Éducation Nationale Française · ECGappliquées

Nombres réels

⌚ ~106 min ▢ 11 blocs ✓ 43 exercices

Vue d'ensemble du chapitre

Les nombres réels sont les nombres de la droite numérique : ceux du chapitre Ensembles de nombres, avec leur arithmétique, rangés de gauche à droite. Le chapitre dit avec précision ce que l'analyse en emploie, et le démontre. Six notions se suivent. L'ordre de $\mathbb{R}$ est total et compatible avec l'addition et avec le produit par un nombre positif : tout le calcul sur les inégalités se déduit de ces deux règles, et les intervalles sont les parties qui épousent l'ordre. La valeur absolue mesure un écart sans signe, et son inégalité triangulaire est le seul théorème que toute estimation emploie. La borne supérieure d'une partie est le plus petit de ses majorants ; ce n'est pas forcément un plus grand élément, qui peut ne pas exister. La propriété de la borne supérieure — toute partie non vide majorée a une borne supérieure — est ce qui distingue $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$ : elle est admise, car la construction de $\mathbb{R}$ n'est pas faite, et c'est le seul résultat admis. Tout le reste en est démontré, dans l'ordre des dépendances : la propriété d'Archimède, l'existence de la partie entière, la structure des intervalles, puis la densité des rationnels, des irrationnels et des décimaux et les approximations décimales. La dernière notion ajoute $-\infty$ et $+\infty$ à la droite réelle, ce qui donne un ensemble ordonné dans lequel toute partie a une borne supérieure.
Notations. Un intervalle s'écrit $[a, b]$, $]a, b[$, $[a, +\infty[$ : le crochet est tourné vers l'extérieur, jamais remplacé par une parenthèse, et le séparateur est la virgule ; le point-virgule ne revient que devant une virgule décimale, comme dans $[1{,}98 \,;\, 2{,}02]$. Les ensembles des réels positifs et des réels strictement positifs sont $\mathbb{R}_+ = [0, +\infty[$ et $\mathbb{R}_+^* = \,]0, +\infty[$, ceux des réels négatifs et des réels strictement négatifs sont $\mathbb{R}_-$ et $\mathbb{R}_-^*$, et $\mathbb{D}$ est l'ensemble des nombres décimaux $\frac{p}{10^n}$, avec $p \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$. La valeur absolue de $x$ est $\lvert x \rvert$ et la distance de $x$ à $y$ est $d(x, y) = \lvert x - y \rvert$. Le plus grand et le plus petit de deux réels sont $\max(x, y)$ et $\min(x, y)$ ; pour une partie $A$ de $\mathbb{R}$, $\max A$, $\min A$, $\sup A$ et $\inf A$ sont son plus grand élément, son plus petit élément, sa borne supérieure et sa borne inférieure. La partie entière de $x$ est $\lfloor x \rfloor$ et sa partie entière par excès est $\lceil x \rceil$ ; la partie fractionnaire s'écrit $x - \lfloor x \rfloor$, sans symbole propre, les accolades étant celles des ensembles. La droite achevée est $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$. Comme dans le chapitre Ensembles, $\emptyset$ est l'ensemble vide, $A \subset B$ signifie que tout élément de $A$ appartient à $B$, et $\llbracket a, b \rrbracket$ est l'ensemble des entiers de $a$ à $b$. En français, « positif » signifie supérieur ou égal à $0$, et l'inégalité stricte s'écrit « strictement supérieur à ».

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Prérequis

Ce chapitre suppose connu le chapitre Ensembles de nombres : les inclusions $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, les nombres décimaux, l'irrationalité de $\sqrt{2}$, les intervalles et leurs notations, la valeur absolue comme distance, et l'encadrement d'un réel. Il suppose connu le chapitre Résoudre des inéquations : les règles de résolution, les tableaux de signes, le quotient de deux expressions, l'encadrement. Des chapitres sur les racines carrées et sur les puissances, il suppose $\sqrt{x}$, le réel positif dont le carré est $x$ — son existence est démontrée par la Proposition « Existence des racines carrées » — et les puissances entières avec leurs règles ; du chapitre Propriétés sur les nombres entiers, la divisibilité, la décomposition en facteurs premiers et la division euclidienne. Du chapitre Raisonner et rédiger, il suppose les schémas de démonstration d'un énoncé universel ou existentiel, de l'unicité, par disjonction des cas, par contraposée, par l'absurde, par contre-exemple et par récurrence, et la Proposition « Plus petit élément » : toute partie non vide de $\mathbb{N}$ a un plus petit élément ; il suppose aussi la discrétion de $\mathbb{Z}$ : un entier $k$ tel que $k > 0$ vérifie $k \ge 1$, conséquence de cette Proposition. Du chapitre Logique, il suppose la négation d'un énoncé quantifié, et du chapitre Ensembles, les opérations sur les ensembles, les intervalles d'entiers $\llbracket a, b \rrbracket$ et les familles indexées par $n$. Du chapitre Relations d'équivalence et d'ordre, il suppose l'ordre total, le majorant et la borne supérieure dans un ensemble ordonné : les Définitions « Majorée, minorée, bornée », « Plus grand élément, plus petit élément » et « Borne supérieure, borne inférieure » sont le cas $(\mathbb{R}, \le)$ de ce cadre, qui est cité et jamais requis dans un exercice. Les exemples et les exercices emploient aussi les fonctions usuelles (fonctions affines, puissances, racine carrée, exponentielle, logarithme, cosinus, sinus) comme formules d'une variable réelle, les nombres $\pi$ et $e$, et la récurrence $10^n > n$. Aucune limite, aucune dérivée et aucune continuité n'est employée ; le théorème des valeurs intermédiaires est seulement cité, comme seconde démonstration de la Proposition « Existence des racines carrées ».

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I Valeur absolue et distance

Un écart sans signe

La valeur absolue d'un réel est sa distance à $0$ : elle oublie le signe et garde la taille. Son seul théorème est l'inégalité triangulaire, et la distance entre deux réels, le contrôle d'une expression au voisinage d'un point et les estimations de l'analyse en sont des applications, avec la règle selon laquelle majorer $\lvert x \rvert$, c'est encadrer $x$.

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I.1 Valeur absolue

Oublier le signe

La valeur absolue $\lvert x \rvert$ est la distance de $x$ à $0$ sur la droite réelle. Elle oublie le signe et produit un réel positif. Deux faits servent plus que tout autre : elle respecte le produit, $\lvert xy \rvert = \lvert x \rvert \, \lvert y \rvert$, et elle vérifie l'inégalité triangulaire $\lvert x + y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$. Un troisième est une règle d'écriture plus qu'un résultat, et il évite l'erreur la plus courante : majorer $\lvert x \rvert$, c'est encadrer $x$.

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Définition — Valeur absolue

Pour $x \in \mathbb{R}$, la valeur absolue de $x$ est le réel $$ \textcolor{colordef}{\lvert x \rvert} = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0, \\ -x & \text{si } x < 0. \end{cases} $$ La valeur absolue est toujours positive. Ses formes équivalentes $\lvert x \rvert = \max(x, -x) = \sqrt{x^2}$ sont données par la Proposition « Valeur absolue et ordre ».

Exemple — La distance à $0$

La valeur absolue d'un nombre est sa distance à $0$ sur la droite réelle, de quelque côté de $0$ que se trouve le nombre.

Ici $\lvert -3 \rvert = 3$ et $\lvert 2 \rvert = 2$ : les nombres $-3$ et $2$ sont aux distances $3$ et $2$ de $0$.

Exemple — Calculs rapides

$\lvert 3 \rvert = 3$, $\lvert -5 \rvert = 5$, $\lvert 0 \rvert = 0$ et $\lvert 3 - 7 \rvert = \lvert -4 \rvert = 4$. En particulier $\lvert 3 - 7 \rvert = \lvert 7 - 3 \rvert$ : la valeur absolue d'une différence ne dépend pas de l'ordre des termes. Quand le signe de l'argument est inconnu, la définition coupe le calcul en deux cas : $\lvert x - 1 \rvert = x - 1$ si $x \ge 1$, et $\lvert x - 1 \rvert = 1 - x$ si $x < 1$. Le graphe de la valeur absolue est formé de deux demi-droites qui se rejoignent à l'origine : la demi-droite d'équation $y = x$ pour $x \ge 0$, et la demi-droite d'équation $y = -x$ pour $x < 0$.

Proposition — Propriétés de $\lvert \cdot \rvert$

Pour tous $x, y \in \mathbb{R}$ :

$\lvert x \rvert \ge 0$, et $\lvert x \rvert = 0 \iff x = 0$.
$\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert$.
$\lvert xy \rvert = \lvert x \rvert \, \lvert y \rvert$.
$\lvert x + y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$ (inégalité triangulaire).
$\big\lvert \lvert x \rvert - \lvert y \rvert \big\rvert \le \lvert x - y \rvert$ (inégalité triangulaire renversée).
Pour $r \ge 0$ : $\lvert x \rvert \le r \iff -r \le x \le r$ (forme à crochets).

Preuve

Chaque point se démontre directement à partir de la définition et de la Proposition « Compatibilité de $\le$ avec les opérations » ; la forme à crochets est démontrée avant l'inégalité triangulaire, qui s'en sert. Soient $x, y \in \mathbb{R}$. Par la définition, $\lvert z \rvert = z$ si $z \ge 0$ et $\lvert z \rvert = -z$ si $z \le 0$, les deux valeurs étant $0$ en $z = 0$ ; en particulier $\lvert z \rvert$ est $z$ ou $-z$, donc $\lvert z \rvert^2 = z^2$.
Positivité. Si $x \ge 0$, alors $\lvert x \rvert = x \ge 0$. Si $x < 0$, alors $\lvert x \rvert = -x > 0$, par la règle de l'addition appliquée à $x < 0$. Donc $\lvert x \rvert \ge 0$. Si $x \ne 0$, alors $\lvert x \rvert > 0$ dans les deux cas : donc $\lvert x \rvert = 0$ force $x = 0$ ; réciproquement $\lvert 0 \rvert = 0$.
Symétrie. Si $x = 0$, les deux membres valent $0$. Si $x > 0$, alors $-x < 0$ et $\lvert -x \rvert = -(-x) = x = \lvert x \rvert$. Si $x < 0$, alors $-x > 0$ et $\lvert -x \rvert = -x = \lvert x \rvert$.
Produit. Les nombres $\lvert xy \rvert$ et $\lvert x \rvert \, \lvert y \rvert$ sont positifs (le second par la règle du produit), et $$ \begin{aligned} \lvert xy \rvert^2 &= (xy)^2 && (\lvert z \rvert^2 = z^2) \\ &= x^2 y^2 && \text{(commutativité du produit)} \\ &= (\lvert x \rvert \, \lvert y \rvert)^2, \end{aligned} $$ la dernière égalité parce que $x^2 = \lvert x \rvert^2$ et $y^2 = \lvert y \rvert^2$. Deux nombres positifs de même carré sont égaux : $\lvert xy \rvert^2 \le (\lvert x \rvert \, \lvert y \rvert)^2$ donne $\lvert xy \rvert \le \lvert x \rvert \, \lvert y \rvert$, et l'inégalité inverse donne la réciproque, par les carrés de nombres positifs (la Proposition « Compatibilité de $\le$ avec les opérations ») ; les deux nombres sont égaux par antisymétrie. Donc $\lvert xy \rvert = \lvert x \rvert \, \lvert y \rvert$.
Encadrement. Pour tout réel $z$, $-\lvert z \rvert \le z \le \lvert z \rvert$. Si $z \ge 0$, alors $\lvert z \rvert = z$ et $$ \begin{aligned} -\lvert z \rvert &= -z && (\lvert z \rvert = z) \\ &\le 0 && \text{(règle de l'addition, $z \ge 0$)} \\ &\le z && (z \ge 0) \\ &= \lvert z \rvert. \end{aligned} $$ Si $z < 0$, alors $\lvert z \rvert = -z$ et $$ \begin{aligned} -\lvert z \rvert &= z && (\lvert z \rvert = -z) \\ &< 0 && (z < 0) \\ &< -z && \text{(règle de l'addition, $z < 0$)} \\ &= \lvert z \rvert. \end{aligned} $$ Forme à crochets. Soit $r \ge 0$. ($\Rightarrow$) Supposons $\lvert x \rvert \le r$. Alors $$ \begin{aligned} -r &\le -\lvert x \rvert && \text{(produit de $\lvert x \rvert \le r$ par $-1$)} \\ &\le x && \text{(encadrement)} \\ &\le \lvert x \rvert && \text{(encadrement)} \\ &\le r, \end{aligned} $$ la dernière inégalité étant l'hypothèse, donc $-r \le x \le r$ par la chaîne d'inégalités. ($\Leftarrow$) Supposons $-r \le x \le r$. Alors $x \le r$ et $-x \le r$ (produit de $-r \le x$ par $-1$). Comme $\lvert x \rvert$ est $x$ ou $-x$, $\lvert x \rvert \le r$.
Inégalité triangulaire. Par l'encadrement, $-\lvert x \rvert \le x \le \lvert x \rvert$ et $-\lvert y \rvert \le y \le \lvert y \rvert$. En additionnant les deux encadrements, $-(\lvert x \rvert + \lvert y \rvert) \le x + y \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$. La forme à crochets avec $r = \lvert x \rvert + \lvert y \rvert \ge 0$ donne $\lvert x + y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$.
Seconde démonstration de l'inégalité triangulaire : par les carrés. Les nombres $\lvert x + y \rvert$ et $\lvert x \rvert + \lvert y \rvert$ sont positifs, donc d'après la Proposition « Compatibilité de $\le$ avec les opérations » il suffit de comparer leurs carrés, et $\lvert x + y \rvert^2 = (x + y)^2$. Or $$ \begin{aligned} (\lvert x \rvert + \lvert y \rvert)^2 - (x + y)^2 &= \lvert x \rvert^2 + 2 \lvert x \rvert \, \lvert y \rvert + \lvert y \rvert^2 - x^2 - 2xy - y^2 && \text{(développement)} \\ &= 2 \lvert xy \rvert - 2xy && (\lvert z \rvert^2 = z^2 \text{, produit}) \\ &= 2(\lvert xy \rvert - xy), \end{aligned} $$ la dernière égalité par factorisation. Comme $xy \le \lvert xy \rvert$ par l'encadrement, ce nombre est positif : $(x + y)^2 \le (\lvert x \rvert + \lvert y \rvert)^2$, donc $\lvert x + y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$.
Inégalité triangulaire renversée. Écrivons $x = (x - y) + y$. L'inégalité triangulaire donne $\lvert x \rvert \le \lvert x - y \rvert + \lvert y \rvert$, donc $\lvert x \rvert - \lvert y \rvert \le \lvert x - y \rvert$. En échangeant $x$ et $y$ on obtient $\lvert y \rvert - \lvert x \rvert \le \lvert y - x \rvert = \lvert x - y \rvert$, par la symétrie appliquée à $y - x = -(x - y)$. Donc $-\lvert x - y \rvert \le \lvert x \rvert - \lvert y \rvert \le \lvert x - y \rvert$, et la forme à crochets avec $r = \lvert x - y \rvert \ge 0$ donne $\big\lvert \lvert x \rvert - \lvert y \rvert \big\rvert \le \lvert x - y \rvert$.
Les six points sont démontrés.

Proposition — Valeur absolue et ordre

Pour $x, y \in \mathbb{R}$ :

$\lvert x \rvert = \max(x, -x) = \sqrt{x^2}$.
$\lvert x \rvert \le y \iff -y \le x \le y$, et $\lvert x \rvert < y \iff -y < x < y$.
$\lvert x \rvert \ge y \iff (x \le -y \text{ ou } x \ge y)$, et $\lvert x \rvert > y \iff (x < -y \text{ ou } x > y)$.
$\lvert x \rvert \le \lvert y \rvert \iff x^2 \le y^2$, et $\lvert x \rvert = \lvert y \rvert \iff x^2 = y^2$.

Preuve

Soient $x, y \in \mathbb{R}$. Rappelons que $\max(a, b)$ est le plus grand de deux réels $a$ et $b$, le plus grand élément de $\{a, b\}$, qui existe parce que l'ordre est total : $\max(a, b) \le c \iff (a \le c \text{ et } b \le c)$, et, puisque $\max(a, b)$ est l'un des deux nombres $a$ et $b$, $\max(a, b) < c \iff (a < c \text{ et } b < c)$.
Les trois formes. Si $x \ge 0$, alors $-x \le 0 \le x$ et $\max(x, -x) = x = \lvert x \rvert$. Si $x < 0$, alors $x < 0 < -x$ et $\max(x, -x) = -x = \lvert x \rvert$. De plus $\lvert x \rvert \ge 0$ et $\lvert x \rvert^2 = x^2$, donc $\lvert x \rvert$ est le réel positif dont le carré est $x^2$, c'est-à-dire $\sqrt{x^2}$.
Les formes à crochets. $$ \begin{aligned} \lvert x \rvert \le y &\iff \max(x, -x) \le y && \text{(premier point)} \\ &\iff (x \le y \text{ et } -x \le y) && \text{(propriété du maximum)} \\ &\iff -y \le x \le y, \end{aligned} $$ la dernière équivalence parce que $-x \le y \iff -y \le x$, par le produit par $-1$. La même chaîne avec des inégalités strictes donne $\lvert x \rvert < y \iff -y < x < y$.
Les formes opposées. Par totalité, $\lvert x \rvert \ge y$ est la négation de $\lvert x \rvert < y$, c'est-à-dire de ($-y < x$ et $x < y$) ; cette négation est ($x \le -y$ ou $x \ge y$). De même $\lvert x \rvert > y$ est la négation de $\lvert x \rvert \le y$, c'est-à-dire de ($-y \le x$ et $x \le y$) ; cette négation est ($x < -y$ ou $x > y$).
Les carrés. Les nombres $\lvert x \rvert$ et $\lvert y \rvert$ sont positifs, donc la Proposition « Compatibilité de $\le$ avec les opérations » donne $\lvert x \rvert \le \lvert y \rvert \iff \lvert x \rvert^2 \le \lvert y \rvert^2$, et $\lvert x \rvert^2 = x^2$, $\lvert y \rvert^2 = y^2$. En l'appliquant dans les deux sens, on obtient $\lvert x \rvert = \lvert y \rvert \iff x^2 = y^2$, par antisymétrie.
Seconde démonstration de la forme à crochets : par disjonction des cas sur le signe de $x$. Si $x \ge 0$, alors $\lvert x \rvert \le y \iff x \le y$ ; et $-y \le x \le y$ se réduit aussi à $x \le y$, car $x \le y$ avec $x \ge 0$ force $y \ge 0$, donc $-y \le 0 \le x$. Si $x < 0$, alors $\lvert x \rvert \le y \iff -x \le y \iff -y \le x$ ; et $-y \le x \le y$ se réduit aussi à $-y \le x$, car $-y \le x < 0$ force $y > 0 > x$, donc $x \le y$. Dans les deux cas les deux énoncés coïncident.

Proposition — Inégalité triangulaire généralisée

Pour tous $x, y \in \mathbb{R}$, et tous réels $x_1, \dots, x_n$ :

$\big\lvert \lvert x \rvert - \lvert y \rvert \big\rvert \le \lvert x + y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$, et $\big\lvert \lvert x \rvert - \lvert y \rvert \big\rvert \le \lvert x - y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$.
$\lvert x_1 + \dots + x_n \rvert \le \lvert x_1 \rvert + \dots + \lvert x_n \rvert$.

Preuve

Les majorations. L'inégalité triangulaire pour $x$ et $y$ est $\lvert x + y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$. Appliquée à $x$ et $-y$, elle donne $\lvert x - y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert -y \rvert = \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$, par la symétrie de la valeur absolue.
Les minorations. La minoration de $\lvert x - y \rvert$ est l'inégalité triangulaire renversée de la Proposition « Propriétés de $\lvert \cdot \rvert$ ». Pour $\lvert x + y \rvert$, on l'applique à $x$ et $-y$ : $$ \begin{aligned} \big\lvert \lvert x \rvert - \lvert y \rvert \big\rvert &= \big\lvert \lvert x \rvert - \lvert -y \rvert \big\rvert && \text{(symétrie de la valeur absolue)} \\ &\le \lvert x - (-y) \rvert, \end{aligned} $$ la dernière inégalité étant l'inégalité triangulaire renversée pour $x$ et $-y$ ; et $\lvert x - (-y) \rvert = \lvert x + y \rvert$.
La somme de $n$ termes, par récurrence. Soit $P(n)$ l'énoncé : pour tous réels $x_1, \dots, x_n$, $\lvert x_1 + \dots + x_n \rvert \le \lvert x_1 \rvert + \dots + \lvert x_n \rvert$. Initialisation. Pour $n = 1$ les deux membres sont égaux. Hérédité. Soit $n \ge 1$ et supposons $P(n)$ (hypothèse de récurrence). Pour des réels $x_1, \dots, x_{n+1}$, $$ \begin{aligned} \lvert x_1 + \dots + x_n + x_{n+1} \rvert &\le \lvert x_1 + \dots + x_n \rvert + \lvert x_{n+1} \rvert && \text{(inégalité triangulaire)} \\ &\le \lvert x_1 \rvert + \dots + \lvert x_n \rvert + \lvert x_{n+1} \rvert, \end{aligned} $$ la dernière inégalité par l'hypothèse de récurrence, $\lvert x_{n+1} \rvert$ étant ajouté aux deux membres. Comme $P(1)$ est vraie et que $P(n) \Rightarrow P(n + 1)$, d'après le principe de récurrence $P(n)$ est vraie pour tout $n \ge 1$.

Piège — majorer dans une valeur absolue

$x \le y$ ne donne pas $\lvert x \rvert \le \lvert y \rvert$. En effet $-3 \le 2$, alors que $\lvert -3 \rvert = 3 > 2 = \lvert 2 \rvert$. Majorer $\lvert x \rvert$, c'est encadrer $x$ : $\lvert x \rvert \le r \iff -r \le x \le r$. Une inégalité d'un seul côté comme $x \le r$ borne $x$, pas $\lvert x \rvert$. Le raisonnement « $x \le 3$ et $y \le 4$, donc $\lvert x + y \rvert \le 7$ » est faux : $x = -10$ et $y = 0$ vérifient les deux hypothèses, et $\lvert x + y \rvert = 10 > 7$. La valeur absolue reste à l'extérieur, et la Méthode « Majorer une valeur absolue » s'applique.

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Méthode — Majorer une valeur absolue

Pour majorer une valeur absolue $\lvert E \rvert$ :

Garder la valeur absolue à l'extérieur jusqu'au bout : une majoration de $E$ seul n'est pas une majoration de $\lvert E \rvert$.
Soit encadrer $E$ : démontrer $-r \le E \le r$, deux inégalités, et conclure $\lvert E \rvert \le r$ par la Proposition « Valeur absolue et ordre ».
Soit découper $E$ en termes et appliquer l'inégalité triangulaire, $\lvert u + v \rvert \le \lvert u \rvert + \lvert v \rvert$ et $\lvert uv \rvert = \lvert u \rvert \, \lvert v \rvert$, puis majorer chaque valeur absolue.

Pour minorer $\lvert E \rvert$, employer la Proposition « Inégalité triangulaire généralisée » : lorsque $E = u + v$ ou $E = u - v$, $\lvert E \rvert \ge \big\lvert \lvert u \rvert - \lvert v \rvert \big\rvert \ge \lvert u \rvert - \lvert v \rvert$, avec $\lvert u \rvert$ minoré et $\lvert v \rvert$ majoré.
Par exemple, soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $\lvert x \rvert \le 2$. Alors $\lvert x + 7 \rvert \le \lvert x \rvert + 7 \le 9$ par l'inégalité triangulaire, et $\lvert x + 7 \rvert \ge 7 - \lvert x \rvert \ge 5$ par l'inégalité triangulaire généralisée, donc $5 \le \lvert x + 7 \rvert \le 9$.

Méthode — Résoudre une équation ou une inéquation avec des valeurs absolues

Pour résoudre une équation ou une inéquation dans laquelle l'inconnue figure dans des valeurs absolues :

Lire les formes élémentaires : pour $r \ge 0$, $\lvert x - a \rvert \le r \iff x \in [a - r, a + r]$ (la distance de $x$ à $a$ vaut au plus $r$), et $\lvert x - a \rvert \ge r \iff x \in \,]-\infty, a - r] \cup [a + r, +\infty[$. Pour $r < 0$, la première n'a aucune solution, une valeur absolue étant toujours positive, et la seconde est vraie pour tout $x$.
Couper aux zéros des arguments : remplacer chaque valeur absolue par sa définition sur chaque intervalle découpé par les zéros de son argument ; résoudre sur chaque intervalle et garder les solutions qui y appartiennent.
Élever au carré quand les deux membres sont des valeurs absolues : $\lvert a \rvert \le \lvert b \rvert \iff a^2 \le b^2$ et $\lvert a \rvert = \lvert b \rvert \iff a^2 = b^2$ ; puis factoriser la différence de deux carrés.

Par exemple, résolvons $\lvert x - 2 \rvert = 2\lvert x + 1 \rvert$. Par disjonction des cas : les zéros des arguments sont $2$ et $-1$. Sur $]-\infty, -1[$ l'équation s'écrit $2 - x = -2x - 2$, dont la solution $x = -4$ appartient à l'intervalle. Sur $[-1, 2]$ elle s'écrit $2 - x = 2x + 2$, dont la solution $x = 0$ appartient à l'intervalle. Sur $]2, +\infty[$ elle s'écrit $x - 2 = 2x + 2$, dont la solution $x = -4$ n'appartient pas à l'intervalle. Par les carrés : $$ \begin{aligned} \lvert x - 2 \rvert = 2\lvert x + 1 \rvert &\iff \lvert x - 2 \rvert = \lvert 2x + 2 \rvert && (\lvert 2 \rvert = 2 \text{, produit}) \\ &\iff (x - 2)^2 = (2x + 2)^2 && \text{(carrés)} \\ &\iff (x - 2 - 2x - 2)(x - 2 + 2x + 2) = 0 && \text{(différence de deux carrés)} \\ &\iff (-x - 4) \cdot 3x = 0 && \text{(simplification de chaque facteur)} \\ &\iff x = -4 \text{ ou } x = 0, \end{aligned} $$ la dernière équivalence parce qu'un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est. Les deux méthodes donnent l'ensemble des solutions $\{-4, 0\}$.

Exemple — Une inéquation avec une valeur absolue

Résoudre $\lvert 2x - 3 \rvert \le 5$ dans $\mathbb{R}$.

Correction

Pour $x \in \mathbb{R}$, $$ \begin{aligned} \lvert 2x - 3 \rvert \le 5 &\iff -5 \le 2x - 3 \le 5 && \text{(forme à crochets)} \\ &\iff -2 \le 2x \le 8 && \text{(en ajoutant $3$)} \\ &\iff -1 \le x \le 4 && \text{(en divisant par $2 > 0$)} \\ &\iff x \in [-1, 4], \end{aligned} $$ la dernière équivalence par la définition de l'intervalle. L'ensemble des solutions est $[-1, 4]$. Vérification : pour $x = 4$, $\lvert 5 \rvert = 5 \le 5$ ; pour $x = -1$, $\lvert -5 \rvert = 5 \le 5$ ; pour $x = 5$, $\lvert 7 \rvert = 7 > 5$.

Compétences à pratiquer

Distinguer le vrai du faux avec des valeurs absolues ★
Évaluer une expression avec des valeurs absolues ★
Majorer avec l'inégalité triangulaire ★

I.2 Distance

À quelle distance

L'écart entre deux réels $x$ et $y$ est $\lvert x - y \rvert$ : la longueur du segment qui les joint, qui ne dépend pas de leur ordre. Ce nombre mesure à quel point $x$ approche $y$, et les inégalités de l'analyse s'écrivent avec lui : « $x$ est à une distance au plus $r$ de $a$ » s'écrit $\lvert x - a \rvert \le r$, ce que la Proposition « Propriétés de la distance » traduit par l'intervalle $[a - r, a + r]$.

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Définition — Distance

La distance entre deux réels $x$ et $y$ est le réel $d(x, y) = \lvert x - y \rvert$. C'est la longueur du segment qui joint $x$ et $y$ sur la droite réelle ; en particulier $d(x, 0) = \lvert x \rvert$.

Proposition — Propriétés de la distance

Pour $x, y, z, a \in \mathbb{R}$ et $r \ge 0$ :

$d(x, y) \ge 0$, et $d(x, y) = 0 \iff x = y$.
$d(x, y) = d(y, x)$.
$d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)$.
$d(x, a) \le r \iff x \in [a - r, a + r]$, et $d(x, a) < r \iff x \in \,]a - r, a + r[$.

Preuve

Chaque propriété se lit sur la propriété correspondante de la valeur absolue, de la Proposition « Propriétés de $\lvert \cdot \rvert$ ». Soient $x, y, z, a \in \mathbb{R}$ et $r \ge 0$.
Positivité. $d(x, y) = \lvert x - y \rvert \ge 0$, et $\lvert x - y \rvert = 0 \iff x - y = 0 \iff x = y$.
Symétrie. $$ \begin{aligned} d(y, x) &= \lvert y - x \rvert && \text{(définition)} \\ &= \lvert -(x - y) \rvert && (y - x = -(x - y)) \\ &= \lvert x - y \rvert, \end{aligned} $$ la dernière égalité par la symétrie de la valeur absolue ; le membre de droite est $d(x, y)$.
Inégalité triangulaire. $$ \begin{aligned} d(x, z) &= \lvert x - z \rvert && \text{(définition)} \\ &= \lvert (x - y) + (y - z) \rvert && \text{(en ajoutant et retranchant $y$)} \\ &\le \lvert x - y \rvert + \lvert y - z \rvert, \end{aligned} $$ la dernière inégalité par l'inégalité triangulaire ; le membre de droite est $d(x, y) + d(y, z)$.
Forme à crochets. $$ \begin{aligned} d(x, a) \le r &\iff \lvert x - a \rvert \le r && \text{(définition)} \\ &\iff -r \le x - a \le r && \text{(forme à crochets)} \\ &\iff a - r \le x \le a + r && \text{(en ajoutant $a$)} \\ &\iff x \in [a - r, a + r], \end{aligned} $$ la dernière équivalence par la définition de l'intervalle. La même chaîne avec des inégalités strictes, par la Proposition « Valeur absolue et ordre », donne $d(x, a) < r \iff x \in \,]a - r, a + r[$.

Exemple — Distances et intervalles

La distance de $2$ à $5$ est $d(2, 5) = \lvert 2 - 5 \rvert = 3$, et la distance de $-1$ à $4$ est $d(-1, 4) = \lvert -1 - 4 \rvert = \lvert -5 \rvert = 5$. Échanger les arguments ne change rien : $d(5, 2) = \lvert 5 - 2 \rvert = 3$. L'ensemble des réels à une distance au plus $2$ de $3$ est l'intervalle $[3 - 2, 3 + 2] = [1, 5]$, et l'ensemble de ceux qui sont à une distance strictement inférieure à $\frac12$ de $-1$ est $]-1 - \frac12, -1 + \frac12[ \, = \,]-\frac32, -\frac12[$. En général les réels $x$ tels que $d(x, a) \le r$ remplissent l'intervalle de centre $a$ et de rayon $r$, comme le montre le dessin.

Proposition — Un réel plus petit que tout réel strictement positif est nul

Soient $a, x, y \in \mathbb{R}$.

Si $\lvert a \rvert \le \varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$, alors $a = 0$.
Si $x \le y + \varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$, alors $x \le y$.

Preuve

Démontrons d'abord le second point, par l'absurde ; le premier point en est alors un cas particulier.
Second point. Supposons par l'absurde que $x \le y + \varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$ et que $x > y$. Alors $x - y > 0$. Prenons $\varepsilon = \frac{x - y}{2}$, qui est strictement positif et vérifie $x - y = 2\varepsilon$. Alors $$ \begin{aligned} \varepsilon &= (x - y) - \varepsilon && (x - y = 2\varepsilon) \\ &= x - (y + \varepsilon) && \text{(regroupement)} \\ &\le 0, \end{aligned} $$ la dernière inégalité par la règle de l'addition : on ajoute $-(y + \varepsilon)$ aux deux membres de l'hypothèse $x \le y + \varepsilon$. Donc $\varepsilon \le 0$, ce qui contredit $\varepsilon > 0$. Contradiction ! Donc l'hypothèse est fausse, et $x \le y$.
Premier point. Supposons que $\lvert a \rvert \le \varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$. Alors $\lvert a \rvert \le 0 + \varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$, donc $\lvert a \rvert \le 0$ d'après le second point, appliqué avec $x = \lvert a \rvert$ et $y = 0$. Comme $\lvert a \rvert \ge 0$, on obtient $\lvert a \rvert = 0$, donc $a = 0$ par la Proposition « Propriétés de $\lvert \cdot \rvert$ ».

Méthode — Contrôler une expression au voisinage d'un point

Pour montrer qu'une expression $f(x)$ est aussi proche qu'on veut de $f(a)$ lorsque $x$ est assez proche de $a$ — c'est-à-dire que pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ tel que $\lvert x - a \rvert \le \delta \Rightarrow \lvert f(x) - f(a) \rvert \le \varepsilon$ (cette estimation est celle sur laquelle reposeront les définitions de limite et de continuité ; aucune de ces notions n'est employée ici) — procéder en trois étapes :

Factoriser l'écart : écrire $f(x) - f(a) = (x - a) \, g(x)$, de sorte que $\lvert f(x) - f(a) \rvert = \lvert x - a \rvert \, \lvert g(x) \rvert$.
Majorer l'autre facteur sur un premier voisinage : pour $\lvert x - a \rvert \le 1$, encadrer $x$ dans $[a - 1, a + 1]$ (la Proposition « Propriétés de la distance ») et trouver une constante $C > 0$ telle que $\lvert g(x) \rvert \le C$, par la Méthode « Majorer une valeur absolue ».
Choisir $\delta$ : prendre $\delta = \min(1, \frac{\varepsilon}{C})$. Pour $\lvert x - a \rvert \le \delta$, les deux conditions $\lvert x - a \rvert \le 1$ et $\lvert x - a \rvert \le \frac{\varepsilon}{C}$ sont vérifiées, et $\lvert f(x) - f(a) \rvert \le C \lvert x - a \rvert \le C\delta \le \varepsilon$.

Les deux parties du minimum jouent deux rôles : $1$ garde $x$ dans le voisinage où $g$ est majorée, et $\frac{\varepsilon}{C}$ rend le produit petit.

Exemple — Le carré au voisinage de $2$

Soit $\varepsilon > 0$. On cherche $\delta > 0$ tel que $\lvert x - 2 \rvert \le \delta \Rightarrow \lvert x^2 - 4 \rvert \le \varepsilon$. Factoriser. $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$, donc $\lvert x^2 - 4 \rvert = \lvert x - 2 \rvert \, \lvert x + 2 \rvert$. Majorer. Si $\lvert x - 2 \rvert \le 1$, alors $1 \le x \le 3$ par la forme à crochets, donc $3 \le x + 2 \le 5$ et $\lvert x + 2 \rvert \le 5$. Choisir. Soit $\delta = \min(1, \frac{\varepsilon}{5})$ et $\lvert x - 2 \rvert \le \delta$. Alors $\lvert x - 2 \rvert \le 1$, donc la majoration s'applique, et $$ \begin{aligned} \lvert x^2 - 4 \rvert &= \lvert x - 2 \rvert \, \lvert x + 2 \rvert && \text{(factorisation)} \\ &\le 5 \lvert x - 2 \rvert && (\lvert x + 2 \rvert \le 5) \\ &\le 5\delta && (\lvert x - 2 \rvert \le \delta) \\ &\le \varepsilon, \end{aligned} $$ la dernière inégalité parce que $\delta \le \frac{\varepsilon}{5}$. Par exemple, pour $\varepsilon = 0{,}1$, $\delta = \min(1, 0{,}02) = 0{,}02$ : tout $x \in [1{,}98 \,;\, 2{,}02]$ vérifie $\lvert x^2 - 4 \rvert \le 0{,}1$.

Compétences à pratiquer

Calculer une distance ★
Résoudre avec une valeur absolue ★

II Archimède, partie entière et intervalles

De la borne supérieure à la partie entière

La propriété de la borne supérieure donne la propriété d'Archimède : aucun réel ne dépasse tous les entiers naturels. La propriété d'Archimède et la propriété de la borne supérieure ensemble donnent la partie entière, le plus grand entier qui ne dépasse pas un réel. Et ensemble elles donnent la structure des intervalles : les parties qui contiennent, avec deux nombres, tous les nombres compris entre eux sont exactement les intervalles.

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II.1 La partie entière

Ni arrondi ni troncature

La partie entière $\lfloor x \rfloor$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$. Ce n'est ni l'entier le plus proche ni l'entier obtenu en supprimant les décimales : $\lfloor -2{,}3 \rfloor = -3$, alors que l'entier le plus proche de $-2{,}3$ est $-2$, et que supprimer les décimales donne $-2$. Sur la droite réelle, $\lfloor x \rfloor$ est la graduation entière égale à $x$ ou immédiatement à sa gauche, ce qui explique qu'elle descende, en s'éloignant de $0$, pour un nombre négatif. C'est le pont entre $\mathbb{R}$ et $\mathbb{Z}$, employé en arithmétique, en calcul numérique et dans les approximations décimales.

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Définition — Partie entière

Soit $x \in \mathbb{R}$. Par le Théorème « Partie entière », il existe un unique entier $n$ tel que $n \le x < n + 1$ : c'est la partie entière de $x$, notée $\textcolor{colordef}{\lfloor x \rfloor}$. Le nombre $x - \lfloor x \rfloor$, qui appartient à $[0, 1[$, est la partie fractionnaire de $x$ ; elle n'a pas de symbole propre. La partie entière par excès de $x$, notée $\textcolor{colordef}{\lceil x \rceil}$, est l'unique entier $m$ tel que $m - 1 < x \le m$ : la Proposition « Propriétés de $\lfloor \cdot \rfloor$ » montre qu'il existe et que $\lceil x \rceil = -\lfloor -x \rfloor$.

Exemple — Parties entières de quelques nombres

$\lfloor 3{,}7 \rfloor = 3$ puisque $3 \le 3{,}7 < 4$ ; $\lfloor 5 \rfloor = 5$ puisque $5 \le 5 < 6$ ; $\lfloor -2{,}3 \rfloor = -3$ puisque $-3 \le -2{,}3 < -2$ ; $\lfloor \pi \rfloor = 3$ puisque $3 \le \pi < 4$ ; $\lfloor -\pi \rfloor = -4$ puisque $-4 \le -\pi < -3$. Pour la partie entière par excès, $\lceil 3{,}7 \rceil = 4$, $\lceil 5 \rceil = 5$ et $\lceil -2{,}3 \rceil = -2$. Le graphe de la partie entière est un escalier : sur chaque intervalle $[k, k + 1[$, avec $k \in \mathbb{Z}$, la partie entière est constante, égale à $k$. Un point plein marque la borne qui appartient au graphe, un point vide la borne qui n'y appartient pas ; les points d'abscisses $\pi$ et $-\pi$ sont marqués.

Proposition — Propriétés de $\lfloor \cdot \rfloor$

Pour $x, y \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{Z}$ :

$\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1$, et $x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x$.
$\lfloor x \rfloor = n \iff n \le x < n + 1$. En particulier, $\lfloor x \rfloor = x \iff x \in \mathbb{Z}$.
$\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n$ (translation par un entier).
$x \le y \Rightarrow \lfloor x \rfloor \le \lfloor y \rfloor$ (la partie entière est croissante).
$\lceil x \rceil = -\lfloor -x \rfloor$, et $\lceil x \rceil$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $x$.
$\lfloor x \rfloor$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$ : $n \le x \Rightarrow n \le \lfloor x \rfloor$.

Preuve

Soient $x, y \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{Z}$.
Encadrement. Par la définition, $\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1$. En ajoutant $-1$ à l'inégalité de droite on obtient $x - 1 < \lfloor x \rfloor$, et avec $\lfloor x \rfloor \le x$ cela donne $x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x$.
Caractérisation. ($\Rightarrow$) Si $\lfloor x \rfloor = n$, l'encadrement donne $n \le x < n + 1$. ($\Leftarrow$) Si $n \le x < n + 1$ avec $n \in \mathbb{Z}$, alors $n$ a la propriété qui définit $\lfloor x \rfloor$, donc $n = \lfloor x \rfloor$ par l'unicité du Théorème « Partie entière ». Si $x \in \mathbb{Z}$, alors $x \le x < x + 1$, donc $\lfloor x \rfloor = x$ ; réciproquement, si $\lfloor x \rfloor = x$, alors $x \in \mathbb{Z}$ puisque $\lfloor x \rfloor$ est un entier.
Translation par un entier. En ajoutant $n$ à l'encadrement $\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1$ on obtient $\lfloor x \rfloor + n \le x + n < \lfloor x \rfloor + n + 1$. Comme $\lfloor x \rfloor + n \in \mathbb{Z}$, la caractérisation donne $\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n$.
Plus grand entier. Supposons $n \le x$. Alors $n \le x < \lfloor x \rfloor + 1$ par l'encadrement, donc $n < \lfloor x \rfloor + 1$ et $n \le \lfloor x \rfloor$, un entier strictement inférieur à $\lfloor x \rfloor + 1$ étant au plus $\lfloor x \rfloor$. Avec $\lfloor x \rfloor \le x$, cela montre que $\lfloor x \rfloor$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$.
Croissance. Supposons $x \le y$. L'entier $\lfloor x \rfloor$ vérifie $\lfloor x \rfloor \le x \le y$, donc $\lfloor x \rfloor \le \lfloor y \rfloor$ par le paragraphe précédent, appliqué à $y$ et à l'entier $\lfloor x \rfloor$.
Partie entière par excès. L'encadrement de $-x$ est $\lfloor -x \rfloor \le -x < \lfloor -x \rfloor + 1$ ; le produit par $-1$ donne $-\lfloor -x \rfloor - 1 < x \le -\lfloor -x \rfloor$. Donc $m = -\lfloor -x \rfloor$ est un entier tel que $m - 1 < x \le m$. C'est le seul : si $m'$ en est un autre, $m - 1 < x \le m'$ donne $m - 1 < m'$, donc $m \le m'$, et symétriquement $m' \le m$. Donc $\lceil x \rceil$ existe, est unique, et vaut $-\lfloor -x \rfloor$. Enfin, soit $k$ un entier tel que $k \ge x$. Alors $k \ge x > m - 1$ donne $k > m - 1$, donc $k \ge m$ : $\lceil x \rceil$ est le plus petit entier supérieur ou égal à $x$.

Méthode — Calculer une partie entière

Pour calculer $\lfloor x \rfloor$ :

Encadrer $x$ entre deux entiers consécutifs : trouver $n \in \mathbb{Z}$ tel que $n \le x < n + 1$ ; alors $\lfloor x \rfloor = n$. Pour un quotient $\frac{p}{q}$ avec $q > 0$, la division euclidienne $p = kq + r$ avec $0 \le r < q$ donne $k \le \frac{p}{q} < k + 1$, donc $\lfloor \frac{p}{q} \rfloor = k$. Pour une racine carrée, comparer les carrés de nombres positifs.
Prendre garde aux nombres négatifs : $\lfloor x \rfloor$ est l'entier situé en dessous de $x$ ou égal à $x$, et non l'entier obtenu en supprimant les décimales : $\lfloor -\pi \rfloor = -4$.
Pour la partie entière par excès, employer $\lceil x \rceil = -\lfloor -x \rfloor$.

Exemple — Quatre parties entières

(a) $\lfloor \frac{17}{5} \rfloor$ : de $17 = 3 \times 5 + 2$, $3 \le \frac{17}{5} < 4$, donc $\lfloor \frac{17}{5} \rfloor = 3$. (b) $\lfloor -\frac{17}{5} \rfloor$ : de $-17 = (-4) \times 5 + 3$, $-4 \le -\frac{17}{5} < -3$, donc $\lfloor -\frac{17}{5} \rfloor = -4$. (c) $\lceil -\frac{17}{5} \rceil = -\lfloor \frac{17}{5} \rfloor = -3$. (d) $\lfloor \sqrt{200} \rfloor$ : de $14^2 = 196 \le 200 < 225 = 15^2$ et des carrés de nombres positifs, $14 \le \sqrt{200} < 15$, donc $\lfloor \sqrt{200} \rfloor = 14$.

Méthode — Résoudre une équation avec des parties entières

Pour résoudre une équation dans laquelle l'inconnue $x$ figure dans des parties entières :

Si l'équation est $\lfloor f(x) \rfloor = k$ avec $k \in \mathbb{Z}$, elle équivaut à $k \le f(x) < k + 1$, par la Proposition « Propriétés de $\lfloor \cdot \rfloor$ » : un encadrement à résoudre.
Sinon, décomposer $x$ : écrire $n = \lfloor x \rfloor$ et $\varepsilon = x - n \in [0, 1[$, de sorte que $x = n + \varepsilon$. La partie entière de $x + k$, pour un entier $k$, est $n + k$ ; celles de $2x$, $3x$ et $x + \frac12$ deviennent $2n + \lfloor 2\varepsilon \rfloor$, $3n + \lfloor 3\varepsilon \rfloor$ et $n + \lfloor \varepsilon + \frac12 \rfloor$, par la translation par un entier.
Découper $[0, 1[$ en les morceaux sur lesquels chaque partie entière de $\varepsilon$ est constante (pour $\lfloor 2\varepsilon \rfloor$ : $[0, \frac12[$ et $[\frac12, 1[$) ; résoudre sur chaque morceau ; recomposer les solutions.

Par exemple, $$ \begin{aligned} \lfloor 3x - 1 \rfloor = 2 &\iff 2 \le 3x - 1 < 3 && \text{(caractérisation de $\lfloor \cdot \rfloor$)} \\ &\iff 1 \le x < \frac43, \end{aligned} $$ la dernière équivalence par la résolution de l'encadrement : l'ensemble des solutions est $[1, \frac43[$.

Exemple — Une somme de parties entières

Démontrer que $\lfloor x \rfloor + \lfloor x + \frac12 \rfloor = \lfloor 2x \rfloor$ pour tout réel $x$. Soit $x \in \mathbb{R}$, $n = \lfloor x \rfloor$ et $\varepsilon = x - n \in [0, 1[$. Par la translation par un entier, $\lfloor x + \frac12 \rfloor = \lfloor n + (\varepsilon + \frac12) \rfloor = n + \lfloor \varepsilon + \frac12 \rfloor$ et $\lfloor 2x \rfloor = \lfloor 2n + 2\varepsilon \rfloor = 2n + \lfloor 2\varepsilon \rfloor$. Cas $\varepsilon \in [0, \frac12[$. Alors $\frac12 \le \varepsilon + \frac12 < 1$ et $0 \le 2\varepsilon < 1$, donc $\lfloor \varepsilon + \frac12 \rfloor = 0$ et $\lfloor 2\varepsilon \rfloor = 0$, et $$ \begin{aligned} \lfloor x \rfloor + \lfloor x + \tfrac12 \rfloor &= n + (n + 0) && \text{(valeurs ci-dessus)} \\ &= 2n + 0 && \text{(somme)} \\ &= \lfloor 2x \rfloor, \end{aligned} $$ la dernière égalité parce que $\lfloor 2x \rfloor = 2n + \lfloor 2\varepsilon \rfloor = 2n + 0$. Cas $\varepsilon \in [\frac12, 1[$. Alors $1 \le \varepsilon + \frac12 < \frac32$ et $1 \le 2\varepsilon < 2$, donc $\lfloor \varepsilon + \frac12 \rfloor = 1$ et $\lfloor 2\varepsilon \rfloor = 1$, et $$ \begin{aligned} \lfloor x \rfloor + \lfloor x + \tfrac12 \rfloor &= n + (n + 1) && \text{(valeurs ci-dessus)} \\ &= 2n + 1 && \text{(somme)} \\ &= \lfloor 2x \rfloor, \end{aligned} $$ la dernière égalité parce que $\lfloor 2x \rfloor = 2n + \lfloor 2\varepsilon \rfloor = 2n + 1$. Les deux cas recouvrent $[0, 1[$, donc l'identité vaut pour tout réel $x$.

Compétences à pratiquer

Distinguer partie entière, arrondi et troncature ★
Calculer une partie entière ★
Simplifier des parties entières ★
Résoudre une équation simple avec une partie entière ★

III Exercices de colle

Compétences à pratiquer

Travailler un exercice de colle ★

IV Problèmes d'écrit

Compétences à pratiquer

Travailler un problème d'écrit ★
Quiz