Continuité

• Les fonctions polynômes, dont les fonctions affines et \(x \mapsto x^n\) (ex. \(x \mapsto x^3 - 2x + 5\)), continues sur \(\mathbb{R}\) ;
• Les fonctions rationnelles (ex. \(x \mapsto \dfrac{x+1}{x-2}\)), continues sur tout intervalle où le dénominateur ne s'annule pas ;
• La fonction racine carrée \(x \mapsto \sqrt{x}\), continue sur \([0\,;\,+\infty[\) ;
• Les fonctions sinus et cosinus, continues sur \(\mathbb{R}\) ;
• La fonction exponentielle, continue sur \(\mathbb{R}\) ;
• La fonction valeur absolue \(x \mapsto |x|\), continue sur \(\mathbb{R}\).

1. Stabilité : déterminer un segment \(I\) contenant \(u_0\) tel que \(f(I) \subset I\), c'est-à-dire tel que \(x \in I\) entraîne \(f(x) \in I\). Démontrer par récurrence que tous les termes \(u_n\) appartiennent à \(I\). Sans cette étape, rien de ce qui suit n'est légitime, car \(u_{n+1}\) pourrait sortir de l'intervalle où \(f\) est étudiée.
2. Monotonie : soit la lire sur le signe de \(f(x) - x\) sur \(I\), immédiat une fois la stabilité acquise, soit la démontrer par récurrence lorsque \(f\) est croissante, en comparant \(u_1\) et \(u_0\).
3. Convergence : la suite est bornée, puisque tous ses termes appartiennent au segment \(I\). Le théorème de convergence monotone s'applique alors : toute suite croissante et majorée converge, et toute suite décroissante et minorée aussi. La suite admet donc une limite \(\ell\), et \(\ell\) appartient à \(I\) car \(I\) est fermé.
4. Identification : le théorème du point fixe s'applique, puisque \(f\) est continue en \(\ell\) : la limite vérifie \(f(\ell) = \ell\). Résoudre cette équation sur \(I\), puis utiliser les propriétés de la suite pour trancher entre les solutions lorsqu'il y en a plusieurs.

1. Continuité : préciser l'intervalle d'étude et justifier que \(f\) y est continue, en nommant les fonctions du catalogue et les opérations qui construisent \(f\). C'est ce sur quoi repose l'existence d'une solution ; sans elle ni le théorème des valeurs intermédiaires ni son corollaire ne peuvent être invoqués.
2. Variations : sur chaque intervalle où \(f\) est dérivable, calculer \(f'\) et déterminer son signe — ou utiliser les variations des fonctions de référence lorsque \(f\) n'est pas dérivable partout, comme \(x \mapsto |x|\) en \(0\). Dresser le tableau de variations sur \(J\), en portant à chaque borne la valeur de \(f\) en cette borne, ou sa limite lorsque la borne est ouverte ou infinie.
3. Dénombrement : sur chaque ligne du tableau où \(f\) est strictement monotone, le corollaire s'applique. Comparer \(k\) aux deux extrémités de cette ligne : l'équation y admet exactement une solution lorsque \(k\) est compris entre elles — au sens large à une borne où \(f\) prend sa valeur, mais au sens strict à une borne qui ne porte qu'une limite, puisqu'une limite n'est pas atteinte ; sinon la ligne ne donne aucune solution. Additionner les lignes, en prenant garde de ne compter qu'une fois une solution située à une borne partagée par deux lignes, ce qui se produit lorsque \(k\) est la valeur de \(f\) en cette borne.
4. Localisation : pour chaque solution \(\alpha\), calculer les images de valeurs qui l'encadrent de plus en plus finement, ou dérouler l'algorithme exposé par la méthode « Méthode de dichotomie », jusqu'à la précision demandée. Conclure par un encadrement \(a \le \alpha \le b\).

1. Calculer le milieu \(m = \dfrac{a+b}{2}\) et le signe de \(f(m)\).
2. Garder la moitié sur laquelle le signe change : si \(f(a) \cdot f(m) \leq 0\), remplacer \(b\) par \(m\) ; sinon remplacer \(a\) par \(m\).
3. Recommencer. Après \(n\) étapes, l'intervalle a pour longueur \(\dfrac{b-a}{2^n}\) : quel que soit le point de l'intervalle pris comme valeur approchée, l'erreur est au plus \(\dfrac{b-a}{2^n}\).

def dichotomie(f, a, b, n):
    for k in range(n):
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b