Éducation Nationale Française · Seconde
Droites du plan
I
La droite et sa pente
I.1
L'équation \(y \equal mx + p\)
Définition — Équation réduite d'une droite
L'équation réduite d'une droite non verticale est :$$y = mx + p$$ où \(m\) est la pente et \(p\) est l'ordonnée à l'origine. - La pente \(m\) indique de combien \(y\) change lorsque \(x\) augmente de \(1\).
- L'ordonnée à l'origine \(p\) est la valeur de \(y\) lorsque \(x = 0\) : la droite coupe l'axe des ordonnées au point \((0\,;\,p)\).
Exemple
Compétences à pratiquer
- Déterminer si un point est sur une droite d'équation \(y \equal mx + p\)
- Utiliser l'équation \(y \equal mx + p\)
I.2
La pente
Définition — Pente
La pente (également appelée coefficient directeur) d'une droite non verticale est définie comme le rapport du changement vertical (\(\Delta y\)) sur le changement horizontal (\(\Delta x\)), pour deux points distincts quelconques de la droite. Ce rapport est le même quels que soient les deux points choisis sur la droite :$$\text{pente} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{\Delta y}}{\textcolor{colordef}{\Delta x}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{\text{changement vertical}}}{\textcolor{colordef}{\text{changement horizontal}}}, \quad \text{où } \textcolor{colordef}{\Delta x} \neq 0$$ 
Dans le cas particulier où \(x\) augmente d'exactement \(1\) — c'est-à-dire \(\Delta x = 1\) — la pente vaut simplement \(\Delta y\) : la pente dit de combien \(y\) varie pour un pas de \(1\) en \(x\).
Exemple
Compétences à pratiquer
- Lire la pente sur un graphique
I.3
La formule de la pente
Proposition — Formule de la pente
La pente (ou coefficient directeur) d'une droite non verticale passant par deux points distincts \(A\left(\textcolor{colordef}{x_A}\,;\textcolor{colorprop}{y_A}\right)\) et \(B\left(\textcolor{colordef}{x_B}\,;\textcolor{colorprop}{y_B}\right)\) est donnée par la formule :$$\text{pente} = \frac{\textcolor{colorprop}{y_B}-\textcolor{colorprop}{y_A}}{\textcolor{colordef}{x_B}-\textcolor{colordef}{x_A}}, \quad \text{où } \textcolor{colordef}{x_A} \neq \textcolor{colordef}{x_B}$$ L’ordre des points n’a pas d’importance, à condition de faire les soustractions au numérateur et au dénominateur dans le même ordre. 
Exemple
Déterminer la pente de la droite \(\LineFr{AB}\) pour \(A\left(\textcolor{colordef}{1}\,;\textcolor{colorprop}{2}\right)\) et \(B\left(\textcolor{colordef}{5}\,;\textcolor{colorprop}{4}\right)\). 
Compétences à pratiquer
- Calculer la pente à partir de deux points
II
La droite et ses équations
II.1
Le vecteur directeur
Définition — Vecteur directeur
On dit qu'un vecteur non nul \(\vec{u}\) est un vecteur directeur d'une droite \(d\) s'il existe deux points \(A\) et \(B\) distincts appartenant à la droite \(d\) tels que \(\Vect{u} = \Vect{AB}\). 
Proposition — Infinité de vecteurs directeurs
Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs. Si \(\vec{u}\) est un vecteur directeur de \(d\), alors tout vecteur \(k\vec{u}\) (avec \(k \neq 0\)) est aussi un vecteur directeur de \(d\). Définition — Droite définie par un point et un vecteur
La droite \(d\) passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\) est l'ensemble des points \(M\) tels que les vecteurs \(\Vect{AM}\) et \(\vec{u}\) soient colinéaires.$$\Vect{AM} = k\vec{u} \quad \text{avec } k \in \mathbb{R}$$ Proposition — Critère de parallélisme
Soient \(d_1\) et \(d_2\) deux droites de vecteurs directeurs respectifs \(\vec{u}_1\) et \(\vec{u}_2\). - \(d_1\) et \(d_2\) sont parallèles si et seulement si \(\vec{u}_1\) et \(\vec{u}_2\) sont colinéaires (\(\det(\vec{u}_1, \vec{u}_2) = 0\)).
- \(d_1\) et \(d_2\) sont sécantes si et seulement si \(\vec{u}_1\) et \(\vec{u}_2\) ne sont pas colinéaires (\(\det(\vec{u}_1, \vec{u}_2) \neq 0\)).
Compétences à pratiquer
- Déterminer un vecteur directeur et tracer la droite
- Tester le parallélisme et l'alignement
- Déterminer un paramètre pour le parallélisme
II.2
L'équation cartésienne
Définition — Équation cartésienne
Une équation de la forme$$\textcolor{olive}{a}x + \textcolor{olive}{b}y + \textcolor{olive}{c} = 0,$$ où \(a\) et \(b\) ne sont pas tous les deux nuls, est appelée équation cartésienne d'une droite. La proposition ci-dessous montre que toute droite en admet une — et comment y lire un vecteur directeur. Proposition — Forme générale d'une équation de droite
Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme $$ax + by + c = 0 \qquad \text{avec } (a\,;\,b) \neq (0\,;\,0),$$ et le vecteur \(\Vect{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\) est alors un vecteur directeur de la droite. 
Soit \(d\) la droite passant par le point \(A(x_A\,;\,y_A)\) de vecteur directeur \(\Vect{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}\), \(\Vect{u} \neq \Vect{0}\). Un point \(M(x\,;\,y)\) appartient à \(d\) exactement lorsque les vecteurs \(\Vect{AM}\) et \(\Vect{u}\) sont colinéaires — c'est-à-dire, par le critère du déterminant (\(\det(\Vect{v},\,\Vect{w}) = x_v\,y_w - y_v\,x_w\)) : $$\det(\Vect{AM},\,\Vect{u}) = 0.$$ Comme \(\Vect{AM}\begin{pmatrix} x - x_A \\ y - y_A \end{pmatrix}\), ce déterminant s'écrit $$(x - x_A)\,\beta - (y - y_A)\,\alpha = 0 \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \beta\,x - \alpha\,y + (\alpha\,y_A - \beta\,x_A) = 0.$$ En posant \(a = \beta\), \(b = -\alpha\) et \(c = \alpha\,y_A - \beta\,x_A\), les points de \(d\) sont exactement les points dont les coordonnées vérifient \(ax + by + c = 0\) ; et \((a\,;\,b) = (\beta\,;\,-\alpha) \neq (0\,;\,0)\) puisque \(\Vect{u} \neq \Vect{0}\). En relisant la substitution à l'envers, \(\Vect{u}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\) : le vecteur directeur se lit directement sur l'équation. Réciproquement, on admet que toute équation \(ax + by + c = 0\) avec \((a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)\) décrit une droite, de vecteur directeur \(\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\).
Exemple
Déterminer un vecteur directeur de la droite d'équation \(2x - 3y + 5 = 0\).
Ici \(a = 2\) et \(b = -3\). En utilisant \(\vec{u}=\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\), on obtient $$\Vect{u}\begin{pmatrix} -(-3) \\
2 \end{pmatrix} = \Vect{u}\begin{pmatrix} 3 \\
2 \end{pmatrix}$$
Exemple
Déterminer une équation cartésienne de la droite \(d\) passant par \(A(1\ ;\ 2)\) de vecteur directeur \(\Vect{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix}\).
\(M(x\,;\,y) \in d\) exactement lorsque \(\det(\Vect{AM},\,\Vect{u}) = 0\) : $$(x-1) \times (-5) - (y-2) \times 2 = 0 \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad -5x - 2y + 9 = 0,$$ ou, en multipliant par \(-1\) : \(5x + 2y - 9 = 0\). Contrôle avec \(A\) : \(5 \times 1 + 2 \times 2 - 9 = 0\) \checkmark, et le vecteur directeur lu sur l'équation \(5x + 2y - 9 = 0\) est \(\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix} = -1 \times \Vect{u}\), colinéaire à \(\Vect{u}\) \checkmark. 
Compétences à pratiquer
- Reconnaître des équations cartésiennes de droites
- Déterminer si un point est sur une droite
- Déterminer des points par leurs coordonnées
- Lire et déterminer une équation cartésienne
- Déterminer le parallélisme de deux droites
II.3
L'équation réduite
La forme réduite \(y = mx + p\) est exactement la forme pente-ordonnée à l'origine : la nouveauté, c'est que toute droite non verticale — quelle que soit l'équation cartésienne qu'elle porte — peut s'y ramener.
Proposition — Équation réduite d'une droite
Toute droite du plan admet une unique équation réduite : - Si la droite \(d\) n'est pas verticale (non parallèle à l'axe des ordonnées), son équation réduite est de la forme : \(\boldsymbol{y = mx + p}\).
- Si la droite \(d\) est verticale (parallèle à l'axe des ordonnées), son équation réduite est de la forme : \(\boldsymbol{x = k}\) (où \(k\) est une constante).
Méthode — De la cartésienne à la réduite
À partir de \(ax + by + c = 0\) avec \(b \neq 0\) (droite non verticale) : - Isoler le terme en \(y\) : \(by = -ax - c\).
- Diviser par \(b\) : \(y = -\dfrac{a}{b}\,x - \dfrac{c}{b}\).
Exemple
Donner l'équation réduite de la droite \(d\) d'équation cartésienne \(2x + 3y - 6 = 0\), et préciser sa pente.
$$\begin{aligned} 2x + 3y - 6 &= 0 \\
3y &= -2x + 6 && \text{(isoler le terme en } y\text{)}\\
y &= -\dfrac{2}{3}\,x + 2 && \text{(diviser par } 3\text{)} \end{aligned}$$ La pente vaut \(m = -\dfrac{2}{3}\) et l'ordonnée à l'origine \(2\).
Méthode — Déterminer une équation par un point et la pente
Pour la droite passant par \(A(x_A\,;\,y_A)\) de pente \(m\) : - Écrire \(y = mx + p\) avec le \(m\) donné.
- Substituer les coordonnées de \(A\) pour trouver \(p\) : \(y_A = m\,x_A + p\).
Exemple
Déterminer l'équation réduite de la droite passant par \(A(2\ ;\ 5)\) de pente \(3\).
L'équation est de la forme \(y = 3x + p\). En substituant \(A(2\ ;\ 5)\) : $$5 = 3 \times 2 + p \quad\text{donc}\quad p = -1.$$ L'équation réduite est \(y = 3x - 1\). Contrôle avec \(A\) : \(3 \times 2 - 1 = 5\) \checkmark.
Proposition — Tableau récapitulatif
| Type de droite | Équation | Vecteur directeur |
| Non verticale | \(y = mx + p\) | \(\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}\) |
| Verticale | \(x = k\) | \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) |
| Générale | \(ax + by + c = 0\) | \(\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\) |
Compétences à pratiquer
- Passer de la cartésienne à la réduite
- Déterminer une équation par un point et la pente
- Déterminer une équation par deux points
II.4
Le point d'intersection
Définition — Intersection de droites
L'intersection de deux droites non parallèles est le point unique où elles se croisent. Les coordonnées de ce point doivent satisfaire les équations des deux droites. Si deux droites sont parallèles et distinctes, elles n'ont aucun point d'intersection ; si elles ont la même équation, elles coïncident et ont une infinité de points communs. 
Proposition — Droites parallèles ou sécantes
Deux droites du plan qui ne sont pas parallèles sont dites sécantes : elles ont exactement un point d'intersection. - Les droites non verticales \(y = m_1x + p_1\) et \(y = m_2x + p_2\) sont sécantes si et seulement si \(m_1 \neq m_2\).
- Une droite verticale \(x = k\) et une droite non verticale \(y = mx + p\) sont toujours sécantes : elles se coupent au point \((k\,;\,mk + p)\).
Méthode — Trouver l'intersection de deux droites
Pour trouver le point d'intersection de deux droites données par \(y = m_1x + p_1\) et \(y = m_2x + p_2\) : - Comparer les coefficients directeurs.
- Si \(m_1 = m_2\) et \(p_1 \neq p_2\), les droites sont parallèles et n'ont aucun point d'intersection.
- Si \(m_1 = m_2\) et \(p_1 = p_2\), les droites sont confondues et ont une infinité de points communs.
- Si \(m_1 \neq m_2\), on passe aux étapes suivantes.
- Égaliser les expressions de \(y\), car au point d'intersection, les ordonnées sont les mêmes : $$ m_1x + p_1 = m_2x + p_2. $$ (Si l'une des droites est verticale, \(x = k\), on remplace \(x = k\) dans l'autre équation.)
- Résoudre l'équation pour trouver \(x\). Cela donne l'abscisse du point d'intersection.
- Substituer la valeur de \(x\) dans l'une des équations initiales pour trouver l'ordonnée correspondante.
Exemple
Déterminer le point d'intersection des droites \(y=3x-4\) et \(y=-2x+6\). - Égaliser les expressions de \(y\) : $$ 3x-4 = -2x+6. $$
- Résoudre pour déterminer \(x\) : $$ \begin{aligned} 3x + 2x &= 6 + 4 \\ 5x &= 10 \\ x &= 2. \end{aligned} $$
- Substituer \(x=2\) dans l'une des équations pour déterminer \(y\) : $$ y = 3(2) - 4 = 2. $$
Exemple
Déterminer le point d'intersection des droites \(d\) d'équation \(x = -2\) et \(d'\) d'équation \(y = 3x + 4\).
La droite \(d\) est verticale et la droite \(d'\) ne l'est pas : elles se coupent en un unique point \(M\). Tous les points de \(d\) ont pour abscisse \(-2\), donc \(M\) a pour abscisse \(-2\), et son ordonnée est donnée par l'équation de \(d'\) : $$\begin{aligned} y &= 3 \times (-2) + 4 && \text{(remplacer } x \text{ par } -2 \text{ dans } y = 3x + 4\text{)}\\
&= -6 + 4 \\
&= -2 \end{aligned}$$ Les droites se coupent en \(M(-2\,;\,-2)\). Contrôle : \(M\) appartient à \(d\) (son abscisse est \(-2\)) et à \(d'\), car \(3 \times (-2) + 4 = -2\). 
Compétences à pratiquer
- Déterminer le point d'intersection de deux droites
- Justifier et déterminer le point d'intersection
III
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Raisonner et résoudre des problèmes
- Problèmes
- Quiz
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