Éducation Nationale Française · ECGappliquées

Applications

⌚ ~170 min ▢ 19 blocs ✓ 74 exercices ➣ Prérequis : Logique et ensembles

Vue d'ensemble du chapitre

Une application associe à chaque élément d'un ensemble $E$ un et un seul élément d'un ensemble $F$. C'est le point de vue intuitif, adopté tout au long : une application est donnée par sa règle, et l'on ne fait aucune distinction entre les mots « fonction » et « application » — ils désignent le même objet. Les fonctions du chapitre Fonctions étaient des applications entre ensembles de réels, lues sur leurs courbes ; ici les ensembles sont quelconques — $\mathbb{N}$, l'ensemble $\mathcal{P}(E)$ des parties de $E$, un produit, un ensemble d'applications — et chaque propriété se démontre au lieu de se lire sur un graphique. Trois fils traversent le chapitre. Le premier est le langage : une application, son graphe, l'égalité de deux applications, les familles, la restriction et le prolongement, et la fonction indicatrice, qui fait d'une partie une application à valeurs dans $\{0, 1\}$ et des lois des ensembles des identités algébriques. Le deuxième est la structure : la composition, les injections et les surjections, qui passent aux composées, et les bijections, qui se défont et que deux composées caractérisent, avec la formule $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$. Le troisième est l'action sur les parties : l'image directe $f(A)$ et l'image réciproque $f^{-1}(B)$, qui existe pour toute application, leur comportement inégal vis-à-vis des opérations sur les ensembles, et les fibres, qui découpent l'ensemble de départ en morceaux.
Notations. Une application s'écrit $f \colon E \to F$, et sa règle $x \mapsto f(x)$ : la flèche $\to$ va d'ensemble à ensemble, la flèche $\mapsto$ d'élément à image. L'ensemble des applications de $E$ dans $F$ est $\mathcal{F}(E, F)$ ou $F^E$ ; la restriction de $f$ à une partie $A$ est $f_{\vert A}$ ; l'identité de $E$ est $\mathrm{Id}_E$ ; la composée de $f$ suivie de $g$ est $g \circ f$ ; la fonction indicatrice d'une partie $A$ est $\mathbf{1}_A$ ; l'image directe de $A$ est $f(A)$, l'image réciproque de $B$ est $f^{-1}(B)$, et la fibre d'un élément $y$ est $f^{-1}(\{y\})$ ; l'ensemble des permutations de $E$ est $\mathfrak{S}(E)$, noté $\mathfrak{S}_n$ pour $E = \llbracket 1, n \rrbracket$. Comme dans le chapitre Ensembles, $\lvert A \rvert$ est le nombre d'éléments d'un ensemble fini $A$, le complémentaire d'une partie $A$ de $E$ est $\overline{A}$ ou $E \setminus A$, et $\emptyset$ est l'ensemble vide ; $\mathbb{R}_+$ et $\mathbb{R}_+^*$ sont les ensembles des réels positifs et des réels strictement positifs, et $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. L'ensemble $E$ est l'ensemble de départ de $f \colon E \to F$ et $F$ son ensemble d'arrivée ; un élément $x$ tel que $f(x) = y$ est un antécédent de $y$. Dans un ensemble listé, un $n$-uplet ou un intervalle, le séparateur est la virgule.

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Prérequis

Ce chapitre suppose connu le chapitre Fonctions : fonction, ensemble de définition, ensemble image, image, antécédent, courbe représentative, fonctions paires et impaires, composée de deux fonctions, fonction réciproque d'une bijection, fonctions injectives, surjectives et bijectives au sens de ce chapitre, test de la droite horizontale, symétrie par rapport à la droite d'équation $y = x$, fonctions involutives. Du chapitre Dénombrement : les $k$-uplets et leur nombre $n^k$, les $k$-uplets d'éléments distincts, les permutations et leur nombre $n!$, les $2^n$ parties d'un ensemble à $n$ éléments. Du chapitre Suites : les suites, les relations de récurrence, la notation $\sum_{k=1}^{n}$. Du chapitre Raisonner et rédiger : la sous-section « Rédiger avec les fonctions » (les Méthodes « Définir une fonction » et « Parler d'une fonction », les Pièges des deux flèches et de la parenthèse prime), les schémas de démonstration d'un énoncé universel ou existentiel, de l'unicité, par disjonction des cas, par contraposée, par l'absurde et par analyse-synthèse, la récurrence simple et la récurrence forte, l'irrationalité de $\sqrt{2}$. Du chapitre Logique : les lois des connecteurs (double négation, lois de De Morgan, contraposée), la négation des quantificateurs, l'échange de deux quantificateurs de même sorte, la distributivité de « pour tout » sur « et » et de « il existe » sur « ou ». Tout le chapitre Ensembles : appartenance, inclusion, égalité par double inclusion, description d'un ensemble par une condition et par un paramètre, avec la Méthode « Traduire une appartenance », intervalles d'entiers, $\mathcal{P}(E)$, opérations et leurs lois, réunion et intersection d'une famille de parties, lois de De Morgan et distributivité pour une famille, différence et complémentaire, partitions et leur critère élément par élément, produits cartésiens et leurs parties, $\lvert A \rvert$ et le nombre d'éléments d'une réunion de deux parties. Les exemples et les exercices utilisent aussi : le calcul sur les réels (identités, inégalités, valeur absolue, partie entière, avec $\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1$) ; les racines carrées et cubiques ; les fonctions usuelles (puissances, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus), leurs variations (monotonie, stricte ou non) et leurs limites ; les formules d'addition et de l'angle double du sinus et du cosinus ; la dérivée et le tableau de variations ; la continuité et le théorème des valeurs intermédiaires ; les solutions de $\sin x = a$ et de $\cos x = a$ ; la division euclidienne dans $\mathbb{Z}$ et la parité ; les nombres complexes sous forme algébrique, leur module et leur conjugué.

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I Applications

I.1 Application, graphe, égalité

Le langage des applications

Une application est une règle qui envoie chaque élément d'un ensemble sur un élément d'un autre ensemble. Son langage compte quelques mots — ensemble de départ, ensemble d'arrivée, image d'un élément, antécédents — et deux notions que le chapitre Fonctions laissait implicites : le graphe, qui fait de la règle une partie d'un produit, et l'égalité de deux applications, qui exige le même ensemble de départ et le même ensemble d'arrivée.

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Des fonctions aux applications

Les fonctions du chapitre Fonctions envoient des réels sur des réels, et une formule donne en général leur règle. Une application peut envoyer des entiers sur des ensembles, des parties sur des parties, des couples sur des nombres : $n \mapsto \llbracket 0, n \rrbracket$, $X \mapsto X \cap A$, $(x, y) \mapsto x + y$. Il lui faut un ensemble de départ, un ensemble d'arrivée et une règle qui donne à chaque élément de l'ensemble de départ exactement une image. L'ensemble d'arrivée fait partie de l'application : le changer change l'application, et avec elle la réponse à certaines questions, comme celle de savoir si tout élément de l'ensemble d'arrivée est atteint.

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Définition — Application

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Une application, ou fonction, de $E$ dans $F$ est une règle $f$ qui associe à chaque élément $x$ de $E$ un et un seul élément de $F$, noté $f(x)$ et appelé l'image de $x$ par $f$. On note $f \colon E \to F$, et $x \mapsto f(x)$ sa règle.

$E$ est l'ensemble de départ de $f$, et $F$ son ensemble d'arrivée.
Pour $y \in F$, un élément $x \in E$ tel que $f(x) = y$ est un antécédent de $y$ par $f$. Un élément de $F$ peut n'avoir aucun antécédent, en avoir un, ou plusieurs ; un élément de $E$ a exactement une image.
L'ensemble image de $f$ est l'ensemble des images, décrit par un paramètre : $f(E) = \{f(x) \mid x \in E\}$, de sorte que $y \in f(E) \iff \exists x \in E, \ y = f(x)$. C'est une partie de $F$.
Pour une partie $B$ de $F$, $f$ est à valeurs dans $B$ lorsque $f(E) \subset B$, c'est-à-dire lorsque $f(x) \in B$ pour tout $x \in E$.

C'est le point de vue intuitif : une application est connue par son ensemble de départ, son ensemble d'arrivée et sa règle.

Méthode — Définir une fonction

Pour définir une fonction par une règle — ici de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}$ — quatre rédactions sont correctes :

On note $f$ la fonction de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}$ définie par $x \longmapsto \sqrt{x} + 1$.
On note $f$ la fonction $\begin{cases} \mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R} \\ x \longmapsto \sqrt{x} + 1 \end{cases}$.
On note $f \colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$ la fonction définie pour tout $x \in \mathbb{R}_+$ par $f(x) = \sqrt{x} + 1$.
On pose, pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, $f(x) = \sqrt{x} + 1$, ce qui définit $f \colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$.

La flèche $\longrightarrow$ va d'ensemble à ensemble ; la flèche $\longmapsto$ va d'élément à image. Les deux flèches ne sont pas interchangeables. L'ensemble d'arrivée ($\mathbb{R}$) est précisé même quand il semble évident.

Exemple — Un diagramme sagittal

Une application entre ensembles finis se dessine par un diagramme sagittal : les éléments de $E$ à gauche, ceux de $F$ à droite, et une flèche de chaque $x$ vers son image $f(x)$. Pour $E = \{a, b, c\}$ et $F = \{A, B, C, D\}$, l'application $f$ définie par $f(a) = A$, $f(b) = B$ et $f(c) = D$ est dessinée ci-dessous.

Exactement une flèche part de chaque élément de $E$ : c'est ce qui fait de $f$ une application. Les flèches peuvent arriver n'importe où dans $F$ : l'ensemble image est $f(E) = \{A, B, D\}$, et $C$ n'a pas d'antécédent, puisqu'aucune flèche n'y arrive, alors que $A$ est l'image de $a$ et que $a$ est un antécédent de $A$. Un dessin dans lequel un élément de $E$ n'aurait aucune flèche, ou deux flèches, ne serait pas le diagramme d'une application.

Définition — Graphe d'une application

Le graphe d'une application $f \colon E \to F$ est la partie de $E \times F$ $$ \Gamma_f = \{(x, f(x)) \mid x \in E\}. $$ Pour $(x, y) \in E \times F$, $(x, y) \in \Gamma_f \iff y = f(x)$. Une partie $\Gamma$ de $E \times F$ est le graphe d'une application de $E$ dans $F$ si et seulement si $$ \forall x \in E, \ \exists !\, y \in F, \ (x, y) \in \Gamma. $$ En effet, un graphe $\Gamma_f$ a cette propriété, l'unique $y$ étant $f(x)$ ; réciproquement, si $\Gamma$ l'a, la règle qui envoie chaque $x \in E$ sur l'unique $y \in F$ tel que $(x, y) \in \Gamma$ est une application de $E$ dans $F$, dont le graphe est $\Gamma$.

Exemple — Des droites verticales

Pour une partie $D$ de $\mathbb{R}$ et une application $f \colon D \to \mathbb{R}$, le graphe $\Gamma_f = \{(x, f(x)) \mid x \in D\}$ est une partie du plan $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ : c'est la courbe représentative de $f$. La condition « exactement un $y$ pour chaque $x$ » devient un test géométrique : chaque droite verticale d'équation $x = a$, avec $a \in D$, coupe la courbe en exactement un point, le point $(a, f(a))$.

À gauche, la courbe de $x \mapsto \frac{3x^2 - 5x + 14}{10}$ passe le test : la droite verticale tracée au-dessus de $x$ la coupe une fois, au point $(x, f(x))$. À droite, le cercle de centre $(2, \tfrac{3}{2})$ et de rayon $1$ échoue : un point $(\tfrac{5}{2}, y)$ est sur le cercle lorsque $(\tfrac{5}{2} - 2)^2 + (y - \tfrac{3}{2})^2 = 1$, c'est-à-dire $(y - \tfrac{3}{2})^2 = \tfrac{3}{4}$, donc la droite verticale d'équation $x = \tfrac{5}{2}$ le coupe aux deux points d'ordonnées $\tfrac{3}{2} - \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\tfrac{3}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}$. Le cercle n'est le graphe d'aucune application de $[1, 3]$ dans $\mathbb{R}$ : la règle « à $x$ associer $y$ » donnerait deux valeurs.

Définition — Égalité d'applications

Deux applications $f : E \to F$ et $g : E' \to F'$ sont égales si et seulement si :

leurs ensembles de départ coïncident : $E = E'$ ;
leurs ensembles d'arrivée coïncident : $F = F'$ ;
pour tout $x \in E$, $f(x) = g(x)$.

Oublier l'une des trois conditions rend l'égalité fausse. Les applications $\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ x \mapsto x^2$ et $\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+, \ x \mapsto x^2$ ont la même règle mais des ensembles d'arrivée différents, ce sont donc des applications différentes.

Définition — Ensemble des applications

L'ensemble de toutes les applications d'un ensemble $E$ dans un ensemble $F$ se note $$ \mathcal{F}(E, F) \quad \text{ou} \quad F^E. $$ Pour $E = \llbracket 1, n \rrbracket$, une application $f \colon \llbracket 1, n \rrbracket \to F$ est connue par le $n$-uplet $(f(1), \dots, f(n))$ de ses valeurs, et tout $n$-uplet de $F^n$ est la liste des valeurs d'exactement une telle application : on identifie $F^{\llbracket 1, n \rrbracket}$ à $F^n$. D'où la notation : lorsque $F$ a $p$ éléments, les applications de $\llbracket 1, n \rrbracket$ dans $F$ correspondent aux $n$-uplets d'éléments de $F$, et il y en a $p^n$, comme l'a compté le chapitre Dénombrement.

Exemple — Des éléments d'un ensemble d'applications

$\mathcal{F}(\{1, 2\}, \{a, b\})$ a quatre éléments : une application de $\{1, 2\}$ dans $\{a, b\}$ se choisit par l'image de $1$ et l'image de $2$, chacune égale à $a$ ou à $b$. Écrites comme les couples $(f(1), f(2))$, ce sont $(a, a)$, $(a, b)$, $(b, a)$ et $(b, b)$ ; la première et la dernière sont constantes, avec la même image pour tout élément.
Pour tout ensemble $E$, l'identité de $E$ est l'application $\mathrm{Id}_E \colon E \to E$, $x \mapsto x$, élément de $E^E$. Pour $c \in F$, l'application constante $E \to F$, $x \mapsto c$ est un élément de $F^E$.
Une suite réelle $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est l'application $n \mapsto u_n$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ : un élément de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$.

Compétences à pratiquer

Reconnaître une application ★
Calculer une image ou un antécédent ★
Décider si un graphe définit une application ★
Donner l'ensemble de départ, l'ensemble d'arrivée et l'image ★
Décider si deux applications sont égales ★

II Composition, injections, surjections

II.1 Composition

Deux questions et une chaîne

Deux questions se posent sur une application $f \colon E \to F$, et elles sont indépendantes. Peut-on retrouver chaque $x$ à partir de son image $f(x)$ ? C'est l'injectivité. Tout élément de $F$ est-il l'image d'un élément de $E$ ? C'est la surjectivité. Le chapitre Fonctions lisait les réponses sur une courbe, avec des droites horizontales ; elles se démontrent maintenant, pour des applications entre ensembles quelconques. La composition enchaîne les applications l'une après l'autre, et les deux propriétés passent le long de ces chaînes — avec des réciproques qui ne sont que partielles.

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Une application après l'autre

Appliquer $f$, puis $g$ au résultat, c'est appliquer une nouvelle application, la composée $g \circ f$, lue « $g$ rond $f$ » : l'application écrite à droite agit la première. Ce n'est possible que lorsque les images de $f$ sont dans l'ensemble de départ de $g$, et c'est pourquoi les ensembles passent en premier dans toute composition. La composition est une opération sur les applications : elle est associative, l'identité est neutre pour elle, et elle n'est pas commutative.

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Définition — Composition

Soient $f \colon E \to F$ et $g \colon F \to G$ deux applications. La composée de $f$ suivie de $g$ est l'application $$ g \circ f \colon E \to G, \quad x \mapsto g(f(x)). $$ Elle se lit « $g$ rond $f$ ». Plus généralement, lorsqu'une application $f \colon E \to F$ est à valeurs dans l'ensemble de départ $F'$ d'une application $g \colon F' \to G$, c'est-à-dire $f(E) \subset F'$, on écrit encore $g \circ f$ pour l'application $E \to G$, $x \mapsto g(f(x))$ : en toute rigueur, c'est la composée de $g$ avec l'application de $E$ dans $F'$ qui a la même règle que $f$.

Exemple — Une chaîne de deux applications

Le diagramme en chaîne montre la composée : $f$ envoie $x$ de $E$ dans $F$, puis $g$ envoie $f(x)$ de $F$ dans $G$ ; $g \circ f$ va de $E$ à $G$ en une seule étape.

Pour $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto x^3$ et $g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto x - 1$, les deux composées sont définies. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $$ \begin{aligned} (g \circ f)(x) &= g(x^3) && \text{(définition de la composée)} \\ &= x^3 - 1, \end{aligned} $$ la dernière étape par la règle de $g$, tandis que $$ \begin{aligned} (f \circ g)(x) &= f(x - 1) && \text{(définition de la composée)} \\ &= (x - 1)^3, \end{aligned} $$ la dernière étape par la règle de $f$. En $x = 2$, $(g \circ f)(2) = 7$ et $(f \circ g)(2) = 1$ : les deux applications sont différentes, donc la composition n'est pas commutative. Elles coïncident en $0$, où les deux valent $-1$, et en $1$, où les deux valent $0$ : coïncider en quelques points ne suffit pas à établir l'égalité, qui exige la coïncidence en tout point.

Proposition — Associativité, identité

Soient $f \colon E \to F$, $g \colon F \to G$ et $h \colon G \to H$ trois applications.

Associativité : $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$.
L'identité est neutre : $f \circ \mathrm{Id}_E = f$ et $\mathrm{Id}_F \circ f = f$.

L'associativité permet d'écrire la composée $h \circ g \circ f$, sans parenthèses.

Preuve

On applique la Définition « Égalité d'applications ». Les applications $h \circ (g \circ f)$ et $(h \circ g) \circ f$ ont toutes deux pour ensemble de départ $E$ et pour ensemble d'arrivée $H$ : $g \circ f$ va de $E$ dans $G$ et $h$ de $G$ dans $H$ ; $f$ va de $E$ dans $F$ et $h \circ g$ de $F$ dans $H$. Pour tout $x \in E$, $$ \begin{aligned} \big(h \circ (g \circ f)\big)(x) &= h\big((g \circ f)(x)\big) && \text{(définition de la composée)} \\ &= h\big(g(f(x))\big) && \text{(définition de la composée)} \\ &= (h \circ g)\big(f(x)\big) && \text{(définition de la composée)} \\ &= \big((h \circ g) \circ f\big)(x), \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de la composée encore : les deux applications prennent la même valeur en tout point, donc elles sont égales. De même, $f \circ \mathrm{Id}_E$ et $\mathrm{Id}_F \circ f$ vont de $E$ dans $F$, comme $f$, et pour tout $x \in E$, $$ \begin{aligned} (f \circ \mathrm{Id}_E)(x) &= f\big(\mathrm{Id}_E(x)\big) && \text{(définition de la composée)} \\ &= f(x), \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de l'identité ; de même, $$ \begin{aligned} (\mathrm{Id}_F \circ f)(x) &= \mathrm{Id}_F\big(f(x)\big) && \text{(définition de la composée)} \\ &= f(x), \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de l'identité encore : $f \circ \mathrm{Id}_E$ et $\mathrm{Id}_F \circ f$ prennent la valeur $f(x)$ en tout $x \in E$, donc elles sont toutes deux égales à $f$.

Méthode — Composer : les ensembles d'abord

Pour composer deux applications données par des formules, $f \colon E \to F$ et $g \colon F' \to G$ :

chercher d'abord les ensembles : la composée $g \circ f$ est définie en $x$ lorsque $x$ est dans $E$ et que $f(x)$ est dans $F'$ ; résoudre cette condition, souvent une inéquation, donne la partie $D = \{x \in E \mid f(x) \in F'\}$ de $E$, qui est $E$ tout entier exactement lorsque $f$ est à valeurs dans $F'$ ;
composer ensuite sur $D$ : remplacer $f$ par l'application $\tilde{f} \colon D \to F'$, $x \mapsto f(x)$, qui a la même règle, l'ensemble de départ $D$ et l'ensemble d'arrivée $F'$ ; elle est à valeurs dans l'ensemble de départ de $g$, et la composée $g \circ \tilde{f} \colon D \to G$ s'écrit $g \circ f$ sur $D$ ;
substituer ensuite : pour $x \in D$, $(g \circ f)(x)$ s'obtient en remplaçant, dans la règle de $g$, la variable par $f(x)$ ;
pour décomposer une application $h$ en composée, nommer la quantité calculée en premier, $u = f(x)$, et écrire la suite du calcul comme une application $g$ de $u$ ; alors $h = g \circ f$.

Par exemple, $h \colon x \mapsto \sqrt{1 - x^2}$ s'écrit avec $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto 1 - x^2$, calculée en premier, et $g \colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$, $u \mapsto \sqrt{u}$. Les ensembles ne se raccordent pas tels quels : $f(2) = -3$ n'est pas dans $\mathbb{R}_+$, donc $g \circ f$ n'est pas définie sur tout $\mathbb{R}$. Elle est définie en $x$ lorsque $f(x) \in \mathbb{R}_+$, c'est-à-dire sur $D = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \in \mathbb{R}_+\}$ : $$ \begin{aligned} 1 - x^2 \ge 0 &\iff x^2 \le 1 && \text{(ajout de $x^2$)} \\ &\iff -1 \le x \le 1, \end{aligned} $$ la dernière étape parce qu'un réel a un carré inférieur ou égal à $1$ exactement lorsque sa valeur absolue est inférieure ou égale à $1$. Donc $D = [-1, 1]$. Sur $D$, $f$ est remplacée par $\tilde{f} \colon [-1, 1] \to \mathbb{R}_+$, $x \mapsto 1 - x^2$, qui est à valeurs dans l'ensemble de départ de $g$, et $g \circ f$ est l'application $[-1, 1] \to \mathbb{R}$, $x \mapsto \sqrt{1 - x^2}$. Ainsi $h$ est définie exactement sur $[-1, 1]$, avec $h(x) = \sqrt{1 - x^2}$ pour $x \in [-1, 1]$ : la formule seule ne disait pas où.

Compétences à pratiquer

Calculer une composée ★
Composer deux applications ★
Décomposer une application en composée ★

II.2 Injections

Retrouver un élément à partir de son image

L'injectivité répond à la question « quand on connaît $f(x)$, peut-on retrouver $x$ ? » : on le peut lorsque deux éléments différents n'ont jamais la même image. Le test de la droite horizontale du chapitre Fonctions lit cela sur une courbe : une droite horizontale coupe la courbe d'une fonction injective au plus une fois. Un test sur un dessin ne démontre rien, et la plupart des applications n'ont pas de courbe — applications définies sur $\mathbb{R}^2$, sur $\mathcal{P}(E)$, sur un ensemble d'applications. L'injectivité se démontre par sa définition, ou, pour une fonction réelle, par la stricte monotonie.

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Définition — Injection

Une application $f \colon E \to F$ est injective, ou est une injection, lorsque deux éléments de $E$ qui ont la même image sont égaux : $$ \forall x, x' \in E, \ \big(f(x) = f(x') \Rightarrow x = x'\big). $$ Trois lectures de la même propriété :

tout $y \in F$ a au plus un antécédent par $f$ ;
pour tout $y \in F$, l'équation $f(x) = y$, d'inconnue $x \in E$, a au plus une solution ;
par contraposée, deux éléments différents ont des images différentes : $x \ne x' \Rightarrow f(x) \ne f(x')$.

Exemple — Trois questions d'injectivité

L'application $f \colon \mathbb{R} \setminus \{-2\} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto \frac{2x + 1}{x + 2}$ est injective. Soient $x, x' \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}$, de sorte que $x + 2 \ne 0$ et $x' + 2 \ne 0$ : $$ \begin{aligned} f(x) = f(x') &\iff (2x + 1)(x' + 2) = (2x' + 1)(x + 2) && \text{(multiplication par $(x + 2)(x' + 2) \ne 0$)} \\ &\iff 2xx' + 4x + x' + 2 = 2xx' + 4x' + x + 2 && \text{(développement)} \\ &\iff 3x = 3x' && \text{(soustraction de $2xx' + x + x' + 2$)} \\ &\iff x = x', \end{aligned} $$ la dernière étape en divisant par $3$. Deux éléments qui ont la même image sont égaux.
L'application $s \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $(x, y) \mapsto x + y$ n'est pas injective : $s(1, 0) = 1$ et $s(0, 1) = 1$, alors que $(1, 0) \ne (0, 1)$. La somme de deux nombres ne redonne pas les deux nombres.
L'application $u \colon \mathcal{P}(\mathbb{N}) \to \mathcal{P}(\mathbb{N})$, $X \mapsto X \cup \{0\}$ n'est pas injective : $u(\emptyset) = \{0\}$ et $u(\{0\}) = \{0\}$, alors que $\emptyset \ne \{0\}$. Ajouter $0$ oublie si $0$ y était.

Proposition — La stricte monotonie implique l'injectivité

Soient $D$ et $F$ des parties de $\mathbb{R}$ et $f \colon D \to F$ une application. Si $f$ est strictement monotone sur $D$ — strictement croissante ou strictement décroissante —, alors $f$ est injective.

Preuve

Montrons la lecture contraposée de l'injectivité : pour $x, x' \in D$, $x \ne x' \Rightarrow f(x) \ne f(x')$. Soient $x, x' \in D$ avec $x \ne x'$. Par trichotomie, $x < x'$ ou $x' < x$, le cas $x = x'$ étant exclu ; l'énoncé est symétrique en $x$ et $x'$, donc, quitte à échanger leurs noms, on peut supposer $x < x'$. Si $f$ est strictement croissante, alors $f(x) < f(x')$ ; si $f$ est strictement décroissante, alors $f(x) > f(x')$. Dans les deux cas, les deux images sont strictement ordonnées, donc $f(x) \ne f(x')$. Puisque nous avons prouvé la contraposée, $f$ est injective.
Seconde démonstration : le cas croissant, puis $-f$. Supposons d'abord $f$ strictement croissante, et soient $x, x' \in D$ tels que $f(x) = f(x')$. Si $x < x'$, alors $f(x) < f(x')$ ; si $x' < x$, alors $f(x') < f(x)$ ; les deux contredisent $f(x) = f(x')$. Par trichotomie, $x = x'$ : $f$ est injective. Supposons maintenant $f$ strictement décroissante. L'application $-f \colon D \to \mathbb{R}$, $x \mapsto -f(x)$ est strictement croissante, puisque $x < x'$ donne $f(x) > f(x')$, c'est-à-dire $-f(x) < -f(x')$ ; par le premier cas, elle est injective. Pour $x, x' \in D$, $f(x) = f(x') \iff -f(x) = -f(x')$, donc deux éléments qui ont la même image par $f$ ont la même image par $-f$, et ils sont égaux : $f$ est injective.

Méthode — Démontrer qu'une application est injective

Pour décider si une application $f \colon E \to F$ est injective :

Par la définition : soient $x, x' \in E$ tels que $f(x) = f(x')$ ; transformer cette égalité jusqu'à obtenir $x = x'$ — par équivalences, ou par implications allant de $f(x) = f(x')$ vers $x = x'$.
Par l'équation : pour $y \in F$, résoudre $f(x) = y$ d'inconnue $x \in E$ ; si elle n'a jamais deux solutions différentes, $f$ est injective.
Par la stricte monotonie, pour une fonction réelle définie sur une partie de $\mathbb{R}$ : une fonction strictement monotone est injective, par la Proposition « La stricte monotonie implique l'injectivité » ; la monotonie vient du signe de la dérivée sur un intervalle, ou des opérations sur les fonctions monotones.
Pour réfuter : l'injectivité est un énoncé universel, donc sa négation, $\exists x, x' \in E, \ \big(f(x) = f(x') \text{ et } x \ne x'\big)$, se démontre par deux témoins : deux éléments différents qui ont la même image.

Pour une fonction réelle, le test de la droite horizontale suggère la réponse ; l'une de ces quatre voies la démontre.

Compétences à pratiquer

Lire l'injectivité sur un diagramme ou une courbe ★
Décider si une application est injective ★

II.3 Surjections

Atteindre chaque élément

La surjectivité demande si tout élément de l'ensemble d'arrivée est atteint : chaque $y \in F$ est-il l'image d'au moins un $x \in E$ ? La réponse dépend de l'ensemble d'arrivée autant que de la règle. Une même règle peut atteindre tout élément d'un petit ensemble d'arrivée et en manquer dans un plus grand ; et toute application atteint tout élément de son ensemble image. Démontrer la surjectivité, c'est résoudre une équation : pour chaque $y$, trouver un antécédent.

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Définition — Surjection

Une application $f \colon E \to F$ est surjective, ou est une surjection, ou va de $E$ sur $F$, lorsque tout élément de $F$ a au moins un antécédent : $$ \forall y \in F, \ \exists x \in E, \ y = f(x). $$ De façon équivalente : pour tout $y \in F$, l'équation $f(x) = y$, d'inconnue $x \in E$, a au moins une solution ; ou encore $f(E) = F$, l'inclusion $f(E) \subset F$ étant toujours vraie. En particulier, l'application de $E$ dans $f(E)$ qui a la même règle que $f$ est surjective, chaque élément de $f(E)$ étant par définition l'image d'un élément de $E$ : toute application est surjective sur son ensemble image.

Exemple — Trois questions de surjectivité

L'application $c \colon \mathbb{R} \to [-1, 1]$, $x \mapsto \cos x$ est surjective. Soit $y \in [-1, 1]$. La fonction cosinus est continue sur $[0, \pi]$, avec $\cos 0 = 1$ et $\cos \pi = -1$, donc, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $x \in [0, \pi]$ tel que $\cos x = y$ : $y$ a un antécédent. Avec l'ensemble d'arrivée $\mathbb{R}$, la même règle n'est pas surjective : $\lvert \cos x \rvert \le 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $2$ n'a pas d'antécédent.
L'application $s \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $(x, y) \mapsto x + y$ est surjective : pour $z \in \mathbb{R}$, le couple $(z, 0)$ vérifie $s(z, 0) = z$. En fait $z$ a une infinité d'antécédents, tous les couples $(t, z - t)$ pour $t \in \mathbb{R}$ — une autre façon de voir que $s$ n'est pas injective.
L'application $u \colon \mathcal{P}(\mathbb{N}) \to \mathcal{P}(\mathbb{N})$, $X \mapsto X \cup \{0\}$ n'est pas surjective : toute image $X \cup \{0\}$ contient $0$, donc la partie $\emptyset$, qui ne contient pas $0$, n'a pas d'antécédent. Son ensemble image est l'ensemble des parties de $\mathbb{N}$ qui contiennent $0$, puisqu'une telle partie $Y$ vérifie $u(Y) = Y$.

Proposition — Composition, injections et surjections

Soient $f \colon E \to F$ et $g \colon F \to G$ deux applications.

La composée de deux injections est une injection : si $f$ et $g$ sont injectives, alors $g \circ f$ est injective.
La composée de deux surjections est une surjection : si $f$ et $g$ sont surjectives, alors $g \circ f$ est surjective.
Réciproques partielles : si $g \circ f$ est injective, alors $f$ est injective ; si $g \circ f$ est surjective, alors $g$ est surjective.

Preuve

Deux injections. Supposons $f$ et $g$ injectives, et soient $x, x' \in E$ tels que $(g \circ f)(x) = (g \circ f)(x')$. Alors $$ \begin{aligned} (g \circ f)(x) = (g \circ f)(x') &\Rightarrow g(f(x)) = g(f(x')) && \text{(définition de la composée)} \\ &\Rightarrow f(x) = f(x') && \text{(injectivité de $g$, avec $f(x), f(x') \in F$)} \\ &\Rightarrow x = x', \end{aligned} $$ la dernière étape par l'injectivité de $f$. Ainsi $g \circ f$ est injective.
Deux surjections. Supposons $f$ et $g$ surjectives, et soit $z \in G$. Comme $g$ est surjective, il existe $y \in F$ tel que $z = g(y)$ ; comme $f$ est surjective, il existe $x \in E$ tel que $y = f(x)$. Alors $$ \begin{aligned} z &= g(y) && \text{(choix de $y$)} \\ &= g(f(x)) && \text{(choix de $x$)} \\ &= (g \circ f)(x), \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de la composée : $z$ a un antécédent par $g \circ f$, qui est donc surjective.
Réciproque partielle pour l'injectivité. Supposons $g \circ f$ injective, et soient $x, x' \in E$ tels que $f(x) = f(x')$. Alors $$ \begin{aligned} f(x) = f(x') &\Rightarrow g(f(x)) = g(f(x')) && \text{(application de $g$ aux deux membres)} \\ &\Rightarrow (g \circ f)(x) = (g \circ f)(x') && \text{(définition de la composée)} \\ &\Rightarrow x = x', \end{aligned} $$ la dernière étape par l'injectivité de $g \circ f$. Ainsi $f$ est injective.
Réciproque partielle pour la surjectivité. Supposons $g \circ f$ surjective, et soit $z \in G$. Il existe $x \in E$ tel que $z = (g \circ f)(x)$ ; posons $y = f(x) \in F$. Alors $$ \begin{aligned} z &= (g \circ f)(x) && \text{(choix de $x$)} \\ &= g(f(x)) && \text{(définition de la composée)} \\ &= g(y), \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de $y$ : $z$ a un antécédent par $g$, qui est donc surjective.

Exemple — Les réciproques ne sont que partielles

Soient $\iota \colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$, $x \mapsto x$ l'inclusion de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}$, et $q \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+$, $y \mapsto y^2$. La composée $q \circ \iota \colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$, $x \mapsto x^2$ est injective et surjective :

pour $x, x' \in \mathbb{R}_+$, $x^2 = x'^2$ donne $x = x'$, un réel positif étant la racine carrée de son carré ;
tout $y \in \mathbb{R}_+$ est l'image de $\sqrt{y} \in \mathbb{R}_+$, puisque $(\sqrt{y})^2 = y$.

Pourtant $q$ n'est pas injective, puisque $q(-1) = q(1)$ avec $-1 \ne 1$, et $\iota$ n'est pas surjective, puisque $-1 \in \mathbb{R}$ n'a pas d'antécédent dans $\mathbb{R}_+$. En prenant $f = \iota$ et $g = q$ dans la Proposition « Composition, injections et surjections » : $g \circ f$ est injective bien que $g$ ne le soit pas, et $g \circ f$ est surjective bien que $f$ ne le soit pas. Les réciproques ne sont que partielles : la Proposition donne que $\iota$ est injective et que $q$ est surjective, ce qui est bien le cas.

Méthode — Démontrer qu'une application est surjective

Pour démontrer que $f \colon E \to F$ est surjective, suivre la Méthode « Rédiger une démonstration par analyse-synthèse », une fois pour chaque élément de $F$ :

fixer $y \in F$, un élément quelconque, puisque la surjectivité est un énoncé universel ;
analyse : supposer que $x \in E$ vérifie $f(x) = y$, et en déduire ce que doit être $x$ ;
synthèse : vérifier que le candidat trouvé est dans $E$ et que son image est $y$ ; la synthèse seule est la démonstration, l'analyse n'a fait que trouver le candidat.

Pour réfuter la surjectivité, exhiber un $y \in F$ sans antécédent, ce qui démontre la négation $\exists y \in F, \ \forall x \in E, \ y \ne f(x)$ ; une inégalité vérifiée par toutes les images le fournit souvent.
Par exemple, $f \colon \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}$, $x \mapsto x - \frac{1}{x}$ est surjective. Soit $y \in \mathbb{R}$. Analyse. Si $x \in \mathbb{R}^*$ vérifie $f(x) = y$, alors $$ \begin{aligned} x - \frac{1}{x} = y &\Rightarrow x^2 - 1 = yx && \text{(multiplication par $x \ne 0$)} \\ &\Rightarrow x^2 - yx - 1 = 0 && \text{(soustraction de $yx$)} \\ &\Rightarrow x = \frac{y + \sqrt{y^2 + 4}}{2} \text{ ou } x = \frac{y - \sqrt{y^2 + 4}}{2}, \end{aligned} $$ la dernière étape par la formule des racines d'une équation du second degré, de discriminant $y^2 + 4 > 0$. Synthèse. Le nombre $x = \frac{y + \sqrt{y^2 + 4}}{2}$ est une racine de $x^2 - yx - 1 = 0$, par la même formule ; il n'est pas nul, puisque $0$ n'est pas racine, $0^2 - y \times 0 - 1 = -1$ ; donc $$ \begin{aligned} f(x) &= x - \frac{1}{x} && \text{(définition de $f$)} \\ &= \frac{x^2 - 1}{x} && \text{(réduction au même dénominateur)} \\ &= \frac{yx}{x} && \text{($x^2 - 1 = yx$, équation vérifiée par $x$)} \\ &= y, \end{aligned} $$ la dernière étape en simplifiant par $x \ne 0$. Ainsi $y$ a un antécédent dans $\mathbb{R}^*$. En revanche, l'application $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto e^x$ n'est pas surjective : $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $-1$ n'a pas d'antécédent.

Compétences à pratiquer

Appliquer les règles de la composition ★
Décider si une application est surjective ★

III Bijections

III.1 Bijection et application réciproque

Apparier deux ensembles

Une bijection apparie exactement les éléments de deux ensembles : chaque élément de l'un est associé à un et un seul élément de l'autre. Elle se défait donc, par l'application réciproque, qui renvoie chaque élément à son partenaire. Le chapitre Fonctions a défini la fonction réciproque d'une bijection ; ici les bijections sont caractérisées par deux composées, la réciproque d'une composée se calcule — dans l'ordre inverse —, et les bijections d'un ensemble sur lui-même, les permutations, apparaissent.

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Défaire une application

Une application injective et surjective donne à chaque élément de son ensemble d'arrivée exactement un antécédent. Envoyer chaque élément sur cet antécédent définit une application dans l'autre sens, l'application réciproque, qui défait la première. Deux composées égales à l'identité caractérisent cette situation, et elles donnent la façon la plus efficace de démontrer qu'une application est bijective : deviner la réciproque, et vérifier les deux composées.

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Définition — Bijection

Une application $f \colon E \to F$ est bijective, ou est une bijection de $E$ sur $F$, lorsqu'elle est injective et surjective. De façon équivalente, tout élément de $F$ a exactement un antécédent : $$ \forall y \in F, \ \exists !\, x \in E, \ y = f(x), $$ puisque « exactement un » signifie « au moins un », ce qui est la surjectivité, et « au plus un », ce qui est l'injectivité.

Exemple — Trois diagrammes

Les diagrammes sagittaux séparent les trois propriétés.

À gauche, une injection qui n'est pas une surjection : les flèches arrivent sur des éléments distincts, et $D$ n'est pas atteint.
Au milieu, une surjection qui n'est pas une injection : tout élément est atteint, $A$ deux fois, par $1$ et par $2$.
À droite, une bijection : tout élément est atteint exactement une fois.

Une même règle peut tomber dans des cas différents, selon les ensembles :

$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto x^2$ n'est ni injective, puisque $(-1)^2 = 1^2$, ni surjective, puisque $-1$ n'a pas d'antécédent ;
$\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$, $x \mapsto x^2$ est bijective : un réel positif $y$ a exactement une racine carrée positive, $\sqrt{y}$ ;
$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto e^x$ est injective, puisqu'elle est strictement croissante, mais pas surjective, son ensemble image étant $\mathbb{R}_+^*$ ; et $\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+^*$, $x \mapsto e^x$ est bijective, l'antécédent de $y > 0$ étant $\ln y$.

Définition — Application réciproque

Soit $f \colon E \to F$ une bijection. L'application réciproque de $f$ est l'application $f^{-1} \colon F \to E$ qui envoie chaque $y \in F$ sur son unique antécédent par $f$. Ainsi, pour $x \in E$ et $y \in F$, $$ y = f(x) \iff x = f^{-1}(y). $$

Proposition — Caractérisation des bijections

Soit $f \colon E \to F$ une application. $f$ est bijective si et seulement s'il existe une application $g \colon F \to E$ telle que $g \circ f = \mathrm{Id}_E$ et $f \circ g = \mathrm{Id}_F$. Une telle application $g$ est alors unique : c'est $f^{-1}$.

Preuve

L'implication directe. Supposons $f$ bijective, et prenons $g = f^{-1}$. L'équivalence $y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$ de la Définition « Application réciproque » vaut pour $x \in E$ et $y \in F$. Pour $x \in E$, $$ \begin{aligned} (f^{-1} \circ f)(x) &= f^{-1}\big(f(x)\big) && \text{(définition de la composée)} \\ &= x, \end{aligned} $$ la dernière étape par l'équivalence prise en $y = f(x)$ : son membre de gauche $f(x) = f(x)$ est vrai, donc son membre de droite $x = f^{-1}(f(x))$ est vrai. Pour $y \in F$, $$ \begin{aligned} (f \circ f^{-1})(y) &= f\big(f^{-1}(y)\big) && \text{(définition de la composée)} \\ &= y, \end{aligned} $$ la dernière étape par l'équivalence prise en $x = f^{-1}(y)$ : son membre de droite $f^{-1}(y) = f^{-1}(y)$ est vrai, donc son membre de gauche $y = f(f^{-1}(y))$ est vrai. Les applications $f^{-1} \circ f$ et $\mathrm{Id}_E$ vont de $E$ dans $E$ et prennent les mêmes valeurs, de même que $f \circ f^{-1}$ et $\mathrm{Id}_F$ sur $F$ : $f^{-1} \circ f = \mathrm{Id}_E$ et $f \circ f^{-1} = \mathrm{Id}_F$.
La réciproque. Supposons $g \circ f = \mathrm{Id}_E$ et $f \circ g = \mathrm{Id}_F$, et soit $y \in F$. Existence : l'élément $x = g(y)$ de $E$ a pour image $$ \begin{aligned} f(x) &= f(g(y)) && \text{(définition de $x$)} \\ &= (f \circ g)(y) && \text{(définition de la composée)} \\ &= \mathrm{Id}_F(y) && \text{($f \circ g = \mathrm{Id}_F$)} \\ &= y, \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de l'identité : $x$ est un antécédent de $y$. Unicité : si $x \in E$ vérifie $f(x) = y$, alors $$ \begin{aligned} x &= \mathrm{Id}_E(x) && \text{(définition de l'identité)} \\ &= (g \circ f)(x) && \text{($g \circ f = \mathrm{Id}_E$)} \\ &= g(f(x)) && \text{(définition de la composée)} \\ &= g(y), \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $f(x) = y$. Tout $y \in F$ a donc exactement un antécédent, $g(y)$ : $f$ est bijective, et $f^{-1}(y) = g(y)$ pour tout $y \in F$, c'est-à-dire $f^{-1} = g$, ce qui démontre aussi que $g$ est unique.
Seconde démonstration de la réciproque : par les réciproques partielles. Supposons $g \circ f = \mathrm{Id}_E$ et $f \circ g = \mathrm{Id}_F$. Une identité est injective et surjective, chaque élément étant son propre et unique antécédent. Comme $g \circ f = \mathrm{Id}_E$ est injective, $f$ est injective, par la réciproque partielle pour l'injectivité de la Proposition « Composition, injections et surjections » ; comme $f \circ g = \mathrm{Id}_F$ est surjective, $f$ est surjective, par la réciproque partielle pour la surjectivité, appliquée à $g$ puis à $f$. Donc $f$ est bijective : chaque composée donne une moitié de la bijectivité, d'où le besoin des deux. Pour $y \in F$, $f(g(y)) = y$ : l'élément $g(y)$ est un antécédent de $y$, et $f^{-1}(y)$ est le seul, donc $g(y) = f^{-1}(y)$. Les applications $g$ et $f^{-1}$ vont de $F$ dans $E$ et prennent les mêmes valeurs : $g = f^{-1}$, ce qui démontre aussi que $g$ est unique.

Méthode — Calculer l'application réciproque

Pour démontrer qu'une application $f \colon E \to F$ est bijective et déterminer $f^{-1}$, trois voies, par ordre de préférence :

Une réciproque est devinée : vérifier les deux composées $g \circ f = \mathrm{Id}_E$ et $f \circ g = \mathrm{Id}_F$ — il faut les deux — et conclure par la Proposition « Caractérisation des bijections » : $f$ est bijective et $f^{-1} = g$.
Sinon, résoudre $y = f(x)$ : pour un $y \in F$ quelconque, résoudre l'équation d'inconnue $x \in E$. Une solution pour tout $y$ donne la surjectivité, au plus une donne l'injectivité, et la solution, écrite $x = g(y)$, est $f^{-1}(y)$. Surveiller les ensembles : la solution doit appartenir à $E$, et les valeurs de $y$ pour lesquelles l'équation n'a pas de solution ne sont pas atteintes — alors $f$ n'est pas surjective sur $F$, et son ensemble image est le seul ensemble d'arrivée qui donne une application surjective de même ensemble de départ et de même règle.
Sans expression de la solution, démontrer séparément l'injectivité et la surjectivité, avec les Méthodes « Démontrer qu'une application est injective » et « Démontrer qu'une application est surjective ».

Exemple — Une bijection homographique

Soit $f \colon \mathbb{R} \setminus \{-1\} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto \frac{x - 1}{x + 1}$. Pour $y \in \mathbb{R}$, on résout $y = f(x)$ d'inconnue $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Pour $x \ne -1$, $$ \begin{aligned} y = \frac{x - 1}{x + 1} &\iff y(x + 1) = x - 1 && \text{(multiplication par $x + 1 \ne 0$)} \\ &\iff yx - x = -1 - y && \text{(regroupement des termes en $x$)} \\ &\iff (y - 1)\, x = -(1 + y), \end{aligned} $$ la dernière équivalence par factorisation. Pour $y = 1$, la dernière équation s'écrit $0 = -2$ : elle n'a pas de solution, donc $1$ n'a pas d'antécédent, et $f$ n'est pas surjective sur $\mathbb{R}$. Pour $y \ne 1$, elle a l'unique solution $x = \frac{1 + y}{1 - y}$, et cette solution n'est pas $-1$, puisque $\frac{1 + y}{1 - y} = -1$ donnerait $1 + y = y - 1$, c'est-à-dire $1 = -1$. Ainsi tout $y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$ a exactement un antécédent dans $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$, et $1$ n'en a aucun : $f$ est à valeurs dans $\mathbb{R} \setminus \{1\}$, et l'application $$ \mathbb{R} \setminus \{-1\} \to \mathbb{R} \setminus \{1\}, \quad x \mapsto \frac{x - 1}{x + 1} $$ de même règle est bijective, d'application réciproque $y \mapsto \frac{1 + y}{1 - y}$. La résolution a trouvé l'ensemble d'arrivée. Une vérification en un point : $f(0) = -1$, et $\frac{1 + (-1)}{1 - (-1)} = 0$.
Seconde méthode : trois bijections à la suite. Pour $x \ne -1$, $\frac{x - 1}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$, comme on le voit en mettant $1 - \frac{2}{x + 1}$ sur le dénominateur $x + 1$. La règle de $f$ est donc celle de la composée $c \circ b \circ a$, où

$a \colon \mathbb{R} \setminus \{-1\} \to \mathbb{R}^*$, $x \mapsto x + 1$, de réciproque $s \mapsto s - 1$, puisque $(x + 1) - 1 = x$ et $(s - 1) + 1 = s$, et que $s \ne 0 \iff s - 1 \ne -1$ ;
$b \colon \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^*$, $t \mapsto \frac{2}{t}$, avec $b \circ b = \mathrm{Id}_{\mathbb{R}^*}$, puisque $\frac{2}{2/t} = t$ : par la Proposition « Caractérisation des bijections », $b$ est sa propre réciproque ;
$c \colon \mathbb{R}^* \to \mathbb{R} \setminus \{1\}$, $u \mapsto 1 - u$, de réciproque $v \mapsto 1 - v$, puisque $1 - (1 - u) = u$ et $1 - (1 - v) = v$, et que $u \ne 0 \iff 1 - u \ne 1$.

Par la Proposition « Réciproque et composition », appliquée deux fois, la composée $c \circ b \circ a \colon \mathbb{R} \setminus \{-1\} \to \mathbb{R} \setminus \{1\}$, qui a la règle de $f$, est bijective, et son application réciproque est la composée des applications réciproques prises dans l'ordre inverse : $$ y \ \mapsto \ 1 - y \ \mapsto \ \frac{2}{1 - y} \ \mapsto \ \frac{2}{1 - y} - 1 = \frac{1 + y}{1 - y}, $$ c'est l'application réciproque que la résolution a donnée, obtenue maintenant sans résoudre d'équation. L'ensemble d'arrivée $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ est celui de $c$ : le quotient $\frac{2}{x + 1}$ n'est jamais nul, donc $f$ ne prend jamais la valeur $1$.

Exemple — Des courbes symétriques

Soient $D$ et $F$ des parties de $\mathbb{R}$ et $f \colon D \to F$ une bijection. Pour tous réels $a$ et $b$, $$ \begin{aligned} (a, b) \in \Gamma_f &\iff a \in D \text{ et } b = f(a) && \text{(définition du graphe)} \\ &\iff b \in F \text{ et } a = f^{-1}(b) && \text{(définition de l'application réciproque)} \\ &\iff (b, a) \in \Gamma_{f^{-1}}, \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition du graphe de $f^{-1} \colon F \to D$. La symétrie par rapport à la droite d'équation $y = x$ envoie le point $(a, b)$ sur le point $(b, a)$, donc les courbes de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$ : la symétrie énoncée dans le chapitre Fonctions se démontre en une ligne. Pour $f \colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$, $x \mapsto x^2$, l'application réciproque est $f^{-1} \colon y \mapsto \sqrt{y}$.

Le segment en pointillé relie le point $(x_0, x_0^2)$ de la courbe de $f$ à son symétrique $(x_0^2, x_0)$ sur la courbe de $f^{-1}$ ; ici les deux courbes se rencontrent sur la droite d'équation $y = x$, aux points $(0, 0)$ et $(1, 1)$.

Compétences à pratiquer

Reconnaître une bijection ★
Calculer des valeurs de l'application réciproque ★
Déterminer la réciproque d'une bijection ★

III.2 Réciproque et composition, permutations

Défaire dans l'ordre inverse

Les bijections se comportent bien vis-à-vis de la composition et du passage à la réciproque : la réciproque d'une bijection est une bijection, et une composée de bijections est une bijection, dont la réciproque est la composée des réciproques prises dans l'ordre inverse. Les bijections d'un ensemble $E$ sur lui-même, les permutations de $E$, ont donc pour composées et pour réciproques des permutations de $E$ ; pour $E = \llbracket 1, n \rrbracket$, ce sont les permutations déjà comptées dans le chapitre Dénombrement.

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Proposition — Réciproque et composition

La réciproque d'une bijection est une bijection : si $f \colon E \to F$ est bijective, alors $f^{-1}$ est bijective et $(f^{-1})^{-1} = f$.
La composée de deux bijections est une bijection : si $f \colon E \to F$ et $g \colon F \to G$ sont bijectives, alors $g \circ f$ est bijective et $$ (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}. $$

L'ordre est renversé : pour défaire « mettre le trésor dans un coffre, puis enterrer le coffre », on commence par déterrer le coffre, puis on en sort le trésor. L'autre ordre, $g^{-1} \circ f^{-1}$, n'est même pas défini en général : $f^{-1}$ est à valeurs dans $E$, qui n'est pas l'ensemble de départ de $g^{-1}$.

Preuve

La composée, par une chaîne d'équivalences. Soient $z \in G$ et $x \in E$. La deuxième et la troisième étape appliquent l'équivalence $y = h(t) \iff t = h^{-1}(y)$ de la Définition « Application réciproque », pour la bijection $h = g$, puis pour $h = f$ : $$ \begin{aligned} z = (g \circ f)(x) &\iff z = g(f(x)) && \text{(définition de la composée)} \\ &\iff f(x) = g^{-1}(z) && \text{(réciproque de $g$, avec $f(x) \in F$)} \\ &\iff x = f^{-1}\big(g^{-1}(z)\big) && \text{(réciproque de $f$, avec $g^{-1}(z) \in F$)} \\ &\iff x = (f^{-1} \circ g^{-1})(z), \end{aligned} $$ la dernière étape par la définition de la composée. Ainsi tout $z \in G$ a exactement un antécédent par $g \circ f$, à savoir $(f^{-1} \circ g^{-1})(z)$ : $g \circ f$ est bijective, par la Définition « Bijection », et $(g \circ f)^{-1}(z) = (f^{-1} \circ g^{-1})(z)$ pour tout $z \in G$. Les deux applications vont de $G$ dans $E$, donc $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$.
La réciproque. La même équivalence, lue de droite à gauche, dit que pour $x \in E$ et $y \in F$, $x = f^{-1}(y) \iff y = f(x)$ : tout $x \in E$ a exactement un antécédent par $f^{-1}$, à savoir $f(x)$. Donc $f^{-1}$ est bijective et $(f^{-1})^{-1}(x) = f(x)$ pour tout $x \in E$, c'est-à-dire $(f^{-1})^{-1} = f$.
Seconde démonstration : les deux composées. Par la Proposition « Caractérisation des bijections », $f^{-1} \circ f = \mathrm{Id}_E$ et $f \circ f^{-1} = \mathrm{Id}_F$ ; lues pour l'application $f^{-1}$, ces deux égalités disent que $f$ vérifie la condition de cette Proposition, donc $f^{-1}$ est bijective, de réciproque $f$. Pour la composée, on pose $h = f^{-1} \circ g^{-1} \colon G \to E$. Alors $$ \begin{aligned} (g \circ f) \circ h &= g \circ (f \circ f^{-1}) \circ g^{-1} && \text{(associativité)} \\ &= g \circ \mathrm{Id}_F \circ g^{-1} && \text{(caractérisation, pour $f$)} \\ &= g \circ g^{-1} && \text{(l'identité est neutre)} \\ &= \mathrm{Id}_G, \end{aligned} $$ la dernière étape par la caractérisation, pour $g$ ; et de même $$ \begin{aligned} h \circ (g \circ f) &= f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g) \circ f && \text{(associativité)} \\ &= f^{-1} \circ \mathrm{Id}_F \circ f && \text{(caractérisation, pour $g$)} \\ &= f^{-1} \circ f && \text{(l'identité est neutre)} \\ &= \mathrm{Id}_E, \end{aligned} $$ la dernière étape par la caractérisation, pour $f$. Par la Proposition « Caractérisation des bijections », $g \circ f$ est bijective et $(g \circ f)^{-1} = h$.

Définition — Permutation

Une permutation d'un ensemble $E$ est une bijection de $E$ sur $E$. L'ensemble des permutations de $E$ se note $\mathfrak{S}(E)$, et $\mathfrak{S}_n$ pour $E = \llbracket 1, n \rrbracket$. Par la Proposition « Réciproque et composition », la composée de deux permutations de $E$ et la réciproque d'une permutation de $E$ sont des permutations de $E$ ; $\mathrm{Id}_E$ en est une aussi. Une permutation $\sigma$ de $\llbracket 1, n \rrbracket$ s'écrit comme le $n$-uplet $(\sigma(1), \dots, \sigma(n))$ de ses valeurs, dans lequel chaque élément de $\llbracket 1, n \rrbracket$ apparaît exactement une fois, puisqu'il est atteint exactement une fois : pour $n = 4$, $(3, 1, 4, 2)$ est la permutation $\sigma$ telle que $\sigma(1) = 3$, $\sigma(2) = 1$, $\sigma(3) = 4$ et $\sigma(4) = 2$. Ces $n$-uplets sont les rangements de $1, \dots, n$ en ligne, les permutations du chapitre Dénombrement : il y en a $n!$.

Exemple — Involutions

Une application $f \colon E \to E$ telle que $f \circ f = \mathrm{Id}_E$ s'appelle une involution de $E$. Une involution est bijective et est sa propre réciproque : l'application $g = f$ vérifie $g \circ f = \mathrm{Id}_E$ et $f \circ g = \mathrm{Id}_E$, donc la Proposition « Caractérisation des bijections » donne que $f$ est bijective et que $f^{-1} = f$. En particulier, une involution de $E$ est une permutation de $E$.

$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto -x$ est une involution : $-(-x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
$\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^*$, $x \mapsto \frac{1}{x}$ est une involution : pour $x \ne 0$, $\frac{1}{x}$ est un réel non nul, et $\frac{1}{1/x} = x$.
Pour un ensemble $E$, l'application $\mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(E)$, $X \mapsto E \setminus X$ est une involution : $E \setminus (E \setminus X) = X$ pour toute partie $X$ de $E$, par le double complémentaire de la Proposition « Propriétés du complémentaire ». Une partie et son complémentaire se déterminent l'un l'autre.

Ce sont les fonctions involutives du chapitre Fonctions, désormais sur des ensembles quelconques ; que $f \circ f = \mathrm{Id}_E$ rende $f$ bijective, démontré là-bas pour des fonctions réelles, est ici une application de la caractérisation.

Compétences à pratiquer

Calculer avec des permutations ★
Calculer la réciproque d'une composée ★

IV Exercices de colle

Compétences à pratiquer

Travailler un exercice de colle ★

V Problèmes d'écrit

Compétences à pratiquer

Travailler un problème d'écrit ★
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