Éducation Nationale Française · Terminale Spécialité

Dérivation composée et convexité

⌚ ~130 min ▢ 14 blocs ✓ 60 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections PDFÉvaluation PDFCorrigé de l'évaluation ➣ Prérequis : Continuité, Fonctions cosinus et sinus, Dérivation, Variations et courbes

I La composée et sa dérivée

I.1 Composer deux fonctions

Découverte

Soient $\textcolor{colordef}{f(x)=x^2}$ et $\textcolor{colorprop}{g(x)=2x+1}$.
La composition $\textcolor{olive}{(f \circ g)(x)}$ signifie qu’on applique d’abord $g$ à $x$, puis $f$ au résultat. Autrement dit, $x$ passe par la machine $g$ (devient $2x+1$), puis cette sortie passe par la machine $f$.

Algébriquement, on écrit : $$\begin{aligned}[t](f \circ g)(x) &= \textcolor{colordef}{f}(\textcolor{colorprop}{g(x)}) \\ &= \textcolor{colordef}{f}(2x+1) \\ &= (2x+1)^2.\end{aligned}$$

Définition — Composition de fonctions

Étant donné deux fonctions $f$ et $g$, la fonction composée, notée $\boldsymbol{f \circ g}$ (lire « $f$ rond $g$ »), est définie par : $$\boldsymbol{(f \circ g)(x) = f(g(x))}$$ pour tout $x$ appartenant à l'ensemble de définition de $g$ tel que $g(x)$ appartienne à l'ensemble de définition de $f$.
On applique d'abord la fonction $g$ à $x$, puis on applique la fonction $f$ au résultat $g(x)$.

Exemple

Soient $f(x)=x^2$ et $g(x)=2x+1$.

Déterminer $(f \circ g)(x)$.
Déterminer $(g \circ f)(x)$.
La composition est-elle commutative ? (c.-à-d. $(f \circ g)(x)$ est-il égal à $(g \circ f)(x)$ ?)

Correction

$\begin{aligned}[t] (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= f(2x+1) \\ &= (2x+1)^2 \\ &= 4x^2 + 4x + 1. \end{aligned}$
$\begin{aligned}[t] (g \circ f)(x) &= g(f(x)) \\ &= g(x^2) \\ &= 2(x^2) + 1 \\ &= 2x^2 + 1. \end{aligned}$
Non. Puisque $4x^2 + 4x + 1 \neq 2x^2 + 1$, les deux fonctions composées sont différentes : la composition de fonctions n'est donc pas commutative en général.

De nombreuses fonctions complexes sont créées en composant des fonctions plus simples. Une fonction composée a la forme $f(x) = v(u(x))$, où une fonction (la fonction « intérieure », $u$) est l'argument d'une autre (la fonction « extérieure », $v$). Par exemple, dans la fonction $f(x) = (x^2+1)^3$, la fonction intérieure est $u(x)=x^2+1$ et la fonction extérieure est $v(x)=x^3$.
La règle de la dérivation en chaîne offre une méthode puissante pour dériver de telles fonctions en trouvant les dérivées des fonctions intérieure et extérieure séparément.

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La notation $v \circ u$

Composer deux fonctions s'écrit avec un symbole propre. Étant données deux fonctions $u$ et $v$, la composée de $u$ suivie de $v$ est la fonction notée $v \circ u$, qui se lit « $v$ rond $u$ », définie par $$(v \circ u)(x) = v\bigl(u(x)\bigr).$$ Elle est définie en tout $x$ où $u$ est définie et où $u(x)$ appartient à l'ensemble de définition de $v$. L'ordre compte : $v \circ u$ et $u \circ v$ sont en général deux fonctions différentes. Avec $u(x) = x + 1$ et $v(x) = x^2$, on obtient $(v \circ u)(x) = (x+1)^2$ tandis que $(u \circ v)(x) = x^2 + 1$. Les lettres sont une convention, pas une règle : une composée écrite $f \circ g$ est le même objet, avec $g$ à l'intérieur et $f$ à l'extérieur. Ici la fonction intérieure s'appelle $u$ et l'extérieure $v$, parce que la dérivée de la composée se lira dans cet ordre : la dérivée de la fonction intérieure sort devant. Dériver une composée demande des hypothèses ponctuelles, et ce sont elles qui portent la règle : $u$ dérivable en $x$, et $v$ dérivable en $u(x)$. Sous ces deux conditions, $v \circ u$ est dérivable en $x$.

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Compétences à pratiquer

Déterminer une composition de fonctions
Décomposer une fonction composée

I.2 Dériver une composée

Proposition — Règle de la dérivation en chaîne

Si $f(x)=v(u(x))$ alors :$$ f'(x) = v'(u(x)) \cdot u'(x) $$ Avec la notation de la composée $f = v \circ u$, cela s'écrit$$ (v \circ u)' = u' \times (v' \circ u) $$

Exemple

Déterminer la dérivée de $f(x) = (x^2+1)^3$.

Correction

Soit la fonction extérieure $v(x)=x^3$ et la fonction intérieure $u(x)=x^2+1$. On a $f(x)=v(u(x))$. Les dérivées sont $v'(x)=3x^2$ et $u'(x)=2x$.$$\begin{aligned}f'(x) &= v'(u(x)) \cdot u'(x) \\ &= 3(u(x))^2 \cdot (2x) \\ &= 3(x^2+1)^2 \cdot (2x)\\ &= 6x(x^2+1)^2\end{aligned}$$

Proposition — Dérivées usuelles

Soit $u$ une fonction dérivable de dérivée $u'$, $a$ et $b$ des réels et $n$ un entier naturel.

Fonction	Dérivée	Fonction	Dérivée
$a u$	$a u'$	$\sqrt{u}$	$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
$u^2$	$2u'u$	$\cos(u)$	$-u'\sin(u)$
$u^3$	$3u'u^2$	$\sin(u)$	$u'\cos(u)$
$u^n$	$n u' u^{n-1}$	$e^u$	$u' e^u$
$\dfrac{1}{u}$	$-\dfrac{u'}{u^2}$	$\dfrac{1}{u^n}$	$-\dfrac{nu'}{u^{n+1}}$

Compétences à pratiquer

Dériver avec la règle de la chaîne
Déterminer les variations de fonctions composées

II La convexité

II.1 Définir la convexité par les cordes

Définition — Corde

Soit $f$ une fonction et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Soient $a$ et $b$ deux nombres de l'ensemble de définition de $f$ avec $a < b$, et soient $A\bigl(a\,;\,f(a)\bigr)$ et $B\bigl(b\,;\,f(b)\bigr)$ les points correspondants de $\mathcal{C}_f$. On appelle corde de $\mathcal{C}_f$ entre $a$ et $b$ le segment $[AB]$.

Définition — Fonction convexe et fonction concave

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. On dit que :

$f$ est convexe sur $I$ lorsque, pour tous $a < b$ de $I$, l'arc de $\mathcal{C}_f$ compris entre $a$ et $b$ est situé en dessous de la corde entre $a$ et $b$ ;
$f$ est concave sur $I$ lorsque, pour tous $a < b$ de $I$, cet arc est situé au-dessus de la corde.

La comparaison porte sur le seul segment $[a\,;\,b]$, jamais sur la droite $(AB)$ tout entière : la courbe de $x \mapsto x^2$ est bien en dessous de la corde joignant $(0\,;\,0)$ à $(1\,;\,1)$, mais en $x \equal 2$ elle vaut $4$ contre $2$ pour cette droite.

Compétences à pratiquer

Déterminer graphiquement la convexité

II.2 La dérivée seconde

Définition — Dérivée seconde

La dérivée seconde de $f$, notée $f''$, est la dérivée de la dérivée première $f'$ :$$ f'' = (f')' $$

Exemple

Déterminer la dérivée seconde de $f(x)=x^4 - 5x^2$.

Correction

On détermine d'abord la dérivée première :$$ f'(x) = 4x^3 - 10x $$ On dérive ensuite à nouveau pour obtenir la dérivée seconde :$$ f''(x) = 4 \times 3x^2 - 10 = 12x^2 - 10 $$

On considère la courbe ci-dessous, qui est concave.

Lorsqu'on parcourt la courbe de gauche à droite, $x$ augmente, mais la pente de la tangente diminue (de $2$, à $1$, à $0$, à $-1$, etc.).
Autrement dit, la fonction dérivée $f'$ est décroissante.
Si $f'$ est décroissante, alors sa dérivée $f''$ vérifie $f''(x)\leq 0$ (là où elle est définie).

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Compétences à pratiquer

Calculer la dérivée première et la dérivée seconde

II.3 Reconnaître une fonction convexe

Proposition — Trois façons de reconnaître une fonction convexe

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$. Les quatre affirmations suivantes sont équivalentes :

$f$ est convexe sur $I$, c'est-à-dire que sa courbe est en dessous de chacune de ses cordes ;
la courbe de $f$ est au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$ ;
la dérivée $f'$ est croissante sur $I$ ;
la dérivée seconde $f''$ est positive sur $I$, c'est-à-dire $f''(x) \ge 0$ pour tout $x$ de $I$.

Ces équivalences sont admises. En échangeant partout « en dessous » et « au-dessus », en échangeant « croissante » et « décroissante », et en remplaçant $f''(x) \ge 0$ par $f''(x) \le 0$, on obtient les quatre affirmations équivalentes de la concavité : la courbe est alors au-dessus de ses cordes et en dessous de ses tangentes. Une seule de ces implications est démontrée, celle qui va du signe de $f''$ à la position par rapport aux tangentes : c'est l'objet de la proposition « Dérivée seconde et tangentes ».

Proposition — Dérivée seconde et tangentes

Soit $f$ une fonction supposée deux fois dérivable sur un intervalle $I$ de dérivée seconde $f''$. Si $f''$ est positive sur $I$, alors la courbe représentative de $f$ est située au-dessus de toutes ses tangentes sur $I$.

Preuve Démonstration

Soit $x_0$ un point quelconque de $I$. L'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $x_0$ est :$$ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) $$ Soit $\phi$ la fonction définie sur $I$ par la différence entre la fonction et sa tangente :$$ \phi(x) = f(x) - (f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)) $$ $\phi$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est :$$ \phi'(x) = f'(x) - f'(x_0) $$ Or $f''$ est positive donc $f'$ est croissante. D'où :

si $x \ge x_0$, alors $f'(x) \ge f'(x_0)$ donc $\phi'(x) \ge 0$.
si $x \le x_0$, alors $f'(x) \le f'(x_0)$ donc $\phi'(x) \le 0$.

De plus, $\phi(x_0) = 0$. On obtient le tableau de variations suivant sur $I$, dont on note $a$ et $b$ les extrémités (éventuellement infinies ou exclues) :

(Dans ce tableau, $-$ et $+$ signifient $\phi'(x) \le 0$ et $\phi'(x) \ge 0$ : $\phi$ est décroissante, au sens large, jusqu'en $x_0$, puis croissante.) Le minimum de $\phi$ étant $0$, on a $\phi(x) \ge 0$ pour tout $x \in I$. On en déduit que $f(x) \ge f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$, soit que la courbe est au-dessus de ses tangentes.

Exemple

Démontrer que la fonction $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est convexe sur cet intervalle.

Correction

La fonction $f$ est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas sur $]0\,;\,+\infty[$ : elle y est deux fois dérivable, et $$\begin{aligned} f'(x) &= -\frac{1}{x^2} && \text{(dérivée de } 1/x\text{)} \\ f''(x) &= \frac{2}{x^3} && \text{(dérivée de } -x^{-2}\text{)} \end{aligned}$$ Pour $x > 0$ on a $x^3 > 0$, donc $f''(x) > 0$. La dérivée seconde est positive sur $]0\,;\,+\infty[$, donc d'après la proposition « Trois façons de reconnaître une fonction convexe » la fonction $f$ est convexe sur $]0\,;\,+\infty[$ : sa courbe est en dessous de chacune de ses cordes.

Définition — Convexité stricte

On dit que $f$ est strictement convexe sur $I$ lorsque, pour tous $a < b$ de $I$, l'arc est situé strictement en dessous de la corde en tout $x$ de $]a\,;\,b[$ ; et strictement concave lorsqu'il est strictement au-dessus. Une fonction dont on sait déjà qu'elle est convexe sur $I$ est strictement convexe sur tout sous-intervalle où sa courbe ne porte aucun segment de droite. L'hypothèse de convexité ne peut pas être retirée : la courbe de $x \mapsto x^3$ ne porte pas non plus de segment de droite, et cette fonction n'est ni convexe ni concave sur $\mathbb{R}$. Attention : la convexité stricte n'équivaut pas à $f'' > 0$. La fonction $x \mapsto x^4$ est strictement convexe sur $\mathbb{R}$ alors que sa dérivée seconde s'annule en $0$.

Compétences à pratiquer

Déterminer la convexité avec la dérivée seconde

II.4 Démontrer des inégalités

Méthode — Démontrer une inégalité par la convexité

Pour démontrer une inégalité de la forme $f(x) \geq ax + b$ sur un intervalle $I$, lorsque le membre de droite est affine :

vérifier que $f$ est deux fois dérivable sur $I$ et que $f''$ est positive sur $I$ : $f$ est alors convexe sur $I$ ;
reconnaître la droite $y = ax + b$ comme une tangente à la courbe de $f$ : chercher le réel $\alpha$ de $I$ tel que $f(\alpha) = a\alpha + b$ et $f'(\alpha) = a$, de sorte que la tangente en $\alpha$ ait pour équation $y = f(\alpha) + f'(\alpha)(x - \alpha) = ax + b$ ;
conclure par la proposition : la courbe d'une fonction convexe est au-dessus de toutes ses tangentes, donc $f(x) \geq ax+b$ pour tout $x$ de $I$.

L'inégalité est stricte en dehors de $\alpha$ lorsque $f''$ est strictement positive.

Exemple

Démontrer que $e^x \geq x + 1$ pour tout réel $x$.

Correction

La fonction $f : x \mapsto e^x$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, et pour tout réel $x$ : $$\begin{aligned} f'(x) &= e^x, \qquad f''(x) = e^x &&\text{(dérivée de l'exponentielle)}\\ f''(x) &> 0 \text{ sur } \mathbb{R} &&\text{(l'exponentielle est strictement positive)} \end{aligned}$$ Donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$. Le membre de droite $x + 1$ est affine : on cherche $\alpha$ tel que $f'(\alpha) = 1$, c'est-à-dire $e^{\alpha} = 1$, d'où $\alpha = 0$ ; et l'on a bien $f(0) = 1 = 0 + 1$. La tangente en $0$ a donc pour équation $$y = f(0) + f'(0)(x - 0) = 1 + x.$$ La courbe d'une fonction convexe est au-dessus de toutes ses tangentes, donc pour tout réel $x$ : $$e^x \geq x + 1.$$ L'égalité n'a lieu qu'en $x = 0$, le point de tangence, puisque $f''$ est strictement positive.

Compétences à pratiquer

Démontrer des inégalités par la convexité

III Points d'inflexion et allure de la courbe

III.1 Lire et déterminer les points d'inflexion

Un point d'inflexion marque un changement discret mais important dans le comportement d'une fonction : elle peut continuer à croître ou à décroître, mais sa variation passe d'une accélération à un ralentissement, ou inversement.
On considère le nombre total de cas au début d'une épidémie. Au départ, le nombre de nouveaux cas par jour augmente : la courbe du nombre total de cas devient de plus en plus raide (convexe). À un certain moment, des mesures sont prises et le nombre de nouveaux cas par jour, toujours positif, commence à diminuer : la courbe du nombre total de cas commence à s'aplatir (concave). Le point de la courbe où se produit ce basculement est le point d'inflexion : c'est là que la croissance est la plus rapide.

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Définition — Point d'inflexion

Un point d'inflexion est un point d'une courbe où la convexité change (de convexe à concave, ou l'inverse). Lorsque la fonction y est dérivable, la tangente en ce point traverse la courbe.

$\quad$

Pour une fonction deux fois dérivable, la convexité est déterminée par le signe de la dérivée seconde $f''(x)$, donc un point d'inflexion se trouve là où $f''(x)$ change de signe. Pour cela, $f''$ doit s'annuler en ce point.

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Proposition — Point d'inflexion et dérivée seconde

Un point $(a\,;\,f(a))$ est un point d'inflexion si $f''(a)=0$ et si le signe de $f''(x)$ change en $x=a$.

Exemple

Pour $f(x)=x^3$, déterminer les coordonnées du point d'inflexion.

Correction

Calculer la dérivée seconde :
$f'(x) = 3x^2$ et $f''(x) = 6x$.
Points d'inflexion possibles :$$\begin{aligned}f''(x) = 0 &\iff 6x = 0 \\ &\iff x = 0\end{aligned}$$
Vérifier le changement de signe de $f''(x)$ en $x=0$ :
La fonction $f''(x) = 6x$ s'annule en $0$ et change de signe (négative pour $x < 0$, positive pour $x > 0$). Il y a donc un point d'inflexion en $(0\,;\,f(0)) = (0 ; 0)$.

Compétences à pratiquer

Identifier les points d'inflexion à partir d'un graphique
Déterminer les points d'inflexion

III.2 Esquisser à partir des tableaux

Méthode — Esquisser l'allure d'une courbe

Pour esquisser la courbe d'une fonction $f$ à partir de ce que disent les dérivées, en n'utilisant que ce que les dérivées ont déjà donné :

Cadre : préciser l'intervalle d'étude, puis les limites de $f$ à ses bornes. Elles disent où la courbe s'échappe et où elle s'arrête, et elles donnent les asymptotes verticales, en une borne finie où la limite est infinie, et les horizontales, en une borne infinie où la limite est finie. Une asymptote oblique ne s'y lit pas et demande une comparaison propre.
Variations : lire le signe de $f'$, dresser le tableau de variations de $f$, et placer les points où $f'$ s'annule. Chacun porte une tangente horizontale.
Convexité : lire le signe de $f''$, en déduire les intervalles où $f$ est convexe et ceux où elle est concave, et placer les points d'inflexion, là où ce signe change en un point de l'intervalle. Un changement de signe de part et d'autre d'une valeur où $f$ n'est pas définie n'en donne aucun : $x \mapsto 1/x$ a des dérivées secondes de signes contraires de part et d'autre de $0$ sans le moindre point d'inflexion.
Tracé : reporter les points notables sur le cadre, respecter le sens de variation sur chaque intervalle, puis courber chaque arc selon l'étape 3 : creux vers le haut là où $f$ est convexe, creux vers le bas là où $f$ est concave.

L'étape 3 est celle qui ne se devine pas à partir de l'étape 2. Deux fonctions peuvent croître sur le même intervalle et pourtant avoir des convexités opposées : $x \mapsto x^2$ et $x \mapsto \sqrt{x}$ croissent toutes deux sur $[0\,;\,+\infty[$, la première convexe, la seconde concave.

Exemple

Esquisser la courbe de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$, en suivant les quatre étapes.

Correction

Cadre. $f$ est polynomiale, deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, et $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ La courbe s'échappe vers le bas à gauche et vers le haut à droite. Et comme $\dfrac{f(x)}{x} = x^2 - 3x + 3$ dépasse toute borne aux deux extrémités, aucune droite ne peut rester proche de la courbe à l'infini : pas d'asymptote oblique, ni verticale puisque $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ tout entier. Variations. En dérivant deux fois : $$\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 - 6x + 3 = 3(x-1)^2 && \text{(factorisation)} \\ f''(x) &= 6x - 6 = 6(x-1) && \text{(on dérive à nouveau)} \end{aligned}$$ Un carré est toujours positif, donc $f'(x) \ge 0$ pour tout $x$ : $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier. Sa dérivée ne s'annule qu'en $x = 1$, où $f(1) = 1$ ; la tangente y est horizontale, mais le signe de $f'$ ne change pas, donc ce n'est pas un extremum.

Convexité. $f''(x) = 6(x-1)$ est négative avant $1$ et positive après, et s'annule en $1$ en changeant de signe : $f$ est concave sur $]-\infty\,;\,1]$, convexe sur $[1\,;\,+\infty[$, et le point $(1\,;\,1)$ est un point d'inflexion.

Tracé. Une seule branche montante. Avant $1$ la courbe reste en dessous de ses tangentes, après $1$ au-dessus ; en $(1\,;\,1)$ elle traverse la tangente horizontale $y = 1$, ce qui est le propre d'un point d'inflexion.

La courbe monte partout, et pourtant elle ne se courbe pas de la même façon des deux côtés de $(1\,;\,1)$ : l'étape 3 voit ce que l'étape 2 ne peut pas voir.

Compétences à pratiquer

Esquisser l'allure d'une courbe

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Diagnostiquer et corriger
Problèmes
Type bac
Quiz

Contrôle du chapitre

4 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h 30.

À traiter sur papier, puis à photographier : la correction est automatique, par IA.

Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.

Aucun exercice composé.

Fonction	Dérivée	Fonction	Dérivée
\(a u\)	\(a u'\)	\(\sqrt{u}\)	\(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\)
\(u^2\)	\(2u'u\)	\(\cos(u)\)	\(-u'\sin(u)\)
\(u^3\)	\(3u'u^2\)	\(\sin(u)\)	\(u'\cos(u)\)
\(u^n\)	\(n u' u^{n-1}\)	\(e^u\)	\(u' e^u\)
\(\dfrac{1}{u}\)	\(-\dfrac{u'}{u^2}\)	\(\dfrac{1}{u^n}\)	\(-\dfrac{nu'}{u^{n+1}}\)