Limites et continuité

• Somme et produit :

  \(\lim f(x)\)	\(\lim g(x)\)	\(\lim (f(x)+g(x))\)	\(\lim (f(x) \times g(x))\)
  \(L\)	\(L'\)	\(L+L'\)	\(L \times L'\)
  \(L\neq 0\)	\(\pm \infty\)	\(\pm \infty\)	\(\pm \infty\) (règle des signes)
  \(\pm \infty\)	\(\pm \infty\)	\(\pm \infty\) (si même signe)	\(\pm \infty\) (règle des signes)
  \(0\)	\(\pm \infty\)	\(\pm \infty\)	Forme indéterminée
  \(+\infty\)	\(-\infty\)	Forme indéterminée	\(-\infty\)

• Quotient :

  \(\lim f(x)\)	\(\lim g(x)\)	\(\lim \dfrac{f(x)}{g(x)}\)
  \(L\)	\(L' \neq 0\)	\(\dfrac{L}{L'}\)
  \(L\)	\(\pm \infty\)	\(0\)
  \(L \neq 0\)	\(0^+\) ou \(0^-\) (dénominateur de signe constant)	\(\pm \infty\) (règle des signes)
  \(\pm \infty\)	\(L' \neq 0\)	\(\pm \infty\) (règle des signes)
  \(0\)	\(0\)	Forme indéterminée
  \(\pm \infty\)	\(\pm \infty\)	Forme indéterminée

1. Calcul direct (lorsque \(a\) est un réel) : Lorsque \(a\) est un réel, on commence par remplacer \(x\) par \(a\) dans \(f(x)\) (en \(\pm\infty\), on utilise plutôt les opérations sur les limites et les termes dominants).
   • Si l'expression est définie en \(x=a\) (pas de division par \(0\), pas de racine carrée d'un nombre négatif, etc.) et si la fonction est continue en \(a\) (cas des polynômes, des fonctions rationnelles dont le dénominateur ne s'annule pas, de \(e^x\), etc.), alors : $$ \lim_{x\to a} f(x)=f(a). $$
   • Si l'expression n'est pas définie, ou si la fonction peut présenter une discontinuité, le calcul direct ne suffit pas : il faut transformer l'expression ou étudier les limites à gauche et à droite.
2. Transformation de l'expression : Si le calcul direct aboutit à une forme indéterminée comme \(\dfrac{0}{0}\), on transforme l'expression en :
   • factorisant et en simplifiant les facteurs communs (quand c'est autorisé) ;
   • utilisant la quantité conjuguée (pour les expressions avec des racines carrées) ;
   • réécrivant l'expression (mise au même dénominateur, mise en facteur des termes dominants, etc.).
   Après transformation, on reprend le calcul direct.

1. Asymptote horizontale. Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), lorsque l'ensemble de définition s'y étend. Si \(f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} \ell\) (un réel), la droite \(y = \ell\) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}\) en \(+\infty\) ; de même en \(-\infty\).
2. Asymptote verticale. Déterminer la limite de \(f\) en chaque réel \(a\) où \(f\) n'est pas définie mais que l'on peut approcher depuis l'ensemble de définition (un zéro du dénominateur, par exemple), à gauche et à droite lorsque les deux côtés sont dans l'ensemble de définition. Si l'une de ces limites est \(+\infty\) ou \(-\infty\), la droite \(x = a\) est asymptote verticale à \(\mathcal{C}\).
3. Position de la courbe. Étudier le signe de \(f(x) - \ell\) pour savoir si \(\mathcal{C}\) est au-dessus ou au-dessous de son asymptote horizontale.

• Si \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\), alors \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
• Si \(f(x) \leq h(x)\) pour tout \(x\) assez grand et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} h(x) = -\infty\), alors \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\).

• Les fonctions polynômes, dont les fonctions affines et \(x \mapsto x^n\) (ex. \(x \mapsto x^3 - 2x + 5\)), continues sur \(\mathbb{R}\) ;
• Les fonctions rationnelles (ex. \(x \mapsto \dfrac{x+1}{x-2}\)), continues sur tout intervalle où le dénominateur ne s'annule pas ;
• La fonction racine carrée \(x \mapsto \sqrt{x}\), continue sur \([0\,;\,+\infty[\) ;
• Les fonctions sinus et cosinus, continues sur \(\mathbb{R}\) ;
• La fonction exponentielle, continue sur \(\mathbb{R}\) ;
• La fonction valeur absolue \(x \mapsto |x|\), continue sur \(\mathbb{R}\).

1. Continuité : préciser l'intervalle d'étude et justifier que \(f\) y est continue, en nommant les fonctions du catalogue et les opérations qui construisent \(f\). C'est ce sur quoi repose l'existence d'une solution ; sans elle ni le théorème des valeurs intermédiaires ni son corollaire ne peuvent être invoqués.
2. Variations : sur chaque intervalle où \(f\) est dérivable, calculer \(f'\) et déterminer son signe — ou utiliser les variations des fonctions de référence lorsque \(f\) n'est pas dérivable partout, comme \(x \mapsto |x|\) en \(0\). Dresser le tableau de variations sur \(J\), en portant à chaque borne la valeur de \(f\) en cette borne, ou sa limite lorsque la borne est ouverte ou infinie.
3. Dénombrement : sur chaque ligne du tableau où \(f\) est strictement monotone, le corollaire s'applique. Comparer \(k\) aux deux extrémités de cette ligne : l'équation y admet exactement une solution lorsque \(k\) est compris entre elles — au sens large à une borne où \(f\) prend sa valeur, mais au sens strict à une borne qui ne porte qu'une limite, puisqu'une limite n'est pas atteinte ; sinon la ligne ne donne aucune solution. Additionner les lignes, en prenant garde de ne compter qu'une fois une solution située à une borne partagée par deux lignes, ce qui se produit lorsque \(k\) est la valeur de \(f\) en cette borne.
4. Localisation : pour chaque solution \(\alpha\), calculer les images de valeurs qui l'encadrent de plus en plus finement, ou dérouler l'algorithme exposé par la méthode « Méthode de dichotomie », jusqu'à la précision demandée. Conclure par un encadrement \(a \le \alpha \le b\).

1. Choisir un pas \(h\) égal à la précision demandée, par exemple \(h = 0{,}1\) pour une décimale.
2. Balayer : calculer \(f(a)\), \(f(a + h)\), \(f(a + 2h)\), …, avec un tableau de valeurs à la calculatrice ou une boucle en Python, jusqu'à ce que le signe de \(f\) change entre deux valeurs consécutives \(x\) et \(x + h\).
3. Conclure : l'équation admet une solution dans \([x\,;\,x + h]\) ; si un \(f(x)\) vaut exactement \(0\), ce \(x\) est une solution. Les deux bornes diffèrent de \(h\), donc chacune est une valeur approchée de la solution à \(h\) près.
4. Affiner au besoin : balayer de nouveau \([x\,;\,x + h]\) avec le pas \(\dfrac{h}{10}\).

def balayage(f, a, b, pas):
    x = a
    while x < b:
        y = round(min(x + pas, b), 12)
        if f(x) == 0:
            return x, x
        if f(x) * f(y) < 0:
            return x, y
        x = y
    return None

1. Calculer le milieu \(m = \dfrac{a+b}{2}\) et le signe de \(f(m)\).
2. Garder la moitié sur laquelle le signe change : si \(f(a) \cdot f(m) \leq 0\), remplacer \(b\) par \(m\) ; sinon remplacer \(a\) par \(m\).
3. Recommencer. Après \(n\) étapes, l'intervalle a pour longueur \(\dfrac{b-a}{2^n}\) : quel que soit le point de l'intervalle pris comme valeur approchée, l'erreur est au plus \(\dfrac{b-a}{2^n}\).

def dichotomie(f, a, b, n):
    for k in range(n):
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b