Éducation Nationale Française · Terminale Spécialité
Limites de fonctions
I
Limite en l'infini
I.1
Limite finie en l'infini
Les limites à l'infini décrivent le comportement à l'infini d'une fonction. Lorsque \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = L\) (ou \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = L\)), la droite \(y=L\) est une asymptote horizontale de la courbe.
Définition — Limite à l'infini
Une fonction \(f\) a pour limite \(L\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) si les valeurs de \(f(x)\) sont aussi proches que l'on veut du réel \(L\) dès que \(x\) est suffisamment grand. On écrit :$$ \textcolor{colordef}{\lim_{x \to +\infty} f(x) = L}\quad\text{ou}\quad\textcolor{colordef}{f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} L}. $$ 
Exemple
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(f(x) = 2 + \dfrac{1}{x^2}\). Calculer \(f(10)\), \(f(100)\) et \(f(1000)\), puis déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).
\(f(10) = 2 + \dfrac{1}{100} = 2{,}01\), \(f(100) = 2 + \dfrac{1}{10\,000} = 2{,}0001\) et \(f(1000) = 2 + \dfrac{1}{1\,000\,000} = 2{,}000\,001\) : les valeurs \(f(x)\) se rapprochent de plus en plus de \(2\). L'écart \(f(x) - 2 = \dfrac{1}{x^2}\) est strictement positif, et pour tout réel \(r > 0\), $$\dfrac{1}{x^2} < r \quad \text{dès que} \quad x > \dfrac{1}{\sqrt{r}}.$$ Tout intervalle ouvert \(]2 - r\,;\,2 + r[\) contient donc toutes les valeurs \(f(x)\) pour \(x\) assez grand : par exemple \(]1{,}999\,;\,2{,}001[\) les contient dès que \(x > \sqrt{1000} \approx 31{,}6\). Les valeurs \(f(x)\) deviennent arbitrairement proches de \(2\) pour \(x\) assez grand : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2.$$
Définition — Asymptote horizontale
La droite \(y=L\) est une asymptote horizontale de la courbe de la fonction \(f\) si l'une des deux conditions suivantes est vérifiée :$$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = L \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = L $$ Exemple
La courbe \(\mathcal{C}\) ci-dessous est celle d'une fonction \(f\) définie sur \(]-\infty\,;\,0[ \cup ]0\,;\,+\infty[\). Lire les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), et donner l'asymptote horizontale de \(\mathcal{C}\). 
Lorsque \(x\) prend des valeurs de plus en plus grandes, les points de \(\mathcal{C}\) se rapprochent de plus en plus de la droite en pointillés \(y = 1\), par au-dessus : les valeurs \(f(x)\) sont aussi proches que l'on veut de \(1\) dès que \(x\) est assez grand. Donc \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1\). De même, lorsque \(x\) prend des valeurs de plus en plus petites, les points de \(\mathcal{C}\) se rapprochent de plus en plus de la même droite, par au-dessous : \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = 1\). La droite \(y = 1\) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Compétences à pratiquer
- Étudier une limite en l'infini numériquement et graphiquement
I.2
Limite infinie en l'infini
Définition — Limite infinie en l'infini
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \([a\,;\,+\infty[\). La fonction \(f\) a pour limite \(+\infty\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) si tout intervalle \(]A\,;\,+\infty[\) (avec \(A\) un réel) contient toutes les valeurs \(f(x)\) pour \(x\) assez grand, c'est-à-dire pour tous les \(x\) supérieurs à un certain réel \(x_A\). Autrement dit, \(f(x)\) peut être rendu aussi grand que l'on veut en prenant \(x\) assez grand. On note : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ 
Exemple
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 2x - 3\). Calculer \(f(10)\), \(f(100)\) et \(f(1000)\), puis montrer que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
\(f(10) = 17\), \(f(100) = 197\) et \(f(1000) = 1997\) : les valeurs \(f(x)\) deviennent de plus en plus grandes. Soit \(A\) un réel quelconque. On cherche les valeurs de \(x\) telles que \(f(x) > A\) : $$\begin{aligned}[t] 2x - 3 &> A \\
2x &> A + 3 &&\text{(on ajoute 3 aux deux membres)} \\
x &> \dfrac{A + 3}{2} \end{aligned}$$ La dernière étape divise par \(2\), strictement positif, ce qui ne change pas le sens de l'inégalité. L'intervalle \(]A\,;\,+\infty[\) contient donc toutes les valeurs \(f(x)\) dès que \(x > \dfrac{A + 3}{2}\), c'est-à-dire pour \(x\) assez grand. Par exemple, \(f(x) > 10\,000\) dès que \(x > 5001{,}5\). Par définition, $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$
Compétences à pratiquer
- Étudier numériquement les limites infinies
II
Limite en un réel
II.1
Limite finie en un réel
Le philosophe grec Zénon d'Élée a soutenu que le mouvement était impossible. Dans son paradoxe d'Achille et de la Tortue, Achille, le héros rapide, ne peut jamais rattraper une tortue lente partie avec de l'avance, car le temps qu'Achille atteigne le point de départ de la tortue, celle-ci a déjà avancé un peu plus loin. Quand Achille parcourt cette nouvelle distance, la tortue a de nouveau avancé. Ce processus se répète indéfiniment, ce qui semble suggérer qu'Achille ne peut jamais combler l'écart.
Ce paradoxe soulève un problème mathématique profond : comment traiter l'infiniment petit et l'idée de « s'approcher » d'une valeur ? Il a fallu plus de deux millénaires à des mathématiciens comme Augustin-Louis Cauchy et Karl Weierstrass pour formaliser la réponse avec la notion de limite. Une limite décrit la valeur dont une fonction « s'approche » lorsque sa variable se rapproche d'un certain point. C'est une notion fondamentale de l'analyse : elle permet de définir les dérivées et les intégrales.
Ce paradoxe soulève un problème mathématique profond : comment traiter l'infiniment petit et l'idée de « s'approcher » d'une valeur ? Il a fallu plus de deux millénaires à des mathématiciens comme Augustin-Louis Cauchy et Karl Weierstrass pour formaliser la réponse avec la notion de limite. Une limite décrit la valeur dont une fonction « s'approche » lorsque sa variable se rapproche d'un certain point. C'est une notion fondamentale de l'analyse : elle permet de définir les dérivées et les intégrales.
Définition — Limite
Une fonction \(f\) a pour limite \(L\) en \(a\) lorsque les valeurs de \(f(x)\) sont aussi proches que l'on veut du réel \(L\) dès que \(x\) est suffisamment proche de \(a\), avec \(x \neq a\), des deux côtés. On écrit :$$ \textcolor{colordef}{\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L}\quad\text{ou}\quad\textcolor{colordef}{f(x) \xrightarrow[x \to a]{} L}\quad\text{ou}\quad\textcolor{colordef}{\text{quand } x \to a,\ f(x)\to L}$$
L'essentiel : une limite décrit le comportement d'une fonction au voisinage d'un point, et non en ce point. La valeur de \(f(a)\), et même son existence, n'ont aucune influence sur la limite.
On considère la fonction \(f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}\). En \(x=1\), la fonction n'est pas définie. Cependant, pour tout \(x \neq 1\), on peut simplifier :$$ f(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. $$ La courbe de \(f\) est la droite \(y=x+1\) privée du point d'abscisse \(1\) (un « trou »). Lorsque \(x\) se rapproche de \(1\), des deux côtés, \(f(x)\) se rapproche de \(2\). Donc \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 2\), bien que \(f(1)\) ne soit pas défini. 
On considère la fonction \(f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}\). En \(x=1\), la fonction n'est pas définie. Cependant, pour tout \(x \neq 1\), on peut simplifier :$$ f(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. $$ La courbe de \(f\) est la droite \(y=x+1\) privée du point d'abscisse \(1\) (un « trou »). Lorsque \(x\) se rapproche de \(1\), des deux côtés, \(f(x)\) se rapproche de \(2\). Donc \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 2\), bien que \(f(1)\) ne soit pas défini.
Compétences à pratiquer
- Étudier numériquement des limites
II.2
Limites à gauche et à droite
Définition — Limite à gauche, limite à droite
- La limite à droite, \(\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)\), est la valeur dont \(f(x)\) s'approche lorsque \(x\) tend vers \(a\) par valeurs supérieures.
- La limite à gauche, \(\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)\), est la valeur dont \(f(x)\) s'approche lorsque \(x\) tend vers \(a\) par valeurs inférieures.
Proposition — Existence d'une limite
Lorsque \(f\) est définie de part et d'autre de \(a\), la limite \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)\) existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales :$$ \displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = L \text{ et } \displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = L $$ Exemple
On considère la fonction définie par morceaux \(f(x) = \begin{cases} x, & x < 1 \\ x^2, & x \ge 1 \end{cases}\). La limite \(\lim_{x \to 1} f(x)\) existe-t-elle ?
Pour savoir si la limite existe, on calcule les limites à gauche et à droite et on vérifie si elles sont égales. 
- Limite à gauche : Quand \(x \to 1^-\), on utilise l'expression valable pour \(x<1\).$$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x) = 1 $$
- Limite à droite : Quand \(x \to 1^+\), on utilise l'expression valable pour \(x \ge 1\).$$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2) = 1^2 = 1 $$
Exemple
On considère la fonction définie par morceaux \(f(x) = \begin{cases} x+1, & x < 1 \\ x^2, & x \ge 1 \end{cases}\). La limite \(\lim_{x \to 1} f(x)\) existe-t-elle ?
Pour savoir si la limite existe, on calcule les limites à gauche et à droite et on vérifie si elles sont égales. 
- Limite à gauche : Quand \(x \to 1^-\), on utilise l'expression valable pour \(x<1\).$$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x+1) = 1+1 = 2 $$
- Limite à droite : Quand \(x \to 1^+\), on utilise l'expression valable pour \(x \ge 1\).$$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2) = 1^2 = 1 $$
Compétences à pratiquer
- Lire des limites à gauche et à droite sur une courbe
II.3
Limite infinie et asymptote verticale
Une fonction peut aussi avoir une limite infinie en un réel : ses valeurs deviennent aussi grandes que l'on veut en valeur absolue, en tendant vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), lorsque \(x\) tend vers \(a\). Ces limites ne sont pas des nombres, mais la notation de limite décrit précisément ce comportement non borné, qui correspond à une asymptote verticale de la courbe.
Définition — Limite infinie
La notation \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = +\infty\) signifie que \(f(x)\) est aussi grand que l'on veut dès que \(x\) est suffisamment proche de \(a\), avec \(x \neq a\) (des deux côtés).De même, pour \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = -\infty\).
On dit alors que \(f\) diverge vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) : la limite n'est pas un réel.
Définition — Asymptote verticale
La droite \(x=a\) est une asymptote verticale de la courbe de la fonction \(f\) si \(f(x)\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) lorsque \(x\) tend vers \(a\), par valeurs inférieures ou par valeurs supérieures. 
Exemple
Étudier \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2}\).
L'expression \(\dfrac{1}{x^2}\) n'est pas définie en \(x=0\) ; cela ne suffit pas à conclure (voir \(\dfrac{x^2-1}{x-1}\) en \(1\)), on étudie donc les limites à gauche et à droite : 
- Quand \(x \to 0^+\), \(x^2\) est positif et proche de \(0\), donc \(\dfrac{1}{x^2} \to +\infty\).
- Quand \(x \to 0^-\), \(x^2\) est aussi positif et proche de \(0\), donc \(\dfrac{1}{x^2} \to +\infty\).
Compétences à pratiquer
- Étudier numériquement les limites
- Évaluer graphiquement des limites infinies
III
Limites des fonctions de référence
III.1
La fonction exponentielle
Définition — Fonction exponentielle
Il existe une unique fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\), appelée fonction exponentielle et notée \(\exp\), telle que : - \(f'(x) = f(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) (la fonction est égale à sa propre dérivée).
- \(f(0) = 1\).
Proposition — Relation fonctionnelle fondamentale
Pour tous réels \(x\) et \(y\) :$$\exp(x + y) = \exp(x) \times \exp(y)$$ Proposition — Exponentielle de l'opposé
Pour tous réels \(x\) et \(y\) : $$ \exp(x)\times\exp(-x) = 1, \qquad \exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}, \qquad \exp(x-y) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}. $$ 
Proposition — Variations
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). 
Compétences à pratiquer
- Appliquer la définition de l'exponentielle
- Transformer des expressions exponentielles
III.2
Limites de référence
Proposition — Limites de référence
Les limites suivantes des fonctions usuelles servent de base aux calculs : | Fonction | \(\mathbf{x \to -\infty}\) | \(\mathbf{x \to +\infty}\) | \(\mathbf{x \to 0^-}\) | \(\mathbf{x \to 0^+}\) |
| \(1/x\) | \(0\) | \(0\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
| \(x^n\) (\(n \in \mathbb{N}^*\)) | \(+\infty\) (pair) / \(-\infty\) (impair) | \(+\infty\) | \(0\) | \(0\) |
| \(e^x\) | \(0\) | \(+\infty\) | \(1\) | \(1\) |
| \(\sqrt{x}\) | non définie | \(+\infty\) | non définie | \(0\) |
| \(1/\sqrt{x}\) | non définie | \(0\) | non définie | \(+\infty\) |
Limite en un réel où la fonction est définie
Pour les fonctions usuelles énumérées dans la méthode « Évaluation des limites » (fonctions polynômes et rationnelles, racine carrée, exponentielle, et les fonctions construites à partir d'elles par les opérations), la limite en un réel \(a\) de l'ensemble de définition est la valeur \(f(a)\). Cette propriété est admise ici : elle traduit que ces fonctions sont continues, notion étudiée avec la continuité.
Pour de telles fonctions, les seuls réels qui demandent une étude particulière sont ceux où la fonction n'est pas définie (un zéro du dénominateur, par exemple). En un bord de l'ensemble de définition, comme \(0\) pour la fonction racine carrée, la limite s'étudie du côté de l'ensemble de définition seulement.
Pour de telles fonctions, les seuls réels qui demandent une étude particulière sont ceux où la fonction n'est pas définie (un zéro du dénominateur, par exemple). En un bord de l'ensemble de définition, comme \(0\) pour la fonction racine carrée, la limite s'étudie du côté de l'ensemble de définition seulement.
Compétences à pratiquer
- Déterminer la limite d'une fonction usuelle en un réel
IV
Calculer une limite
IV.1
Règles et formes indéterminées
Les tableaux de valeurs et les graphiques aident à comprendre la notion de limite, mais ne sont pas un moyen efficace de la calculer. Les limites obéissent à des règles algébriques, les opérations sur les limites, qui permettent de les calculer directement.
La notation \(0^+\) et \(0^-\)
Lorsqu'un dénominateur tend vers \(0\), le savoir ne suffit pas pour conclure : la limite de \(\dfrac{1}{x}\) en \(0\) vaut \(+\infty\) à droite et \(-\infty\) à gauche. Lorsque le numérateur a une limite non nulle, c'est le signe du dénominateur au voisinage du point qui décide. On note $$g(x) \to \mathbf{0^+} \qquad \text{(resp. } g(x) \to \mathbf{0^-}\text{)}$$ lorsque \(g(x)\) tend vers \(0\) en restant strictement positif (resp. strictement négatif) au voisinage du point considéré. Alors, si \(f(x) \to L\) avec \(L > 0\) : \(\dfrac{f(x)}{g(x)} \to +\infty\) si \(g(x) \to 0^+\) et \(\dfrac{f(x)}{g(x)} \to -\infty\) si \(g(x) \to 0^-\) (et les signes opposés pour \(L < 0\)). C'est le sens de la règle des signes de la propriété « Opérations sur les limites ». Lorsque le dénominateur change de signe au point, on étudie séparément les limites à gauche et à droite, pourvu que son signe soit constant de chaque côté.
Proposition — Opérations sur les limites
Soient \(L\) et \(L'\) des nombres réels. Les tableaux suivants résument les règles de calcul des limites de sommes, de produits et de quotients, y compris avec l'infini. - Somme et produit :
\(\lim f(x)\) \(\lim g(x)\) \(\lim (f(x)+g(x))\) \(\lim (f(x) \times g(x))\) \(L\) \(L'\) \(L+L'\) \(L \times L'\) \(L\neq 0\) \(\pm \infty\) \(\pm \infty\) \(\pm \infty\) (règle des signes) \(\pm \infty\) \(\pm \infty\) \(\pm \infty\) (si même signe) \(\pm \infty\) (règle des signes) \(0\) \(\pm \infty\) \(\pm \infty\) Forme indéterminée \(+\infty\) \(-\infty\) Forme indéterminée \(-\infty\) - Quotient :
\(\lim f(x)\) \(\lim g(x)\) \(\lim \dfrac{f(x)}{g(x)}\) \(L\) \(L' \neq 0\) \(\dfrac{L}{L'}\) \(L\) \(\pm \infty\) \(0\) \(L \neq 0\) \(0^+\) ou \(0^-\) (dénominateur de signe constant) \(\pm \infty\) (règle des signes) \(\pm \infty\) \(L' \neq 0\) \(\pm \infty\) (règle des signes) \(0\) \(0\) Forme indéterminée \(\pm \infty\) \(\pm \infty\) Forme indéterminée
Compétences à pratiquer
- Évaluer des limites par opérations : QCM
- Justifier des limites par les opérations
IV.2
Limite d'une fonction composée
Proposition — Limite d'une fonction composée
Soient \(a, L\) et \(M\) des nombres réels ou \(\pm\infty\).Si \(\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = L\) et si \(\displaystyle\lim_{X \to L} f(X) = M\), alors :$$ \lim_{x \to a} f(g(x)) = M. $$ Ce théorème est admis.
En pratique, pour déterminer la limite de \(f(g(x))\), on regarde d'abord vers quoi tend la partie « intérieure » \(g(x)\), puis on cherche la limite de \(f\) en ce résultat.
Exemple
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{\frac{1}{x}}\).
On décompose la fonction en une partie intérieure \(g(x)\) et une partie extérieure \(f(X)\) :
- Limite intérieure : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0\).
- Limite extérieure : \(\displaystyle\lim_{X \to 0} e^X = e^0 = 1\).
Compétences à pratiquer
- Évaluer des limites de fonctions composées
IV.3
Déterminer une limite et les asymptotes
Méthode — Évaluation des limites
- Calcul direct (lorsque \(a\) est un réel) : Lorsque \(a\) est un réel, on commence par remplacer \(x\) par \(a\) dans \(f(x)\) (en \(\pm\infty\), on utilise plutôt les opérations sur les limites et les termes dominants).
- Si l'expression est définie en \(x=a\) (pas de division par \(0\), pas de racine carrée d'un nombre négatif, etc.) et si la fonction est continue en \(a\) (cas des polynômes, des fonctions rationnelles dont le dénominateur ne s'annule pas, de \(e^x\), etc.), alors : $$ \lim_{x\to a} f(x)=f(a). $$
- Si l'expression n'est pas définie, ou si la fonction peut présenter une discontinuité, le calcul direct ne suffit pas : il faut transformer l'expression ou étudier les limites à gauche et à droite.
- Transformation de l'expression : Si le calcul direct aboutit à une forme indéterminée comme \(\dfrac{0}{0}\), on transforme l'expression en :
- factorisant et en simplifiant les facteurs communs (quand c'est autorisé) ;
- utilisant la quantité conjuguée (pour les expressions avec des racines carrées) ;
- réécrivant l'expression (mise au même dénominateur, mise en facteur des termes dominants, etc.).
Exemple
Calculer les limites suivantes : - \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2-5x+6}{x-2}\) ;
- \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2+5x}{3x^2-1}\) ;
- \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x}\).
Chaque limite est une forme indéterminée : on transforme d'abord l'expression (la limite n'existe peut-être pas encore !), et on ne passe à la limite qu'une fois l'indétermination levée.
- Factoriser et simplifier (forme \(\frac{0}{0}\)) : pour \(x \neq 2\), $$\frac{x^2-5x+6}{x-2} = \frac{(x-2)(x-3)}{x-2} = x-3 \xrightarrow[x \to 2]{} -1.$$
- Termes prépondérants (forme \(\frac{\infty}{\infty}\)) : en factorisant par le terme prépondérant \(x^2\) en haut et en bas, puis en simplifiant, pour \(x \neq 0\), $$\frac{2x^2+5x}{3x^2-1} = \frac{x^2\left(2+\frac{5}{x}\right)}{x^2\left(3-\frac{1}{x^2}\right)} = \frac{\cancel{x^2}\left(2+\frac{5}{x}\right)}{\cancel{x^2}\left(3-\frac{1}{x^2}\right)} \xrightarrow[x \to +\infty]{} \frac{2+0}{3-0} = \frac{2}{3}.$$
- Quantité conjuguée (forme \(\frac{0}{0}\)) : en multipliant par \(\frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2}\), pour \(x \neq 0\), $$\frac{\sqrt{x+4}-2}{x} = \frac{(x+4)-4}{x\left(\sqrt{x+4}+2\right)} = \frac{1}{\sqrt{x+4}+2} \xrightarrow[x \to 0]{} \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}.$$
Attention : Le calcul direct est fiable pour les fonctions continues. En revanche, si une fonction présente une discontinuité (un « saut »), un trou, ou des formules différentes de chaque côté d'un point (comme une fonction définie par morceaux, par exemple \(f(x) = x + 1\) pour \(x < 1\) et \(f(x) = x^2\) pour \(x \geq 1\)), le calcul direct peut être trompeur. Il faut alors étudier les limites à gauche et à droite, ou transformer l'expression avant de conclure.
Méthode — Déterminer les asymptotes d'une courbe
Soit \(f\) une fonction construite à partir des fonctions usuelles et \(\mathcal{C}\) sa courbe. - Asymptote horizontale. Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), lorsque l'ensemble de définition s'y étend. Si \(f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} \ell\) (un réel), la droite \(y = \ell\) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}\) en \(+\infty\) ; de même en \(-\infty\).
- Asymptote verticale. Déterminer la limite de \(f\) en chaque réel \(a\) où \(f\) n'est pas définie mais que l'on peut approcher depuis l'ensemble de définition (un zéro du dénominateur, par exemple), à gauche et à droite lorsque les deux côtés sont dans l'ensemble de définition. Si l'une de ces limites est \(+\infty\) ou \(-\infty\), la droite \(x = a\) est asymptote verticale à \(\mathcal{C}\).
- Position de la courbe. Étudier le signe de \(f(x) - \ell\) pour savoir si \(\mathcal{C}\) est au-dessus ou au-dessous de son asymptote horizontale.
Exemple
Soit \(f(x) = \dfrac{3x + 2}{x - 1}\) pour tout réel \(x \neq 1\), et \(\mathcal{C}\) sa courbe. Déterminer les asymptotes de \(\mathcal{C}\), puis la position de \(\mathcal{C}\) par rapport à son asymptote horizontale. - En \(+\infty\) et \(-\infty\). Le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers \(+\infty\) en \(+\infty\) (resp. vers \(-\infty\) en \(-\infty\)) : forme indéterminée. Pour \(x \neq 0\), on factorise par le terme dominant \(x\) : $$\begin{aligned} f(x) &= \frac{3x + 2}{x - 1} \\ &= \frac{x\left(3 + \frac{2}{x}\right)}{x\left(1 - \frac{1}{x}\right)} && \text{(on factorise par } x\text{)} \\ &= \frac{\cancel{x}\left(3 + \frac{2}{x}\right)}{\cancel{x}\left(1 - \frac{1}{x}\right)} && \text{(on simplifie)} \\ &= \frac{3 + \frac{2}{x}}{1 - \frac{1}{x}}. \end{aligned}$$ Comme \(\dfrac{2}{x} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0\) et \(\dfrac{1}{x} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0\), la règle du quotient donne \(f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} \dfrac{3}{1} = 3\), et de même \(f(x) \xrightarrow[x \to -\infty]{} 3\). La droite \(y = 3\) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
- En \(1\). Le numérateur tend vers \(3 \times 1 + 2 = 5 > 0\). Le dénominateur \(x - 1\) tend vers \(0\) : il est strictement positif pour \(x > 1\) et strictement négatif pour \(x < 1\). Par la règle du quotient (règle des signes), $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty.$$ La droite \(x = 1\) est asymptote verticale à \(\mathcal{C}\).
- Position. Pour \(x \neq 1\), $$\begin{aligned} f(x) - 3 &= \frac{3x + 2}{x - 1} - 3 \\ &= \frac{3x + 2}{x - 1} - \frac{3(x - 1)}{x - 1} && \text{(même dénominateur)} \\ &= \frac{3x + 2 - 3x + 3}{x - 1} && \text{(on développe)} \\ &= \frac{5}{x - 1}. \end{aligned}$$ Ce quotient a le signe de \(x - 1\) : \(\mathcal{C}\) est au-dessus de la droite \(y = 3\) pour \(x > 1\) et au-dessous pour \(x < 1\).
Compétences à pratiquer
- Lever des formes indéterminées
- Évaluer des limites par simplification algébrique
- Évaluer des limites à l'infini par simplification algébrique
- Déterminer des asymptotes
V
Comparer pour conclure
V.1
Théorèmes de comparaison et des gendarmes
Pour montrer qu'une fonction tend vers \(+\infty\), il n'est pas nécessaire de l'encadrer par deux fonctions : il suffit de la minorer par une fonction plus simple dont la limite est déjà connue égale à \(+\infty\) (ou de la majorer, vers \(-\infty\)).
Proposition — Théorème de comparaison
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies au voisinage de \(+\infty\) telles que \(f(x) \geq g(x)\) pour tout \(x\) assez grand. - Si \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\), alors \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
- Si \(f(x) \leq h(x)\) pour tout \(x\) assez grand et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} h(x) = -\infty\), alors \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\).
Exemple
Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x + \sin x\right)\).
Le calcul direct échoue : \(\sin x\) n'a pas de limite en \(+\infty\). Mais pour tout réel \(x\), \(\sin x \geq -1\), donc $$x + \sin x \geq x - 1.$$ Comme \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x-1) = +\infty\), le théorème de comparaison donne $$\lim_{x \to +\infty} \left(x + \sin x\right) = +\infty.$$
Certaines limites, en particulier avec des fonctions oscillantes comme \(\sin(1/x)\), ne se calculent ni directement ni par transformation de l'expression. On peut alors utiliser le théorème des gendarmes (ou théorème d'encadrement) : on encadre la fonction par deux fonctions plus simples ; si ces deux fonctions tendent vers la même limite, la fonction encadrée tend aussi vers cette limite.
Proposition — Théorème des gendarmes
On suppose que, pour tout \(x\) d'un intervalle ouvert contenant \(a\) (sauf peut-être en \(a\)) :$$ g(x) \le f(x) \le h(x) $$ et que :$$ \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L. $$ Alors :$$ \lim_{x \to a} f(x) = L. $$ Le même énoncé vaut lorsque \(x \to +\infty\) (resp. \(x \to -\infty\)), les inégalités étant exigées pour tout \(x\) assez grand (resp. assez petit). Exemple
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\).
Le calcul direct est impossible : \(\sin(1/0)\) n'est pas défini. La fonction \(f(x) = x^2 \sin(1/x)\) est le produit de \(x^2\), qui tend vers \(0\), et de \(\sin(1/x)\), qui oscille sans fin entre \(-1\) et \(1\) lorsque \(x \to 0\) : on pense au théorème des gendarmes.
On commence par l'encadrement connu de la fonction sinus :$$ -1 \le \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) \le 1. $$ Comme \(x^2 \ge 0\), on peut multiplier cet encadrement par \(x^2\) sans changer le sens des inégalités :$$ -x^2 \le x^2 \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) \le x^2. $$ La fonction est encadrée par \(g(x)=-x^2\) et \(h(x)=x^2\), dont on calcule les limites en \(0\) :$$ \lim_{x \to 0} (-x^2) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0} (x^2) = 0. $$ Les deux fonctions qui encadrent \(f\) tendent vers \(0\) : d'après le théorème des gendarmes, \(f\) tend aussi vers \(0\) :$$ \lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0. $$ 
On commence par l'encadrement connu de la fonction sinus :$$ -1 \le \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) \le 1. $$ Comme \(x^2 \ge 0\), on peut multiplier cet encadrement par \(x^2\) sans changer le sens des inégalités :$$ -x^2 \le x^2 \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) \le x^2. $$ La fonction est encadrée par \(g(x)=-x^2\) et \(h(x)=x^2\), dont on calcule les limites en \(0\) :$$ \lim_{x \to 0} (-x^2) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0} (x^2) = 0. $$ Les deux fonctions qui encadrent \(f\) tendent vers \(0\) : d'après le théorème des gendarmes, \(f\) tend aussi vers \(0\) :$$ \lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0. $$
Compétences à pratiquer
- Appliquer le théorème de comparaison
- Appliquer le théorème des gendarmes
V.2
Les limites de la fonction exponentielle
Pourquoi ces deux limites se démontrent
Le tableau des limites de référence affirme que \(e^x \to +\infty\) en \(+\infty\) et \(e^x \to 0\) en \(-\infty\). Le théorème de comparaison permet de démontrer la limite en \(+\infty\) à partir de ce que l'on sait de la fonction exponentielle : elle est croissante, elle est sa propre dérivée et \(e^0 = 1\). La limite en \(-\infty\) s'en déduit par \(e^x = \dfrac{1}{e^{-x}}\).
Proposition — Limites de la fonction exponentielle
Les deux lignes du tableau des limites de référence concernant la fonction exponentielle sont des énoncés démontrés : $$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0.$$
Limite en \(+\infty\). Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(\varphi(x) = e^x - x\). Elle est dérivable et \(\varphi'(x) = e^x - 1\). Comme la fonction exponentielle est croissante et \(e^0 = 1\) : \(\varphi'(x) \le 0\) pour \(x \le 0\) et \(\varphi'(x) \ge 0\) pour \(x \ge 0\). Donc \(\varphi\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) : son minimum est \(\varphi(0) = e^0 - 0 = 1\). Ainsi, pour tout réel \(x\), \(\varphi(x) \ge 1 > 0\), donc \(e^x - x > 0\), c'est-à-dire $$e^x > x.$$ Comme \(x \xrightarrow[x \to +\infty]{} +\infty\) et \(e^x > x\), le théorème de comparaison donne \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\). Limite en \(-\infty\). Pour tout réel \(x\), \(e^x = \dfrac{1}{e^{-x}}\). Quand \(x \to -\infty\), \(-x \to +\infty\), donc \(e^{-x} \xrightarrow[x \to -\infty]{} +\infty\) d'après la première partie. Par la règle du quotient (un quotient de numérateur constant et de dénominateur tendant vers \(+\infty\) tend vers \(0\)), \(\dfrac{1}{e^{-x}} \xrightarrow[x \to -\infty]{} 0\), c'est-à-dire \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^x = 0\).
Compétences à pratiquer
- Déterminer des limites avec l'exponentielle
V.3
Croissances comparées
Lorsque des exponentielles et des puissances de \(x\) s'affrontent dans une limite, les opérations seules donnent une forme indéterminée comme \(\frac{\infty}{\infty}\) ou \(\infty - \infty\). La règle qui tranche le duel est : l'exponentielle croît plus vite que toute puissance de \(x\).
Proposition — Croissances comparées
Pour tout entier \(n \geq 1\) : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} x^n e^{-x} = 0, \qquad \lim_{x \to -\infty} x^n e^{x} = 0.$$
Étape 1 : le cas \(n = 1\). On considère \(\varphi(x) = e^x - \dfrac{x^2}{2}\) sur \([0 ; +\infty[\). Sa dérivée est \(\varphi'(x) = e^x - x\), strictement positive d'après la proposition sur les limites de la fonction exponentielle (\(e^x > x\) pour tout réel \(x\)), donc \(\varphi\) est croissante sur \([0 ; +\infty[\) ; comme \(\varphi(0) = 1 > 0\), on conclut \(\varphi(x) > 0\), c'est-à-dire $$e^x > \frac{x^2}{2} \quad \text{pour tout } x \geq 0.$$ En divisant par \(x > 0\) : \(\dfrac{e^x}{x} > \dfrac{x}{2}\). Comme \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{2} = +\infty\), le théorème de comparaison donne \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty\).
Étape 2 : le cas général. En écrivant \(e^x = \left(e^{x/n}\right)^n\) et en posant \(u = \dfrac{x}{n}\) : $$\frac{e^x}{x^n} = \left(\frac{e^{x/n}}{x}\right)^{\!n} = \frac{1}{n^n}\left(\frac{e^{u}}{u}\right)^{\!n}.$$ Quand \(x \to +\infty\), \(u \to +\infty\), donc \(\dfrac{e^u}{u} \to +\infty\) d'après l'étape 1, d'où \(\dfrac{e^x}{x^n} \to +\infty\).
Étape 3 : les deux autres limites. \(x^n e^{-x} = \dfrac{1}{e^x / x^n} \to 0\) quand \(x \to +\infty\). Pour \(x \to -\infty\), on pose \(y = -x \to +\infty\) : alors \(x^n e^x = (-1)^n\, y^n e^{-y} \to 0\).
Étape 2 : le cas général. En écrivant \(e^x = \left(e^{x/n}\right)^n\) et en posant \(u = \dfrac{x}{n}\) : $$\frac{e^x}{x^n} = \left(\frac{e^{x/n}}{x}\right)^{\!n} = \frac{1}{n^n}\left(\frac{e^{u}}{u}\right)^{\!n}.$$ Quand \(x \to +\infty\), \(u \to +\infty\), donc \(\dfrac{e^u}{u} \to +\infty\) d'après l'étape 1, d'où \(\dfrac{e^x}{x^n} \to +\infty\).
Étape 3 : les deux autres limites. \(x^n e^{-x} = \dfrac{1}{e^x / x^n} \to 0\) quand \(x \to +\infty\). Pour \(x \to -\infty\), on pose \(y = -x \to +\infty\) : alors \(x^n e^x = (-1)^n\, y^n e^{-y} \to 0\).
Exemple
Déterminer les limites suivantes : - \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^3 e^{-x}\) ;
- \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(e^x - x^5\right)\).
- C'est la deuxième limite de la proposition avec \(n = 3\) : $$\lim_{x \to +\infty} x^3 e^{-x} = 0.$$
- La forme est \(\infty - \infty\) : on factorise par le terme prépondérant \(e^x\) : $$e^x - x^5 = e^x\left(1 - x^5 e^{-x}\right).$$ D'après la proposition, \(x^5 e^{-x} \to 0\), donc la parenthèse tend vers \(1\), et \(e^x \to +\infty\). Par la règle du produit, $$\lim_{x \to +\infty} \left(e^x - x^5\right) = +\infty.$$
Compétences à pratiquer
- Appliquer les croissances comparées
VI
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Diagnostiquer et corriger
- Problèmes
- Quiz
Contrôle du chapitre
4 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h 30.
À traiter sur papier, puis à photographier : la correction est automatique, par IA.
Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.
Aucun exercice composé.
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