Éducation Nationale Française · ECGappliquées

Polynômes

⌚ ~107 min ▢ 13 blocs ✓ 64 exercices ➣ Prérequis : Méthodes de calcul

À partir des fonctions polynomiales du lycée — affines $ax + b$, trinômes $ax^2 + bx + c$, monômes $x^n$ —, ce chapitre étudie toute la famille des fonctions polynomiales d'une variable réelle. Un polynôme est ici simplement une fonction polynomiale $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ : on ne construit aucun objet formel, on travaille directement avec la fonction $x \mapsto a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n$. L'invariant essentiel est le degré, la plus grande puissance effectivement présente ; la famille est stable par somme et produit, et la façon dont chaque opération agit sur le degré se lit sur le terme dominant. L'objet central est la racine : une valeur de $x$ où le polynôme s'annule, ou de manière équivalente une valeur où l'on peut mettre $(x - \alpha)$ en facteur. On traite la division euclidienne sur des exemples, puis on se concentre sur le trinôme du second degré (discriminant, factorisation, signe, et les relations entre les coefficients et les racines), et l'on termine par la factorisation pratique d'un polynôme en produit de facteurs $(x - \alpha)$ et de facteurs irréductibles de degré $2$. Conventions : on identifie un polynôme à sa fonction polynomiale sur $\mathbb{R}$, et l'on écrit indifféremment $P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n$ pour le polynôme et $P(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n$ pour sa valeur au réel $x$. Par convention $\deg 0 = -\infty$, avec l'arithmétique $-\infty + d = -\infty$ pour tout $d \in \mathbb{N}$. Le symbole de somme $\sum$ et les développements du binôme $(a+b)^n$ sont rappelés du chapitre Méthodes de calcul ; les coefficients binomiaux $\binom{n}{p}$ sont étudiés dans Probabilités sur un ensemble fini.

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I Polynômes et leur degré

I.1 Polynômes et identification des coefficients

Au lycée vous avez manipulé la fonction affine $x \mapsto ax + b$, le trinôme $x \mapsto ax^2 + bx + c$ et le monôme $x \mapsto x^n$. On nomme maintenant toute la famille à laquelle elles appartiennent : un polynôme est une fonction $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ écrite comme une somme finie de monômes. Le premier fait utile est que cette écriture est unique — une fonction polynomiale détermine ses coefficients.

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Définition — Polynôme

Un polynôme (ou fonction polynomiale) à coefficients réels est une fonction $P : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de la forme $$P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n,$$ où $n \in \mathbb{N}$ et les $a_0, a_1, \dots, a_n$ sont des nombres réels fixés appelés les coefficients de $P$. Chaque terme $a_k x^k$ est un monôme ; le polynôme dont tous les coefficients sont nuls est le polynôme nul, noté $0$ ; un polynôme $P = a_0$ est un polynôme constant. L'ensemble des polynômes à coefficients réels se note $\mathbb{R}[X]$. On écrit $P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n$ pour le polynôme lui-même et $P(x)$ pour sa valeur au réel $x$ — ici $X$ est simplement un nom commode pour la variable, et l'on identifie le polynôme à sa fonction polynomiale.

Exemple

Les fonctions ci-dessous sont des polynômes :

$P = 3X + 5$ (affine), de coefficients $a_1 = 3$, $a_0 = 5$ ;
$Q = -2X^2 + X - 7$ (un trinôme), avec $a_2 = -2$, $a_1 = 1$, $a_0 = -7$ ;
$R = X^5$ (un seul monôme) ;
$S = 4$ (un polynôme constant non nul) ;
$T = 0$ (le polynôme nul).

Exemple

Les fonctions ci-dessous ne sont pas des polynômes sur $\mathbb{R}$ :

$x \mapsto 1/x$, définie seulement sur $\mathbb{R}^*$, ne satisfait pas même le domaine requis par la définition ;
$x \mapsto \sqrt{x}$, définie seulement sur $\mathbb{R}_+$, est dans le même cas ;
$x \mapsto \cos x$ est définie sur $\mathbb{R}$ mais ne peut pas s'écrire comme une somme finie $\sum_{k=0}^n a_k x^k$ : supposons par l'absurde qu'une telle écriture existe avec $n \in \mathbb{N}$ ; les coefficients de degré $> n$ sont alors tous nuls, or $\cos$ est bornée entre $-1$ et $1$ sur $\mathbb{R}$ tandis qu'aucune $\sum_{k=0}^n a_k x^k$ non constante n'est bornée ($a_n x^n \to \pm \infty$ quand $x \to +\infty$ dès que $a_n \ne 0$ et $n \ge 1$) ; donc $\cos$ serait constante sur $\mathbb{R}$, ce qui est faux puisque $\cos 0 = 1 \ne 0 = \cos(\pi/2)$ ;
$x \mapsto e^x$ est définie sur $\mathbb{R}$ mais n'est pas non plus un polynôme : en $+\infty$ elle croît plus vite que tout polynôme ($e^x / x^n \to +\infty$ pour tout $n$ fixé, croissance comparée rappelée du lycée), donc elle ne peut coïncider avec aucun polynôme de degré fixé.

Proposition — Identification des coefficients

Deux polynômes sont égaux (en tant que fonctions sur $\mathbb{R}$) si et seulement s'ils ont les mêmes coefficients — en les écrivant tous deux jusqu'à un degré commun, en complétant le plus court par des coefficients nuls. En particulier, si un polynôme $P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n$ prend la valeur $0$ en tout réel, alors tous ses coefficients sont nuls : $a_0 = a_1 = \dots = a_n = 0$. On admet ce résultat à ce niveau (il garantit que les coefficients, et donc le degré, sont bien définis une fois un polynôme donné comme fonction).

Méthode — Identifier des coefficients

Pour trouver les coefficients d'un polynôme écrit sous une autre forme, on développe tout, on regroupe les termes de même degré, puis on identifie les coefficients des puissances égales de $x$ des deux côtés. L'identification des coefficients rend la procédure non ambiguë : les deux membres ont les mêmes coefficients si et seulement s'ils définissent le même polynôme.

Exemple

Trouver les nombres réels $a$, $b$, $c$ tels que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $$x^3 + 2x^2 - x + 3 = (x + 1)(x^2 + a x + b) + c.$$

Correction

On développe le membre de droite : $$\begin{aligned} (x + 1)(x^2 + ax + b) + c &= x^3 + ax^2 + bx + x^2 + ax + b + c && \text{(distributivité)} \\ &= x^3 + (a + 1) x^2 + (a + b) x + (b + c). && \text{(on regroupe)} \end{aligned}$$ Par identification des coefficients avec $x^3 + 2x^2 - x + 3$ : $$\begin{aligned} a + 1 &= 2 && \text{(coefficient de $x^2$)} \\ a + b &= -1 && \text{(coefficient de $x$)} \\ b + c &= 3. && \text{(terme constant)} \end{aligned}$$ La première équation donne $a = 1$, puis $b = -1 - a = -2$, et $c = 3 - b = 5$. On obtient $a = 1$, $b = -2$, $c = 5$.

Compétences à pratiquer

Identifier des coefficients
Vérifier une égalité polynomiale

I.2 Degré et l'ensemble $\mathbb{R}_n[X]$

Un seul nombre contrôle tout d'un polynôme — sa croissance à l'infini, le nombre maximal de racines qu'il peut avoir, le degré de tout produit dans lequel il apparaît. Ce nombre est le degré : la plus grande puissance qui apparaît effectivement.

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Définition — Degré, coefficient dominant, $\mathbb{R}_n[X]$

Soit $P \ne 0$ un polynôme. Son degré $\deg P$ est le plus grand indice $k$ tel que $a_k \ne 0$. Le coefficient correspondant $a_{\deg P}$ est le coefficient dominant de $P$ et $a_0$ est le terme constant. Un polynôme de coefficient dominant $1$ est unitaire. Par convention le polynôme nul a pour degré $\deg 0 = -\infty$. Pour $n \in \mathbb{N}$, l'ensemble $$\mathbb{R}_n[X] = \{\, P \in \mathbb{R}[X] \mid \deg P \le n \,\}$$ est l'ensemble des polynômes de degré au plus $n$ — il contient $0$, les constantes non nulles (degré $0$), et tous les polynômes de degré $1, 2, \dots, n$.

Exemple

$\deg(2X^3 + X - 1) = 3$, coefficient dominant $2$, terme constant $-1$ ;
$\deg(X^n) = n$, coefficient dominant $1$ (un monôme unitaire) ;
$\deg(7) = 0$ (constante non nulle) ;
$\deg 0 = -\infty$ par convention.

Exemple

Le degré se lit une fois le polynôme entièrement développé. Pour $(X - 1)(X + 3)$, on développe d'abord : $$(X - 1)(X + 3) = X^2 + 3X - X - 3 = X^2 + 2X - 3,$$ donc le degré est $2$ — et non le nombre de facteurs. Les polynômes de $\mathbb{R}_2[X]$ sont exactement $0$, les constantes non nulles, les affines $aX + b$ ($a \ne 0$) et les trinômes $aX^2 + bX + c$ ($a \ne 0$) : degrés $-\infty, 0, 1, 2$.

Méthode — Nommer un polynôme par son degré

On développe et on réduit, puis on cherche la plus grande puissance à coefficient non nul : le degré $0$ est une constante non nulle, le degré $1$ est affine, le degré $2$ quadratique (un trinôme), le degré $3$ cubique, le degré $4$ quartique. On lit le coefficient dominant (facteur de la plus haute puissance) et le terme constant (la valeur en $x = 0$).

Compétences à pratiquer

Calculer le degré
Lire le coefficient dominant

II Opérations sur les polynômes

II.1 Somme, produit et degré

Additionner deux polynômes, en multiplier un par un réel, ou en multiplier deux d'entre eux redonne à chaque fois un polynôme. Le degré se comporte très simplement vis-à-vis de chacune de ces opérations, et les coefficients dominants suivent directement.

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Proposition — Degré des opérations

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non nuls et $\lambda \in \mathbb{R}^*$. Alors :

$\deg(\lambda P) = \deg P$ ;
$\deg(P + Q) \le \max(\deg P, \deg Q)$, avec égalité dès que $\deg P \ne \deg Q$ ;
$\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$, et le coefficient dominant de $PQ$ est le produit des coefficients dominants de $P$ et $Q$.

Avec la convention $\deg 0 = -\infty$ et l'arithmétique $-\infty + d = -\infty$ pour tout $d \in \mathbb{N} \cup \{-\infty\}$ (en particulier $-\infty + (-\infty) = -\infty$), la règle du produit $\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$ reste valable lorsque l'un ou les deux des $P, Q$ est le polynôme nul.

Preuve

Écrivons $\deg P = n$ de coefficient dominant $a_n \ne 0$, et $\deg Q = m$ de coefficient dominant $b_m \ne 0$.

Produit scalaire. Multiplier par $\lambda \ne 0$ change le terme dominant en $\lambda a_n \, X^n$, avec $\lambda a_n \ne 0$, donc $\deg(\lambda P) = n$.
Somme. Aucune puissance supérieure à $\max(n, m)$ ne peut apparaître dans $P + Q$, d'où $\deg(P + Q) \le \max(n, m)$. Si $n \ne m$, disons $n > m$, le terme $a_n X^n$ n'a pas de partenaire pour l'annuler, donc il subsiste et $\deg(P + Q) = n = \max(n, m)$.
Produit. La plus haute puissance que l'on puisse obtenir dans $PQ$ est $X^{n+m}$, de coefficient le produit des coefficients dominants : $$PQ = a_n b_m \, X^{n+m} + \text{(termes de degré inférieur)}.$$ Comme $a_n \ne 0$ et $b_m \ne 0$, le réel $a_n b_m$ est non nul, donc le terme $X^{n+m}$ ne s'annule pas et $\deg(PQ) = n + m$ de coefficient dominant $a_n b_m$.

Lorsque $P = 0$ ou $Q = 0$, le produit vaut $0$ et la règle annoncée donne $\deg(PQ) = -\infty$, conforme à $-\infty + d = -\infty$.

Exemple

Prenons $P = 2X^3 - X$ et $Q = 3X^2 + X + 2$. Leur produit se développe terme à terme : $$\begin{aligned} PQ &= (2X^3 - X)(3X^2 + X + 2) \\ &= 6X^5 + 2X^4 + 4X^3 - 3X^3 - X^2 - 2X && \text{(on développe terme à terme)} \\ &= 6X^5 + 2X^4 + X^3 - X^2 - 2X. && \text{(on regroupe)} \end{aligned}$$ Le degré est $5 = 3 + 2 = \deg P + \deg Q$, de coefficient dominant $6 = 2 \times 3$, comme annoncé.

Exemple

Le degré d'une somme peut chuter strictement en dessous de $\max(\deg P, \deg Q)$ lorsque les deux termes dominants s'annulent. Avec $P = X^2 + X$ et $Q = -X^2$, tous deux de degré $2$ : $$P + Q = (X^2 + X) + (-X^2) = X,$$ donc $\deg(P + Q) = 1 < 2 = \max(\deg P, \deg Q)$. L'inégalité stricte a lieu précisément parce que les deux degrés étaient égaux et que les deux coefficients dominants ($1$ et $-1$) se sont annulés. Lorsque les degrés diffèrent, le plus grand l'emporte toujours.

Méthode — Calculer un produit et son degré

Pour un produit, on développe et on regroupe ; on vérifie que le degré est la somme des deux degrés et que le coefficient dominant est le produit des coefficients dominants. Pour contrôler le degré d'une somme, on surveille les deux termes dominants : ils ne peuvent s'annuler que lorsque les deux degrés sont égaux et les deux coefficients dominants opposés. (Pour une différence $P - Q$, c'est la même règle appliquée à $P + (-Q)$ : les termes dominants s'annulent lorsque les degrés sont égaux et que les coefficients dominants de $P$ et $Q$ sont eux-mêmes égaux.)

Exemple

Calculer le degré, le coefficient dominant et le terme constant du produit $R = (X^2 + 1)(X^3 - X + 2)$.

Correction

$\deg(X^2 + 1) = 2$ de coefficient dominant $1$ et terme constant $1$ ; $\deg(X^3 - X + 2) = 3$ de coefficient dominant $1$ et terme constant $2$. Par la règle du produit, $\deg R = 2 + 3 = 5$ et le coefficient dominant vaut $1 \times 1 = 1$. Le terme constant d'un produit est le produit des termes constants (la seule façon d'obtenir $X^0$ est de multiplier $X^0$ par $X^0$), donc il vaut $1 \times 2 = 2$. On vérifie en développant : $$\begin{aligned} R &= (X^2 + 1)(X^3 - X + 2) \\ &= X^5 - X^3 + 2X^2 + X^3 - X + 2 && \text{(distributivité)} \\ &= X^5 + 2X^2 - X + 2. && \text{(les deux termes en $X^3$ s'annulent)} \end{aligned}$$ Coefficient dominant $1$, terme constant $2$, $\deg R = 5$.

Compétences à pratiquer

Calculer des produits
Borner ou calculer un degré

III Division euclidienne

III.1 Division euclidienne

Comme pour les entiers, où tout $a$ s'écrit $a = bq + r$ avec $0 \le r < b$ pour un entier $b$ strictement positif, tout polynôme $A$ se découpe en un multiple d'un polynôme non nul $B$ plus un reste $R$ de degré strictement inférieur. C'est l'analogue polynomial de $17 = 5 \times 3 + 2$, et on l'utilise ici sur des exemples — notamment pour factoriser un polynôme une fois une racine connue.

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Théorème — Division euclidienne dans $\mathbb{R}[X]$ — admise

Pour tous $A, B \in \mathbb{R}[X]$ avec $B \ne 0$, il existe un unique couple $(Q, R) \in (\mathbb{R}[X])^2$ tel que $$A = B Q + R \qquad \text{et} \qquad \deg R < \deg B.$$ $Q$ est le quotient et $R$ le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$.

Résultat admis

La démonstration de ce théorème n'est pas exigible à ce niveau et est omise ; ce qui est à maîtriser, c'est l'algorithme donné dans la Méthode ci-dessous.

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Méthode — Effectuer une division euclidienne à la main

L'algorithme est l'analogue polynomial de la division posée des entiers. On écrit $A$ en haut, $B$ à droite. À chaque étape :

Repérer le terme dominant du dividende courant (initialement $A$, ensuite $A$ moins ce qui a déjà été soustrait), disons $a_d X^d$ avec $d \ge \deg B$.
Ajuster sur le terme dominant de $B$ : prendre $c X^{d - \deg B}$ où $c = a_d / (\text{coefficient dominant de } B)$. Ce monôme est la prochaine contribution au quotient.
Soustraire $c X^{d - \deg B} \cdot B$ du dividende courant ; le terme en $X^d$ s'annule par construction, donc le degré du dividende courant baisse.
Arrêter lorsque le degré du dividende courant est strictement inférieur à $\deg B$. Les monômes accumulés forment le quotient $Q$, et le dividende courant à cet instant est le reste $R$.

Exemple

Effectuer la division euclidienne de $A = X^3 + X^2 - 2 X + 3$ par $B = X^2 - X + 1$.

Correction

$\deg A = 3$, $\deg B = 2$, donc $\deg Q = 1$ et $\deg R \le 1$.
Étape 1. Terme dominant de $A$ : $X^3 = X \cdot X^2$. On soustrait $X \cdot B$ : $$\begin{aligned} A_1 &= A - X \cdot B \\ &= (X^3 + X^2 - 2 X + 3) - X(X^2 - X + 1) \\ &= (X^3 + X^2 - 2 X + 3) - (X^3 - X^2 + X) \\ &= 2 X^2 - 3 X + 3. \end{aligned}$$ Étape 2. Terme dominant de $A_1$ : $2 X^2 = 2 \cdot X^2$. On soustrait $2 \cdot B$ : $$\begin{aligned} A_2 &= A_1 - 2 \cdot B \\ &= (2 X^2 - 3 X + 3) - 2(X^2 - X + 1) \\ &= (2 X^2 - 3 X + 3) - (2 X^2 - 2 X + 2) \\ &= - X + 1. \end{aligned}$$ $\deg A_2 = 1 < 2 = \deg B$ : arrêt. Quotient $Q = X + 2$, reste $R = -X + 1$. Vérification : $B Q + R = (X^2 - X + 1)(X + 2) + (-X + 1) = X^3 + 2 X^2 - X^2 - 2 X + X + 2 - X + 1 = X^3 + X^2 - 2 X + 3 = A$ $\checkmark$

Compétences à pratiquer

Effectuer une division euclidienne

IV Racines et le cas du degré 2

IV.1 Racines et le facteur $(X - \alpha)$

Une racine d'un polynôme est une valeur de $x$ où la courbe rencontre l'axe horizontal. Le fait fondamental du chapitre est qu'une racine ne disparaît jamais sans laisser de trace : elle laisse derrière elle un facteur $(X - \alpha)$, ce qui permet de factoriser le polynôme étape par étape jusqu'à ce qu'il ne reste plus aucune racine réelle. Le discriminant du second degré vu au lycée est rappelé librement dans les exemples ci-dessous (il est étudié systématiquement dans le sous-paragraphe suivant).

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Définition — Racine

Un nombre réel $\alpha$ est une racine (ou un zéro) d'un polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$ lorsque $P(\alpha) = 0$. Graphiquement, $\alpha$ est une racine exactement lorsque la courbe de la fonction $P$ croise ou touche l'axe des abscisses au point d'abscisse $\alpha$.

Exemple

$X + 1$ a pour seule racine $-1$ ;
$X^2 - 5 X + 6 = (X - 2)(X - 3)$ a les deux racines $2$ et $3$ ;
$X^3 - 1$ a pour seule racine réelle $1$ (alors $X^3 - 1 = (X - 1)(X^2 + X + 1)$, et le trinôme $X^2 + X + 1$ a pour discriminant $1 - 4 = -3 < 0$, donc aucune racine réelle).

Proposition — Factoriser par une racine

Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ non nul et $\alpha \in \mathbb{R}$. Alors $\alpha$ est racine de $P$ si et seulement si l'on peut mettre $(X - \alpha)$ en facteur, c'est-à-dire qu'il existe un polynôme $Q \in \mathbb{R}[X]$ tel que $$P = (X - \alpha) \, Q,$$ et alors $\deg Q = \deg P - 1$.

Preuve

On effectue la division euclidienne de $P$ par $X - \alpha$ (un polynôme non nul de degré $1$) : le reste est de degré $< 1$, donc c'est une constante $c$, et $$P = (X - \alpha) \, Q + c.$$ On évalue en $x = \alpha$ : comme $\alpha - \alpha = 0$, on obtient $P(\alpha) = 0 \cdot Q(\alpha) + c = c$, donc $c = P(\alpha)$. Par conséquent $\alpha$ est racine ($P(\alpha) = 0$) si et seulement si $c = 0$, c'est-à-dire si et seulement si $P = (X - \alpha) Q$. Dans ce cas la règle du produit donne $\deg P = \deg(X - \alpha) + \deg Q = 1 + \deg Q$, donc $\deg Q = \deg P - 1$.

Méthode — Factoriser par une racine connue

Une fois une racine $\alpha$ de $P$ connue (par inspection : on essaie $0, 1, -1, 2, -2$ pour des polynômes à coefficients entiers ou rationnels simples), le quotient $Q$ a un degré de moins. On peut écrire $P = (X - \alpha)(b_{n-1} X^{n-1} + \dots + b_0)$ avec des coefficients inconnus $b_i$, développer et identifier ; ou bien effectuer la division euclidienne de $P$ par $X - \alpha$.

Exemple

Factoriser $P = X^3 - 3 X + 2$ dans $\mathbb{R}[X]$ à partir d'une racine évidente.

Correction

On teste les petits entiers. $P(1) = 1 - 3 + 2 = 0$, donc $1$ est racine. Par la proposition de factorisation, $P = (X - 1) Q$ avec $\deg Q = 2$. Écrivons $Q = X^2 + b X + c$ et développons : $$\begin{aligned} (X - 1)(X^2 + b X + c) &= X^3 + b X^2 + c X - X^2 - b X - c \\ &= X^3 + (b - 1) X^2 + (c - b) X - c. \end{aligned}$$ Identification avec $X^3 + 0 \cdot X^2 - 3 X + 2$ : $$\begin{aligned} b - 1 &= 0 && \text{(coefficient de $X^2$)} \\ c - b &= -3 && \text{(coefficient de $X$)} \\ -c &= 2. && \text{(terme constant)} \end{aligned}$$ La première donne $b = 1$ ; la troisième donne $c = -2$ ; la seconde est vérifiée ($c - b = -2 - 1 = -3$ $\checkmark$). Donc $Q = X^2 + X - 2$. On factorise $Q$ : discriminant $1 + 8 = 9$, racines $\frac{-1 \pm 3}{2}$, soit $1$ et $-2$, donc $Q = (X - 1)(X + 2)$. D'où $$P = (X - 1) \cdot (X - 1)(X + 2) = (X - 1)^2 (X + 2).$$

Proposition — Nombre de racines distinctes

Un polynôme non nul $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré $n$ a au plus $n$ racines réelles distinctes. Par conséquent, un polynôme de $\mathbb{R}_n[X]$ ayant strictement plus de $n$ racines réelles distinctes est le polynôme nul ; un polynôme ayant une infinité de racines est le polynôme nul.

Preuve

On borne le nombre de racines distinctes en factorisant les racines une à une. Supposons $P \ne 0$ de degré $n$ et soient $\alpha_1, \dots, \alpha_r$ des racines réelles deux à deux distinctes de $P$. Factoriser $\alpha_1$ donne $P = (X - \alpha_1) Q_1$ avec $\deg Q_1 = n - 1$. Pour toute autre racine $\alpha_2 \ne \alpha_1$, $$0 = P(\alpha_2) = (\alpha_2 - \alpha_1) \, Q_1(\alpha_2),$$ et comme $\alpha_2 - \alpha_1 \ne 0$ on obtient $Q_1(\alpha_2) = 0$ : $\alpha_2$ est racine de $Q_1$. En répétant, après avoir factorisé $\alpha_1, \dots, \alpha_r$ tour à tour on obtient $P = (X - \alpha_1)(X - \alpha_2) \cdots (X - \alpha_r) \, Q_r$ avec $Q_r \ne 0$ (sinon $P = 0$). En prenant les degrés, $n = \deg P = r + \deg Q_r \ge r$ car $\deg Q_r \ge 0$, d'où $r \le n$ : un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines réelles distinctes. Maintenant, si $P \in \mathbb{R}_n[X]$ avait strictement plus de $n$ racines distinctes, il ne pourrait pas être un polynôme non nul de degré $\le n$ (la borne qu'on vient de prouver serait violée), donc $P = 0$ (qui s'annule partout) ; le même argument force $P = 0$ lorsque $P$ a une infinité de racines.

Compétences à pratiquer

Tester des racines et factoriser par $(X-\alpha)$
Compter les racines et factoriser

IV.2 Le cas du degré 2

Le trinôme $a x^2 + b x + c$ ($a \ne 0$) est le plus petit polynôme non affine, et celui que le programme traite complètement. La forme canonique et le discriminant du lycée en donnent les racines, la factorisation et le signe, et relient les coefficients à la somme et au produit des racines.

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Proposition — Le trinôme du degré 2

Soit $P = a X^2 + b X + c$ avec $a \ne 0$. Posons $\Delta = b^2 - 4 a c$ (le discriminant). Trois cas :

$\Delta > 0$ : $P$ a deux racines réelles distinctes $$x_1 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2 a}, \qquad x_2 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2 a},$$ et $P = a (X - x_1)(X - x_2)$.
$\Delta = 0$ : $P$ a une unique racine $x_0 = - \frac{b}{2 a}$, appelée racine double, et $P = a (X - x_0)^2$.
$\Delta < 0$ : $P$ n'a aucune racine réelle ; le trinôme garde un signe constant sur $\mathbb{R}$, égal au signe de $a$, et ne peut pas s'écrire comme produit de deux polynômes réels de degré $1$ — on dit qu'il est irréductible sur $\mathbb{R}$.

Preuve

On utilise la forme canonique. On factorise $a$, puis on complète le carré à l'intérieur de la parenthèse : $$\begin{aligned} P(x) &= a x^2 + b x + c \\ &= a \biggl( x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} \biggr) && \text{(on factorise $a$)} \\ &= a \biggl( \Bigl(x + \frac{b}{2 a}\Bigr)^2 - \frac{b^2}{4 a^2} + \frac{c}{a} \biggr) && \text{(on complète le carré)} \\ &= a \biggl( \Bigl(x + \frac{b}{2 a}\Bigr)^2 - \frac{\Delta}{4 a^2} \biggr). && \text{(dénominateur commun)} \end{aligned}$$ On discute le signe de $\Delta$ :

$\Delta > 0$ : la parenthèse est une différence de carrés, donnant les deux racines $x = -b/(2a) \pm \sqrt{\Delta}/(2a)$, soit $x_{1,2} = (-b \pm \sqrt{\Delta})/(2a)$, et $P = a (X - x_1)(X - x_2)$.
$\Delta = 0$ : la parenthèse se réduit à $(x + b/(2 a))^2$, donc $P = a (X - x_0)^2$ avec $x_0 = -b/(2 a)$.
$\Delta < 0$ : $-\Delta/(4 a^2) > 0$, donc la parenthèse $(x + b/(2 a))^2 - \Delta/(4a^2)$ est strictement positive pour tout réel $x$. Donc $P(x)$ a partout le signe de $a$, n'atteint jamais $0$, et ne peut pas se factoriser en produit de deux polynômes réels de degré $1$ (il faudrait une racine réelle).

Proposition — Somme et produit des deux racines

Soit $P = a X^2 + b X + c$ avec $a \ne 0$ et $\Delta = b^2 - 4 a c \ge 0$. Notons $x_1, x_2$ les deux racines réelles (avec $x_1 = x_2$ lorsque $\Delta = 0$). Alors $$x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.$$

Preuve

Par la proposition précédente $P = a (X - x_1)(X - x_2)$. On développe : $$\begin{aligned} a (X - x_1)(X - x_2) &= a \bigl( X^2 - (x_1 + x_2) X + x_1 x_2 \bigr) && \text{(on développe)} \\ &= a X^2 - a (x_1 + x_2) X + a \, x_1 x_2. \end{aligned}$$ L'identification avec $a X^2 + b X + c$ donne $- a (x_1 + x_2) = b$ et $a \, x_1 x_2 = c$, c'est-à-dire $x_1 + x_2 = - b/a$ et $x_1 x_2 = c/a$.

Méthode — Factoriser un trinôme du degré 2

On calcule $\Delta = b^2 - 4 a c$ et on discute. Si $\Delta > 0$, on obtient les deux racines par la formule et on écrit $P = a (X - x_1)(X - x_2)$. Si $\Delta = 0$, la racine est $-b/(2a)$ et $P = a (X - x_0)^2$. Si $\Delta < 0$, on laisse $P$ non factorisé sur $\mathbb{R}$ (il est irréductible) et on lit le signe de $P$ comme le signe de $a$.

Exemple

Factoriser $P = 2 X^2 - X - 1$ dans $\mathbb{R}[X]$.

Correction

$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 > 0$. Les deux racines réelles sont $$x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{4} = \frac{1 - 3}{4} = - \frac{1}{2}, \qquad x_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1.$$ D'où $P = 2 (X - 1)(X + \tfrac{1}{2}) = (X - 1)(2 X + 1)$. Vérification : $(X - 1)(2 X + 1) = 2 X^2 + X - 2 X - 1 = 2 X^2 - X - 1$ $\checkmark$. (Recoupement par les relations de Viète : $x_1 + x_2 = -\tfrac{1}{2} + 1 = \tfrac{1}{2} = -b/a = 1/2$ $\checkmark$, $x_1 x_2 = -\tfrac{1}{2} = c/a = -1/2$ $\checkmark$.)

Proposition — Signes des coefficients et signes des racines

Soit $P = a X^2 + b X + c$ avec $a \ne 0$ et $\Delta = b^2 - 4 a c \ge 0$, de racines réelles $x_1, x_2$. Par les relations somme/produit, $x_1 x_2 = c/a$ et $x_1 + x_2 = -b/a$, d'où :

si $\dfrac{c}{a} < 0$, alors $x_1 x_2 < 0$ : les deux racines sont de signes opposés ;
si $\dfrac{c}{a} > 0$, alors $x_1 x_2 > 0$ : les deux racines sont de même signe, qui est le signe de $-\dfrac{b}{a}$ (leur somme) — toutes deux positives si $-b/a > 0$, toutes deux négatives si $-b/a < 0$ ;
si $\dfrac{c}{a} = 0$ (c'est-à-dire $c = 0$), alors $x_1 x_2 = 0$ : une racine est $0$ et l'autre vaut $-\dfrac{b}{a}$.

En particulier, en supposant $\Delta \ge 0$ pour que les racines soient réelles : lorsque $a$, $b$ et $c$ sont tous de même signe, les deux racines sont négatives ; lorsque $a$ et $c$ sont de même signe mais $b$ de signe opposé, les deux racines sont positives. (Le signe des coefficients seul ne garantit pas l'existence de racines réelles : $X^2 + X + 1$ a $\Delta = -3 < 0$ et aucune racine réelle.)

Preuve

Supposons $\Delta \ge 0$, de sorte que les racines réelles $x_1, x_2$ existent, et utilisons les relations $x_1 x_2 = c/a$ et $x_1 + x_2 = -b/a$ de la proposition précédente.

Si $c/a < 0$, le produit $x_1 x_2$ est négatif, donc $x_1$ et $x_2$ sont de signes opposés (un produit de deux réels est négatif exactement lorsqu'ils sont de signes opposés).
Si $c/a > 0$, le produit est positif, donc $x_1$ et $x_2$ sont tous deux non nuls de même signe. Leur signe commun est celui de leur somme $x_1 + x_2 = -b/a$ : positif si $-b/a > 0$, négatif si $-b/a < 0$.
Si $c/a = 0$, le produit est $0$, donc (au moins) une racine est $0$ ; la somme $-b/a$ est alors l'autre racine.

Les deux cas « en particulier » se lisent sur ces signes : si $a, b, c$ ont le même signe alors $c/a > 0$ et $-b/a < 0$ (deux racines négatives) ; si $a, c$ ont le même signe et $b$ le signe opposé alors $c/a > 0$ et $-b/a > 0$ (deux racines positives).

Exemple

Sans calculer les racines, déterminer leurs signes pour $P = X^2 - 5 X + 6$ et pour $Q = X^2 + X - 6$.

Correction

Pour $P = X^2 - 5X + 6$ : $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$, et $\Delta = 25 - 24 = 1 \ge 0$. Alors $c/a = 6 > 0$, donc les deux racines ont le même signe ; leur somme $-b/a = 5 > 0$ est positive, donc les deux racines sont positives (en effet $P = (X-2)(X-3)$, racines $2, 3$). Pour $Q = X^2 + X - 6$ : $a = 1$, $b = 1$, $c = -6$, et $\Delta = 1 + 24 = 25 \ge 0$. Alors $c/a = -6 < 0$, donc les deux racines sont de signes opposés (en effet $Q = (X-2)(X+3)$, racines $2, -3$).

Compétences à pratiquer

Factoriser un trinôme
Utiliser la somme et le produit des racines
Signes des racines d'après les coefficients

V Factorisation

V.1 Factoriser un polynôme

En combinant les deux outils du chapitre — factoriser par chaque racine réelle, et le cas du degré $2$ —, on factorise un polynôme étape par étape : on extrait $(X - \alpha)$ pour chaque racine réelle trouvée, et l'on s'arrête sur un facteur de degré $2$, qui est soit scindé par son discriminant, soit laissé comme bloc irréductible lorsque $\Delta < 0$. On travaille sur les exemples de petit degré demandés par le programme. Ce procédé n'atteint pas tout polynôme — par exemple $X^4 + 1$ n'a aucune racine réelle mais se factorise pourtant sur $\mathbb{R}$ en deux trinômes irréductibles — mais il couvre les polynômes rencontrés dans ce cours, où une racine réelle se trouve par inspection.

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Méthode — Factoriser un polynôme

On cherche une racine réelle $\alpha$ par inspection. Pour des polynômes à coefficients entiers ou rationnels simples, les valeurs naturelles à tester sont les petits entiers $0, 1, -1, 2, -2$. Une fois une racine $\alpha$ trouvée, on factorise par $(X - \alpha)$ (par identification des coefficients ou par division euclidienne), ce qui baisse le degré de $1$ ; on recommence sur le quotient. Lorsqu'il reste un facteur de degré $2$, on le termine avec le discriminant : on le scinde si $\Delta \ge 0$, ou on le laisse comme bloc irréductible si $\Delta < 0$. Sur les polynômes à coefficients entiers de petit degré de ce cours, cette recette se termine toujours ; pour un polynôme général une racine réelle n'est pas forcément rationnelle ni même facile à repérer, donc la méthode s'applique sur des exemples, comme le demande le programme.

Exemple

Factoriser $P = X^3 - 4 X^2 + 5 X - 2$ dans $\mathbb{R}[X]$.

Correction

On teste les petits entiers. $P(1) = 1 - 4 + 5 - 2 = 0$, donc $1$ est racine ; on factorise par $(X - 1)$. En écrivant $P = (X - 1)(X^2 + b X + c)$ et en identifiant le terme constant, $-c = -2$ donc $c = 2$, et le coefficient de $X^2$ donne $b - 1 = -4$ donc $b = -3$ : $$P = (X - 1)(X^2 - 3 X + 2).$$ On termine le facteur de degré $2$, $X^2 - 3X + 2$ : $\Delta = 9 - 8 = 1 > 0$, racines $\frac{3 \pm 1}{2}$, soit $1$ et $2$, donc $X^2 - 3X + 2 = (X - 1)(X - 2)$. D'où $$P = (X - 1)^2 (X - 2).$$ Vérification : le facteur $(X - 1)$ apparaît au carré et $(X - 2)$ une fois ; les degrés s'additionnent $1 + 1 + 1 = 3 = \deg P$ $\checkmark$.

Exemple

Factoriser $P = X^4 - 1$ dans $\mathbb{R}[X]$.

Correction

On utilise l'identité $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $a = X^2$ et $b = 1$ : $$X^4 - 1 = (X^2)^2 - 1^2 = (X^2 - 1)(X^2 + 1).$$ On factorise davantage $X^2 - 1$ en $(X - 1)(X + 1)$ (deux racines réelles simples). Le facteur $X^2 + 1$ a pour discriminant $0 - 4 = -4 < 0$, donc il n'a pas de racine réelle et est irréductible sur $\mathbb{R}$. Par conséquent $$X^4 - 1 = (X - 1)(X + 1)(X^2 + 1).$$ Deux racines réelles simples ($1$ et $-1$) et un facteur irréductible de degré 2 ; les degrés s'additionnent : $1 + 1 + 2 = 4 = \deg P$ $\checkmark$.

Compétences à pratiquer

Factoriser dans $\mathbb{R}[X]$ (exemples à coefficients entiers de petit degré)