Éducation Nationale Française · ECGappliquées

Fonctions usuelles

⌚ ~162 min ▢ 18 blocs ✓ 69 exercices ➣ Prérequis : Nombres réels

Ce chapitre rassemble les fonctions de référence utilisées en permanence dans la suite de l'année, et fixe leur notation, leurs règles de calcul et leurs graphes. Nous révisons la racine carrée, la fonction inverse et les fonctions puissances $x \mapsto x^\alpha$ ; la valeur absolue et son lien avec la distance sur $\mathbb{R}$ ; la partie entière ; et enfin le logarithme et l'exponentielle, avec les positions relatives de leurs courbes. L'objectif est opératoire : un catalogue fiable, utilisé sans hésitation. Conventions : on travaille essentiellement avec des fonctions définies sur un intervalle de $\mathbb{R}$ (la fonction inverse ci-dessous, définie sur $\mathbb{R}^*$, est traitée branche par branche) ; on lit les variations et les limites sur le graphe plutôt qu'à partir d'une dérivée (les dérivées sont étudiées dans un chapitre ultérieur) ; et on note $\lfloor x \rfloor$ la partie entière, la lettre $E$ étant réservée à l'espérance mathématique. L'exponentielle et le logarithme sont rappelés du lycée et listés en détail dans la dernière sous-section ; on les utilise déjà pour définir les fonctions puissances $x \mapsto x^\alpha$.

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I Parité, imparité, périodicité

Deux symétries

Deux symétries raccourcissent l'étude d'une fonction. Une symétrie du graphe par rapport à l'axe des ordonnées ou par rapport à l'origine double ce que montre une moitié du graphe : c'est la parité. Une symétrie du graphe par une translation répète un morceau de lui indéfiniment : c'est la périodicité. Toutes deux se définissent par une égalité entre valeurs. Les règles qui les décident pour les sommes, les produits et les composées sont démontrées, les graphes des fonctions qui les possèdent sont décrits, et la façon dont elles réduisent le domaine d'une étude fait l'objet d'une Méthode.

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I.1 Fonctions paires et impaires

Symétrie par rapport à l'axe et à l'origine

Le lycée lisait la parité sur une courbe : symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, ou par rapport à l'origine. La définition la lit sur les valeurs, en comparant $f(-x)$ à $f(x)$. Elle exige d'abord que $-x$ appartienne à l'ensemble de définition chaque fois que $x$ y appartient, faute de quoi $f(-x)$ n'existe pas ; cette condition, facile à oublier, est la première chose à vérifier, comme le montre le Piège « le domaine doit d'abord être symétrique ».

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Définition — Fonction paire, fonction impaire

Soient $E \subset \mathbb{R}$ une partie symétrique par rapport à $0$, c'est-à-dire telle que $x \in E \Rightarrow -x \in E$, et $f \colon E \to \mathbb{R}$ une fonction.

$f$ est paire si $\forall x \in E, \ f(-x) = f(x)$.
$f$ est impaire si $\forall x \in E, \ f(-x) = -f(x)$.

Seule une fonction définie sur une partie symétrique par rapport à $0$ peut être paire ou impaire : sur une autre partie, $f(-x)$ n'existe pas pour certains $x \in E$. La lecture géométrique, la symétrie du graphe, est la Proposition « Symétrie du graphe d'une fonction paire ou impaire ».

Exemple — Puissances paires et impaires

Pour $k \in \mathbb{N}$, la fonction $x \mapsto x^{2k}$ est paire et la fonction $x \mapsto x^{2k+1}$ est impaire : pour tout $x \in \mathbb{R}$, $$ \begin{aligned} (-x)^{2k} &= \big((-x)^2\big)^k && \text{(puissance d'une puissance)} \\ &= (x^2)^k && \text{($(-x)^2 = x^2$)} \\ &= x^{2k}, \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} (-x)^{2k+1} &= (-x)^{2k} (-x) && \text{(règle des exposants)} \\ &= x^{2k} (-x) && \text{(le cas pair)} \\ &= -x^{2k+1}. \end{aligned} $$ Tout monôme de degré pair est pair, et tout monôme de degré impair est impair.

Exemple — Fonctions de référence paires et impaires

La valeur absolue est paire sur $\mathbb{R}$, puisque $\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert$, et le cosinus aussi, puisque $\cos(-x) = \cos x$. Le sinus, la tangente et l'identité $x \mapsto x$ sont impairs : $\sin(-x) = -\sin x$, $-x = -(x)$, et, sur l'ensemble de définition de la tangente, $$ \begin{aligned} \tan(-x) &= \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} && \text{(définition de la tangente)} \\ &= \frac{-\sin x}{\cos x} && \text{(sinus impair, cosinus pair)} \\ &= -\tan x. \end{aligned} $$ Cet ensemble, $\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$, est symétrique par rapport à $0$, puisque $-\big(\frac{\pi}{2} + k\pi\big) = \frac{\pi}{2} + (-k - 1)\pi$.

Proposition — Symétrie du graphe d'une fonction paire ou impaire

Soient $E \subset \mathbb{R}$ une partie symétrique par rapport à $0$ et $f \colon E \to \mathbb{R}$ une fonction.

$f$ est paire si et seulement si $\Gamma_f$ est invariant par la symétrie $(x, y) \mapsto (-x, y)$ par rapport à l'axe des ordonnées.
$f$ est impaire si et seulement si $\Gamma_f$ est invariant par la symétrie $(x, y) \mapsto (-x, -y)$ par rapport à l'origine.
Si $f$ est impaire et $0 \in E$, alors $f(0) = 0$.

« Invariant » signifie que l'image de $\Gamma_f$ par la transformation est $\Gamma_f$.

Preuve

Soient $\varepsilon \in \{1, -1\}$ et $\sigma_\varepsilon(x, y) = (-x, \varepsilon y)$ : $\sigma_1$ est la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées et $\sigma_{-1}$ la symétrie par rapport à l'origine, et $\sigma_\varepsilon \circ \sigma_\varepsilon = \mathrm{Id}$. Si $\sigma_\varepsilon(\Gamma_f) \subset \Gamma_f$, alors $\Gamma_f = \sigma_\varepsilon\big(\sigma_\varepsilon(\Gamma_f)\big) \subset \sigma_\varepsilon(\Gamma_f)$, donc $\sigma_\varepsilon(\Gamma_f) = \Gamma_f$ : l'invariance de $\Gamma_f$ équivaut à l'inclusion $\sigma_\varepsilon(\Gamma_f) \subset \Gamma_f$. On utilise qu'un point $(u, v)$ est sur $\Gamma_f$ exactement lorsque $u \in E$ et $v = f(u)$. Les deux premiers points sont les deux cas d'une même équivalence, $$ \forall x \in E, \ f(-x) = \varepsilon f(x) \iff \sigma_\varepsilon(\Gamma_f) \subset \Gamma_f, $$ avec $\varepsilon = 1$ pour les fonctions paires et $\varepsilon = -1$ pour les fonctions impaires.
($\Rightarrow$) Supposons que $f(-x) = \varepsilon f(x)$ pour tout $x \in E$, et soit $(x, y) \in \Gamma_f$, donc $x \in E$ et $y = f(x)$. Alors $-x \in E$ et $f(-x) = \varepsilon f(x) = \varepsilon y$, donc $\sigma_\varepsilon(x, y) = (-x, \varepsilon y) \in \Gamma_f$. ($\Leftarrow$) Supposons $\sigma_\varepsilon(\Gamma_f) \subset \Gamma_f$ et soit $x \in E$. Le point $(x, f(x))$ est sur $\Gamma_f$, donc $\sigma_\varepsilon\big(x, f(x)\big) = \big(-x, \varepsilon f(x)\big)$ est sur $\Gamma_f$, c'est-à-dire $f(-x) = \varepsilon f(x)$.
La valeur en $0$. Si $0 \in E$ et si $f$ est impaire, alors prendre $x = 0$ dans $f(-x) = -f(x)$ donne $f(0) = -f(0)$, donc $2f(0) = 0$ et $f(0) = 0$.

Proposition — Parité des sommes, produits et composées

Soient $E \subset \mathbb{R}$ une partie symétrique par rapport à $0$ et $f, g \colon E \to \mathbb{R}$ deux fonctions, chacune paire ou impaire. On note $\varepsilon_f = 1$ si $f$ est paire et $\varepsilon_f = -1$ si $f$ est impaire, de sorte que $f(-x) = \varepsilon_f f(x)$ pour tout $x \in E$ (pour la fonction nulle, à la fois paire et impaire, l'un ou l'autre signe convient), et de même $\varepsilon_g$ pour $g$.

Produit et quotient : $fg$ et $\frac{f}{g}$ ont la parité $\varepsilon_f \varepsilon_g$ : paire si $f$ et $g$ ont la même parité, impaire sinon. Le quotient est défini sur $\{x \in E \mid g(x) \ne 0\}$, partie symétrique par rapport à $0$.
Somme : si $f$ et $g$ sont toutes deux paires, $f + g$ est paire ; si toutes deux impaires, $f + g$ est impaire. Si l'une est paire et l'autre impaire, la somme n'est en général ni l'une ni l'autre.
Composée : soit $h \colon F \to \mathbb{R}$ une fonction, $F$ symétrique par rapport à $0$, avec $f(E) \subset F$. Si $f$ est paire, $h \circ f$ est paire. Si $f$ est impaire et $h$ paire ou impaire, $h \circ f$ a la parité de $h$.

Preuve

Soit $x \in E$ ; par la définition de $\varepsilon_f$ et de $\varepsilon_g$, $f(-x) = \varepsilon_f f(x)$ et $g(-x) = \varepsilon_g g(x)$, avec $\varepsilon_f, \varepsilon_g \in \{1, -1\}$.
Produit. $$ \begin{aligned} (fg)(-x) &= f(-x) \, g(-x) && \text{(définition du produit)} \\ &= \varepsilon_f f(x) \, \varepsilon_g g(x) && \text{(parité de $f$ et de $g$)} \\ &= \varepsilon_f \varepsilon_g \, (fg)(x), \end{aligned} $$ donc $fg$ est paire si $\varepsilon_f \varepsilon_g = 1$ et impaire si $\varepsilon_f \varepsilon_g = -1$.
Quotient. Si $g(x) \ne 0$, alors $g(-x) = \varepsilon_g g(x) \ne 0$ : l'ensemble où $g$ ne s'annule pas est symétrique par rapport à $0$. Pour un tel $x$, $$ \begin{aligned} \frac{f}{g}(-x) &= \frac{f(-x)}{g(-x)} && \text{(définition du quotient)} \\ &= \frac{\varepsilon_f f(x)}{\varepsilon_g g(x)} && \text{(parité de $f$ et de $g$)} \\ &= \varepsilon_f \varepsilon_g \, \frac{f}{g}(x), \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $\frac{1}{\varepsilon_g} = \varepsilon_g$.
Somme. Si $\varepsilon_f = \varepsilon_g = \varepsilon$, $$ \begin{aligned} (f + g)(-x) &= f(-x) + g(-x) && \text{(définition de la somme)} \\ &= \varepsilon f(x) + \varepsilon g(x) && \text{(parité de $f$ et de $g$)} \\ &= \varepsilon \, (f + g)(x). \end{aligned} $$ Si $f$ est paire et $g$ impaire, alors $(f + g)(-x) = f(x) - g(x)$, qui est égal à $(f + g)(x)$ pour tout $x$ si et seulement si $g = 0$, et à $-(f + g)(x)$ pour tout $x$ si et seulement si $f = 0$ ; l'autre cas est le même, la somme étant commutative. Donc la somme n'est en général ni paire ni impaire : elle n'est l'une des deux que si $f$ ou $g$ est la fonction nulle, la seule fonction à la fois paire et impaire. Par exemple $x \mapsto 1 + x$, somme de la fonction paire $x \mapsto 1$ et de la fonction impaire $x \mapsto x$, prend la valeur $2$ en $1$ et la valeur $0$ en $-1$, et $0 \ne 2$, $0 \ne -2$.
Composée. Le nombre $f(-x) = \varepsilon_f f(x)$ est dans $F$, car $F$ est symétrique par rapport à $0$ et $f(x) \in F$, donc $$ \begin{aligned} (h \circ f)(-x) &= h\big(f(-x)\big) && \text{(définition de la composée)} \\ &= h\big(\varepsilon_f f(x)\big), \end{aligned} $$ la dernière étape par la parité de $f$. Si $f$ est paire, $\varepsilon_f = 1$ et c'est $h\big(f(x)\big) = (h \circ f)(x)$ : $h \circ f$ est paire. Si $f$ est impaire, c'est $h\big(-f(x)\big) = \varepsilon_h \, h\big(f(x)\big) = \varepsilon_h \, (h \circ f)(x)$, où $\varepsilon_h$ est défini pour $h$ comme $\varepsilon_f$ l'est pour $f$ : $h \circ f$ a la parité de $h$.
Seconde démonstration : les cas. Pour le produit et la somme, les deux parités de $f$ et de $g$ donnent quatre cas, qui couvrent toutes les possibilités. Toutes deux paires : $(fg)(-x) = f(x) \, g(x)$ et $(f + g)(-x) = f(x) + g(x)$, donc $fg$ et $f + g$ sont paires. Toutes deux impaires : $(fg)(-x) = \big(-f(x)\big)\big(-g(x)\big) = (fg)(x)$, donc $fg$ est paire, et $(f + g)(-x) = -f(x) - g(x) = -(f + g)(x)$, donc $f + g$ est impaire. L'une paire et l'autre impaire : $(fg)(-x) = f(x)\big(-g(x)\big) = -(fg)(x)$ ou $\big(-f(x)\big) g(x) = -(fg)(x)$, donc $fg$ est impaire ; la somme n'est en général ni paire ni impaire, comme l'a montré la première démonstration avec $x \mapsto 1 + x$. Les résultats sont rassemblés dans le tableau.

$f$	$g$	$f + g$	$fg$
paire	paire	paire	paire
paire	impaire	en général ni l'une ni l'autre	impaire
impaire	paire	en général ni l'une ni l'autre	impaire
impaire	impaire	impaire	paire

Proposition — Parties paire et impaire

Soient $E \subset \mathbb{R}$ une partie symétrique par rapport à $0$ et $f \colon E \to \mathbb{R}$ une fonction. Il existe un et un seul couple $(p, i)$ de fonctions sur $E$, avec $p$ paire et $i$ impaire, tel que $f = p + i$, à savoir $$ p(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}, \qquad i(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}. $$ Les fonctions $p$ et $i$ sont la partie paire et la partie impaire de $f$.

Preuve

On démontre l'existence et l'unicité par analyse et synthèse.
Analyse. Supposons que $f = p + i$ avec $p$ paire et $i$ impaire, et soit $x \in E$. Alors $-x \in E$, et $$ \begin{aligned} f(x) &= p(x) + i(x), \\ f(-x) &= p(-x) + i(-x) && \text{($f = p + i$ au point $-x$)} \\ &= p(x) - i(x), \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $p$ est paire et $i$ impaire. En additionnant les deux égalités on obtient $f(x) + f(-x) = 2p(x)$, et en les soustrayant $f(x) - f(-x) = 2i(x)$. Donc $p(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ et $i(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$ pour tout $x \in E$ : le couple $(p, i)$ est déterminé par $f$, ce qui démontre l'unicité.
Synthèse. Définissons $p$ et $i$ par ces deux formules. Pour $x \in E$, $$ \begin{aligned} p(-x) &= \frac{f(-x) + f(x)}{2} && \text{(définition de $p$ en $-x$)} \\ &= \frac{f(x) + f(-x)}{2} && \text{(commutativité de la somme)} \\ &= p(x), \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} i(-x) &= \frac{f(-x) - f(x)}{2} && \text{(définition de $i$ en $-x$)} \\ &= -\frac{f(x) - f(-x)}{2} && \text{(mise en facteur de $-1$)} \\ &= -i(x), \end{aligned} $$ donc $p$ est paire et $i$ est impaire. De plus $$ \begin{aligned} p(x) + i(x) &= \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} && \text{(définitions)} \\ &= \frac{2f(x)}{2} && \text{(les termes $f(-x)$ se simplifient)} \\ &= f(x), \end{aligned} $$ donc $f = p + i$ : le couple existe.
Seconde démonstration de l'unicité : une fonction paire et impaire est nulle. L'existence est la synthèse de la première démonstration. Soient $(p, i)$ et $(p', i')$ deux couples avec $f = p + i = p' + i'$. Alors $h = p - p' = i' - i$. La fonction $h = p - p'$ est paire, comme différence de deux fonctions paires, et $h = i' - i$ est impaire, comme différence de deux fonctions impaires. Pour tout $x \in E$ cela donne $h(x) = h(-x) = -h(x)$, donc $2h(x) = 0$ : $h = 0$. Donc $p = p'$ et $i = i'$.

Exemple — Parties paire et impaire d'une fraction

Déterminer la partie paire et la partie impaire de $f \colon x \mapsto \dfrac{x + 1}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$.

Correction

L'ensemble $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$. Le numérateur $x + 1$ se scinde en le terme pair $1$ et le terme impair $x$, donc $$ f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} + \frac{x}{x^2 + 1}. $$ La fonction $x \mapsto x^2 + 1$ est paire, comme somme des fonctions paires $x \mapsto x^2$ et $x \mapsto 1$, et elle ne s'annule pas. Par la Proposition « Parité des sommes, produits et composées », le quotient $x \mapsto \frac{1}{x^2 + 1}$ de deux fonctions paires est pair, et le quotient $x \mapsto \frac{x}{x^2 + 1}$ de la fonction impaire $x \mapsto x$ par une fonction paire est impair. Par l'unicité de la Proposition « Parties paire et impaire », ces deux fonctions sont la partie paire et la partie impaire de $f$ : $p(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ et $i(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$.
Seconde méthode : les formules. Comme $(-x)^2 + 1 = x^2 + 1$, on a $f(-x) = \frac{-x + 1}{x^2 + 1}$. Par la Proposition « Parties paire et impaire », pour tout $x \in \mathbb{R}$, $$ \begin{aligned} p(x) &= \frac{f(x) + f(-x)}{2} && \text{(partie paire)} \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{x + 1}{x^2 + 1} + \frac{-x + 1}{x^2 + 1} \right) && \text{(définition de $f$)} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{x^2 + 1} && \text{(addition des numérateurs)} \\ &= \frac{1}{x^2 + 1}, \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} i(x) &= \frac{f(x) - f(-x)}{2} && \text{(partie impaire)} \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{x + 1}{x^2 + 1} - \frac{-x + 1}{x^2 + 1} \right) && \text{(définition de $f$)} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} && \text{(soustraction des numérateurs)} \\ &= \frac{x}{x^2 + 1}. \end{aligned} $$ On retrouve la partie paire $x \mapsto \frac{1}{x^2 + 1}$ et la partie impaire $x \mapsto \frac{x}{x^2 + 1}$, et leur somme est bien $f$.

Proposition — Réciproque d'une bijection impaire

Soient $E \subset \mathbb{R}$ une partie symétrique par rapport à $0$ et $f \colon E \to F$ une bijection impaire, avec $F = f(E)$. Alors $F$ est symétrique par rapport à $0$, et la bijection réciproque $f^{-1} \colon F \to E$ est impaire.

Preuve

Soient $y \in F$ et $x = f^{-1}(y) \in E$, de sorte que $y = f(x)$. Alors $-x \in E$, et, $f$ étant impaire, $f(-x) = -f(x) = -y$. Donc $-y = f(-x)$ appartient à $F$ : l'ensemble $F$ est symétrique par rapport à $0$. De plus $$ \begin{aligned} f^{-1}(-y) &= f^{-1}\big(f(-x)\big) && \text{($-y = f(-x)$)} \\ &= -x && \text{($f^{-1} \circ f = \mathrm{Id}_E$)} \\ &= -f^{-1}(y), \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $x = f^{-1}(y)$. Cela vaut pour tout $y \in F$ : $f^{-1}$ est impaire.

Méthode — Étudier la parité d'une fonction

Pour décider si une fonction $f$ est paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre :

L'ensemble de définition d'abord : trouver $D_f$ et vérifier qu'il est symétrique par rapport à $0$. Si un $x \in D_f$ a $-x \notin D_f$, la fonction n'est ni paire ni impaire.
Calculer $f(-x)$ pour $x \in D_f$, et le simplifier.
Comparer : si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x \in D_f$, la fonction est paire ; si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x \in D_f$, elle est impaire.
Pour montrer qu'elle n'est ni l'une ni l'autre : la parité est un énoncé universel, donc sa négation se démontre par des témoins. Exhiber un point $a$ avec $f(-a) \ne f(a)$, qui réfute la parité, et un point $b$ avec $f(-b) \ne -f(b)$, qui réfute l'imparité.
Par les règles : lorsque $f$ est construite à partir de fonctions paires et impaires par des sommes, des produits, des quotients et des composées, la Proposition « Parité des sommes, produits et composées » décide sans calculer.

Par exemple, soit $f \colon x \mapsto \frac{x^3}{x^2 + 1} + \sin x$ sur $\mathbb{R}$. En calculant, $$ \begin{aligned} f(-x) &= \frac{(-x)^3}{(-x)^2 + 1} + \sin(-x) && \text{(définition de $f$)} \\ &= -\frac{x^3}{x^2 + 1} - \sin x && \text{($(-x)^3 = -x^3$, $(-x)^2 = x^2$, sinus impair)} \\ &= -f(x), \end{aligned} $$ donc $f$ est impaire. Par les règles, $x \mapsto x^3$ est impaire et $x \mapsto x^2 + 1$ est paire, donc leur quotient est impair ; $\sin$ est impaire ; et une somme de deux fonctions impaires est impaire.

Piège — le domaine doit d'abord être symétrique

Une fonction définie sur une partie qui n'est pas symétrique par rapport à $0$ n'est ni paire ni impaire, quelle que soit sa formule. La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est définie sur $\mathbb{R}_+$ : pour $x > 0$, $-x$ est hors de l'ensemble de définition et $f(-x)$ n'existe pas, donc l'égalité $f(-x) = \pm f(x)$ n'a même pas de sens. De même la fonction $f \colon [-1, 2] \to \mathbb{R}$, $x \mapsto x^2$, a une formule paire mais n'est pas paire, puisque $2 \in [-1, 2]$ et $-2 \notin [-1, 2]$. La parité est une propriété de la fonction, donc de son ensemble de définition autant que de sa formule : l'ensemble de définition se vérifie avant tout calcul.

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Compétences à pratiquer

Reconnaître la parité ★
Utiliser la parité pour calculer une valeur ★
Étudier la parité d'une fonction ★

II Monotonie, fonctions bornées, extrema

L'ordre sur les valeurs d'une fonction

La monotonie dit comment une fonction suit son entrée. Le caractère borné d'une fonction dit jusqu'où vont ses valeurs. Les extrema disent quelles valeurs sont atteintes. Ensemble, ils donnent l'allure générale d'un graphe. Ces notions se définissent par des inégalités entre valeurs, et se démontrent par des inégalités : le signe d'une dérivée, outil d'un chapitre ultérieur, est un test de monotonie, pas sa définition, et les démonstrations ne font appel qu'à l'ordre de $\mathbb{R}$, aux propriétés de la borne supérieure et d'Archimède du chapitre Nombres réels, et à la logique élémentaire.

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II.1 Fonctions monotones

Comparer deux valeurs

Une fonction est monotone lorsqu'elle ne change jamais d'avis : chaque fois que $x$ augmente, $f(x)$ augmente, ou chaque fois que $x$ augmente, $f(x)$ diminue. La définition compare les valeurs en deux points, pour tout couple de points de l'ensemble. Deux conséquences découlent de cette forme. L'ensemble peut être une partie quelconque de $\mathbb{R}$, pas forcément un intervalle ; et un énoncé sur tous les couples se démontre avec un couple générique et se réfute avec deux témoins.

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Définition — Fonction monotone, strictement monotone

Soient $E \subset \mathbb{R}$ et $f : E \to \mathbb{R}$.

$f$ est croissante sur $E$ si $\forall x, y \in E, \ x \le y \Rightarrow f(x) \le f(y)$.
$f$ est strictement croissante sur $E$ si $\forall x, y \in E, \ x < y \Rightarrow f(x) < f(y)$.
$f$ est décroissante sur $E$ si $\forall x, y \in E, \ x \le y \Rightarrow f(x) \ge f(y)$.
$f$ est strictement décroissante sur $E$ si $\forall x, y \in E, \ x < y \Rightarrow f(x) > f(y)$.
$f$ est (strictement) monotone sur $E$ si elle est (strictement) croissante ou (strictement) décroissante sur $E$.

Exemple — Une fonction monotone sur deux morceaux mais pas sur le tout

La fonction $f \colon x \mapsto x^2$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$ et strictement décroissante sur $\mathbb{R}_-$, mais elle n'est pas monotone sur $\mathbb{R}$. Pour le démontrer, on contredit à la fois « croissante » et « décroissante » par un couple de points chacune. La fonction $f$ n'est pas croissante sur $\mathbb{R}$ : $-1 < 0$ mais $f(-1) = 1 > 0 = f(0)$. Elle n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}$ : $0 < 1$ mais $f(0) = 0 < 1 = f(1)$. Donc $f$ n'est monotone dans aucun des deux sens sur $\mathbb{R}$, bien qu'elle soit monotone de chaque côté de $0$.

Exemple — Monotone sur chaque morceau, pas sur la réunion

La fonction $f \colon x \mapsto \frac{1}{x}$ est strictement décroissante sur $]0, +\infty[$ et sur $]-\infty, 0[$ séparément, mais elle n'est pas monotone sur la réunion $\mathbb{R}^* = \,]-\infty, 0[ \, \cup \, ]0, +\infty[$. Elle n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$ : $-1 < 1$ mais $f(-1) = -1 < 1 = f(1)$. Elle n'est pas croissante sur $\mathbb{R}^*$ non plus : $1 < 2$ mais $f(1) = 1 > \frac{1}{2} = f(2)$. La monotonie sur une réunion d'intervalles n'est pas la monotonie sur chaque morceau. Deux morceaux monotones de même sens se recollent lorsqu'ils ont un point commun, comme dans la Proposition « Recoller des morceaux monotones » ; ici les deux morceaux n'ont aucun point commun, le point $0$ manquant, et la conclusion tombe.

Proposition — La stricte monotonie implique l'injectivité

Soient $D$ et $F$ des parties de $\mathbb{R}$ et $f \colon D \to F$ une application. Si $f$ est strictement monotone sur $D$ — strictement croissante ou strictement décroissante —, alors $f$ est injective.

Preuve

Montrons la lecture contraposée de l'injectivité : pour $x, x' \in D$, $x \ne x' \Rightarrow f(x) \ne f(x')$. Soient $x, x' \in D$ avec $x \ne x'$. Par trichotomie, $x < x'$ ou $x' < x$, le cas $x = x'$ étant exclu ; l'énoncé est symétrique en $x$ et $x'$, donc, quitte à échanger leurs noms, on peut supposer $x < x'$. Si $f$ est strictement croissante, alors $f(x) < f(x')$ ; si $f$ est strictement décroissante, alors $f(x) > f(x')$. Dans les deux cas, les deux images sont strictement ordonnées, donc $f(x) \ne f(x')$. Puisque nous avons prouvé la contraposée, $f$ est injective.
Seconde démonstration : le cas croissant, puis $-f$. Supposons d'abord $f$ strictement croissante, et soient $x, x' \in D$ tels que $f(x) = f(x')$. Si $x < x'$, alors $f(x) < f(x')$ ; si $x' < x$, alors $f(x') < f(x)$ ; les deux contredisent $f(x) = f(x')$. Par trichotomie, $x = x'$ : $f$ est injective. Supposons maintenant $f$ strictement décroissante. L'application $-f \colon D \to \mathbb{R}$, $x \mapsto -f(x)$ est strictement croissante, puisque $x < x'$ donne $f(x) > f(x')$, c'est-à-dire $-f(x) < -f(x')$ ; par le premier cas, elle est injective. Pour $x, x' \in D$, $f(x) = f(x') \iff -f(x) = -f(x')$, donc deux éléments qui ont la même image par $f$ ont la même image par $-f$, et ils sont égaux : $f$ est injective.

Proposition — Recoller des morceaux monotones

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$ une fonction et $a \in E$, et soient $I = E \cap \,]-\infty, a]$ et $J = E \cap [a, +\infty[$, de sorte que $E = I \cup J$ et $a \in I \cap J$. Si $f$ est croissante sur $I$ et sur $J$, alors $f$ est croissante sur $E$. Il en va de même pour strictement croissante, décroissante et strictement décroissante. En particulier, pour $E = [\alpha, \beta]$ et $a \in [\alpha, \beta]$, une fonction croissante sur $[\alpha, a]$ et sur $[a, \beta]$ est croissante sur $[\alpha, \beta]$.

Preuve

Supposons $f$ croissante sur $I$ et sur $J$, et soient $x, y \in E$ avec $x \le y$. On distingue trois cas, qui couvrent toutes les possibilités.

$y \le a$. Alors $x \le y \le a$, donc $x$ et $y$ appartiennent à $I$, et $f(x) \le f(y)$ parce que $f$ est croissante sur $I$.
$x \ge a$. Alors $a \le x \le y$, donc $x$ et $y$ appartiennent à $J$, et $f(x) \le f(y)$ parce que $f$ est croissante sur $J$.
$x < a < y$. Alors $x, a \in I$ avec $x \le a$, donc $f(x) \le f(a)$, et $a, y \in J$ avec $a \le y$, donc $f(a) \le f(y)$. Donc $f(x) \le f(a) \le f(y)$.

Dans chaque cas $f(x) \le f(y)$ : $f$ est croissante sur $E$. Pour la monotonie stricte, prendre $x < y$ et remplacer chaque $\le$ entre valeurs par $<$ ; dans le troisième cas $x < a < y$ donne $f(x) < f(a) < f(y)$. Pour les cas décroissants, renverser les inégalités entre valeurs.

Proposition — Opérations sur les fonctions monotones

Soient $E \subset \mathbb{R}$ et $f, g \colon E \to \mathbb{R}$ deux fonctions.

Somme : si $f$ et $g$ sont croissantes, $f + g$ est croissante ; si $f$ et $g$ sont décroissantes, $f + g$ est décroissante. Si de plus l'une d'elles est strictement monotone, la somme l'est aussi.
Multiple : si $f$ est croissante, $\lambda f$ est croissante pour $\lambda \ge 0$ et décroissante pour $\lambda \le 0$ ; si $f$ est décroissante, c'est l'inverse. Si $f$ est strictement monotone et $\lambda \ne 0$, $\lambda f$ est strictement monotone.
Produit de fonctions positives : si $f$ et $g$ prennent des valeurs positives ou nulles et sont toutes deux croissantes, $fg$ est croissante ; si elles sont toutes deux décroissantes, $fg$ est décroissante. Sans la positivité, le résultat est faux : la fonction $x \mapsto x$ est croissante sur $\mathbb{R}$, mais son produit par elle-même, $x \mapsto x^2$, ne l'est pas.
Inverse : si $f$ prend des valeurs strictement positives et est croissante, $\frac{1}{f}$ est décroissante ; si $f$ prend des valeurs strictement positives et est décroissante, $\frac{1}{f}$ est croissante. La monotonie est stricte si celle de $f$ l'est.

La composée de deux fonctions monotones fait l'objet de la Proposition « Composée de fonctions monotones ».

Preuve

Soient $x, y \in E$ avec $x \le y$ ; pour les énoncés stricts, avec $x < y$.
Somme. Soient $f$ et $g$ croissantes. $$ \begin{aligned} (f + g)(x) &= f(x) + g(x) && \text{(définition de la somme)} \\ &\le f(y) + g(y) && \text{(addition de $f(x) \le f(y)$ et $g(x) \le g(y)$)} \\ &= (f + g)(y). \end{aligned} $$ Si $f$ est strictement croissante et $x < y$, alors $f(x) < f(y)$, et la même chaîne donne $(f + g)(x) < (f + g)(y)$. Pour des fonctions décroissantes, renverser les inégalités entre valeurs.
Multiple. Soit $f$ croissante, de sorte que $f(x) \le f(y)$. Multiplier par $\lambda \ge 0$ conserve l'inégalité, $\lambda f(x) \le \lambda f(y)$, et multiplier par $\lambda \le 0$ la renverse, $\lambda f(x) \ge \lambda f(y)$. Pour $f$ décroissante, les rôles sont échangés. Si $f$ est strictement monotone et $\lambda \ne 0$, la multiplication par $\lambda$ conserve ou renverse une inégalité stricte.
Produit. Soient $f, g \ge 0$ croissantes. $$ \begin{aligned} (fg)(x) &= f(x) \, g(x) && \text{(définition du produit)} \\ &\le f(y) \, g(x) && \text{($f(x) \le f(y)$, multipliée par $g(x) \ge 0$)} \\ &\le f(y) \, g(y) && \text{($g(x) \le g(y)$, multipliée par $f(y) \ge f(x) \ge 0$)} \\ &= (fg)(y). \end{aligned} $$ Soient maintenant $f, g \ge 0$ décroissantes, de sorte que $0 \le f(y) \le f(x)$ et $0 \le g(y) \le g(x)$ : ce sont les hypothèses de la chaîne précédente en échangeant $x$ et $y$, donc la même chaîne donne $(fg)(y) \le (fg)(x)$, et $fg$ est décroissante. Le contre-exemple : $x \mapsto x$ est croissante sur $\mathbb{R}$, et $-1 < 0$ mais $(-1)^2 = 1 > 0 = 0^2$, donc $x \mapsto x^2$ n'est pas croissante.
Inverse. Soit $f > 0$ croissante, de sorte que $0 < f(x) \le f(y)$. $$ \begin{aligned} \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{f(y)} &= \frac{f(y) - f(x)}{f(x) \, f(y)} && \text{(même dénominateur)} \\ &\ge 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que le numérateur $f(y) - f(x)$ est positif ou nul et que le dénominateur $f(x) \, f(y)$ est strictement positif. Donc $\frac{1}{f}$ est décroissante, et strictement si $f(x) < f(y)$, le numérateur étant alors strictement positif. Si $f > 0$ est décroissante, la même chaîne en échangeant $x$ et $y$ montre que $\frac{1}{f}$ est croissante.

Proposition — Composée de fonctions monotones

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$ et $g \colon F \to \mathbb{R}$ deux fonctions monotones, avec $f(E) \subset F$. La composée $g \circ f$ est monotone : elle est croissante si $f$ et $g$ ont le même sens de variation, toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes, et décroissante si elles ont des sens opposés. Il en va de même avec « strictement » : si $f$ et $g$ sont strictement monotones, $g \circ f$ est strictement monotone, strictement croissante pour les mêmes sens.

Preuve

Compter les renversements. Pour $\delta \in \{1, -1\}$ et $u, v \in \mathbb{R}$, écrivons $u \le_\delta v$ pour $u \le v$ si $\delta = 1$ et pour $u \ge v$ si $\delta = -1$. Soit $\delta_f = 1$ si $f$ est croissante et $\delta_f = -1$ si $f$ est décroissante, et de même $\delta_g$ : pour $x \le y$ dans $E$, $f(x) \le_{\delta_f} f(y)$, et pour $u \le v$ dans $F$, $g(u) \le_{\delta_g} g(v)$. On affirme que $$ u \le_\delta v \ \Longrightarrow \ g(u) \le_{\delta \delta_g} g(v) \qquad (u, v \in F). $$ Pour $\delta = 1$ c'est la définition de $\delta_g$. Pour $\delta = -1$ l'hypothèse est $v \le u$, qui donne $g(v) \le_{\delta_g} g(u)$, c'est-à-dire $g(u) \le_{-\delta_g} g(v)$. Soient maintenant $x \le y$ dans $E$. En appliquant $f$, puis l'affirmation à $u = f(x)$ et $v = f(y)$ avec $\delta = \delta_f$, $$ x \le y \ \Longrightarrow \ f(x) \le_{\delta_f} f(y) \ \Longrightarrow \ g\big(f(x)\big) \le_{\delta_f \delta_g} g\big(f(y)\big). $$ Chaque fonction décroissante renverse l'ordre une fois, et deux renversements le rétablissent : $g \circ f$ est croissante si $\delta_f \delta_g = 1$, c'est-à-dire si $f$ et $g$ ont le même sens, et décroissante si $\delta_f \delta_g = -1$. Le même argument avec des inégalités strictes donne l'énoncé strict.
Seconde démonstration : les quatre cas. Soient $x \le y$ dans $E$.

$f$ et $g$ croissantes. $f(x) \le f(y)$, donc $g\big(f(x)\big) \le g\big(f(y)\big)$ : $g \circ f$ est croissante.
$f$ croissante et $g$ décroissante. $f(x) \le f(y)$, donc $g\big(f(x)\big) \ge g\big(f(y)\big)$ : $g \circ f$ est décroissante.
$f$ décroissante et $g$ croissante. $f(x) \ge f(y)$, c'est-à-dire $f(y) \le f(x)$, donc $g\big(f(y)\big) \le g\big(f(x)\big)$ : $g \circ f$ est décroissante.
$f$ et $g$ décroissantes. $f(y) \le f(x)$, donc $g\big(f(y)\big) \ge g\big(f(x)\big)$, c'est-à-dire $g\big(f(x)\big) \le g\big(f(y)\big)$ : $g \circ f$ est croissante.

Pour les énoncés stricts, remplacer $\le$ par $<$ et $\ge$ par $>$ partout.

Proposition — Réciproque d'une bijection monotone

Soit $f \colon E \to F$ une bijection entre parties de $\mathbb{R}$. Si $f$ est monotone, alors $f$ est strictement monotone, et la bijection réciproque $f^{-1} \colon F \to E$ est strictement monotone dans le même sens que $f$.

Preuve

Première démonstration : la contraposée. Supposons $f$ croissante. D'abord $f$ est strictement croissante : pour $x < y$ dans $E$, $f(x) \le f(y)$, et $f(x) \ne f(y)$ car $f$ est injective, donc $f(x) < f(y)$. Soient maintenant $y < y'$ dans $F$, et $x = f^{-1}(y)$, $x' = f^{-1}(y')$. Montrons la contraposée : si $x \ge x'$, alors $y \ge y'$. Supposons que $x \ge x'$. Comme $f$ est croissante, $f(x) \ge f(x')$, c'est-à-dire $y \ge y'$. Puisque nous avons prouvé la contraposée, $y < y'$ donne $x < x'$, c'est-à-dire $f^{-1}(y) < f^{-1}(y')$ : $f^{-1}$ est strictement croissante. Supposons maintenant $f$ décroissante. Alors $-f \colon E \to -F$, avec $-F = \{-y \mid y \in F\}$, est une bijection croissante, le multiple de $f$ par $-1$, donc, par le cas qui vient d'être démontré, $-f$ est strictement croissante, ainsi que sa réciproque $(-f)^{-1} \colon -F \to E$ ; donc $f$ est strictement décroissante. Pour $y \in F$, $(-f)\big(f^{-1}(y)\big) = -y$, donc $f^{-1}(y) = (-f)^{-1}(-y)$ : $f^{-1}$ est la composée de $y \mapsto -y$, strictement décroissante de $F$ dans $-F$, et de $(-f)^{-1}$, strictement croissante, donc elle est strictement décroissante par la Proposition « Composée de fonctions monotones ».
Seconde démonstration : l'ordre se reflète. D'abord $f$ est strictement monotone : supposons $f$ croissante ; pour $x < y$ dans $E$, $f(x) \le f(y)$ et $f(x) \ne f(y)$ car $f$ est injective, donc $f(x) < f(y)$ ; le cas décroissant est le même en renversant les inégalités. Ensuite, une fonction strictement croissante reflète l'ordre : si $f(x) < f(x')$, alors $x < x'$. En effet, par trichotomie $x < x'$, $x = x'$ ou $x > x'$ ; l'égalité donnerait $f(x) = f(x')$ et $x > x'$ donnerait $f(x) > f(x')$, et les deux contredisent $f(x) < f(x')$. Pour une fonction strictement décroissante le même argument montre que $f(x) < f(x')$ donne $x > x'$. On l'applique à $x = f^{-1}(y)$ et $x' = f^{-1}(y')$, pour lesquels $f(x) = y$ et $f(x') = y'$ : si $y < y'$, alors $x < x'$ lorsque $f$ est strictement croissante, et $x > x'$ lorsque $f$ est strictement décroissante. Donc $f^{-1}$ est strictement monotone dans le sens de $f$.

Méthode — Décider la monotonie d'une fonction

Pour décider si une fonction $f$ est monotone sur un ensemble $E$ :

Par la définition : soient $x < y$ dans $E$ ; étudier le signe de $f(y) - f(x)$, par un dénominateur commun, une factorisation ou une quantité conjuguée. S'il est $\ge 0$ pour tout couple, $f$ est croissante ; s'il est $\le 0$, décroissante ; un signe strict donne la monotonie stricte.
Par les règles : écrire $f$ à partir de fonctions de monotonie connue, par les Propositions « Opérations sur les fonctions monotones », « Composée de fonctions monotones » et « Réciproque d'une bijection monotone ». Aucun calcul n'est alors nécessaire : $x \mapsto e^x + x$ est strictement croissante, comme somme de deux fonctions strictement croissantes, et $x \mapsto e^{e^x}$ aussi, comme composée de deux fonctions strictement croissantes.
Pour réfuter : la monotonie est un énoncé universel sur les couples. Pour montrer que $f$ n'est pas croissante, exhiber $x < y$ avec $f(x) > f(y)$ ; pour montrer qu'elle n'est pas monotone, le faire pour les deux sens, avec deux couples.
Sur une réunion d'intervalles : vérifier chaque morceau et le point qu'ils ont en commun, par la Proposition « Recoller des morceaux monotones ».

Par exemple, soit $f \colon x \mapsto x^3 + x$ sur $\mathbb{R}$. Par la définition, pour $x < y$, $$ \begin{aligned} f(y) - f(x) &= (y^3 - x^3) + (y - x) && \text{(définition de $f$)} \\ &= (y - x)(y^2 + xy + x^2 + 1) && \text{(mise en facteur de $y - x$)} \\ &= (y - x)\Big(\big(y + \tfrac{x}{2}\big)^2 + \tfrac{3}{4}x^2 + 1\Big), \end{aligned} $$ et le dernier facteur est au moins égal à $1$, donc $f(y) - f(x) > 0$ : $f$ est strictement croissante. Par les règles, c'est la somme de $x \mapsto x^3$ et de $x \mapsto x$, toutes deux strictement croissantes.

Compétences à pratiquer

Lire la monotonie d'une fonction ★
Déterminer des intervalles de monotonie d'une fonction ★
Décider la monotonie avec la définition ★

II.2 Fonctions bornées

Rester entre deux bornes

Les valeurs d'une fonction forment un ensemble, et la première question à son sujet est de savoir s'il reste entre des bornes : aucune valeur au-dessus d'un certain nombre, aucune au-dessous d'un certain nombre. « Majorée par $M$ » désigne un nombre $M$, alors que « majorée » dit seulement qu'un tel nombre existe ; il ne faut pas confondre les deux. La lecture géométrique est immédiate : le graphe est au-dessous d'une droite horizontale, ou entre deux droites horizontales.

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Définition — Fonction bornée

Soit $f \colon E \to \mathbb{R}$ une fonction.

$f$ est majorée si $\exists M \in \mathbb{R}, \ \forall x \in E, \ f(x) \le M$. Un tel $M$ est un majorant de $f$, et $f$ est majorée par $M$.
$f$ est minorée si $\exists m \in \mathbb{R}, \ \forall x \in E, \ f(x) \ge m$. Un tel $m$ est un minorant de $f$.
$f$ est bornée si elle est majorée et minorée.

Un majorant de $f$ est un majorant de l'ensemble image $f(E)$ au sens du chapitre Nombres réels : $M$ est un majorant de $f$ si et seulement si $M$ est un majorant de $f(E)$, et de même pour les minorants.

Proposition — Fonction bornée et valeur absolue

Soit $f \colon E \to \mathbb{R}$ une fonction.

$f$ est bornée si et seulement s'il existe $K \ge 0$ tel que $\lvert f(x) \rvert \le K$ pour tout $x \in E$, si et seulement si $\lvert f \rvert$ est majorée.
$f$ est minorée si et seulement si $-f$ est majorée.

Géométriquement, une fonction est bornée lorsque son graphe est contenu dans une bande horizontale $\lvert y \rvert \le K$.

Preuve

On démontre les trois énoncés du premier point par un cercle d'implications, $(1) \Rightarrow (2) \Rightarrow (3) \Rightarrow (1)$ : (1) $f$ est bornée ; (2) $\exists K \ge 0, \ \forall x \in E, \ \lvert f(x) \rvert \le K$ ; (3) $\lvert f \rvert$ est majorée.
$(1) \Rightarrow (2)$. Soit $m \le f(x) \le M$ pour tout $x \in E$, et $K = \max\big(\lvert m \rvert, \lvert M \rvert\big) \ge 0$. Pour $x \in E$, $$ \begin{aligned} -K &\le -\lvert m \rvert && \text{($\lvert m \rvert \le K$)} \\ &\le m && \text{($-\lvert m \rvert \le m$)} \\ &\le f(x) && \text{($m$ est un minorant)} \\ &\le M && \text{($M$ est un majorant)} \\ &\le \lvert M \rvert && \text{($M \le \lvert M \rvert$)} \\ &\le K, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $\lvert M \rvert \le K$. Comme $\lvert u \rvert \le K \iff -K \le u \le K$, cela donne $\lvert f(x) \rvert \le K$.
$(2) \Rightarrow (3)$. Si $\lvert f(x) \rvert \le K$ pour tout $x$, alors $K$ est un majorant de $\lvert f \rvert$.
$(3) \Rightarrow (1)$. Si $\lvert f(x) \rvert \le M'$ pour tout $x$, alors $-M' \le -\lvert f(x) \rvert \le f(x) \le \lvert f(x) \rvert \le M'$ : $f$ est minorée par $-M'$ et majorée par $M'$.
Le second point. Pour $x \in E$ et $m \in \mathbb{R}$, $f(x) \ge m \iff -f(x) \le -m$. Donc $m$ est un minorant de $f$ si et seulement si $-m$ est un majorant de $-f$, et $f$ est minorée si et seulement si $-f$ est majorée.

Exemple — Une bande et une demi-bande

Le graphe d'une fonction bornée est entre deux droites horizontales. À gauche, $f \colon x \mapsto 1 + 2\cos x$ est bornée : $\lvert \cos x \rvert \le 1$ donne $-1 \le f(x) \le 3$. À droite, $g \colon x \mapsto 2 - x^2$ est majorée par $2$, puisque $g(x) = 2 - x^2 \le 2$, mais elle n'a aucun minorant.

La fonction $g$ n'a aucun minorant. Supposons qu'un réel $m$ en soit un, et prenons $x = \lvert m \rvert + 3$. Comme $x \ge 1$, $x^2 \ge x$, donc $$ \begin{aligned} g(x) &= 2 - x^2 && \text{(définition de $g$)} \\ &\le 2 - x && \text{($x^2 \ge x$)} \\ &= -1 - \lvert m \rvert && \text{($x = \lvert m \rvert + 3$)} \\ &< m, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $-1 - \lvert m \rvert < -\lvert m \rvert \le m$ ; cela contredit que $m$ soit un minorant.

Proposition — Opérations sur les fonctions bornées

Soient $f, g \colon E \to \mathbb{R}$ deux fonctions et $\lambda \in \mathbb{R}$.

Si $f$ et $g$ sont majorées, $f + g$ est majorée ; de même pour minorées et pour bornées.
Si $f$ et $g$ sont bornées, $fg$ et $\lambda f$ sont bornées.
S'il existe $c > 0$ tel que $\lvert f(x) \rvert \ge c$ pour tout $x \in E$, alors $\frac{1}{f}$ est définie et bornée sur $E$.

Le produit de deux fonctions majorées n'est pas majoré en général : sur $\mathbb{R}_+$, $x \mapsto -x$ et $x \mapsto -x^2$ sont majorées par $0$, mais leur produit $x \mapsto x^3$ n'est pas majoré.

Preuve

Somme. Soient $f(x) \le M$ et $g(x) \le M'$ pour tout $x \in E$. Alors $$ \begin{aligned} (f + g)(x) &= f(x) + g(x) && \text{(définition de la somme)} \\ &\le M + M', \end{aligned} $$ la dernière étape additionnant les deux inégalités, donc $f + g$ est majorée par $M + M'$. La même chaîne avec $\ge$ et des minorants donne le cas minoré, et les deux ensemble donnent le cas borné.
Produit et multiple. Soient $\lvert f(x) \rvert \le K$ et $\lvert g(x) \rvert \le K'$ pour tout $x \in E$ (la Proposition « Fonction bornée et valeur absolue »). Alors $$ \begin{aligned} \lvert (fg)(x) \rvert &= \lvert f(x) \rvert \, \lvert g(x) \rvert && \text{(valeur absolue d'un produit)} \\ &\le K K', \end{aligned} $$ la dernière étape multipliant deux inégalités entre nombres positifs, et $\lvert (\lambda f)(x) \rvert = \lvert \lambda \rvert \, \lvert f(x) \rvert \le \lvert \lambda \rvert K$ : $fg$ et $\lambda f$ sont bornées.
Inverse. Si $\lvert f(x) \rvert \ge c > 0$ pour tout $x$, alors $f$ ne s'annule pas et $$ \Big\lvert \frac{1}{f(x)} \Big\rvert = \frac{1}{\lvert f(x) \rvert} \le \frac{1}{c}, $$ parce que $\lvert f(x) \rvert \ge c > 0$ donne $\frac{1}{\lvert f(x) \rvert} \le \frac{1}{c}$ : $\frac{1}{f}$ est bornée.
Le contre-exemple. Sur $\mathbb{R}_+$, $-x \le 0$ et $-x^2 \le 0$, et leur produit est $(-x)(-x^2) = x^3$. Pour $M \in \mathbb{R}$, le nombre $x = \lvert M \rvert + 1$ vérifie $x^3 \ge x > M$, donc $x \mapsto x^3$ n'est pas majorée.

Méthode — Prouver qu'une fonction est bornée ou non

Pour décider si une fonction $f$ est majorée, minorée ou bornée :

Pour prouver qu'elle est bornée : trouver une borne et prouver l'inégalité pour tout $x \in E$. Pour un quotient, majorer la valeur absolue du numérateur et minorer la valeur absolue du dénominateur par un nombre strictement positif ; pour une somme, un produit ou un multiple, utiliser la Proposition « Opérations sur les fonctions bornées » ; pour une borne par $K$ des deux côtés, prouver $\lvert f(x) \rvert \le K$, par la Proposition « Fonction bornée et valeur absolue ».
Pour prouver qu'elle n'est pas majorée : la négation de « $\exists M, \ \forall x, \ f(x) \le M$ » est « $\forall M, \ \exists x, \ f(x) > M$ ». Soit $M \in \mathbb{R}$, puis construire $x$ à partir de $M$ et vérifier $f(x) > M$. Non minorée, c'est la même chose avec $f(x) < m$.

Par exemple, soit $f \colon x \mapsto \frac{\cos x}{2 + \sin x}$ sur $\mathbb{R}$. Pour tout $x$, $\lvert \cos x \rvert \le 1$ et $2 + \sin x \ge 1 > 0$, donc $$ \begin{aligned} \lvert f(x) \rvert &= \frac{\lvert \cos x \rvert}{2 + \sin x} && \text{(le dénominateur est strictement positif)} \\ &\le \frac{1}{1}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $\lvert \cos x \rvert \le 1$ et $2 + \sin x \ge 1$, et $f$ est bornée, par $K = 1$. Et $h \colon x \mapsto x^2 - 4x$ n'est pas majorée : pour $M \in \mathbb{R}$, prenons $x = \lvert M \rvert + 5$ ; alors $x - 4 \ge 1$, donc $h(x) = x(x - 4) \ge x > M$.

Compétences à pratiquer

Reconnaître une fonction bornée ★
Trouver le plus petit entier qui borne une fonction ★
Démontrer qu'une fonction est bornée ★

III Fonctions de référence (catalogue)

III.1 Racine carrée, inverse et fonctions puissances

Trois fonctions héritées du lycée, revisitées avec leurs domaines et leurs règles de calcul. La racine carrée et l'inverse sont les deux briques de base ; la fonction puissance $x \mapsto x^\alpha$ étend ensuite l'idée d'« élever à une puissance » à tout exposant réel, par l'intermédiaire de l'exponentielle et du logarithme.

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Définition — Racine carrée

Pour $x \ge 0$, la racine carrée $\sqrt{x}$ est l'unique réel positif ou nul dont le carré vaut $x$ (l'unique solution $z \ge 0$ de $z^2 = x$). Ceci définit la fonction $$\sqrt{\phantom{x}} \colon [0, +\infty[ \, \to [0, +\infty[, \qquad x \mapsto \sqrt{x}.$$

Exemple

$\sqrt{9} = 3$, $\sqrt{0} = 0$, $\sqrt{2} \approx 1{,}41$. Attention : $\sqrt{x}$ n'est défini que pour $x \ge 0$, et vaut toujours $\ge 0$ — ainsi $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$, et non $-3$.

Proposition — Propriétés de la racine carrée

Carré : pour tout $x \ge 0$, $(\sqrt{x})^2 = x$ ; et pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\sqrt{x^2} = |x|$ (la valeur absolue, définie dans la sous-section suivante).
Monotonie : la racine carrée est strictement croissante sur $[0, +\infty[$.
Comportement : $\sqrt{0} = 0$, $\sqrt{1} = 1$, et $\sqrt{x} \to +\infty$ lorsque $x \to +\infty$.

Exemple

La stricte croissance se vérifie sans dérivée, à l'aide de la quantité conjuguée. Pour $0 \le x_1 < x_2$, $$\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2} = \frac{(\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2})(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2})}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}} = \frac{x_1 - x_2}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}} < 0,$$ car le numérateur $x_1 - x_2 < 0$ et le dénominateur $> 0$. Donc $\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$ : la racine carrée est strictement croissante.

Définition — Fonction inverse

La fonction inverse est $$\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}, \qquad x \mapsto \frac{1}{x},$$ définie pour tout réel non nul.

Exemple

$\dfrac{1}{2} = 0{,}5$, $\dfrac{1}{-4} = -0{,}25$, $\dfrac{1}{0{,}1} = 10$. Lorsque $x > 0$ devient petit, $1/x$ devient grand ; lorsque $x \to +\infty$, $1/x \to 0$.

Proposition — Propriétés de la fonction inverse

La fonction inverse $x \mapsto 1/x$ est impaire ($1/(-x) = -1/x$) et strictement décroissante sur chacun des deux intervalles $\,]-\infty, 0[\,$ et $\,]0, +\infty[\,$ — mais pas sur $\mathbb{R}^*$ pris dans son ensemble (elle saute de grandes valeurs négatives à de grandes valeurs positives en traversant $0$). Elle a pour limites $1/x \to 0$ lorsque $x \to \pm\infty$, et $1/x \to +\infty$ lorsque $x \to 0^+$, $1/x \to -\infty$ lorsque $x \to 0^-$.

Exemple

Graphes de la racine carrée et de la fonction inverse :

Définition — Fonction puissance

Pour un exposant réel $\alpha \in \mathbb{R}$, la fonction puissance d'exposant $\alpha$ est définie sur $\,]0, +\infty[\,$ par $$x^\alpha = \exp(\alpha \ln x), \qquad x > 0,$$ où $\exp$ et $\ln$ sont les fonctions du lycée rappelées dans la dernière sous-section. Pour $x > 0$ ceci coïncide avec les puissances familières : $x^2 = x \times x$, $x^{1/2} = \sqrt{x}$, $x^{-1} = 1/x$, $x^0 = 1$.

Exemple

$2^{1/2} = \exp\!\left(\tfrac{1}{2}\ln 2\right) = \sqrt{2}$ ; $8^{1/3} = \exp\!\left(\tfrac{1}{3}\ln 8\right) = 2$ (car $\tfrac{1}{3}\ln 8 = \ln 2$) ; $5^0 = 1$. L'identité de définition $x^\alpha = \exp(\alpha \ln x)$ est le réflexe à employer dès que l'exposant est une variable.

Proposition — Règles de calcul et monotonie des puissances

Pour tous $x, y > 0$ et tous $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ :

Règles des puissances : $x^{\alpha + \beta} = x^\alpha x^\beta$, $\quad (x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}$, $\quad (xy)^\alpha = x^\alpha y^\alpha$, $\quad x^{-\alpha} = \dfrac{1}{x^\alpha}$.
Logarithme d'une puissance : $\ln(x^\alpha) = \alpha \ln x$.
Monotonie : sur $\,]0, +\infty[\,$, la fonction $x \mapsto x^\alpha$ est strictement croissante si $\alpha > 0$, strictement décroissante si $\alpha < 0$, et constante égale à $1$ si $\alpha = 0$.

Les allures de courbe sont : $\alpha > 1$ (type $x^2$, courbure vers le haut), $\alpha = 1$ (la droite $y = x$), $0 < \alpha < 1$ (type $\sqrt{x}$), $\alpha = 0$ (la droite constante $y = 1$), et $\alpha < 0$ (type $1/x$).

Méthode — Retrouver les règles à partir de la définition

Chaque règle des puissances se ramène aux lois de $\exp$ et $\ln$ via $x^\alpha = \exp(\alpha \ln x)$. Par exemple, $$x^{\alpha + \beta} = \exp\big((\alpha + \beta)\ln x\big) = \exp(\alpha \ln x)\,\exp(\beta \ln x) = x^\alpha x^\beta,$$ par la loi de la somme de $\exp$. En cas de doute sur une identité de puissances (avec des bases strictement positives, pour que le logarithme soit défini), réécrire chaque puissance sous la forme $\exp(\cdot \ln \cdot)$ et utiliser les lois de l'exponentielle — cela tranche toujours la question.

Compétences à pratiquer

Calculer avec la racine carrée et l'inverse
Manipuler les fonctions puissances $x^\alpha$

III.2 Valeur absolue

La valeur absolue mesure la « taille indépendamment du signe ». Son usage principal est celui d'une distance : $|x - y|$ est la distance entre les deux réels $x$ et $y$ sur la droite numérique. Elle est affine par morceaux, et les équations et inéquations qui la font intervenir se résolvent en distinguant des cas.

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Définition — Valeur absolue

Pour $x \in \mathbb{R}$, la valeur absolue de $x$ est $$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0, \\ -x & \text{si } x < 0. \end{cases}$$ Le nombre $|x - y|$ est la distance entre $x$ et $y$ sur $\mathbb{R}$.

Exemple

$|17| = 17$, $|{-3}| = 3$, $\left|-\tfrac{1}{3}\right| = \tfrac{1}{3}$, $|\pi - 3| = \pi - 3$ (car $\pi > 3$), $|\sqrt{2} - 2| = 2 - \sqrt{2}$ (car $\sqrt{2} < 2$). La distance entre $-1$ et $4$ est $|{-1} - 4| = 5$. Le graphe de $y = |x|$ est le V formé des deux demi-droites $y = -x$ ($x \le 0$) et $y = x$ ($x \ge 0$) :

Proposition — Propriétés de la valeur absolue

Pour tous $x, y \in \mathbb{R}$ :

Signe : $|x| \ge 0$, avec $|x| = 0$ si et seulement si $x = 0$.
Parité : la valeur absolue est paire ($|-x| = |x|$), strictement décroissante sur $\,]-\infty, 0]\,$ et strictement croissante sur $[0, +\infty[\,$.
Lien avec la racine carrée : $\sqrt{x^2} = |x|$.
Produit et quotient : $|xy| = |x|\,|y|$, et $\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{|x|}{|y|}$ pour $y \ne 0$.
Inégalité triangulaire : $|x + y| \le |x| + |y|$.

Méthode — Résoudre une équation ou inéquation avec valeur absolue

Pour une constante réelle $a \ge 0$ et une expression $u$ :

$|u| = a \iff u = a \ \text{ ou } \ u = -a$ ;
$|u| \le a \iff -a \le u \le a$ ;
$|u| \ge a \iff u \ge a \ \text{ ou } \ u \le -a$.

On traduit chaque cas en (in)égalité ordinaire, on le résout, puis on rassemble les solutions.

Exemple

Équation : résolvons $|x - 3| = 5$ sur $\mathbb{R}$. Par la méthode, $x - 3 = 5$ ou $x - 3 = -5$, soit $x = 8$ ou $x = -2$. Ensemble des solutions : $\{-2,\, 8\}$ — les deux réels à distance $5$ de $3$. Inéquation : résolvons $|x - 3| \le 5$. Par la méthode, $-5 \le x - 3 \le 5$, soit $-2 \le x \le 8$. Ensemble des solutions : $[-2,\, 8]$ — les réels à distance au plus $5$ de $3$.

Compétences à pratiquer

Calculer et simplifier avec $|\cdot|$
Résoudre équations et inéquations avec $|\cdot|$

III.3 Partie entière

La partie entière d'un réel est le plus grand entier en dessous de lui. Son graphe est un escalier. On la note $\lfloor x \rfloor$ ; la lettre $E$ est réservée à l'espérance mathématique, on n'écrit donc jamais $E(x)$ pour la partie entière dans ce cours.

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Définition — Partie entière

Pour $x \in \mathbb{R}$, la partie entière $\lfloor x \rfloor$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$ : c'est l'unique entier $n \in \mathbb{Z}$ tel que $$n \le x < n + 1.$$

Exemple

$\lfloor 1{,}7 \rfloor = 1$, $\lfloor 43 \rfloor = 43$, $\lfloor 0{,}9 \rfloor = 0$. Attention aux négatifs : $\lfloor -3{,}1 \rfloor = -4$ (l'unique entier vérifiant $-4 \le -3{,}1 < -3$), et non $-3$ ; et $\lfloor -0{,}1 \rfloor = -1$.

Proposition — Propriétés de la partie entière

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $n \in \mathbb{Z}$ :

Encadrement : $\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1$, soit de façon équivalente $x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x$.
Translation entière : $\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n$.
Monotonie : $\lfloor \cdot \rfloor$ est croissante au sens large sur $\mathbb{R}$ ($x_1 \le x_2 \Rightarrow \lfloor x_1 \rfloor \le \lfloor x_2 \rfloor$).
Caractérisation : pour $n \in \mathbb{Z}$, $\ \lfloor x \rfloor = n \iff n \le x < n + 1$.

Exemple

Graphe de $\lfloor \cdot \rfloor$ sur $[-2, 3]$ — un escalier avec une marche de hauteur $1$ à chaque entier (point plein inclus à gauche, point ouvert exclu à droite) :

Méthode — Résoudre une équation avec partie entière

Pour résoudre $\lfloor u \rfloor = n$ (avec $n \in \mathbb{Z}$), on utilise la caractérisation : c'est équivalent à la double inégalité $n \le u < n + 1$, qui est une inégalité ordinaire sur $u$. On la résout pour obtenir l'ensemble des solutions. Si le second membre n'est pas un entier, l'équation n'a pas de solution, car une partie entière est toujours un entier.

Compétences à pratiquer

Calculer $\lfloor x \rfloor$
Équations avec $\lfloor \cdot \rfloor$

III.4 Logarithme et exponentielle

Nous rappelons les deux fonctions rencontrées au lycée. Elles sont réciproques l'une de l'autre, ce qui explique que leurs graphes sont symétriques par rapport à la droite $y = x$. Ci-dessous nous listons leurs règles de calcul en parallèle, traçons les positions relatives des courbes $\ln$, $\exp$ et $x \mapsto x$, et appliquons le réflexe « réécrire sous la forme $\exp(\cdot \ln \cdot)$ » aux fonctions du type $x \mapsto u(x)^{v(x)}$.

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Définition — Logarithme et exponentielle

On rappelle du lycée l'exponentielle $\exp \colon \mathbb{R} \to \,]0, +\infty[\,$, aussi notée $e^x$, avec $\exp(0) = 1$ : elle est strictement croissante et prend chaque valeur positive exactement une fois, elle réalise donc une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\,]0, +\infty[\,$. Sa réciproque est le logarithme népérien $\ln \colon \,]0, +\infty[\, \to \mathbb{R}$ : pour $x > 0$ et $y \in \mathbb{R}$, $$e^y = x \iff y = \ln x.$$ En particulier $\exp(\ln x) = x$ pour $x > 0$ et $\ln(e^x) = x$ pour $x \in \mathbb{R}$ ; $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$.

Exemple

$e^{\ln 5} = 5$, $\ln(e^3) = 3$, $\ln 1 = 0$, $e^0 = 1$. Les deux fonctions sont strictement croissantes ; $\exp(x) > 0$ pour tout $x$, et $\ln$ n'est défini que pour $x > 0$.

Proposition — Règles algébriques de exp et ln

Pour tous $a, b \in \mathbb{R}$, tous $x, y > 0$ et tout $n \in \mathbb{Z}$ :

Exponentielle : $e^{a + b} = e^a e^b$, $\quad e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$, $\quad e^{a - b} = \dfrac{e^a}{e^b}$, $\quad e^{na} = (e^a)^n$.
Logarithme : $\ln(xy) = \ln x + \ln y$, $\quad \ln\!\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\ln x$, $\quad \ln\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \ln x - \ln y$, $\quad \ln(x^n) = n \ln x$.
Monotonie : $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ; $\ln$ est strictement croissante sur $\,]0, +\infty[\,$.
Comportement aux bornes : $e^x \to 0$ lorsque $x \to -\infty$ et $e^x \to +\infty$ lorsque $x \to +\infty$ ; $\ln x \to -\infty$ lorsque $x \to 0^+$ et $\ln x \to +\infty$ lorsque $x \to +\infty$.

Exemple

Positions relatives des courbes $\ln$, $\exp$ et $x \mapsto x$, symétriques par rapport à la droite $y = x$ :

Sur $\,]0, +\infty[\,$ la lecture du graphe donne l'ordre $\ln x < x < e^x$ (la comparaison standard rappelée du lycée).

Méthode — Étudier une fonction du type $x \mapsto u(x)^{v(x)}$

Dès que l'exposant est lui-même une variable, réécrire la puissance comme une exponentielle d'un logarithme : $$u(x)^{v(x)} = \exp\!\big(v(x)\, \ln u(x)\big), \qquad \text{valable lorsque } u(x) > 0.$$ Ceci met l'expression sous une forme familière $\exp$ de quelque chose, sur laquelle s'appliquent toutes les règles de exp/ln. La première étape est toujours de déterminer le domaine : pour que cette convention s'applique, il faut $u(x) > 0$.

Exemple

Considérons $f(x) = x^x$ pour $x > 0$. Réécrivons $x^x = \exp(x \ln x)$. C'est défini pour tout $x > 0$. Par exemple $f(1) = \exp(1 \cdot \ln 1) = \exp(0) = 1$, et $f(2) = \exp(2 \ln 2) = e^{\ln 4} = 4$ (en accord avec la puissance ordinaire $2^2 = 4$). La réécriture $x^x = \exp(x\ln x)$ est ce qui rend une telle fonction manipulable.

Compétences à pratiquer

Règles algébriques de exp et ln
Fonctions du type $x \mapsto u(x)^{v(x)}$

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Synthèse : raisonner avec les fonctions usuelles
Quiz

\(f\)	\(g\)	\(f + g\)	\(fg\)
paire	paire	paire	paire
paire	impaire	en général ni l'une ni l'autre	impaire
impaire	paire	en général ni l'une ni l'autre	impaire
impaire	impaire	impaire	paire