Second degré

On part de l'expression \(x^2 + bx + c\). Le but est de manipuler les deux premiers termes pour créer un trinôme carré parfait de la forme \((x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2\). $$ \begin{aligned} x^2 + bx + c = & (x^2 + bx) + c && \color{gray}\text{(Regrouper les termes en \(x\))} \\ \end{aligned} $$ En comparant \(x^2+bx\) à \(x^2+2kx\), on voit qu'on a besoin de \(b=2k\), donc \(k=\frac{b}{2}\). Le terme manquant pour compléter le carré est \(k^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2\). On ajoute et on soustrait ce terme à l'intérieur de la parenthèse. $$ \begin{aligned} x^2 + bx + c= & \left(x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2\right) + c && \color{gray}\text{(Ajouter et soustraire le terme manquant)} \\ = & \left(x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2\right) - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + c && \color{gray}\text{(Regrouper le trinôme carré parfait)} \\ = & \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + c && \color{gray}\text{(Factoriser le trinôme)} \end{aligned} $$ La propriété est démontrée.

On suppose \(ax^2 + bx + c = 0\), où \(a \neq 0\). $$\begin{aligned} ax^2 + bx + c &= 0 \\ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} &= 0 \quad \color{gray}\text{(Diviser chaque terme par \(a\), puisque \(a \neq 0\))} \\ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a} &= 0 \quad \color{gray}\text{(Compléter le carré)} \\ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} &= 0 \quad \color{gray}\text{(Simplifier)} \\ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2} &= 0 \quad \color{gray}\text{(où \(\Delta = b^2 - 4ac\))}. \end{aligned}$$ Maintenant, on considère les cas en fonction du discriminant \(\Delta\) :

• Cas \(\Delta \geq 0\) : Puisque \(\dfrac{\Delta}{4a^2} \geq 0\), une racine carrée réelle existe. $$\begin{aligned} \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{\Delta}{4a^2} \\ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}}\right)^2 &= 0 \\ \left(x + \frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}}\right) \left(x + \frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}}\right) &= 0 \quad \color{gray}\text{(Différence de carrés)}. \end{aligned}$$ En appliquant la règle du produit nul : $$x + \frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}} = 0 \quad \text{ou} \quad x + \frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}} = 0.$$ En résolvant ces équations du premier degré : $$x = -\frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}} \quad \text{ou} \quad x = -\frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}}.$$ Comme \(\sqrt{\dfrac{\Delta}{4a^2}} = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2|a|}\) et que le signe \(\pm\) couvre les deux cas, cela s'écrit $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.$$
  • Si \(\Delta > 0\), il y a deux racines réelles distinctes.
  • Si \(\Delta = 0\), il y a une racine réelle (racine double) : \(x = -\dfrac{b}{2a}\).
• Cas \(\Delta < 0\) : Alors \(\dfrac{\Delta}{4a^2} < 0\), donc $$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2} < 0.$$ Puisque le carré d'un nombre réel est positif ou nul, il n'y a pas de solutions réelles.

La forme canonique donne au trinôme toute son allure, et la factorisation en découle sans qu'une seule racine soit remplacée par sa valeur. En partant de l'identité établie par la proposition « Complétion du carré » : $$\begin{aligned} ax^2 + bx + c &= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right] &&\color{gray}\text{(Complétion du carré)} \\ &= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right] &&\color{gray}\text{(Licite puisque \(\Delta \ge 0\))} \\ &= a\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) &&\color{gray}\text{(Différence de deux carrés)} \\ &= a\left(x - \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x - \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right) &&\color{gray}\text{(On regroupe chaque parenthèse)}. \end{aligned}$$ Les deux fractions qui apparaissent sont exactement les racines données par la formule des racines, donc la dernière ligne vaut \(a(x - x_2)(x - x_1)\), c'est-à-dire \(a(x - x_1)(x - x_2)\).
Lorsque \(\Delta = 0\) les deux racines sont confondues et la forme devient \(a(x - x_1)^2\) ; l'identité vaut encore. Lorsque \(\Delta < 0\) en revanche, une telle forme n'existe pas : un produit de parenthèses \(x - x_i\) s'annule en chaque \(x_i\) d'après la règle du produit nul, donc une forme factorisée donnerait au trinôme une racine réelle, et un trinôme de discriminant négatif n'en a aucune.

Puisque \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines de \(ax^2 + bx + c = 0\), le trinôme se factorise en \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\). On développe cette forme factorisée : $$\begin{aligned} a(x - x_1)(x - x_2) &= a\left[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2\right] \quad \color{gray}\text{(Développer les deux parenthèses)} \\ &= ax^2 - a(x_1 + x_2)\,x + a\,x_1 x_2 \quad \color{gray}\text{(Multiplier par \(a\))}. \end{aligned}$$ Deux polynômes égaux pour tout \(x\) ont les mêmes coefficients. Par identification avec \(ax^2 + bx + c\), terme à terme : $$b = -a(x_1 + x_2) \quad \text{et} \quad c = a\,x_1 x_2.$$ Comme \(a \neq 0\), en divisant chacune par \(a\) : $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.$$ On remarque qu'aucune racine n'a été calculée : la somme et le produit sont les coefficients de la forme factorisée développée.

On réutilise la complétion du carré (Proposition « Complétion du carré ») : comme \(a \neq 0\), on factorise \(a\) dans les deux premiers termes et on applique \(x^2 + 2\lambda x = (x + \lambda)^2 - \lambda^2\), où \(\lambda = \dfrac{b}{2a}\) : $$\begin{aligned} f(x) &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \\ &= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}\right] + c && \text{(complétion du carré)} \\ &= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c. \end{aligned}$$ C'est bien \(a(x - h)^2 + k\) avec \(h = -\dfrac{b}{2a}\) et \(k = c - \dfrac{b^2}{4a}\). En remplaçant \(x\) par \(h\), on obtient \(f(h) = a \times 0 + k = k\). Unicité : si \(f(x) = a(x - h')^2 + k'\) pour tout \(x\), alors en développant, \(-2ah' = b\) et \(ah'^2 + k' = c\), donc \(h' = h\) et \(k' = k\).

Le graphe de \(y=a(x-h)^2+k\) est obtenu en transformant le graphe de \(y=x^2\) comme suit :

• Translation horizontale de h : \(y=(x-h)^2\). Cela déplace le sommet de \((0\,;\,0)\) à \((h\,;\,0)\).
• Étirement vertical de facteur a : \(y=a(x-h)^2\). L'orientation dépend maintenant du signe de \(a\).
• Translation verticale de k : \(y=a(x-h)^2+k\). Cela déplace le sommet de \((h\,;\,0)\) à \((h\,;\,k)\).

Ainsi, le sommet final est \((h\,;\,k)\) et l'axe de symétrie est \(x=h\).

Soient \(u\) et \(v\) deux réels tels que \(u < v\). Avec la forme canonique, $$f(u) - f(v) = a\big[(u - h)^2 - (v - h)^2\big] = a\,(u - v)\,(u + v - 2h)$$ d'après l'identité \(A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)\) avec \(A = u - h\) et \(B = v - h\). Comme \(u < v\), le facteur \(u - v\) est négatif.

• Si \(u < v \le h\), alors \(u + v - 2h < 0\) : le produit \((u - v)(u + v - 2h)\) est positif, donc \(f(u) - f(v)\) a le signe de \(a\). Pour \(a > 0\), \(f(u) > f(v)\) : \(f\) est décroissante sur \(]{-\infty}\,;\,h]\). Pour \(a < 0\), \(f(u) < f(v)\) : \(f\) y est croissante.
• Si \(h \le u < v\), alors \(u + v - 2h > 0\) : le produit est négatif, donc \(f(u) - f(v)\) a le signe de \(-a\). Pour \(a > 0\), \(f\) est croissante sur \([h\,;\,+\infty[\) ; pour \(a < 0\), \(f\) y est décroissante.

Enfin \(f(x) - k = a(x - h)^2\) a le signe de \(a\) et ne s'annule qu'en \(x = h\) : \(k = f(h)\) est le minimum de \(f\) si \(a > 0\), son maximum si \(a < 0\).

• Racines : Les racines s'obtiennent en résolvant \(f(x)=0\). $$ a(x-p)(x-q)=0 $$ Par la règle du produit nul, ceci est vrai si \(x-p=0\) ou \(x-q=0\). Ainsi, les racines sont \(\boldsymbol{x=p}\) et \(\boldsymbol{x=q}\).
• Axe de symétrie et sommet : Un axe de symétrie en \(x=h\) exige que la fonction ait la même valeur pour toute distance horizontale \(d\) à gauche ou à droite de l'axe. Algébriquement, cela signifie que \(f(h-d) = f(h+d)\) pour tout \(d\).
  On teste l'axe de symétrie proposé \(h=\frac{p+q}{2}\). Il faut montrer que \(f\left(\frac{p+q}{2} - d\right) = f\left(\frac{p+q}{2} + d\right)\).
  • Côté gauche : $$ \begin{aligned} f\left(\frac{p+q}{2} - d\right) &= a\left(\left(\frac{p+q}{2} - d\right) - p\right)\left(\left(\frac{p+q}{2} - d\right) - q\right) \\ &= a\left(\frac{q-p}{2} - d\right)\left(\frac{p-q}{2} - d\right) \\ &= a\left(-\left(\frac{p-q}{2} + d\right)\right)\left(\frac{p-q}{2} - d\right) \\ &= -a\left(\left(\frac{p-q}{2}\right)^2 - d^2\right) \end{aligned} $$
  • Côté droit : $$ \begin{aligned} f\left(\frac{p+q}{2} + d\right) &= a\left(\left(\frac{p+q}{2} + d\right) - p\right)\left(\left(\frac{p+q}{2} + d\right) - q\right) \\ &= a\left(\frac{q-p}{2} + d\right)\left(\frac{p-q}{2} + d\right) \\ &= a\left(-\left(\frac{p-q}{2} - d\right)\right)\left(\frac{p-q}{2} + d\right) \\ &= -a\left(\left(\frac{p-q}{2}\right)^2 - d^2\right) \end{aligned} $$
  Puisque les deux côtés sont égaux, la droite \(\boldsymbol{x = \frac{p+q}{2}}\) est l'axe de symétrie. Le sommet doit se trouver sur cette droite, donc son abscisse est \(\frac{p+q}{2}\).

• Si \(\Delta > 0\), la forme factorisée donne \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\). Le facteur \(x - x_1\) est négatif pour \(x < x_1\) et positif pour \(x > x_1\) ; de même pour \(x - x_2\). Un tableau de signes du produit montre que \((x - x_1)(x - x_2)\) est positif à l'extérieur de \([x_1\,;\,x_2]\) et négatif dans \(]x_1\,;\,x_2[\) ; en multipliant par \(a\), on obtient le signe de \(f(x)\).
• Si \(\Delta = 0\), \(f(x) = a(x - x_0)^2\) et \((x - x_0)^2 > 0\) pour \(x \neq x_0\).
• Si \(\Delta < 0\), la forme canonique \(f(x) = a\left[\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\right]\) a un crochet strictement positif pour tout \(x\), donc \(f(x)\) est du signe de \(a\).