Éducation Nationale Française · ECGappliquées
Dérivation
Vue d'ensemble du chapitre
Le lycée a donné la dérivée comme un outil : une limite de taux de variation, un tableau de règles, et le signe de \(f'\) lu comme le sens de variation de \(f\). Ce chapitre fait de la dérivée une théorie dans laquelle tout énoncé est démontré. Trois idées le traversent. La première est que la dérivée est une limite prise en un point : l'existence de \(f'(a)\) est une propriété locale, qui force la continuité de \(f\) en \(a\) et rien de plus, pas même la continuité de \(f'\). La deuxième est le calcul : les règles du lycée viennent avec leurs démonstrations, la dérivée d'une fonction réciproque est le nouvel outil, et les dérivées d'ordre supérieur et les classes \(C^k\) organisent la régularité d'une fonction. La troisième est celle des théorèmes globaux — le théorème de Rolle, le théorème des accroissements finis, l'inégalité des accroissements finis — qui transforment une propriété de \(f'\) sur tout un intervalle en une propriété de \(f\) : constante, monotone, lipschitzienne, contractante, ou de dérivée ayant une limite.
Plan. Le chapitre va des outils de calcul aux théorèmes globaux : la dérivée en un point, les opérations sur les dérivées, les dérivées d'ordre supérieur et les classes \(C^k\), les extrema locaux et le théorème de Fermat, le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis, les fonctions lipschitziennes et l'inégalité des accroissements finis, le lien entre le signe de \(f'\) et les variations de \(f\), et le théorème de la limite de la dérivée. Les classes \(C^k\) viennent avant les théorèmes globaux, qui les utilisent.
Conventions. Une fonction est définie sur un intervalle \(I\) non réduit à un point, et \(\mathring{I}\) est l'intérieur de \(I\). En un point intérieur, « dérivable en \(a\) » est la notion bilatérale ; en une borne de \(I\), la dérivée est celle prise par l'intérieur de \(I\). Les théorèmes globaux supposent « \(f\) continue sur \(I\) et dérivable sur \(\mathring{I}\) » : les bornes sont traitées par la seule continuité. Les huit dérivées usuelles du lycée, celles de \(x^n\), \(\frac{1}{x}\), \(\sqrt{x}\), \(\exp\), \(\ln\), \(\sin\), \(\cos\) et \(\tan\), sont admises, comme le Prérequis les énumère ; certains exemples en retrouvent quelques-unes à partir de la définition ou des règles, pour illustrer les méthodes. Aucune dérivée d'une autre fonction de référence n'est utilisée.
Notations. Pour \(f \colon I \to \mathbb{R}\) et \(a \in I\), le taux d'accroissement est \(\tau_a(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}\), noté \(\tau_a^f(h)\) quand plusieurs fonctions interviennent ; la dérivée est \(f'(a)\) ou \(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(a)\), et les dérivées à gauche et à droite sont \(f'_g(a)\) et \(f'_d(a)\). L'ensemble des fonctions dérivables sur \(I\) est \(\mathcal{D}(I, \mathbb{R})\), et les classes sont \(C^k(I, \mathbb{R})\) et \(C^\infty(I, \mathbb{R})\). Le symbole \(f^{(n)}\) est la dérivée \(n\)-ième, jamais un itéré : la composée de \(f\) avec elle-même se note \(f \circ f\). « Croissante » est le sens large et « strictement croissante » le sens strict, comme dans le chapitre Fonctions réelles : vocabulaire ; \(e^x\) est l'exponentielle, et dans un ensemble listé, un \(n\)-uplet ou un intervalle le séparateur est la virgule.
Plan. Le chapitre va des outils de calcul aux théorèmes globaux : la dérivée en un point, les opérations sur les dérivées, les dérivées d'ordre supérieur et les classes \(C^k\), les extrema locaux et le théorème de Fermat, le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis, les fonctions lipschitziennes et l'inégalité des accroissements finis, le lien entre le signe de \(f'\) et les variations de \(f\), et le théorème de la limite de la dérivée. Les classes \(C^k\) viennent avant les théorèmes globaux, qui les utilisent.
Conventions. Une fonction est définie sur un intervalle \(I\) non réduit à un point, et \(\mathring{I}\) est l'intérieur de \(I\). En un point intérieur, « dérivable en \(a\) » est la notion bilatérale ; en une borne de \(I\), la dérivée est celle prise par l'intérieur de \(I\). Les théorèmes globaux supposent « \(f\) continue sur \(I\) et dérivable sur \(\mathring{I}\) » : les bornes sont traitées par la seule continuité. Les huit dérivées usuelles du lycée, celles de \(x^n\), \(\frac{1}{x}\), \(\sqrt{x}\), \(\exp\), \(\ln\), \(\sin\), \(\cos\) et \(\tan\), sont admises, comme le Prérequis les énumère ; certains exemples en retrouvent quelques-unes à partir de la définition ou des règles, pour illustrer les méthodes. Aucune dérivée d'une autre fonction de référence n'est utilisée.
Notations. Pour \(f \colon I \to \mathbb{R}\) et \(a \in I\), le taux d'accroissement est \(\tau_a(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}\), noté \(\tau_a^f(h)\) quand plusieurs fonctions interviennent ; la dérivée est \(f'(a)\) ou \(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(a)\), et les dérivées à gauche et à droite sont \(f'_g(a)\) et \(f'_d(a)\). L'ensemble des fonctions dérivables sur \(I\) est \(\mathcal{D}(I, \mathbb{R})\), et les classes sont \(C^k(I, \mathbb{R})\) et \(C^\infty(I, \mathbb{R})\). Le symbole \(f^{(n)}\) est la dérivée \(n\)-ième, jamais un itéré : la composée de \(f\) avec elle-même se note \(f \circ f\). « Croissante » est le sens large et « strictement croissante » le sens strict, comme dans le chapitre Fonctions réelles : vocabulaire ; \(e^x\) est l'exponentielle, et dans un ensemble listé, un \(n\)-uplet ou un intervalle le séparateur est la virgule.
Prérequis
Ce chapitre suppose connus les chapitres Calcul différentiel et Courbes : le taux de variation, la dérivée comme limite du taux de variation, la fonction dérivée, la tangente, les règles de dérivation (combinaison linéaire, produit, quotient, composée), le sens de variation lu sur le signe de \(f'\) — admis alors, démontré ici — et les extremums et les points stationnaires. Les huit dérivées usuelles du lycée sont admises, et utilisées sans démonstration ; certains exemples en retrouvent quelques-unes pour illustrer les méthodes : \((x^n)' = n x^{n-1}\) pour \(n \in \mathbb{N}^*\), \(\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}\), \((\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\), \((e^x)' = e^x\), \(\ln'(x) = \frac{1}{x}\), \(\sin' = \cos\), \(\cos' = -\sin\) et \(\tan' = \frac{1}{\cos^2}\). Les propriétés de \(\exp\), \(\ln\), \(\cos\) et \(\sin\) du lycée sont aussi utilisées : \(e^{x+y} = e^x e^y\), \(\exp\) et \(\ln\) sont strictement croissantes, \(\lvert \sin x \rvert \le 1\), \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\), la formule de linéarisation \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\), \(\sin\left(t + \frac{\pi}{2}\right) = \cos t\) et \(\cos\left(t + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin t\), \(\sin\) et \(\cos\) sont \(2\pi\)-périodiques, \(\sin\) est impaire, les fonctions de référence \(\sqrt{\cdot}\), \(\exp\), \(\ln\), \(\cos\) et \(\sin\) sont continues sur leurs ensembles de définition, les valeurs de \(\cos\) et de \(\sin\) en \(0\), \(\frac{\pi}{2}\) et \(\pi\), et les variations de \(\cos\) et de \(\sin\) sur \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\) (\(\cos\) est strictement décroissante et \(\sin\) strictement croissante). Les dérivées de \(\arctan\), \(\arcsin\), \(\arccos\) et des fonctions hyperboliques ne sont pas utilisées. Du chapitre Développement d'un binôme : les coefficients binomiaux \(\binom{n}{p}\), la relation de Pascal \(\binom{n}{p-1} + \binom{n}{p} = \binom{n+1}{p}\) pour \(1 \le p \le n\) (la section « Triangle de Pascal »), et la factorisation de \(a^n - b^n\). Du chapitre Raisonner et rédiger : la sous-section « Rédiger avec les fonctions », les schémas de démonstration d'un énoncé universel et d'un énoncé existentiel, par disjonction des cas, par contraposée et par l'absurde, et la récurrence. Du chapitre Logique : la négation des quantificateurs. Du chapitre Ensembles : les parties d'un ensemble. Du chapitre Applications : la composée (la Définition « Composition »), la restriction, la bijection, la réciproque et la fonction indicatrice \(\mathbb{1}_A\) (la Définition « Fonction indicatrice »). Du chapitre Nombres réels : l'ordre de \(\mathbb{R}\) et les règles de calcul sur les inégalités, les intervalles, la valeur absolue et l'inégalité triangulaire, \(\max(a, b)\), la borne supérieure, la partie entière, et la densité de \(\mathbb{Q}\) et de \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\). Du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire : les fonctions monotones, au sens large et au sens strict (la Proposition « Opérations sur les fonctions monotones », la Proposition « Composée de fonctions monotones », la Proposition « Réciproque d'une bijection monotone », la Proposition « La stricte monotonie implique l'injectivité », la Proposition « Recoller des morceaux monotones » et l'Exemple « Monotone sur chaque morceau, pas sur la réunion »), les fonctions bornées, le maximum et le minimum (la Définition « Maximum, minimum, extremum » et la Méthode « Déterminer une borne supérieure ou un maximum »), la parité et la périodicité (la Méthode « Réduire le domaine d'étude par parité ou périodicité »). Du chapitre Suites réelles : la limite d'une suite (la Proposition « Unicité de la limite » et la Proposition « La limite passe aux suites extraites »), le théorème d'encadrement, le théorème de la limite monotone, \(k^n \to 0\) pour \(0 \le k < 1\), les suites récurrentes, les intervalles stables et les points fixes (la Proposition « Une partie stable définit la suite et contient ses termes », la Méthode « Trouver un intervalle stable », la Proposition « Vitesse géométrique » et la Proposition « Une limite est un point fixe »). Du chapitre Limites et continuité : la limite d'une fonction en un point et en \(\pm\infty\), la Proposition « Caractère local de la limite et restriction », la Proposition « Limite et limite épointée », les limites à gauche et à droite (la Proposition « Limite et limites latérales »), la Proposition « Limite et inégalités strictes (signe d'une limite) », les opérations sur les limites, finies et infinies (la Proposition « Opérations sur les limites finies (combinaison linéaire, produit, quotient) »), la Proposition « Composition de limites », la Proposition « Passage à la limite dans une inégalité large », le Théorème « Théorème d'encadrement », la Méthode « Réfuter une limite par deux suites », la Proposition « Polynômes et fractions rationnelles en l'infini », la continuité en un point et sur un intervalle (la Proposition « Continuité et limites latérales » et la Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) »), la Proposition « Caractérisation séquentielle de la continuité » et la Proposition « Image d'une suite convergente (lien dans un seul sens) », le Théorème « Théorème des valeurs intermédiaires », le Théorème « Théorème des bornes atteintes », le Théorème « Théorème de la bijection » (la réciproque d'une bijection continue strictement monotone d'un intervalle sur un intervalle est continue, de même sens de variation), la Proposition « L'image d'un intervalle par une fonction continue strictement monotone », la Définition « Fonction lipschitzienne », la Proposition « Lipschitzienne implique uniformément continue implique continue » et le Théorème « Continue et injective si et seulement si strictement monotone ». Le chapitre n'utilise ni les croissances comparées de fonctions (\(x \ln x\), \(x e^x\), \(e^{-1/x}\)), ni la formule de Taylor, ni les développements limités, ni la notation \(o\), ni la convexité, ni l'intégrale, ni les nombres complexes, ni les éléments simples, ni la division des polynômes, ni les racines multiples.
I
Dérivée en un point
La dérivée comme limite
Le lycée a tracé la tangente en un point et en a donné la pente ; ici la pente devient une limite, et tout ce qui suit s'en démontre. La dérivée en un point est la limite d'un taux d'accroissement, et elle a une seconde forme : un développement de la fonction au premier ordre près du point. Les dérivées à gauche et à droite traitent les deux côtés séparément, et la dérivée en un point force la fonction à être continue en ce point, ce qu'aucune règle du lycée ne disait.
I.1
Taux d'accroissement et nombre dérivé
De la vitesse moyenne à la vitesse instantanée
Un point se déplace sur une droite, et sa position à l'instant \(t\) est \(s(t)\). Entre les instants \(t\) et \(t + h\), le point a le déplacement algébrique \(s(t + h) - s(t)\), positif ou négatif selon le sens du mouvement, et la vitesse moyenne est le quotient signé \(\frac{s(t + h) - s(t)}{h}\) de ce déplacement au temps écoulé. La distance parcourue est une autre grandeur : elle vaut \(\lvert s(t + h) - s(t) \rvert\) seulement si le point ne rebrousse pas chemin entre les deux instants. La vitesse instantanée à l'instant \(t\) est ce dont la vitesse moyenne s'approche quand \(h\) devient petit : c'est une limite, et le lycée la calculait en faisant rétrécir \(h\). Le compteur en indique la valeur absolue \(\lvert s'(t) \rvert\), la vitesse scalaire. Le même quotient, écrit pour une fonction \(f\) quelconque et non pour une seule position, est le taux d'accroissement, et sa limite est la dérivée. Sa signification géométrique est la pente d'une tangente.
Définition — Dérivée en un point
Soient \(I\) un intervalle non réduit à un point, \(f \colon I \to \mathbb{R}\) et \(a \in I\). Pour tout \(h \ne 0\) tel que \(a + h \in I\), le taux d'accroissement de \(f\) en \(a\) avec l'incrément \(h\) est $$\tau_a(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}.$$ La fonction \(f\) est dérivable en \(a\) si \(\tau_a(h)\) admet une limite finie quand \(h \to 0\), la variable \(h\) parcourant les \(h \ne 0\) tels que \(a + h \in I\). Cette limite est le nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté $$\textcolor{colordef}{f'(a)} \qquad \text{ou} \qquad \textcolor{colordef}{\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(a)}.$$ De manière équivalente, en posant \(x = a + h\), cela revient à demander une limite finie de \(\frac{f(x) - f(a)}{x - a}\) quand \(x \to a\). Quand \(a\) est une borne de \(I\), les incréments \(h\) n'ont qu'un seul signe, et la dérivée est celle prise par l'intérieur de \(I\). La dérivabilité en \(a\) est une propriété locale : elle ne dépend que des valeurs de \(f\) sur \(I \cap [a - \eta, a + \eta]\), pour tout \(\eta > 0\), car une limite est locale (la Proposition « Caractère local de la limite et restriction »). Exemple — La dérivée de \(x^2\)
Calculer la dérivée de \(f(x) = x^2\) en tout point \(a \in \mathbb{R}\).
Pour tout \(a \in \mathbb{R}\) et tout \(h \ne 0\), $$ \begin{aligned} \tau_a(h) &= \frac{f(a + h) - f(a)}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\
&= \frac{(a + h)^2 - a^2}{h} && \text{(\(f(x) = x^2\))} \\
&= \frac{2ah + h^2}{h} && \text{(développement de \((a + h)^2\))} \\
&= 2a + h && \text{(simplification par \(h \ne 0\))} \\
&\xrightarrow[h \to 0]{} 2a. \end{aligned} $$ Donc \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f'(a) = 2a\).
Exemple — La dérivée de \(\sqrt{x}\) en \(a > 0\)
Soient \(f \colon [0, +\infty[ \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \sqrt{x}\), et \(a > 0\). Montrer que \(f\) est dérivable en \(a\) et calculer \(f'(a)\).
Pour tout \(h \ne 0\) avec \(a + h \ge 0\), le nombre \(\sqrt{a + h} + \sqrt{a}\) est strictement positif puisque \(a > 0\), donc $$ \begin{aligned} \tau_a(h) &= \frac{\sqrt{a + h} - \sqrt{a}}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\
&= \frac{\left(\sqrt{a + h} - \sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a + h} + \sqrt{a}\right)}{h \left(\sqrt{a + h} + \sqrt{a}\right)} && \text{(multiplication par la quantité conjuguée, non nulle)} \\
&= \frac{(a + h) - a}{h \left(\sqrt{a + h} + \sqrt{a}\right)} && \text{(\((u - v)(u + v) = u^2 - v^2\))} \\
&= \frac{1}{\sqrt{a + h} + \sqrt{a}} && \text{(simplification par \(h \ne 0\))} \\
&\xrightarrow[h \to 0]{} \frac{1}{2\sqrt{a}}. \end{aligned} $$ La dernière étape vaut parce que \(\sqrt{\cdot}\) est continue en \(a\), de sorte que \(\sqrt{a + h} \to \sqrt{a}\), et parce que la limite \(2\sqrt{a}\) du dénominateur n'est pas \(0\). Donc \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f'(a) = \frac{1}{2\sqrt{a}}\).
Proposition — Développement au premier ordre
La fonction \(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement s'il existe \(\ell \in \mathbb{R}\) et une fonction \(\varepsilon\), définie pour \(h \ne 0\) avec \(a + h \in I\), telles que \(\varepsilon(h) \to 0\) quand \(h \to 0\) et $$\textcolor{colorprop}{f(a + h) = f(a) + \ell h + h\,\varepsilon(h)} \qquad \text{pour tout } h \ne 0 \text{ tel que } a + h \in I.$$ Dans ce cas \(\ell = f'(a)\).
On démontre les deux implications.
- (\(\Rightarrow\)) Supposons \(f\) dérivable en \(a\), et posons \(\ell = f'(a)\). Pour \(h \ne 0\) avec \(a + h \in I\), posons \(\varepsilon(h) = \tau_a(h) - \ell\). Alors \(\varepsilon(h) \to 0\) quand \(h \to 0\), puisque \(\tau_a(h) \to \ell\), et $$ \begin{aligned} f(a + h) &= f(a) + h\,\tau_a(h) && \text{(définition de \(\tau_a(h)\))} \\ &= f(a) + \ell h + h\,\left(\tau_a(h) - \ell\right) && \text{(on ajoute et on retranche \(\ell h\))} \\ &= f(a) + \ell h + h\,\varepsilon(h). \end{aligned} $$
- (\(\Leftarrow\)) Supposons que \(f(a + h) = f(a) + \ell h + h\,\varepsilon(h)\) avec \(\varepsilon(h) \to 0\). Pour \(h \ne 0\) avec \(a + h \in I\), $$ \begin{aligned} \tau_a(h) &= \frac{f(a + h) - f(a)}{h} && \text{(définition de \(\tau_a(h)\))} \\ &= \frac{\ell h + h\,\varepsilon(h)}{h} && \text{(hypothèse)} \\ &= \ell + \varepsilon(h) && \text{(simplification par \(h \ne 0\))} \\ &\xrightarrow[h \to 0]{} \ell. \end{aligned} $$ Donc \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f'(a) = \ell\), ce qui montre aussi que \(\ell\) est la dérivée dans la première implication.
Méthode — Démontrer la dérivabilité en un point
Pour établir que \(f\) est dérivable en \(a\), ou qu'elle ne l'est pas : - Par le taux d'accroissement. Simplifier \(\tau_a(h)\) — développer, factoriser, multiplier par une quantité conjuguée — jusqu'à lire une limite quand \(h \to 0\). Une limite finie est \(f'(a)\) ; une limite \(\pm\infty\), ou l'absence de limite, signifie que \(f\) n'est pas dérivable en \(a\).
- Par le développement au premier ordre. Écrire \(f(a + h) = f(a) + \ell h + h\,\varepsilon(h)\) avec un \(\varepsilon\) explicite qui tend vers \(0\) : alors \(f'(a) = \ell\). C'est la forme commode quand \(f(a + h)\) se développe en un polynôme en \(h\) plus un reste.
- Par les règles de calcul. Quand \(f\) est construite à partir de fonctions dérivables par combinaisons, produits, quotients et composées, les règles de dérivation du lycée donnent la dérivée sans taux d'accroissement.
- Par les deux côtés. En un point où la formule de \(f\) change, ou où intervient \(\lvert \cdot \rvert\), étudier \(h > 0\) et \(h < 0\) séparément, avec la Proposition « Caractérisation par les deux dérivées latérales ».
Compétences à pratiquer
- Lire un nombre dérivé ★
- Calculer un nombre dérivé par le taux d'accroissement ★
- Calculer une fonction dérivée par la définition ★
I.2
Tangente
Des sécantes à la tangente
La droite passant par les points \((a, f(a))\) et \((a + h, f(a + h))\) du graphe est une sécante, et sa pente est \(\tau_a(h)\). Quand \(h\) tend vers \(0\), le second point glisse le long du graphe vers le premier, et la sécante tourne vers une position limite : la tangente, dont la pente est \(f'(a)\). Quand la pente des sécantes croît sans borne, la position limite est la droite verticale.
Définition — Tangente
Soit \(f \colon I \to \mathbb{R}\) dérivable en \(a \in I\). La tangente au graphe de \(f\) au point \((a, f(a))\) est la droite d'équation $$\textcolor{colordef}{y = f(a) + f'(a)(x - a)}.$$ Si \(a\) est une borne de \(I\), c'est la demi-tangente, du côté où se trouve \(I\). Si \(\tau_a(h)\) n'a pas de limite finie mais tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\) quand \(h \to 0\), le graphe a une tangente verticale au point \((a, f(a))\), la droite d'équation \(x = a\) (une demi-tangente verticale en une borne de \(I\)).
Figure — sécantes convergeant vers la tangente
Exemple — Une demi-tangente verticale, \(\sqrt{x}\) en \(0\)
Pour \(f \colon [0, +\infty[ \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \sqrt{x}\), étudier la dérivabilité en \(0\).
Le point \(0\) est la borne gauche de \([0, +\infty[\), donc seul \(h > 0\) intervient. Pour tout \(h > 0\), $$ \begin{aligned} \tau_0(h) &= \frac{\sqrt{0 + h} - \sqrt{0}}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\
&= \frac{\sqrt{h}}{h} && \text{(\(\sqrt{0} = 0\))} \\
&= \frac{1}{\sqrt{h}} && \text{(puisque \(h = \sqrt{h}\,\sqrt{h}\))} \\
&\xrightarrow[h \to 0^+]{} +\infty. \end{aligned} $$ La limite est infinie, donc \(f\) n'est pas dérivable en \(0\) ; mais, d'après la Définition « Tangente », le graphe a une demi-tangente verticale, d'équation \(x = 0\), à l'origine.
Méthode — Écrire l'équation d'une tangente
Pour écrire l'équation de la tangente au graphe de \(f\) à l'abscisse \(a\) : - Le point. Calculer \(f(a)\) : la tangente passe par \((a, f(a))\).
- La pente. Calculer \(f'(a)\), par la définition ou par les règles de calcul du lycée (combinaison, produit, quotient, composée).
- L'équation. Si \(f'(a)\) est finie, écrire \(y = f(a) + f'(a)(x - a)\), et la développer sous la forme \(y = mx + p\) si on le demande.
- Le cas vertical. Si \(\tau_a(h)\) tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), la tangente est la droite \(x = a\).
- Une pente donnée. Pour une tangente de pente \(m\) donnée — horizontale quand \(m = 0\) — résoudre d'abord \(f'(x) = m\) pour trouver l'abscisse, puis appliquer les étapes ci-dessus en chaque solution.
Exemple — Tangentes à une cubique
Soit \(f(x) = x^3 - 3x\) sur \(\mathbb{R}\). Écrire l'équation de la tangente à l'abscisse \(2\), puis trouver les points où la tangente est horizontale.
D'après les dérivées du lycée, \(f'(x) = 3x^2 - 3\) pour tout \(x\).
La tangente à l'abscisse \(2\). Le point est \(f(2) = 2^3 - 3 \times 2 = 2\) et la pente est \(f'(2) = 3 \times 2^2 - 3 = 9\), donc $$ \begin{aligned} y &= f(2) + f'(2)(x - 2) && \text{(équation de la tangente en \(a = 2\))} \\ &= 2 + 9(x - 2) && \text{(\(f(2) = 2\) et \(f'(2) = 9\))} \\ &= 9x - 16. \end{aligned} $$ Les tangentes horizontales. La tangente est horizontale en \(x\) si et seulement si sa pente est \(0\) : $$ \begin{aligned} f'(x) = 0 &\iff 3x^2 - 3 = 0 && \text{(formule de \(f'\))} \\ &\iff 3(x - 1)(x + 1) = 0 && \text{(factorisation)} \\ &\iff x = 1 \text{ ou } x = -1. \end{aligned} $$ La dernière équivalence est la règle du produit nul. Les points sont \((1, f(1)) = (1, -2)\) et \((-1, f(-1)) = (-1, 2)\), et les tangentes horizontales sont les droites \(y = -2\) et \(y = 2\).
La tangente à l'abscisse \(2\). Le point est \(f(2) = 2^3 - 3 \times 2 = 2\) et la pente est \(f'(2) = 3 \times 2^2 - 3 = 9\), donc $$ \begin{aligned} y &= f(2) + f'(2)(x - 2) && \text{(équation de la tangente en \(a = 2\))} \\ &= 2 + 9(x - 2) && \text{(\(f(2) = 2\) et \(f'(2) = 9\))} \\ &= 9x - 16. \end{aligned} $$ Les tangentes horizontales. La tangente est horizontale en \(x\) si et seulement si sa pente est \(0\) : $$ \begin{aligned} f'(x) = 0 &\iff 3x^2 - 3 = 0 && \text{(formule de \(f'\))} \\ &\iff 3(x - 1)(x + 1) = 0 && \text{(factorisation)} \\ &\iff x = 1 \text{ ou } x = -1. \end{aligned} $$ La dernière équivalence est la règle du produit nul. Les points sont \((1, f(1)) = (1, -2)\) et \((-1, f(-1)) = (-1, 2)\), et les tangentes horizontales sont les droites \(y = -2\) et \(y = 2\).
Compétences à pratiquer
- Écrire l'équation d'une tangente ★
- Déterminer une tangente vérifiant une condition ★
I.3
Dérivées à gauche et à droite
Un point anguleux a deux tangentes
Sur un graphe, un point où la pente change brusquement — un point anguleux — a une tangente de chaque côté et aucune au total. Pour le décrire, on restreint l'incrément \(h\) aux valeurs strictement positives, ou aux valeurs strictement négatives : cela donne une dérivée de chaque côté, et la fonction est dérivable au point exactement quand les deux dérivées existent et coïncident.
Définition — Dérivées à gauche et à droite
Soient \(f \colon I \to \mathbb{R}\) et \(a \in I\). - Si \(a\) n'est pas la borne droite de \(I\), \(f\) est dérivable à droite en \(a\) si \(\tau_a(h)\) admet une limite finie quand \(h \to 0^+\), avec \(a + h \in I\). Cette limite est la dérivée à droite de \(f\) en \(a\), notée \(\textcolor{colordef}{f'_d(a)}\).
- Si \(a\) n'est pas la borne gauche de \(I\), \(f\) est dérivable à gauche en \(a\) si \(\tau_a(h)\) admet une limite finie quand \(h \to 0^-\), avec \(a + h \in I\). Cette limite est la dérivée à gauche de \(f\) en \(a\), notée \(\textcolor{colordef}{f'_g(a)}\).
Proposition — Caractérisation par les deux dérivées latérales
Soient \(f \colon I \to \mathbb{R}\) et \(a\) un point intérieur de \(I\). Alors \(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement si \(f'_g(a)\) et \(f'_d(a)\) existent et sont égales : $$\textcolor{colorprop}{f \text{ dérivable en } a \iff f'_g(a) \text{ et } f'_d(a) \text{ existent, et } f'_g(a) = f'_d(a)}.$$ La dérivée \(f'(a)\) est alors leur valeur commune.
On démontre les deux implications à la fois, par la Proposition « Limite et limites latérales ». Comme \(a\) est intérieur, il existe \(\eta > 0\) avec \([a - \eta, a + \eta] \subset I\), donc \(\tau_a(h)\) est défini pour \(h \in [-\eta, \eta] \setminus \{0\}\) : des deux côtés de \(0\).
- (\(\Rightarrow\)) Supposons \(f\) dérivable en \(a\), c'est-à-dire \(\tau_a(h) \to f'(a)\) quand \(h \to 0\). Par la Proposition « Limite et limites latérales », \(\tau_a(h)\) a la même limite \(f'(a)\) quand \(h \to 0^+\) et quand \(h \to 0^-\). Cette limite est finie, donc \(f'_d(a)\) et \(f'_g(a)\) existent et \(f'_g(a) = f'_d(a) = f'(a)\).
- (\(\Leftarrow\)) Supposons que \(f'_g(a)\) et \(f'_d(a)\) existent et sont égales à un réel \(\ell\). Alors \(\tau_a(h) \to \ell\) quand \(h \to 0^+\) et quand \(h \to 0^-\). Par la Proposition « Limite et limites latérales », \(\tau_a(h) \to \ell\) quand \(h \to 0\) : \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f'(a) = \ell\).
Exemple — Un point anguleux, la valeur absolue en \(0\)
Montrer que \(f(x) = \lvert x \rvert\) n'est pas dérivable en \(0\).
Le point \(0\) est intérieur à \(\mathbb{R}\), donc la Proposition « Caractérisation par les deux dérivées latérales » s'applique.
À droite. Pour tout \(h > 0\), \(\tau_0(h) = \frac{\lvert h \rvert - \lvert 0 \rvert}{h} = \frac{h}{h} = 1\), donc \(\tau_0(h) \to 1\) quand \(h \to 0^+\) et \(f'_d(0) = 1\).
À gauche. Pour tout \(h < 0\), \(\tau_0(h) = \frac{\lvert h \rvert - \lvert 0 \rvert}{h} = \frac{-h}{h} = -1\), donc \(\tau_0(h) \to -1\) quand \(h \to 0^-\) et \(f'_g(0) = -1\).
Comme \(f'_g(0) = -1 \ne 1 = f'_d(0)\), la fonction \(f\) n'est pas dérivable en \(0\).
À droite. Pour tout \(h > 0\), \(\tau_0(h) = \frac{\lvert h \rvert - \lvert 0 \rvert}{h} = \frac{h}{h} = 1\), donc \(\tau_0(h) \to 1\) quand \(h \to 0^+\) et \(f'_d(0) = 1\).
À gauche. Pour tout \(h < 0\), \(\tau_0(h) = \frac{\lvert h \rvert - \lvert 0 \rvert}{h} = \frac{-h}{h} = -1\), donc \(\tau_0(h) \to -1\) quand \(h \to 0^-\) et \(f'_g(0) = -1\).
Comme \(f'_g(0) = -1 \ne 1 = f'_d(0)\), la fonction \(f\) n'est pas dérivable en \(0\).
Exemple — Un raccord dérivable
Soit \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x^2\) pour \(x \le 1\) et \(f(x) = 2x - 1\) pour \(x > 1\). Montrer que \(f\) est dérivable en \(1\) et calculer \(f'(1)\).
Le point \(1\) est intérieur à \(\mathbb{R}\), et \(f(1) = 1^2 = 1\).
À droite. Pour \(h > 0\), \(1 + h > 1\) et \(f(1 + h) = 2(1 + h) - 1\), donc $$ \begin{aligned} \tau_1(h) &= \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\ &= \frac{2(1 + h) - 1 - 1}{h} && \text{(\(1 + h > 1\) et \(f(1) = 1\))} \\ &= 2 && \text{(car \(2(1 + h) - 2 = 2h\))} \\ &\xrightarrow[h \to 0^+]{} 2. \end{aligned} $$ À gauche. Pour \(h < 0\), \(1 + h < 1\) et \(f(1 + h) = (1 + h)^2\), donc $$ \begin{aligned} \tau_1(h) &= \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\ &= \frac{(1 + h)^2 - 1}{h} && \text{(\(1 + h < 1\) et \(f(1) = 1\))} \\ &= \frac{2h + h^2}{h} && \text{(développement de \((1 + h)^2\))} \\ &= 2 + h && \text{(simplification par \(h \ne 0\))} \\ &\xrightarrow[h \to 0^-]{} 2. \end{aligned} $$ Donc \(f'_d(1) = f'_g(1) = 2\), et par la Proposition « Caractérisation par les deux dérivées latérales », \(f\) est dérivable en \(1\) avec \(f'(1) = 2\). La droite \(y = 2x - 1\) est la tangente de la branche gauche \(x^2\) en \(1\), puisque \(1 + 2(x - 1) = 2x - 1\), et la branche droite est cette droite elle-même : c'est pourquoi le raccord est lisse.
À droite. Pour \(h > 0\), \(1 + h > 1\) et \(f(1 + h) = 2(1 + h) - 1\), donc $$ \begin{aligned} \tau_1(h) &= \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\ &= \frac{2(1 + h) - 1 - 1}{h} && \text{(\(1 + h > 1\) et \(f(1) = 1\))} \\ &= 2 && \text{(car \(2(1 + h) - 2 = 2h\))} \\ &\xrightarrow[h \to 0^+]{} 2. \end{aligned} $$ À gauche. Pour \(h < 0\), \(1 + h < 1\) et \(f(1 + h) = (1 + h)^2\), donc $$ \begin{aligned} \tau_1(h) &= \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\ &= \frac{(1 + h)^2 - 1}{h} && \text{(\(1 + h < 1\) et \(f(1) = 1\))} \\ &= \frac{2h + h^2}{h} && \text{(développement de \((1 + h)^2\))} \\ &= 2 + h && \text{(simplification par \(h \ne 0\))} \\ &\xrightarrow[h \to 0^-]{} 2. \end{aligned} $$ Donc \(f'_d(1) = f'_g(1) = 2\), et par la Proposition « Caractérisation par les deux dérivées latérales », \(f\) est dérivable en \(1\) avec \(f'(1) = 2\). La droite \(y = 2x - 1\) est la tangente de la branche gauche \(x^2\) en \(1\), puisque \(1 + 2(x - 1) = 2x - 1\), et la branche droite est cette droite elle-même : c'est pourquoi le raccord est lisse.
Figure — un point anguleux et ses deux demi-tangentes
Compétences à pratiquer
- Lire des dérivées à gauche et à droite ★
- Décider la dérivabilité d'une fonction définie par morceaux ★
I.4
Dérivabilité, continuité et fonction dérivée
Une tangente impose la continuité
Un graphe qui a une tangente en un point ne peut pas sauter en ce point : la pente des sécantes reste finie, donc \(f(a + h)\) est proche de \(f(a)\) quand \(h\) est petit. La dérivabilité est une propriété plus forte que la continuité ; la réciproque est fausse, puisqu'un point anguleux est continu sans être dérivable, et qu'un graphe peut même osciller si vite près d'un point qu'il n'a de tangente d'aucun côté.
Proposition — Dérivable implique continue
Si \(f \colon I \to \mathbb{R}\) est dérivable en \(a \in I\), alors \(\textcolor{colorprop}{f \text{ est continue en } a}\).
On démontre directement que \(f(a + h) \to f(a)\) quand \(h \to 0\), ce qui est la continuité en \(a\). Pour \(h \ne 0\) avec \(a + h \in I\), $$ \begin{aligned} f(a + h) &= f(a) + \big(f(a + h) - f(a)\big) && \text{(on ajoute et on retranche \(f(a)\))} \\
&= f(a) + h\,\tau_a(h) && \text{(définition de \(\tau_a(h)\))} \\
&\xrightarrow[h \to 0]{} f(a). \end{aligned} $$ La dernière étape vaut parce que \(h \to 0\) et \(\tau_a(h) \to f'(a) \in \mathbb{R}\), de sorte que \(h\,\tau_a(h) \to 0 \cdot f'(a) = 0\) par la Proposition « Opérations sur les limites finies (combinaison linéaire, produit, quotient) ». Donc \(f\) est continue en \(a\) (la valeur en \(h = 0\) étant \(f(a)\), la limite épointée est la limite, par la Proposition « Limite et limite épointée »).
Seconde démonstration, par le développement au premier ordre. Par la Proposition « Développement au premier ordre », \(f(a + h) - f(a) = f'(a)\,h + h\,\varepsilon(h)\) avec \(\varepsilon(h) \to 0\). Quand \(h \to 0\), \(f'(a)\,h\) et \(h\,\varepsilon(h)\) tendent tous deux vers \(0\), donc \(f(a + h) - f(a) \to 0\) : \(f\) est continue en \(a\).
Seconde démonstration, par le développement au premier ordre. Par la Proposition « Développement au premier ordre », \(f(a + h) - f(a) = f'(a)\,h + h\,\varepsilon(h)\) avec \(\varepsilon(h) \to 0\). Quand \(h \to 0\), \(f'(a)\,h\) et \(h\,\varepsilon(h)\) tendent tous deux vers \(0\), donc \(f(a + h) - f(a) \to 0\) : \(f\) est continue en \(a\).
Exemple — Continue sans être dérivable
La réciproque de la Proposition « Dérivable implique continue » est fausse : la fonction \(f(x) = \lvert x \rvert\) est continue en \(0\), puisque $$\lvert f(x) - f(0) \rvert = \big\lvert \lvert x \rvert - \lvert 0 \rvert \big\rvert = \lvert x \rvert \xrightarrow[x \to 0]{} 0,$$ mais elle n'est pas dérivable en \(0\), comme le montre l'Exemple « Un point anguleux, la valeur absolue en \(0\) » : les dérivées à gauche et à droite en \(0\) valent \(-1\) et \(1\). Exemple — Une fonction sans tangente d'aucun côté
Soit \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x \sin\frac{1}{x}\) pour \(x \ne 0\) et \(f(0) = 0\). Montrer que \(f\) est continue en \(0\), et que \(f\) n'est ni dérivable à gauche ni dérivable à droite en \(0\).
Continuité en \(0\). Pour tout \(x \ne 0\), $$ \begin{aligned} \lvert f(x) - f(0) \rvert &= \lvert x \rvert \left\lvert \sin\frac{1}{x} \right\rvert && \text{(définition de \(f\))} \\
&\le \lvert x \rvert && \text{(\(\lvert \sin t \rvert \le 1\))} \\
&\xrightarrow[x \to 0]{} 0. \end{aligned} $$ Comme \(0 \le \lvert f(x) - f(0) \rvert \le \lvert x \rvert\), le Théorème « Théorème d'encadrement » du chapitre Limites et continuité donne \(\lvert f(x) - f(0) \rvert \to 0\), c'est-à-dire \(f(x) \to f(0)\) : \(f\) est continue en \(0\).
Le taux d'accroissement en \(0\). Pour tout \(h \ne 0\), $$ \begin{aligned} \tau_0(h) &= \frac{f(h) - f(0)}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\ &= \frac{h \sin\frac{1}{h}}{h} && \text{(définition de \(f\))} \\ &= \sin\frac{1}{h} \end{aligned} $$ La dernière étape simplifie par \(h \ne 0\).
Pas de dérivée à droite. Pour \(n \ge 1\), posons \(u_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}\) et \(v_n = \frac{1}{2n\pi - \frac{\pi}{2}}\). Les deux suites sont strictement positives et tendent vers \(0\). Par la \(2\pi\)-périodicité et l'imparité de \(\sin\), $$ \begin{aligned} \tau_0(u_n) &= \sin\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) && \text{(\(\tau_0(h) = \sin\frac{1}{h}\) et \(\frac{1}{u_n} = 2n\pi + \frac{\pi}{2}\))} \\ &= \sin\frac{\pi}{2} && \text{(\(2\pi\)-périodicité de \(\sin\))} \\ &= 1, \\ \tau_0(v_n) &= \sin\left(2n\pi - \frac{\pi}{2}\right) && \text{(\(\tau_0(h) = \sin\frac{1}{h}\) et \(\frac{1}{v_n} = 2n\pi - \frac{\pi}{2}\))} \\ &= \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) && \text{(\(2\pi\)-périodicité de \(\sin\))} \\ &= -\sin\frac{\pi}{2} && \text{(imparité de \(\sin\))} \\ &= -1. \end{aligned} $$ Deux suites qui tendent vers \(0^+\) donnent des images de limites différentes, \(1\) et \(-1\) : par la Méthode « Réfuter une limite par deux suites », \(\tau_0(h)\) n'a pas de limite quand \(h \to 0^+\).
Pas de dérivée à gauche. Les suites \(-u_n\) et \(-v_n\) sont strictement négatives et tendent vers \(0\), et \(\tau_0(-u_n) = \sin\left(-2n\pi - \frac{\pi}{2}\right) = -1\) tandis que \(\tau_0(-v_n) = \sin\left(-2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 1\). De la même façon, \(\tau_0(h)\) n'a pas de limite quand \(h \to 0^-\).
Donc \(f\) est continue en \(0\), mais son graphe n'a de tangente à l'origine d'aucun côté.
Le taux d'accroissement en \(0\). Pour tout \(h \ne 0\), $$ \begin{aligned} \tau_0(h) &= \frac{f(h) - f(0)}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\ &= \frac{h \sin\frac{1}{h}}{h} && \text{(définition de \(f\))} \\ &= \sin\frac{1}{h} \end{aligned} $$ La dernière étape simplifie par \(h \ne 0\).
Pas de dérivée à droite. Pour \(n \ge 1\), posons \(u_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}\) et \(v_n = \frac{1}{2n\pi - \frac{\pi}{2}}\). Les deux suites sont strictement positives et tendent vers \(0\). Par la \(2\pi\)-périodicité et l'imparité de \(\sin\), $$ \begin{aligned} \tau_0(u_n) &= \sin\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) && \text{(\(\tau_0(h) = \sin\frac{1}{h}\) et \(\frac{1}{u_n} = 2n\pi + \frac{\pi}{2}\))} \\ &= \sin\frac{\pi}{2} && \text{(\(2\pi\)-périodicité de \(\sin\))} \\ &= 1, \\ \tau_0(v_n) &= \sin\left(2n\pi - \frac{\pi}{2}\right) && \text{(\(\tau_0(h) = \sin\frac{1}{h}\) et \(\frac{1}{v_n} = 2n\pi - \frac{\pi}{2}\))} \\ &= \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) && \text{(\(2\pi\)-périodicité de \(\sin\))} \\ &= -\sin\frac{\pi}{2} && \text{(imparité de \(\sin\))} \\ &= -1. \end{aligned} $$ Deux suites qui tendent vers \(0^+\) donnent des images de limites différentes, \(1\) et \(-1\) : par la Méthode « Réfuter une limite par deux suites », \(\tau_0(h)\) n'a pas de limite quand \(h \to 0^+\).
Pas de dérivée à gauche. Les suites \(-u_n\) et \(-v_n\) sont strictement négatives et tendent vers \(0\), et \(\tau_0(-u_n) = \sin\left(-2n\pi - \frac{\pi}{2}\right) = -1\) tandis que \(\tau_0(-v_n) = \sin\left(-2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 1\). De la même façon, \(\tau_0(h)\) n'a pas de limite quand \(h \to 0^-\).
Donc \(f\) est continue en \(0\), mais son graphe n'a de tangente à l'origine d'aucun côté.
Définition — Dérivabilité sur un intervalle
Soit \(f \colon I \to \mathbb{R}\). La fonction \(f\) est dérivable sur \(I\) si elle est dérivable en tout point de \(I\) : de façon bilatérale aux points intérieurs, par l'intérieur aux bornes. L'application \(f' \colon I \to \mathbb{R}\), \(a \mapsto f'(a)\), est la fonction dérivée de \(f\), et l'ensemble des fonctions dérivables sur \(I\) est noté \(\textcolor{colordef}{\mathcal{D}(I, \mathbb{R})}\). Compétences à pratiquer
- Distinguer dérivable et continue ★
- Démontrer qu'une fonction n'est pas dérivable en un point ★
II
Opérations sur les dérivées
Les règles du lycée, démontrées
Les règles du lycée — combinaison linéaire, produit, quotient, composée — sont démontrées ici à partir de la définition : chacune est le taux d'accroissement d'une combinaison écrit avec les taux d'accroissement de ses morceaux, ou, pour la composée, une seule identité de la forme de Carathéodory. La dérivée d'une fonction réciproque est le nouvel outil : elle donne la dérivée d'une fonction à partir de celle de sa réciproque, comme l'Exemple « La racine cubique » le fait pour la racine cubique. Les huit dérivées usuelles du lycée restent admises, comme le Prérequis le dit ; certains exemples en retrouvent quelques-unes, à partir de la définition ou de ces règles, pour illustrer les méthodes.
II.1
Combinaison linéaire, produit, quotient
Les règles des opérations algébriques
Une fonction construite à partir de fonctions plus simples — une somme, un produit, un quotient — a une dérivée construite à partir des leurs. Chaque règle se démontre en écrivant le taux d'accroissement de la combinaison avec ceux des morceaux ; la continuité d'une fonction dérivable est ce qui permet de passer à la limite, puisqu'elle contrôle les facteurs qui ne portent pas de différence. Une troisième forme de la dérivabilité, la forme de Carathéodory, écrit \(f(x) - f(a)\) comme \((x - a)\) fois une fonction continue en \(a\) qui y prend la valeur \(f'(a)\) : elle donne la règle du produit et la dérivation en chaîne sans aucun quotient.
Proposition — Forme de Carathéodory
Soient \(f \colon I \to \mathbb{R}\) et \(a \in I\). La fonction \(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement s'il existe une fonction \(\varphi \colon I \to \mathbb{R}\), continue en \(a\), telle que $$\textcolor{colorprop}{f(x) = f(a) + (x - a)\,\varphi(x)} \qquad \text{pour tout } x \in I.$$ Dans ce cas \(\varphi(a) = f'(a)\). - (\(\Rightarrow\)) Supposons \(f\) dérivable en \(a\). Posons \(\varphi(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a}\) pour \(x \in I\) avec \(x \ne a\), et \(\varphi(a) = f'(a)\). Pour \(x \ne a\), l'identité \(f(x) = f(a) + (x - a)\,\varphi(x)\) est la définition de \(\varphi(x)\), et pour \(x = a\) les deux membres valent \(f(a)\). De plus \(\varphi(x) = \tau_a(x - a) \to f'(a)\) quand \(x \to a\) avec \(x \ne a\), et \(f'(a) = \varphi(a)\) : par la Proposition « Limite et limite épointée », \(\varphi(x) \to \varphi(a)\) quand \(x \to a\), c'est-à-dire que \(\varphi\) est continue en \(a\).
- (\(\Leftarrow\)) Supposons \(\varphi\) continue en \(a\) et \(f(x) = f(a) + (x - a)\,\varphi(x)\) pour tout \(x \in I\). Pour \(x \ne a\), $$ \begin{aligned} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} &= \frac{(x - a)\,\varphi(x)}{x - a} && \text{(hypothèse)} \\ &= \varphi(x) && \text{(simplification par \(x - a \ne 0\))} \\ &\xrightarrow[x \to a]{} \varphi(a). \end{aligned} $$ La dernière étape est la limite épointée de \(\varphi\) en \(a\), qui vaut \(\varphi(a)\) par la Proposition « Limite et limite épointée ». Donc \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f'(a) = \varphi(a)\), ce qui montre aussi que \(\varphi(a) = f'(a)\) dans la première implication.
Proposition — Linéarité
Soient \(f, g \colon I \to \mathbb{R}\) dérivables en \(a \in I\), et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\). Alors \(\lambda f + \mu g\) est dérivable en \(a\) et $$\textcolor{colorprop}{(\lambda f + \mu g)'(a) = \lambda f'(a) + \mu g'(a)}.$$
Pour \(h \ne 0\) avec \(a + h \in I\), $$ \begin{aligned} \tau_a^{\lambda f + \mu g}(h) &= \frac{(\lambda f + \mu g)(a + h) - (\lambda f + \mu g)(a)}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\
&= \lambda\,\frac{f(a + h) - f(a)}{h} + \mu\,\frac{g(a + h) - g(a)}{h} && \text{(regroupement des termes en \(\lambda\) et en \(\mu\))} \\
&= \lambda\,\tau_a^f(h) + \mu\,\tau_a^g(h) && \text{(définition de \(\tau_a^f\) et \(\tau_a^g\))} \\
&\xrightarrow[h \to 0]{} \lambda f'(a) + \mu g'(a). \end{aligned} $$ La dernière étape est la Proposition « Opérations sur les limites finies (combinaison linéaire, produit, quotient) » : \(\tau_a^f(h) \to f'(a)\) et \(\tau_a^g(h) \to g'(a)\). Donc \(\lambda f + \mu g\) est dérivable en \(a\), avec la dérivée annoncée.
Proposition — Règle du produit
Soient \(f, g \colon I \to \mathbb{R}\) dérivables en \(a \in I\). Alors \(fg\) est dérivable en \(a\) et $$\textcolor{colorprop}{(fg)'(a) = f'(a)\,g(a) + f(a)\,g'(a)}.$$
Pour \(h \ne 0\) avec \(a + h \in I\), $$ \begin{aligned} \tau_a^{fg}(h) &= \frac{f(a + h)\,g(a + h) - f(a)\,g(a)}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\
&= \frac{\big(f(a + h) - f(a)\big)\,g(a + h) + f(a)\,\big(g(a + h) - g(a)\big)}{h} && \text{(on ajoute et on retranche \(f(a)\,g(a + h)\))} \\
&= \tau_a^f(h)\,g(a + h) + f(a)\,\tau_a^g(h) && \text{(définition de \(\tau_a^f\) et \(\tau_a^g\))} \\
&\xrightarrow[h \to 0]{} f'(a)\,g(a) + f(a)\,g'(a). \end{aligned} $$ Dans la dernière étape, \(\tau_a^f(h) \to f'(a)\) et \(\tau_a^g(h) \to g'(a)\), et \(g(a + h) \to g(a)\) parce que \(g\) est continue en \(a\), par la Proposition « Dérivable implique continue » ; les opérations sur les limites concluent. Donc \(fg\) est dérivable en \(a\) et \((fg)'(a) = f'(a)\,g(a) + f(a)\,g'(a)\).
Seconde démonstration, par la forme de Carathéodory. Par la Proposition « Forme de Carathéodory », il existe \(\varphi_f\) et \(\varphi_g\), continues en \(a\), avec \(\varphi_f(a) = f'(a)\) et \(\varphi_g(a) = g'(a)\), telles que \(f(x) = f(a) + (x - a)\,\varphi_f(x)\) et \(g(x) = g(a) + (x - a)\,\varphi_g(x)\) pour \(x \in I\). Pour \(x \in I\), $$ \begin{aligned} f(x)\,g(x) - f(a)\,g(a) &= \big(f(x) - f(a)\big)\,g(x) + f(a)\,\big(g(x) - g(a)\big) && \text{(on ajoute et on retranche \(f(a)\,g(x)\))} \\ &= (x - a)\,\big(\varphi_f(x)\,g(x) + f(a)\,\varphi_g(x)\big). \end{aligned} $$ La dernière étape est la forme de Carathéodory de \(f\) et de \(g\). Posons \(\varphi(x) = \varphi_f(x)\,g(x) + f(a)\,\varphi_g(x)\), de sorte que \(f(x)\,g(x) = f(a)\,g(a) + (x - a)\,\varphi(x)\). La fonction \(g\) est continue en \(a\) (Proposition « Dérivable implique continue »), donc \(\varphi\) est continue en \(a\) par la Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) », et \(\varphi(a) = f'(a)\,g(a) + f(a)\,g'(a)\). Par la Proposition « Forme de Carathéodory », \(fg\) est dérivable en \(a\) de dérivée \(f'(a)\,g(a) + f(a)\,g'(a)\).
Seconde démonstration, par la forme de Carathéodory. Par la Proposition « Forme de Carathéodory », il existe \(\varphi_f\) et \(\varphi_g\), continues en \(a\), avec \(\varphi_f(a) = f'(a)\) et \(\varphi_g(a) = g'(a)\), telles que \(f(x) = f(a) + (x - a)\,\varphi_f(x)\) et \(g(x) = g(a) + (x - a)\,\varphi_g(x)\) pour \(x \in I\). Pour \(x \in I\), $$ \begin{aligned} f(x)\,g(x) - f(a)\,g(a) &= \big(f(x) - f(a)\big)\,g(x) + f(a)\,\big(g(x) - g(a)\big) && \text{(on ajoute et on retranche \(f(a)\,g(x)\))} \\ &= (x - a)\,\big(\varphi_f(x)\,g(x) + f(a)\,\varphi_g(x)\big). \end{aligned} $$ La dernière étape est la forme de Carathéodory de \(f\) et de \(g\). Posons \(\varphi(x) = \varphi_f(x)\,g(x) + f(a)\,\varphi_g(x)\), de sorte que \(f(x)\,g(x) = f(a)\,g(a) + (x - a)\,\varphi(x)\). La fonction \(g\) est continue en \(a\) (Proposition « Dérivable implique continue »), donc \(\varphi\) est continue en \(a\) par la Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) », et \(\varphi(a) = f'(a)\,g(a) + f(a)\,g'(a)\). Par la Proposition « Forme de Carathéodory », \(fg\) est dérivable en \(a\) de dérivée \(f'(a)\,g(a) + f(a)\,g'(a)\).
Proposition — Règle du quotient
Soient \(f, g \colon I \to \mathbb{R}\) dérivables en \(a \in I\), avec \(g(a) \ne 0\). Alors \(g\) ne s'annule pas sur un intervalle \(J = I \cap [a - \eta, a + \eta]\) avec \(\eta > 0\), la fonction \(\frac{f}{g} \colon J \to \mathbb{R}\) est dérivable en \(a\), et $$\textcolor{colorprop}{\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a)\,g(a) - f(a)\,g'(a)}{g(a)^2}}.$$
On traite d'abord \(\frac{1}{g}\), puis on écrit \(\frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g}\). La fonction \(g\) est continue en \(a\) par la Proposition « Dérivable implique continue », et \(g(a) \ne 0\) : par la Proposition « Limite et inégalités strictes (signe d'une limite) », il existe \(\eta > 0\) tel que \(g(x)\) ait le signe de \(g(a)\), donc ne soit pas nul, pour tout \(x \in I \cap [a - \eta, a + \eta] = J\). L'intervalle \(J\) contient \(a\) et n'est pas réduit à un point.
La dérivée de \(\frac{1}{g}\). Pour \(h \ne 0\) avec \(a + h \in J\), $$ \begin{aligned} \tau_a^{1/g}(h) &= \frac{1}{h}\left(\frac{1}{g(a + h)} - \frac{1}{g(a)}\right) && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\ &= \frac{g(a) - g(a + h)}{h\,g(a + h)\,g(a)} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= -\frac{\tau_a^g(h)}{g(a + h)\,g(a)} && \text{(définition de \(\tau_a^g\))} \\ &\xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{g'(a)}{g(a)^2}. \end{aligned} $$ Dans la dernière étape, \(\tau_a^g(h) \to g'(a)\) et \(g(a + h) \to g(a) \ne 0\) par continuité ; le quotient de limites s'applique. Donc \(\frac{1}{g}\) est dérivable en \(a\) avec \(\left(\frac{1}{g}\right)'(a) = -\frac{g'(a)}{g(a)^2}\).
Le quotient. Par la Proposition « Règle du produit » appliquée à \(f\) et \(\frac{1}{g}\) sur \(J\), $$ \begin{aligned} \left(\frac{f}{g}\right)'(a) &= f'(a) \cdot \frac{1}{g(a)} + f(a) \cdot \left(-\frac{g'(a)}{g(a)^2}\right) && \text{(règle du produit et dérivée de \(\frac{1}{g}\))} \\ &= \frac{f'(a)\,g(a) - f(a)\,g'(a)}{g(a)^2}. \end{aligned} $$ La dernière étape met les deux termes sur le dénominateur commun \(g(a)^2\).
La dérivée de \(\frac{1}{g}\). Pour \(h \ne 0\) avec \(a + h \in J\), $$ \begin{aligned} \tau_a^{1/g}(h) &= \frac{1}{h}\left(\frac{1}{g(a + h)} - \frac{1}{g(a)}\right) && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\ &= \frac{g(a) - g(a + h)}{h\,g(a + h)\,g(a)} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= -\frac{\tau_a^g(h)}{g(a + h)\,g(a)} && \text{(définition de \(\tau_a^g\))} \\ &\xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{g'(a)}{g(a)^2}. \end{aligned} $$ Dans la dernière étape, \(\tau_a^g(h) \to g'(a)\) et \(g(a + h) \to g(a) \ne 0\) par continuité ; le quotient de limites s'applique. Donc \(\frac{1}{g}\) est dérivable en \(a\) avec \(\left(\frac{1}{g}\right)'(a) = -\frac{g'(a)}{g(a)^2}\).
Le quotient. Par la Proposition « Règle du produit » appliquée à \(f\) et \(\frac{1}{g}\) sur \(J\), $$ \begin{aligned} \left(\frac{f}{g}\right)'(a) &= f'(a) \cdot \frac{1}{g(a)} + f(a) \cdot \left(-\frac{g'(a)}{g(a)^2}\right) && \text{(règle du produit et dérivée de \(\frac{1}{g}\))} \\ &= \frac{f'(a)\,g(a) - f(a)\,g'(a)}{g(a)^2}. \end{aligned} $$ La dernière étape met les deux termes sur le dénominateur commun \(g(a)^2\).
Exemple — La dérivée de \(x^n\) et d'un polynôme
Montrer par récurrence que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), la fonction \(x \mapsto x^n\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) de dérivée \(x \mapsto n x^{n-1}\), et en déduire la dérivée d'un polynôme.
Soit \(f_n(x) = x^n\), et pour \(n \in \mathbb{N}^*\) soit \(P_n\) la propriété « \(f_n\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f_n'(x) = n x^{n-1}\) pour tout \(x\) ».
- Initialisation. Pour \(n = 1\) et \(h \ne 0\), \(\tau_a(h) = \frac{(a + h) - a}{h} = 1 = 1 \cdot a^0\). Donc \(f_1\) est dérivable avec \(f_1'(a) = 1\) : \(P_1\) est vraie.
- Hérédité. Soit \(n \ge 1\). Supposons \(P_n\). Montrons \(P_{n+1}\). Pour tout \(a \in \mathbb{R}\), $$ \begin{aligned} f_{n+1}'(a) &= (f_1 \cdot f_n)'(a) && \text{(\(x^{n+1} = x \cdot x^n\))} \\ &= f_1'(a)\,f_n(a) + f_1(a)\,f_n'(a) && \text{(règle du produit)} \\ &= 1 \cdot a^n + a \cdot n a^{n-1} && \text{(initialisation et hypothèse de récurrence)} \\ &= (n + 1)\,a^n. \end{aligned} $$ Donc \(P_{n+1}\).
- Conclusion. Puisque \(P_1\) est vraie et que \(P_n \Rightarrow P_{n+1}\) pour tout \(n \ge 1\), par récurrence \(P_n\) est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\).
Exemple — La dérivée d'une fraction rationnelle
Calculer la dérivée de \(f(x) = \dfrac{x^3 - 2x + 1}{x^2 + 1}\) sur \(\mathbb{R}\).
Le dénominateur \(v(x) = x^2 + 1\) vaut au moins \(1\), donc ne s'annule jamais et la règle du quotient s'applique en tout point. Avec \(u(x) = x^3 - 2x + 1\), donc \(u'(x) = 3x^2 - 2\), et \(v'(x) = 2x\), $$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{v(x)^2} && \text{(règle du quotient)} \\
&= \frac{(3x^2 - 2)(x^2 + 1) - (x^3 - 2x + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} && \text{(\(u'(x) = 3x^2 - 2\) et \(v'(x) = 2x\))} \\
&= \frac{x^4 + 5x^2 - 2x - 2}{(x^2 + 1)^2}. \end{aligned} $$ La dernière étape développe le numérateur : \((3x^4 + x^2 - 2) - (2x^4 - 4x^2 + 2x)\).
Compétences à pratiquer
- Reconnaître la règle à appliquer ★
- Dériver un polynôme ou un produit ★
- Dériver un quotient ★
II.2
Composée
Dériver une composée
Une composée \(g \circ f\) change deux fois de variable : \(x\) devient \(f(x)\), qui devient \(g(f(x))\). Un petit incrément \(h\) sur \(x\) donne sur \(f(x)\) un incrément \(f(a + h) - f(a)\), de l'ordre de \(f'(a)\,h\), et cet incrément sur \(f(x)\) donne à son tour sur \(g(f(x))\) un incrément de l'ordre de \(g'(f(a))\) fois lui-même. Les pentes se multiplient. La démonstration doit éviter le quotient \(\frac{g(f(a + h)) - g(f(a))}{f(a + h) - f(a)}\), dont le dénominateur peut s'annuler pour \(h \ne 0\).
Proposition — Dérivation en chaîne
Soient \(I\) et \(J\) des intervalles non réduits à un point, \(f \colon I \to \mathbb{R}\) avec \(f(I) \subset J\), et \(g \colon J \to \mathbb{R}\). Si \(f\) est dérivable en \(a \in I\) et \(g\) dérivable en \(b = f(a)\), alors \(g \circ f\) est dérivable en \(a\) et $$\textcolor{colorprop}{(g \circ f)'(a) = g'(f(a))\,f'(a)}.$$
Par la Proposition « Forme de Carathéodory », il existe une fonction \(\varphi_f \colon I \to \mathbb{R}\) continue en \(a\) et une fonction \(\varphi_g \colon J \to \mathbb{R}\) continue en \(b = f(a)\), avec \(\varphi_f(a) = f'(a)\) et \(\varphi_g(b) = g'(b)\), telles que $$f(x) = f(a) + (x - a)\,\varphi_f(x) \quad \text{pour } x \in I, \qquad g(y) = g(b) + (y - b)\,\varphi_g(y) \quad \text{pour } y \in J.$$ Pour \(x \in I\), le point \(f(x)\) est dans \(J\), donc la seconde identité s'applique en \(y = f(x)\) : $$ \begin{aligned} g(f(x)) &= g(b) + \big(f(x) - b\big)\,\varphi_g(f(x)) && \text{(forme de Carathéodory de \(g\) en \(y = f(x)\))} \\
&= g(f(a)) + (x - a)\,\varphi_f(x)\,\varphi_g(f(x)). \end{aligned} $$ La dernière étape est \(b = f(a)\) et la forme de Carathéodory de \(f\), \(f(x) - f(a) = (x - a)\,\varphi_f(x)\). Posons \(\varphi(x) = \varphi_f(x)\,\varphi_g(f(x))\), de sorte que \(g(f(x)) = g(f(a)) + (x - a)\,\varphi(x)\). La fonction \(f\) est continue en \(a\) (Proposition « Dérivable implique continue ») et \(\varphi_g\) est continue en \(f(a)\), donc \(\varphi_g \circ f\) est continue en \(a\), et le produit \(\varphi\) aussi, par la Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) ». Par la Proposition « Forme de Carathéodory », \(g \circ f\) est dérivable en \(a\), et \((g \circ f)'(a) = \varphi(a) = \varphi_f(a)\,\varphi_g(f(a)) = f'(a)\,g'(f(a))\).
Exemple — Deux composées
Calculer les dérivées de \(f(x) = (x^3 + 1)^5\) et de \(g(x) = \sqrt{x^2 + 1}\) sur \(\mathbb{R}\) par dérivation en chaîne.
La fonction \(f\). Écrivons \(f = v \circ u\) avec \(u(x) = x^3 + 1\), donc \(u'(x) = 3x^2\), et \(v(y) = y^5\), donc \(v'(y) = 5y^4\) (Exemple « La dérivée de \(x^n\) et d'un polynôme »). Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), $$ \begin{aligned} f'(x) &= v'(u(x))\,u'(x) && \text{(dérivation en chaîne)} \\
&= 5\,(x^3 + 1)^4 \cdot 3x^2 && \text{(\(v'(y) = 5y^4\) et \(u'(x) = 3x^2\))} \\
&= 15x^2\,(x^3 + 1)^4. \end{aligned} $$ La fonction \(g\). Écrivons \(g = v \circ u\) avec \(u(x) = x^2 + 1\), donc \(u'(x) = 2x\), et \(v(y) = \sqrt{y}\). Comme \(u(x) \ge 1 > 0\), le nombre \(u(x)\) est dans \(]0, +\infty[\), où \(v'(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}\) par l'Exemple « La dérivée de \(\sqrt{x}\) en \(a > 0\) ». Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), $$ \begin{aligned} g'(x) &= v'(u(x))\,u'(x) && \text{(dérivation en chaîne)} \\
&= \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x && \text{(\(v'(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}\) et \(u'(x) = 2x\))} \\
&= \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}. \end{aligned} $$
Proposition — Formes composées usuelles
Soit \(u \colon I \to \mathbb{R}\) dérivable en \(a \in I\). Alors, en \(a\) : - pour \(n \in \mathbb{N}^*\), \(\textcolor{colorprop}{(u^n)' = n\,u^{n-1}\,u'}\) ;
- si \(u > 0\) sur \(I\), \(\textcolor{colorprop}{(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}}\) et \(\textcolor{colorprop}{(\ln u)' = \frac{u'}{u}}\) ;
- \(\textcolor{colorprop}{(e^u)' = u'\,e^u}\) ;
- \(\textcolor{colorprop}{(\sin u)' = u'\cos u}\) et \(\textcolor{colorprop}{(\cos u)' = -u'\sin u}\).
Chaque forme est la Proposition « Dérivation en chaîne » appliquée à \(g \circ u\), où la fonction extérieure \(g\) est définie sur un intervalle \(J\) qui contient \(u(I)\) et est dérivable en \(u(a)\) :
- \(g(y) = y^n\) sur \(J = \mathbb{R}\), avec \(g'(y) = n y^{n-1}\) par l'Exemple « La dérivée de \(x^n\) et d'un polynôme » ;
- \(g(y) = \sqrt{y}\) sur \(J = ]0, +\infty[\), avec \(g'(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}\) par l'Exemple « La dérivée de \(\sqrt{x}\) en \(a > 0\) » ;
- \(g = \ln\) sur \(J = ]0, +\infty[\), avec \(\ln'(y) = \frac{1}{y}\), une dérivée du lycée ;
- \(g = \exp\) sur \(\mathbb{R}\), avec \(\exp' = \exp\) ; \(g = \sin\) sur \(\mathbb{R}\), avec \(\sin' = \cos\) ; \(g = \cos\) sur \(\mathbb{R}\), avec \(\cos' = -\sin\), dérivées du lycée.
Compétences à pratiquer
- Dériver une composée ★
- Dériver une composée où figurent exp ou ln ou cos ★
III
Dérivées d'ordre supérieur
Itérer la dérivation
Itérer la dérivation donne les dérivées d'ordre supérieur, et les classes \(C^k\) mesurent la régularité d'une fonction : combien de fois elle peut être dérivée, et si la dernière dérivée est continue. La stabilité des classes par les opérations de calcul est démontrée, composée et réciproque comprises, et la formule de Leibniz pour la dérivée d'un produit, un calcul direct, en est le modèle pour les ordres supérieurs.
III.1
Dérivées successives et classes \(C^k\)
Dériver encore
La dérivée \(f'\) d'une fonction dérivable est une fonction, et elle peut elle-même être dérivable : sa dérivée est la dérivée seconde, et ainsi de suite. Une fonction peut être dérivable une fois sans l'être deux fois, et sa dérivée peut exister sans être continue. Les classes \(C^k\) notent jusqu'où l'on peut aller ; l'Exemple « Dérivable mais pas de classe \(C^1\) » montre que « dérivable » et « de classe \(C^1\) » sont des propriétés différentes.
Définition — Dérivée \(n\)-ième
Définition récursive : \(f^{(0)} = f\). Si \(f^{(n)}\) est définie et dérivable sur \(I\), alors \(f^{(n+1)} = (f^{(n)})'\). \(f\) est dite \(n\) fois dérivable sur \(I\) si \(f^{(n)}\) existe sur \(I\). Définition — Classes \(C^k\) et \(C^\infty\)
Soient \(f \colon I \to \mathbb{R}\) et \(k \in \mathbb{N}\). La fonction \(f\) est de classe \(C^k\) sur \(I\) si \(f\) est \(k\) fois dérivable sur \(I\) et si \(f^{(k)}\) est continue sur \(I\) ; la classe \(C^0\) est l'ensemble des fonctions continues. Elle est de classe \(C^\infty\) si elle est de classe \(C^k\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\). Ces ensembles sont notés \(\textcolor{colordef}{C^k(I, \mathbb{R})}\) et \(\textcolor{colordef}{C^\infty(I, \mathbb{R})}\), et \(k \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}\) nomme une classe.Par la Proposition « Dérivable implique continue », \(f^{(k)}\) est continue dès qu'elle est dérivable : une fonction \(k + 1\) fois dérivable est de classe \(C^k\). D'où la chaîne d'inclusions $$C^\infty(I, \mathbb{R}) \subset \dots \subset C^2(I, \mathbb{R}) \subset C^1(I, \mathbb{R}) \subset C^0(I, \mathbb{R}).$$ Une fonction de classe \(C^1\) est une fonction dérivable dont la dérivée est continue.
Proposition — Classe \(C^{p+q}\)
Soient \(f \colon I \to \mathbb{R}\) et \(p, q \in \mathbb{N}\). Alors $$\textcolor{colorprop}{f \in C^{p+q}(I, \mathbb{R}) \iff f \text{ est } p \text{ fois dérivable et } f^{(p)} \in C^q(I, \mathbb{R})},$$ et alors \(f^{(p+q)} = \big(f^{(p)}\big)^{(q)}\).
Fixons \(p \in \mathbb{N}\). Pour \(q \in \mathbb{N}\), soit \(Q_q\) la propriété « pour toute fonction \(f \colon I \to \mathbb{R}\), \(f\) est \((p + q)\) fois dérivable si et seulement si \(f\) est \(p\) fois dérivable et \(f^{(p)}\) est \(q\) fois dérivable, et alors \(f^{(p+q)} = (f^{(p)})^{(q)}\) ». On démontre \(Q_q\) par récurrence sur \(q\).
- Initialisation. Pour \(q = 0\), « \(f^{(p)}\) est \(0\) fois dérivable » n'impose aucune condition, et \(f^{(p)} = (f^{(p)})^{(0)}\) : \(Q_0\) est vraie.
- Hérédité. Soit \(q \in \mathbb{N}\). Supposons \(Q_q\). Montrons \(Q_{q+1}\). Par la Définition « Dérivée \(n\)-ième », \(f\) est \((p + q + 1)\) fois dérivable si et seulement si \(f\) est \((p + q)\) fois dérivable et \(f^{(p+q)}\) est dérivable. Par hypothèse de récurrence, « \(f\) est \((p + q)\) fois dérivable » signifie « \(f\) est \(p\) fois dérivable et \(f^{(p)}\) est \(q\) fois dérivable », et alors \(f^{(p+q)} = (f^{(p)})^{(q)}\). Donc \(f\) est \((p + q + 1)\) fois dérivable si et seulement si \(f\) est \(p\) fois dérivable, \(f^{(p)}\) est \(q\) fois dérivable et \((f^{(p)})^{(q)}\) est dérivable, c'est-à-dire si et seulement si \(f\) est \(p\) fois dérivable et \(f^{(p)}\) est \((q + 1)\) fois dérivable. Dans ce cas $$ \begin{aligned} f^{(p+q+1)} &= \big(f^{(p+q)}\big)' && \text{(définition de la dérivée \(n\)-ième)} \\ &= \Big(\big(f^{(p)}\big)^{(q)}\Big)' && \text{(hypothèse de récurrence)} \\ &= \big(f^{(p)}\big)^{(q+1)}. \end{aligned} $$ C'est \(Q_{q+1}\).
- Conclusion. Puisque \(Q_0\) est vraie et que \(Q_q \Rightarrow Q_{q+1}\) pour tout \(q\), par récurrence \(Q_q\) est vraie pour tout \(q \in \mathbb{N}\).
Exemple — Les polynômes sont de classe \(C^\infty\)
Montrer que toute fonction polynomiale est de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\), et calculer les dérivées successives de \(x \mapsto x^m\) pour \(m \in \mathbb{N}\).
Les dérivées de \(x^m\). Soit \(m \in \mathbb{N}\). Pour \(0 \le k \le m\), soit \(P_k\) la propriété « \((x^m)^{(k)} = \frac{m!}{(m - k)!}\,x^{m-k}\) ».
- Initialisation. \((x^m)^{(0)} = x^m = \frac{m!}{m!}\,x^m\), donc \(P_0\) est vraie.
- Hérédité. Soit \(0 \le k < m\). Supposons \(P_k\). Montrons \(P_{k+1}\). $$ \begin{aligned} (x^m)^{(k+1)} &= \left(\frac{m!}{(m - k)!}\,x^{m-k}\right)' && \text{(définition de la dérivée \(n\)-ième et hypothèse de récurrence)} \\ &= \frac{m!}{(m - k)!}\,(m - k)\,x^{m-k-1} && \text{(dérivée de \(x^{m-k}\), \(m - k \ge 1\))} \\ &= \frac{m!}{(m - k - 1)!}\,x^{m-k-1}. \end{aligned} $$ La dernière étape est \(\frac{m - k}{(m - k)!} = \frac{1}{(m - k - 1)!}\). Donc \(P_{k+1}\).
- Conclusion. \(P_k\) est vraie pour \(0 \le k \le m\). En particulier \((x^m)^{(m)} = m!\) est constante, donc \((x^m)^{(k)} = 0\) pour tout \(k > m\).
Exemple — Les dérivées successives de \(\frac{1}{x - 1}\)
Calculer les dérivées successives de \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{x - 1}\) sur \(I = {]}1, +\infty{[}\).
Une règle sert à chaque étape : pour \(m \in \mathbb{N}^*\) et \(u(x) = x - 1\), de dérivée \(1\), $$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{u^m}\right)' &= -\frac{(u^m)'}{u^{2m}} && \text{(règle du quotient)} \\
&= -\frac{m\,u^{m-1}}{u^{2m}} && \text{(Proposition « Formes composées usuelles » avec \(u' = 1\))} \\
&= -\frac{m}{u^{m+1}}. \end{aligned} $$ Pour \(k \in \mathbb{N}\), soit \(P_k\) la propriété « \(f^{(k)}(x) = \dfrac{(-1)^k\,k!}{(x - 1)^{k+1}}\) pour tout \(x \in I\) ».
- Initialisation. \(f^{(0)}(x) = \frac{1}{x - 1} = \frac{(-1)^0\,0!}{(x - 1)^1}\), donc \(P_0\) est vraie.
- Hérédité. Soit \(k \in \mathbb{N}\). Supposons \(P_k\). Montrons \(P_{k+1}\). $$ \begin{aligned} f^{(k+1)}(x) &= \left(\frac{(-1)^k\,k!}{(x - 1)^{k+1}}\right)' && \text{(définition de la dérivée \(n\)-ième et hypothèse de récurrence)} \\ &= (-1)^k\,k!\,\cdot\left(-\frac{k + 1}{(x - 1)^{k+2}}\right) && \text{(la règle ci-dessus avec \(m = k + 1\))} \\ &= \frac{(-1)^{k+1}\,(k + 1)!}{(x - 1)^{k+2}}. \end{aligned} $$ La dernière étape regroupe les signes et \(k!\,(k + 1) = (k + 1)!\). Donc \(P_{k+1}\).
- Conclusion. Puisque \(P_0\) est vraie et que \(P_k \Rightarrow P_{k+1}\) pour tout \(k\), par récurrence \(P_k\) est vraie pour tout \(k \in \mathbb{N}\).
Exemple — Une fonction de classe \(C^1\) mais pas \(C^2\)
Montrer que \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x\,\lvert x \rvert\), est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\) mais pas de classe \(C^2\).
La dérivée en tout point. La dérivée se calcule directement par le taux d'accroissement, en un point \(a \ne 0\) et en \(0\).
Soit \(a \ne 0\), et soit \(s = 1\) si \(a > 0\) et \(s = -1\) si \(a < 0\). Pour \(x\) du signe de \(a\), \(\lvert x \rvert = s\,x\), donc \(f(x) = s\,x^2\). Pour \(0 < \lvert h \rvert < \lvert a \rvert\), le nombre \(a + h\) a le signe de \(a\), et $$ \begin{aligned} \tau_a(h) &= \frac{f(a + h) - f(a)}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\ &= s\,\frac{(a + h)^2 - a^2}{h} && \text{(\(a + h\) et \(a\) ont le signe \(s\))} \\ &= s\,(2a + h) && \text{(développement et simplification par \(h \ne 0\))} \\ &\xrightarrow[h \to 0]{} 2sa. \end{aligned} $$ En \(a = 0\), pour tout \(h \ne 0\), \(\tau_0(h) = \frac{h\lvert h \rvert - 0}{h} = \lvert h \rvert \to 0\). Donc \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et \(f'(x) = 2\lvert x \rvert\) pour tout \(x\) : \(2sa = 2\lvert a \rvert\) pour \(a \ne 0\), puisque \(s\,a = \lvert a \rvert\), et \(0 = 2\lvert 0 \rvert\).
Classe \(C^1\). La fonction \(f' = 2\lvert \cdot \rvert\) est continue sur \(\mathbb{R}\), donc \(f \in C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})\).
Pas de classe \(C^2\). Si \(f'\) était dérivable en \(0\), alors \(\lvert x \rvert = \frac{1}{2}f'(x)\) le serait, par la Proposition « Linéarité ». Or \(\lvert \cdot \rvert\) n'est pas dérivable en \(0\), d'après l'Exemple « Un point anguleux, la valeur absolue en \(0\) ». Donc \(f''(0)\) n'existe pas : \(f\) n'est pas deux fois dérivable, et \(f \notin C^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})\).
Soit \(a \ne 0\), et soit \(s = 1\) si \(a > 0\) et \(s = -1\) si \(a < 0\). Pour \(x\) du signe de \(a\), \(\lvert x \rvert = s\,x\), donc \(f(x) = s\,x^2\). Pour \(0 < \lvert h \rvert < \lvert a \rvert\), le nombre \(a + h\) a le signe de \(a\), et $$ \begin{aligned} \tau_a(h) &= \frac{f(a + h) - f(a)}{h} && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\ &= s\,\frac{(a + h)^2 - a^2}{h} && \text{(\(a + h\) et \(a\) ont le signe \(s\))} \\ &= s\,(2a + h) && \text{(développement et simplification par \(h \ne 0\))} \\ &\xrightarrow[h \to 0]{} 2sa. \end{aligned} $$ En \(a = 0\), pour tout \(h \ne 0\), \(\tau_0(h) = \frac{h\lvert h \rvert - 0}{h} = \lvert h \rvert \to 0\). Donc \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et \(f'(x) = 2\lvert x \rvert\) pour tout \(x\) : \(2sa = 2\lvert a \rvert\) pour \(a \ne 0\), puisque \(s\,a = \lvert a \rvert\), et \(0 = 2\lvert 0 \rvert\).
Classe \(C^1\). La fonction \(f' = 2\lvert \cdot \rvert\) est continue sur \(\mathbb{R}\), donc \(f \in C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})\).
Pas de classe \(C^2\). Si \(f'\) était dérivable en \(0\), alors \(\lvert x \rvert = \frac{1}{2}f'(x)\) le serait, par la Proposition « Linéarité ». Or \(\lvert \cdot \rvert\) n'est pas dérivable en \(0\), d'après l'Exemple « Un point anguleux, la valeur absolue en \(0\) ». Donc \(f''(0)\) n'existe pas : \(f\) n'est pas deux fois dérivable, et \(f \notin C^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})\).
Exemple — Dérivable mais pas de classe \(C^1\)
Soit \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x^2 \sin\frac{1}{x}\) pour \(x \ne 0\) et \(f(0) = 0\). Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), avec \(f'(0) = 0\), mais que \(f'\) n'a pas de limite en \(0\) : \(f\) n'est pas de classe \(C^1\).
En \(0\). Pour tout \(h \ne 0\), $$ \begin{aligned} \lvert \tau_0(h) \rvert &= \left\lvert \frac{h^2 \sin\frac{1}{h} - 0}{h} \right\rvert && \text{(définition du taux d'accroissement)} \\
&= \lvert h \rvert \left\lvert \sin\frac{1}{h} \right\rvert && \text{(simplification par \(h \ne 0\))} \\
&\le \lvert h \rvert && \text{(\(\lvert \sin t \rvert \le 1\))} \\
&\xrightarrow[h \to 0]{} 0. \end{aligned} $$ Par le Théorème « Théorème d'encadrement » du chapitre Limites et continuité, \(\tau_0(h) \to 0\) : \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'(0) = 0\).
En \(x \ne 0\). Sur chacun des intervalles \(]-\infty, 0[\) et \(]0, +\infty[\), \(f(x) = x^2 \sin\frac{1}{x}\) est un produit et une composée de fonctions dérivables, et la dérivabilité en un point est locale. Avec \(u(x) = \frac{1}{x}\), de dérivée \(-\frac{1}{x^2}\), $$ \begin{aligned} f'(x) &= 2x \sin\frac{1}{x} + x^2\,(\sin u)'(x) && \text{(règle du produit)} \\ &= 2x \sin\frac{1}{x} + x^2 \cdot u'(x) \cos\frac{1}{x} && \text{(Proposition « Formes composées usuelles »)} \\ &= 2x \sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}. \end{aligned} $$ La dernière étape est \(x^2 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -1\).
Pas de limite de \(f'\) en \(0\). Pour \(n \ge 1\), posons \(x_n = \frac{1}{2n\pi}\) et \(y_n = \frac{1}{(2n + 1)\pi}\). Les deux suites sont strictement positives et tendent vers \(0\). Par la périodicité de \(\sin\) et de \(\cos\) et leurs valeurs en \(0\) et en \(\pi\), $$ \begin{aligned} f'(x_n) &= 2x_n \sin(2n\pi) - \cos(2n\pi) && \text{(formule de \(f'\), avec \(\frac{1}{x_n} = 2n\pi\))} \\ &= 2x_n \cdot 0 - 1 && \text{(périodicité, \(\sin 0 = 0\) et \(\cos 0 = 1\))} \\ &= -1, \\ f'(y_n) &= 2y_n \sin\big((2n + 1)\pi\big) - \cos\big((2n + 1)\pi\big) && \text{(formule de \(f'\), avec \(\frac{1}{y_n} = (2n + 1)\pi\))} \\ &= 2y_n \cdot 0 - (-1) && \text{(périodicité, \(\sin \pi = 0\) et \(\cos \pi = -1\))} \\ &= 1. \end{aligned} $$ Par la Méthode « Réfuter une limite par deux suites », \(f'\) n'a pas de limite en \(0\). En particulier \(f'\) n'est pas continue en \(0\), quelle que soit la valeur \(f'(0) = 0\) : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) mais n'est pas de classe \(C^1\).
En \(x \ne 0\). Sur chacun des intervalles \(]-\infty, 0[\) et \(]0, +\infty[\), \(f(x) = x^2 \sin\frac{1}{x}\) est un produit et une composée de fonctions dérivables, et la dérivabilité en un point est locale. Avec \(u(x) = \frac{1}{x}\), de dérivée \(-\frac{1}{x^2}\), $$ \begin{aligned} f'(x) &= 2x \sin\frac{1}{x} + x^2\,(\sin u)'(x) && \text{(règle du produit)} \\ &= 2x \sin\frac{1}{x} + x^2 \cdot u'(x) \cos\frac{1}{x} && \text{(Proposition « Formes composées usuelles »)} \\ &= 2x \sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}. \end{aligned} $$ La dernière étape est \(x^2 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -1\).
Pas de limite de \(f'\) en \(0\). Pour \(n \ge 1\), posons \(x_n = \frac{1}{2n\pi}\) et \(y_n = \frac{1}{(2n + 1)\pi}\). Les deux suites sont strictement positives et tendent vers \(0\). Par la périodicité de \(\sin\) et de \(\cos\) et leurs valeurs en \(0\) et en \(\pi\), $$ \begin{aligned} f'(x_n) &= 2x_n \sin(2n\pi) - \cos(2n\pi) && \text{(formule de \(f'\), avec \(\frac{1}{x_n} = 2n\pi\))} \\ &= 2x_n \cdot 0 - 1 && \text{(périodicité, \(\sin 0 = 0\) et \(\cos 0 = 1\))} \\ &= -1, \\ f'(y_n) &= 2y_n \sin\big((2n + 1)\pi\big) - \cos\big((2n + 1)\pi\big) && \text{(formule de \(f'\), avec \(\frac{1}{y_n} = (2n + 1)\pi\))} \\ &= 2y_n \cdot 0 - (-1) && \text{(périodicité, \(\sin \pi = 0\) et \(\cos \pi = -1\))} \\ &= 1. \end{aligned} $$ Par la Méthode « Réfuter une limite par deux suites », \(f'\) n'a pas de limite en \(0\). En particulier \(f'\) n'est pas continue en \(0\), quelle que soit la valeur \(f'(0) = 0\) : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) mais n'est pas de classe \(C^1\).
Compétences à pratiquer
- Reconnaître la classe d'une fonction ★
- Calculer des dérivées successives d'un polynôme ★
III.2
Stabilité des classes \(C^k\)
Les classes sont stables par les opérations
Les opérations de calcul n'abaissent pas la régularité : la somme, le produit, le quotient, la composée et la réciproque de fonctions de classe \(C^k\) sont de classe \(C^k\), avec les hypothèses naturelles. Les démonstrations sont des récurrences sur \(k\), et chaque règle ramène la dérivée d'ordre \(k + 1\) du résultat à des dérivées d'ordre \(k\) des données, par la formule de la dérivée de l'opération.
Proposition — Stabilité de la classe \(C^k\)
Soient \(I\) et \(J\) des intervalles non réduits à un point, \(k \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}\), \(f, g \in C^k(I, \mathbb{R})\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\). Alors : - \(\textcolor{colorprop}{\lambda f + \mu g \in C^k(I, \mathbb{R})}\) ;
- \(\textcolor{colorprop}{f g \in C^k(I, \mathbb{R})}\) ;
- si \(g\) ne s'annule pas sur \(I\), \(\textcolor{colorprop}{\frac{f}{g} \in C^k(I, \mathbb{R})}\) ;
- si \(\varphi \colon J \to \mathbb{R}\) est de classe \(C^k\) avec \(\varphi(J) \subset I\), alors \(\textcolor{colorprop}{f \circ \varphi \in C^k(J, \mathbb{R})}\) ;
- si \(k \ge 1\) et si \(f\) est une bijection de \(I\) sur \(f(I)\) dont la dérivée \(f'\) ne s'annule pas sur \(I\), alors \(\textcolor{colorprop}{f^{-1} \in C^k(f(I), \mathbb{R})}\).
Comme \(C^\infty(I, \mathbb{R})\) est l'intersection des classes \(C^k(I, \mathbb{R})\), le cas \(k = \infty\) résulte des cas finis : prenons \(k \in \mathbb{N}\). Chaque point se démontre par récurrence sur \(k\), dans l'ordre de l'énoncé, un point utilisant les précédents au rang \(k\). On utilise la Proposition « Classe \(C^{p+q}\) » avec \(p = 1\) et \(q = k\) : une fonction est de classe \(C^{k+1}\) si et seulement si elle est dérivable et sa dérivée est de classe \(C^k\).
- Combinaison linéaire. Initialisation. Pour \(k = 0\), \(\lambda f + \mu g\) est continue par la Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) ». Hérédité. Soient \(f, g \in C^{k+1}\). Elles sont dérivables avec \(f', g' \in C^k\), et \(\lambda f + \mu g\) est dérivable avec \((\lambda f + \mu g)' = \lambda f' + \mu g'\) par la Proposition « Linéarité ». Par hypothèse de récurrence, \(\lambda f' + \mu g' \in C^k\), donc \(\lambda f + \mu g \in C^{k+1}\).
- Produit. Initialisation. Pour \(k = 0\), \(fg\) est continue. Hérédité. Soient \(f, g \in C^{k+1}\). Le produit \(fg\) est dérivable avec \((fg)' = f'g + fg'\), par la Proposition « Règle du produit ». Les fonctions \(f\) et \(g\) sont dans \(C^k\) et \(f'\) et \(g'\) sont dans \(C^k\), donc \(f'g\) et \(fg'\) sont dans \(C^k\) par hypothèse de récurrence, et leur somme aussi par le point précédent : \((fg)' \in C^k\) et \(fg \in C^{k+1}\).
- Quotient. On montre d'abord par récurrence sur \(k\) que \(\frac{1}{g} \in C^k\) quand \(g \in C^k\) ne s'annule pas. Initialisation. Pour \(k = 0\), \(\frac{1}{g}\) est continue car \(g\) est continue et ne s'annule pas. Hérédité. Soit \(g \in C^{k+1}\) ne s'annulant pas. Par la Proposition « Règle du quotient », \(\frac{1}{g}\) est dérivable avec \(\left(\frac{1}{g}\right)' = -g' \cdot \frac{1}{g^2}\). La fonction \(g^2\) est dans \(C^k\) par le point du produit, et ne s'annule pas, donc \(\frac{1}{g^2} \in C^k\) par hypothèse de récurrence ; avec \(g' \in C^k\), le point du produit donne \(\left(\frac{1}{g}\right)' \in C^k\), donc \(\frac{1}{g} \in C^{k+1}\). Alors \(\frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g}\) est un produit de deux fonctions de classe \(C^k\), donc de classe \(C^k\).
- Composition. Initialisation. Pour \(k = 0\), \(f \circ \varphi\) est continue par la Proposition « Opérations sur la continuité (combinaison, produit, quotient, composition) ». Hérédité. Soient \(f \in C^{k+1}(I, \mathbb{R})\) et \(\varphi \in C^{k+1}(J, \mathbb{R})\) avec \(\varphi(J) \subset I\). Par la Proposition « Dérivation en chaîne », \(f \circ \varphi\) est dérivable avec \((f \circ \varphi)' = (f' \circ \varphi)\,\varphi'\). Or \(f' \in C^k(I, \mathbb{R})\) et \(\varphi \in C^k(J, \mathbb{R})\), donc \(f' \circ \varphi \in C^k(J, \mathbb{R})\) par hypothèse de récurrence, et \(\varphi' \in C^k(J, \mathbb{R})\). Par le point du produit, \((f \circ \varphi)' \in C^k\), donc \(f \circ \varphi \in C^{k+1}\).
- Réciproque. Soit \(J = f(I)\). Initialisation \(k = 1\). La fonction \(f\) est continue et injective sur l'intervalle \(I\), donc strictement monotone par le Théorème « Continue et injective si et seulement si strictement monotone » ; par le Théorème « Théorème de la bijection », \(J\) est un intervalle et \(f^{-1}\) est continue. Par la Proposition « Dérivée d'une fonction réciproque », \(f^{-1}\) est dérivable sur \(J\) avec \((f^{-1})' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}\). Comme \(f'\) et \(f^{-1}\) sont continues, \(f' \circ f^{-1}\) est continue, et elle ne s'annule pas, donc \((f^{-1})'\) est continue : \(f^{-1} \in C^1\). Hérédité. Soient \(k \ge 1\) et \(f \in C^{k+1}\). Par l'initialisation, \(f^{-1}\) est dérivable avec \((f^{-1})' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}\), et \(f^{-1} \in C^k(J, \mathbb{R})\) par hypothèse de récurrence, puisque \(f \in C^k\). Comme \(f' \in C^k(I, \mathbb{R})\), le point de la composition donne \(f' \circ f^{-1} \in C^k(J, \mathbb{R})\), qui ne s'annule pas ; par le point du quotient, \((f^{-1})' \in C^k(J, \mathbb{R})\), donc \(f^{-1} \in C^{k+1}\).
Compétences à pratiquer
- Justifier la classe d'une fonction par les règles de stabilité ★
IV
Fonctions lipschitziennes et inégalité des accroissements finis
Une borne sur la dérivée
Le théorème des accroissements finis transforme une information sur \(f'\) en une information sur les accroissements de \(f\). Une borne sur \(f'\) donne une borne sur tous les accroissements à la fois : c'est l'inégalité des accroissements finis, une propriété globale de \(f\) sur un intervalle, à la différence de la continuité, qui est locale. Elle a deux usages. Le premier est la comparaison de valeurs, par la propriété de Lipschitz. Le second est le principe de contraction : pour une suite récurrente \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(\lvert f' \rvert \le k < 1\), la distance à la limite est multipliée par au plus \(k\) à chaque pas, une vitesse que le théorème de la limite monotone ne donne pas. Le signe de \(f'\), qui donne la monotonie, est une troisième conséquence du théorème des accroissements finis.
IV.1
Fonctions lipschitziennes
Pentes des cordes
La pente de la corde joignant les points d'abscisses \(x\) et \(y\) d'un graphe est \(\frac{f(x) - f(y)}{x - y}\). Une fonction dont les cordes ont toutes leur pente comprise entre \(-K\) et \(K\) ne peut varier vite nulle part : c'est la propriété de Lipschitz, rencontrée dans le chapitre Limites et continuité pour la comparer à la continuité uniforme. Sa constante \(K\) est un nombre unique valable sur tout l'ensemble, ce qui rend la propriété globale ; le chapitre Limites et continuité démontre qu'elle implique la continuité (Proposition « Lipschitzienne implique uniformément continue implique continue »). Ici l'objet est le lien avec la dérivée, et le cas \(K < 1\), qui apporte la vitesse des suites récurrentes.
Définition — Fonctions lipschitziennes et contractantes
Soient \(I\) un intervalle, \(f \colon I \to \mathbb{R}\) et \(K \ge 0\). La fonction \(f\) est \(K\)-lipschitzienne sur \(I\) si $$\forall x, y \in I, \quad \lvert f(x) - f(y) \rvert \le K\,\lvert x - y \rvert,$$ et lipschitzienne si elle est \(K\)-lipschitzienne pour un certain \(K\), comme dans la Définition « Fonction lipschitzienne » du chapitre Limites et continuité. Pour \(x \ne y\), cela signifie \(\frac{\lvert f(x) - f(y) \rvert}{\lvert x - y \rvert} \le K\) : toutes les cordes du graphe ont une pente comprise entre \(-K\) et \(K\). La fonction \(f\) est \(k\)-contractante sur \(I\) si \(k \in [0, 1[\) et \(f\) est \(k\)-lipschitzienne sur \(I\), et contractante si elle est \(k\)-contractante pour un certain \(k < 1\) : la distance entre deux images est au plus \(k\) fois la distance entre les deux points. Exemple — Lipschitzienne sur une demi-droite fermée, pas sur une demi-droite ouverte
Montrer que \(x \mapsto \lvert x \rvert\) est \(1\)-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\), que \(x \mapsto \frac{1}{x}\) est \(\frac{1}{\varepsilon^2}\)-lipschitzienne sur \([\varepsilon, +\infty[\) pour tout \(\varepsilon > 0\), et que \(x \mapsto \frac{1}{x}\) n'est pas lipschitzienne sur \(]0, +\infty[\).
La valeur absolue. Pour tous \(x, y \in \mathbb{R}\), l'inégalité triangulaire sous la forme \(\big\lvert \lvert x \rvert - \lvert y \rvert \big\rvert \le \lvert x - y \rvert\) dit que \(\lvert \cdot \rvert\) est \(1\)-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\).
L'inverse sur \([\varepsilon, +\infty[\). Soient \(\varepsilon > 0\) et \(x, y \ge \varepsilon\). Alors \(xy \ge \varepsilon^2 > 0\) et $$ \begin{aligned} \left\lvert \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right\rvert &= \frac{\lvert y - x \rvert}{x y} && \text{(dénominateur commun, \(xy > 0\))} \\ &\le \frac{\lvert x - y \rvert}{\varepsilon^2}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(xy \ge \varepsilon^2 > 0\) donne \(\frac{1}{xy} \le \frac{1}{\varepsilon^2}\). Donc \(x \mapsto \frac{1}{x}\) est \(\frac{1}{\varepsilon^2}\)-lipschitzienne sur \([\varepsilon, +\infty[\).
L'inverse sur \(]0, +\infty[\). Supposons par l'absurde que \(f(x) = \frac{1}{x}\) soit \(K\)-lipschitzienne sur \(]0, +\infty[\) pour un certain \(K \ge 0\). Pour tout \(x > 0\), le quotient attaché aux points \(2x\) et \(x\) est $$ \begin{aligned} \frac{\lvert f(2x) - f(x) \rvert}{\lvert 2x - x \rvert} &= \frac{\left\lvert \frac{1}{2x} - \frac{1}{x} \right\rvert}{x} && \text{(définition de \(f\), et \(2x - x = x\))} \\ &= \frac{1}{2x^2}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\frac{1}{2x} - \frac{1}{x} = -\frac{1}{2x}\). Comme \(f\) est \(K\)-lipschitzienne, ce quotient est au plus égal à \(K\) : \(\frac{1}{2x^2} \le K\) pour tout \(x > 0\). Mais \(\frac{1}{2x^2} \to +\infty\) quand \(x \to 0^+\), donc \(\frac{1}{2x^2}\) n'est pas majoré sur \(]0, +\infty[\), ce qui contredit la borne \(K\). Donc \(x \mapsto \frac{1}{x}\) n'est pas lipschitzienne sur \(]0, +\infty[\).
L'inverse sur \([\varepsilon, +\infty[\). Soient \(\varepsilon > 0\) et \(x, y \ge \varepsilon\). Alors \(xy \ge \varepsilon^2 > 0\) et $$ \begin{aligned} \left\lvert \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right\rvert &= \frac{\lvert y - x \rvert}{x y} && \text{(dénominateur commun, \(xy > 0\))} \\ &\le \frac{\lvert x - y \rvert}{\varepsilon^2}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(xy \ge \varepsilon^2 > 0\) donne \(\frac{1}{xy} \le \frac{1}{\varepsilon^2}\). Donc \(x \mapsto \frac{1}{x}\) est \(\frac{1}{\varepsilon^2}\)-lipschitzienne sur \([\varepsilon, +\infty[\).
L'inverse sur \(]0, +\infty[\). Supposons par l'absurde que \(f(x) = \frac{1}{x}\) soit \(K\)-lipschitzienne sur \(]0, +\infty[\) pour un certain \(K \ge 0\). Pour tout \(x > 0\), le quotient attaché aux points \(2x\) et \(x\) est $$ \begin{aligned} \frac{\lvert f(2x) - f(x) \rvert}{\lvert 2x - x \rvert} &= \frac{\left\lvert \frac{1}{2x} - \frac{1}{x} \right\rvert}{x} && \text{(définition de \(f\), et \(2x - x = x\))} \\ &= \frac{1}{2x^2}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(\frac{1}{2x} - \frac{1}{x} = -\frac{1}{2x}\). Comme \(f\) est \(K\)-lipschitzienne, ce quotient est au plus égal à \(K\) : \(\frac{1}{2x^2} \le K\) pour tout \(x > 0\). Mais \(\frac{1}{2x^2} \to +\infty\) quand \(x \to 0^+\), donc \(\frac{1}{2x^2}\) n'est pas majoré sur \(]0, +\infty[\), ce qui contredit la borne \(K\). Donc \(x \mapsto \frac{1}{x}\) n'est pas lipschitzienne sur \(]0, +\infty[\).
Figure — un graphe lipschitzien dans un double cône
Compétences à pratiquer
- Trouver la meilleure constante de Lipschitz ★
IV.2
Inégalité des accroissements finis
De la dérivée aux cordes
Le théorème des accroissements finis dit que la pente de toute corde d'un graphe est une valeur de la dérivée. Une borne sur la dérivée est donc une borne sur les pentes de toutes les cordes, ce qui est la propriété de Lipschitz, et un couple de bornes \(m \le f' \le M\) donne un couple de bornes sur tous les accroissements de \(f\). Réciproquement, une fonction lipschitzienne qui est dérivable a une dérivée bornée : pour une fonction dérivable, les deux propriétés coïncident. Les énoncés sont écrits sur un intervalle, où le théorème des accroissements finis s'applique à tout couple de points.
Théorème — Inégalité des accroissements finis
Soient \(I\) un intervalle et \(f \colon I \to \mathbb{R}\) continue sur \(I\) et dérivable sur \(\mathring{I}\). - Si \(m \le f'(t) \le M\) pour tout \(t \in \mathring{I}\), alors \(m\,(y - x) \le f(y) - f(x) \le M\,(y - x)\) pour tous \(x < y\) dans \(I\).
- Si \(\lvert f'(t) \rvert \le K\) pour tout \(t \in \mathring{I}\), alors \(f\) est \(K\)-lipschitzienne sur \(I\) : \(\lvert f(y) - f(x) \rvert \le K\,\lvert y - x \rvert\) pour tous \(x, y \in I\).
- Premier point. Soient \(x < y\) dans \(I\). Comme \(I\) est un intervalle, \([x, y] \subset I\), donc \(f\) est continue sur \([x, y]\), et \(]x, y[ \,\subset \mathring{I}\), donc \(f\) est dérivable sur \(]x, y[\). Le Théorème « Théorème des accroissements finis » sur \([x, y]\) donne \(c \in \,]x, y[\) avec \(f(y) - f(x) = f'(c)\,(y - x)\). Comme \(c \in \mathring{I}\), on a \(m \le f'(c) \le M\). Pour la majoration, $$ \begin{aligned} f(y) - f(x) &= f'(c)\,(y - x) && \text{(théorème des accroissements finis sur \([x, y]\))} \\ &\le M\,(y - x), \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(f'(c) \le M\) et \(y - x > 0\). Pour la minoration, la même chaîne donne \(f(y) - f(x) = f'(c)\,(y - x) \ge m\,(y - x)\), parce que \(f'(c) \ge m\) et \(y - x > 0\).
- Second point. Supposons \(-K \le f'(t) \le K\) pour tout \(t \in \mathring{I}\). Le premier point avec \(m = -K\) et \(M = K\) donne \(-K\,(y - x) \le f(y) - f(x) \le K\,(y - x)\) pour tous \(x < y\) dans \(I\), c'est-à-dire \(\lvert f(y) - f(x) \rvert \le K\,(y - x) = K\,\lvert y - x \rvert\). Pour \(x > y\), échanger les rôles de \(x\) et \(y\), ce qui ne change pas les valeurs absolues ; pour \(x = y\) les deux membres valent \(0\).
Proposition — Dérivable et lipschitzienne
Soient \(I\) un intervalle, \(f \colon I \to \mathbb{R}\) dérivable sur \(I\) et \(K \ge 0\). La fonction \(f\) est \(K\)-lipschitzienne sur \(I\) si et seulement si \(\lvert f'(t) \rvert \le K\) pour tout \(t \in I\). Par conséquent \(f\) est lipschitzienne sur \(I\) si et seulement si \(f'\) est bornée sur \(I\), et la plus petite constante est alors \(\sup_{t \in I} \lvert f'(t) \rvert\). - (\(\Leftarrow\)) Supposons \(\lvert f'(t) \rvert \le K\) pour tout \(t \in I\), donc pour tout \(t \in \mathring{I}\). La fonction \(f\) est dérivable sur \(I\), donc continue sur \(I\) (Proposition « Dérivable implique continue »). Le second point du Théorème « Inégalité des accroissements finis » montre que \(f\) est \(K\)-lipschitzienne sur \(I\).
- (\(\Rightarrow\)) Supposons \(f\) \(K\)-lipschitzienne sur \(I\), et soit \(a \in I\). Pour tout \(h \ne 0\) avec \(a + h \in I\), $$ \begin{aligned} \lvert \tau_a(h) \rvert &= \frac{\lvert f(a + h) - f(a) \rvert}{\lvert h \rvert} && \text{(définition de \(\tau_a(h)\))} \\ &\le K, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(f\) est \(K\)-lipschitzienne, ce qui donne \(\lvert f(a + h) - f(a) \rvert \le K\,\lvert h \rvert\). Quand \(h \to 0\), \(\tau_a(h) \to f'(a)\), donc \(\lvert \tau_a(h) \rvert \to \lvert f'(a) \rvert\) par continuité de la valeur absolue, et la Proposition « Passage à la limite dans une inégalité large » du chapitre Limites et continuité donne \(\lvert f'(a) \rvert \le K\).
Proposition — Une fonction \(C^1\) sur un segment est lipschitzienne
Soient \(a < b\) et \(f \colon [a, b] \to \mathbb{R}\) de classe \(C^1\) sur \([a, b]\). Alors \(f\) est lipschitzienne sur \([a, b]\), de constante \(M = \max_{[a, b]} \lvert f' \rvert\).
Par la Définition « Classes \(C^k\) et \(C^\infty\) », \(f\) est dérivable sur \([a, b]\) et \(f'\) est continue sur \([a, b]\). La fonction \(\lvert f' \rvert\) est alors continue sur \([a, b]\), comme composée de fonctions continues. Par le Théorème « Théorème des bornes atteintes » du chapitre Limites et continuité, elle a un maximum \(M\) sur le segment \([a, b]\), de sorte que \(\lvert f'(t) \rvert \le M\) pour tout \(t \in [a, b]\). La fonction \(f\) est continue sur \([a, b]\) et dérivable sur \(]a, b[\), et le second point du Théorème « Inégalité des accroissements finis » montre que \(f\) est \(M\)-lipschitzienne sur \([a, b]\).
Méthode — Lipschitzianité à partir d'une borne sur \(f'\)
Pour montrer que \(f\) est \(K\)-lipschitzienne sur un intervalle \(I\) : - Vérifier les hypothèses. La fonction \(f\) doit être continue sur \(I\) et dérivable sur \(\mathring{I}\).
- Majorer \(\lvert f' \rvert\) par une constante. Calculer \(f'\) et majorer \(\lvert f'(t) \rvert \le K\) pour tout \(t \in \mathring{I}\), en majorant chaque ingrédient de la formule. Sur un segment, quand \(f\) est de classe \(C^1\), la fonction continue \(\lvert f' \rvert\) a un maximum, qui est un \(K\) convenable (Proposition « Une fonction \(C^1\) sur un segment est lipschitzienne »).
- Conclure. Le Théorème « Inégalité des accroissements finis » donne que \(f\) est \(K\)-lipschitzienne sur \(I\).
Exemple — Une racine carrée lipschitzienne
Montrer que \(f \colon [0, +\infty[ \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \sqrt{x + 1}\), est \(\frac{1}{2}\)-lipschitzienne.
La fonction \(f\) est continue sur \([0, +\infty[\) et dérivable sur \(]0, +\infty[\), avec \(f'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t + 1}}\) par la Proposition « Formes composées usuelles ». Pour tout \(t > 0\), $$ \begin{aligned} \lvert f'(t) \rvert &= \frac{1}{2\sqrt{t + 1}} && \text{(dérivée de \(\sqrt{t + 1}\))} \\
&\le \frac{1}{2}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(t + 1 \ge 1\) donne \(\sqrt{t + 1} \ge 1\). Par le Théorème « Inégalité des accroissements finis » avec \(K = \frac{1}{2}\) et \(I = [0, +\infty[\), \(f\) est \(\frac{1}{2}\)-lipschitzienne.
Exemple — Le sinus est 1-lipschitzien
Montrer que \(\lvert \sin x \rvert \le \lvert x \rvert\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Le sinus est dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(\sin' = \cos\) et \(\lvert \cos t \rvert \le 1\) pour tout \(t \in \mathbb{R}\). Par le Théorème « Inégalité des accroissements finis » avec \(K = 1\) et \(I = \mathbb{R}\), le sinus est \(1\)-lipschitzien sur \(\mathbb{R}\). Donc, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), $$ \begin{aligned} \lvert \sin x \rvert &= \lvert \sin x - \sin 0 \rvert && \text{(\(\sin 0 = 0\))} \\
&\le \lvert x - 0 \rvert && \text{(\(\sin\) est \(1\)-lipschitzien)} \\
&= \lvert x \rvert. \end{aligned} $$
Compétences à pratiquer
- Appliquer l'inégalité des accroissements finis ★
IV.3
Suites récurrentes et points fixes
Une borne qui fait converger la suite vite
Le théorème de la limite monotone décide si une suite récurrente \(u_{n+1} = f(u_n)\) converge, mais pas à quelle vitesse. L'inégalité des accroissements finis le fait : quand \(\lvert f' \rvert \le k < 1\) sur un intervalle stable, la distance au point fixe est multipliée par au plus \(k\) à chaque pas, donc elle décroît au moins aussi vite que la suite géométrique \(k^n\), et le nombre de pas nécessaires pour une précision donnée se calcule à l'avance. Le point fixe est la clé. Près d'un point fixe \(\ell\), la valeur de \(\lvert f'(\ell) \rvert\) décide si \(\ell\) attire les suites qui partent près de lui ou les repousse.
Proposition — Principe de contraction
Soient \([a, b]\) un segment, \(k \in [0, 1[\) et \(f \colon [a, b] \to [a, b]\) une fonction \(k\)-contractante. Alors : - \(f\) a exactement un point fixe \(\ell \in [a, b]\) ;
- pour tout \(u_0 \in [a, b]\), la suite définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\) vérifie \(\lvert u_n - \ell \rvert \le k^n\,\lvert u_0 - \ell \rvert\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\), et \(u_n \to \ell\).
- Existence d'un point fixe. Comme \(f\) est \(k\)-lipschitzienne, elle est continue sur \([a, b]\) (Proposition « Lipschitzienne implique uniformément continue implique continue » du chapitre Limites et continuité). Donc \(g(x) = f(x) - x\) est continue sur \([a, b]\), comme différence de fonctions continues. Comme \(f\) prend ses valeurs dans \([a, b]\), on a \(f(a) \ge a\) et \(f(b) \le b\), c'est-à-dire \(g(a) \ge 0 \ge g(b)\). Le Théorème « Théorème des valeurs intermédiaires » du chapitre Limites et continuité donne \(\ell \in [a, b]\) avec \(g(\ell) = 0\), c'est-à-dire \(f(\ell) = \ell\).
- Unicité. Soient \(\ell, \ell'\) deux points fixes dans \([a, b]\). Alors $$ \begin{aligned} \lvert \ell - \ell' \rvert &= \lvert f(\ell) - f(\ell') \rvert && \text{(\(\ell\) et \(\ell'\) sont des points fixes)} \\ &\le k\,\lvert \ell - \ell' \rvert, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(f\) est \(k\)-lipschitzienne. Donc \((1 - k)\,\lvert \ell - \ell' \rvert \le 0\), et \(1 - k > 0\) donne \(\lvert \ell - \ell' \rvert \le 0\), donc \(\ell = \ell'\).
- La suite. Soit \(u_0 \in [a, b]\). Le segment \([a, b]\) est stable par \(f\), donc la suite \((u_n)\) est définie et \(u_n \in [a, b]\) pour tout \(n\) (Proposition « Une partie stable définit la suite et contient ses termes » du chapitre Suites réelles). Pour tout \(n\), $$ \begin{aligned} \lvert u_{n+1} - \ell \rvert &= \lvert f(u_n) - f(\ell) \rvert && \text{(\(u_{n+1} = f(u_n)\) et \(f(\ell) = \ell\))} \\ &\le k\,\lvert u_n - \ell \rvert, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(u_n\) et \(\ell\) sont dans \([a, b]\) et que \(f\) est \(k\)-lipschitzienne. La Proposition « Vitesse géométrique » du chapitre Suites réelles donne alors \(\lvert u_n - \ell \rvert \le k^n\,\lvert u_0 - \ell \rvert\) pour tout \(n\) et \(u_n \to \ell\).
Proposition — Points fixes attractifs et répulsifs
Soient \(I\) un intervalle, \(f \colon I \to \mathbb{R}\) dérivable sur \(I\) avec \(f(I) \subset I\), et \(\ell \in I\) un point fixe de \(f\) en lequel \(f'\) est continue. - Cas attractif. Si \(\lvert f'(\ell) \rvert < 1\), il existe \(\alpha > 0\) et \(K \in [0, 1[\) tels que \(J = I \cap [\ell - \alpha, \ell + \alpha]\) soit stable par \(f\) et, pour tout \(u_0 \in J\), la suite définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\) vérifie \(\lvert u_n - \ell \rvert \le K^n\,\lvert u_0 - \ell \rvert\) ; en particulier \(u_n \to \ell\).
- Cas répulsif. Si \(\lvert f'(\ell) \rvert > 1\), toute suite \((u_n)\) à valeurs dans \(I\), avec \(u_{n+1} = f(u_n)\) et \(u_n \to \ell\), est égale à \(\ell\) à partir d'un certain rang.
La fonction \(\lvert f' \rvert\) est continue en \(\ell\), comme composée de \(f'\) et de la valeur absolue, toutes deux continues aux points voulus. Posons \(K = \frac{\lvert f'(\ell) \rvert + 1}{2}\), le nombre à mi-chemin entre \(\lvert f'(\ell) \rvert\) et \(1\).
- Cas attractif. Ici \(\lvert f'(\ell) \rvert < K < 1\). Par continuité de \(\lvert f' \rvert\) en \(\ell\) avec la tolérance \(K - \lvert f'(\ell) \rvert > 0\), il existe \(\alpha > 0\) tel que \(\lvert f'(t) \rvert \le K\) pour tout \(t \in J = I \cap [\ell - \alpha, \ell + \alpha]\). L'ensemble \(J\) est un intervalle, et \(f\) est continue sur \(J\) et dérivable sur \(\mathring{J} \subset \mathring{I}\), avec \(\lvert f' \rvert \le K\) sur \(\mathring{J}\). Par le Théorème « Inégalité des accroissements finis », \(f\) est \(K\)-lipschitzienne sur \(J\). L'ensemble \(J\) est stable par \(f\) : pour \(x \in J\), $$ \begin{aligned} \lvert f(x) - \ell \rvert &= \lvert f(x) - f(\ell) \rvert && \text{(\(f(\ell) = \ell\))} \\ &\le K\,\lvert x - \ell \rvert && \text{(\(f\) est \(K\)-lipschitzienne sur \(J\))} \\ &\le \alpha, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(K < 1\) et \(\lvert x - \ell \rvert \le \alpha\). Donc \(f(x) \in [\ell - \alpha, \ell + \alpha]\), et \(f(x) \in I\) puisque \(f(I) \subset I\) : \(f(x) \in J\). Soit maintenant \(u_0 \in J\). Par la Proposition « Une partie stable définit la suite et contient ses termes » du chapitre Suites réelles, \(u_n \in J\) pour tout \(n\), et $$ \begin{aligned} \lvert u_{n+1} - \ell \rvert &= \lvert f(u_n) - f(\ell) \rvert && \text{(\(u_{n+1} = f(u_n)\) et \(f(\ell) = \ell\))} \\ &\le K\,\lvert u_n - \ell \rvert, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(u_n\) et \(\ell\) sont dans \(J\). La Proposition « Vitesse géométrique » du chapitre Suites réelles donne \(\lvert u_n - \ell \rvert \le K^n\,\lvert u_0 - \ell \rvert\) et \(u_n \to \ell\).
- Cas répulsif. Ici \(1 < K < \lvert f'(\ell) \rvert\). Par continuité de \(\lvert f' \rvert\) en \(\ell\) avec la tolérance \(\lvert f'(\ell) \rvert - K > 0\), il existe \(\alpha > 0\) tel que \(\lvert f'(t) \rvert \ge K\) pour tout \(t \in J = I \cap [\ell - \alpha, \ell + \alpha]\). Soit \(x \in J\) avec \(x \ne \ell\). Le segment d'extrémités \(\ell\) et \(x\) est contenu dans \(J\), \(f\) y est continue et dérivable à l'intérieur, et le Théorème « Théorème des accroissements finis » donne \(c\) strictement compris entre \(\ell\) et \(x\), donc dans \(J\), avec \(f(x) - f(\ell) = f'(c)\,(x - \ell)\). Alors $$ \begin{aligned} \lvert f(x) - \ell \rvert &= \lvert f'(c) \rvert\,\lvert x - \ell \rvert && \text{(théorème des accroissements finis, \(f(\ell) = \ell\))} \\ &\ge K\,\lvert x - \ell \rvert, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(c \in J\) donne \(\lvert f'(c) \rvert \ge K\). Cette inégalité vaut aussi pour \(x = \ell\), où les deux membres sont nuls. Soit maintenant \((u_n)\) une suite à valeurs dans \(I\), avec \(u_{n+1} = f(u_n)\) et \(u_n \to \ell\). Par la définition de la limite avec la tolérance \(\alpha\), il existe un rang \(N\) tel que \(u_n \in J\) pour tout \(n \ge N\). Pour \(n \ge N\), l'inégalité ci-dessus donne \(\lvert u_{n+1} - \ell \rvert = \lvert f(u_n) - \ell \rvert \ge K\,\lvert u_n - \ell \rvert\), donc par récurrence \(\lvert u_n - \ell \rvert \ge K^{n-N}\,\lvert u_N - \ell \rvert\) pour tout \(n \ge N\). Comme \(u_n \in J\) donne \(\lvert u_n - \ell \rvert \le \alpha\), $$ \begin{aligned} 0 \le \lvert u_N - \ell \rvert &\le \frac{\lvert u_n - \ell \rvert}{K^{n-N}} && \text{(la récurrence ci-dessus)} \\ &\le \alpha \left(\frac{1}{K}\right)^{n-N}. \end{aligned} $$ La dernière borne tend vers \(0\) quand \(n \to +\infty\), parce que \(0 \le \frac{1}{K} < 1\). Par le théorème d'encadrement, la constante \(\lvert u_N - \ell \rvert\), comprise entre \(0\) et une suite qui tend vers \(0\), vaut \(0\) : \(u_N = \ell\). Alors \(u_{N+1} = f(\ell) = \ell\), et par récurrence \(u_n = \ell\) pour tout \(n \ge N\).
Méthode — Étudier \(u_{n+1} \equal f(u_n)\) par contraction
Pour étudier une suite récurrente \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(u_0\) donné, et calculer sa limite avec une erreur contrôlée : - Trouver un segment stable \([a, b]\) contenant \(u_0\), par la Méthode « Trouver un intervalle stable » du chapitre Suites réelles : encadrer \(f(x)\) pour \(x \in [a, b]\) et vérifier que \(f(x) \in [a, b]\).
- Majorer la dérivée. Vérifier que \(f\) est dérivable sur \([a, b]\), calculer \(f'\), et trouver \(k < 1\) avec \(\lvert f'(x) \rvert \le k\) pour tout \(x \in [a, b]\). Par le Théorème « Inégalité des accroissements finis », \(f\) est alors \(k\)-contractante sur \([a, b]\).
- Conclure avec le principe de contraction. La Proposition « Principe de contraction » donne l'existence et l'unicité du point fixe \(\ell\) dans \([a, b]\), la convergence \(u_n \to \ell\), et la vitesse \(\lvert u_n - \ell \rvert \le k^n\,\lvert u_0 - \ell \rvert \le k^n\,(b - a)\).
- Choisir le nombre de pas. Pour une précision \(\varepsilon > 0\), prendre \(n\) tel que \(k^n\,(b - a) \le \varepsilon\), trouvé en calculant les puissances de \(k\) : alors \(u_n\) est une valeur approchée de \(\ell\) à \(\varepsilon\) près.
- Quand aucun segment stable n'est à portée, mais qu'un point fixe \(\ell \in I\) est connu, où \(I\) est un intervalle, \(f\) est dérivable sur \(I\) avec \(f(I) \subset I\), et \(f'\) est continue en \(\ell\), regarder \(\lvert f'(\ell) \rvert\) : s'il est inférieur à \(1\), la Proposition « Points fixes attractifs et répulsifs » donne la convergence pour tout \(u_0\) assez proche de \(\ell\) ; s'il est supérieur à \(1\), une suite qui converge vers \(\ell\) est stationnaire.
Exemple — La racine réelle de \(x^3 + 3x - 1\)
Montrer que le polynôme \(P(x) = x^3 + 3x - 1\) a exactement une racine réelle \(\rho\), et que \(0{,}32218\) est une valeur approchée de \(\rho\) à \(10^{-5}\) près, en étudiant la suite définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \frac{1}{u_n^2 + 3}\).
Des racines aux points fixes. Soit \(f(x) = \frac{1}{x^2 + 3}\). Pour tout réel \(x\), \(x^2 + 3 > 0\), donc $$ \begin{aligned} P(x) = 0 &\iff x\,(x^2 + 3) = 1 && \text{(\(P(x) = x\,(x^2 + 3) - 1\))} \\
&\iff x = \frac{1}{x^2 + 3}, \end{aligned} $$ la dernière étape en divisant les deux membres par \(x^2 + 3 > 0\). Les racines réelles de \(P\) sont les points fixes de \(f\).
Un segment stable. Pour \(x \in [0, 1]\), \(0 \le x^2 \le 1\) donne \(3 \le x^2 + 3 \le 4\), donc \(\frac{1}{4} \le f(x) \le \frac{1}{3}\). Ainsi \(f([0, 1]) \subset [\frac{1}{4}, \frac{1}{3}] \subset [0, 1]\) : le segment \([0, 1]\) est stable par \(f\), et \(u_0 = 0\) lui appartient.
Une contraction. La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et \(f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 3)^2}\) par la Proposition « Règle du quotient ». Pour \(x \in [0, 1]\), $$ \begin{aligned} \lvert f'(x) \rvert &= \frac{2x}{(x^2 + 3)^2} && \text{(\(f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 3)^2}\) et \(x \ge 0\))} \\ &\le \frac{1}{8}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \((x^2 + 3)^2 - 16x = (x - 1)^2\,(x^2 + 2x + 9) \ge 0\), ce qui donne \(16x \le (x^2 + 3)^2\). Par le Théorème « Inégalité des accroissements finis », \(f\) est \(\frac{1}{8}\)-lipschitzienne sur \([0, 1]\) : elle est \(\frac{1}{8}\)-contractante.
Le point fixe et la vitesse. Par la Proposition « Principe de contraction », \(f\) a exactement un point fixe \(\rho\) dans \([0, 1]\), et \(\lvert u_n - \rho \rvert \le 8^{-n}\,\lvert u_0 - \rho \rvert \le 8^{-n}\), puisque \(\lvert u_0 - \rho \rvert = \rho \le 1\).
Une seule racine réelle. Le polynôme \(P\) est strictement croissant sur \(\mathbb{R}\), comme somme des fonctions strictement croissantes \(x \mapsto x^3\) et \(x \mapsto 3x - 1\) (Proposition « Opérations sur les fonctions monotones » du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire). Une fonction strictement croissante est injective (Proposition « La stricte monotonie implique l'injectivité »), donc \(P\) a au plus une racine réelle. Par la première étape \(\rho\) est une racine de \(P\) : c'est la seule.
L'approximation. Les premiers termes sont \(u_1 = \frac{1}{3}\) et \(u_2 = \frac{9}{28}\), et \(0{,}3214285 \le u_2 \le 0{,}3214286\). Sur \([0 \,;\, 1]\) l'application \(f\) est décroissante, car \(x \mapsto x^2 + 3\) y est positive et croissante. Donc \(u_n \in [a_n \,;\, b_n] \subset [0 \,;\, 1]\) donne \(u_{n+1} \in \left[\frac{1}{b_n^2 + 3} \,;\, \frac{1}{a_n^2 + 3}\right]\), et chaque borne est arrondie vers l'extérieur à \(7\) décimales. À partir de \(u_2 \in [0{,}3214285 \,;\, 0{,}3214286]\), $$ \begin{aligned} u_3 &\in \left[\frac{1}{0{,}3214286^2 + 3} \,;\, \frac{1}{0{,}3214285^2 + 3}\right] && \text{(\(f\) décroissante)} \\ &\subset [0{,}3222359 \,;\, 0{,}3222360] && \text{(arrondi vers l'extérieur)} \\ u_4 &\in \left[\frac{1}{0{,}3222360^2 + 3} \,;\, \frac{1}{0{,}3222359^2 + 3}\right] && \text{(\(f\) décroissante)} \\ &\subset [0{,}3221819 \,;\, 0{,}3221820] && \text{(arrondi vers l'extérieur)} \\ u_5 &\in \left[\frac{1}{0{,}3221820^2 + 3} \,;\, \frac{1}{0{,}3221819^2 + 3}\right] && \text{(\(f\) décroissante)} \\ &\subset [0{,}3221855 \,;\, 0{,}3221856] && \text{(arrondi vers l'extérieur)} \\ u_6 &\in \left[\frac{1}{0{,}3221856^2 + 3} \,;\, \frac{1}{0{,}3221855^2 + 3}\right] && \text{(\(f\) décroissante)} \\ &\subset [0{,}3221853 \,;\, 0{,}3221854]. \end{aligned} $$ Comme \(8^6 = 262144\), on a \(8^{-6} < 3{,}9 \times 10^{-6}\), et \(\lvert u_6 - \rho \rvert \le 8^{-6}\) donne $$0{,}3221853 - 0{,}0000039 \le \rho \le 0{,}3221854 + 0{,}0000039, \quad \text{c'est-à-dire} \quad 0{,}3221814 \le \rho \le 0{,}3221893.$$ Donc \(\rho \in [0{,}32218 \,;\, 0{,}32219]\) : le nombre \(0{,}32218\) est une valeur approchée de \(\rho\) à \(10^{-5}\) près.
Un segment stable. Pour \(x \in [0, 1]\), \(0 \le x^2 \le 1\) donne \(3 \le x^2 + 3 \le 4\), donc \(\frac{1}{4} \le f(x) \le \frac{1}{3}\). Ainsi \(f([0, 1]) \subset [\frac{1}{4}, \frac{1}{3}] \subset [0, 1]\) : le segment \([0, 1]\) est stable par \(f\), et \(u_0 = 0\) lui appartient.
Une contraction. La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et \(f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 3)^2}\) par la Proposition « Règle du quotient ». Pour \(x \in [0, 1]\), $$ \begin{aligned} \lvert f'(x) \rvert &= \frac{2x}{(x^2 + 3)^2} && \text{(\(f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 3)^2}\) et \(x \ge 0\))} \\ &\le \frac{1}{8}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \((x^2 + 3)^2 - 16x = (x - 1)^2\,(x^2 + 2x + 9) \ge 0\), ce qui donne \(16x \le (x^2 + 3)^2\). Par le Théorème « Inégalité des accroissements finis », \(f\) est \(\frac{1}{8}\)-lipschitzienne sur \([0, 1]\) : elle est \(\frac{1}{8}\)-contractante.
Le point fixe et la vitesse. Par la Proposition « Principe de contraction », \(f\) a exactement un point fixe \(\rho\) dans \([0, 1]\), et \(\lvert u_n - \rho \rvert \le 8^{-n}\,\lvert u_0 - \rho \rvert \le 8^{-n}\), puisque \(\lvert u_0 - \rho \rvert = \rho \le 1\).
Une seule racine réelle. Le polynôme \(P\) est strictement croissant sur \(\mathbb{R}\), comme somme des fonctions strictement croissantes \(x \mapsto x^3\) et \(x \mapsto 3x - 1\) (Proposition « Opérations sur les fonctions monotones » du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire). Une fonction strictement croissante est injective (Proposition « La stricte monotonie implique l'injectivité »), donc \(P\) a au plus une racine réelle. Par la première étape \(\rho\) est une racine de \(P\) : c'est la seule.
L'approximation. Les premiers termes sont \(u_1 = \frac{1}{3}\) et \(u_2 = \frac{9}{28}\), et \(0{,}3214285 \le u_2 \le 0{,}3214286\). Sur \([0 \,;\, 1]\) l'application \(f\) est décroissante, car \(x \mapsto x^2 + 3\) y est positive et croissante. Donc \(u_n \in [a_n \,;\, b_n] \subset [0 \,;\, 1]\) donne \(u_{n+1} \in \left[\frac{1}{b_n^2 + 3} \,;\, \frac{1}{a_n^2 + 3}\right]\), et chaque borne est arrondie vers l'extérieur à \(7\) décimales. À partir de \(u_2 \in [0{,}3214285 \,;\, 0{,}3214286]\), $$ \begin{aligned} u_3 &\in \left[\frac{1}{0{,}3214286^2 + 3} \,;\, \frac{1}{0{,}3214285^2 + 3}\right] && \text{(\(f\) décroissante)} \\ &\subset [0{,}3222359 \,;\, 0{,}3222360] && \text{(arrondi vers l'extérieur)} \\ u_4 &\in \left[\frac{1}{0{,}3222360^2 + 3} \,;\, \frac{1}{0{,}3222359^2 + 3}\right] && \text{(\(f\) décroissante)} \\ &\subset [0{,}3221819 \,;\, 0{,}3221820] && \text{(arrondi vers l'extérieur)} \\ u_5 &\in \left[\frac{1}{0{,}3221820^2 + 3} \,;\, \frac{1}{0{,}3221819^2 + 3}\right] && \text{(\(f\) décroissante)} \\ &\subset [0{,}3221855 \,;\, 0{,}3221856] && \text{(arrondi vers l'extérieur)} \\ u_6 &\in \left[\frac{1}{0{,}3221856^2 + 3} \,;\, \frac{1}{0{,}3221855^2 + 3}\right] && \text{(\(f\) décroissante)} \\ &\subset [0{,}3221853 \,;\, 0{,}3221854]. \end{aligned} $$ Comme \(8^6 = 262144\), on a \(8^{-6} < 3{,}9 \times 10^{-6}\), et \(\lvert u_6 - \rho \rvert \le 8^{-6}\) donne $$0{,}3221853 - 0{,}0000039 \le \rho \le 0{,}3221854 + 0{,}0000039, \quad \text{c'est-à-dire} \quad 0{,}3221814 \le \rho \le 0{,}3221893.$$ Donc \(\rho \in [0{,}32218 \,;\, 0{,}32219]\) : le nombre \(0{,}32218\) est une valeur approchée de \(\rho\) à \(10^{-5}\) près.
Figure — l'escalier d'une suite contractante
Compétences à pratiquer
- Calculer le point fixe d'une fonction ★
- Trouver le nombre d'itérations ★
V
Monotonie et variations
Le signe de la dérivée
Le lien entre le signe de \(f'\) et la monotonie de \(f\) est le moteur pratique de l'étude d'une fonction : il donne les variations, les extrema, les inégalités et le nombre de solutions d'une équation. Le lycée l'admettait. Ici il est démontré à partir du théorème des accroissements finis, et sa forme exacte est énoncée. Il vaut sur un intervalle ; sur une réunion d'intervalles il faut l'appliquer morceau par morceau, et l'exemple de \(x \mapsto \frac{1}{x}\) montre qu'il est faux autrement.
V.1
Signe de la dérivée
Du signe de la dérivée au sens de variation
Le lycée lisait le sens de variation de \(f\) sur le signe de \(f'\) sans le démontrer. Les deux implications sont vraies et les deux sont démontrées ici. Une fonction dérivable monotone a une dérivée de signe constant, parce que ses taux d'accroissement ont un signe constant. Réciproquement une dérivée de signe constant donne des accroissements de \(f\) de signe constant, par le théorème des accroissements finis. La version stricte demande plus que \(f' > 0\) lu comme une règle : elle vaut quand \(f'\) s'annule en des points isolés, et même quand \(f\) n'est pas dérivable en un nombre fini de points.
Proposition — Signe de \(f'\) et monotonie
Soient \(I\) un intervalle et \(f \colon I \to \mathbb{R}\) continue sur \(I\) et dérivable sur \(\mathring{I}\). Alors : - \(f\) est constante sur \(I\) si et seulement si \(f'(t) = 0\) pour tout \(t \in \mathring{I}\) ;
- \(f\) est croissante sur \(I\) si et seulement si \(f'(t) \ge 0\) pour tout \(t \in \mathring{I}\) ;
- \(f\) est décroissante sur \(I\) si et seulement si \(f'(t) \le 0\) pour tout \(t \in \mathring{I}\).
On traite le cas croissant, puis le cas décroissant, puis le cas constant.
- Croissante, (\(\Rightarrow\)). Supposons \(f\) croissante sur \(I\), et soit \(a \in \mathring{I}\). Pour tout \(h > 0\) assez petit pour que \(a + h \in I\), on a \(f(a + h) \ge f(a)\), donc $$ \begin{aligned} \tau_a(h) &= \frac{f(a + h) - f(a)}{h} && \text{(définition de \(\tau_a(h)\))} \\ &\ge 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que le numérateur est \(\ge 0\) et \(h > 0\). Comme \(a\) est un point intérieur, \(f'(a)\) est la dérivée à droite \(f'_d(a) = \lim_{h \to 0^+} \tau_a(h)\) (Proposition « Caractérisation par les deux dérivées latérales »), et la Proposition « Passage à la limite dans une inégalité large » du chapitre Limites et continuité donne \(f'(a) \ge 0\).
- Croissante, (\(\Leftarrow\)). Supposons \(f'(t) \ge 0\) pour tout \(t \in \mathring{I}\), et soient \(x < y\) dans \(I\). Comme \(I\) est un intervalle, \([x, y] \subset I\), donc \(f\) est continue sur \([x, y]\), et \(]x, y[ \,\subset \mathring{I}\), donc \(f\) est dérivable sur \(]x, y[\). Le Théorème « Théorème des accroissements finis » donne \(c \in \,]x, y[\) avec $$ \begin{aligned} f(y) - f(x) &= f'(c)\,(y - x) && \text{(théorème des accroissements finis sur \([x, y]\))} \\ &\ge 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(f'(c) \ge 0\) et \(y - x > 0\). Donc \(f(x) \le f(y)\) : \(f\) est croissante sur \(I\).
- Décroissante. La fonction \(-f\) est continue sur \(I\) et dérivable sur \(\mathring{I}\) avec \((-f)' = -f'\), par la Proposition « Linéarité ». Or \(f\) est décroissante si et seulement si \(-f\) est croissante, et \(-f' \ge 0\) si et seulement si \(f' \le 0\) : le cas décroissant est le cas croissant appliqué à \(-f\).
- Constante, (\(\Rightarrow\)). Si \(f\) est constante, tout taux d'accroissement est nul, donc \(f'(t) = 0\) pour tout \(t \in \mathring{I}\).
- Constante, (\(\Leftarrow\)). Supposons \(f'(t) = 0\) pour tout \(t \in \mathring{I}\). Alors \(f' \ge 0\) et \(f' \le 0\) sur \(\mathring{I}\), donc \(f\) est à la fois croissante et décroissante sur \(I\). Pour \(x \le y\) dans \(I\), cela donne \(f(x) \le f(y)\) et \(f(x) \ge f(y)\), donc \(f(x) = f(y)\) : \(f\) est constante.
Proposition — Monotonie stricte
Sous les hypothèses de la Proposition « Signe de \(f'\) et monotonie », \(f\) est strictement croissante sur \(I\) si et seulement si \(f' \ge 0\) sur \(\mathring{I}\) et \(f'\) n'est identiquement nulle sur aucun intervalle non trivial contenu dans \(\mathring{I}\). En particulier, \(f\) est strictement croissante sur \(I\) si \(f' \ge 0\) sur \(\mathring{I}\) et si \(f'\) ne s'annule qu'en un nombre fini de points de \(\mathring{I}\), donc si \(f' > 0\) sur \(\mathring{I}\). Le cas décroissant est symétrique, avec \(f' \le 0\).
Un intervalle est non trivial s'il contient deux points distincts.
- (\(\Rightarrow\)) Supposons \(f\) strictement croissante sur \(I\). Alors \(f\) est croissante, donc \(f' \ge 0\) sur \(\mathring{I}\) par la Proposition « Signe de \(f'\) et monotonie ». Supposons par l'absurde que \(f' = 0\) sur un intervalle non trivial \(J \subset \mathring{I}\). La fonction \(f\) est continue sur \(J\) et dérivable sur \(\mathring{J}\) avec \(f' = 0\), donc \(f\) est constante sur \(J\) par la même proposition. Prendre \(x < y\) dans \(J\) donne \(f(x) = f(y)\), ce qui contredit la stricte monotonie. Donc \(f'\) n'est identiquement nulle sur aucun intervalle non trivial contenu dans \(\mathring{I}\).
- (\(\Leftarrow\)) Supposons \(f' \ge 0\) sur \(\mathring{I}\) et \(f'\) identiquement nulle sur aucun intervalle non trivial contenu dans \(\mathring{I}\). Par la Proposition « Signe de \(f'\) et monotonie », \(f\) est croissante sur \(I\). Supposons par l'absurde que \(f(x) = f(y)\) pour certains \(x < y\) dans \(I\). Pour tout \(t \in [x, y]\), $$ \begin{aligned} f(x) &\le f(t) && \text{(\(f\) est croissante et \(x \le t\))} \\ &\le f(y) && \text{(\(f\) est croissante et \(t \le y\))} \\ &= f(x), \end{aligned} $$ la dernière étape par l'hypothèse \(f(y) = f(x)\). Donc \(f(t) = f(x)\) pour tout \(t \in [x, y]\) : \(f\) est constante sur \([x, y]\). Cette fonction est continue sur \([x, y]\) et dérivable sur \(]x, y[\), donc \(f' = 0\) sur \(]x, y[\) par la Proposition « Signe de \(f'\) et monotonie ». Mais \(]x, y[\) est un intervalle non trivial contenu dans \(\mathring{I}\), ce qui contredit l'hypothèse. Donc \(f(x) < f(y)\) pour tous \(x < y\) : \(f\) est strictement croissante.
- Le cas particulier. Un intervalle non trivial contient une infinité de points. Si \(f'\) ne s'annule qu'en un nombre fini de points de \(\mathring{I}\), elle n'est identiquement nulle sur aucun intervalle non trivial contenu dans \(\mathring{I}\), et l'équivalence s'applique. Si \(f' > 0\) sur \(\mathring{I}\), elle ne s'annule nulle part.
Proposition — Stricte monotonie sauf en un nombre fini de points
Soient \(I\) un intervalle, \(A \subset I\) une partie finie et \(f \colon I \to \mathbb{R}\) continue sur \(I\) et dérivable en tout point de \(I \setminus A\). Si \(f'(t) > 0\) pour tout \(t \in I \setminus A\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\). Le cas décroissant est symétrique, avec \(f' < 0\).
Soient \(x < y\) dans \(I\). Le segment \([x, y]\) est contenu dans \(I\), puisque \(I\) est un intervalle, et \(A\) a un nombre fini de points dans \(]x, y[\) : notons-les \(t_1 < \dots < t_{m-1}\), et posons \(t_0 = x\) et \(t_m = y\) (avec \(m = 1\) s'il n'y en a aucun). Pour \(0 \le j \le m - 1\), \(f\) est continue sur \([t_j, t_{j+1}]\) et dérivable sur \(]t_j, t_{j+1}[\), qui ne contient aucun point de \(A\) : le Théorème « Théorème des accroissements finis » donne \(c_j \in \,]t_j, t_{j+1}[\) avec \(f(t_{j+1}) - f(t_j) = f'(c_j)\,(t_{j+1} - t_j)\), et \(f'(c_j) > 0\) parce que \(c_j \notin A\). Donc $$ \begin{aligned} f(y) - f(x) &= \sum_{j=0}^{m-1} \big(f(t_{j+1}) - f(t_j)\big) && \text{(somme télescopique)} \\
&= \sum_{j=0}^{m-1} f'(c_j)\,(t_{j+1} - t_j) && \text{(théorème des accroissements finis sur \([t_j, t_{j+1}]\))} \\
&> 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que chaque terme est strictement positif et que \(m \ge 1\). Donc \(f(x) < f(y)\) pour tous \(x < y\) dans \(I\) : \(f\) est strictement croissante. Le cas décroissant est le cas croissant appliqué à \(-f\).
Remarque — \(I\) doit être un intervalle
L'hypothèse « \(I\) est un intervalle » est essentielle dans la Proposition « Signe de \(f'\) et monotonie ». Soit \(D = \,]-\infty, 0[ \,\cup\, ]0, +\infty[ \,= \mathbb{R}^*\), qui n'est pas un intervalle, et soit \(f \colon D \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = 0\) pour \(x < 0\) et \(f(x) = 1\) pour \(x > 0\). Alors \(f'(x) = 0\) en tout point de \(D\), puisque \(f\) est constante près de chaque point, et pourtant \(f\) n'est pas constante sur \(D\). Il en va de même pour le signe : la fonction \(x \mapsto \frac{1}{x}\) de l'Exemple « Monotone sur chaque morceau, pas sur la réunion » du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire a \(f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0\) en tout point de \(\mathbb{R}^*\), et elle n'est pas décroissante sur \(\mathbb{R}^*\), puisque \(f(-1) = -1 < 1 = f(1)\). Sur une réunion d'intervalles, appliquer la proposition sur chaque intervalle séparément.
Exemple — Les variations de \(\frac{x}{1 + x^2}\)
Étudier les variations de \(f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \frac{x}{1 + x^2}\).
La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), comme quotient dont le dénominateur \(1 + x^2 \ge 1\) ne s'annule pas (Proposition « Règle du quotient »), et pour tout \(x \in \mathbb{R}\), $$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{1 \cdot (1 + x^2) - x \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} && \text{(règle du quotient)} \\
&= \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} && \text{(développement et termes semblables)} \\
&= \frac{(1 - x)(1 + x)}{(1 + x^2)^2}, \end{aligned} $$ la dernière étape par la différence de deux carrés. Comme \((1 + x^2)^2 > 0\), \(f'(x)\) a le signe de \((1 - x)(1 + x)\) : elle est négative sur \(]-\infty, -1[\), positive sur \(]-1, 1[\), négative sur \(]1, +\infty[\), et nulle en \(-1\) et \(1\) seulement. La Proposition « Monotonie stricte » sur chacun des trois intervalles \(]-\infty, -1]\), \([-1, 1]\) et \([1, +\infty[\) montre que \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty, -1]\), strictement croissante sur \([-1, 1]\) et strictement décroissante sur \([1, +\infty[\), avec \(f(-1) = -\frac{1}{2}\) et \(f(1) = \frac{1}{2}\).
Vérification. Pour tout \(x\), \(\frac{1}{2} - f(x) = \frac{(x - 1)^2}{2(1 + x^2)} \ge 0\) et \(f(x) + \frac{1}{2} = \frac{(x + 1)^2}{2(1 + x^2)} \ge 0\), donc \(-\frac{1}{2} \le f(x) \le \frac{1}{2}\), avec égalité en \(x = -1\) et en \(x = 1\).
Vérification. Pour tout \(x\), \(\frac{1}{2} - f(x) = \frac{(x - 1)^2}{2(1 + x^2)} \ge 0\) et \(f(x) + \frac{1}{2} = \frac{(x + 1)^2}{2(1 + x^2)} \ge 0\), donc \(-\frac{1}{2} \le f(x) \le \frac{1}{2}\), avec égalité en \(x = -1\) et en \(x = 1\).
Compétences à pratiquer
- Lire la monotonie à partir de la dérivée ★
- Déterminer des intervalles de monotonie d'une fonction à partir de sa dérivée ★
- Étudier les variations d'une fonction ★
V.2
Tableaux de variations et extrema
Du tableau de signes au tableau de variations
Lire les variations d'une fonction sur un tableau est l'usage quotidien des Propositions « Signe de \(f'\) et monotonie » et « Monotonie stricte ». On calcule la dérivée et on la factorise pour en lire le signe, le signe décide le sens de variation sur chaque intervalle, et les limites aux extrémités des intervalles ferment le tableau. Le tableau donne alors les extrema et l'ensemble image, et avec le théorème des valeurs intermédiaires le nombre de solutions d'une équation. Un point où \(f'\) change de signe et où \(f\) est continue est un extremum, même si \(f\) n'y est pas dérivable.
Méthode — Factoriser \(f'\) pour lire son signe
Quand \(f\) est un quotient, la règle du quotient donne \(f' = \frac{u'g - ug'}{g^2}\). Le dénominateur \(g^2\) est positif ou nul, et strictement positif là où \(g \ne 0\), donc le signe de \(f'\) est celui du numérateur \(u'g - ug'\). Toujours factoriser ce numérateur avant de lire les signes : une forme factorisée donne le signe d'un coup d'œil, une forme développée en général non. - Appliquer la règle du quotient et écrire \(f'\) sur le dénominateur \(g^2\).
- Développer le numérateur seulement autant qu'il faut pour regrouper les termes semblables.
- Factoriser le numérateur : chercher un facteur commun, une identité remarquable, ou les racines d'un trinôme données par son discriminant.
- Lire les signes : le signe de chaque facteur sur l'intervalle, puis le signe du produit, dans un tableau de signes.
Exemple — Une dérivée à factoriser
Calculer \(f'\) pour \(f(x) = \frac{x + 1}{x^2 + 3}\) sur \(\mathbb{R}\), puis la factoriser.
La fonction \(f\) est un quotient de deux fonctions dérivables dont le dénominateur \(x^2 + 3 \ge 3 > 0\) ne s'annule pas, donc elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), $$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{1 \cdot (x^2 + 3) - (x + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} && \text{(règle du quotient avec \(u = x + 1\) et \(g = x^2 + 3\))} \\
&= \frac{x^2 + 3 - 2x^2 - 2x}{(x^2 + 3)^2} && \text{(développement du numérateur)} \\
&= \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2 + 3)^2} && \text{(termes semblables)} \\
&= \frac{-(x - 1)(x + 3)}{(x^2 + 3)^2}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que le trinôme \(-x^2 - 2x + 3\) a pour racines \(1\) et \(-3\), de sorte que \(-x^2 - 2x + 3 = -(x - 1)(x + 3)\).
Méthode — Dresser un tableau de variations
Pour dresser le tableau de variations d'une fonction \(f\) : - Domaine. Déterminer le domaine \(D_f\). Si \(D_f\) n'est pas un intervalle, le scinder en intervalles et étudier chacun : les propositions sur le signe de \(f'\) valent sur un intervalle seulement.
- Réduction. Réduire le domaine d'étude par parité ou périodicité quand elles s'appliquent (Méthode « Réduire le domaine d'étude par parité ou périodicité » du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire).
- Dérivée. Vérifier que \(f\) est dérivable sur l'intérieur de chaque intervalle et y calculer \(f'\).
- Signe. Factoriser \(f'\) (Méthode « Factoriser \(f'\) pour lire son signe ») et dresser son tableau de signes sur chaque intervalle.
- Monotonie. En déduire le sens de variation sur chaque intervalle, par les Propositions « Signe de \(f'\) et monotonie » et « Monotonie stricte », les morceaux étant fermés aux points où \(f'\) s'annule ou change de signe. En un point où \(f\) est continue, deux morceaux adjacents de même sens se recollent en un seul (Proposition « Recoller des morceaux monotones » du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire) ; deux morceaux de sens opposés donnent un extremum.
- Limites. Calculer les limites de \(f\) aux extrémités de chaque intervalle qui ne lui appartiennent pas, avec les opérations sur les limites.
- Tableau. Écrire la ligne de \(x\), la ligne du signe de \(f'\), et la ligne des variations de \(f\) avec des flèches, les valeurs de \(f\) aux points où \(f'\) s'annule et les limites aux extrémités.
Exemple — Un tableau de variations
Dresser le tableau de variations de \(f(x) = \frac{x + 1}{x^2 + 3}\) sur \(\mathbb{R}\).
Le domaine \(\mathbb{R}\) est un intervalle. L'Exemple « Une dérivée à factoriser » donne \(f'(x) = \frac{-(x - 1)(x + 3)}{(x^2 + 3)^2}\). Comme \((x^2 + 3)^2 > 0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(-(x - 1)(x + 3)\), qui est positif entre les racines \(-3\) et \(1\) et négatif à l'extérieur. Les valeurs aux racines sont \(f(-3) = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}\) et \(f(1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Le numérateur est de degré \(1\) et le dénominateur de degré \(2\), donc \(f(x) \to 0\) quand \(x \to \pm\infty\) (Proposition « Polynômes et fractions rationnelles en l'infini » du chapitre Limites et continuité). Sur chacun des intervalles \(]-\infty, -3]\), \([-3, 1]\) et \([1, +\infty[\), la dérivée ne s'annule qu'à une extrémité, donc la Proposition « Monotonie stricte » donne le sens de variation : $$ \begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -3 & & 1 & & +\infty \\
\hline f'(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\
\hline f(x) & 0 & \searrow & -\frac{1}{6} & \nearrow & \frac{1}{2} & \searrow & 0 \end{array} $$ Donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty, -3]\), strictement croissante sur \([-3, 1]\) et strictement décroissante sur \([1, +\infty[\).
Exemple — L'ensemble image lu sur le tableau
Déduire du tableau de variations de \(f(x) = \frac{x + 1}{x^2 + 3}\) que l'ensemble image de \(f\) est \(f(\mathbb{R}) = \left[-\frac{1}{6}, \frac{1}{2}\right]\), et que \(-\frac{1}{6} \le \frac{x + 1}{x^2 + 3} \le \frac{1}{2}\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) et strictement monotone sur chacun des trois intervalles du tableau. Sur chacun d'eux, l'image est l'intervalle dont les extrémités sont les valeurs ou les limites du tableau (Proposition « L'image d'un intervalle par une fonction continue strictement monotone » du chapitre Limites et continuité) :
Seconde méthode : l'algèbre. C'est celle de la Méthode « Déterminer une borne supérieure ou un maximum » du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire. Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), $$ \begin{aligned} \frac{1}{2} - f(x) &= \frac{1}{2} - \frac{x + 1}{x^2 + 3} && \text{(définition de \(f\))} \\ &= \frac{(x^2 + 3) - 2(x + 1)}{2(x^2 + 3)} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= \frac{(x - 1)^2}{2(x^2 + 3)}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(x^2 + 3 - 2x - 2 = x^2 - 2x + 1\). De même \(f(x) + \frac{1}{6} = \frac{(x + 3)^2}{6(x^2 + 3)}\). Les deux quotients sont \(\ge 0\), donc \(-\frac{1}{6} \le f(x) \le \frac{1}{2}\), avec égalité en \(x = -3\) et en \(x = 1\). Le théorème des valeurs intermédiaires, \(f\) étant continue, donne alors toutes les valeurs comprises entre les deux bornes.
- \(f\big(]-\infty, -3]\big) = \left[-\frac{1}{6}, 0\right[\), puisque \(f\) y est décroissante, de la limite \(0\) en \(-\infty\) à \(f(-3) = -\frac{1}{6}\) ;
- \(f\big([-3, 1]\big) = \left[-\frac{1}{6}, \frac{1}{2}\right]\), puisque \(f\) y est croissante, de \(f(-3) = -\frac{1}{6}\) à \(f(1) = \frac{1}{2}\) ;
- \(f\big([1, +\infty[\big) = \left]0, \frac{1}{2}\right]\), puisque \(f\) y est décroissante, de \(f(1) = \frac{1}{2}\) à la limite \(0\) en \(+\infty\).
Seconde méthode : l'algèbre. C'est celle de la Méthode « Déterminer une borne supérieure ou un maximum » du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire. Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), $$ \begin{aligned} \frac{1}{2} - f(x) &= \frac{1}{2} - \frac{x + 1}{x^2 + 3} && \text{(définition de \(f\))} \\ &= \frac{(x^2 + 3) - 2(x + 1)}{2(x^2 + 3)} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= \frac{(x - 1)^2}{2(x^2 + 3)}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que \(x^2 + 3 - 2x - 2 = x^2 - 2x + 1\). De même \(f(x) + \frac{1}{6} = \frac{(x + 3)^2}{6(x^2 + 3)}\). Les deux quotients sont \(\ge 0\), donc \(-\frac{1}{6} \le f(x) \le \frac{1}{2}\), avec égalité en \(x = -3\) et en \(x = 1\). Le théorème des valeurs intermédiaires, \(f\) étant continue, donne alors toutes les valeurs comprises entre les deux bornes.
Proposition — Extremum local et changement de signe de \(f'\)
Soient \(I\) un intervalle, \(a \in \mathring{I}\) et \(f \colon I \to \mathbb{R}\) continue en \(a\). Supposons qu'il existe \(\eta > 0\) avec \(]a - \eta, a + \eta[ \,\subset I\), tel que \(f\) soit dérivable en tout point de \(]a - \eta, a[ \,\cup\, ]a, a + \eta[\), avec \(f' \le 0\) sur \(]a - \eta, a[\) et \(f' \ge 0\) sur \(]a, a + \eta[\). Alors \(f\) a un minimum local en \(a\), strict si \(f' < 0\) sur \(]a - \eta, a[\) et \(f' > 0\) sur \(]a, a + \eta[\). Le même énoncé avec les signes de \(f'\) échangés donne un maximum local. La fonction \(f\) n'est pas forcément dérivable en \(a\) : la valeur absolue en \(0\) a \(f' = -1\) à gauche et \(f' = 1\) à droite.
Soit \(J = \,]a - \eta, a + \eta[\). La fonction \(f\) est continue sur \(J\) : en \(a\) par hypothèse, et en tout autre point parce qu'elle y est dérivable (Proposition « Dérivable implique continue »).
- À gauche de \(a\). La fonction \(f\) est continue sur l'intervalle \(]a - \eta, a]\) et dérivable sur son intérieur \(]a - \eta, a[\) avec \(f' \le 0\). Par la Proposition « Signe de \(f'\) et monotonie », \(f\) est décroissante sur \(]a - \eta, a]\), donc \(f(x) \ge f(a)\) pour tout \(x \in \,]a - \eta, a]\).
- À droite de \(a\). La fonction \(f\) est continue sur \([a, a + \eta[\) et dérivable sur \(]a, a + \eta[\) avec \(f' \ge 0\). Par la même proposition, \(f\) est croissante sur \([a, a + \eta[\), donc \(f(x) \ge f(a)\) pour tout \(x \in [a, a + \eta[\).
Compétences à pratiquer
- Calculer la valeur d'un extremum ★
- Dresser un tableau de variations ★
VI
Révision & Quizz
Compétences à pratiquer
- Quiz
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