Éducation Nationale Française · ECGappliquées
Convexité
Ce chapitre étudie la forme du graphe d'une fonction d'une variable réelle : quand se courbe-t-il vers le haut, quand vers le bas, et où ce sens de courbure bascule-t-il ? Une fonction dont le graphe se courbe partout vers le haut — de sorte que toute corde est située au-dessus de la courbe — est dite convexe ; celle qui se courbe vers le bas est concave. Les fonctions convexes sont des outils de modélisation courants en économie : une fonction de coût typique est convexe, et lire sa convexité est la clé pour trouver le niveau de production qui minimise le coût. On définit la convexité par une unique inégalité sur la corde (sans aucune dérivée), puis — pour une fonction au moins deux fois dérivable — on la lit directement sur le signe de la dérivée seconde \(f''\) : convexe là où \(f'' \ge 0\), concave là où \(f'' \le 0\), avec un point d'inflexion partout où \(f''\) change de signe. Le chapitre s'achève sur son résultat clé : pour une fonction convexe, lorsque la dérivée s'annule en un point, ce point est un minimum global — la recherche du minimum d'une fonction convexe se ramène donc à résoudre \(f'(x) = 0\), sans aucune autre comparaison. Convention. Dans tout ce chapitre, \(I\) désigne un intervalle de \(\mathbb{R}\) non vide et non réduit à un point, et \(\mathcal{C}_f\) le graphe de \(f\). La définition par les cordes ne réclame aucune dérivée (elle s'applique même à une fonction comme \(|x|\), non dérivable en \(0\)) ; mais à partir des caractérisations par les dérivées, toute fonction dont on lit la convexité sur ses dérivées est supposée au moins de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\) — et de classe \(\mathcal{C}^2\) partout où l'on utilise \(f''\). Tous les résultats ci-dessous sont admis.
I
Fonctions convexes et concaves
I.1
Inégalité de convexité et corde
Fixons deux points \(A(a, f(a))\) et \(B(b, f(b))\) du graphe, avec \(a < b\). Lorsque \(t\) parcourt \([0, 1]\), l'abscisse \((1-t)a + tb\) balaie tout le segment \([a, b]\), et la corde \([AB]\) y prend la hauteur \((1-t)f(a) + tf(b)\). Comparer cette hauteur à la valeur \(f\big((1-t)a + tb\big)\) de la fonction elle-même donne la notion centrale : \(f\) est convexe lorsque la corde est toujours au-dessus du graphe, concave lorsqu'elle est toujours en dessous. Cette unique inégalité, demandée pour tout couple de points et tout \(t\), capture l'intuition « courbe vers le haut / vers le bas » sans aucune référence à une dérivée — elle s'applique donc même aux fonctions non dérivables.
Définition — Fonction convexe et concave
Soit \(f \colon I \to \mathbb{R}\). La fonction \(f\) est convexe sur \(I\) lorsque, pour tous points \(x_1, x_2\) de \(I\) et tous poids \(t_1, t_2 \in [0, 1]\) vérifiant \(t_1 + t_2 = 1\), $$f(t_1 x_1 + t_2 x_2) \le t_1 f(x_1) + t_2 f(x_2),$$ et concave sur \(I\) lorsque l'inégalité inverse est vérifiée : $$f(t_1 x_1 + t_2 x_2) \ge t_1 f(x_1) + t_2 f(x_2).$$ Le point \(t_1 x_1 + t_2 x_2\) est un point générique du segment \([x_1, x_2]\), et \(t_1 f(x_1) + t_2 f(x_2)\) est la hauteur de la corde \([AB]\) au-dessus de lui, où \(A(x_1, f(x_1))\) et \(B(x_2, f(x_2))\). Géométriquement, \(f\) est convexe lorsque toute corde de \(\mathcal{C}_f\) est située au-dessus de l'arc, concave lorsque toute corde est située en dessous. Une fonction de coût en économie est typiquement convexe — c'est la forme que les sections suivantes exploitent pour la minimiser. 
\(\qquad\) 
Exemple
La fonction \(x \mapsto x^2\) est convexe sur \(\mathbb{R}\), et \(x \mapsto |x|\) est convexe sur \(\mathbb{R}\) : sur les deux graphes, toute corde tracée entre deux points reste au-dessus de la courbe. Symétriquement, \(x \mapsto -x^2\) est concave sur \(\mathbb{R}\). Aucune dérivée n'est nécessaire pour le lire — \(x \mapsto |x|\) est convexe bien qu'elle ne soit pas dérivable en \(0\). Proposition — Convexe contre concave
Soit \(f \colon I \to \mathbb{R}\). Alors \(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si \(-f\) est concave sur \(I\). Par conséquent, tout énoncé sur les fonctions convexes possède un énoncé miroir sur les fonctions concaves, obtenu en remplaçant \(f\) par \(-f\). Compétences à pratiquer
- Lire la convexité sur la corde
I.2
Caractérisations C¹ et C²
L'inégalité des cordes est malcommode à vérifier directement. Pour une fonction dérivable, elle se convertit en un test sur les dérivées bien plus facile à utiliser en pratique. L'idée est géométrique : en parcourant une courbe convexe de gauche à droite, la pente de la tangente ne cesse d'augmenter — donc \(f'\) est croissante — et, lorsque \(f\) est deux fois dérivable, la dérivée seconde \(f''\) (qui mesure à quelle vitesse la pente varie) reste positive. Trois caractérisations équivalentes en découlent. Comme annoncé au début du chapitre, tous les résultats de cette section sont admis : on les utilise, on ne les démontre pas.
Proposition — Convexité par la monotonie de \(f'\)
Soit \(f \in \mathcal{C}^1(I, \mathbb{R})\). Alors $$f \text{ convexe sur } I \iff f' \text{ croissante sur } I, \qquad\qquad f \text{ concave sur } I \iff f' \text{ décroissante sur } I.$$ Résultat admis. Proposition — Convexité par le signe de \(f''\)
Soit \(f \in \mathcal{C}^2(I, \mathbb{R})\). Alors $$f \text{ convexe sur } I \iff \big(\forall x \in I,\ f''(x) \ge 0\big), \qquad\qquad f \text{ concave sur } I \iff \big(\forall x \in I,\ f''(x) \le 0\big).$$ Résultat admis (il découle de la caractérisation précédente, \(f'\) étant croissante exactement lorsque \(f'' \ge 0\)). Proposition — Convexité par la position des tangentes
Soit \(f \in \mathcal{C}^1(I, \mathbb{R})\). Alors \(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si \(\mathcal{C}_f\) est située au-dessus de chacune de ses tangentes, et \(f\) est concave sur \(I\) si et seulement si \(\mathcal{C}_f\) est située en dessous de chacune de ses tangentes. En formules, \(f\) convexe signifie : pour tout \(a \in I\), $$\forall x \in I, \qquad f(x) \ge f(a) + f'(a)(x - a).$$ 
Méthode — Étudier la convexité d'une fonction \(\mathcal{C}^2\)
Pour déterminer sur quels intervalles une fonction \(\mathcal{C}^2\) \(f\) est convexe ou concave : - Calculer \(f'\), puis \(f''\).
- Dresser le tableau de signe de \(f''\).
- Sur chaque intervalle où \(f'' \ge 0\), \(f\) est convexe ; où \(f'' \le 0\), \(f\) est concave.
Exemple
Étudier la convexité de \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 3\) sur \(\mathbb{R}\).
La fonction est un polynôme, donc \(\mathcal{C}^2\) (et même \(\mathcal{C}^\infty\)) sur \(\mathbb{R}\). On calcule : $$\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 - 6x && \text{(dérivation terme à terme)} \\
f''(x) &= 6x - 6 = 6(x - 1) && \text{(en dérivant à nouveau).} \end{aligned}$$ Ainsi \(f''(x) \le 0\) sur \(\,]{-\infty}, 1]\) et \(f''(x) \ge 0\) sur \([1, +\infty[\). Par la caractérisation par le signe de \(f''\), \(f\) est concave sur \(\,]{-\infty}, 1]\) et convexe sur \([1, +\infty[\).
Compétences à pratiquer
- Étudier la convexité par la dérivée seconde
I.3
Fonctions usuelles convexes et concaves
Le catalogue ci-dessous rassemble la convexité des fonctions de référence. Chaque ligne se justifie par le signe de \(f''\), à l'aide des dérivées rappelées du chapitre Fonctions usuelles. Ces formes méritent d'être mémorisées : elles apparaissent constamment dans les inégalités et les problèmes d'optimisation.
Proposition — Catalogue des fonctions usuelles
Les résultats suivants sont vrais : - \(x \mapsto x^2\) est convexe sur \(\mathbb{R}\) \(\quad\) (\(f'' = 2 \ge 0\)) ;
- \(\exp\) est convexe sur \(\mathbb{R}\) \(\quad\) (\(\exp'' = \exp > 0\)) ;
- \(\ln\) est concave sur \(\mathbb{R}_+^*\) \(\quad\) (\(\ln''(x) = -1/x^2 < 0\)) ;
- pour \(\alpha \in \mathbb{R}\), \(x \mapsto x^\alpha\) sur \(\mathbb{R}_+^*\) vérifie \(f''(x) = \alpha(\alpha - 1) x^{\alpha - 2}\), donc elle est convexe lorsque \(\alpha \le 0\) ou \(\alpha \ge 1\), et concave lorsque \(0 \le \alpha \le 1\).
Exemple
Deux membres de la famille des puissances. Pour \(\alpha = 1/2\), la fonction \(\sqrt{x} = x^{1/2}\) a \(\alpha = 1/2 \in [0, 1]\), donc est concave sur \(\mathbb{R}_+^*\) (on vérifie \(f''(x) = -\frac{1}{4} x^{-3/2} < 0\)). Pour \(\alpha = -1\), la fonction \(x \mapsto 1/x = x^{-1}\) a \(\alpha = -1 \le 0\), donc est convexe sur \(\mathbb{R}_+^*\) (en effet \(f''(x) = 2 x^{-3} > 0\)). Méthode — Lire la convexité dans le catalogue
Pour énoncer la convexité d'une fonction usuelle sans recalculer \(f''\) : reconnaître à quelle entrée du catalogue elle correspond. Pour une puissance \(x^\alpha\) sur \(\mathbb{R}_+^*\), situer \(\alpha\) par rapport à \(0\) et \(1\) : convexe en dehors de \([0, 1]\), concave dans \([0, 1]\). Compétences à pratiquer
- Identifier une fonction usuelle convexe ou concave
I.4
Point d'inflexion
Sur le graphe de \(x \mapsto x^3\), la courbure est vers le bas à gauche de \(0\) et vers le haut à droite : la fonction est concave puis convexe. Le point où ce basculement se produit s'appelle un point d'inflexion. C'est la signature géométrique d'un changement de convexité, et pour une fonction \(\mathcal{C}^2\) il se détecte par un changement de signe de \(f''\).
Définition — Point d'inflexion
Soit \(f \colon I \to \mathbb{R}\) dérivable sur \(I\) et soit \(x_0\) un point intérieur de \(I\). Le point \(A(x_0, f(x_0))\) est un point d'inflexion de \(\mathcal{C}_f\) lorsque \(f\) change de convexité en \(x_0\) : il existe \(\varepsilon > 0\) tel que \(f\) soit convexe sur \([x_0 - \varepsilon, x_0]\) et concave sur \([x_0, x_0 + \varepsilon]\), ou inversement. Comme \(f\) est dérivable, la tangente en \(x_0\) existe, et en un tel point elle traverse la courbe. 
Proposition — Détecter une inflexion par \(f''\)
Soit \(f \in \mathcal{C}^2(I, \mathbb{R})\) et soit \(x_0\) un point intérieur de \(I\). Alors \(A(x_0, f(x_0))\) est un point d'inflexion de \(\mathcal{C}_f\) si et seulement si \(f''\) s'annule en changeant de signe en \(x_0\). En particulier, une simple annulation de \(f''\) sans changement de signe n'est pas une inflexion (par exemple \(f''(x_0) = 0\) avec \(f''\) gardant le même signe de part et d'autre). Résultat admis. Méthode — Localiser les points d'inflexion
Pour une fonction \(\mathcal{C}^2\) \(f\) : - Calculer \(f''\) et résoudre \(f''(x) = 0\).
- Dresser le tableau de signe de \(f''\).
- Ne garder que les points où \(f''\) change de signe : ce sont les abscisses des points d'inflexion.
Exemple
Trouver les points d'inflexion de \(f(x) = x^3\) sur \(\mathbb{R}\).
On a \(f''(x) = 6x\), qui s'annule uniquement en \(x = 0\) et y change de signe (négatif pour \(x < 0\), positif pour \(x > 0\)) : $$\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 && \text{(en dérivant \(x^3\))} \\
f''(x) &= 6x && \text{(en dérivant à nouveau).} \end{aligned}$$ Comme \(f''\) s'annule en changeant de signe en \(x = 0\), le point \(A(0, 0)\) est un point d'inflexion de \(\mathcal{C}_f\) (la fonction est concave sur \(\,]{-\infty}, 0]\) et convexe sur \([0, +\infty[\)). C'est le seul.
Compétences à pratiquer
- Localiser un point d'inflexion
II
Optimisation convexe
II.1
Convexité et minimum global
Voici le résultat qui rend les fonctions convexes si prisées en économie. Pour une fonction quelconque, savoir que la dérivée s'annule en un point \(x_0\) apprend peu de chose : \(x_0\) pourrait être un minimum, un maximum, ou ni l'un ni l'autre. Mais pour une fonction convexe la situation est entièrement tranchée : un tel point est automatiquement un minimum global. Il n'y a pas d'autres creux à comparer. Ainsi, dès que l'équation \(f'(x) = 0\) admet une solution à l'intérieur de l'intervalle, cette solution est le minimum global — sans avoir à parcourir tout l'intervalle. C'est précisément ce qui rend une fonction de coût convexe si commode : le niveau de production qui minimise le coût se trouve par un seul calcul de dérivée.
Proposition — Dérivée nulle d'une fonction convexe
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) sur un intervalle ouvert \(I\). - Si \(f\) est convexe sur \(I\) et que sa dérivée s'annule en un point \(x_0 \in I\) (c'est-à-dire \(f'(x_0) = 0\)), alors \(f\) admet un minimum global en \(x_0\) : \(f(x) \ge f(x_0)\) pour tout \(x \in I\).
- Si \(f\) est concave sur \(I\) et que \(f'(x_0) = 0\), alors \(f\) admet un maximum global en \(x_0\).
Méthode — Minimiser une fonction convexe
Pour minimiser une fonction \(\mathcal{C}^2\) \(f\) montrée convexe sur \(I\) : - Vérifier la convexité : \(f''(x) \ge 0\) sur tout \(I\).
- Résoudre \(f'(x) = 0\) pour un point critique intérieur \(x_0\).
- Conclure directement : \(x_0\) est le minimum global — aucune comparaison avec d'autres points n'est nécessaire.
Exemple
Minimiser \(f(x) = e^x - x\) sur \(\mathbb{R}\).
La fonction est \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\). On vérifie la convexité et on trouve le point critique : $$\begin{aligned} f'(x) &= e^x - 1 && \text{(en dérivant)} \\
f''(x) &= e^x > 0 && \text{(donc \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\))} \\
f'(x) &= 0 \iff e^x = 1 \iff x = 0 && \text{(unique point critique).} \end{aligned}$$ Comme \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\), le point critique \(x = 0\) est un minimum global (aucun autre point n'est à vérifier). La valeur minimale est \(f(0) = e^0 - 0 = 1\). Ainsi \(e^x - x \ge 1\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Compétences à pratiquer
- Minimiser une fonction convexe
III
Lire la forme d'un graphe
III.1
Des signes de \(f'\) et \(f''\) à la courbe
La convexité complète le tableau qu'avaient commencé les variations de \(f\). Le signe de la dérivée première \(f'\) indique si la courbe monte ou descend ; le signe de la dérivée seconde \(f''\) indique si elle est convexe ou concave ; et les points où \(f''\) change de signe sont les points d'inflexion. Lire les deux tableaux de signe ensemble donne la forme locale du graphe partout, et permet d'esquisser une courbe fidèle.
Méthode — Lire la forme d'un graphe
Pour décrire la forme locale du graphe d'une fonction \(\mathcal{C}^2\) \(f\) et l'esquisser : - Calculer \(f'\) et dresser son tableau de signe : \(f\) croît là où \(f' \ge 0\), décroît là où \(f' \le 0\).
- Calculer \(f''\) et dresser son tableau de signe : \(f\) est convexe là où \(f'' \ge 0\), concave là où \(f'' \le 0\).
- Repérer les points d'inflexion : les abscisses où \(f''\) change de signe.
- Combiner les deux lectures pour esquisser la courbe — montante ou descendante, courbée vers le haut ou vers le bas, basculant aux points d'inflexion.
Exemple
Décrire les variations, la convexité et les points d'inflexion de \(f(x) = x^3 - 3x\) sur \(\mathbb{R}\), et s'en servir pour esquisser sa forme.
La fonction est un polynôme, donc \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}\). On lit les deux dérivées : $$\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1) && \text{(en dérivant)} \\
f''(x) &= 6x && \text{(en dérivant à nouveau).} \end{aligned}$$ Variations. \(f'(x) \ge 0\) sur \(\,]{-\infty}, -1]\) et \([1, +\infty[\) (croissante), \(f'(x) \le 0\) sur \([-1, 1]\) (décroissante) : un maximum local en \(x = -1\) et un minimum local en \(x = 1\). Convexité. \(f''(x) = 6x \le 0\) sur \(\,]{-\infty}, 0]\) (concave) et \(\ge 0\) sur \([0, +\infty[\) (convexe). Inflexion. \(f''\) change de signe en \(x = 0\), donc \(A(0, 0)\) est un point d'inflexion. La courbe monte puis descend puis remonte, concave à gauche de \(0\) et convexe à droite — une forme en S passant par l'origine.
Pour aller plus loin
La machinerie de convexité de ce chapitre est l'ombre, à une variable, d'une théorie bien plus riche. En deuxième année, les mêmes questions — où sont les extrema, quand un point critique est-il un minimum — se posent pour des fonctions de plusieurs variables, où le rôle de « \(f'' \ge 0\) » est tenu par une condition de positivité sur une matrice de dérivées secondes. Le principe « pour un objectif convexe, un point critique est un minimum global » subsiste mot pour mot, et fonde l'optimisation convexe en économie, en finance et en apprentissage automatique.
Compétences à pratiquer
- Lire la forme d'un graphe
IV
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Combiner convexité et optimisation
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