Éducation Nationale Française · ECGappliquées
Sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\)
Ce chapitre est un premier contact concret avec l'algèbre linéaire. On travaille entièrement dans l'espace \(\mathbb{R}^n\) des \(n\)-uplets de nombres réels — surtout pour \(n \in \{2, 3, 4\}\) — et dans l'espace voisin \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) des matrices colonnes, que l'on lit comme les matrices des coordonnées des vecteurs de \(\mathbb{R}^n\). On additionne des \(n\)-uplets et on les multiplie par un nombre réel, et on fixe le vocabulaire utilisé dans tous les chapitres d'algèbre linéaire suivants : combinaison linéaire, sous-espace vectoriel, sous-espace engendré \(\operatorname{Vect}\), famille libre, famille génératrice, base, coordonnées, dimension et rang. On garde en vue les deux sources récurrentes de sous-espaces : un sous-espace donné par un système linéaire homogène (Ch.4) et un sous-espace donné comme un \(\operatorname{Vect}\) de quelques vecteurs. Rappel de notations : \(\mathbb{R}^n\) est l'ensemble des \(n\)-uplets \((x_1, \dots, x_n)\) de nombres réels ; \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) est l'ensemble des matrices colonnes à \(n\) lignes (Ch.5). La résolution des systèmes linéaires ci-dessous utilise l'élimination de Gauss de Systèmes linéaires (Ch.4).
I
L'espace \(\mathbb{R}^n\)
I.1
Opérations et combinaisons linéaires
Sur \(\mathbb{R}^n\) on sait déjà additionner deux \(n\)-uplets et multiplier un \(n\)-uplet par un nombre réel : les deux opérations se font coordonnée par coordonnée. On fixe ces deux opérations et leurs règles de calcul, puis on introduit l'opération centrale du chapitre — combiner quelques vecteurs avec des coefficients scalaires.
Définition — L'espace \(\mathbb{R}^n\) et ses deux opérations
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), l'ensemble \(\mathbb{R}^n\) des vecteurs \((x_1, \dots, x_n)\) de nombres réels porte deux opérations : - une addition (loi interne) \(+: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\), effectuée coordonnée par coordonnée : $$(x_1, \dots, x_n) + (y_1, \dots, y_n) = (x_1 + y_1, \dots, x_n + y_n) ;$$
- une multiplication par un scalaire (loi externe) \(\cdot: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) : $$\lambda \cdot (x_1, \dots, x_n) = (\lambda x_1, \dots, \lambda x_n), \qquad \lambda \in \mathbb{R}.$$
Exemple — Calculs dans \(\mathbb{R}^2\) et \(\mathbb{R}^3\)
Dans \(\mathbb{R}^2\) : \((1, 2) + (3, -1) = (4, 1)\) et \(3 \cdot (1, -2) = (3, -6)\). Dans \(\mathbb{R}^3\) : \((2, 0, 1) + (-1, 4, 1) = (1, 4, 2)\) et \(\tfrac{1}{2} \cdot (4, -2, 6) = (2, -1, 3)\). Proposition — Règles de calcul dans \(\mathbb{R}^n\)
Pour tous vecteurs \(u, v, w \in \mathbb{R}^n\) et tous scalaires \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\) : - l'addition est associative et commutative : \((u + v) + w = u + (v + w)\) et \(u + v = v + u\) ;
- le vecteur nul est neutre : \(u + 0 = u\) ; et \(u\) a pour opposé \(-u = (-1) \cdot u\), avec \(u + (-u) = 0\) ;
- distributivités : \(\lambda (u + v) = \lambda u + \lambda v\) et \((\lambda + \mu) u = \lambda u + \mu u\) ;
- associativité scalaire et unité : \(\lambda (\mu u) = (\lambda \mu) u\) et \(1 \cdot u = u\) ;
- multiplication par zéro : \(0 \cdot u = 0\) et \(\lambda \cdot 0 = 0\), et \(\lambda u = 0 \Longleftrightarrow \lambda = 0\) ou \(u = 0\).
Ces règles ne sont que de l'arithmétique coordonnée par coordonnée
Chaque règle est vraie parce qu'elle est vraie sur chaque coordonnée, où c'est une règle ordinaire de l'arithmétique des nombres réels. Par exemple, la coordonnée de rang \(i\) de \(\lambda (u + v)\) vaut \(\lambda (u_i + v_i) = \lambda u_i + \lambda v_i\), qui est la coordonnée de rang \(i\) de \(\lambda u + \lambda v\). Rien à mémoriser au-delà de « les calculs dans \(\mathbb{R}^n\) suivent les règles usuelles, appliquées coordonnée par coordonnée ».
Définition — Combinaison linéaire
Soit \((v_1, \dots, v_p)\) une famille finie de vecteurs de \(\mathbb{R}^n\). Une combinaison linéaire de cette famille est tout vecteur de \(\mathbb{R}^n\) de la forme $$\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dots + \lambda_p v_p, \qquad \lambda_1, \dots, \lambda_p \in \mathbb{R},$$ où les nombres réels \(\lambda_1, \dots, \lambda_p\) sont les coefficients de la combinaison. Ici une famille finie \((v_1, \dots, v_p)\) est simplement une liste ordonnée de \(p\) vecteurs ; l'entier \(p\) est son cardinal, et une famille peut lister deux fois le même vecteur. Exemple — Une combinaison dans \(\mathbb{R}^2\)
Dans \(\mathbb{R}^2\), \((2, -3) = 2 \cdot (1, 0) + (-3) \cdot (0, 1)\) : une combinaison linéaire du couple \(((1, 0), (0, 1))\) de coefficients \((2, -3)\). Exemple — Une combinaison de vecteurs colonnes dans \(\mathcal{M}_{3\virgule 1}(\mathbb{R})\)
Avec les vecteurs colonnes \(X = \begin{psmallmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{psmallmatrix}\) et \(Y = \begin{psmallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{psmallmatrix}\) de \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\), la colonne \(U = \begin{psmallmatrix} -3 \\ 2 \\ 2 \end{psmallmatrix}\) est combinaison linéaire de \(X\) et \(Y\) : en effet \(U = 2 Y - 5 X\), de coefficients \((-5, 2)\). Compétences à pratiquer
- Calculer dans \(\mathbb{R}^n\)
- Écrire une combinaison linéaire
I.2
La base canonique de \(\mathbb{R}^n\) et la matrice des coordonnées
Tout vecteur de \(\mathbb{R}^n\) est, de façon évidente, combinaison linéaire de \(n\) vecteurs très simples — ceux qui ont un seul \(1\) et des zéros ailleurs. C'est la famille canonique de \(\mathbb{R}^n\) ; ses coefficients pour un vecteur donné sont exactement les composantes de ce vecteur, que l'on note une fois comme matrice colonne. (On confirmera au §3 que cette famille est une base au sens précis qui y est défini — le mot « base canonique » est déjà employé ici, comme le fait le programme, pour cette famille naturellement donnée.)
Définition — Base canonique de \(\mathbb{R}^n\)
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), la base canonique de \(\mathbb{R}^n\) est la famille \((e_1, \dots, e_n)\) où \(e_i\) a un \(1\) en position \(i\) et \(0\) partout ailleurs : $$e_1 = (1, 0, \dots, 0), \quad e_2 = (0, 1, 0, \dots, 0), \quad \dots, \quad e_n = (0, \dots, 0, 1).$$ Tout \((x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n\) s'écrit \((x_1, \dots, x_n) = x_1 e_1 + \dots + x_n e_n\) — une première instance de la notion de « base » précisée au §3, où cette famille est confirmée libre et génératrice. Définition — La matrice des coordonnées dans \(\mathcal{M}_{n\virgule 1}(\mathbb{R})\)
La matrice des coordonnées (ou matrice colonne) de \((x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n\) dans la base canonique est la matrice colonne de ses composantes : $$X = \begin{pmatrix} x_1 \\
\vdots \\
x_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}).$$ Lire un vecteur de \(\mathbb{R}^n\) comme sa matrice colonne est ce qui permet d'utiliser les outils matriciels du Ch.5 et la résolution de systèmes du Ch.4 ; on emploie indifféremment le \(n\)-uplet ligne \((x_1, \dots, x_n)\) et la colonne \(X\). Exemple
La matrice des coordonnées de \((2, -1, 3) \in \mathbb{R}^3\) est \(\begin{psmallmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{psmallmatrix}\). Réciproquement la colonne \(\begin{psmallmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{psmallmatrix} \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\) se lit comme le vecteur \((4, 0, -2)\) de \(\mathbb{R}^3\). Compétences à pratiquer
- La matrice des coordonnées
I.3
Décider si un vecteur est combinaison linéaire
Demander « \(w\) est-il combinaison linéaire de \(v_1, \dots, v_p\) ? » se transforme en un système linéaire d'inconnues les coefficients \(\lambda_i\), lu coordonnée par coordonnée. C'est l'unique calcul derrière toutes les questions d'appartenance du chapitre.
Exemple — Décider une combinaison linéaire par un système \(2 \times 2\)
Le vecteur \(w = (5, 1)\) est-il combinaison linéaire de \(v_1 = (1, 1)\) et \(v_2 = (1, -1)\) dans \(\mathbb{R}^2\) ?
On cherche \((\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2\) tel que \(\lambda v_1 + \mu v_2 = w\) ; en lisant coordonnée par coordonnée : $$\begin{aligned} \lambda + \mu &= 5 \\
\lambda - \mu &= 1 \end{aligned} \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{aligned} \lambda &= 3 \\
\mu &= 2 \end{aligned}$$ (somme et différence des deux équations). Donc \(w = 3 v_1 + 2 v_2\) : décider l'appartenance revient à résoudre un système linéaire.
Méthode — Tester si un vecteur est combinaison linéaire
Pour tester « \(w\) est-il combinaison linéaire de \((v_1, \dots, v_p)\) ? » dans \(\mathbb{R}^n\) (de façon équivalente dans \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\)), on écrit l'équation \(\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_p v_p = w\) coordonnée par coordonnée : une équation par coordonnée, donnant un système linéaire d'inconnues \(\lambda_1, \dots, \lambda_p\). On le résout par Gauss (Ch.4). Le vecteur \(w\) est combinaison linéaire de la famille si et seulement si ce système admet au moins une solution ; chaque solution fournit un choix de coefficients. Compétences à pratiquer
- Décider une combinaison linéaire par un système
II
Sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\)
II.1
Définition et caractérisation pratique
Parmi toutes les parties de \(\mathbb{R}^n\), celles qui sont stables par combinaison linéaire forment une classe particulière : les sous-espaces vectoriels. Ce sont exactement les ensembles que l'on saura décrire par une base. La caractérisation pratique ci-dessous est le moyen standard de les reconnaître, et l'exemple le plus fréquent est l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène.
Définition — Sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\)
Une partie \(F \subset \mathbb{R}^n\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\) lorsque les trois conditions sont vérifiées : - \(0 \in F\) (elle contient le vecteur nul — en particulier \(F\) est non vide) ;
- \(F\) est stable par addition : \(\forall u, v \in F\), \(u + v \in F\) ;
- \(F\) est stable par multiplication par un scalaire : \(\forall \lambda \in \mathbb{R}\), \(\forall u \in F\), \(\lambda u \in F\).
Proposition — Caractérisation pratique
Une partie \(F \subset \mathbb{R}^n\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\) si et seulement si elle vérifie l'unique condition combinée : - \(0 \in F\) ;
- \(\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2\), \(\forall u, v \in F\), \(\lambda u + \mu v \in F\) (« stable par combinaison linéaire à deux vecteurs »).
Exemple — Les sous-espaces triviaux
Les deux parties extrêmes \(\{0\}\) (le seul vecteur nul) et \(\mathbb{R}^n\) tout entier sont des sous-espaces de \(\mathbb{R}^n\), appelés les sous-espaces triviaux. Un sous-espace n'est jamais vide, puisqu'il doit contenir \(0\). Proposition — L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène
L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène à \(n\) inconnues est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\). De façon équivalente, pour une matrice \(A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})\), l'ensemble \(\{X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \mid A X = 0\}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) — on lit les trois conditions de la Définition dans \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\), qui porte les mêmes deux opérations coordonnée par coordonnée que \(\mathbb{R}^n\) via la matrice des coordonnées. Exemple — Un sous-espace de \(\mathbb{R}^3\) par une équation homogène
Dans \(\mathbb{R}^3\), l'ensemble \(F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\}\) est un sous-espace. Vérification : \((0, 0, 0)\) vérifie l'équation, donc \(0 \in F\) ; et pour \((x, y, z), (x', y', z') \in F\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\), en sommant \(\lambda \times\) la première équation et \(\mu \times\) la seconde : $$(\lambda x + \mu x') + (\lambda y + \mu y') + (\lambda z + \mu z') = \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 0 = 0,$$ donc \(\lambda(x, y, z) + \mu(x', y', z') \in F\). C'est la source « système homogène » des sous-espaces, ici une seule équation. Exemple — Non-sous-espaces : échec à contenir \(0\) ou à la stabilité
Dans \(\mathbb{R}^3\), \(G = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 1\}\) n'est pas un sous-espace : \((0, 0, 0)\) ne vérifie pas \(x + y + z = 1\), donc \(0 \notin G\) (une équation linéaire à second membre non nul ne donne jamais un sous-espace). Dans \(\mathbb{R}^2\), \(H = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid xy = 0\}\) (la réunion des deux axes) n'est pas un sous-espace : \((1, 0)\) et \((0, 1)\) appartiennent à \(H\), mais leur somme \((1, 1)\) a un produit \(1 \ne 0\), donc \(H\) n'est pas stable par addition. Proposition — Intersection de sous-espaces
L'intersection de deux sous-espaces \(F\) et \(G\) de \(\mathbb{R}^n\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}^n\) ; plus généralement, l'intersection d'une famille finie de sous-espaces de \(\mathbb{R}^n\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}^n\). (Une réunion de deux sous-espaces n'est en général pas un sous-espace — voir la Remarque ci-dessous.)
Réunion de sous-espaces
Une réunion de deux sous-espaces n'est en général pas un sous-espace. Dans \(\mathbb{R}^2\), les deux axes \(\{(x, 0) \mid x \in \mathbb{R}\}\) et \(\{(0, y) \mid y \in \mathbb{R}\}\) sont des sous-espaces, mais leur réunion contient \((1, 0)\) et \((0, 1)\) et pas leur somme \((1, 1)\), donc elle n'est pas stable par addition.
Méthode — Tester si une partie est un sous-espace
Pour tester si \(F \subset \mathbb{R}^n\) est un sous-espace, on effectue deux vérifications dans l'ordre : (1) a-t-on \(0 \in F\) ? (rejet rapide sinon — en particulier toute équation linéaire de définition doit avoir un second membre nul). (2) On prend deux vecteurs arbitraires \(u, v \in F\) et deux scalaires arbitraires \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\) et on vérifie que \(\lambda u + \mu v \in F\). Si les deux étapes sont vérifiées, on conclut « \(F\) est un sous-espace ». Si l'étape (2) échoue, on exhibe un contre-exemple numérique explicite (deux vecteurs de \(F\) dont la somme ou un multiple scalaire sort de \(F\)). Raccourci fréquent : si \(F\) est donné comme l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène, c'est un sous-espace sans vérification supplémentaire. Compétences à pratiquer
- Reconnaître un sous-espace de \(\mathbb{R}^n\)
II.2
Sous-espace engendré par une famille finie
La seconde source de sous-espaces : à partir d'une famille finie de vecteurs de \(\mathbb{R}^n\), rassembler toutes leurs combinaisons linéaires construit un sous-espace — le sous-espace engendré, noté \(\operatorname{Vect}\). C'est la façon standard de décrire un sous-espace par une liste finie de vecteurs, le pendant de la description par « système homogène ».
Définition — Sous-espace engendré
Soit \((v_1, \dots, v_p)\) une famille finie de vecteurs de \(\mathbb{R}^n\). Le sous-espace engendré par cette famille, noté \(\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\), est l'ensemble de toutes ses combinaisons linéaires : $$\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p) = \{\, \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_p v_p \mid \lambda_1, \dots, \lambda_p \in \mathbb{R}\, \}.$$ Proposition — \(\operatorname{Vect}\) est un sous-espace contenant la famille
Pour toute famille finie \((v_1, \dots, v_p)\) de vecteurs de \(\mathbb{R}^n\), l'ensemble \(\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}^n\) qui contient chaque \(v_i\). C'est de plus le plus petit sous-espace contenant \(v_1, \dots, v_p\) : tout sous-espace \(G\) contenant chaque \(v_i\) contient \(\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\). Réciproquement, on admet le résultat phare du programme : tout sous-espace de \(\mathbb{R}^n\) est le sous-espace engendré par une famille finie de vecteurs — de sorte qu'un sous-espace de \(\mathbb{R}^n\) se décrit toujours à la fois « par un système » et « par un \(\operatorname{Vect}\) ». Exemple — Droites et plans dans \(\mathbb{R}^3\)
Dans \(\mathbb{R}^3\), le sous-espace engendré \(\operatorname{Vect}((1, 0, 0))\) est l'axe des \(x\) : \(\{(x, 0, 0) \mid x \in \mathbb{R}\}\) ; \(\operatorname{Vect}((1, 0, 0), (0, 1, 0))\) est le plan horizontal \(\{(x, y, 0) \mid x, y \in \mathbb{R}\}\) ; et \(\operatorname{Vect}((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) = \mathbb{R}^3\) tout entier. Exemple — Les deux descriptions d'un sous-espace se rejoignent
Le sous-espace \(F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\}\) (une équation homogène) est aussi un sous-espace engendré. Résoudre \(z = -x - y\) donne \((x, y, z) = x(1, 0, -1) + y(0, 1, -1)\), donc $$F = \operatorname{Vect}\bigl((1, 0, -1),\ (0, 1, -1)\bigr).$$ Le même sous-espace se lit une fois « par équation » et une fois « par \(\operatorname{Vect}\) » — les deux descriptions du programme.
Ordre, doublons et substitutions scalaires non nulles
Plusieurs réécritures ne changent pas \(\operatorname{Vect}\) : réordonner les vecteurs, retirer un doublon, retirer un vecteur déjà combinaison des autres, ou remplacer un vecteur listé par un multiple scalaire non nul de lui-même (\(\operatorname{Vect}(\dots, \alpha v_i, \dots) = \operatorname{Vect}(\dots, v_i, \dots)\) pour \(\alpha \ne 0\)). Ce sont les opérations utilisées pour raccourcir une famille génératrice jusqu'à une base.
Méthode — Décider l'appartenance à un sous-espace engendré
Pour tester \(w \in \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\) dans \(\mathbb{R}^n\), on lit l'équation \(\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_p v_p = w\) comme un système linéaire d'inconnues les \(\lambda_i\) (coordonnée par coordonnée, exactement le test de combinaison linéaire) et on résout par Gauss (Ch.4) : \(w\) appartient au sous-espace engendré si et seulement si ce système admet au moins une solution. Pour trouver une description en \(\operatorname{Vect}\) d'un sous-espace donné par un système homogène, on résout le système, on exprime la solution générale avec les inconnues libres en paramètres, et on factorise chaque paramètre — ses vecteurs coefficients forment une famille génératrice. Compétences à pratiquer
- Calculer et utiliser Vect
III
Familles libres, génératrices, bases et dimension
III.1
Familles libres et génératrices
Deux propriétés d'une famille finie structurent la suite du chapitre. Une famille génératrice atteint tout vecteur d'un sous-espace par combinaison linéaire, donc décrit tout le sous-espace par une courte liste. Une famille libre ne porte aucune redondance : la seule combinaison donnant \(0\) est la combinaison triviale. Les bonnes familles sont les deux à la fois — les bases de la sous-section suivante.
Définition — Famille génératrice
Soit \(F\) un sous-espace de \(\mathbb{R}^n\). Une famille finie \((v_1, \dots, v_p)\) de vecteurs de \(F\) est génératrice de \(F\) (on dit qu'elle engendre \(F\)) lorsque \(F = \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\), c'est-à-dire : tout \(w \in F\) est une combinaison linéaire de \(v_1, \dots, v_p\). Exemple — Engendrer \(\mathbb{R}^3\) et \(\mathbb{R}^2\)
La famille canonique \((e_1, e_2, e_3)\) engendre \(\mathbb{R}^3\) : tout \((x, y, z) = x e_1 + y e_2 + z e_3\). Une famille non canonique convient aussi : le couple \(((1, 1), (1, -1))\) engendre \(\mathbb{R}^2\), car pour tout \((a, b) \in \mathbb{R}^2\) le système \(\lambda + \mu = a\), \(\lambda - \mu = b\) a pour solution \(\lambda = \tfrac{a + b}{2}\), \(\mu = \tfrac{a - b}{2}\). Définition — Familles libres et liées
Une famille finie \((v_1, \dots, v_p)\) de vecteurs de \(\mathbb{R}^n\) est libre (ou linéairement indépendante) lorsque la seule combinaison de la famille égale à \(0\) est la combinaison triviale : $$\forall (\lambda_1, \dots, \lambda_p) \in \mathbb{R}^p, \quad \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_p v_p = 0 \ \Longrightarrow\ \lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0.$$ Une famille qui n'est pas libre est dite liée (ou linéairement dépendante) : une combinaison non triviale est égale à \(0\). Exemple — Un couple libre et un couple lié dans \(\mathbb{R}^2\)
Dans \(\mathbb{R}^2\), le couple \(((1, 0), (0, 1))\) est libre : \(\lambda(1, 0) + \mu(0, 1) = (\lambda, \mu) = (0, 0)\) impose \(\lambda = \mu = 0\). Le couple \(((1, 2), (2, 4))\) est lié : \(2 (1, 2) - (2, 4) = (0, 0)\) est une combinaison non triviale donnant \(0\) (le second vecteur est le double du premier). Exemple — Libre vs génératrice : deux propriétés indépendantes
- Libre mais pas génératrice. La famille singleton \(((1, 0))\) dans \(\mathbb{R}^2\) est libre, mais elle engendre uniquement l'axe des \(x\), pas tout \(\mathbb{R}^2\).
- Génératrice mais pas libre. La famille \(((1, 0), (0, 1), (1, 1))\) engendre \(\mathbb{R}^2\), pourtant la combinaison non triviale \((1, 0) + (0, 1) - (1, 1) = (0, 0)\) montre qu'elle est liée.
Définition — Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs \(u, v\) de \(\mathbb{R}^n\) sont colinéaires lorsque l'un des deux est un multiple scalaire de l'autre : $$\exists \lambda \in \mathbb{R}, \ u = \lambda v \qquad \text{ou} \qquad \exists \mu \in \mathbb{R}, \ v = \mu u.$$ Proposition — Petites familles libres ou liées
Deux règles utiles : - une famille à un vecteur \((u)\) est libre si et seulement si \(u \ne 0\) ;
- une famille à deux vecteurs \((u, v)\) est liée si et seulement si \(u\) et \(v\) sont colinéaires (donc elle est libre si et seulement si \(u\) et \(v\) ne sont pas colinéaires).
Piège avec le vecteur nul
La formulation symétrique « l'un est un multiple scalaire de l'autre » est nécessaire à cause du vecteur nul. Si \(v = 0\) et \(u \ne 0\), alors \(u\) n'est pas un multiple scalaire de \(v\), pourtant le couple est colinéaire via la seconde clause \(v = 0 \cdot u\), et la famille \((u, v)\) est liée (elle contient \(0\)). Deux autres réflexes : toute famille contenant \(0\) est liée, et toute famille listant deux fois le même vecteur est liée.
Exemple — Couples libres ou liés dans \(\mathbb{R}^3\)
Dans \(\mathbb{R}^3\), le couple \(((1, 0, 0), (2, 0, 0))\) est lié (colinéaires, le second est le double du premier) ; le couple \(((1, 0, 0), (0, 1, 0))\) est libre (non colinéaires) ; le couple \(((0, 0, 0), (1, 2, 3))\) est lié (il contient \(0\)). Proposition — Caractérisation d'une famille liée
Soit \(p \ge 2\). Une famille \((v_1, \dots, v_p)\) de vecteurs de \(\mathbb{R}^n\) est liée si et seulement si au moins un de ses vecteurs est combinaison linéaire des autres. De façon équivalente, la famille est libre si et seulement si aucun vecteur de la famille n'est combinaison des autres. Méthode — Tester si une famille est libre
Pour tester si \((v_1, \dots, v_p)\) est libre dans \(\mathbb{R}^n\), on écrit l'équation homogène \(\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_p v_p = 0\) d'inconnues les \(\lambda_i\), on la lit coordonnée par coordonnée (une équation par coordonnée, \(n\) équations à \(p\) inconnues), et on résout le système homogène obtenu par Gauss (Ch.4). La famille est libre si et seulement si l'unique solution est \(\lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0\) ; sinon toute solution non nulle est une dépendance non triviale. Pour \(p \le 2\) la Proposition raccourci ci-dessus est plus rapide (un seul vecteur : non nul ? un couple : non colinéaires ?). Méthode — Tester si une famille est génératrice
Pour tester si \((v_1, \dots, v_p)\) engendre l'espace tout entier \(\mathbb{R}^n\), on écrit \(\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_p v_p = w\) pour une cible symbolique \(w\) dont les coordonnées sont des lettres \(a, b, c, \dots\) On lit coordonnée par coordonnée et on résout en les \(\lambda_i\) par Gauss : la famille engendre \(\mathbb{R}^n\) si et seulement si le système est résoluble pour tout choix de lettres (aucune condition de compatibilité). Pour tester si elle engendre un sous-espace strict \(F\) donné, on vérifie d'abord que chaque \(v_i\) appartient à \(F\) (sinon le sous-espace engendré dépasse \(F\)) ; puis on vérifie que les conditions de résolubilité sur les lettres coïncident avec les équations définissant \(F\) (donc que le sous-espace engendré atteint tout \(F\)). Compétences à pratiquer
- Tester libre ou génératrice
III.2
Bases et coordonnées
Une famille à la fois libre et génératrice d'un sous-espace est une base de ce sous-espace. Sa vertu essentielle : dans une base, tout vecteur a une et une seule liste de scalaires coordonnées, que l'on rassemble en une matrice colonne des coordonnées.
Définition — Base d'un sous-espace
Une base d'un sous-espace non nul \(F \subset \mathbb{R}^n\) est une famille finie de vecteurs de \(F\) à la fois libre et génératrice de \(F\). De façon équivalente — et c'est la caractérisation utilisée en pratique — une famille \((v_1, \dots, v_p)\) de vecteurs de \(F\) est une base de \(F\) si et seulement si tout vecteur de \(F\) se décompose de manière unique comme combinaison linéaire de \(v_1, \dots, v_p\) (résultat admis). Exemple — Deux bases de \(\mathbb{R}^2\)
Le couple canonique \(\mathcal{B}_0 = ((1, 0), (0, 1))\) est une base de \(\mathbb{R}^2\) : elle est génératrice car \((a, b) = a(1, 0) + b(0, 1)\) pour tout \((a, b)\), et libre (vue ci-dessus). Le couple \(\mathcal{B} = ((1, 1), (1, -1))\) est une autre base de \(\mathbb{R}^2\) : génératrice (vue ci-dessus) et libre (l'équation \(\lambda(1, 1) + \mu(1, -1) = (0, 0)\) donne \(\lambda + \mu = 0\) et \(\lambda - \mu = 0\), d'où \(\lambda = \mu = 0\)). Définition — Coordonnées et matrice colonne dans une base
Soit \(\mathcal{B} = (v_1, \dots, v_p)\) une base d'un sous-espace non nul \(F\). Pour \(w \in F\), les uniques scalaires \(\lambda_1, \dots, \lambda_p\) tels que \(w = \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_p v_p\) sont les coordonnées de \(w\) dans \(\mathcal{B}\), et la matrice colonne des coordonnées de \(w\) dans \(\mathcal{B}\) est $$\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(w) = \begin{pmatrix} \lambda_1 \\
\vdots \\
\lambda_p \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{R}).$$ Exemple — Coordonnées dans une base non canonique de \(\mathbb{R}^2\)
Dans la base \(\mathcal{B} = ((1, 1), (1, -1))\) de \(\mathbb{R}^2\), les coordonnées de \(w = (5, 1)\) sont \((3, 2)\) (le système \(\lambda + \mu = 5\), \(\lambda - \mu = 1\) résolu plus haut), donc sa matrice colonne des coordonnées est $$\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(w) = \begin{pmatrix} 3 \\
2 \end{pmatrix}.$$ Dans la base canonique au contraire, la matrice des coordonnées de \((5, 1)\) est \(\begin{psmallmatrix} 5 \\ 1 \end{psmallmatrix}\) — les composantes elles-mêmes. Méthode — Trouver des coordonnées dans une base connue
Étant donné une base \(\mathcal{B} = (v_1, \dots, v_p)\) d'un sous-espace \(F\) et un vecteur \(w\), on résout le système linéaire \(\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_p v_p = w\) d'inconnues les \(\lambda_i\) par Gauss (Ch.4). Lorsque \(w \in F\) le système a une et une seule solution ; ses valeurs sont les coordonnées de \(w\), empilées dans \(\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(w)\). Le même système sert aussi de test d'appartenance : il a une solution si et seulement si \(w \in F\). Compétences à pratiquer
- Trouver des coordonnées dans une base
III.3
Dimension et rang
Toutes les bases d'un même sous-espace partagent un nombre : leur cardinal. Ce nombre est la dimension du sous-espace — l'invariant le plus utile de l'algèbre linéaire. Il en découle les raccourcis pratiques (« le bon nombre de vecteurs, plus une propriété, donne une base ») et la notion de rang d'une famille. À ce niveau les résultats de comptage sont énoncés et admis, puis utilisés.
Définition — Dimension d'un sous-espace
Soit \(F\) un sous-espace non nul de \(\mathbb{R}^n\). On admet deux faits : tout sous-espace non nul de \(\mathbb{R}^n\) admet une base (finie), et deux bases quelconques de \(F\) ont le même nombre \(p\) de vecteurs. Ce nombre commun est la dimension de \(F\), notée \(\dim(F)\). Par convention \(\dim(\{0\}) = 0\). En particulier \(\dim(\mathbb{R}^n) = n\) (la base canonique a \(n\) vecteurs), \(\dim(\mathbb{R}^2) = 2\), \(\dim(\mathbb{R}^3) = 3\). Proposition — Raccourcis de comptage en dimension \(n\)
Soit \(F\) un sous-espace non nul de \(\mathbb{R}^n\) de dimension \(d \ge 1\). On admet les résultats suivants : - toute famille libre de vecteurs de \(F\) a au plus \(d\) vecteurs ; toute famille génératrice de \(F\) a au moins \(d\) vecteurs ;
- une famille libre de \(F\) à exactement \(d\) vecteurs est une base de \(F\) ;
- une famille génératrice de \(F\) à exactement \(d\) vecteurs est une base de \(F\).
Exemple — Une base d'un plan de \(\mathbb{R}^3\)
Pour \(F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\}\), résoudre \(z = -x - y\) a donné \(F = \operatorname{Vect}((1, 0, -1), (0, 1, -1))\), donc ce couple générateur a \(2\) vecteurs. Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc le couple est libre, donc c'est une base de \(F\) et \(\dim(F) = 2\) — \(F\) est un plan de \(\mathbb{R}^3\). Exemple — Trois vecteurs de \(\mathbb{R}^3\) par le raccourci du cardinal
La famille \(((1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0))\) a \(3\) vecteurs dans \(\mathbb{R}^3\), et \(\dim(\mathbb{R}^3) = 3\). Pour décider que c'est une base il suffit maintenant de vérifier qu'elle est libre : le système homogène \(\lambda + \nu = 0\), \(\mu + \nu = 0\), \(\lambda + \mu = 0\) donne, en sommant les trois équations, \(2(\lambda + \mu + \nu) = 0\), donc \(\lambda + \mu + \nu = 0\) ; en soustrayant ensuite chaque équation initiale, on obtient successivement \(\mu = 0\), \(\lambda = 0\), \(\nu = 0\). Seule la solution triviale, donc la famille est libre, donc — bon cardinal \(+\) libre — une base de \(\mathbb{R}^3\). Définition — Rang d'une famille de vecteurs
Le rang d'une famille finie \((v_1, \dots, v_p)\) de vecteurs de \(\mathbb{R}^n\), noté \(\operatorname{rg}(v_1, \dots, v_p)\), est la dimension du sous-espace qu'elle engendre : $$\operatorname{rg}(v_1, \dots, v_p) = \dim\bigl(\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\bigr).$$ Intuitivement, il compte « combien des \(p\) vecteurs sont véritablement indépendants ». Toujours \(\operatorname{rg}(v_1, \dots, v_p) \le p\), avec égalité exactement lorsque la famille est libre ; et toujours \(\operatorname{rg}(v_1, \dots, v_p) \le n\) (le sous-espace engendré est inclus dans \(\mathbb{R}^n\)), donc une famille de plus de \(n\) vecteurs de \(\mathbb{R}^n\) est nécessairement liée. Exemple — Deux rangs dans \(\mathbb{R}^3\)
La famille \(((1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0))\) engendre le plan \(\{(x, y, 0)\}\), de dimension \(2\), donc son rang est \(2\) (le troisième vecteur est la somme des deux premiers : seuls \(2\) sont indépendants). La famille \(((1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0))\) est libre et engendre \(\mathbb{R}^3\), donc son rang est \(3\). Méthode — Calculer une dimension ou un rang
Pour trouver la dimension d'un sous-espace \(F\) : produire une base de \(F\) et compter ses vecteurs. Deux voies. Si \(F\) est donné par un système homogène, on le résout, on écrit la solution générale avec les inconnues libres en paramètres, on factorise chaque paramètre — les vecteurs coefficients forment une famille génératrice ; on vérifie qu'elle est libre (lorsque les paramètres sont des inconnues réellement libres d'un système résolu, elle l'est) et on compte. Si \(F = \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\) est donné par une famille génératrice, on retire les vecteurs redondants (un vecteur combinaison des autres, trouvé par Gauss) jusqu'à ce que la famille restante soit libre ; son cardinal est \(\dim(F)\), et ce nombre est le rang de la famille initiale \((v_1, \dots, v_p)\). Compétences à pratiquer
- Calculer un rang ou une dimension
III.4
Les deux bases canoniques
Deux bases canoniques réapparaissent dans tous les chapitres d'algèbre linéaire suivants et méritent un nom : la base canonique de \(\mathbb{R}^n\) et la base canonique de l'espace des matrices colonnes \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\). Elles se correspondent position par position — c'est la distinction \(n\)-uplet ligne vs matrice colonne.
Proposition — La base canonique de \(\mathbb{R}^n\)
La famille \((e_1, \dots, e_n)\) (avec \(e_i\) le \(n\)-uplet ayant un \(1\) en position \(i\) et \(0\) ailleurs) est une base de \(\mathbb{R}^n\) : elle est génératrice car \((x_1, \dots, x_n) = x_1 e_1 + \dots + x_n e_n\), et libre car cette combinaison vaut \(0\) seulement si tous les \(x_i = 0\). Les coordonnées de \((x_1, \dots, x_n)\) dans cette base sont ses propres composantes, donc sa matrice colonne des coordonnées est \(\begin{psmallmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{psmallmatrix}\). Proposition — La base canonique de \(\mathcal{M}_{n\virgule 1}(\mathbb{R})\)
La famille \((E_1, \dots, E_n)\), où \(E_i\) est la matrice colonne avec un \(1\) sur la ligne \(i\) et \(0\) ailleurs, est une base de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) : toute colonne \(X = \begin{psmallmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{psmallmatrix} = x_1 E_1 + \dots + x_n E_n\), et cette combinaison vaut \(0\) seulement si tous les \(x_i = 0\). Sa matrice colonne des coordonnées dans \((E_1, \dots, E_n)\) est \(X\) elle-même. Donc \(\dim\bigl(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\bigr) = n\), position par position la même que \(\mathbb{R}^n\).
Lire \(\mathbb{R}^n\) à travers \(\mathcal{M}_{n\virgule 1}(\mathbb{R})\)
Les bases canoniques de \(\mathbb{R}^n\) et de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) se correspondent position par position ; c'est exactement ce qui permet d'introduire « un vecteur de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) comme la matrice des coordonnées d'un vecteur de \(\mathbb{R}^n\) dans la base canonique ». On passe librement du \(n\)-uplet ligne \((x_1, \dots, x_n)\) à la colonne \(\begin{psmallmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{psmallmatrix}\), et on utilise le produit matriciel \(X \mapsto AX\) du Ch.5 pour les questions de sous-espaces et de systèmes.
Méthode — Écrire une matrice colonne des coordonnées dans une base canonique
- Dans \(\mathbb{R}^n\). Les coordonnées de \((x_1, \dots, x_n)\) dans \((e_1, \dots, e_n)\) sont ses propres composantes — on les empile en colonne.
- Dans \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\). Les coordonnées de \(X = \begin{psmallmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{psmallmatrix}\) dans \((E_1, \dots, E_n)\) sont ses entrées de ligne \(x_1, \dots, x_n\) — la matrice colonne des coordonnées est \(X\) elle-même.
Pour aller plus loin
Ce chapitre fixe le vocabulaire de \(\mathbb{R}^n\) — sous-espaces, \(\operatorname{Vect}\), familles libres / génératrices, bases, matrices colonnes des coordonnées, dimension et rang — et il porte déjà les deux invariants calculatoires de l'année, la dimension et le rang, utilisés comme outils de comptage admis. Le chapitre suivant, Applications linéaires de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^m\), transporte toutes les notions construites ici sur les applications \(X \mapsto M X\) : le noyau d'une matrice sera un sous-espace décrit par un système homogène, le rang d'une matrice sera le rang de la famille de ses vecteurs colonnes, et la matrice colonne des coordonnées \(\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(w)\) deviendra l'élément de base de la matrice d'une application linéaire, avec le théorème du rang reliant les deux dimensions.
Compétences à pratiquer
- Les bases canoniques de \(\mathbb{R}^n\) et \(M_{n\virgule 1}(\mathbb{R})\)
IV
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Pour aller plus loin
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