à quelle vitesse elle croît quand $x$ bouge un peu : pour une fonction continue et positive, le théorème sur la fonction aire répond qu'elle croît à la vitesse $f(x)$ elle-même. Calculer une aire revient alors à chercher une primitive.

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Théorème — La fonction aire est une primitive

Soit $a < b$ et $f$ une fonction continue et positive sur $[a ; b]$. La fonction $F_a$ définie sur $[a ; b]$ par $$ F_a(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t $$ est dérivable sur $[a ; b]$ (à droite en $a$, à gauche en $b$) et $F_a' = f$ : c'est la primitive de $f$ sur $[a ; b]$ qui s'annule en $a$.

Preuve

On admet le théorème dans le cas général ; on le démontre lorsque $f$ est de plus croissante sur $[a ; b]$.
Soit $x_0 \in [a ; b]$ et $h > 0$ tel que $x_0 + h \le b$. Le nombre $F_a(x_0 + h) - F_a(x_0)$ est l'aire du domaine sous $\mathcal{C}_f$ entre $x_0$ et $x_0 + h$, car les aires s'ajoutent. Comme $f$ est croissante, ce domaine contient le rectangle de largeur $h$ et de hauteur $f(x_0)$, et il est contenu dans le rectangle de largeur $h$ et de hauteur $f(x_0 + h)$. Ainsi $$\begin{aligned} h\,f(x_0) &\le F_a(x_0+h) - F_a(x_0) \le h\,f(x_0+h) &&\text{(comparaison des aires)}\\ f(x_0) &\le \frac{F_a(x_0+h) - F_a(x_0)}{h} \le f(x_0+h) &&\text{(division par } h > 0\text{)} \end{aligned}$$ Comme $f$ est continue en $x_0$, $f(x_0 + h) \xrightarrow[h \to 0^+]{} f(x_0)$ ; par le théorème des gendarmes, le taux d'accroissement tend vers $f(x_0)$. Pour $h < 0$ tel que $x_0 + h \ge a$, la même comparaison sur $[x_0 + h ; x_0]$ donne $$ f(x_0 + h) \le \frac{F_a(x_0+h) - F_a(x_0)}{h} \le f(x_0), $$ avec la même limite. Ainsi $F_a$ est dérivable en $x_0$ et $F_a'(x_0) = f(x_0)$. En $a$, seul $h > 0$ est possible, et en $b$, seul $h < 0$ : en ces points, la dérivée est une dérivée à droite, respectivement à gauche. Enfin, $F_a(a) = \displaystyle\int_a^a f(t)\,\mathrm{d}t = 0$.

Proposition — Calcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a ; b]$, et $F$ une primitive quelconque de $f$ sur $[a ; b]$. Alors $$ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a). $$ La différence $F(b) - F(a)$ se note $\left[F(x)\right]_a^b$.

Exemple

Calculer $\displaystyle \int_0^2 x^2 \mathrm{d}x$.

Correction

Déterminer une primitive : Une primitive de $f(x)=x^2$ est $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$.
Calculer l'intégrale à l'aide de la primitive : $$\begin{aligned}\displaystyle \int_0^2 x^2 \mathrm{d}x &= \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = F(2) - F(0) \\ &=\frac{2^3}{3} -\frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}\end{aligned}$$

Autrement dit, l'aire exacte sous la courbe $y=x^2$ sur l'intervalle $[0 ; 2]$ vaut $\dfrac 8 3$.

Compétences à pratiquer

Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive

II.2 Intégrale d'une fonction de signe quelconque

Théorème — Primitives d'une fonction continue

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

Preuve

On démontre le théorème sur un segment $[a ; b]$ ; son extension à un intervalle quelconque est admise.
Soit $f$ une fonction continue sur $[a ; b]$. On admet que $f$ est minorée sur $[a ; b]$ : il existe un réel $m$ tel que $f(x) \ge m$ pour tout $x$ de $[a ; b]$. La fonction $g = f - m$ est alors continue et positive sur $[a ; b]$ ; d'après le théorème sur la fonction aire, elle admet une primitive $G$ sur $[a ; b]$. Soit $F$ la fonction définie sur $[a ; b]$ par $F(x) = G(x) + mx$. Alors $F$ est dérivable sur $[a ; b]$ et, pour tout $x$ de $[a ; b]$, $$\begin{aligned} F'(x) &= G'(x) + m &&\text{(dérivée d'une somme)}\\ &= \big(f(x) - m\big) + m &&\text{(} G' = g = f - m \text{)}\\ &= f(x). \end{aligned}$$ Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $[a ; b]$.

Définition — Intégrale d'une fonction continue

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $F$ une primitive de $f$ sur $I$, et $a$, $b$ deux réels de $I$. L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est le nombre réel $$ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a) = \left[F(x)\right]_a^b. $$ Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie : deux primitives de $f$ diffèrent d'une constante, qui disparaît dans la différence. Aucun ordre n'est exigé entre $a$ et $b$.

Remarques

Lorsque $f$ est positive et $a \le b$, cette définition redonne l'aire, d'après le calcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive.
$\displaystyle\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ et $\displaystyle\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x = -\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$, car $F(a) - F(b) = -\big(F(b) - F(a)\big)$.

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Proposition — Intégrale d'une fonction négative

Soit $f$ une fonction continue et négative sur $[a ; b]$, et $\mathcal{A}$ l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$. Alors $$ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = -\mathcal{A}. $$

Compétences à pratiquer

Calculer des intégrales

III Propriétés de l'intégrale

III.1 Linéarité et relation de Chasles

Des primitives aux propriétés

L'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle se calcule à l'aide d'une primitive : $$ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a). $$ Les règles des primitives deviennent donc des règles pour les intégrales. Si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$, alors $F + G$ est une primitive de $f + g$ et $kF$ une primitive de $kf$ : c'est la linéarité de l'intégrale. Et la différence se découpe en tout point $c$ : $$ F(b) - F(a) = \big(F(c) - F(a)\big) + \big(F(b) - F(c)\big), $$ c'est la relation de Chasles.

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Proposition — Propriétés de l'intégration

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, $a$, $b$, $c$ trois réels de $I$, et $k$ un réel.

Intervalle de longueur nulle : $$\displaystyle\int_a^a f(x) \;\mathrm{d}x= 0.$$
Relation de Chasles (additivité) : Pour tout réel $c$ de $I$ (la figure montre $c$ entre $a$ et $b$) : $$\displaystyle\int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \; \mathrm{d}x + \int_c^b f(x)\;\mathrm{d}x$$
Linéarité : $$\displaystyle\int_a^b (f(x)+g(x)) \; \mathrm{d}x= \int_a^b f(x) \; \mathrm{d}x+ \int_a^b g(x) \; \mathrm{d}x$$ $$\displaystyle\int_a^b k f(x) \; \mathrm{d}x= k \int_a^b f(x) \; \mathrm{d}x.$$
Inversion des bornes : Échanger les deux bornes change le signe de l'intégrale : $$\displaystyle\int_b^a f(x) \; \mathrm{d}x= -\int_a^b f(x) \; \mathrm{d}x.$$

Compétences à pratiquer

Calculer des intégrales avec la linéarité
Appliquer les propriétés
Démontrer les propriétés

III.2 Encadrer une intégrale

Proposition — Propriété : positivité

Soit $f$ une fonction continue sur $[a ; b]$ avec $a \le b$.

Si pour tout réel $x$ de $[a ; b]$, $f(x) \ge 0$, alors $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x \ge 0$.
Si pour tout réel $x$ de $[a ; b]$, $f(x) \le 0$, alors $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x \le 0$.

Proposition — Propriété : intégration des inégalités

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a ; b]$ avec $a \le b$.
Si pour tout réel $x$ de $[a ; b]$, $f(x) \le g(x)$, alors :$$ \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x \le \int_{a}^{b} g(x) \,\mathrm{d}x $$

Exemple — Encadrer une intégrale

Démontrer que $\displaystyle 1 - \frac{1}{e} \le \int_0^1 e^{-x^2}\,\mathrm{d}x \le 1$.

Correction

Aucune primitive de $x \mapsto e^{-x^2}$ ne s'écrit avec les fonctions usuelles (résultat admis ici) : on encadre cette fonction par deux fonctions dont on connaît des primitives.

Encadrer la fonction. Pour tout $x$ de $[0 ; 1]$ : $$\begin{aligned} 0 \le x^2 &\le x &&\text{(on multiplie } x \le 1 \text{ par } x \ge 0\text{)}\\ -x \le -x^2 &\le 0 &&\text{(on multiplie par } -1\text{)}\\ e^{-x} \le e^{-x^2} &\le 1 &&\text{(exp est croissante, et } e^0 = 1\text{)} \end{aligned}$$
Intégrer les inégalités. Comme $0 \le 1$, l'intégration des inégalités sur $[0 ; 1]$ donne $$ \int_0^1 e^{-x}\,\mathrm{d}x \le \int_0^1 e^{-x^2}\,\mathrm{d}x \le \int_0^1 1\,\mathrm{d}x. $$
Calculer les bornes. Une primitive de $x \mapsto e^{-x}$ est $x \mapsto -e^{-x}$, donc $$\begin{aligned} \int_0^1 e^{-x}\,\mathrm{d}x &= \left[-e^{-x}\right]_0^1 &&\text{(primitive)}\\ &= -e^{-1} + e^{0}\\ &= 1 - \frac{1}{e}, \end{aligned}$$ et $\displaystyle\int_0^1 1\,\mathrm{d}x = 1$.

Ainsi $\displaystyle 1 - \frac{1}{e} \le \int_0^1 e^{-x^2}\,\mathrm{d}x \le 1$ : l'intégrale est comprise entre environ $0{,}632$ et $1$.

Compétences à pratiquer

Déterminer le signe d'une intégrale sans la calculer
Interpréter le signe d'une intégrale
Encadrer une intégrale
Étudier une fonction définie par une intégrale

IV Valeur moyenne et intégrales en contexte

IV.1 Valeur moyenne

Définition — Valeur moyenne

La valeur moyenne d'une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a ; b]$ (avec $a\neq b$) est le nombre réel $\mu$ défini par :$$ \mu = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x $$

Interprétation graphique

Dans le cas où $f$ est positive sur $[a ; b]$, l'égalité $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x = \mu(b - a)$ signifie que l'aire du domaine situé sous la courbe représentative de $f$ est égale à l'aire du rectangle de dimensions $\mu$ et $b - a$.

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Proposition — Encadrement de la valeur moyenne

Si $f$ est continue sur $[a ; b]$ (avec \(a

Compétences à pratiquer

Calculer et estimer une valeur moyenne

IV.2 Interpréter une intégrale

Exemple — Valeur moyenne en contexte

Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang est modélisée, $t$ heures après l'injection, par $C(t) = 20e^{-0{,}5t}$, en mg/L, pour $t \in [0 ; 4]$. Déterminer la concentration moyenne sur les quatre premières heures, et l'interpréter.

Correction

La concentration moyenne est la valeur moyenne de $C$ sur $[0 ; 4]$. Une primitive de $t \mapsto 20e^{-0{,}5t}$ est $t \mapsto -40e^{-0{,}5t}$, car la dérivée de $-40e^{-0{,}5t}$ est $-40 \times (-0{,}5)e^{-0{,}5t} = 20e^{-0{,}5t}$. $$\begin{aligned} \mu &= \frac{1}{4 - 0}\int_0^4 20e^{-0{,}5t}\,\mathrm{d}t &&\text{(définition de la valeur moyenne)}\\ &= \frac{1}{4}\left[-40e^{-0{,}5t}\right]_0^4 &&\text{(primitive)}\\ &= \frac{1}{4}\left(-40e^{-2} + 40\right)\\ &= 10\left(1 - e^{-2}\right) \approx 8{,}65. \end{aligned}$$ La concentration moyenne sur les quatre premières heures vaut environ $8{,}65$ mg/L.
Interprétation. Une concentration constante égale à $\mu = 10\left(1 - e^{-2}\right)$ mg/L, soit environ $8{,}65$ mg/L, pendant les quatre heures donnerait la même intégrale $\displaystyle\int_0^4 C(t)\,\mathrm{d}t$ que la concentration réelle : graphiquement, le rectangle de largeur $4$ et de hauteur $\mu$ a la même aire que le domaine sous la courbe de $C$. Comme $C$ décroît de $C(0) = 20$ à $C(4) = 20e^{-2} \approx 2{,}71$, l'encadrement de la valeur moyenne donne $20e^{-2} \le \mu \le 20$, ce que vérifie le résultat.

L'intégrale d'un taux de variation

Beaucoup de grandeurs sont connues par leur taux de variation : une vitesse est le taux de variation d'une distance, un débit celui d'un volume, une puissance celui d'une énergie, un coût marginal celui d'un coût total. Si une grandeur $Q$ a un taux de variation $q = Q'$ continu sur $[a ; b]$, alors $Q$ est une primitive de $q$, et le calcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive donne $$ \int_a^b q(t)\,\mathrm{d}t = Q(b) - Q(a) : $$ l'intégrale du taux de variation entre $a$ et $b$ est la variation nette de la grandeur entre $a$ et $b$, ce qui a été gagné moins ce qui a été perdu, et non la grandeur elle-même, qui dépend aussi de $Q(a)$. Lorsque le taux est positif, cette variation nette est la quantité accumulée, et c'est l'aire sous la courbe du taux. Pour $a < b$, en divisant par $b - a$, on obtient le taux moyen sur $[a ; b]$ : le taux constant qui produirait la même variation nette.

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Exemple

Un robinet remplit une cuve. Son débit, en litres par minute, $t$ minutes après l'ouverture, est $q(t) = 2 + 0{,}5t$ pour $t$ dans $[0 ; 10]$.

Déterminer le volume d'eau qui entre dans la cuve pendant les dix premières minutes.
Déterminer le débit moyen sur ces dix minutes, et vérifier qu'il est compris entre la plus petite et la plus grande valeur de $q$.

Correction

Le débit est le taux de variation du volume $V$ dans la cuve : le volume qui entre entre $0$ et $10$ est $V(10) - V(0) = \displaystyle\int_0^{10} q(t)\,\mathrm{d}t$. Une primitive de $q$ est $t \mapsto 2t + 0{,}25t^2$ : $$\begin{aligned} \int_0^{10} (2 + 0{,}5t)\,\mathrm{d}t &= \left[2t + 0{,}25t^2\right]_0^{10} \\ &= 20 + 25 = 45. \end{aligned}$$ $45$ litres entrent dans la cuve pendant les dix premières minutes : sur le graphique, c'est l'aire sous la droite $y = 2 + 0{,}5t$ entre $t = 0$ et $t = 10$ (un trapèze de côtés parallèles $2$ et $7$ et de largeur $10$, d'aire $\frac{(2 + 7) \times 10}{2} = 45$ : les deux calculs concordent).
Le débit moyen est la valeur moyenne de $q$ sur $[0 ; 10]$ : $\mu = \dfrac{45}{10} = 4{,}5$ litres par minute. Un robinet au débit constant de $4{,}5$ L/min remplirait les mêmes $45$ litres en dix minutes. Comme $q$ est croissante, sa plus petite valeur est $q(0) = 2$ et sa plus grande $q(10) = 7$, et on a bien $2 \le 4{,}5 \le 7$.

Compétences à pratiquer

Interpréter une intégrale en contexte

V Calculs d'aires

V.1 Aire entre une courbe et l'axe des abscisses

Méthode — Calcul de l'aire géométrique délimitée par une courbe et l'axe des abscisses

Pour calculer l'aire géométrique totale $\mathcal{A}$ délimitée par une courbe $y=f(x)$ et l'axe des abscisses entre $x=a$ et $x=b$ ($f$ continue sur $[a ; b]$ et ne s'annulant qu'un nombre fini de fois sur cet intervalle) :

Déterminer les points d'intersection avec l'axe des abscisses : Résoudre $f(x)=0$ pour savoir où la courbe rencontre l'axe des abscisses (les zéros de $f$), et retenir les racines $c_1, c_2, \dots$ situées dans l'intervalle $[a ; b]$.
Découper l'intégrale : Découper, à chacune de ces racines, l'intégrale sur $[a ; b]$ en intégrales sur des intervalles plus petits : sur chaque sous-intervalle, $f$ garde un signe constant (elle est continue et ne s'annule pas à l'intérieur de chaque sous-intervalle).
Calculer chaque intégrale : Calculer l'intégrale sur chaque sous-intervalle. Certaines sont positives (là où $f(x) \ge 0$), d'autres négatives (là où $f(x) \le 0$).
Additionner les valeurs absolues : L'aire géométrique totale est la somme des valeurs absolues de ces intégrales. Si l'intégrale sur un sous-intervalle est négative, on prend son opposé avant de l'ajouter au total.

Exemple

Calculer l'aire géométrique totale entre la courbe $y=x^2-1$ et l'axe des abscisses de $x=0$ à $x=2$.

Correction

Déterminer les racines : On résout $f(x)=x^2-1=0$ : $x=1$ ou $x=-1$. La seule racine dans l'intervalle $[0 ; 2]$ est $x=1$.
Découper l'intégrale : On découpe le calcul de l'aire en $x=1$.
- Sur $[0 ; 1]$, la courbe est sous l'axe des abscisses (aire $\mathcal{A}_1$).
- Sur $[1 ; 2]$, la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses (aire $\mathcal{A}_2$).
Calculer chaque intégrale : $$ \int_0^1 (x^2-1)\, \mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}-x\right]_0^1 = \left(\frac{1}{3}-1\right) - 0 = -\frac{2}{3} $$ $$ \int_1^2 (x^2-1)\, \mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}-x\right]_1^2 = \left(\frac{8}{3}-2\right) - \left(\frac{1}{3}-1\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3} $$
Additionner les valeurs absolues : $$ \text{Aire totale} = \left|-\frac{2}{3}\right| + \left|\frac{4}{3}\right| = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2 $$

L'aire géométrique totale est de 2 unités d'aire.

Compétences à pratiquer

Calculer une aire totale à l'aide de primitives

V.2 Aire entre deux courbes

Le calcul de l'aire sous une courbe s'étend à l'aire d'un domaine délimité par deux courbes. L'aire sous une courbe $y=f(x)$ en est un cas particulier, où la deuxième courbe est l'axe des abscisses, $y=0$.
L'idée est intuitive : lorsque $0 \le g(x) \le f(x)$ sur $[a ; b]$, l'aire du domaine délimité par la courbe du dessus, celle de $f$, et la courbe du dessous, celle de $g$, est l'aire sous la courbe de $f$ moins l'aire sous la courbe de $g$. Par linéarité, cette différence est une seule intégrale, et la formule reste valable dès que $g \le f$ sur $[a ; b]$, même si les courbes passent sous l'axe des abscisses, puisque c'est l'aire sous la courbe de la fonction positive $f - g$ : $$\begin{aligned} \textcolor{olive}{\mathcal{A}} &= \textcolor{colordef}{ \int_a^b f(x)\; \mathrm{d}x} - \textcolor{colorprop}{ \int_a^b g(x)\; \mathrm{d}x} \\ &= \int_a^b (f(x)-g(x))\; \mathrm{d}x \end{aligned} $$

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Proposition — Aire entre deux courbes

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a ; b]$. Si $f(x) \geq g(x)$ pour tout $x$ de $[a ; b]$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par les courbes $y=f(x)$ et $y=g(x)$ et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est donnée par : $$ \mathcal{A} = \int_a^b (f(x)-g(x))\; \mathrm{d}x $$

À retenir : l'intégrale de la fonction du dessus moins la fonction du dessous.

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Méthode — Calculer l'aire entre deux courbes

Pour calculer l'aire géométrique totale délimitée par deux courbes $y=f(x)$ et $y=g(x)$ ($f$ et $g$ continues, avec un nombre fini de points d'intersection sur l'intervalle considéré) :

Déterminer les points d'intersection. Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$ pour savoir où les courbes se rencontrent : ces points donnent les bornes $a$ et $b$ lorsqu'elles ne sont pas données et, lorsqu'elles le sont, les points de $[a ; b]$ où la fonction du dessus et la fonction du dessous peuvent s'échanger. Retenir les points d'intersection consécutifs qui délimitent le domaine cherché.
Identifier la fonction du dessus et la fonction du dessous. Sur chaque intervalle entre deux points d'intersection, déterminer quelle courbe est au-dessus de l'autre. Entre deux points d'intersection consécutifs, $f - g$ est continue et ne s'annule pas : elle garde un signe constant, et le calcul en un point suffit (un croquis rapide aide).
Poser et calculer la ou les intégrales. Sur chaque intervalle $[c ; d]$ entre deux points d'intersection ou bornes consécutifs, calculer $\int_c^d (\text{fonction du dessus} - \text{fonction du dessous}) \, \mathrm{d}x$, qui est positive. L'aire totale est la somme de ces intégrales.

Exemple

Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes $y=x+1$ et $y=x^2-1$.

Correction

Déterminer les points d'intersection : On écrit l'égalité des deux expressions : $$ x+1 = x^2-1 \iff x^2-x-2=0 \iff(x-2)(x+1)=0 $$ Les courbes se coupent en $x=-1$ et $x=2$. Ce sont les bornes d'intégration.
Identifier la fonction du dessus : Les courbes ne se rencontrent pas entre $x=-1$ et $x=2$ : la différence $(x+1)-(x^2-1)$, continue, garde donc un signe constant sur $]-1 ; 2[$, et le calcul en un point suffit. On compare les deux expressions en $x=0$ : pour $y=x+1$, $y(0)=1$ ; pour $y=x^2-1$, $y(0)=-1$. Comme $1 > -1$, la droite $y=x+1$ est au-dessus de la parabole sur $[-1 ; 2]$ : $x+1$ est la fonction du dessus.
Poser et calculer : $$\begin{aligned} \mathcal{A} &= \int_{-1}^2 \left( (x+1) - (x^2-1) \right)\, \mathrm{d}x \\ &= \int_{-1}^2 (-x^2+x+2)\, \mathrm{d}x \\ &= \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^2 \\ &= \left(-\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right) \\ &= \left(-\frac{16}{6} + \frac{12}{6} + \frac{24}{6}\right) - \left(\frac{2}{6} + \frac{3}{6} - \frac{12}{6}\right) \\ &= \frac{20}{6} - \left(-\frac{7}{6}\right) \\ &= \frac{27}{6} \\ &= \frac{9}{2} \end{aligned}$$

L'aire du domaine délimité est de $\frac{9}{2}$ unités d'aire.

Compétences à pratiquer

Calculer l'aire comprise entre deux courbes

V.3 Courbe de Lorenz et indice de Gini

Mesurer une inégalité

Comment le revenu est-il réparti dans une population ? On range les personnes de la plus pauvre à la plus riche et, pour chaque proportion $x$ de la population (avec $0 \le x \le 1$), on lit la proportion $L(x)$ du revenu total que reçoit la fraction $x$ la plus pauvre. Les revenus sont positifs ou nuls et leur total strictement positif, ces proportions sont donc bien définies, et $L(0) = 0$, $L(1) = 1$.
Avec des données réelles, $L$ n'est connue qu'en quelques points, par exemple aux quintiles ($x = 0{,}2$ ; $0{,}4$ ; $0{,}6$ ; $0{,}8$), et relier ces points par des segments donne une ligne polygonale. Cette ligne est sous la droite $y = x$ : les $x$ les plus pauvres ne reçoivent jamais plus que la part $x$ du revenu. Si tous les revenus étaient égaux, la courbe serait le segment de $O(0 ; 0)$ à $A(1 ; 1)$ : plus la courbe s'incurve sous ce segment, plus la répartition est inégale.
Chaque nouveau groupe de personnes est plus riche que le précédent, les segments de la ligne polygonale sont donc de plus en plus pentus de gauche à droite : la ligne est convexe. Pour calculer, on modélise la ligne polygonale par la courbe d'une fonction $L$ continue, croissante et convexe sur $[0 ; 1]$, avec $L(0) = 0$ et $L(1) = 1$, dont la courbe est sous le segment $[OA]$.

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Définition — Courbe de Lorenz et indice de Gini

Soit $L$ une fonction continue, croissante et convexe sur $[0 ; 1]$, avec $L(0) = 0$, $L(1) = 1$ et $L(x) \le x$ pour tout $x$ de $[0 ; 1]$, modélisant une répartition de revenus.

La courbe de $L$ est la courbe de Lorenz de la répartition.
L'indice de Gini de la répartition est l'aire du domaine compris entre le segment $[OA]$ et la courbe de Lorenz, divisée par l'aire $\dfrac{1}{2}$ du triangle $OIA$ sous le segment, où $I(1 ; 0)$ : $$ G = 2\int_0^1 \big(x - L(x)\big)\,\mathrm{d}x = 1 - 2\int_0^1 L(x)\,\mathrm{d}x. $$

L'indice vérifie $0 \le G \le 1$ : il vaut $0$ lorsque tous les revenus sont égaux ($L(x) = x$, la courbe est le segment) et se rapproche de $1$ lorsque presque tout le revenu va à une fraction infime de la population (la courbe longe le bas et le côté droit du triangle). Plus $G$ est grand, plus la répartition est inégale, au sens de cet indice.

Exemple

La répartition des revenus d'un pays est modélisée par la courbe de Lorenz de $L(x) = x^3$ sur $[0 ; 1]$.

Vérifier que $L$ satisfait aux conditions de la définition.
Quelle part du revenu total la moitié la plus pauvre de la population reçoit-elle ? Et les $10\pourcent$ les plus riches ?
Calculer l'indice de Gini de cette répartition.

Correction

$L$ est une fonction polynôme, donc continue sur $[0 ; 1]$ ; $L'(x) = 3x^2 \ge 0$, donc $L$ est croissante ; $L''(x) = 6x \ge 0$ sur $[0 ; 1]$, donc $L$ est convexe ; $L(0) = 0$ et $L(1) = 1$. Enfin, pour $x$ dans $[0 ; 1]$, $x^3 \le x$ puisque $x^2 \le 1$ et $x \ge 0$ : la courbe est sous le segment $[OA]$.
La moitié la plus pauvre correspond à $x = 0{,}5$ : $L(0{,}5) = 0{,}5^3 = 0{,}125$, elle reçoit donc $12{,}5\pourcent$ du revenu total. Les $90\pourcent$ les plus pauvres reçoivent $L(0{,}9) = 0{,}9^3 = 0{,}729$, soit $72{,}9\pourcent$ : les $10\pourcent$ les plus riches reçoivent les $27{,}1\pourcent$ restants.
D'après la définition : $$\begin{aligned} G &= 1 - 2\int_0^1 x^3\,\mathrm{d}x \\ &= 1 - 2\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1 &&\text{(primitive de } x^3\text{)} \\ &= 1 - 2 \times \frac{1}{4} \\ &= \frac{1}{2}. \end{aligned}$$ L'indice de Gini vaut $0{,}5$ : le domaine entre le segment et la courbe remplit la moitié du triangle.

Compétences à pratiquer

Étudier une courbe de Lorenz et un indice de Gini

VI Approcher une intégrale

VI.1 La méthode des rectangles

Quand aucune primitive ne s'écrit

Certaines fonctions, comme $x \mapsto e^{-x^2}$, n'ont aucune primitive qui s'écrive avec les fonctions usuelles (résultat admis ici) : en général, on ne sait pas calculer exactement leurs intégrales avec les outils de ce chapitre, et on les approche. Les méthodes qui suivent remplacent la courbe par des formes simples dont les aires s'additionnent facilement ; chacune est un algorithme.

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Méthode — Méthode des rectangles

On somme les aires de $n$ rectangles de largeur $h=\frac{b-a}{n}$ et de hauteur $f(x_k)$ aux extrémités gauches $x_k=a+kh$ : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \approx \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)\,h$. Ici $f$ est continue sur $[a ; b]$, avec $a < b$, et $n$ est un entier naturel non nul. Là où $f$ est positive, $f(x_k)\,h$ est l'aire d'un rectangle ; là où $f$ est négative, il compte négativement, comme dans l'intégrale. Quand $n$ tend vers $+\infty$, ces sommes tendent vers l'intégrale (admis) ; cela ne veut pas dire que chaque augmentation de $n$ réduit l'erreur.

h = (b - a) / n
S = 0
for k in range(n):
    S = S + f(a + k*h) * h

Méthode — Méthode des milieux

On somme les $n$ produits $f(m_k)\,h$, où $h=\frac{b-a}{n}$ et où $f$ est évaluée aux milieux $m_k = a + \left(k + \frac{1}{2}\right)h$ des subdivisions : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \approx \sum_{k=0}^{n-1} f(m_k)\,h$. Ici $f$ est continue sur $[a ; b]$, avec $a < b$, et $n$ est un entier naturel non nul. Là où $f$ est positive, $f(m_k)\,h$ est l'aire d'un rectangle de largeur $h$ ; là où $f$ est négative, il compte négativement, comme dans l'intégrale. Quand $n$ tend vers $+\infty$, ces sommes tendent vers l'intégrale (admis) ; cela ne veut pas dire que chaque augmentation de $n$ réduit l'erreur.

h = (b - a) / n
S = 0
for k in range(n):
    S = S + f(a + (k + 0.5)*h) * h

Compétences à pratiquer

Approcher une intégrale par des rectangles

VI.2 La méthode des trapèzes

Méthode — Méthode des trapèzes

On remplace le sommet de chaque rectangle par la corde joignant $(x_k,f(x_k))$ et $(x_{k+1},f(x_{k+1}))$ : on obtient des trapèzes. $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \approx \frac{h}{2}\Big(f(a)+2\!\sum_{k=1}^{n-1}\!f(x_k)+f(b)\Big)$. Ici $f$ est continue sur $[a ; b]$, avec $a < b$, et $n$ est un entier naturel non nul. Là où $f$ est positive, la contribution $\frac{h}{2}\big(f(x_k)+f(x_{k+1})\big)$ de chaque subdivision est l'aire d'un trapèze ; sinon, c'est une quantité signée, comme dans l'intégrale. Quand $n$ tend vers $+\infty$, ces sommes tendent vers l'intégrale (admis) ; cela ne veut pas dire que chaque augmentation de $n$ réduit l'erreur.

h = (b - a) / n
T = f(a) + f(b)
for k in range(1, n):
    T = T + 2 * f(a + k*h)
T = (h / 2) * T

Compétences à pratiquer

Approcher avec la méthode des trapèzes

VI.3 La méthode de Monte-Carlo

Méthode — Méthode de Monte-Carlo

On tire $N$ points au hasard dans un rectangle englobant $[a ; b]\times[0 ; M]$ (avec $0\le f(x)\le M$ sur $[a ; b]$). Si $c$ tombent sous la courbe, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \approx (b-a)\,M\cdot\frac{c}{N}$.

import random
c = 0
for i in range(N):
    x = random.uniform(a, b)
    y = random.uniform(0, M)
    if y <= f(x):
        c = c + 1
aire = (b - a) * M * c / N

Compétences à pratiquer

Estimer une intégrale par Monte-Carlo

VII Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre des problèmes
Problèmes
Type bac
Quiz

Contrôle du chapitre

4 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h 30.

À traiter sur papier, puis à photographier : la correction est automatique, par IA.

Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.

Aucun exercice composé.

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