Éducation Nationale Française · Première Spécialité

Variations et courbes

⌚ ~170 min ▢ 19 blocs ✓ 85 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Dérivation, Second degré, Signe d'une fonction

I Variations et parité

I.1 Les variations d'une fonction

Définition — Fonctions croissantes et décroissantes

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

On dit que $f$ est croissante sur $I$ si pour tous réels $u$ et $v$ de $I$ : $$\text{si } u \leq v, \text{ alors } f(u) \leq f(v)$$ Une fonction croissante conserve l'ordre.
On dit que $f$ est décroissante sur $I$ si pour tous réels $u$ et $v$ de $I$ : $$\text{si } u \leq v, \text{ alors } f(u) \geq f(v)$$ Une fonction décroissante inverse l'ordre.

Lorsque la seconde inégalité est stricte, on dit plus précisément que $f$ est strictement croissante sur $I$ (si $u \lt v$, alors $f(u) \lt f(v)$) ou strictement décroissante sur $I$ (si $u \lt v$, alors $f(u) \gt f(v)$). Une fonction dont les images ne changent pas est constante sur $I$.

Définition — Tableau de variations

Pour résumer les variations d'une fonction, on utilise un tableau de variations. Des flèches sont utilisées pour indiquer si la fonction est croissante ($\nearrow$) ou décroissante ($\searrow$). Les flèches d'un tableau de variations indiquent une monotonie stricte sur chaque intervalle ; une phase où la fonction est constante se représente par un segment horizontal.

Exemple

La fonction $f$ est définie sur $[-2 ; 1]$ par sa courbe représentative ci-dessous. Dresser son tableau de variations.

Correction

La fonction est croissante de $x=-2$ à $x=-1$, puis décroissante de $x=-1$ à $x=1$.

Compétences à pratiquer

Déterminer graphiquement des variations
Dresser le tableau de variations

I.2 Maximum et minimum

Définition — Maximum et minimum

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un nombre de $I$.

On dit que $f(a)$ est le maximum de $f$ sur $I$ si pour tout $x$ de $I$ : $f(x) \leq f(a)$.
On dit que $f(a)$ est le minimum de $f$ sur $I$ si pour tout $x$ de $I$ : $f(x) \geq f(a)$.

Un extrémum est soit un maximum, soit un minimum.

Exemple

La fonction $f$ est définie sur $[-2\,;\,1]$ par sa courbe représentative ci-dessous. Donner le maximum et le minimum de $f$ sur $[-2\,;\,1]$, et les valeurs de $x$ où ils sont atteints.

Correction

Le point le plus haut de la courbe est $(-1\,;\,3)$ : le maximum de $f$ est $3$, atteint en $x = -1$. Le point le plus bas est le bord droit $(1\,;\,-1)$ : le minimum de $f$ est $-1$, atteint en $x = 1$ (le bord gauche ne donne que $f(-2) = 2$).

Compétences à pratiquer

Déterminer des extremums à partir d'un tableau de variations

I.3 Fonctions paires et impaires

Définition — Fonction paire

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D$ tel que pour tout $x$ de $D$, le nombre $-x$ appartient aussi à $D$. La fonction $f$ est paire lorsque, pour tout $x$ de $D$ : $$f(-x) = f(x)$$ Traduction géométrique : la courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Les deux points de la courbe d'abscisses opposées, $(-2\,;\,2)$ et $(2\,;\,2)$, sont symétriques l'un de l'autre par rapport à l'axe des ordonnées.

Définition — Fonction impaire

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D$ tel que pour tout $x$ de $D$, le nombre $-x$ appartient aussi à $D$. La fonction $f$ est impaire lorsque, pour tout $x$ de $D$ : $$f(-x) = -f(x)$$ Traduction géométrique : la courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine $O$ du repère.

Les deux points de la courbe d'abscisses opposées, $(-2\,;\,-2)$ et $(2\,;\,2)$, sont symétriques l'un de l'autre par rapport au point $O$.

Méthode — Étudier la parité par le calcul

Vérifier que l'ensemble de définition $D$ est symétrique par rapport à $0$ : pour tout $x$ de $D$, $-x$ appartient aussi à $D$.
Calculer $f(-x)$, en remplaçant $x$ par $-x$ dans la formule, puis simplifier.
Comparer le résultat avec $f(x)$ et avec $-f(x)$ :
- si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ de $D$, alors $f$ est paire ;
- si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$ de $D$, alors $f$ est impaire ;
- sinon, exhiber une valeur $x_1$ telle que $f(-x_1) \neq f(x_1)$ ($f$ n'est pas paire) et une valeur $x_2$ telle que $f(-x_2) \neq -f(x_2)$ ($f$ n'est pas impaire) : la fonction $f$ n'est ni paire ni impaire. Une même valeur fait souvent les deux.

Exemple

Étudier la parité de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 + 1$.

Correction

La fonction $f$ est définie sur $\R$, qui est symétrique par rapport à $0$. $$\begin{aligned} f(-x) &= (-x)^2 + 1 &&\text{(on remplace } x \text{ par } -x\text{)}\\ &= x^2 + 1 &&\text{(} (-x)^2 = x^2 \text{)}\\ &= f(x) \end{aligned}$$ Pour tout réel $x$, $f(-x) = f(x)$ : la fonction $f$ est paire.

Exemple

Étudier la parité de la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = x^3 - 2x$.

Correction

La fonction $g$ est définie sur $\R$, qui est symétrique par rapport à $0$. $$\begin{aligned} g(-x) &= (-x)^3 - 2(-x) &&\text{(on remplace } x \text{ par } -x\text{)}\\ &= -x^3 + 2x &&\text{(} (-x)^3 = -x^3 \text{)}\\ &= -(x^3 - 2x)\\ &= -g(x) \end{aligned}$$ Pour tout réel $x$, $g(-x) = -g(x)$ : la fonction $g$ est impaire.

Exemple

Étudier la parité de la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = x^2 + x$.

Correction

La fonction $h$ est définie sur $\R$, qui est symétrique par rapport à $0$. Pour tout réel $x$ : $$h(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$$ On teste une valeur : $h(1) = 2$ et $h(-1) = 0$.
Comme $h(-1) \neq h(1)$ et $h(-1) \neq -h(1)$, la fonction $h$ n'est ni paire ni impaire.

Retour aux fonctions de référence : la fonction carré est paire, les fonctions cube et inverse sont impaires, et la fonction racine carrée n'est ni paire ni impaire — son ensemble de définition $[0\,;\,+\infty[$ n'est pas symétrique par rapport à $0$, le test de parité ne peut même pas s'écrire.

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Compétences à pratiquer

Reconnaître graphiquement la parité
Étudier la parité par le calcul

II Variations et extremums par la dérivée

II.1 Signe de la dérivée et sens de variation

La dérivée d'une fonction, $f'$, donne la pente de la tangente en n'importe quel point de la courbe $y=f(x)$. Cela permet de déterminer les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante.
Une fonction est croissante là où la pente de sa tangente est positive, et décroissante là où la pente de sa tangente est négative.

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Proposition — Des variations au signe de la dérivée

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

Si $f$ est croissante sur $I$, alors $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$.
Si $f$ est décroissante sur $I$, alors $f'(x) \leq 0$ pour tout $x \in I$.
Si $f$ est constante sur $I$, alors $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$.

Preuve

Soit $a \in I$ ; on suppose $f$ croissante sur $I$. Pour $x \in I$ avec $x \neq a$, on considère le taux de variation $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$.

Si $x < a$ : comme $f$ est croissante, $f(x) \leq f(a)$, donc $f(x) - f(a) \leq 0$ et $x - a < 0$. Le quotient de deux nombres de même signe est positif ou nul.
Si $x > a$ : $f(x) \geq f(a)$, donc $f(x) - f(a) \geq 0$ et $x - a > 0$. Le quotient est encore positif ou nul.

Le taux de variation est donc positif ou nul pour tout $x \neq a$. On admet que cette inégalité se conserve lorsque $x$ se rapproche de $a$ : sa limite $f'(a)$ vérifie $f'(a) \geq 0$. Comme $a$ est un point quelconque de $I$, on obtient $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$.
Si $f$ est décroissante, le même raisonnement donne un quotient négatif ou nul, d'où $f'(a) \leq 0$. Si $f$ est constante, $f(x) - f(a) = 0$ : le taux de variation vaut $0$, et $f'(a)$ aussi.

Proposition — Signe strict de la dérivée et sens de variation

Pour une fonction $f$ qui est dérivable sur un intervalle $I$ :

Si $f'(x) > 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
Si $f'(x) < 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Proposition — Signe de la dérivée et sens de variation

La dérivée peut s'annuler en des points isolés sans changer les variations : si $f'(x) \geq 0$ sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$, et si de plus $f'$ ne s'annule qu'en un nombre fini de points, $f$ est même strictement croissante. Par exemple $f(x) = x^3$ a pour dérivée $f'(x) = 3x^2 \geq 0$, nulle seulement en $x = 0$, et $x^3$ est croissante sur $\mathbb{R}$. Avec la proposition « Des variations au signe de la dérivée » : sur un intervalle, $f$ est croissante si et seulement si $f' \geq 0$, et décroissante si et seulement si $f' \leq 0$.

Méthode — Tableau de signes et de variations

Le tableau de signes de la dérivée $f'$ indique où la fonction est croissante ou décroissante. On rassemble ces informations dans un tableau de variations.

Exemple

Déterminer les variations de la fonction $f(x)=x^2$.

Correction

La dérivée de la fonction $f(x)=x^2$ est $f'(x)=2x$.

La dérivée $f'(x)$ est négative sur $]-\infty\,;\,0[$, donc la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$.
La dérivée $f'(x)$ est positive sur $]0\,;\,+\infty[$, donc la fonction $f$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.

Ceci est résumé dans le tableau de variations :

Proposition — Caractérisation des fonctions constantes

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Alors $f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$.

Le sens « $f$ constante $\Rightarrow$ $f' = 0$ » est la dérivée d'une constante : tout taux de variation d'une fonction constante vaut $0$, donc sa dérivée est nulle. La réciproque est admise. Elle exige que $I$ soit un intervalle : la fonction égale à $1$ sur $]0\,;\,1[$ et à $2$ sur $]2\,;\,3[$ a une dérivée nulle en tout point où elle est définie, et pourtant elle n'est pas constante.

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Exemple

Montrer que la fonction $f(x) = (x+1)^2 - x^2 - 2x$ est constante sur $\mathbb{R}$, et donner sa valeur.

Correction

$f$ est un polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$, et pour tout $x$ : $$ f'(x) = 2(x+1) - 2x - 2 = 0. $$ D'après la caractérisation des fonctions constantes, $f$ est constante sur $\mathbb{R}$. Sa valeur est $f(0) = 1$. Vérification : $(x+1)^2 - x^2 - 2x = x^2 + 2x + 1 - x^2 - 2x = 1$.

Compétences à pratiquer

Déterminer les variations à partir du graphe de la dérivée
Étudier les variations d'une fonction
Justifier qu'une fonction est constante

II.2 Extremum local et nombre dérivé

Définition — Extremum local

Soit $f$ une fonction.

$f$ admet un maximum local en $x=c$ s'il existe un intervalle ouvert $I$ contenant $c$ tel que $f(c) \ge f(x)$ pour tout $x$ dans $I$.
$f$ admet un minimum local en $x=c$ s'il existe un intervalle ouvert $I$ contenant $c$ tel que $f(c) \le f(x)$ pour tout $x$ dans $I$.

Le maximum (ou le minimum) de $f$ sur tout son intervalle de définition est dit global.

Exemple

La fonction $f(x) = \frac{x^3}{3} - x$ a un maximum local en $x=-1$ et un minimum local en $x=1$.

Définition — Point stationnaire

Un point stationnaire d'une fonction $f$ est un point $(c\,;\,f(c))$ sur la courbe où la tangente est horizontale, c'est-à-dire $f^{\prime}(c)=0$. On dit aussi point à tangente horizontale.

Proposition — Extrema locaux et points stationnaires

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$, et soit $c\in I$.Si $f$ admet un maximum local ou un minimum local en $x=c$ et si $f$ est dérivable en $c$, alors$$ f'(c)=0. $$

La condition $f'(x_0) = 0$ est nécessaire pour un extremum local en un point intérieur où $f$ est dérivable, mais elle n'est pas suffisante : pour $f(x) = x^3$, $f'(0) = 0$ et pourtant $f$ n'a pas d'extremum en $0$, puisqu'elle continue de croître. Une fonction peut aussi avoir un extremum en un point où elle n'est pas dérivable ($|x|$ en $0$) ou en une borne de son intervalle ($x^2$ sur $[1\,;\,3]$ a son minimum en $1$ et son maximum en $3$) : la proposition ne concerne que les points intérieurs où $f$ est dérivable.

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Compétences à pratiquer

Identifier des extremums sur un graphique

II.3 Caractérisation d'un extremum

Proposition — Extremum local et changement de signe de la dérivée

Soit $c$ un nombre tel que $f'(c) = 0$.

Si $f^{\prime}(x)$ change de signe de positif à négatif en $x=c$, alors $f$ a un maximum local en $c$.
Si $f^{\prime}(x)$ change de signe de négatif à positif en $x=c$, alors $f$ a un minimum local en $c$.

Exemple

Déterminer les points stationnaires et leur nature de $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x$.

Correction

Calculer la dérivée :$$ f'(x) = x^2 - 1. $$
Déterminer les points stationnaires en résolvant $f'(x)=0$ :$$ \begin{aligned} x^2 - 1 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0.\end{aligned}$$ Les points stationnaires sont en $x=-1$ et $x=1$.
Dresser le tableau de signes de $f'(x)$ :
La dérivée $f'(x)=x^2-1$ est une parabole tournée vers le haut avec des racines en $-1$ et $1$. Elle est positive à l'extérieur des racines et négative entre elles.
Dresser le tableau de variations et déterminer la nature des points :
- En $x=-1$, le signe de $f'(x)$ change de $+$ à $-$. Il y a donc un maximum local en $x=-1$.$$f(-1) = \frac{2}{3}.$$
- En $x=1$, le signe de $f'(x)$ change de $-$ à $+$. Il y a donc un minimum local en $x=1$.$$f(1) = -\frac{2}{3}.$$

Compétences à pratiquer

Déterminer et classer des extremums

II.4 Le second degré revisité

Proposition — Le second degré revisité

Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. Alors $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, $f'(x) = 2ax + b$, et $f'$ s'annule en $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ en changeant de signe.

Si $a > 0$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,x_0]$ et croissante sur $[x_0\,;\,+\infty[$ ; elle admet un minimum, égal à $f(x_0)$, en $x_0$.
Si $a < 0$ : $f$ est croissante sur $]-\infty\,;\,x_0]$ et décroissante sur $[x_0\,;\,+\infty[$ ; elle admet un maximum, égal à $f(x_0)$, en $x_0$.

On retrouve, par la dérivation, les variations et le sommet d'une fonction polynôme du second degré.

Preuve

$f'(x) = 2ax + b$ est une fonction affine de coefficient directeur $2a$ ; elle s'annule en $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$. Si $a > 0$, alors $2a > 0$, donc $f'(x) < 0$ pour $x < x_0$ et $f'(x) > 0$ pour $x > x_0$ : $f$ est décroissante puis croissante, et $f'$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe de $-$ à $+$, donc $f$ admet un minimum en $x_0$. Si $a < 0$, tous les signes sont inversés : $f$ est croissante puis décroissante, avec un maximum en $x_0$.

Exemple

Soit $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$. Calculer $f'(x)$, dresser le tableau de variations de $f$ et donner son extremum.

Correction

$f'(x) = -4x + 8 = -4(x - 2)$, qui s'annule en $x_0 = 2$. Comme $-4 < 0$, $f'(x) > 0$ pour $x < 2$ et $f'(x) < 0$ pour $x > 2$. Avec $f(2) = -8 + 16 - 3 = 5$ :

$f$ admet un maximum, égal à $5$, en $x = 2$ : c'est le sommet $(2\,;\,5)$ de la parabole, tournée vers le bas puisque $a = -2 < 0$.

Compétences à pratiquer

Étudier une fonction du second degré avec la dérivée

III Applications des variations

III.1 Optimisation

L'optimisation est l'une des applications les plus importantes du calcul différentiel. Elle consiste à trouver la plus grande ou la plus petite valeur qu'une fonction puisse prendre sous certaines conditions. Dans de nombreux problèmes, cela revient à rechercher le maximum ou le minimum global de cette fonction sur un domaine donné.

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Définition — Optimisation

L'optimisation est le processus de recherche d'une valeur maximale ou minimale d'une fonction, appelée fonction objectif, soumise à un ensemble de contraintes. La solution qui réalise cette valeur est appelée la solution optimale.

Méthode — Résolution de problèmes d'optimisation

Modéliser : Identifier la quantité à optimiser et l'exprimer comme une fonction d'une seule variable, par exemple $f(x)$. Utiliser les contraintes données pour éliminer les autres variables. Déterminer les valeurs possibles de $x$ (le domaine de définition retenu compte tenu du contexte).
Dériver : Calculer la dérivée première de la fonction, $f'(x)$.
Déterminer les points stationnaires : Résoudre l'équation $f'(x)=0$ dans le domaine.
Tester et justifier : Utiliser le signe de la dérivée (tableau de signes de $f'$, tableau de variations) pour décider si chaque point stationnaire est un maximum local, un minimum local ou aucun des deux.
Vérifier les bornes : Si le domaine est un intervalle fermé $[a\,;\,b]$, calculer les valeurs de la fonction aux points stationnaires ainsi qu'aux bornes, $f(a)$ et $f(b)$, pour obtenir l'extremum global sur cet intervalle.
Conclusion : Énoncer clairement la réponse finale dans le contexte du problème, en incluant les unités.

Exemple

Un rectangle a un périmètre de 12 cm. Déterminer ses dimensions pour maximiser l'aire.

Correction

Modèle : Soit la longueur $x$ et la largeur $y$. Le périmètre est $2x+2y=12$, donc $x+y=6$ et $y=6-x$. L'aire est $$A(x) = x(6-x) = 6x-x^2.$$ Puisque les longueurs doivent être positives, $x\geq 0$ et $y=6-x\geq 0 \implies x\leq 6$. Le domaine est donc $x \in [0 ; 6]$.
Dérivée : $$A'(x) = 6-2x.$$
Point stationnaire : $$A'(x)=0 \implies 6-2x=0 \implies x=3.$$
Justification : signe de $A'$. $A'(x) = 6 - 2x$ est positif pour $x < 3$ et négatif pour $x > 3$, donc $A$ est croissante sur $[0\,;\,3]$ et décroissante sur $[3\,;\,6]$ : $x = 3$ donne le maximum de $A$.
Vérifier les bornes : Le domaine est $[0 ; 6]$. On vérifie l'aire au point critique et aux bornes :
- $A(0) = 0$
- $A(3) = 9$
- $A(6) = 0$
L'aire est donc maximale pour $x=3$.
Conclusion : L'aire est maximale pour une longueur de $x=3$ cm. La largeur est $y=6-3=3$ cm. Le rectangle d'aire maximale est donc un carré de 3 cm de côté, avec une aire de $9\text{ cm}^2$.

Exemple

Un conteneur fermé à base carrée doit contenir un volume de $8$ m$^3$. Déterminer les dimensions qui minimisent l'aire totale du conteneur.

Correction

Modèle : Soit $x$ le côté de la base carrée et $h$ la hauteur. La contrainte de volume donne $$x^2 h = 8 \implies h = \frac{8}{x^2}.$$ La surface se compose de la base, du couvercle et des quatre faces latérales : $$S = 2x^2 + 4xh = 2x^2 + 4x \cdot \frac{8}{x^2} = 2x^2 + \frac{32}{x}.$$ Le domaine est $x \in\ ]0\ ;\ +\infty[$ — un intervalle ouvert : il n'y a pas de bornes à vérifier, la justification doit donc venir des variations.
Dérivée : $$S'(x) = 4x - \frac{32}{x^2} = \frac{4x^3 - 32}{x^2}.$$
Point stationnaire : $S'(x) = 0 \iff 4x^3 = 32 \iff x^3 = 8 \iff x = 2$.
Tester et justifier : le signe de $S'(x)$ est celui de $4x^3 - 32$ : négatif pour $0 < x < 2$, positif pour $x > 2$. Donc $S$ décroît sur $]0\ ;\ 2]$ et croît sur $[2\ ;\ +\infty[$ : le tableau de variations montre que $x = 2$ donne le minimum global sur tout le domaine — aucune vérification aux bornes n'est possible, et aucune n'est nécessaire.
Conclusion : $x = 2$ m et $h = \frac{8}{4} = 2$ m : le conteneur optimal est un cube de côté $2$ m, d'aire totale $S(2) = 2(4) + \frac{32}{2} = 24$ m$^2$.

Compétences à pratiquer

Vérifier la méthode
Résoudre un problème d'optimisation

III.2 Établir une inégalité par les variations

Pour établir une inégalité du type $f(x) \geq g(x)$ sur un intervalle, on étudie le signe de la différence $d(x) = f(x) - g(x)$. Quand aucune factorisation n'est disponible, les variations de $d$, obtenues à partir du signe de $d'$, donnent le minimum de $d$ ; le signe de ce minimum tranche l'inégalité.

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Méthode — Établir une inégalité avec les variations d'une fonction

Former la différence $d(x) = f(x) - g(x)$ sur l'intervalle où l'inégalité est annoncée.
Étudier les variations de $d$ : calculer $d'(x)$, son signe, et dresser le tableau de variations de $d$.
Lire le minimum (ou le maximum) de $d$ dans le tableau.
Conclure : si le minimum de $d$ est $\geq 0$, alors $d(x) \geq 0$, c'est-à-dire $f(x) \geq g(x)$, pour tout $x$ de l'intervalle.

Exemple

Montrer que pour tout $x \geq 0$, $x^3 + 2 \geq 3x$.

Correction

Soit $d(x) = x^3 + 2 - 3x = x^3 - 3x + 2$ pour $x \geq 0$. Alors $d'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$. Sur $[0\,;\,+\infty[$, $x + 1 > 0$, donc $d'(x)$ a le signe de $x - 1$ : négatif sur $[0\,;\,1[$, nul en $1$, positif sur $]1\,;\,+\infty[$. Avec $d(0) = 2$ et $d(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ :

Le minimum de $d$ sur $[0\,;\,+\infty[$ vaut $0$, atteint en $x = 1$. Donc $d(x) \geq 0$, c'est-à-dire $x^3 + 2 \geq 3x$ pour tout $x \geq 0$, avec égalité seulement en $x = 1$.

Compétences à pratiquer

Établir une inégalité par les variations

III.3 Position relative de deux courbes

Soit $f$ et $g$ deux fonctions de courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. Sur un intervalle, $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ lorsque $f(x) - g(x) \geq 0$, et en dessous lorsque $f(x) - g(x) \leq 0$. En un point commun, où $f(x) - g(x) = 0$, les courbes se traversent si la différence y change de signe, et se touchent sans se traverser si elle garde son signe, comme le font souvent une courbe et sa tangente.

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Méthode — Position relative de deux courbes

Calculer la différence $d(x) = f(x) - g(x)$.
Étudier le signe de $d(x)$ : par une factorisation quand c'est possible, sinon par les variations de $d$.
Conclure intervalle par intervalle, et donner les abscisses des points communs, solutions de $d(x) = 0$.

Exemple

Soit $f(x) = x^3$ et $T$ la tangente à sa courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$. Donner l'équation de $T$, puis étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et de $T$.

Correction

$f'(x) = 3x^2$, donc $f'(1) = 3$ et $f(1) = 1$ : $T$ a pour équation $y = 3(x - 1) + 1 = 3x - 2$.
Soit $d(x) = f(x) - (3x - 2) = x^3 - 3x + 2$. Comme $T$ est tangente en $1$, on s'attend à ce que $(x-1)^2$ soit un facteur ; en effet, le développement $(x-1)^2(x+2) = (x^2 - 2x + 1)(x + 2) = x^3 - 3x + 2$ confirme que $$ d(x) = (x-1)^2(x+2). $$ Comme $(x-1)^2 \geq 0$, le signe de $d(x)$ est celui de $x + 2$ : $d(x) < 0$ pour $x < -2$ et $d(x) \geq 0$ pour $x \geq -2$, avec $d(x) = 0$ seulement en $x = -2$ et $x = 1$.
Conclusion : $\mathcal{C}$ est en dessous de $T$ sur $]-\infty\,;\,-2[$ et au-dessus de $T$ sur $]-2\,;\,+\infty[$ ; la courbe traverse sa tangente au point $(-2\,;\,-8)$ et la touche au point de tangence $(1\,;\,1)$.

Compétences à pratiquer

Étudier la position relative de deux courbes

III.4 La méthode de Newton

Proposition — Où une tangente coupe l'axe des abscisses

Soit $f$ une fonction dérivable en $a$, avec $f'(a) \neq 0$. La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $$a - \dfrac{f(a)}{f'(a)}.$$

Preuve

La tangente a pour équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Un point de cette droite est sur l'axe des abscisses lorsque $y = 0$ : \begin{align*} f'(a)(x - a) + f(a) = 0 &\iff f'(a)(x - a) = -f(a)
&\iff x - a = -\dfrac{f(a)}{f'(a)} && \text{(division par } f'(a) \neq 0\text{)}
&\iff x = a - \dfrac{f(a)}{f'(a)}. \end{align*} Lorsque $f'(a) = 0$, la division est impossible : la tangente est horizontale (c'est l'axe des abscisses lui-même si $f(a) = 0$).

Exemple

La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 2$. Sa courbe coupe l'axe des abscisses en $-\sqrt{2}$ et en $\sqrt{2}$ ; le positif, $\sqrt{2}$, est un nombre qu'aucun décimal n'écrit exactement.

Déterminer l'abscisse $x_1$ du point où la tangente au point d'abscisse $1$ coupe l'axe des abscisses.
Déterminer l'abscisse $x_2$ du point où la tangente au point d'abscisse $x_1$ coupe l'axe des abscisses.
Comparer $1$, $x_1$ et $x_2$ avec $\sqrt{2} \approx 1{,}41421$.

Correction

$f'(x) = 2x$, donc $f(1) = -1$ et $f'(1) = 2 \neq 0$. La formule $a - \dfrac{f(a)}{f'(a)}$ avec $a = 1$ donne $x_1 = 1 - \dfrac{-1}{2} = \dfrac{3}{2}$.
$f\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{9}{4} - 2 = \dfrac{1}{4}$ et $f'\left(\dfrac{3}{2}\right) = 3$, donc $$x_2 = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1/4}{3} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{17}{12} \approx 1{,}41667.$$
L'écart à $\sqrt{2}$ vaut environ $0{,}414$ pour $1$, $0{,}086$ pour $x_1$, et $0{,}0025$ pour $x_2$ : chaque tangente donne une valeur bien plus proche de $\sqrt{2}$ que le point dont elle part.

Répéter la construction — la tangente en $x_2$, puis en la valeur suivante — est la méthode de Newton. Elle fonctionne dans les cas favorables, lorsque le point de départ est assez proche et que le nombre dérivé ne s'annule pas en chemin.

Exemple

La méthode de Newton remplace une valeur $x$ par $x - \dfrac{f(x)}{f'(x)}$, l'abscisse où la tangente en $x$ coupe l'axe des abscisses. L'algorithme ci-dessous l'applique à $f(x) = x^2 - 2$, de dérivée $f'(x) = 2x$, en partant de $1$, et s'arrête lorsque deux valeurs successives diffèrent d'au plus $0{,}000001$. L'exécuter à la main et donner les deux valeurs qu'il affiche, la seconde arrondie à $10^{-10}$.

Fonction f(x)
    Renvoyer x × x - 2
Fin Fonction
Fonction d(x)
    Renvoyer 2 × x
Fin Fonction
x ← 1
g ← 1
k ← 0
Tant que g > 0.000001 ou g < -0.000001
    y ← x - f(x) ÷ d(x)
    g ← y - x
    x ← y
    k ← k + 1
Fin Tant que
Afficher k
Afficher x

Correction

Instruction	$k$	$g$	$x$	Affichage
départ	$0$	$1$	$1$
tour 1	$1$	$0{,}5$	$1{,}5$
tour 2	$2$	$-0{,}0833333333$	$1{,}4166666667$
tour 3	$3$	$-0{,}0024509804$	$1{,}4142156863$
tour 4	$4$	$-0{,}0000021239$	$1{,}4142135624$
tour 5	$5$	$-0{,}0000000000016$	$1{,}4142135624$
Afficher $k$	$5$		$1{,}4142135624$	$5$
Afficher $x$	$5$		$1{,}4142135624$	$1{,}4142135624$

Il affiche 5 puis 1,4142135624. La variable g part de $1$ seulement pour laisser la boucle commencer ; ensuite, elle contient l'écart entre les deux dernières valeurs. Après le quatrième tour, l'écart vaut encore environ $-0{,}000002$ : en taille, il dépasse $0{,}000001$, donc un cinquième tour est fait ; son écart vaut environ $-0{,}0000000000016$ et la boucle s'arrête. Les valeurs descendent à partir du deuxième tour, donc g est négatif : un test d'un seul côté, Tant que g > 0.000001, s'arrêterait après le deuxième tour, à $1{,}41666\ldots$, avec deux décimales justes seulement. Le coût est faible : le nombre de décimales justes double à peu près à chaque tour — aucune décimale juste après un tour, deux après deux, cinq après trois, onze après quatre.

Compétences à pratiquer

Où la tangente coupe l'axe
La méthode de Newton en algorithme

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Diagnostiquer et corriger
Problèmes
Quiz

Instruction	\(k\)	\(g\)	\(x\)	Affichage
départ	\(0\)	\(1\)	\(1\)
tour 1	\(1\)	\(0{,}5\)	\(1{,}5\)
tour 2	\(2\)	\(-0{,}0833333333\)	\(1{,}4166666667\)
tour 3	\(3\)	\(-0{,}0024509804\)	\(1{,}4142156863\)
tour 4	\(4\)	\(-0{,}0000021239\)	\(1{,}4142135624\)
tour 5	\(5\)	\(-0{,}0000000000016\)	\(1{,}4142135624\)
Afficher \(k\)	\(5\)		\(1{,}4142135624\)	\(5\)
Afficher \(x\)	\(5\)		\(1{,}4142135624\)	\(1{,}4142135624\)