Éducation Nationale Française · Première Spécialité

La fonction exponentielle

⌚ ~178 min ▢ 20 blocs ✓ 86 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Dérivation, Suites numériques, Variations et courbes

I Définition et propriétés algébriques

I.1 La fonction exponentielle

La fonction exponentielle est un outil mathématique unique utilisé pour modéliser des phénomènes dont l'évolution est proportionnelle à leur valeur, comme la croissance démographique, la désintégration radioactive ou les intérêts composés. Sa propriété la plus remarquable est d'être sa propre dérivée.

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Définition — Fonction exponentielle

Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$, appelée fonction exponentielle et notée $\exp$, telle que :

$f'(x) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ (la fonction est égale à sa propre dérivée).
$f(0) = 1$.

L'existence et l'unicité sont admises. Voici l'idée de l'unicité : si $f$ et $g$ sont deux fonctions dérivables avec $f' = f$, $g' = g$ et $f(0) = g(0) = 1$, on montre que $g$ ne s'annule pas (la fonction $x \mapsto g(x)\,g(-x)$ a une dérivée nulle, donc est constante, égale à $g(0)^2 = 1$) et que le quotient $\dfrac{f}{g}$ a une dérivée nulle, donc est constant, égal à $\dfrac{f(0)}{g(0)} = 1$ : ainsi $f = g$. Cela utilise deux outils, la dérivée d'un quotient et la caractérisation des fonctions constantes.

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Proposition — Propriété de la dérivée

Par définition, pour tout réel $x$ :$$\exp'(x) = \exp(x)$$En particulier $\exp'(0) = \exp(0) = 1$ : la tangente à la courbe au point $(0\,;\,1)$ a pour coefficient directeur $1$.

Compétences à pratiquer

Appliquer la définition
Raisonner avec la définition

I.2 Relation fonctionnelle

Proposition — Relation fonctionnelle fondamentale

Pour tous réels $x$ et $y$ :$$\exp(x + y) = \exp(x) \times \exp(y)$$

Preuve

On fixe un réel $y$ et l'on considère la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\varphi(x) = \exp(x+y) \times \exp(-x)$. D'après la formule de $g(ax+b)$, $\left(\exp(x+y)\right)' = \exp(x+y)$ et $\left(\exp(-x)\right)' = -\exp(-x)$. Par la règle du produit, $$ \varphi'(x) = \exp(x+y)\exp(-x) + \exp(x+y)\times\left(-\exp(-x)\right) = 0. $$ Donc $\varphi$ est constante sur $\mathbb{R}$, égale à $\varphi(0) = \exp(y)\exp(0) = \exp(y)$. Ainsi $\exp(x+y)\exp(-x) = \exp(y)$ pour tout $x$. En prenant $y = 0$ on obtient $\exp(x)\exp(-x) = 1$, donc $\exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}$ (qui ne s'annule jamais), et enfin $\exp(x+y) = \dfrac{\exp(y)}{\exp(-x)} = \exp(x)\exp(y)$.
Cette démonstration dépasse ce qui est exigible : la relation peut être admise.

Proposition — Exponentielle de l'opposé

Pour tous réels $x$ et $y$ : $$ \exp(x)\times\exp(-x) = 1, \qquad \exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}, \qquad \exp(x-y) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}. $$

Preuve

Par la relation fonctionnelle avec $y = -x$ : $\exp(x)\exp(-x) = \exp(x + (-x)) = \exp(0) = 1$. En particulier $\exp(x) \neq 0$, et en divisant par $\exp(x)$ on obtient $\exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}$. Puis $\exp(x-y) = \exp(x)\exp(-y) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$.

Compétences à pratiquer

Démontrer avec la relation fonctionnelle

I.3 Le nombre $e$ et la notation $e^x$

Définition — La constante $e$ et notation puissance

Le nombre $\exp(1)$ est noté $e$. Sa valeur approchée est $e \approx 2{,}718$. Pour tout réel $x$, on note désormais$$\exp(x) = e^x.$$Cette notation est cohérente avec les puissances : pour tout entier $n$, $\exp(n) = \exp(1 + \dots + 1) = e \times \dots \times e = e^n$, et les règles algébriques de $\exp$ sont exactement les règles des exposants. Pour $n = 0$ c'est $\exp(0) = 1 = e^0$, et pour un entier négatif $n = -m$ cela découle de $\exp(-m) = \dfrac{1}{\exp(m)} = \dfrac{1}{e^m} = e^{-m}$.

Proposition — Règles de calcul

Pour tous réels $x, y$ et tout entier relatif $n$ :

$e^0 = 1$ et $e^1 = e$
$e^{x+y} = e^x \times e^y$
$e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$
$e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y}$
$(e^x)^n = e^{nx}$

Compétences à pratiquer

Simplifier avec les règles des exposants
Simplifier avec les règles des exposants : niveau 2
Développer et simplifier
Factoriser des expressions exponentielles
Simplifier des quotients
Transformer des expressions

I.4 Approcher l'exponentielle pas à pas

Méthode — Approcher l'exponentielle pas à pas

La méthode d'Euler construit des valeurs approchées de $\exp$ à partir de $\exp(0) = 1$, en n'utilisant que la propriété $\exp' = \exp$.

Remplacer la courbe par sa tangente sur un petit pas. Au point d'abscisse $x$, la tangente a pour coefficient directeur $\exp'(x) = \exp(x)$, donc un pas de longueur $h$ vers la droite donne $\exp(x + h) \approx \exp(x) + h \exp(x) = (1 + h)\exp(x)$.
Répéter le pas : chaque pas multiplie la valeur courante par $1 + h$, donc $n$ pas de longueur $h$ depuis $0$ donnent $(1 + h)^n$ comme valeur approchée de $\exp(nh)$.
Prendre des pas plus petits pour faire mieux : atteindre $1$ en $n$ pas de longueur $\dfrac{1}{n}$ donne $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ comme valeur approchée de $\exp(1) = e$.

Exemple

Avec le pas $h = 0{,}25$, donner les valeurs approchées de $\exp(0{,}25)$, $\exp(0{,}5)$, $\exp(0{,}75)$ et $\exp(1)$ construites par la méthode d'Euler.
Avec $n$ pas de longueur $\dfrac{1}{n}$, calculer $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ pour $n = 10$, $n = 100$ et $n = 1000$, arrondi à $10^{-4}$, et comparer avec $e \approx 2{,}71828$.

Correction

Chaque pas multiplie par $1{,}25$ :

$x$ $0$ $0{,}25$ $0{,}5$ $0{,}75$ $1$

valeur approchée de $\exp(x)$ $1$ $1{,}25$ $1{,}5625$ $1{,}953125$ $2{,}44140625$

La dernière valeur est $1{,}25^4 = \left(1 + \dfrac{1}{4}\right)^4 \approx 2{,}4414$, inférieure à $e \approx 2{,}71828$ d'environ $0{,}28$.
$\left(1 + \dfrac{1}{10}\right)^{10} \approx 2{,}5937$, $\left(1 + \dfrac{1}{100}\right)^{100} \approx 2{,}7048$, $\left(1 + \dfrac{1}{1000}\right)^{1000} \approx 2{,}7169$. L'écart à $e$ vaut environ $0{,}12$, puis $0{,}013$, puis $0{,}0014$ : les valeurs semblent se rapprocher de plus en plus de $e$ quand $n$ grandit.

Sur la figure, le premier segment suit la tangente en $0$ ; chaque segment suivant part du point obtenu, avec pour pente l'ordonnée de ce point. La ligne brisée reste sous la courbe de $\exp$ : les valeurs trouvées sont inférieures aux vraies.

Exemple

La méthode d'Euler construit des valeurs approchées de la fonction exponentielle à partir de $\exp(0) = 1$ : chaque pas de longueur $h$ multiplie la valeur courante par $1 + h$. L'algorithme ci-dessous atteint $1$ en n pas. L'exécuter à la main pour n égal à $4$ et donner ce qu'il affiche.

h ← 1 ÷ n
y ← 1
Pour k allant de 1 à n
    y ← y + h × y
Fin Pour
Afficher y

Correction

Instruction	$k$	$y$	Affichage
départ, $h = 0{,}25$		$1$
tour 1	$1$	$1{,}25$
tour 2	$2$	$1{,}5625$
tour 3	$3$	$1{,}953125$
tour 4	$4$	$2{,}44140625$
Afficher $y$	$4$	$2{,}44140625$	$2{,}44140625$

Il affiche 2,44140625, qui est $1{,}25^4 = \left(1 + \dfrac{1}{4}\right)^4$ : l'algorithme calcule $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$, la valeur approchée de $e$ construite par la méthode d'Euler. Le coût est l'autre versant de l'histoire. Avec $10$ tours, l'écart à $e$ vaut environ $0{,}12$, avec $100$ tours environ $0{,}013$, avec $1000$ tours environ $0{,}0014$ : chaque décimale juste gagnée coûte dix fois plus de tours. Pour avoir six décimales justes, cette boucle demanderait des millions de tours, là où la méthode de Newton, sur sa propre équation, en demande quelques-uns.

Compétences à pratiquer

Approcher l'exponentielle par la méthode d'Euler

I.5 La suite $e^{na}$

La règle $e^{x+y} = e^x e^y$ relie la fonction exponentielle aux suites géométriques : passer de $n$ à $n+1$ multiplie $e^{na}$ par le même nombre $e^a$.

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Proposition — Exponentielle et suites géométriques

Soit $a$ un réel. La suite $(u_n)$ définie pour $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = e^{na}$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 1$ et de raison $e^a$.

Preuve

$u_0 = e^0 = 1$, et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $$ u_{n+1} = e^{(n+1)a} = e^{na + a} = e^{na}\times e^a = e^a \, u_n. $$ Chaque terme s'obtient à partir du précédent en multipliant par la constante $e^a$ : $(u_n)$ est géométrique de raison $e^a$. Sa forme explicite $u_n = u_0 \times (e^a)^n = (e^a)^n$ est cohérente avec la règle $(e^a)^n = e^{na}$.

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = e^{2n}$ et $(v_n)$ la suite définie par $v_n = 5e^{-0{,}3n}$.

Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont géométriques, et donner leurs raisons.
La suite $(v_n)$ est-elle croissante ou décroissante ?

Correction

$u_n = e^{2n}$ est le cas $a = 2$ de la proposition : $(u_n)$ est géométrique de raison $e^2$ et de premier terme $1$. Pour $(v_n)$ : $v_{n+1} = 5e^{-0{,}3(n+1)} = 5e^{-0{,}3n}\times e^{-0{,}3} = e^{-0{,}3}\,v_n$, donc $(v_n)$ est géométrique de raison $e^{-0{,}3}$ et de premier terme $v_0 = 5$.
La raison $e^{-0{,}3} = \dfrac{1}{e^{0{,}3}}$ est comprise entre $0$ et $1$ (car $e^{0{,}3} \approx 1{,}35 > 1$) et $v_0 = 5 > 0$ : la suite $(v_n)$ est décroissante.

Compétences à pratiquer

Relier l'exponentielle aux suites géométriques

II Étude de la fonction exponentielle

II.1 Signe, variations et courbe

Proposition — Stricte positivité

La fonction $\exp$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$ : pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\exp(x) > 0$.

Preuve

Pour tout réel $x$, $\exp(x) = \exp\left(\frac{x}{2} + \frac{x}{2}\right) = \left[\exp\left(\frac{x}{2}\right)\right]^2$.
Un carré étant toujours positif ou nul, on a $\exp(x) \geq 0$.
De plus, $\exp(x) \times \exp(-x) = \exp(0) = 1$. Si $\exp(x)$ était nul, le produit ne pourrait pas être égal à 1.
Donc, la fonction exponentielle ne s'annule jamais : elle est strictement positive.

Proposition — Variations

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Preuve

La dérivée de $f(x) = e^x$ est $f'(x) = e^x$.
Par la stricte positivité de l'exponentielle, $e^x > 0$ pour tout réel $x$. La dérivée étant strictement positive, la fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Proposition — Courbe représentative de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Sa courbe passe par les points $(0\,;\,1)$ et $(1\,;\,e)$, avec $e \approx 2{,}718$ ; la tangente au point $(0\,;\,1)$ a pour pente $\exp'(0) = 1$ et pour équation $y = x + 1$.

Compétences à pratiquer

Dériver des fonctions avec l'exponentielle
Appliquer les règles du produit et du quotient
Étudier le signe et les variations avec l'exponentielle

II.2 Dérivée de $e^{ax+b}$

Proposition — Dérivée de $x \mapsto e^{ax+b}$

Soit $a$ et $b$ deux réels. La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{ax+b}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $$ f'(x) = a\,e^{ax+b} = a\,f(x). $$

Preuve

$f(x) = g(ax+b)$ avec $g = \exp$, dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $g' = \exp$. D'après la formule de dérivation de $g(ax+b)$, $f'(x) = a \times g'(ax+b) = a\,e^{ax+b}$.

Exemple

Calculer la dérivée de chaque fonction définie sur $\mathbb{R}$.

$f(x) = e^{2x+1}$.
$g(x) = e^{-8x+2}$.
$h(x) = 3e^{-x} + x$.

Correction

$f'(x) = 2e^{2x+1}$ ($a = 2$).
$g'(x) = -8e^{-8x+2}$ ($a = -8$).
$\left(e^{-x}\right)' = -e^{-x}$ ($a = -1$), donc $h'(x) = -3e^{-x} + 1$.

Compétences à pratiquer

Dériver $e^{ax+b}$
Dériver et étudier des variations avec $e^{ax+b}$

III Fonctions $t \mapsto e^{kt}$ et modélisation

III.1 Les fonctions $e^{kt}$ et $e^{-kt}$

Proposition — Modèles de croissance et décroissance

Soit $k$ une constante réelle non nulle. Les variations de $f : t \mapsto e^{kt}$ dépendent du signe de $k$ :

Si $\boldsymbol{k > 0}$, la fonction est strictement croissante (Croissance exponentielle).
Si $\boldsymbol{k < 0}$, la fonction est strictement décroissante (Décroissance exponentielle).

Pour $f(t) = e^{kt}$, la dérivée est $f'(t) = k\,e^{kt} = k\,f(t)$ : à chaque instant, le taux de variation est proportionnel à la valeur de la fonction, avec la constante $k$. En particulier $f(0) = 1$ et $f'(0) = k$ : la tangente au point $(0\,;\,1)$ a pour pente $k$, ce qui permet de lire $k$ sur un graphique. Plus $|k|$ est grand, plus la croissance (pour $k > 0$) ou la décroissance (pour $k < 0$) est rapide.

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Exemple

Tracer sur le même graphique les courbes de $f(t) = e^{0{,}5t}$ et $g(t) = e^{-0{,}5t}$ pour $t \in [-3\,;\,3]$, et donner l'équation de la tangente à chaque courbe en $t = 0$.

Correction

Quelques valeurs (arrondies) : $f(-2) = e^{-1} \approx 0{,}37$, $f(0) = 1$, $f(2) = e \approx 2{,}72$ ; $g$ prend les mêmes valeurs dans l'ordre inverse, puisque $g(t) = f(-t)$ : les deux courbes sont symétriques par rapport à l'axe vertical. Les tangentes en $t = 0$ ont pour pentes $f'(0) = 0{,}5$ et $g'(0) = -0{,}5$ : leurs équations sont $y = 0{,}5t + 1$ et $y = -0{,}5t + 1$.

Compétences à pratiquer

Tracer et étudier $t \mapsto e^{kt}$

III.2 Croissance et décroissance exponentielles

Exemple

Un capital de $1000~\Euro$ est placé à taux fixe avec capitalisation continue : sa valeur après $t$ années est $C(t) = 1000\,e^{0{,}03t}$.

Calculer $C(0)$ et $C(10)$ (arrondi au centime).
Calculer $C'(t)$ et interpréter la relation entre $C'(t)$ et $C(t)$.
Montrer que $C(t+1) = e^{0{,}03}\,C(t)$ et en déduire le taux d'évolution annuel, en pourcentage.

Correction

$C(0) = 1000\,e^0 = 1000$ et $C(10) = 1000\,e^{0{,}3} \approx 1349{,}86$ : environ $1349{,}86~\Euro$.
$C'(t) = 1000 \times 0{,}03\,e^{0{,}03t} = 0{,}03\,C(t)$ : à chaque instant, le capital croît à un rythme proportionnel à sa valeur, la constante étant $0{,}03$.
$C(t+1) = 1000\,e^{0{,}03(t+1)} = 1000\,e^{0{,}03t}\,e^{0{,}03} = e^{0{,}03}\,C(t)$. Chaque année le capital est multiplié par $e^{0{,}03} \approx 1{,}0305$ : le taux annuel est d'environ $3{,}05\ \pourcent$, un peu plus que $3\ \pourcent$ à cause de la capitalisation continue. Les valeurs $C(0), C(1), C(2), \dots$ forment une suite géométrique de raison $e^{0{,}03}$.

Exemple

La masse, en grammes, d'une substance radioactive après $t$ jours est $m(t) = 50\,e^{-0{,}1t}$.

Donner $m(0)$ et le sens de variation de $m$.
Calculer $m(20)$ (arrondi à $0{,}01$) et $m'(t)$.
Au bout de combien de jours, environ, la masse passe-t-elle sous $25$ g ? Utiliser un tableau de valeurs.

Correction

$m(0) = 50$ g. Comme $k = -0{,}1 < 0$, $t \mapsto e^{-0{,}1t}$ est strictement décroissante, et $m$ aussi : la substance se désintègre.
$m(20) = 50\,e^{-2} \approx 6{,}77$ g, et $m'(t) = 50 \times (-0{,}1)\,e^{-0{,}1t} = -0{,}1\,m(t)$ : la masse décroît à un rythme proportionnel à la masse restante.
$m(t) < 25$ signifie $e^{-0{,}1t} < 0{,}5$. Un tableau de valeurs donne $m(6) = 50e^{-0{,}6} \approx 27{,}4$, $m(7) = 50e^{-0{,}7} \approx 24{,}8$ : la masse passe sous $25$ g au cours du septième jour, après environ $6{,}9$ jours (cette durée est la demi-vie de la substance).

Compétences à pratiquer

Modéliser des situations réelles

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre des problèmes
Problèmes
Quiz

\(x\)	\(0\)	\(0{,}25\)	\(0{,}5\)	\(0{,}75\)	\(1\)
valeur approchée de \(\exp(x)\)	\(1\)	\(1{,}25\)	\(1{,}5625\)	\(1{,}953125\)	\(2{,}44140625\)

Instruction	\(k\)	\(y\)	Affichage
départ, \(h = 0{,}25\)		\(1\)
tour 1	\(1\)	\(1{,}25\)
tour 2	\(2\)	\(1{,}5625\)
tour 3	\(3\)	\(1{,}953125\)
tour 4	\(4\)	\(2{,}44140625\)
Afficher \(y\)	\(4\)	\(2{,}44140625\)	\(2{,}44140625\)