Éducation Nationale Française · Seconde

Les fonctions de référence

⌚ ~170 min ▢ 19 blocs ✓ 86 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Variations et extremums, Calcul littéral

I La fonction valeur absolue

Définition — Fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = |x|$, la valeur absolue de $x$ : $$f(x) = |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$

Ensemble de définition : tous les nombres réels ($\mathbb{R}$).
Forme : deux demi-droites issues de l'origine, la droite $y = x$ pour $x \geq 0$ et la droite $y = -x$ pour $x < 0$, qui forment un « V » de sommet $O$.
Symétrie : comme $|-x| = |x|$ pour tout réel $x$, la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Proposition — Propriétés

Pour tout réel $x$, $|x| \geq 0$, et $|x| = 0$ seulement pour $x = 0$.
La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$ et strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ ; son minimum est $0$, atteint en $x = 0$.

Preuve

Soit $f(x) = |x|$.

Signe : si $x \geq 0$, alors $|x| = x \geq 0$ ; si $x < 0$, alors $|x| = -x > 0$. Dans les deux cas $|x| \geq 0$, et $|x| = 0$ n'arrive que dans le premier cas, avec $x = 0$.
Variations :
- Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 \leq a < b$. Alors $f(a) = a$ et $f(b) = b$, donc $f(b) - f(a) = b - a > 0$ : $f(a) < f(b)$. La fonction est strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.
- Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b \leq 0$. Alors $f(a) = -a$ et $f(b) = -b$ (pour $b = 0$, $-b = 0 = |0|$ aussi), donc $f(b) - f(a) = -b + a = a - b < 0$ : $f(a) > f(b)$. La fonction est strictement décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$.
Décroissante puis croissante, avec la valeur $0$ en $x = 0$, la fonction atteint son minimum $0$ en $x = 0$.

Méthode — Résoudre $|x| \equal k$ et $|x| \lt k$

Soit $k$ un réel. Graphiquement, les solutions de $|x| = k$ sont les abscisses des points du « V » à la hauteur $k$, et les solutions de $|x| < k$ sont les abscisses des points du « V » situés sous la droite horizontale $y = k$. Algébriquement, $|x|$ est la distance de $x$ à $0$ :

si $k > 0$ : $|x| = k$ a les deux solutions $x = -k$ et $x = k$ ; $|x| < k$ a pour solutions $-k < x < k$, l'intervalle $]-k\,;\,k[$ ; $|x| > k$ a pour solutions $x < -k$ ou $x > k$ ;
si $k = 0$ : $|x| = 0$ a l'unique solution $x = 0$ ; $|x| < 0$ n'a pas de solution ; $|x| > 0$ est vraie pour tout réel $x \neq 0$ ;
si $k < 0$ : $|x| = k$ et $|x| < k$ n'ont pas de solution, puisque $|x| \geq 0$ ; $|x| > k$ est vraie pour tout réel $x$.

La même lecture de $|x - a|$ comme distance de $x$ à $a$ est la Proposition « Distance à un centre » : pour un réel $a$ et $r > 0$, $|x - a| \leq r$ signifie $x \in [a - r\,;\,a + r]$.

Méthode — Comparer $|a|$ et $|b|$

Pour comparer $|a|$ et $|b|$ pour deux réels $a$ et $b$ :

si $a$ et $b$ sont du même côté de $0$, utiliser les variations : sur $[0\,;\,+\infty[$ la fonction conserve l'ordre ($0 \leq a < b$ donne $|a| < |b|$), sur $]-\infty\,;\,0]$ elle l'inverse ($a < b \leq 0$ donne $|a| > |b|$) ;
si $a$ et $b$ sont de signes contraires, l'ordre de $a$ et $b$ ne dit rien : comparer les distances à $0$, c'est-à-dire les nombres $|a|$ et $|b|$ eux-mêmes — graphiquement, le plus haut des deux points du « V » en $x = a$ et $x = b$.

Exemple

Résoudre graphiquement, puis algébriquement : $|x| = 3$, $|x| \leq 3$ et $|x| > 3$.

Correction

$|x| = 3$ : la droite $y = 3$ coupe le « V » en deux points, d'abscisses $-3$ et $3$. Algébriquement, les nombres à distance $3$ de $0$ sont $-3$ et $3$. Les solutions sont $x = -3$ et $x = 3$.
$|x| \leq 3$ : les points du « V » sur ou sous la droite $y = 3$ ont leurs abscisses entre $-3$ et $3$ — le segment épais tracé sur l'axe des abscisses. Algébriquement, les nombres à distance au plus $3$ de $0$ forment l'intervalle $[-3\,;\,3]$.
$|x| > 3$ : les points du « V » strictement au-dessus de la droite ont $x < -3$ ou $x > 3$, hors du segment épais. Algébriquement, les nombres à distance strictement supérieure à $3$ de $0$ sont ceux inférieurs à $-3$ ou supérieurs à $3$, au sens strict. Les solutions forment $]-\infty\,;\,-3[ \cup ]3\,;\,+\infty[$.

Contrôle : $|-3| = 3$ et $|3| = 3$ ; $|2| = 2 \leq 3$ et $|-5| = 5 > 3$.

Compétences à pratiquer

Déterminer les images et les antécédents
Résoudre $f(x) \equal k$ ou $f(x) \lt k$
Comparer
Déterminer un encadrement
Raisonner avec la valeur absolue

II La fonction carrée

Définition — Fonction carré

La fonction carré est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$. Autrement dit, chaque valeur de $x$ est multipliée par elle-même.

Ensemble de définition : Tous les nombres réels ($\mathbb{R}$).
Forme : Une courbe appelée parabole, tournée vers le haut.

Proposition — Propriétés

Pour tout réel $x$, $x^2 \geq 0$.
La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0]$ et strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$.
La fonction carré est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ($f(-x) = f(x)$).

Preuve

Soit $f(x)=x^2$.

Le produit de deux nombres réels de même signe est positif, donc $x^2 = x \times x \geq 0$.
Parité : $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. Donc $f$ est paire.
Variations :
- Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 \leq a < b$.
  $$f(b) - f(a) = b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$$ Comme $(b - a) > 0$ et $(b + a) > 0$, alors $f(b) - f(a) > 0$.
  La fonction conserve l'ordre : elle est strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$.
- Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $ a < b \leq 0$.
  Comme $(b - a) > 0$ et $(b + a) < 0$, alors $f(b) - f(a) < 0$.
  La fonction inverse l'ordre : elle est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0]$.

Exemple

L'aire d'un carré de côté $x$ est donnée par $A(x) = x^2$.

Par exemple, pour $x = 4$ m, l'aire est $A(4) = 4^2 = 16$ m$^2$.

Compétences à pratiquer

Déterminer les images et les antécédents
Déterminer les antécédents
Comparer
Déterminer un encadrement

III La fonction racine carrée

Définition — Fonction racine carrée

La fonction racine carrée est définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x}$. Pour tout $x \geq 0$, $\sqrt{x}$ est l'unique nombre positif dont le carré est égal à $x$.

Ensemble de définition : $[0 ; +\infty[$ (réels positifs ou nuls).
Forme : Une courbe partant de l'origine et toujours croissante.

Proposition — Propriétés

La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$.

Preuve

Soient $0 \leq a < b$. On utilise la quantité conjuguée :$$\begin{aligned}[t]f(b) - f(a) &= \sqrt{b} - \sqrt{a} \\ &= \frac{(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} \\ &= \frac{(\sqrt{b})^2 - (\sqrt{a})^2}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}\\ &= \frac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}\end{aligned}$$ Comme $b > a$, le numérateur est strictement positif. Le dénominateur est également strictement positif, puisque $\sqrt{b} > 0$.
Le quotient est donc strictement positif, ce qui prouve que $f(a) < f(b)$.

Compétences à pratiquer

Déterminer les images et les antécédents
Déterminer les antécédents
Comparer

IV La fonction cube

Définition — Fonction cube

La fonction cube est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3$.

Proposition — Propriétés

La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
La fonction cube est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Preuve

Parité : $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$. Donc $f$ est impaire.
Variations : la stricte croissance de la fonction cube sur $\R$ est admise.

Exemple

Le volume d'un cube de côté $x$ est $V(x) = x^3$. Quel est le volume d'un cube de côté $6$ cm ? $V(6) = 6^3 = 216$ : le volume est $216$ cm$^3$.

Proposition — Comparer les courbes

Pour $x \geq 0$, les courbes d'équations $y=x$, $y=x^2$ et $y=x^3$ passent toutes par les points $O(0\,;\,0)$ et $A(1\,;\,1)$, et :

si $0 \leq x \leq 1$, alors $x^3 \leq x^2 \leq x$ : la courbe de $y=x^3$ est en dessous de celle de $y=x^2$, elle-même en dessous de la droite $y=x$ ;
si $x \geq 1$, alors $x \leq x^2 \leq x^3$ : l'ordre est renversé.

Les trois valeurs ne sont égales que pour $x=0$ et $x=1$.

Preuve

Soit $x$ un réel avec $x \geq 0$. On compare les nombres deux à deux en étudiant le signe de leur différence.
Comparaison de $x^2$ et $x$. On factorise la différence : $$x^2 - x = x(x-1)$$

Si $0 \leq x \leq 1$ : $x \geq 0$ et $x - 1 \leq 0$, donc le produit $x(x-1) \leq 0$, d'où $x^2 \leq x$.
Si $x \geq 1$ : $x \geq 0$ et $x - 1 \geq 0$, donc le produit $x(x-1) \geq 0$, d'où $x^2 \geq x$.

Comparaison de $x^3$ et $x^2$. On factorise la différence : $$x^3 - x^2 = x^2(x-1)$$ Comme $x^2 \geq 0$ pour tout $x$, le produit $x^2(x-1)$ est négatif ou nul quand $x-1 \leq 0$, positif ou nul quand $x-1 \geq 0$ :

si $0 \leq x \leq 1$, alors $x^3 - x^2 \leq 0$, d'où $x^3 \leq x^2$ ;
si $x \geq 1$, alors $x^3 - x^2 \geq 0$, d'où $x^3 \geq x^2$.

Conclusion. Pour $0 \leq x \leq 1$ : $x^3 \leq x^2 \leq x$. Pour $x \geq 1$ : $x \leq x^2 \leq x^3$.
De plus $x(x-1) = 0$ et $x^2(x-1) = 0$ n'ont lieu que pour $x = 0$ ou $x = 1$ : ce sont les seules valeurs où les trois courbes se rencontrent.

Exemple

Sans aucun calcul, ranger les nombres $0{,}8$, $0{,}8^2$, $0{,}8^3$, puis les nombres $1{,}2$, $1{,}2^2$, $1{,}2^3$, dans l'ordre croissant.

Correction

Comme $0 \lt 0{,}8 \lt 1$, la proposition donne : $$0{,}8^3 \lt 0{,}8^2 \lt 0{,}8$$ Comme $1{,}2 \gt 1$, l'ordre est renversé : $$1{,}2 \lt 1{,}2^2 \lt 1{,}2^3$$ Vérification : $0{,}8^2 = 0{,}64$ et $0{,}8^3 = 0{,}512$ ; $1{,}2^2 = 1{,}44$ et $1{,}2^3 = 1{,}728$.

Compétences à pratiquer

Déterminer les images et les antécédents
Ranger un nombre et ses puissances
Vrai ou faux

V La fonction inverse

Définition — Fonction inverse

La fonction inverse est définie sur $\mathbb{R}^*$ (tous les réels non nuls) par $f(x) = \frac{1}{x}$.

Ensemble de définition : $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, noté aussi $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$.
Forme : Une courbe appelée hyperbole.

Proposition — Propriétés

La fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0[$ et strictement décroissante sur $]0 ; +\infty[$.
La fonction inverse est impaire.

Preuve

Soient $0 < a < b$.$$f(b) - f(a) = \frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{ab}$$ Puisque $a < b$, on a $a - b < 0$. Comme $a$ et $b$ sont positifs, $ab > 0$.
Le quotient est donc strictement négatif, d'où $f(b) < f(a)$. L'ordre est inversé ; $f$ est strictement décroissante sur $]0 ; +\infty[$.
Pour $a < b < 0$, le même calcul s'applique : $ab > 0$ (produit de deux négatifs) et $a - b < 0$, donc encore $f(b) < f(a)$ : $f$ est strictement décroissante aussi sur $]-\infty ; 0[$.
Parité : pour tout $x \neq 0$, $f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)$ : $f$ est impaire.

Compétences à pratiquer

Déterminer les images et les antécédents
Comparer

VI Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre
Problèmes
Quiz