Éducation Nationale Française · ECGappliquées

Variables aléatoires discrètes

⌚ ~51 min ▢ 6 blocs ✓ 42 exercices ➣ Prérequis : Séries numériques, Probabilités sur un univers quelconque

Nous étendons la théorie finie des variables aléatoires (chapitre Variables aléatoires finies) au cas où l'ensemble des valeurs est dénombrable. La nouveauté est double : l'ensemble $X(\Omega)$ des valeurs peut désormais être infini (une partie de $\mathbb{N}$, par exemple $\mathbb{N}^*$ pour le rang d'un premier succès), et une espérance devient une somme infinie — la convergence absolue (du chapitre Séries numériques) est désormais le critère pour « l'espérance existe ». On définit la variable aléatoire réelle discrète, on décrit sa loi et la loi de $Y = g(X)$ pour un $g$ simple (par exemple $x \mapsto ax + b$ ou $x \mapsto x^2$), puis on construit l'espérance, la variance, l'écart-type et la variable centrée réduite. Conventions. $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ est un espace probabilisé ; $X(\Omega) = \{u_i\}_{i \in I}$ avec $I \subset \mathbb{N}$ fini ou dénombrable, la famille $(u_i)$ étant injective (les valeurs listées sont deux à deux distinctes). On note $P(X = x)$, $P(X \in J)$, $P(X \le x)$, $E(X)$, $V(X)$, $\sigma(X)$. Le théorème de transfert, la linéarité et la positivité de l'espérance sont admis à ce niveau ; on les utilise librement, et l'on ne soulève pas de difficulté liée à l'ordre ou à la dénombrabilité des séries en jeu. Le cas fini (chapitre Variables aléatoires finies) est récupéré comme le cas $I$-fini de chaque énoncé.

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I Variables aléatoires réelles discrètes

I.1 Définition et événements liés à $X$

La définition étend le cas fini de Variables aléatoires finies dans une seule direction : l'ensemble des valeurs $X(\Omega)$ peut désormais être infini, mais dénombrable — indexé par une partie $I$ de $\mathbb{N}$. L'exemple standard est le rang du premier pile dans un lancer infini de pièce, qui prend toute valeur dans $\mathbb{N}^*$. Les événements $[X = u_i]$ forment un système complet dénombrable de $\Omega$, exactement comme dans le cas fini — avec la $\sigma$-additivité de $P$ (chapitre Espaces probabilisés quelconques).

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Définition — Variable aléatoire réelle discrète

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé. Une application $$ X : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}, \qquad \omega \longmapsto X(\omega) $$ est une variable aléatoire réelle discrète (en abrégé, v.a.\ discrète) lorsque :

$X(\Omega) = \{u_i\}_{i \in I}$ avec $I \subset \mathbb{N}$ fini ou dénombrable, la famille $(u_i)_{i \in I}$ étant injective (les valeurs listées sont deux à deux distinctes) ;
pour tout $i \in I$, $[X = u_i] = \{\omega \in \Omega \mid X(\omega) = u_i\}$ est un événement (appartient à $\mathcal{A}$).

Pour $x \in \mathbb{R}$, $a, b \in \mathbb{R}$ avec $a \le b$, et $J \subset \mathbb{R}$, on note $$ [X = x] = \{X = x\}, \qquad [X \le x] = \{X \le x\}, \qquad [a \le X \le b], \qquad [X \in J] $$ les événements « $X$ prend la valeur $x$ », « $X$ est au plus $x$ », « $X$ est dans $[a, b]$ », « $X$ est dans $J$ ». Chacun de ces ensembles est une union dénombrable des atomes $[X = u_i]$ (car $J \cap X(\Omega)$ est au plus dénombrable comme partie de l'ensemble au plus dénombrable $X(\Omega)$), donc appartient à $\mathcal{A}$ par stabilité par union dénombrable — même si $J$ est lui-même non dénombrable (par exemple $J = [a, b]$).

Exemple

Toute v.a.\ finie (chapitre Variables aléatoires finies) est une v.a.\ discrète : on prend $I$ fini. Le chapitre Variables aléatoires finies est le cas particulier $|I| < +\infty$ du présent chapitre.

Exemple — Rang du premier pile

Lancer infini d'une pièce $\Omega = \{H, T\}^{\mathbb{N}^*}$ avec la probabilité standard de lancers équilibrés du chapitre Espaces probabilisés quelconques. On définit $N : \Omega \to \mathbb{R}$ par $N(\omega) = k$ quand le premier pile apparaît au rang $k \in \mathbb{N}^*$, et $N(\omega) = 1$ sur l'événement négligeable $A_0 = $ « aucun pile n'apparaît » (valeur réelle conventionnelle sur un $P$-négligeable ; tout $k \in \mathbb{N}^*$ fixé conviendrait, le choix est sans incidence puisque $P(A_0) = 0$). Alors $N$ est une v.a.\ discrète avec $N(\Omega) = \mathbb{N}^*$. Les événements $[N = k]$ pour $k \ge 2$ sont explicites : $[N = k] = $ « $k - 1$ faces puis un pile » $\cap$ « n'importe quoi ensuite », auquel le modèle standard attribue la probabilité $(1/2)^{k-1} \cdot (1/2) = (1/2)^k$. Pour $k = 1$, $[N = 1]$ est « pile au premier lancer, n'importe quoi ensuite » réuni à $A_0$, de probabilité $1/2 + 0 = 1/2$. Note pédagogique. La valeur de $N$ sur $A_0$ est conventionnelle ; la loi de $N$ ne dépend pas du choix, puisque $P(A_0) = 0$. Cette variable « rang du premier succès » est l'exemple fil rouge du chapitre ; elle réapparaîtra sous son nom de loi usuelle au chapitre suivant Lois discrètes usuelles.

Exemple — Nombre d'échecs avant le premier succès

Sur le même lancer infini, posons $K = N - 1$ où $N$ est la variable rang-du-premier-pile ci-dessus. Alors $K : \Omega \to \mathbb{R}$ est une v.a.\ discrète avec $K(\Omega) = \mathbb{N}$ (puisque $N(\Omega) = \mathbb{N}^*$) : $K = 0$ quand le premier pile apparaît au rang $1$ (ou sur $A_0$, par la convention $N = 1$), $K = 1$ quand le premier pile apparaît au rang $2$, etc. La loi est $P(K = j) = P(N = j + 1) = (1/2)^{j+1}$ pour $j \in \mathbb{N}$. C'est la même expérience indexée différemment — une situation de ré-indexation typique traitée au Loi d'une variable aléatoire discrète.

Proposition — Système complet dénombrable associé à $X$

Soit $X$ une v.a.\ discrète sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ avec $X(\Omega) = \{u_i\}_{i \in I}$. La famille $$ \bigl( [X = u_i] \bigr)_{i \in I} $$ est un système complet dénombrable d'événements de $\Omega$ : les événements sont deux à deux disjoints et leur union vaut $\Omega$. Par conséquent $$ \textcolor{colorprop}{\sum_{i \in I} P(X = u_i) = 1,} $$ la somme étant finie quand $I$ est fini et la somme d'une série absolument convergente quand $I$ est dénombrable.

Preuve

Disjonction. Pour $i \ne j$ dans $I$, $[X = u_i] \cap [X = u_j]$ est l'ensemble des $\omega \in \Omega$ avec $X(\omega) = u_i$ et $X(\omega) = u_j$ ; comme la famille $(u_i)$ est injective, $u_i \ne u_j$ et aucun tel $\omega$ n'existe, donc l'intersection est vide. Recouvrement. Pour tout $\omega \in \Omega$, $X(\omega) \in X(\Omega) = \{u_i\}_{i \in I}$, donc il existe exactement un indice $i$ tel que $X(\omega) = u_i$ ; donc $\omega \in [X = u_i]$ et l'union recouvre $\Omega$. Par $\sigma$-additivité de $P$ sur cette partition disjointe dénombrable (chapitre Espaces probabilisés quelconques), $$ \begin{aligned} 1 \ =\ P(\Omega) \ &=\ P\!\left(\bigsqcup_{i \in I} [X = u_i]\right) && \text{(recouvrement)} \\ &=\ \sum_{i \in I} P(X = u_i) && \text{(}\sigma\text{-additivité).} \end{aligned} $$ La série est à termes positifs de somme $1$, donc absolument convergente.

Compétences à pratiquer

Identifier une variable aléatoire discrète

I.2 Loi d'une variable aléatoire discrète

Connaître une v.a.\ discrète en pratique signifie connaître ses valeurs et la probabilité de chacune. La seule différence avec le cas fini est que la somme $\sum P(X = u_i)$ est maintenant une série (quand $I$ est infini) — mais cette série converge et vaut $1$ par la Proposition précédente.

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Définition — Loi d'une variable aléatoire discrète

La loi (ou distribution de probabilité) d'une v.a.\ discrète $X$ est la donnée de $X(\Omega)$ et des valeurs $P(X = u_i)$ pour $i \in I$. De manière équivalente, la loi est l'application $$ \textcolor{colordef}{P_X : X(\Omega) \longrightarrow [0, 1], \qquad x \longmapsto P(X = x).} $$ Deux v.a.\ discrètes $X$ et $Y$ ont la même loi quand $P(X = x) = P(Y = x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ (avec la convention $P(X = x) = 0$ pour $x \notin X(\Omega)$). Elles peuvent rester distinctes comme applications sur $\Omega$, et leurs ensembles de valeurs peuvent différer à des négligeables près.

Proposition — Caractérisation d'une loi discrète

Soit $X(\Omega) = \{u_i\}_{i \in I}$ l'ensemble des valeurs et $(p_i)_{i \in I}$ les probabilités correspondantes $p_i = P(X = u_i)$. Alors :

tout $p_i$ vérifie $p_i \in [0, 1]$ ;
$\sum_{i \in I} p_i = 1$ (somme finie quand $I$ est fini, somme d'une série convergente à termes positifs quand $I$ est dénombrable).

Réciproquement, étant donnée toute famille au plus dénombrable de réels deux à deux distincts $(u_i)_{i \in I}$ et de réels positifs $(p_i)_{i \in I}$ de somme $1$, on peut construire un espace probabilisé et une v.a.\ discrète $X$ dessus ayant $(u_i, p_i)$ pour loi (existence admise à ce niveau ; la construction reprend l'exemple « singletons pondérés » du chapitre Espaces probabilisés quelconques).

Preuve

Pour le sens direct, $p_i = P(X = u_i) \in [0, 1]$ car $P$ est à valeurs dans $[0, 1]$ ; $\sum p_i = 1$ par la Proposition de système complet dénombrable du Définition et événements liés à $X$. La réciproque est admise (la construction place la probabilité $p_i$ sur le singleton $\{u_i\}$ et étend par $\sigma$-additivité, exactement comme dans l'exemple « singletons pondérés sur $\mathbb{N}$ » du chapitre Espaces probabilisés quelconques).

Exemple — Loi du rang du premier pile

Pour la variable $N$ du Définition et événements liés à $X$ (pièce équilibrée), $N(\Omega) = \mathbb{N}^*$ et la loi est $$ P(N = k) = \frac{1}{2^k} \quad \text{pour } k \in \mathbb{N}^*. $$ Vérification : $\sum_{k=1}^{+\infty} 1/2^k = (1/2) / (1 - 1/2) = 1$ (série géométrique de raison $1/2$, chapitre Séries numériques).

Exemple — Une loi sur $\mathbb{N}$

On définit $X$ avec $X(\Omega) = \mathbb{N}$ et $P(X = k) = c / 2^k$ pour $k \in \mathbb{N}$, $c$ étant choisi pour que $\sum P(X = k) = 1$. Alors $$ 1 = c \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = c \cdot 2, \qquad \text{donc } c = \frac{1}{2}. $$ Donc $P(X = k) = 1 / 2^{k+1}$ pour $k \in \mathbb{N}$ — la loi construite dans l'exemple « singletons pondérés » du chapitre Espaces probabilisés quelconques.

Méthode — Déterminer la loi d'une v.a.\ discrète

Pour déterminer la loi d'une v.a.\ discrète $X$ :

Décrire $X(\Omega)$ sous la forme $\{u_i\}_{i \in I}$ avec $I \subset \mathbb{N}$ fini ou dénombrable.
Calculer $P(X = u_i)$ pour chaque $i \in I$ (souvent par $\sigma$-additivité sur une décomposition de $[X = u_i]$, par une formule de système complet, ou par énumération directe dans un cadre fini).
Vérification : contrôler que $\sum_{i \in I} p_i = 1$. Une somme erronée signale une décomposition incorrecte ou un cas oublié.

Compétences à pratiquer

Calculer la loi d'une variable aléatoire discrète

I.3 La variable $Y \equal g(X)$

Appliquer une fonction $g$ à une v.a.\ discrète $X$ donne une nouvelle v.a.\ discrète $Y = g(X)$. L'ensemble des valeurs de $Y$ est l'image $g(X(\Omega))$, au plus dénombrable, et la loi de $Y$ s'obtient en regroupant les valeurs de $X$ que $g$ envoie sur la même image.

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Proposition — $Y \equal g(X)$ est une v.a.\ discrète

Soit $X$ une v.a.\ discrète avec $X(\Omega) = \{u_i\}_{i \in I}$ et $g : X(\Omega) \to \mathbb{R}$ une application quelconque. Alors $Y = g \circ X : \Omega \to \mathbb{R}$ est une v.a.\ discrète ; son ensemble de valeurs $Y(\Omega) = g(X(\Omega))$ est fini ou dénombrable.

Preuve

$Y(\Omega) = g(X(\Omega))$ est l'image de l'ensemble au plus dénombrable $X(\Omega)$ par $g$, donc au plus dénombrable. Pour chaque $y \in Y(\Omega)$, l'ensemble $\{i \in I \mid g(u_i) = y\}$ est au plus dénombrable et $$ [Y = y] = \bigcup_{i \in I,\ g(u_i) = y} [X = u_i]. $$ C'est une union dénombrable disjointe d'événements (disjointe car les $[X = u_i]$ sont deux à deux disjoints d'après Définition et événements liés à $X$), donc appartient à $\mathcal{A}$ par stabilité par union dénombrable (chapitre Espaces probabilisés quelconques). Les deux conditions de la Définition de v.a.\ discrète sont vérifiées, donc $Y$ est une v.a.\ discrète.

Proposition — Loi de $Y \equal g(X)$

Avec les notations ci-dessus, pour tout $y \in Y(\Omega)$, $$ \textcolor{colorprop}{P(Y = y) = \sum_{i \in I,\ g(u_i) = y} P(X = u_i)} $$ (somme finie ou somme d'une série convergente à termes positifs).

Preuve

On applique la $\sigma$-additivité de $P$ à la décomposition disjointe dénombrable $[Y = y] = \bigsqcup_{g(u_i) = y} [X = u_i]$ de la preuve précédente.

Exemple

Soit $X$ avec $X(\Omega) = \mathbb{Z}$ et $P(X = n) = p_n$ pour $n \in \mathbb{Z}$ (loi quelconque). Posons $Y = X^2$. Alors $Y(\Omega) = \{n^2 \mid n \in \mathbb{Z}\} = \{0, 1, 4, 9, 16, \dots\}$, l'ensemble des carrés parfaits. Pour $y = m^2$ avec $m \in \mathbb{N}^*$, $$ P(Y = m^2) = P(X^2 = m^2) = P(X = m) + P(X = -m) = p_m + p_{-m}, $$ car l'équation $x^2 = m^2$ sur $\mathbb{Z}$ a les deux solutions entières $\pm m$. Pour $y = 0$, $P(Y = 0) = P(X = 0) = p_0$.

Exemple

Soit $X$ avec $X(\Omega) = \mathbb{N}$ et $P(X = k) = 1 / 2^{k+1}$, et $Y = \mathbf{1}_{X \ge 1}$ (indicatrice : $1$ si $X \ge 1$, $0$ sinon). Alors $Y(\Omega) = \{0, 1\}$ et $$ P(Y = 0) = P(X = 0) = \frac{1}{2}, \qquad P(Y = 1) = \sum_{k = 1}^{+\infty} \frac{1}{2^{k+1}} = \frac{1}{2}. $$ $Y$ est une v.a.\ de Bernoulli de paramètre $1/2$.

Méthode — Calculer la loi de $g(X)$

Lister $Y(\Omega) = g(X(\Omega))$ (regrouper les doublons si $g$ n'est pas injective).
Pour chaque $y \in Y(\Omega)$, lister les $u_i$ tels que $g(u_i) = y$.
Sommer $P(Y = y) = \sum_{g(u_i) = y} P(X = u_i)$.
Vérification $\sum_y P(Y = y) = 1$.

Compétences à pratiquer

Calculer la loi de $Y \equal g(X)$

II Espérance

II.1 Définition et existence

Dans le cas fini (Variables aléatoires finies), $E(X)$ était une somme finie et existait toujours. Quand $X(\Omega)$ est dénombrable, la somme devient une série, et $E(X)$ n'est défini que lorsque cette série converge absolument. Cette exigence vient du chapitre Séries numériques : la convergence absolue garantit que la somme est bien définie quelle que soit la façon d'énumérer $X(\Omega)$ (un fait admis à ce niveau).

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Définition — Espérance quand $X(\Omega)$ est infini

Soit $X$ une v.a.\ discrète avec $X(\Omega) = \{u_i\}_{i \in I}$, $I \subset \mathbb{N}$ dénombrable. $X$ admet une espérance quand la série $$ \sum_{i \in I} u_i\, P(X = u_i) $$ est absolument convergente, c'est-à-dire quand $\sum_{i \in I} |u_i|\, P(X = u_i)$ converge. Dans ce cas, $$ \textcolor{colordef}{E(X) = \sum_{i \in I} u_i\, P(X = u_i),} $$ et cette valeur ne dépend pas de l'énumération de $X(\Omega)$ (admis : indépendance par rapport à l'indexation d'une série absolument convergente). Quand $X(\Omega)$ est fini, la définition se réduit à la somme finie du chapitre Variables aléatoires finies (toujours absolument convergente car finie).

Deux modes d'échec

La condition de convergence absolue est le prix technique de la dénombrabilité. Deux modes d'échec peuvent survenir. Soit $\sum |u_i| P(X = u_i) = +\infty$ (typique d'un $X$ à valeurs positives dont l'espérance vaudrait $+\infty$, comme dans le paradoxe de Saint-Pétersbourg) ; soit la série signée ne converge que conditionnellement, et alors la valeur de la somme peut dépendre de l'énumération de $X(\Omega)$ — ce n'est plus un nombre bien défini. L'hypothèse de convergence absolue exclut les deux modes, et $E(X)$ est alors bien défini quelle que soit l'énumération.

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Exemple — Une v.a.\ avec espérance

Prenons $X(\Omega) = \mathbb{N}^*$ avec $P(X = k) = 1/2^k$ (le rang du premier pile d'une pièce équilibrée, Définition et événements liés à $X$). La série $\sum k / 2^k$ est à termes positifs et majorée par la série géométrique dérivée convergente $\sum k q^{k-1}$ en $q = 1/2$ (chapitre Séries numériques), donc absolument convergente. Donc $E(X)$ existe. On calcule sa valeur au Séries de Riemann (un bloc Method utilise le transfert pour évaluer $E(X)$ et donne $E(X) = 2$).

Exemple — Une v.a.\ sans espérance

Prenons $X(\Omega) = \mathbb{N}^*$ avec $P(X = k) = c / k^2$, où $c = 1 / (\sum_{k \ge 1} 1/k^2) > 0$ est la constante de normalisation (la série de Riemann d'exposant $2$ converge par le chapitre Séries numériques, donc $c$ est bien défini ; sa valeur close n'est pas utilisée ici). Alors $$ \sum_{k \ge 1} k P(X = k) = c \sum_{k \ge 1} \frac{1}{k} $$ est la série harmonique divergente. La série d'espérance n'est pas absolument convergente (elle diverge vers $+\infty$), donc $X$ n'a pas d'espérance. La loi reste valide : $\sum P(X = k) = c \cdot (1/c) = 1$.

Proposition — Existence par domination

Soient $X, Y$ deux v.a.\ discrètes sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ avec $0 \le |X| \le Y$ ponctuellement sur $\Omega$, et supposons que $Y$ admet une espérance. Alors $X$ admet une espérance et $$ \textcolor{colorprop}{|E(X)| \le E(Y).} $$ Résultat admis à ce niveau (programme).

Méthode — Décider si $E(X)$ existe

Écrire la série $\sum_{i \in I} |u_i| P(X = u_i)$.
Décider de sa convergence avec les outils du chapitre Séries numériques : comparaison à une série de Riemann $\sum 1/k^\alpha$, géométrique $\sum q^k$, géométrique dérivée $\sum k q^{k-1}$, exponentielle $\sum 1/k!$.
Si convergente, $E(X)$ existe et vaut $\sum u_i P(X = u_i)$ (Définition). Sinon, $E(X)$ N'existe PAS.
Variante : dominer $|X|$ par un $Y$ d'espérance connue (Existence par domination).

Compétences à pratiquer

Décider de l'existence d'une espérance

II.2 Linéarité, transfert et applications

Deux outils centraux du chapitre côté espérance : la linéarité (formule du cas fini, énoncée ici dans le cas dénombrable) et le théorème de transfert (un moyen de calculer $E(g(X))$ sans calculer la loi de $g(X)$ d'abord). Les deux sont admis à ce niveau (programme) ; on les utilise librement.

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Proposition — Linéarité et croissance de l'espérance

Soient $X$ et $Y$ deux v.a.\ discrètes admettant une espérance et $(a, b) \in \mathbb{R}^2$. Alors $aX + bY$ admet une espérance et $$ \textcolor{colorprop}{E(aX + bY) = a E(X) + b E(Y).} $$ De plus, si $X \le Y$ presque sûrement et que les deux admettent une espérance, alors $E(X) \le E(Y)$ (croissance). En particulier, $X \ge 0$ p.s.\ entraîne $E(X) \ge 0$ (positivité). Résultat admis à ce niveau (programme).

Théorème — Théorème de transfert

Soit $X$ une v.a.\ discrète avec $X(\Omega) = \{u_i\}_{i \in I}$ infini, et $g : X(\Omega) \to \mathbb{R}$ une application quelconque. Alors $g(X)$ admet une espérance si et seulement si la série $$ \sum_{i \in I} g(u_i)\, P(X = u_i) $$ est absolument convergente. Dans ce cas, $$ \textcolor{colorprop}{E(g(X)) = \sum_{i \in I} g(u_i)\, P(X = u_i),} $$ et cette valeur ne dépend pas de l'énumération de $X(\Omega)$. Quand $X(\Omega)$ est fini, la formule se réduit au transfert du cas fini de Variables aléatoires finies (déjà démontré). Résultat admis à ce niveau (programme).

Exemple — $E(X)$ du rang du premier pile

Calculer $E(X)$ pour $X$ avec $X(\Omega) = \mathbb{N}^*$ et $P(X = k) = 1/2^k$ (pièce équilibrée).

Correction

Par la Définition (avec $g$ = identité), $E(X) = \sum_{k \ge 1} k / 2^k$ une fois la convergence absolue vérifiée (faite dans l'Exemple du Définition et existence). On factorise $1/2$ pour reconnaître la série géométrique dérivée première en $q = 1/2$ : $$ \begin{aligned} E(X) &= \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k}{2^k} && \text{(Définition)} \\ &= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{+\infty} k \left( \frac{1}{2} \right)^{k-1} && \text{(factoriser } 1/2\text{)} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(1 - 1/2)^2} && \text{(géométrique dérivée première, ch.~\textit{Séries numériques})} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 4 = 2. \end{aligned} $$

Exemple — $E(X^2)$ par transfert

Même $X$. Calculer $E(X^2)$ par le théorème de transfert avec $g(t) = t^2$.

Correction

Par transfert, $E(X^2) = \sum_{k \ge 1} k^2 / 2^k$ sous réserve de convergence absolue. On décompose $k^2 = k(k - 1) + k$ pour reconnaître les formes canoniques géométriques dérivées : $$ \begin{aligned} E(X^2) &= \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k(k-1)}{2^k} + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k}{2^k} && \text{(linéarité, les deux séries convergent)} \\ &= \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{k(k-1)}{2^k} + 2 && \text{(}k = 1 \text{ donne } k(k-1) = 0 \text{; deuxième somme} = E(X) = 2\text{)} \\ &= \frac{1}{4} \sum_{k=2}^{+\infty} k(k-1) \left( \frac{1}{2} \right)^{k-2} + 2 && \text{(factoriser } (1/2)^2 = 1/4\text{)} \\ &= \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{(1 - 1/2)^3} + 2 && \text{(géométrique dérivée seconde)} \\ &= \frac{1}{4} \cdot 16 + 2 = 4 + 2 = 6. \end{aligned} $$

Méthode — Calculer une espérance

Vérifier l'existence : écrire $\sum |u_i| P(X = u_i)$ et conclure (Méthode du Définition et existence).
Calculer la valeur :
- Appliquer le transfert si $X$ est donné via la loi d'une v.a.\ plus simple.
- Reconnaître une série géométrique / géométrique dérivée / exponentielle / de Riemann et utiliser la forme close du chapitre Séries numériques.
- Décomposer les polynômes en $k$ : $k = k$, $k^2 = k(k - 1) + k$, $k^3 = k(k-1)(k-2) + 3 k(k - 1) + k$, etc., pour utiliser les formes closes géométriques dérivées.
Utiliser la linéarité de l'espérance pour découper $X$ en briques plus simples.

Compétences à pratiquer

Appliquer la linéarité et le théorème de transfert

III Variance et écart-type

III.1 Variance et Koenig-Huygens

La variance était définie dans Variables aléatoires finies par $V(X) = E((X - E(X))^2)$. La définition discrète est identique, mais on demande maintenant que les séries pertinentes convergent. Koenig-Huygens ramène la variance au moment d'ordre $2$ : $E(X^2)$.

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Définition — Variance et écart-type

Soit $X$ une v.a.\ discrète admettant une espérance. $X$ admet une variance quand $(X - E(X))^2$ admet une espérance ; dans ce cas, $$ \textcolor{colordef}{V(X) = E\bigl((X - E(X))^2\bigr) \ge 0, \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}.} $$ $\sigma(X)$ est appelé l'écart-type de $X$.

Proposition — $V(aX + b) \equal a^2 V(X)$

Pour $(a, b) \in \mathbb{R}^2$, si $X$ admet une variance, alors $aX + b$ aussi et $$ \textcolor{colorprop}{V(aX + b) = a^2 V(X).} $$

Preuve

Par linéarité de $E$, $E(aX + b) = a E(X) + b$, donc $$ (aX + b - E(aX + b))^2 = (aX + b - a E(X) - b)^2 = a^2 (X - E(X))^2. $$ Comme $X$ admet une variance, $(X - E(X))^2$ admet une espérance ; par linéarité de $E$, $a^2 (X - E(X))^2$ aussi, d'espérance $a^2 E((X - E(X))^2)$. Donc $aX + b$ admet une variance et $$ V(aX + b) = E(a^2 (X - E(X))^2) = a^2 E((X - E(X))^2) = a^2 V(X). $$

Proposition — Formule de Koenig-Huygens

On suppose que $X$ admet une espérance. Alors $X$ admet une variance si et seulement si $X^2$ admet une espérance. Dans ce cas, $$ \textcolor{colorprop}{V(X) = E(X^2) - (E(X))^2.} $$

Preuve

$X$ admet une espérance $E(X)$ par hypothèse. On démontre les deux sens de l'équivalence puis on en déduit la formule.

Sens $(X - E(X))^2$ a $E$ $\Rightarrow$ $X^2$ a $E$. Utiliser la majoration élémentaire $(a + b)^2 \le 2 a^2 + 2 b^2$ avec $a = X - E(X)$ et $b = E(X)$ pour obtenir $X^2 = (a + b)^2 \le 2 (X - E(X))^2 + 2 E(X)^2$. Le membre de droite est une v.a.\ discrète positive d'espérance $2 V(X) + 2 E(X)^2$ (linéarité, constante $E(X)^2$). Par Existence par domination, $X^2$ admet une espérance.
Sens $X^2$ a $E$ $\Rightarrow$ $(X - E(X))^2$ a $E$. Développer $(X - E(X))^2 = X^2 - 2 E(X) X + E(X)^2$. Chaque sommand admet une espérance ($X^2$ par hypothèse, $X$ par l'hypothèse de l'énoncé, $E(X)^2$ est constante). Par linéarité, $(X - E(X))^2$ admet une espérance.
La formule. Une fois les deux côtés d'espérance définie, on développe et applique la linéarité de $E$ : $$ \begin{aligned} V(X) &= E\bigl((X - E(X))^2\bigr) && \text{(Définition)} \\ &= E\bigl(X^2 - 2 E(X) X + E(X)^2\bigr) && \text{(développer)} \\ &= E(X^2) - 2 E(X) \cdot E(X) + E(X)^2 && \text{(linéarité, } E(X) \text{ est constante)} \\ &= E(X^2) - (E(X))^2. \end{aligned} $$

Exemple — Variance du rang du premier pile

Même $X$ qu'au Linéarité, transfert et applications : $E(X) = 2$, $E(X^2) = 6$. Par Koenig-Huygens, $$ V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 6 - 4 = 2, \qquad \sigma(X) = \sqrt{2}. $$

Définition — Variable centrée réduite

Lorsque $X$ admet une variance avec $V(X) > 0$, la variable centrée réduite associée à $X$ est $$ X^* = \frac{X - E(X)}{\sigma(X)}. $$ C'est une v.a.\ discrète avec $E(X^*) = 0$ (centrée) et $V(X^*) = 1$ (réduite).

Méthode — Calculer $V(X)$ via Koenig-Huygens

Vérifier que $E(X^2)$ existe (transfert avec $g(t) = t^2$ ; vérifier la convergence absolue de $\sum u_i^2 P(X = u_i)$). Ceci assure l'existence de $V(X)$.
Calculer $E(X^2)$.
Calculer $E(X)$ (souvent déjà connu).
Appliquer $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$.

Pour aller plus loin

Les outils construits ici — loi, espérance, variance, écart-type et théorème de transfert — sont précisément ce dont le chapitre suivant Lois discrètes usuelles a besoin. On y identifie les familles nommées par leur loi et on leur applique ces outils : les lois certaine, de Bernoulli, binomiale et uniforme sur un support fini, et deux lois à support infini, la loi géométrique (l'exemple fil rouge « rang du premier succès » de ce chapitre, enfin nommé) et la loi de Poisson (un comptage d'événements rares). Les théorèmes limites plus profonds qui comparent ces lois et justifient « la moyenne empirique tend vers l'espérance » sont abordés en deuxième année.

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Compétences à pratiquer

Calculer des variances par Koenig-Huygens