Éducation Nationale Française · Terminale Complémentaire
Convexité
I
Dérivées de référence et opérations
Proposition — Dérivées des fonctions de référence
| Fonction \(f\) | \(f\) est dérivable pour | Dérivée \(f'\) |
| \(f(x) = k\) (constante) | tout \(x \in \mathbb{R}\) | \(f'(x) = 0\) |
| \(f(x) = x\) | tout \(x \in \mathbb{R}\) | \(f'(x) = 1\) |
| \(f(x) = x^2\) | tout \(x \in \mathbb{R}\) | \(f'(x) = 2x\) |
| \(f(x) = x^3\) | tout \(x \in \mathbb{R}\) | \(f'(x) = 3x^2\) |
| \(f(x) = x^n\) avec \(n \in \mathbb{Z}\), \(n \geq 1\) | tout \(x \in \mathbb{R}\) | \(f'(x) = nx^{n-1}\) |
| \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) | \(x \neq 0\) | \(f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\) |
| \(f(x) = x^n\) avec \(n \in \mathbb{Z}\), \(n \leq -1\) | \(x \neq 0\) | \(f'(x) = nx^{n-1}\) |
| \(f(x) = \sqrt{x}\) | \(x > 0\) | \(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) |
Proposition — Règles de dérivation de base
- Règle de la constante : Si \(f(x)=c\), alors \(f'(x)=0\).
- Règle de la puissance : Si \(f(x)=x^n\), alors \(f'(x)=nx^{n-1}\) pour tout entier \(n\) — en tout \(x \neq 0\) lorsque \(n < 0\) ; pour \(n = 0\), \(f\) est constante et \(f' = 0\) (et, admis, pour tout réel \(n\) lorsque \(x > 0\)).
- Produit par une constante : Si \(f(x)=c \cdot u(x)\) avec \(u\) dérivable, alors \(f'(x)=c \cdot u'(x)\).
- Règle de la somme : Si \(f(x)=u(x) + v(x)\) avec \(u\) et \(v\) dérivables, alors \(f'(x)=u'(x) + v'(x)\).
Proposition — Règle du produit
Si \(f(x)=u(x)v(x)\) avec \(u\) et \(v\) dérivables, alors$$ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $$ En notation de Leibniz, si \(y=u\cdot v\) :$$ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}= \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}v + u\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} $$ 
Proposition — Dérivée de l'inverse d'une fonction
Si \(v\) est dérivable sur un intervalle \(I\) et ne s'annule pas sur \(I\), alors la fonction \(f = \dfrac{1}{v}\) est dérivable sur \(I\) et $$ f'(x) = \left(\dfrac{1}{v}\right)'(x) = -\dfrac{v'(x)}{[v(x)]^2}. $$ Pour \(v(x) = x\), on retrouve \(\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}\). 
Proposition — Règle du quotient
Si \(f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\) avec \(u\) et \(v\) dérivables et \(v(x) \neq 0\), alors$$ f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $$ En notation de Leibniz, \(y=\dfrac{u}{v}\), alors$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}v - u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}}{v^2} $$ Compétences à pratiquer
- Dériver avec la règle du produit
- Dériver avec la règle du quotient
II
Tangente à une courbe
Proposition — Équation de la tangente
On suppose que \(f\) est dérivable en \(x=a\) et que la tangente n'est pas verticale. L'équation de la tangente à la courbe \(y=f(x)\) au point \((a\,;\,f(a))\) est donnée par :$$\textcolor{colorprop}{y = f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)}$$ 
Compétences à pratiquer
- Écrire l'équation d'une tangente
III
Signe de la dérivée et sens de variation
Proposition — Signe strict de la dérivée et sens de variation
Pour une fonction \(f\) qui est dérivable sur un intervalle \(I\) : - Si \(f'(x) > 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
- Si \(f'(x) < 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
Proposition — Signe de la dérivée et sens de variation
La dérivée peut s'annuler en des points isolés sans changer les variations : si \(f'(x) \geq 0\) sur \(I\), alors \(f\) est croissante sur \(I\), et si de plus \(f'\) ne s'annule qu'en un nombre fini de points, \(f\) est même strictement croissante. Par exemple \(f(x) = x^3\) a pour dérivée \(f'(x) = 3x^2 \geq 0\), nulle seulement en \(x = 0\), et \(x^3\) est croissante sur \(\mathbb{R}\). Avec la proposition « Des variations au signe de la dérivée » : sur un intervalle, \(f\) est croissante si et seulement si \(f' \geq 0\), et décroissante si et seulement si \(f' \leq 0\). Méthode — Tableau de signes et de variations
Le tableau de signes de la dérivée \(f'\) indique où la fonction est croissante ou décroissante. On rassemble ces informations dans un tableau de variations. Compétences à pratiquer
- Lire les variations sur la courbe de la dérivée
IV
Convexité d'une fonction
Définition — Corde
Soit \(f\) une fonction et \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Soient \(a\) et \(b\) deux nombres de l'ensemble de définition de \(f\) avec \(a < b\), et soient \(A\bigl(a\,;\,f(a)\bigr)\) et \(B\bigl(b\,;\,f(b)\bigr)\) les points correspondants de \(\mathcal{C}_f\). On appelle corde de \(\mathcal{C}_f\) entre \(a\) et \(b\) le segment \([AB]\). 
Définition — Fonction convexe et fonction concave
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative. On dit que : - \(f\) est convexe sur \(I\) lorsque, pour tous \(a < b\) de \(I\), l'arc de \(\mathcal{C}_f\) compris entre \(a\) et \(b\) est situé en dessous de la corde entre \(a\) et \(b\) ;
- \(f\) est concave sur \(I\) lorsque, pour tous \(a < b\) de \(I\), cet arc est situé au-dessus de la corde.
Exemple
La courbe ci-dessous est celle d'une fonction \(f\) définie sur \([-3\,;\,3]\). En lisant la position de la courbe par rapport à ses cordes, déterminer les intervalles sur lesquels \(f\) semble convexe et ceux sur lesquels elle semble concave. 
Trois cordes sont tracées. Sur \([-3\,;\,-1]\), la corde joignant les points d'abscisses \(-2{,}5\) et \(-1{,}5\) est au-dessus de l'arc qu'elle ferme, et il en va de même de toute autre corde que l'on peut y essayer : la courbe semble en dessous de ses cordes, donc \(f\) semble convexe sur \([-3\,;\,-1]\). Sur \([-1\,;\,1]\), la corde joignant les points d'abscisses \(-0{,}8\) et \(0{,}8\) est en dessous de l'arc, qui passe par l'origine au-dessus d'elle : la courbe est au-dessus de ses cordes, donc \(f\) semble concave sur \([-1\,;\,1]\). Sur \([1\,;\,3]\), la corde joignant les points d'abscisses \(1{,}5\) et \(2{,}5\) est de nouveau au-dessus de l'arc : \(f\) semble convexe sur \([1\,;\,3]\). La courbure semble changer vers \(-1\) et vers \(1\) ; un dessin ne peut pas situer ces valeurs exactement. Une lecture graphique ne donne qu'une conjecture : une fonction convexe doit être en dessous de chacune de ses cordes, et un dessin n'en montre qu'un nombre fini. Seul un calcul, avec les outils des sections suivantes, transforme « semble convexe » en « est convexe ».
Compétences à pratiquer
- Déterminer graphiquement la convexité
V
Dérivée seconde et convexité
Définition — Dérivée seconde
La dérivée seconde de \(f\), notée \(f''\), est la dérivée de la dérivée première \(f'\) :$$ f'' = (f')' $$ Exemple
Déterminer la dérivée seconde de \(f(x)=x^4 - 5x^2\).
On détermine d'abord la dérivée première :$$ f'(x) = 4x^3 - 10x $$ On dérive ensuite à nouveau pour obtenir la dérivée seconde :$$ f''(x) = 4 \times 3x^2 - 10 = 12x^2 - 10 $$
On considère la courbe ci-dessous, qui est concave. 
Lorsqu'on parcourt la courbe de gauche à droite, \(x\) augmente, mais la pente de la tangente diminue (de \(2\), à \(1\), à \(0\), à \(-1\), etc.).
Autrement dit, la fonction dérivée \(f'\) est décroissante.
Si \(f'\) est décroissante, alors sa dérivée \(f''\) vérifie \(f''(x)\leq 0\) (là où elle est définie).
Autrement dit, la fonction dérivée \(f'\) est décroissante.
Si \(f'\) est décroissante, alors sa dérivée \(f''\) vérifie \(f''(x)\leq 0\) (là où elle est définie).
Proposition — Trois façons de reconnaître une fonction convexe
Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur un intervalle \(I\). Les quatre affirmations suivantes sont équivalentes : - \(f\) est convexe sur \(I\), c'est-à-dire que sa courbe est en dessous de chacune de ses cordes ;
- la courbe de \(f\) est au-dessus de chacune de ses tangentes sur \(I\) ;
- la dérivée \(f'\) est croissante sur \(I\) ;
- la dérivée seconde \(f''\) est positive sur \(I\), c'est-à-dire \(f''(x) \ge 0\) pour tout \(x\) de \(I\).
Proposition — Dérivée seconde et tangentes
Soit \(f\) une fonction supposée deux fois dérivable sur un intervalle \(I\) de dérivée seconde \(f''\). Si \(f''\) est positive sur \(I\), alors la courbe représentative de \(f\) est située au-dessus de toutes ses tangentes sur \(I\). Exemple
Démontrer que la fonction \(f\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) est convexe sur cet intervalle.
La fonction \(f\) est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas sur \(]0\,;\,+\infty[\) : elle y est deux fois dérivable, et $$\begin{aligned} f'(x) &= -\frac{1}{x^2} && \text{(dérivée de } 1/x\text{)} \\
f''(x) &= \frac{2}{x^3} && \text{(dérivée de } -x^{-2}\text{)} \end{aligned}$$ Pour \(x > 0\) on a \(x^3 > 0\), donc \(f''(x) > 0\). La dérivée seconde est positive sur \(]0\,;\,+\infty[\), donc d'après la proposition « Trois façons de reconnaître une fonction convexe » la fonction \(f\) est convexe sur \(]0\,;\,+\infty[\) : sa courbe est en dessous de chacune de ses cordes. 
Méthode — Étudier la convexité d'une fonction deux fois dérivable
Pour déterminer les intervalles sur lesquels une fonction \(f\) est convexe et ceux sur lesquels elle est concave : - Dériver deux fois : justifier que \(f\) est deux fois dérivable sur l'intervalle d'étude (polynôme, fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas, exponentielle, et leurs sommes et produits), calculer \(f'\), puis \(f''\), et factoriser \(f''(x)\) autant que possible.
- Signe de \(f''\) : dresser le tableau de signes de \(f''(x)\) sur l'intervalle, à partir de la forme factorisée.
- Conclure : sur tout intervalle où \(f''(x) \ge 0\), \(f\) est convexe ; sur tout intervalle où \(f''(x) \le 0\), \(f\) est concave (proposition « Trois façons de reconnaître une fonction convexe »). On peut ajouter une ligne « convexité de \(f\) » sous le tableau de signes.
Exemple
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^4 - 2x^3 + 3\). Déterminer les intervalles sur lesquels \(f\) est convexe et ceux sur lesquels elle est concave.
Dériver deux fois. \(f\) est un polynôme, donc deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\), et pour tout réel \(x\) : $$\begin{aligned} f'(x) &= 4x^3 - 6x^2 &&\text{(dérivée d'un polynôme)}\\
f''(x) &= 12x^2 - 12x = 12x(x-1) &&\text{(on dérive à nouveau, puis on factorise)} \end{aligned}$$ Signe de \(f''\). Le facteur \(12x\) est négatif avant \(0\) et positif après ; le facteur \(x - 1\) est négatif avant \(1\) et positif après. Le produit est donc positif en dehors de \([0\,;\,1]\) et négatif à l'intérieur : 
Conclure. \(f''(x) \ge 0\) sur \(]-\infty\,;\,0]\) et sur \([1\,;\,+\infty[\), donc \(f\) est convexe sur chacun de ces intervalles ; \(f''(x) \le 0\) sur \([0\,;\,1]\), donc \(f\) est concave sur \([0\,;\,1]\). La courbe se courbe dans un sens, puis dans l'autre, puis de nouveau dans le premier : la convexité change en \(x = 0\) et en \(x = 1\), c'est-à-dire aux points \((0\,;\,3)\) et \((1\,;\,2)\).
Compétences à pratiquer
- Calculer la dérivée première et seconde
- Lire la convexité dans un tableau
- Déterminer la convexité par la dérivée seconde
VI
Points d'inflexion
Un point d'inflexion marque un changement discret mais important dans le comportement d'une fonction : elle peut continuer à croître ou à décroître, mais sa variation passe d'une accélération à un ralentissement, ou inversement.
On considère le nombre total de cas au début d'une épidémie. Au départ, le nombre de nouveaux cas par jour augmente : la courbe du nombre total de cas devient de plus en plus raide (convexe). À un certain moment, des mesures sont prises et le nombre de nouveaux cas par jour, toujours positif, commence à diminuer : la courbe du nombre total de cas commence à s'aplatir (concave). Le point de la courbe où se produit ce basculement est le point d'inflexion : c'est là que la croissance est la plus rapide.
On considère le nombre total de cas au début d'une épidémie. Au départ, le nombre de nouveaux cas par jour augmente : la courbe du nombre total de cas devient de plus en plus raide (convexe). À un certain moment, des mesures sont prises et le nombre de nouveaux cas par jour, toujours positif, commence à diminuer : la courbe du nombre total de cas commence à s'aplatir (concave). Le point de la courbe où se produit ce basculement est le point d'inflexion : c'est là que la croissance est la plus rapide.
Définition — Point d'inflexion
Un point d'inflexion est un point d'une courbe où la convexité change (de convexe à concave, ou l'inverse). Lorsque la fonction y est dérivable, la tangente en ce point traverse la courbe. 
\(\quad\) 
Pour une fonction deux fois dérivable, la convexité est déterminée par le signe de la dérivée seconde \(f''(x)\), donc un point d'inflexion se trouve là où \(f''(x)\) change de signe. Pour cela, \(f''\) doit s'annuler en ce point.
Proposition — Point d'inflexion et dérivée seconde
Un point \((a\,;\,f(a))\) est un point d'inflexion si \(f''(a)=0\) et si le signe de \(f''(x)\) change en \(x=a\). Exemple
Pour \(f(x)=x^3\), déterminer les coordonnées du point d'inflexion. - Calculer la dérivée seconde :
\(f'(x) = 3x^2\) et \(f''(x) = 6x\). - Points d'inflexion possibles :$$\begin{aligned}f''(x) = 0 &\iff 6x = 0 \\ &\iff x = 0\end{aligned}$$
- Vérifier le changement de signe de \(f''(x)\) en \(x=0\) :
La fonction \(f''(x) = 6x\) s'annule en \(0\) et change de signe (négative pour \(x < 0\), positive pour \(x > 0\)). Il y a donc un point d'inflexion en \((0\,;\,f(0)) = (0 ; 0)\).
Compétences à pratiquer
- Lire des points d'inflexion
- Déterminer les points d'inflexion
VII
Convexité et modèles
Convexité, rythme et accélération
Beaucoup de grandeurs sont modélisées par une fonction du temps ou de la quantité produite : un coût total \(C(q)\), un nombre cumulé de ventes \(V(t)\), une population, la production totale d'un atelier. Lorsqu'une telle fonction \(f\) est croissante, sa dérivée \(f'\) est le rythme auquel la grandeur augmente : une vitesse, un taux de croissance, ou, pour un coût total, le coût marginal \(C'(q)\), qui approche le coût d'une unité supplémentaire. La convexité se lit alors comme une propriété de ce rythme.
- \(f\) convexe sur un intervalle \(\iff\) \(f'\) y est croissante : la grandeur augmente de plus en plus vite, on dit qu'elle accélère. Pour un coût total : le coût marginal augmente, chaque unité supplémentaire coûte plus cher que la précédente.
- \(f\) concave sur un intervalle \(\iff\) \(f'\) y est décroissante : la grandeur continue d'augmenter, mais de moins en moins vite, on dit qu'elle ralentit. Pour un coût total : le coût marginal diminue, chaque unité supplémentaire coûte moins cher que la précédente.
- En un point d'inflexion où \(f\) passe de convexe à concave, \(f'\) cesse de croître et se met à décroître : le rythme atteint un maximum local. C'est « le moment où la croissance commence à ralentir ». Là où \(f\) passe de concave à convexe, le rythme atteint au contraire un minimum local : la fonction \(x \mapsto x^3\) a son inflexion en \(0\), là où \(f'(x) = 3x^2\) est minimale.
Exemple
Un atelier produit jusqu'à \(50\) pièces par jour. Son coût total journalier, en euros, pour une production de \(q\) pièces est modélisé sur \([0\,;\,50]\) par $$C(q) = 0{,}01q^3 - 0{,}6q^2 + 15q + 100.$$ - Calculer le coût marginal \(C'(q)\) et montrer que le coût total est croissant sur \([0\,;\,50]\).
- Étudier la convexité de \(C\) sur \([0\,;\,50]\).
- Interpréter : sur quelle plage de production le coût total ralentit-il, sur laquelle accélère-t-il, et pour quelle production le coût marginal est-il le plus faible ?
- \(C\) est un polynôme, deux fois dérivable sur \([0\,;\,50]\), et $$C'(q) = 0{,}03q^2 - 1{,}2q + 15.$$ Ce trinôme a pour discriminant \(\Delta = 1{,}2^2 - 4 \times 0{,}03 \times 15 = 1{,}44 - 1{,}8 = -0{,}36 < 0\) et un coefficient dominant positif : \(C'(q) > 0\) pour tout \(q\). Le coût total est croissant sur \([0\,;\,50]\), et le coût marginal ne s'annule jamais.
- En dérivant à nouveau, $$C''(q) = 0{,}06q - 1{,}2 = 0{,}06(q - 20),$$ négatif sur \([0\,;\,20]\), nul en \(20\), positif sur \([20\,;\,50]\). Donc \(C\) est concave sur \([0\,;\,20]\) et convexe sur \([20\,;\,50]\).
- Sur \([0\,;\,20]\), \(C\) est concave : le coût marginal diminue, chaque pièce supplémentaire coûte moins cher que la précédente, le coût total ralentit. Sur \([20\,;\,50]\), \(C\) est convexe : le coût marginal augmente, le coût total accélère. Le changement a lieu en \(q = 20\), point d'inflexion de la courbe, où le coût marginal est le plus faible : \(C'(20) = 12 - 24 + 15 = 3\), contre \(C'(0) = 15\) et \(C'(50) = 30\). Le coût marginal est un rythme instantané : la \(21^{\text{e}}\) pièce coûte en réalité \(C(21) - C(20) = 243{,}01 - 240 = 3{,}01\) euros, ce que \(C'(20) = 3\) approche.
Compétences à pratiquer
- Interpréter la convexité dans un contexte
VIII
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Diagnostiquer et corriger
- Problèmes
- Type bac
- Quiz
Contrôle du chapitre
4 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h 30.
À traiter sur papier, puis à photographier : la correction est automatique, par IA.
Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.
Aucun exercice composé.
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