Éducation Nationale Française · ECGappliquées

Suites réelles usuelles

⌚ ~82 min ▢ 8 blocs ✓ 32 exercices ➣ Prérequis : Méthodes de calcul, Nombres réels

Vue d'ensemble du chapitre

Une suite réelle associe un nombre réel à chaque entier naturel, et le chapitre étudie ce qui se passe quand l'indice grandit. Le lycée a donné la limite d'une suite par des intervalles, admis qu'une suite monotone bornée converge, et lu les opérations sur les limites dans des tableaux. Ce chapitre fait de la limite un objet démontré : la définition avec $\varepsilon$ et un rang $N$ est maniée, les opérations sur les limites et le tableau des limites infinies sont démontrés, ainsi que les trois théorèmes qui donnent une limite sans la calculer — le théorème de la limite monotone, le théorème des suites adjacentes et le théorème de Bolzano-Weierstrass. Aucun résultat n'est admis, et ni limite d'une fonction, ni continuité, ni dérivée, ni nombre complexe n'est utilisé. Quatre fils traversent le chapitre. Le premier est le vocabulaire : bornée, monotone, vraie à partir d'un certain rang, et les trois modes de définition d'une suite. Le deuxième est celui des formes closes des suites usuelles — arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques, et récurrences linéaires d'ordre deux — qui n'exigent aucune limite. Le troisième est celui de la limite : sa définition, son unicité, les opérations et les inégalités, puis les théorèmes d'existence, les suites extraites et la comparaison des suites usuelles. Le quatrième est celui de la suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$, étudiée avec les intervalles stables, la monotonie, le théorème de la limite monotone et les points fixes.
Conventions. Une suite est indexée par $\mathbb{N}$ sauf mention contraire : $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$, ou simplement $(u_n)$. « Croissante » signifie $u_{n+1} \ge u_n$, au sens large, et « strictement croissante » est le sens strict. « Convergente » signifie que la limite existe et est finie : une suite qui tend vers $+\infty$ a une limite et est divergente. Une limite appartient à $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$. Une extraction se note $\varphi$, et la composée d'une fonction $f$ avec elle-même se note $f \circ f$. Les fonctions $\sqrt{\cdot}$, $\exp$, $\ln$, $\cos$ et $\sin$ sont connues du lycée et utilisées comme telles ; leur étude vient plus tard. Les suites sont réelles : les suites de nombres complexes relèvent de l'étude des nombres complexes. Dans un ensemble listé, un $n$-uplet ou un intervalle, le séparateur est la virgule.

Signaler une erreur

Prérequis

Ce chapitre suppose connus le chapitre Suites : suite, définitions explicite et par récurrence, suites arithmétiques et géométriques avec leur terme général et leurs sommes, modélisation ; le chapitre Suites monotones : la différence de deux termes consécutifs, le quotient de termes consécutifs d'une suite strictement positive, et le théorème de la limite monotone, énoncé là sans démonstration ; le chapitre Limites de suites : la limite donnée par des intervalles, les opérations sur les limites et les formes indéterminées, la comparaison et l'encadrement, la limite de $q^n$, la Proposition « Inégalité de Bernoulli » ($(1 + a)^n \ge 1 + na$ pour $a \ge 0$), et le diagramme en escalier de $u_{n+1} = f(u_n)$ comme conjecture, non comme preuve. Les fonctions de référence et leurs propriétés du lycée sont utilisées sans démonstration : $\sqrt{\cdot}$ et $x \mapsto x^{\alpha}$ pour $\alpha > 0$ sont strictement croissantes sur $\mathbb{R}_+$ ; $\exp$ et $\ln$ sont réciproques l'une de l'autre et strictement croissantes, et $\ln(xy) = \ln x + \ln y$ pour $x, y > 0$ ; $\ln x \le x - 1$ pour $x > 0$ et $\ln(1 + x) \le x$ pour $x > -1$ ; les puissances réelles $x^{\alpha} = e^{\alpha \ln x}$ pour $x > 0$, avec $\ln(x^{\alpha}) = \alpha \ln x$ et $(x^{\alpha})^{\beta} = x^{\alpha\beta}$ ; $\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$-périodiques, avec $\cos\frac{\pi}{2} = 0$, $\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\lvert \cos x \rvert \le 1$ et $\lvert \sin x \rvert \le 1$, $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, $\sin x = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$, $\sin x > 0$ sur $]0, \pi[$, $\cos$ est une bijection de $[0, \pi]$ sur $[-1, 1]$, et $\cos(a + b) + \cos(a - b) = 2\cos a \cos b$ ; le trinôme du second degré, ses racines, son discriminant et son signe ; $n!$, les symboles $\sum$ et $\prod$, et la somme télescopique ; l'irrationalité de $\sqrt{2}$ ; et $\pi \notin \mathbb{Q}$, qui est admis. Du chapitre Raisonner et rédiger : les schémas de démonstration d'un énoncé universel et d'un énoncé existentiel, de l'unicité, par disjonction des cas, par contraposée et par l'absurde, et la récurrence, simple, double et forte. Du chapitre Logique : la négation des quantificateurs, qui donne la négation de $u_n \to \ell$. Du chapitre Ensembles : les intervalles, les parties d'un ensemble, et les parties finies, dont une partie non vide a un plus grand élément. Du chapitre Applications : une suite est une application de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$, une extraction est une application strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$, la composée, et les applications injectives. Du chapitre Relations d'équivalence et d'ordre : « croissante » pour un ordre. Du chapitre Nombres réels : l'ordre de $\mathbb{R}$ et les règles de calcul sur les inégalités, les intervalles, la valeur absolue et les inégalités triangulaires, $\max(a, b)$, la borne supérieure et sa caractérisation $\varepsilon$, la propriété de la borne supérieure — une partie non vide de $\mathbb{R}$ majorée a une borne supérieure, ce qui est admis là — la propriété d'Archimède, la partie entière, les valeurs décimales approchées par défaut et par excès, la Proposition « Somme et produit avec un rationnel », la densité d'une partie qui rencontre tout intervalle ouvert non vide, et la droite achevée $\overline{\mathbb{R}}$. Du chapitre Fonctions réelles : vocabulaire : les fonctions monotones et bornées, et la monotonie d'une somme, d'un produit, d'une composée et d'une réciproque. Le chapitre n'utilise ni limite d'une fonction, ni continuité, ni dérivée, ni convexité — hors les deux inégalités du logarithme ci-dessus — ni série, nombre complexe, espace vectoriel ou formule du binôme.

Signaler une erreur

I Suites et vocabulaire

Une suite est une application

Une suite est l'objet le plus simple de l'analyse : une fonction réelle dont la variable est un entier naturel. Le lycée a nommé ses propriétés en mots — une suite croît, reste sous une borne, est arithmétique — et les a lues sur quelques termes ou sur un graphique. Le vocabulaire des suites réelles fait de chaque mot une définition quantifiée, ajoute les deux notions sur lesquelles repose tout énoncé ultérieur — une propriété vraie à partir d'un certain rang, et les trois modes de définition d'une suite — et démontre les premières propriétés qu'une liste de termes ne fait que suggérer.

Signaler une erreur

I.1 Suites réelles et modes de définition

D'une liste à une application

Une suite se rencontre d'abord comme une liste de nombres $u_0, u_1, u_2, \dots$ écrits dans l'ordre. Pour les démonstrations qui suivent, c'est une application $u \colon \mathbb{N} \to \mathbb{R}$, comme dans le chapitre Applications : à chaque indice $n$ correspond un réel $u_n$, le terme d'indice $n$. La liste montre l'application sans la définir. Une suite se donne de trois façons — une formule en $n$, une propriété qui caractérise $u_n$, une règle qui calcule chaque terme à partir des précédents — et les trois diffèrent par ce qu'elles permettent de démontrer d'emblée : une formule donne directement n'importe quel terme, une propriété exige d'abord que le terme existe, une règle exige que les termes soient calculés l'un après l'autre.

Signaler une erreur

Définition — Suite réelle

Une suite réelle est une application $u \colon \mathbb{N} \to \mathbb{R}$, notée $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou simplement $(u_n)$, où $u_n = u(n)$ est le terme d'indice $n$. L'ensemble des suites réelles est noté $\textcolor{colordef}{\mathbb{R}^{\mathbb{N}}}$. Une suite peut aussi n'être définie qu'à partir d'un rang $n_0 \in \mathbb{N}$, comme une application sur $\{n \in \mathbb{N} \mid n \ge n_0\}$, et se note alors $(u_n)_{n \ge n_0}$.

Deux suites sont égales lorsqu'elles ont les mêmes termes : $(u_n) = (v_n)$ signifie $u_n = v_n$ pour tout $n$.
La somme, le multiple et le produit de suites se prennent terme à terme : $(u_n) + (v_n) = (u_n + v_n)$, $\lambda (u_n) = (\lambda u_n)$ et $(u_n)(v_n) = (u_n v_n)$.
Une suite est stationnaire si elle est constante à partir d'un certain indice : $\exists N \in \mathbb{N}, \ \forall n \ge N, \ u_n = u_N$.

Définition — Modes de définition

Une suite réelle se donne de l'une des trois façons suivantes.

Explicite : $u_n = f(n)$ pour une formule $f$ en $n$, de sorte que chaque terme se calcule directement, sans les précédents.
Implicite : $u_n$ est caractérisé par une propriété qui dépend de $n$, par exemple comme l'unique solution d'une équation dans un intervalle donné ; l'existence et l'unicité de $u_n$ doivent alors être démontrées avant toute chose.
Récurrente : le premier terme $u_0$ est donné, et chaque terme se calcule à partir des précédents, comme dans $u_{n+1} = f(u_n)$ ou $u_{n+1} = u_n + \frac{1}{n+1}$ ; pour une récurrence d'ordre deux, les deux premiers termes sont donnés et $u_{n+2}$ se calcule à partir de $u_{n+1}$ et $u_n$.

Exemple — Une suite explicite

La suite $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par $u_n = \frac{1}{n}$ est explicite : $u_1 = 1$, $u_2 = \frac{1}{2}$, et $u_{100} = \frac{1}{100}$ se lit sur la formule sans calculer les quatre-vingt-dix-neuf termes qui le précèdent. Chaque terme est plus petit que le précédent : pour tout $n \ge 1$, $$ \begin{aligned} u_{n+1} - u_n &= \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} && \text{(définition de la suite)} \\ &= \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= -\frac{1}{n(n+1)}, \end{aligned} $$ et ce nombre est strictement négatif.

Exemple — Une suite définie par récurrence

Soient $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + \frac{1}{n+1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Calculer $u_1$ et $u_2$, étudier les variations de $(u_n)$, et montrer que $u_n > 2$ pour tout $n \ge 2$.

Correction

Les premiers termes. $u_1 = u_0 + \frac{1}{1} = 2$ et $u_2 = u_1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
Les variations. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $$ \begin{aligned} u_{n+1} - u_n &= \left( u_n + \frac{1}{n+1} \right) - u_n && \text{(définition de la suite)} \\ &= \frac{1}{n+1}, \end{aligned} $$ qui est strictement positif : $(u_n)$ est strictement croissante.
La minoration. Pour $n \ge 2$, notons $P_n$ la propriété « $u_n > 2$ ».

Initialisation. $u_2 = \frac{5}{2} > 2$, donc $P_2$ est vraie.
Hérédité. Soit $n \ge 2$. Supposons $P_n$. Montrons $P_{n+1}$. Comme $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{n+1} > 0$ et que $u_n > 2$ par hypothèse de récurrence, $u_{n+1} > u_n > 2$. Donc $P_{n+1}$.
Conclusion. Puisque $P_2$ est vraie et que $P_n \Rightarrow P_{n+1}$ pour tout $n \ge 2$, par récurrence à partir du rang $2$, $u_n > 2$ pour tout $n \ge 2$.

Exemple — Une suite implicite

Pour $n \ge 1$, soit $u_n$ la solution positive de l'équation $x^2 + x = n$. Montrer que $u_n$ est bien défini, le calculer, et montrer que $(u_n)$ est strictement croissante.

Correction

Existence et unicité. Soient $n \ge 1$ et $x \in \mathbb{R}$. $$ \begin{aligned} x^2 + x = n &\iff \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 = n + \frac{1}{4} && \text{(forme canonique du trinôme)} \\ &\iff \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 = \left( \frac{\sqrt{4n+1}}{2} \right)^2 && \text{($n + \frac{1}{4} = \frac{4n+1}{4}$)} \\ &\iff x = \frac{-1 + \sqrt{4n+1}}{2} \ \text{ ou } \ x = \frac{-1 - \sqrt{4n+1}}{2}. \end{aligned} $$ La dernière équivalence vient de $a^2 = b^2 \iff a = b$ ou $a = -b$. Pour $n \ge 1$, $\sqrt{4n+1} > 1$, donc la première solution est positive et la seconde est négative. L'équation a exactement une solution positive, donc $u_n$ est bien défini, et $u_n = \frac{-1 + \sqrt{4n+1}}{2}$.
Variations. Pour $n \ge 1$, $4n + 1 < 4(n+1) + 1$, et $\sqrt{\cdot}$ est strictement croissante, donc $\sqrt{4n+1} < \sqrt{4(n+1)+1}$, c'est-à-dire $u_n < u_{n+1}$ : la suite est strictement croissante.
Pour une équation quelconque, aucune formule ne donne la solution, et l'existence et l'unicité de $u_n$ sont la première chose à démontrer.

Piège : une suite n'est pas son terme général

Le nombre $u_n$ et la suite $(u_n)$ sont deux objets différents. Le nombre $u_n$ est un terme, la valeur de l'application $u$ en $n$ ; la suite $(u_n)$ est l'application entière. On dit « la suite $(u_n)$ est croissante », jamais « $u_n$ est croissant », ce qui parlerait d'un seul nombre. Pour une suite explicite, la formule qui donne $u_n$ en fonction de $n$ est son terme général.
L'ensemble des valeurs $\{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ est un troisième objet, qui oublie l'ordre et les répétitions. Les suites $\big( (-1)^n \big)$ et $\big( (-1)^{n+1} \big)$ prennent les deux mêmes valeurs $-1$ et $1$, mais elles diffèrent à chaque indice, donc ce sont deux suites différentes.

Signaler une erreur

Compétences à pratiquer

Reconnaître le mode de définition d'une suite ★
Calculer des termes d'une suite ★

II Suites usuelles : formes closes

Formes closes

Quatre familles de suites ont une forme close : les suites arithmétiques et géométriques, déjà connues, les suites arithmético-géométriques, qui les combinent, et les récurrences linéaires d'ordre deux. Une forme close donne $u_n$ comme une formule en $n$, de sorte que n'importe quel terme se calcule directement et que les propriétés de la suite se lisent sur la formule. Les démonstrations des formes closes n'emploient que la récurrence et l'algèbre : aucune limite n'est nécessaire, et le comportement de ces suites pour $n$ grand est une question pour la limite.

Signaler une erreur

II.1 Suites arithmétiques et géométriques

Une différence constante, un quotient constant

Dans une suite arithmétique, chaque terme s'obtient à partir du précédent en ajoutant le même nombre ; dans une suite géométrique, en multipliant par le même nombre. Le terme général et la somme de chacune sont connus ; ici ils sont démontrés, et une Méthode montre comment reconnaître l'une de ces suites, éventuellement après un changement de suite.

Signaler une erreur

Définition — Suite arithmétique

Une suite réelle $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$, sa raison, tel que $u_{n+1} = u_n + r$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Définition — Suite géométrique

Une suite réelle $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$, sa raison, tel que $u_{n+1} = q \, u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Proposition — Forme close d'une suite arithmétique ou géométrique

Soient $(u_n)$ une suite réelle et $p \in \mathbb{N}$.

Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$, alors $u_n = u_0 + nr$ pour tout $n$, et $u_n = u_p + (n - p) r$ pour tout $n \ge p$.
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$, alors $u_n = u_0 q^n$ pour tout $n$, et $u_n = u_p q^{n - p}$ pour tout $n \ge p$.

Ici $q^0 = 1$, y compris lorsque $q = 0$.

Preuve

Suites arithmétiques. Soit $n \in \mathbb{N}$. Par une somme télescopique, $$ \begin{aligned} u_n - u_0 &= \sum_{k=0}^{n-1} (u_{k+1} - u_k) && \text{(somme télescopique)} \\ &= \sum_{k=0}^{n-1} r && \text{(définition d'une suite arithmétique)} \\ &= nr, \end{aligned} $$ donc $u_n = u_0 + nr$.
Suites géométriques. Supposons d'abord $q \ne 0$, et posons $w_k = \frac{u_k}{q^k}$. Pour tout $k$, $$ \begin{aligned} w_{k+1} - w_k &= \frac{u_{k+1}}{q^{k+1}} - \frac{u_k}{q^k} && \text{(définition de $w$)} \\ &= \frac{q \, u_k}{q^{k+1}} - \frac{u_k}{q^k} && \text{(définition d'une suite géométrique)} \\ &= \frac{u_k}{q^k} - \frac{u_k}{q^k} && \text{(simplification par $q \ne 0$)} \\ &= 0. \end{aligned} $$ Par une somme télescopique, $w_n - w_0 = \sum_{k=0}^{n-1} (w_{k+1} - w_k) = 0$, c'est-à-dire $\frac{u_n}{q^n} = u_0$ et $u_n = u_0 q^n$. Si $q = 0$, alors $u_n = 0 \cdot u_{n-1} = 0 = u_0 q^n$ pour tout $n \ge 1$, et $u_0 = u_0 q^0$.
À partir du rang $p$. La suite $v_k = u_{p+k}$ est arithmétique de raison $r$, respectivement géométrique de raison $q$, puisque $v_{k+1} = u_{p+k+1}$ s'obtient à partir de $u_{p+k} = v_k$ par la même règle. La première partie appliquée à $(v_k)$ avec $k = n - p$ donne $u_n = v_{n-p} = u_p + (n-p) r$, respectivement $u_n = u_p q^{n-p}$.
Seconde démonstration, par récurrence. Pour $n \in \mathbb{N}$, notons $P_n$ la propriété « $u_n = u_0 + nr$ ». L'initialisation $P_0$ est $u_0 = u_0$. Soit $n \in \mathbb{N}$ et supposons $P_n$. Alors $u_{n+1} = u_n + r = (u_0 + nr) + r = u_0 + (n+1) r$, par hypothèse de récurrence : c'est $P_{n+1}$. Par récurrence, $P_n$ est vraie pour tout $n$. Pour une suite géométrique, avec $P_n$ la propriété « $u_n = u_0 q^n $ », $u_{n+1} = q \, u_n = q \, u_0 q^n = u_0 q^{n+1}$ de la même façon.

Proposition — Sommes de termes consécutifs

Soit $n \in \mathbb{N}$.

Si $(u_k)$ est arithmétique, $\sum_{k=0}^{n} u_k = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}$ : le nombre de termes fois la moyenne du premier et du dernier.
Pour $q \ne 1$, $\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$, et pour $q = 1$ la somme vaut $n + 1$. Donc une suite géométrique de raison $q \ne 1$ vérifie $\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 \, \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.

Une somme de l'indice $p$ à l'indice $m$ est la somme des $m - p + 1$ premiers termes de la suite $(u_{p+j})_j$, qui est arithmétique ou géométrique de même raison.

Preuve

La somme arithmétique. Posons $S = \sum_{k=0}^{n} u_k$. L'application $k \mapsto n - k$ est une bijection de $\{0, \dots, n\}$ sur lui-même, donc $S = \sum_{k=0}^{n} u_{n-k}$. En additionnant les deux expressions de $S$, $$ \begin{aligned} 2S &= \sum_{k=0}^{n} (u_k + u_{n-k}) && \text{(addition des deux expressions de $S$)} \\ &= \sum_{k=0}^{n} \Big( \big( u_0 + kr \big) + \big( u_0 + (n-k) r \big) \Big) && \text{(forme close)} \\ &= \sum_{k=0}^{n} (2u_0 + nr) && \text{(les termes en $k$ s'annulent)} \\ &= (n+1)(2u_0 + nr) && \text{(une somme de $n+1$ termes égaux)} \\ &= (n+1)(u_0 + u_n), \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $u_n = u_0 + nr$, de sorte que $2u_0 + nr = u_0 + u_n$. Diviser par $2$ donne la formule.
La somme géométrique. Pour $q = 1$ la somme est faite de $n+1$ termes égaux à $1$. Pour $q \ne 1$, $$ \begin{aligned} (1 - q) \sum_{k=0}^{n} q^k &= \sum_{k=0}^{n} \left( q^k - q^{k+1} \right) && \text{(distribution de $1 - q$)} \\ &= q^0 - q^{n+1} && \text{(somme télescopique)} \\ &= 1 - q^{n+1}, \end{aligned} $$ et diviser par $1 - q \ne 0$ donne la formule. Pour une suite géométrique, $u_k = u_0 q^k$ par la forme close, et $u_0$ se met en facteur.
Seconde démonstration, par récurrence. Pour la somme arithmétique, notons $P_n$ la propriété « $\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1) u_0 + \frac{n(n+1)}{2} r $ », qui est la formule parce que $\frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2} = \frac{(n+1)(2u_0 + nr)}{2} = (n+1) u_0 + \frac{n(n+1)}{2} r$. L'initialisation $P_0$ est $u_0 = u_0$. Si $P_n$ est vraie, $$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n+1} u_k &= \sum_{k=0}^{n} u_k + u_{n+1} && \text{(séparation du dernier terme)} \\ &= (n+1) u_0 + \frac{n(n+1)}{2} r + u_0 + (n+1) r && \text{(hypothèse de récurrence et forme close)} \\ &= (n+2) u_0 + \frac{(n+1)(n+2)}{2} r, \end{aligned} $$ ce qui est $P_{n+1}$. Pour la somme géométrique, notons $P_n$ la propriété « $\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ » pour $q \ne 1$. L'initialisation est $1 = \frac{1 - q}{1 - q}$. Si $P_n$ est vraie, $$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n+1} q^k &= \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} + q^{n+1} && \text{(hypothèse de récurrence)} \\ &= \frac{1 - q^{n+1} + q^{n+1} - q^{n+2}}{1 - q} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= \frac{1 - q^{n+2}}{1 - q}, \end{aligned} $$ ce qui est $P_{n+1}$.

Méthode — Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique

Pour reconnaître une suite arithmétique ou géométrique $(u_n)$ :

Calculer la différence $u_{n+1} - u_n$ : si c'est un nombre $r$ qui ne dépend pas de $n$, la suite est arithmétique de raison $r$.
Calculer le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$, lorsqu'aucun terme n'est nul : si c'est un nombre $q$ qui ne dépend pas de $n$, la suite est géométrique de raison $q$. Quand la récurrence est donnée sous la forme $u_{n+1} = q \, u_n$, il n'y a rien à calculer.
Changer de suite lorsque la récurrence n'est ni l'une ni l'autre : chercher une suite auxiliaire arithmétique ou géométrique, comme $v_n = \frac{1}{u_n}$ ou $v_n = u_n - \ell$. La forme close de $(v_n)$ donne celle de $(u_n)$.
Réfuter avec trois termes : si $u_1 - u_0 \ne u_2 - u_1$, la suite n'est pas arithmétique ; si $u_1^2 \ne u_0 u_2$, elle n'est pas géométrique.

Un nombre qui dépend de $n$ n'est pas une raison : $u_{n+1} - u_n = 2n$ ne rend pas $(u_n)$ arithmétique.

Exemple — Un changement de suite

Soient $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + 2u_n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Montrer que $u_n > 0$ pour tout $n$, et donner la forme close de $u_n$ avec la suite auxiliaire $v_n = \frac{1}{u_n}$.

Correction

Positivité. Pour $n \in \mathbb{N}$, notons $P_n$ la propriété « $u_n > 0$ ». L'initialisation $P_0$ est vraie puisque $u_0 = 1 > 0$. Soit $n \in \mathbb{N}$ et supposons $P_n$. Alors $1 + 2u_n > 0$, et $u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + 2u_n}$ est un quotient de deux nombres strictement positifs : $P_{n+1}$ est vraie. Par récurrence, $u_n > 0$ pour tout $n$, donc $v_n = \frac{1}{u_n}$ est défini.
La suite auxiliaire. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $$ \begin{aligned} v_{n+1} &= \frac{1}{u_{n+1}} && \text{(définition de $v$)} \\ &= \frac{1 + 2u_n}{u_n} && \text{(définition de $u_{n+1}$)} \\ &= \frac{1}{u_n} + 2 && \text{(séparation de la fraction)} \\ &= v_n + 2. \end{aligned} $$ Donc $(v_n)$ est arithmétique de raison $2$, avec $v_0 = \frac{1}{u_0} = 1$. Par la Proposition « Forme close d'une suite arithmétique ou géométrique », $v_n = 1 + 2n$, d'où $u_n = \frac{1}{v_n} = \frac{1}{2n + 1}$. Vérification : $u_1 = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}$ par la récurrence, et $\frac{1}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{3}$ par la formule.

Exemple — Une somme de termes consécutifs

Calculer $S = \sum_{k=10}^{30} (3k - 4)$ et $T = \sum_{k=2}^{7} 3 \cdot 2^k$.

Correction

La somme $S$. La suite $u_k = 3k - 4$ est arithmétique de raison $3$, puisque $u_{k+1} - u_k = 3$. La somme $S$ a $30 - 10 + 1 = 21$ termes, de $u_{10} = 26$ à $u_{30} = 86$ ; c'est la somme des $21$ premiers termes de la suite arithmétique $(u_{10+j})_j$. $$ \begin{aligned} S &= \sum_{j=0}^{20} u_{10+j} && \text{(changement d'indice $k = 10 + j$)} \\ &= \frac{21 \, (u_{10} + u_{30})}{2} && \text{(somme d'une suite arithmétique)} \\ &= \frac{21 \times 112}{2} && \text{($u_{10} + u_{30} = 26 + 86 = 112$)} \\ &= 1176. \end{aligned} $$ La somme $T$. La suite $v_k = 3 \cdot 2^k$ est géométrique de raison $2$. La somme $T$ a $6$ termes, à partir de $v_2 = 12$ ; c'est la somme des $6$ premiers termes de la suite géométrique $(v_{2+j})_j$, avec $v_{2+j} = 12 \cdot 2^j$. $$ \begin{aligned} T &= \sum_{j=0}^{5} v_{2+j} && \text{(changement d'indice $k = 2 + j$)} \\ &= 12 \sum_{j=0}^{5} 2^j && \text{($v_{2+j} = 12 \cdot 2^j$)} \\ &= 12 \cdot \frac{1 - 2^6}{1 - 2} && \text{(somme géométrique, $q = 2 \ne 1$)} \\ &= 12 \times 63 && \text{($\frac{1 - 2^6}{1 - 2} = 63$)} \\ &= 756. \end{aligned} $$

Compétences à pratiquer

Calculer un terme d'une suite arithmétique ou géométrique ★
Calculer une somme de termes consécutifs ★

II.2 Suites arithmético-géométriques

Une récurrence affine

Une suite définie par $u_{n+1} = a u_n + b$ mélange les familles arithmétique et géométrique : multiplier par $a$ est géométrique, ajouter $b$ est arithmétique, et aucune des deux ne décrit seule la suite. Un changement de suite la ramène à une suite géométrique : retrancher le nombre que la récurrence laisse inchangé.

Signaler une erreur

Définition — Suite arithmético-géométrique

Une suite réelle $(u_n)$ est arithmético-géométrique s'il existe $a, b \in \mathbb{R}$ tels que $u_{n+1} = a u_n + b$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Un réel $\ell$ tel que $\ell = a \ell + b$ est un nombre que l'application $x \mapsto ax + b$ laisse inchangé.

Proposition — Réduction à une suite géométrique

Soit $(u_n)$ arithmético-géométrique : $u_{n+1} = a u_n + b$ pour tout $n$.

Si $a = 1$, $(u_n)$ est arithmétique de raison $b$, et $u_n = u_0 + nb$.
Si $a \ne 1$, l'équation $\ell = a \ell + b$ a l'unique solution $\ell = \frac{b}{1 - a}$, la suite $(u_n - \ell)$ est géométrique de raison $a$, et $u_n = \ell + a^n (u_0 - \ell)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Le cas $a = 0$ est inclus, avec $0^0 = 1$ : alors $u_n = b$ pour tout $n \ge 1$.

Preuve

Le cas $a = 1$. Pour tout $n$, $u_{n+1} - u_n = b$ : la suite est arithmétique de raison $b$, et $u_n = u_0 + nb$ par la Proposition « Forme close d'une suite arithmétique ou géométrique ».
Le cas $a \ne 1$. L'équation $\ell = a \ell + b$ équivaut à $(1 - a) \ell = b$, qui a l'unique solution $\ell = \frac{b}{1 - a}$ puisque $1 - a \ne 0$. Pour tout $n$, $$ \begin{aligned} u_{n+1} - \ell &= (a u_n + b) - \ell && \text{(définition de la suite)} \\ &= a u_n + (\ell - a \ell) - \ell && \text{($b = \ell - a \ell$ puisque $\ell = a \ell + b$)} \\ &= a (u_n - \ell). \end{aligned} $$ Donc $(u_n - \ell)$ est géométrique de raison $a$, et par la même Proposition $u_n - \ell = a^n (u_0 - \ell)$.
Seconde démonstration, par récurrence. Soient $a \ne 1$ et $\ell = \frac{b}{1 - a}$. Pour $n \in \mathbb{N}$, notons $P_n$ la propriété « $u_n = \ell + a^n (u_0 - \ell)$ ». L'initialisation $P_0$ est $u_0 = \ell + (u_0 - \ell)$. Soit $n \in \mathbb{N}$ et supposons $P_n$. $$ \begin{aligned} u_{n+1} &= a u_n + b && \text{(définition de la suite)} \\ &= a \big( \ell + a^n (u_0 - \ell) \big) + b && \text{(hypothèse de récurrence)} \\ &= (a \ell + b) + a^{n+1} (u_0 - \ell) && \text{(regroupement)} \\ &= \ell + a^{n+1} (u_0 - \ell), \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $a \ell + b = \ell$. C'est $P_{n+1}$ ; par récurrence, $P_n$ est vraie pour tout $n$.

Méthode — Résoudre une récurrence arithmético-géométrique

Pour trouver la forme close de $u_{n+1} = a u_n + b$, avec $u_0$ donné :

Regarder $a$ : si $a = 1$, la suite est arithmétique et $u_n = u_0 + nb$.
Résoudre $\ell = a \ell + b$ : pour $a \ne 1$, l'unique solution est $\ell = \frac{b}{1 - a}$.
Retrancher $\ell$ : la suite $v_n = u_n - \ell$ vérifie $v_{n+1} = a v_n$ pour tout $n$ ; elle est géométrique de raison $a$.
Conclure et vérifier : $u_n = \ell + a^n (u_0 - \ell)$ ; tester la formule pour $n = 0$ et $n = 1$.

Le nombre $\ell$ se trouve par l'algèbre seule : c'est la solution de $\ell = a \ell + b$, et ce qu'elle dit de $u_n$ pour $n$ grand est une question pour la limite.

Exemple — Une forme close

Soient $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Donner la forme close de $u_n$.

Correction

La suite est arithmético-géométrique, avec $a = \frac{1}{2}$ et $b = 1$.
Le nombre $\ell$. Pour un nombre réel $\ell$, $$ \begin{aligned} \ell = \frac{1}{2} \ell + 1 &\iff \frac{\ell}{2} = 1 && \text{(soustraction de $\frac{1}{2} \ell$ aux deux membres)} \\ &\iff \ell = 2, \end{aligned} $$ la dernière étape en multipliant les deux membres par $2$.
La suite auxiliaire. Posons $v_n = u_n - 2$. Pour tout $n$, $$ \begin{aligned} v_{n+1} &= u_{n+1} - 2 && \text{(définition de $v$)} \\ &= \frac{u_n}{2} + 1 - 2 && \text{(définition de la suite)} \\ &= \frac{u_n - 2}{2} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= \frac{1}{2} \, v_n. \end{aligned} $$ Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$, avec $v_0 = u_0 - 2 = -1$, et par la Proposition « Forme close d'une suite arithmétique ou géométrique » $v_n = -\left( \frac{1}{2} \right)^n$.
La forme close. $u_n = 2 + v_n = 2 - \left( \frac{1}{2} \right)^n$. Vérification : $u_0 = 2 - 1 = 1$, et $u_1 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{u_0}{2} + 1$.

Exemple — Les cas $a \equal 1$ et $a \equal 0$

Donner la forme close des suites définies par (a) $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = u_n - 3$ ; (b) $u_0 = 7$ et $u_{n+1} = 5$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, c'est-à-dire $a = 0$ et $b = 5$.

Correction

(a) Ici $a = 1$ et $b = -3$ : la suite est arithmétique de raison $-3$, donc $u_n = u_0 + nb = 4 - 3n$. L'équation $\ell = a \ell + b$ s'écrit $\ell = \ell - 3$ et n'a aucune solution : c'est pourquoi le cas $a = 1$ se traite à part.
(b) Ici $a = 0$ et $b = 5$, donc $a \ne 1$. L'équation $\ell = 0 \cdot \ell + 5$ donne $\ell = 5$, et $$ \begin{aligned} u_n &= \ell + a^n (u_0 - \ell) && \text{(réduction à une suite géométrique)} \\ &= 5 + 0^n (7 - 5) && \text{(valeurs de $\ell$, de $a$ et de $u_0$)} \\ &= 5 + 2 \cdot 0^n. \end{aligned} $$ Avec $0^0 = 1$, cela donne $u_0 = 7$, et $u_n = 5$ pour tout $n \ge 1$, comme l'exige la récurrence : le premier terme est libre et tous les autres valent $b$.

Compétences à pratiquer

Trouver le point fixe d'une récurrence affine ★
Calculer un terme d'une suite arithmético-géométrique ★

II.3 Récurrences linéaires d'ordre deux

Deux termes de départ

Une récurrence linéaire d'ordre deux calcule chaque terme à partir des deux précédents, de sorte que deux termes de départ sont nécessaires. La suite de Fibonacci en est le modèle. Sa forme close se trouve en cherchant des solutions de la forme $r^n$ : le nombre $r$ doit vérifier une équation du second degré, et le signe de son discriminant donne trois cas — deux racines réelles, une racine double, aucune racine réelle.

Signaler une erreur

Définition — Récurrence linéaire d'ordre deux

Soient $a, b \in \mathbb{R}$ avec $b \ne 0$. Une suite réelle $(u_n)$ vérifie une récurrence linéaire d'ordre deux à coefficients constants $a$ et $b$ si $$ u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n \qquad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}. $$ Une suite réelle qui vérifie cette relation est une solution de la récurrence ; étant donnés $u_0$ et $u_1$, la relation définit tous les termes. L'équation caractéristique de la récurrence est $\textcolor{colordef}{r^2 - a r - b = 0}$, et son discriminant est $\Delta = a^2 + 4b$.

Exemple — Les trois signes du discriminant

La récurrence de Fibonacci $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$ a $a = b = 1$ : son équation caractéristique est $r^2 - r - 1 = 0$, de discriminant $\Delta = 1 + 4 = 5 > 0$. La récurrence $u_{n+2} = 2u_{n+1} - u_n$ a $a = 2$ et $b = -1$ : son équation est $r^2 - 2r + 1 = 0$ et $\Delta = 4 - 4 = 0$. La récurrence $u_{n+2} = -u_n$ a $a = 0$ et $b = -1$ : son équation est $r^2 + 1 = 0$ et $\Delta = 0 - 4 = -4 < 0$.

Proposition — Détermination et combinaisons de solutions

Soient $a, b \in \mathbb{R}$.

Détermination : deux solutions de $u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$ qui ont les mêmes deux premiers termes $u_0$ et $u_1$ sont égales.
Combinaisons : si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont des solutions et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$, alors $(\lambda u_n + \mu v_n)$ est une solution.
Toutes les solutions à partir de deux d'entre elles : si $(s_n)$ et $(t_n)$ sont des solutions avec $s_0 t_1 - s_1 t_0 \ne 0$, alors toute solution $(u_n)$ s'écrit $\lambda s_n + \mu t_n$ pour exactement un couple $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$.

Preuve

Détermination. Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ des solutions avec $u_0 = v_0$ et $u_1 = v_1$. Pour $n \in \mathbb{N}$, notons $P_n$ la propriété « $u_n = v_n$ et $u_{n+1} = v_{n+1}$ ».

Initialisation. $P_0$ est l'hypothèse.
Hérédité. Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons $P_n$. Montrons $P_{n+1}$. $$ \begin{aligned} u_{n+2} &= a u_{n+1} + b u_n && \text{($(u_n)$ est une solution)} \\ &= a v_{n+1} + b v_n && \text{(hypothèse de récurrence $P_n$)} \\ &= v_{n+2}. \end{aligned} $$ La dernière étape est la récurrence pour $(v_n)$. Avec $u_{n+1} = v_{n+1}$, donné par $P_n$, c'est $P_{n+1}$.
Conclusion. Puisque $P_0$ est vraie et que $P_n \Rightarrow P_{n+1}$ pour tout $n$, par récurrence $u_n = v_n$ pour tout $n$.

Combinaisons. Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ des solutions et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. Pour tout $n$, $$ \begin{aligned} \lambda u_{n+2} + \mu v_{n+2} &= \lambda (a u_{n+1} + b u_n) + \mu (a v_{n+1} + b v_n) && \text{(les deux suites sont des solutions)} \\ &= a (\lambda u_{n+1} + \mu v_{n+1}) + b (\lambda u_n + \mu v_n), \end{aligned} $$ la dernière étape en regroupant les termes en $a$ et en $b$. Donc $(\lambda u_n + \mu v_n)$ est une solution.
Toutes les solutions à partir de deux d'entre elles. Soient $D = s_0 t_1 - s_1 t_0 \ne 0$ et $(u_n)$ une solution. Posons $\lambda = \frac{u_0 t_1 - u_1 t_0}{D}$ et $\mu = \frac{s_0 u_1 - s_1 u_0}{D}$. Alors $$ \begin{aligned} \lambda s_0 + \mu t_0 &= \frac{(u_0 t_1 - u_1 t_0) s_0 + (s_0 u_1 - s_1 u_0) t_0}{D} && \text{(définition de $\lambda$ et de $\mu$)} \\ &= \frac{u_0 (s_0 t_1 - s_1 t_0)}{D} && \text{(les termes en $u_1 s_0 t_0$ s'annulent)} \\ &= u_0, \end{aligned} $$ et le même calcul en $n = 1$ donne $\lambda s_1 + \mu t_1 = \frac{u_1 (s_0 t_1 - s_1 t_0)}{D} = u_1$. La suite $(\lambda s_n + \mu t_n)$ est une solution, par les combinaisons, et elle a les mêmes deux premiers termes que $(u_n)$ : par la détermination elle est égale à $(u_n)$. Pour l'unicité, soit $(\lambda', \mu')$ un autre couple avec $\lambda' s_n + \mu' t_n = u_n$ pour tout $n$, et posons $\delta = \lambda - \lambda'$ et $\delta' = \mu - \mu'$, de sorte que $\delta s_n + \delta' t_n = 0$ pour tout $n$. Les cas $n = 0$ et $n = 1$ donnent $\delta s_0 + \delta' t_0 = 0$ et $\delta s_1 + \delta' t_1 = 0$. En multipliant la première équation par $t_1$ et la seconde par $t_0$ puis en soustrayant, on obtient $\delta D = 0$ ; en multipliant la première par $s_1$ et la seconde par $s_0$ puis en soustrayant, on obtient $-\delta' D = 0$. Comme $D \ne 0$, $\delta = \delta' = 0$.

Proposition — Racines réelles distinctes

Soient $a, b \in \mathbb{R}$ avec $b \ne 0$ et $\Delta = a^2 + 4b > 0$. L'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes $r_1 \ne r_2$, et $r_1 + r_2 = a$, $r_1 r_2 = -b \ne 0$. Les solutions de $u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$ sont exactement les suites $u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n$, avec $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$, et pour $u_0$ et $u_1$ donnés il y a exactement un couple $(\lambda, \mu)$.

Preuve

Les suites $r_1^n$ et $r_2^n$ sont des solutions. Pour $i = 1, 2$ et $n \in \mathbb{N}$, $$ \begin{aligned} r_i^{n+2} &= r_i^n \, r_i^2 && \text{(propriété des exposants)} \\ &= r_i^n (a r_i + b) && \text{($r_i$ est une racine : $r_i^2 = a r_i + b$)} \\ &= a r_i^{n+1} + b r_i^n. \end{aligned} $$ Par la Proposition « Détermination et combinaisons de solutions », toute suite $\lambda r_1^n + \mu r_2^n$ est une solution.
Toute solution est de cette forme, avec un seul couple. Les solutions $s_n = r_1^n$ et $t_n = r_2^n$ vérifient $s_0 t_1 - s_1 t_0 = 1 \cdot r_2 - r_1 \cdot 1 = r_2 - r_1 \ne 0$. Par le dernier point de la Proposition « Détermination et combinaisons de solutions », toute solution s'écrit $\lambda r_1^n + \mu r_2^n$ pour exactement un couple $(\lambda, \mu)$.
Seconde démonstration : factoriser la récurrence. Soit $(u_n)$ une solution et $v_n = u_{n+1} - r_2 u_n$. Pour tout $n$, $$ \begin{aligned} v_{n+1} &= u_{n+2} - r_2 u_{n+1} && \text{(définition de $v$)} \\ &= a u_{n+1} + b u_n - r_2 u_{n+1} && \text{($(u_n)$ est une solution)} \\ &= (a - r_2) u_{n+1} + b u_n && \text{(regroupement)} \\ &= r_1 u_{n+1} - r_1 r_2 u_n && \text{($a - r_2 = r_1$ et $b = -r_1 r_2$)} \\ &= r_1 v_n. \end{aligned} $$ Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $r_1$, et $v_n = v_0 r_1^n$. Posons $\lambda = \frac{v_0}{r_1 - r_2}$ et $w_n = u_n - \lambda r_1^n$. Pour tout $n$, $$ \begin{aligned} w_{n+1} - r_2 w_n &= (u_{n+1} - r_2 u_n) - \lambda r_1^n (r_1 - r_2) && \text{(définition de $w$)} \\ &= r_1^n \big( v_0 - \lambda (r_1 - r_2) \big) && \text{($u_{n+1} - r_2 u_n = v_n = v_0 r_1^n$)} \\ &= 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $\lambda (r_1 - r_2) = v_0$. Donc $w_{n+1} = r_2 w_n$ : $(w_n)$ est géométrique de raison $r_2$, et $w_n = w_0 r_2^n$. Avec $\mu = w_0$, $u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n$.
Unicité du couple. Supposons que $\lambda r_1^n + \mu r_2^n = \lambda' r_1^n + \mu' r_2^n$ pour tout $n$, et posons $\delta = \lambda - \lambda'$, $\delta' = \mu - \mu'$. Les cas $n = 0$ et $n = 1$ donnent $\delta + \delta' = 0$ et $\delta r_1 + \delta' r_2 = 0$. En remplaçant $\delta'$ par $-\delta$ dans la seconde équation, $\delta (r_1 - r_2) = 0$, donc $\delta = 0$ car $r_1 \ne r_2$, et $\delta' = 0$.

Proposition — Racine double

Soient $a, b \in \mathbb{R}$ avec $b \ne 0$ et $\Delta = a^2 + 4b = 0$. L'équation caractéristique a une racine double $r = \frac{a}{2}$, et $r \ne 0$. Les solutions de $u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$ sont exactement les suites $u_n = (\lambda + \mu n) r^n$, avec $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$, et pour $u_0$ et $u_1$ donnés il y a exactement un couple $(\lambda, \mu)$.

Preuve

Comme $\Delta = 0$, $b = -\frac{a^2}{4} = -r^2$, et $b \ne 0$ donne $r \ne 0$. La récurrence s'écrit $u_{n+2} = 2r \, u_{n+1} - r^2 u_n$.
Les suites $r^n$ et $n r^n$ sont des solutions. Pour tout $n$, le second membre de la récurrence pour la suite $(r^n)$ est $$ \begin{aligned} 2r \cdot r^{n+1} - r^2 \cdot r^n &= 2 r^{n+2} - r^{n+2} && \text{(propriété des exposants)} \\ &= r^{n+2}, \end{aligned} $$ et pour la suite $(n r^n)$ il vaut $$ \begin{aligned} 2r \cdot (n+1) r^{n+1} - r^2 \cdot n r^n &= \big( 2(n+1) - n \big) r^{n+2} && \text{(propriété des exposants)} \\ &= (n+2) r^{n+2}. \end{aligned} $$ Donc $(r^n)$ et $(n r^n)$ vérifient la récurrence, et par la Proposition « Détermination et combinaisons de solutions » toute suite $(\lambda + \mu n) r^n$ est une solution.
Toute solution est de cette forme, avec un seul couple. Les solutions $s_n = r^n$ et $t_n = n r^n$ vérifient $s_0 t_1 - s_1 t_0 = 1 \cdot r - r \cdot 0 = r \ne 0$. Par le dernier point de la Proposition « Détermination et combinaisons de solutions », toute solution s'écrit $(\lambda + \mu n) r^n$ pour exactement un couple $(\lambda, \mu)$.
Seconde démonstration : factoriser la récurrence. Soit $(u_n)$ une solution et $v_n = u_{n+1} - r u_n$. Pour tout $n$, $$ \begin{aligned} v_{n+1} &= u_{n+2} - r u_{n+1} && \text{(définition de $v$)} \\ &= 2r \, u_{n+1} - r^2 u_n - r u_{n+1} && \text{($(u_n)$ est une solution)} \\ &= r (u_{n+1} - r u_n) && \text{(factorisation de $r$)} \\ &= r v_n. \end{aligned} $$ Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $r$, et $v_n = v_0 r^n$. Posons $w_n = \frac{u_n}{r^n}$, défini puisque $r \ne 0$. Pour tout $n$, $$ \begin{aligned} w_{n+1} - w_n &= \frac{u_{n+1}}{r^{n+1}} - \frac{u_n}{r^n} && \text{(définition de $w$)} \\ &= \frac{u_{n+1} - r u_n}{r^{n+1}} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= \frac{v_0 r^n}{r^{n+1}} && \text{($u_{n+1} - r u_n = v_n = v_0 r^n$)} \\ &= \frac{v_0}{r}. \end{aligned} $$ Donc $(w_n)$ est arithmétique de raison $\frac{v_0}{r}$, et $w_n = w_0 + \frac{v_0}{r} n$ par la Proposition « Forme close d'une suite arithmétique ou géométrique ». D'où $u_n = r^n w_n = \left( u_0 + \frac{v_0}{r} n \right) r^n$, qui a la forme $(\lambda + \mu n) r^n$.
Unicité du couple. Si $(\lambda + \mu n) r^n = (\lambda' + \mu' n) r^n$ pour tout $n$, le cas $n = 0$ donne $\lambda = \lambda'$ et le cas $n = 1$ donne $(\lambda + \mu) r = (\lambda' + \mu') r$, donc $\mu = \mu'$ car $r \ne 0$.

Méthode — Résoudre une récurrence linéaire d'ordre deux

Pour trouver la forme close de $u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$, avec $u_0$ et $u_1$ donnés :

Écrire l'équation caractéristique $r^2 - a r - b = 0$ et son discriminant $\Delta = a^2 + 4b$.
Lire le signe de $\Delta$ : pour $\Delta > 0$, $u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n$ ; pour $\Delta = 0$, $u_n = (\lambda + \mu n) r^n$ ; pour $\Delta < 0$, il n'y a pas de racine réelle et la forme réelle est celle de la Proposition « Solutions quand $a^2 + 4b < 0$ ».
Trouver $\lambda$ et $\mu$ en écrivant la formule pour $n = 0$ et $n = 1$ et en résolvant le système de deux équations en $\lambda$ et $\mu$.
Vérifier le résultat sur $u_2$, calculé par la récurrence et par la formule.

Les coefficients de l'équation sont $-a$ et $-b$ : pour $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$ l'équation est $r^2 - r - 1 = 0$, et non $r^2 + r + 1 = 0$.

Exemple — La suite de Fibonacci

Soient $u_0 = 0$, $u_1 = 1$ et $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Donner la forme close de $u_n$.

Correction

La récurrence a $a = b = 1$, donc son équation caractéristique est $r^2 - r - 1 = 0$, de discriminant $\Delta = 1 + 4 = 5 > 0$. Ses racines sont $r_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ et $r_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$, avec $r_1 + r_2 = 1$ et $r_1 - r_2 = \sqrt{5}$. Par la Proposition « Racines réelles distinctes », $u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n$.
Les constantes. Les conditions $u_0 = 0$ et $u_1 = 1$ donnent $\lambda + \mu = 0$ et $\lambda r_1 + \mu r_2 = 1$. La première équation donne $\mu = -\lambda$ ; la seconde devient $\lambda (r_1 - r_2) = 1$, c'est-à-dire $\lambda \sqrt{5} = 1$. Donc $\lambda = \frac{1}{\sqrt{5}}$ et $\mu = -\frac{1}{\sqrt{5}}$.
La forme close. $$ u_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right). $$ Vérification sur $u_2$ : la récurrence donne $u_2 = u_1 + u_0 = 1$, et la formule donne $\frac{r_1^2 - r_2^2}{\sqrt{5}} = \frac{(r_1 - r_2)(r_1 + r_2)}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} \cdot 1}{\sqrt{5}} = 1$.

Exemple — Une racine double

Soient $u_0 = 0$, $u_1 = 1$ et $u_{n+2} = 2 u_{n+1} - u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Donner la forme close de $u_n$.

Correction

La récurrence a $a = 2$ et $b = -1$, donc son équation caractéristique est $r^2 - 2r + 1 = (r - 1)^2 = 0$, de discriminant $\Delta = 4 - 4 = 0$ : la racine double est $r = 1$. Par la Proposition « Racine double », $u_n = (\lambda + \mu n) \cdot 1^n = \lambda + \mu n$.
Les constantes. La condition $u_0 = 0$ donne $\lambda = 0$, et $u_1 = 1$ donne $\lambda + \mu = 1$, donc $\mu = 1$.
La forme close. $u_n = n$. Vérification sur $u_2$ : la récurrence donne $u_2 = 2 u_1 - u_0 = 2$, et la formule donne $2$. La suite est la suite arithmétique de raison $1$.

Le cas $b \equal 0$

Lorsque $b = 0$, la récurrence est $u_{n+2} = a u_{n+1}$ : la suite $(u_{n+1})_{n \ge 0}$ est géométrique de raison $a$, donc $u_n = u_1 a^{n-1}$ pour tout $n \ge 1$, et $u_0$ est libre. L'équation caractéristique $r^2 - ar = 0$ a pour racines $0$ et $a$, et les Propositions « Racines réelles distinctes » et « Racine double » ne s'appliquent pas : ce cas est une suite géométrique à partir du rang $1$.

Signaler une erreur

Compétences à pratiquer

Choisir la forme de la solution générale d'une récurrence d'ordre deux ★
Calculer un terme d'une récurrence linéaire d'ordre deux ★

III Révision & Quizz

Compétences à pratiquer

Quiz