Mathématiques en ECG appliquées

Au programme

1. Logique et ensembles — Connecteurs logiques et quantificateurs, écriture des négations ; ensembles, inclusion, ensemble des parties, complémentaire, réunion, intersection, De Morgan, et produit cartésien.
2. Méthodes de calcul — Raisonnement par récurrence ; symboles somme et produit, changement d'indice, télescopage, factorielle ; trois identités classiques — somme géométrique, somme des premiers entiers, somme des premiers carrés. Les coefficients binomiaux sont développés dans Probabilités sur un ensemble fini ; la formule du binôme de Newton dans Lois discrètes usuelles.
3. Applications — Applications, égalité, image et antécédent, identité et applications constantes, restriction et prolongement, image directe d'une partie. Composition d'applications avec associativité. Applications injectives, surjectives, bijectives, avec injectivité par stricte monotonie et préservation par composition. Réciproque d'une bijection, sa caractérisation, réciproque d'une composée, et symétrie des graphes.
4. Systèmes linéaires — Équations et systèmes linéaires dans R^p ; systèmes équivalents et les trois opérations élémentaires sur les lignes ; méthode du pivot de Gauss présentée par des exemples résolus (descente jusqu'à la forme échelonnée, puis remontée) ; structure de l'ensemble des solutions : un système linéaire admet exactement une solution, une infinité, ou aucune, et un système homogène en admet une ou une infinité (la solution nulle appartient toujours) ; systèmes de Cramer (carrés à solution unique) ; lecture des inconnues principales et secondaires sur une forme échelonnée. L'écriture matricielle A X = Y et le calcul de A^{-1} sont développés dans le chapitre suivant, Matrices.
5. Matrices — Matrices rectangulaires et carrées de M_{n,p}(R) : somme, multiple scalaire, produit, transposée et transposition d'un produit ; puissances, formule du binôme pour matrices qui commutent ; matrices triangulaires, diagonales, symétriques et antisymétriques ; inversibilité, unicité de l'inverse, (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}, transposée d'un inverse, déterminant et formule d'inverse en taille 2, et inversibilité des matrices diagonales et triangulaires ; l'écriture matricielle AX=Y d'un système linéaire et le calcul de A^{-1} par le pivot de Gauss ; un inventaire de commandes numpy / numpy.linalg.
6. Graphes — Graphes finis (non orientés et orientés, simples), sommets, arêtes, adjacence, degré et graphe complet ; la matrice d'adjacence et sa symétrie pour les graphes non orientés ; chaînes et théorème de dénombrement (le coefficient (i,j) de A^d est le nombre de chaînes de longueur d) ; connexité et critère matriciel I_n+A+...+A^{n-1}>0 ; degré et formule des poignées de main avec le corollaire du nombre pair de sommets de degré impair. Outil de modélisation des réseaux sociaux et économiques.
7. Nombres réels — Les deux outils de la droite réelle utilisés toute l'année : la valeur absolue et ses propriétés algébriques, la distance sur la droite et l'inégalité triangulaire ; et la partie entière de notation lfloor x rfloor.
8. Suites réelles usuelles — Suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques, et récurrences linéaires d'ordre deux à coefficients réels : termes explicites, sommes finies (dont la formule de la somme d'une suite géométrique), réduction au point fixe, et méthode de l'équation caractéristique dans les cas à racines réelles (racines distinctes, racine double, et cas dégénéré).
9. Suites : limites et convergence — Convergence d'une suite par la forme intervalle ouvert ; limites +/- infini ; unicité ; bornitude ; opérations algébriques ; ordre et encadrement (gendarmes) ; critère pair / impair ; théorème de la limite monotone ; suites adjacentes ; suite récurrente et cobweb ; croissances comparées (n!, n^a, q^n, ln(n)^b). Aucune démonstration n'est exigible à ce niveau.
10. Polynômes — Fonctions polynomiales à coefficients réels (sans construction formelle de R[X]) : coefficients, degré (avec deg 0 = moins l'infini), coefficient dominant, les ensembles R[X] et R_n[X], identification des coefficients. Somme et produit et leur effet sur le degré. Division euclidienne traitée sur des exemples (existence et unicité admises, algorithme de la division posée). Racines et le facteur (X - alpha) : un réel alpha est racine ssi (X - alpha) se factorise ; un polynôme non nul de degré n a au plus n racines réelles distinctes, donc un polynôme de R_n[X] ayant plus de n+1 racines distinctes est nul. Le trinôme du second degré : discriminant, les trois cas, factorisation, signe constant lorsque le discriminant est négatif, somme et produit des deux racines, et signes des racines lus sur les signes des coefficients. Factorisation pratique d'un polynôme en produit de facteurs (X - alpha) et de trinômes irréductibles de degré 2.
11. Fonctions usuelles — Catalogue des fonctions de référence usuelles : racine carrée (avec la monotonie par quantité conjuguée, sqrt(x^2) = |x|), fonction inverse, et fonctions puissances x vers x^alpha = exp(alpha ln x) avec leurs règles de calcul et allures de courbe ; valeur absolue (définition par morceaux, distance sur R, produit et inégalité triangulaire, résolution d'équations et inéquations avec |.|) ; partie entière floor(x) (encadrement, translation entière, graphe en escalier, résolution d'équations) ; logarithme et exponentielle (rappel des règles algébriques, réciprocité exp/ln, positions relatives des courbes ln, exp et x vers x, et fonctions du type x vers u(x)^v(x) réécrites en exp(v ln u)). Catalogue opératoire lu sur le graphe, sans dérivée, sans démonstration exigible.
12. Limites et continuité — Limite et continuité d'une fonction d'une variable en un point dans la forme (epsilon, alpha) ; unicité ; limites à gauche et à droite ; extension au cas d'une fonction définie sur I moins x_0 ; extension à plus/moins infini et aux limites infinies ; opérations algébriques avec les quatre formes indéterminées ; compatibilité avec l'ordre et théorème d'encadrement ; croissances comparées de l'exponentielle, de la puissance et du logarithme ; prolongement par continuité en un point ; lien séquentiel à sens unique f(u_n) tend vers ell ; limite d'une composée. Étude globale par continuité sur un intervalle : théorème de la limite monotone, théorème des valeurs intermédiaires, image d'un intervalle et d'un segment, théorème de la bijection et graphe de la réciproque.
13. Statistiques univariées — Statistique descriptive univariée sur une série quantitative discrète : population, échantillon, variable statistique et types de variable ; la série statistique comme n-uplet, valeurs distinctes et effectifs ; fréquences, fréquences cumulées et fonction de répartition empirique ; quantiles, médiane et quartiles avec la convention de la plus petite valeur, le résumé en cinq nombres et la boîte à moustaches ; tendance centrale (moyenne, médiane) et son comportement sous une transformation affine ; dispersion (étendue, écart interquartile, variance et écart-type) avec la formule de König et la loi de transformation affine. Motivation économique et analyse de données, avec le lien pandas.
14. Probabilités sur un ensemble fini — Probabilites sur un ensemble fini : univers, evenements et evenement contraire, systemes complets finis ; la boite a outils de denombrement hebergee ici (factorielle n!, coefficients binomiaux C(n,p), la formule fermee n!/(p!(n-p)!), la symetrie C(n,p)=C(n,n-p) et le triangle de Pascal) ; probabilite sur P(Omega) avec les regles de base et la formule du crible (Poincare) pour 2 et 3 evenements, le cas de l'equiprobabilite ; probabilite conditionnelle et formules des probabilites composees, totales et de Bayes ; independance de deux evenements et independance mutuelle de n evenements.
15. Sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\) — Premier contact concret avec l'algèbre linéaire, entièrement dans R^n (et la matrice colonne M_{n,1}(R)) : opérations et combinaisons linéaires, base canonique ; sous-espaces vectoriels de R^n (ensemble des solutions d'un système homogène, Vect, classification des sous-espaces de R^2) ; familles libres et génératrices, base et coordonnées ; dimension et rang, avec les raccourcis de comptage admis.
16. Applications linéaires de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^m\) — Applications linéaires de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^m\) présentées concrètement comme X ↦ MX : l'identité de linéarité et les premières propriétés ; la matrice d'une application linéaire dans les bases canoniques (colonnes f(e_j)) et la correspondance avec X ↦ MX ; noyau ker f = {X : MX = 0} et image Im f = espace engendré par les colonnes, deux sous-espaces ; injectivité (ker f = {0}) et surjectivité (Im f = \(\mathbb{R}^m\)) ; composition comme produit matriciel ; rang d'une matrice comme rang de sa famille de colonnes, rg(A) = rg(tA) ; théorème du rang dim ker f + rg(f) = n, avec l'équivalence bijective ⇔ injective ⇔ surjective ⇔ rg = n pour un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\).
17. Dérivation — Dérivation des fonctions réelles d'une variable réelle sur un intervalle, au niveau ECG appliquées (aucune démonstration exigible) : nombre dérivé via le taux d'accroissement, tangente, dérivées à gauche/droite, développement à l'ordre un f(x+h)=f(x)+hf'(x)+h*eps(h), la dérivabilité entraîne la continuité, fonction dérivée et classe C^1, tableau des dérivées des fonctions usuelles (x^n, x^alpha, 1/x^n, racine, exp, ln, a^x, sin, cos, tan), règles linéarité/produit/quotient et dérivée des fonctions composées (admise), inégalité des accroissements finis (deux versions, admise) avec application aux suites récurrentes u_{n+1}=f(u_n) lorsque |f'|<=k<1, caractérisation des fonctions constantes et monotones par le signe de f' sur un intervalle (admise), stricte monotonie lorsque f' positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de points, extremum local par changement de signe de la dérivée, dérivées successives et classes C^1/C^2/C^infty et leurs opérations algébriques. Lié bloc par bloc au chapitre Dérivation d'ECGapprofondies ; Rolle, le théorème de l'extremum intérieur, l'égalité des accroissements finis, le théorème de la dérivée réciproque (arctan) et le théorème de prolongement C^1 sont supprimés car hors programme de la voie appliquée.
18. Convexité — Convexite d'une fonction d'une variable reelle et optimisation convexe, tous les resultats admis (fonctions supposees au moins de classe C^2). Fonctions convexes/concaves definies par l'inegalite des cordes f(t1 x1 + t2 x2) <= t1 f(x1) + t2 f(x2) pour des poids t1, t2 dans [0,1] de somme 1 (une fonction convexe a toute corde au-dessus de son graphe, une fonction concave en dessous), avec -f convexe ssi f concave. Caracterisations C^2 admises : convexe ssi f' croissante, ssi f'' >= 0, ssi le graphe est au-dessus de chacune de ses tangentes (et le miroir concave). Catalogue des fonctions usuelles : x^2 et exp convexes sur R, ln concave sur R*+, la puissance x^alpha sur R*+ convexe lorsque alpha <= 0 ou alpha >= 1 et concave lorsque 0 <= alpha <= 1. Point d'inflexion defini comme un changement de convexite, detecte pour une fonction C^2 par un changement de signe de f''. Aboutissement d'optimisation convexe (admis) : pour une fonction convexe de classe C^2 sur un intervalle ouvert, un point ou f' s'annule est un minimum global (concave : maximum global), donc minimiser une fonction convexe se ramene a resoudre f'(x)=0, avec une motivation economique par une fonction de cout. Recapitulation graphique : combiner les tableaux de signe de f' (monotonie) et de f'' (convexite et inflexion) pour lire la forme locale d'une courbe. L'inegalite de Jensen et la machinerie de localisation des extrema (theoreme des bornes atteintes, Fermat, test du second ordre) ne sont pas dans ce chapitre.
19. Équations différentielles linéaires à coefficients constants — Équations différentielles linéaires à coefficients constants. Vocabulaire général (équation différentielle, équation linéaire, équation homogène, solution, trajectoire, équilibre) ; structure de l'ensemble des solutions (les solutions homogènes forment un espace vectoriel ; solution générale = une solution particulière + solution générale homogène) et principe de superposition. Premier ordre y'+ay=b : résolution de y'+ay=0 (solutions lambda*e^{-ax}), solution particulière par identification de forme, problème de Cauchy avec une condition initiale et non-croisement des trajectoires. Second ordre y''+ay'+by=c : équation caractéristique r^2+ar+b=0 restreinte aux racines réelles (Delta>0 deux racines distinctes, Delta=0 racine double), solution particulière, problème de Cauchy avec deux conditions initiales, équilibre et convergence de long terme (Solow / modélisation économique dynamique).
20. Intégration sur un segment — Intégration d'une fonction continue sur un segment au niveau ECG appliquées : aire sous la courbe d'une fonction positive et aire algébrique ; primitive d'une fonction continue sur un intervalle (existence admise) ; intégrale définie par le crochet F(b)-F(a), indépendante du choix de la primitive ; relation de Chasles, linéarité, positivité, croissance ; inégalité de la moyenne et encadrement d'une intégrale sans la calculer ; inégalité triangulaire |int f|<=int|f| (admise) ; une fonction continue positive d'intégrale nulle est identiquement nulle (admise) ; méthode des rectangles et sommes de Riemann pour lire des limites de sommes (convergence admise, avec la majoration de l'erreur M(b-a)^2/n en classe C^1) ; primitives des fonctions de référence et primitives composées lues à vue ; calcul d'une intégrale par une primitive ; intégration par parties ; changement de variable C^1 strictement monotone (substitutions non affines indiquées) ; intégrale d'une fonction paire ou impaire sur un segment symétrique ; suites et fonctions définies par une intégrale. Lié bloc par bloc au chapitre Intégration d'ECGapprofondies ; les démonstrations de l'inégalité triangulaire, du résultat de l'intégrale nulle et de la convergence des sommes de Riemann sont supprimées car admises sur la voie appliquée, et les énoncés correspondants sont forkés en énoncés admis.
21. Séries numériques — Series numeriques comme suite des sommes partielles S_n = somme_{k=0}^n u_k. Convergence et divergence ; somme et reste d'une serie convergente ; independance de l'indice de depart pour la nature. Condition necessaire u_n -> 0 (avec mise en garde explicite : la reciproque est fausse). Combinaisons lineaires de series convergentes. Series telescopiques et etude d'une suite via Somme (u_{n+1} - u_n). Serie geometrique et ses deux series derivees Somme k q^{k-1} = 1/(1-q)^2, Somme k(k-1) q^{k-2} = 2/(1-q)^3 pour |q|<1. Serie de Riemann Somme 1/n^alpha (converge ssi alpha > 1), admise a ce niveau. Serie exponentielle Somme x^k/k! = e^x, admise. Series a termes positifs : monotonie des sommes partielles, et un unique critere de comparaison – le critere de comparaison par inegalite (0 <= u_n <= v_n), utilise pour demontrer la convergence par majoration par une reference convergente ou la divergence par minoration par une reference divergente. Convergence absolue (introduite pour permettre une definition ulterieure de l'esperance d'une variable aleatoire discrete) : la convergence absolue implique la convergence, demontree par decomposition en parties positives ; la semi-convergence introduite comme vocabulaire. Les comparaisons par negligeabilite et par equivalence sont hors du cadre de ce niveau (seconde annee).
22. Probabilités sur un univers quelconque — Probabilites sur un univers Omega quelconque (typiquement infini). Ensemble des evenements avec trois regles de stabilite (complementaire, union denombrable, intersection denombrable) sans vocabulaire de theorie de la mesure ; probabilite comme application avec P(Omega)=1 dont l'additivite s'etend d'une famille finie a une famille denombrable deux a deux incompatible (la somme de droite devient une serie convergente) ; systemes complets d'evenements denombrables ; probabilite conditionnelle conditionnee par un evenement de probabilite non nulle (et l'espace probabilise associe) ; formule des probabilites totales generalisee sur un systeme complet infini comme resultat phare ; independance mutuelle d'une suite infinie d'evenements verifiee sur les parties finies.
23. Variables aléatoires discrètes — Variables aleatoires discretes (voie appliquees) : extension de la theorie des v.a. finies a un ensemble de valeurs eventuellement denombrable. Variable aleatoire reelle discrete definie sur un espace probabilise, systeme complet denombrable associe a X, loi de X, variable Y = g(X) pour un g simple (par exemple x -> ax + b ou x -> x^2). Moments : esperance definie par convergence absolue de la somme serie (existence par domination admise), linearite et positivite de l'esperance admises, theoreme de transfert admis, E(aX + b) = aE(X) + b ; variance et ecart-type, V(aX + b) = a^2 V(X), formule de Koenig-Huygens V(X) = E(X^2) - (E(X))^2, variable centree reduite X*. Les lois usuelles nommees (certaine, Bernoulli, binomiale, uniforme, geometrique, Poisson) et la fonction de repartition sont hors du perimetre de ce chapitre et traitees au chapitre suivant Lois discretes usuelles.
24. Lois discrètes usuelles — Lois discretes usuelles : un inventaire des lois discretes nommees avec leur support, leurs probabilites, leur esperance et leur variance. Lois finies : loi certaine (E = a, V = 0, caracterisee par une variance nulle), loi uniforme sur [[1,n]] (E = (n+1)/2, V = (n^2-1)/12) et sur [[a,b]] (E = (a+b)/2, V = ((b-a+1)^2-1)/12), loi de Bernoulli B(p) (E = p, V = p(1-p)), loi binomiale B(n,p) (E = np, V = np(1-p)) portant la formule du binome de Newton (a+b)^n demontree par recurrence avec la regle de Pascal, et le lien avec B(n, a/(a+b)) pour a,b > 0. Lois certaine et de Bernoulli lues via la fonction de repartition (fonction en escalier). Lois infinies : loi geometrique G(p) du rang du premier succes dans un processus de Bernoulli sans memoire (E = 1/p, V = (1-p)/p^2, FdR, absence de memoire), loi de Poisson P(lambda) modelisant un comptage d'evenements rares (E = V = lambda), avec la limite binomiale-vers-Poisson mentionnee comme notion de deuxieme annee. Simulation Python (rd.binomial, rd.geometric, rd.poisson) et statistiques empiriques.
25. Algorithmique et Python — Algorithmique et Python : la boîte à outils Python (types, structures de contrôle, fonctions, listes) ; algorithmes sur les listes (recherche séquentielle et dichotomique, méthodes gloutonnes) ; approximation numérique (dichotomie, suites récurrentes) ; statistiques descriptives avec pandas et matplotlib ; graphes et plus courts chemins de Dijkstra ; simulation des lois discrètes usuelles avec numpy.random.