Éducation Nationale Française · ECGappliquées
Applications linéaires de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^m\)
Ce chapitre étudie les applications de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^m\) qui respectent les deux opérations vectorielles — l'addition et la multiplication par un scalaire — les applications linéaires. La présentation est entièrement concrète : une telle application n'est rien d'autre que l'opération « multiplier une colonne de coordonnées par une matrice fixée », \(X \mapsto MX\), et toute question que l'on pose — \(f\) est-elle injective, surjective, quel est son noyau, son image, son rang — se lit sur la matrice \(M\). On définit une application linéaire \(f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) et sa matrice ; on lui attache deux sous-espaces, le noyau \(\ker f\) et l'image \(\operatorname{Im} f\) ; on voit que composer deux applications linéaires revient à multiplier leurs matrices ; et l'on aboutit à l'outil central, le théorème du rang, qui relie les dimensions du noyau et de l'image à la dimension \(n\) de l'espace de départ. Tout au long, \(n\) et \(m\) sont des entiers strictement positifs, \((e_1, \dots, e_n)\) est la base canonique de \(\mathbb{R}^n\), et un vecteur \(X = (x_1, \dots, x_n)\) de \(\mathbb{R}^n\) est identifié à sa colonne de coordonnées \(\begin{psmallmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{psmallmatrix}\) dans \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\). Les chapitres Applications, Matrices et Sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\) sont supposés connus.
I
Applications linéaires de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^m\)
I.1
Définition et matrice d'une application linéaire
Une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^m\) est une application qui respecte les deux opérations : l'image d'une somme est la somme des images, et l'image d'un vecteur multiplié par un scalaire est l'image multipliée par ce scalaire. On regroupe les deux conditions en une seule à l'aide d'une combinaison linéaire \(\lambda u + \mu v\).
Définition — Application linéaire
Une application \(f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) est linéaire lorsque, pour tous \(u, v \in \mathbb{R}^n\) et tous \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\), $$f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v).$$ Proposition — Premières propriétés
Si \(f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) est linéaire, alors \(f(0_{\mathbb{R}^n}) = 0_{\mathbb{R}^m}\) et, pour toute famille finie \((u_1, \dots, u_p)\) de vecteurs de \(\mathbb{R}^n\) (\(p \ge 1\)) et tout \((\lambda_1, \dots, \lambda_p) \in \mathbb{R}^p\), $$f\!\left( \sum_{i=1}^p \lambda_i u_i \right) = \sum_{i=1}^p \lambda_i f(u_i).$$
On applique l'identité de linéarité avec \(u = v = 0_{\mathbb{R}^n}\) et \(\lambda = \mu = 1\) : \(f(0_{\mathbb{R}^n}) = f(0_{\mathbb{R}^n}) + f(0_{\mathbb{R}^n})\), donc \(f(0_{\mathbb{R}^n}) = 0_{\mathbb{R}^m}\) en soustrayant \(f(0_{\mathbb{R}^n})\) des deux côtés. Pour la formule générale, on raisonne par récurrence sur \(p\). Le cas \(p = 1\) est immédiat, et le cas \(p = 2\) est l'identité de linéarité. En supposant la formule vraie au rang \(p\), on écrit $$f\!\left( \sum_{i=1}^{p+1} \lambda_i u_i \right) = f\!\left( \sum_{i=1}^{p} \lambda_i u_i + \lambda_{p+1} u_{p+1} \right) = f\!\left( \sum_{i=1}^{p} \lambda_i u_i \right) + \lambda_{p+1} f(u_{p+1})$$ par l'identité de linéarité (avec les deux vecteurs \(\sum_{i=1}^p \lambda_i u_i\) et \(u_{p+1}\)), et l'on conclut par l'hypothèse de récurrence sur le premier terme.
Exemple
L'application \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\), \((x, y) \mapsto (2x + y, -3x, x - y)\), est linéaire. En effet, pour \(u = (x, y)\), \(v = (x', y')\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\), $$\begin{aligned} f(\lambda u + \mu v) &= f(\lambda x + \mu x', \lambda y + \mu y') \\
&= \big( 2(\lambda x + \mu x') + (\lambda y + \mu y'),\ -3(\lambda x + \mu x'),\ (\lambda x + \mu x') - (\lambda y + \mu y') \big) && \text{(définition de \(f\))} \\
&= \lambda (2x + y, -3x, x - y) + \mu (2x' + y', -3x', x' - y') && \text{(on regroupe selon \(\lambda, \mu\))} \\
&= \lambda f(u) + \mu f(v). \end{aligned}$$ Exemple
L'application \(g \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\), \((x, y) \mapsto (2x + y, -3x, x + 1)\), n'est pas linéaire : \(g(0, 0) = (0, 0, 1) \ne (0, 0, 0)\), ce qui contredit la première propriété ci-dessus. Méthode — Montrer que \(f\) est linéaire ou non
Pour montrer que \(f\) est linéaire : on écrit \(f(\lambda u + \mu v)\), on développe à l'aide de la formule explicite de \(f\), et on regroupe pour reconnaître \(\lambda f(u) + \mu f(v)\). Pour montrer que \(f\) n'est pas linéaire, le test le plus rapide est \(f(0_{\mathbb{R}^n}) \stackrel{?}{=} 0_{\mathbb{R}^m}\) : un seul contre-exemple suffit. Si \(f(0_{\mathbb{R}^n}) = 0_{\mathbb{R}^m}\), on cherche un couple \((u, v)\) tel que \(f(u + v) \ne f(u) + f(v)\), ou un scalaire \(\lambda\) tel que \(f(\lambda u) \ne \lambda f(u)\).
La définition qui suit est le c\oe ur du chapitre : une fois les bases canoniques fixées, une application linéaire est entièrement décrite par une seule matrice, et appliquer l'application revient exactement à multiplier par cette matrice.
Définition — Matrice d'une application linéaire
Soit \(f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) linéaire, et soit \((e_1, \dots, e_n)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^n\). La matrice de \(f\) (dans les bases canoniques) est la matrice \(M \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})\) dont la \(j\)-ième colonne est la colonne des coordonnées de \(f(e_j)\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^m\) : $$M = \big(\, f(e_1) \mid f(e_2) \mid \cdots \mid f(e_n) \,\big).$$ Proposition — L'application est la multiplication par sa matrice
Soit \(f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) linéaire de matrice \(M\). Alors, pour tout \(X \in \mathbb{R}^n\) écrit en colonne de coordonnées, $$f(X) = M X.$$ Réciproquement, pour toute matrice \(M \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})\), l'application \(X \mapsto MX\) est une application linéaire de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^m\), et sa matrice est \(M\). Ainsi les applications linéaires de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^m\) sont exactement les applications \(X \mapsto MX\), \(M \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})\).
Écrivons \(X = \sum_{j=1}^n x_j e_j\). D'après les premières propriétés, \(f(X) = \sum_{j=1}^n x_j f(e_j)\), ce qui est exactement la combinaison linéaire des colonnes de \(M\) avec les coefficients \(x_j\) — c'est-à-dire le produit matriciel \(MX\). Réciproquement, les règles du calcul matriciel donnent \(M(\lambda X + \mu Y) = \lambda MX + \mu MY\), donc \(X \mapsto MX\) est linéaire ; sa \(j\)-ième colonne est \(M e_j\), la \(j\)-ième colonne de \(M\), donc sa matrice est \(M\).
Exemple
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\), \(f(x, y) = (2x + y, -3x, x - y)\). Écrire la matrice de \(f\).
Les colonnes sont les images de \(e_1 = (1, 0)\) et \(e_2 = (0, 1)\) : $$f(e_1) = (2, -3, 1), \qquad f(e_2) = (1, 0, -1).$$ D'où $$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\
-3 & 0 \\
1 & -1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R}).$$ On vérifie \(f(x, y) = M \begin{psmallmatrix} x \\ y \end{psmallmatrix} = \begin{psmallmatrix} 2x + y \\ -3x \\ x - y \end{psmallmatrix}\).
Exemple
Réciproquement, la matrice \(M = \begin{psmallmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{psmallmatrix} \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})\) définit l'application linéaire \(f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) donnée par $$f(x, y, z) = M \begin{psmallmatrix} x \\
y \\
z \end{psmallmatrix} = (x + 2z,\ y - z).$$ Méthode — Passer d'une application à sa matrice
De \(f\) à \(M\) : on calcule les images \(f(e_1), \dots, f(e_n)\) de la base canonique et on les place en colonnes de \(M\) (la taille est \(m \times n\)). De \(M\) à \(f\) : on lit \(f(X) = MX\) en effectuant le produit matriciel sur une colonne générique \(X = (x_1, \dots, x_n)\). Compétences à pratiquer
- Vérifier la linéarité
- Écrire la matrice d'une application linéaire
I.2
Noyau et image
Toute application linéaire porte avec elle deux sous-espaces naturels : son noyau, l'ensemble des vecteurs qu'elle envoie sur zéro, et son image, l'ensemble des valeurs effectivement atteintes. Injectivité et surjectivité se lisent sur ces deux sous-espaces en une ligne. Au travers de la matrice \(M\) de \(f\), le noyau est l'ensemble des solutions du système homogène \(MX = 0\), et l'image est l'espace engendré par les colonnes de \(M\).
Définition — Noyau et image
Soit \(f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) linéaire, de matrice \(M\). - Le noyau de \(f\) est \(\ker f = \{ X \in \mathbb{R}^n \mid f(X) = 0_{\mathbb{R}^m} \} = \{ X \in \mathbb{R}^n \mid MX = 0 \}\).
- L'image de \(f\) est \(\operatorname{Im} f = \{ f(X) \mid X \in \mathbb{R}^n \} \subset \mathbb{R}^m\).
Proposition — Le noyau et l'image sont des sous-espaces
Pour toute application linéaire \(f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\), \(\ker f\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\) et \(\operatorname{Im} f\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^m\). En particulier le noyau d'une matrice \(M\) — l'ensemble des solutions de \(MX = 0\) — est un sous-espace vectoriel. - \(\ker f\) : comme \(f(0_{\mathbb{R}^n}) = 0_{\mathbb{R}^m}\), \(0_{\mathbb{R}^n} \in \ker f\). Pour \(u, v \in \ker f\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\), \(f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v) = \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 0 = 0_{\mathbb{R}^m}\), donc \(\lambda u + \mu v \in \ker f\).
- \(\operatorname{Im} f\) : \(0_{\mathbb{R}^m} = f(0_{\mathbb{R}^n}) \in \operatorname{Im} f\). Pour \(u', v' \in \operatorname{Im} f\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\), on écrit \(u' = f(u)\), \(v' = f(v)\) ; alors \(\lambda u' + \mu v' = \lambda f(u) + \mu f(v) = f(\lambda u + \mu v) \in \operatorname{Im} f\).
Proposition — L'image est l'espace engendré par les colonnes
Soit \(f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) linéaire, de matrice \(M\) et de base canonique \((e_1, \dots, e_n)\). Alors $$\operatorname{Im} f = \mathrm{Vect}\big( f(e_1), \dots, f(e_n) \big),$$ c'est-à-dire que \(\operatorname{Im} f\) est le sous-espace de \(\mathbb{R}^m\) engendré par les colonnes de \(M\).
Soit \(w \in \operatorname{Im} f\) : il existe \(X = (x_1, \dots, x_n)\) tel que \(w = f(X)\). D'après les premières propriétés, \(w = f\big(\sum_j x_j e_j\big) = \sum_j x_j f(e_j)\), une combinaison linéaire des colonnes. Réciproquement chaque \(f(e_j)\) est dans \(\operatorname{Im} f\), et \(\operatorname{Im} f\) est un sous-espace, donc toute combinaison linéaire des \(f(e_j)\) appartient à \(\operatorname{Im} f\).
Exemple
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \(f(x, y) = (x + y,\ 2x + 2y)\). Déterminer \(\ker f\) et \(\operatorname{Im} f\).
Pour le noyau, \(f(x, y) = (0, 0)\) donne le système \(x + y = 0\) et \(2x + 2y = 0\), qui se réduisent tous deux à \(y = -x\). Donc $$\ker f = \{ (x, -x) \mid x \in \mathbb{R} \} = \mathrm{Vect}\big( (1, -1) \big),$$ une droite de \(\mathbb{R}^2\). Pour l'image, \(f(x, y) = (x + y)(1, 2)\), donc toute image est un multiple de \((1, 2)\), et tout multiple de \((1, 2)\) est atteint (prendre \(x = t\), \(y = 0\)). Donc $$\operatorname{Im} f = \mathrm{Vect}\big( (1, 2) \big),$$ également une droite de \(\mathbb{R}^2\).
Proposition — Injectivité et surjectivité
Soit \(f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) linéaire. - \(f\) est injective si et seulement si \(\ker f = \{ 0_{\mathbb{R}^n} \}\) ;
- \(f\) est surjective si et seulement si \(\operatorname{Im} f = \mathbb{R}^m\).
L'équivalence de surjectivité est la définition de la surjectivité. Pour l'injectivité :
- (\(\Rightarrow\)) Si \(f\) est injective et \(v \in \ker f\), alors \(f(v) = 0 = f(0_{\mathbb{R}^n})\), donc \(v = 0_{\mathbb{R}^n}\) ; ainsi \(\ker f = \{ 0_{\mathbb{R}^n} \}\).
- (\(\Leftarrow\)) Si \(\ker f = \{ 0_{\mathbb{R}^n} \}\) et \(f(u) = f(v)\), alors \(f(u - v) = f(u) - f(v) = 0\) par linéarité, donc \(u - v \in \ker f = \{ 0 \}\), c'est-à-dire \(u = v\). Donc \(f\) est injective.
Méthode — Déterminer le noyau et l'image
Pour trouver \(\ker f\), on résout le système homogène \(MX = 0\) sur les coordonnées de \(X\) ; l'ensemble des solutions se décrit comme un \(\mathrm{Vect}\) de vecteurs explicites. Pour trouver \(\operatorname{Im} f\), on prend les colonnes \(f(e_1), \dots, f(e_n)\) de \(M\) et on applique Gauss pour en extraire une base (chapitre Sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\)) : \(\operatorname{Im} f\) est leur espace engendré. On lit ensuite l'injectivité (\(\ker f = \{0\}\)) et la surjectivité (\(\operatorname{Im} f = \mathbb{R}^m\)). Compétences à pratiquer
- Calculer le noyau
- Calculer l'image et lire l'injectivité et la surjectivité
I.3
Composition et produit matriciel
La composée de deux applications linéaires est encore linéaire. Du côté matriciel, la composée correspond exactement au produit des deux matrices — ce qui explique la façon dont le produit matriciel a été défini.
Proposition — La composée est linéaire ; sa matrice est le produit
Soit \(f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p\) et \(g \colon \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^m\) linéaires, de matrices \(A \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})\) et \(B \in \mathcal{M}_{m,p}(\mathbb{R})\). Alors la composée \(g \circ f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) est linéaire, et sa matrice est le produit \(BA\) : $$\mathrm{Mat}(g \circ f) = B A.$$
Pour \(X \in \mathbb{R}^n\), \((g \circ f)(X) = g(f(X)) = g(AX) = B(AX) = (BA) X\) par associativité du produit matriciel. Donc \(g \circ f\) est l'application \(X \mapsto (BA)X\), qui est linéaire de matrice \(BA\).
Exemple
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \(f(x, y) = (x + y, y)\), et \(g \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \(g(x, y) = (2x, x - y)\). Déterminer la matrice de \(g \circ f\) et sa formule explicite.
Les matrices dans la base canonique sont $$A = \mathrm{Mat}(f) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\
0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \mathrm{Mat}(g) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\
1 & -1 \end{pmatrix}.$$ D'où $$\mathrm{Mat}(g \circ f) = B A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\
1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\
0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\
1 & 0 \end{pmatrix},$$ donc \((g \circ f)(x, y) = (2x + 2y,\ x)\). (On vérifie directement : \(g(f(x,y)) = g(x+y, y) = (2(x+y),\ (x+y) - y) = (2x + 2y,\ x)\).)
Méthode — Composer deux applications linéaires
Pour composer \(g \circ f\), on écrit les matrices \(A\) de \(f\) et \(B\) de \(g\) dans les bases canoniques (attention aux tailles : \(A\) est \(p \times n\), \(B\) est \(m \times p\)), puis on calcule le produit \(BA\) — dans cet ordre, la matrice de \(g\) à gauche. La formule de \(g \circ f\) se lit sur \(X \mapsto (BA) X\). Compétences à pratiquer
- Composer des applications linéaires par le produit matriciel
II
Rang et théorème du rang
II.1
Rang d'une matrice
L'image d'une application linéaire est l'espace engendré par les colonnes de sa matrice ; sa dimension mesure « la place » que l'application atteint dans l'espace d'arrivée. Cette dimension est le rang, défini indifféremment sur l'application ou sur sa matrice.
Définition — Rang d'une application linéaire et d'une matrice
Soit \(f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) linéaire de matrice \(M\). Le rang de \(f\) est $$\mathrm{rg}(f) = \dim \operatorname{Im} f.$$ Comme \(\operatorname{Im} f\) est l'espace engendré par les colonnes de \(M\), il est égal au rang de la matrice \(M\) — le rang de sa famille de vecteurs colonnes : $$\mathrm{rg}(M) = \mathrm{rg}\big( \text{colonnes de } M \big) = \mathrm{rg}(f).$$ Proposition — Inégalités sur le rang
Soit \(f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) linéaire de matrice \(M \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})\). Alors $$\mathrm{rg}(f) \le n \quad \text{et} \quad \mathrm{rg}(f) \le m.$$
L'image est engendrée par les \(n\) colonnes \(f(e_1), \dots, f(e_n)\), donc sa dimension est au plus \(n\). De plus \(\operatorname{Im} f\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}^m\), dont la dimension est \(m\), donc \(\dim \operatorname{Im} f \le m\).
Exemple
Soit \(f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\), \(f(x, y, z) = (x + y,\ x + z)\). Déterminer \(\operatorname{Im} f\) et le rang de \(f\).
L'image est engendrée par les colonnes \(f(e_1) = (1, 1)\), \(f(e_2) = (1, 0)\), \(f(e_3) = (0, 1)\). Le couple \(((1, 0), (0, 1))\) engendre déjà \(\mathbb{R}^2\), et \((1, 1) = (1, 0) + (0, 1)\) n'ajoute rien. Donc $$\operatorname{Im} f = \mathbb{R}^2, \qquad \mathrm{rg}(f) = 2.$$ En particulier \(f\) est surjective.
Proposition — Rang de la transposée
On admet le résultat suivant. Pour toute matrice \(A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})\), $$\mathrm{rg}(A) = \mathrm{rg}({}^t\!A).$$ Autrement dit : le rang calculé sur les colonnes égale le rang calculé sur les lignes — on peut donc appliquer Gauss à celui des deux qui est le plus commode. Méthode — Calculer le rang d'une matrice
On échelonne \(M\) par Gauss sur les lignes et on compte les lignes de pivot non nul : ce nombre est le rang. C'est légitime car les opérations élémentaires sur les lignes préservent le rang, et \(\mathrm{rg}(M) = \mathrm{rg}({}^t\!M)\) assure que le rang lu sur les lignes égale celui des colonnes. De façon équivalente, on travaille sur la famille des colonnes \(f(e_1), \dots, f(e_n)\) et on en extrait une sous-famille libre maximale — son cardinal est le rang, et c'est une base de \(\operatorname{Im} f\). Compétences à pratiquer
- Calculer le rang d'une matrice
II.2
Théorème du rang
Le théorème central du chapitre, que l'on admet : les dimensions du noyau et de l'image se complètent pour donner la dimension \(n\) de l'espace de départ. C'est une loi de conservation de \(n\) — lorsque \(f\) « perd » \(\dim \ker f\) dimensions dans le noyau, l'image garde exactement les dimensions restantes.
Théorème — Théorème du rang
Soit \(f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) linéaire. Alors $$\dim \ker f + \mathrm{rg}(f) = n.$$ Théorème — Endomorphismes de \(\mathbb{R}^n\) : bijective, injective et surjective coïncident
Soit \(f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) linéaire (départ et arrivée tous deux \(\mathbb{R}^n\)). Les propriétés suivantes sont équivalentes : - \(f\) est bijective ;
- \(f\) est injective ;
- \(f\) est surjective ;
- \(\mathrm{rg}(f) = n\).
Ici l'espace d'arrivée \(\mathbb{R}^n\) est de dimension \(n\), donc \(f\) est surjective \(\iff \operatorname{Im} f = \mathbb{R}^n \iff \mathrm{rg}(f) = n\). Par le théorème du rang, \(\mathrm{rg}(f) = n \iff \dim \ker f = 0 \iff \ker f = \{0\} \iff f\) est injective. Ainsi injective, surjective et \(\mathrm{rg}(f) = n\) sont toutes équivalentes ; et une application à la fois injective et surjective est bijective.
Exemple
Soit \(f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) linéaire avec \(\ker f = \mathrm{Vect}\big((1, 0, -1)\big)\). Déterminer \(\mathrm{rg}(f)\) et dire si \(f\) est surjective.
Le noyau est une droite, donc \(\dim \ker f = 1\). Le théorème du rang avec \(n = 3\) donne $$\mathrm{rg}(f) = n - \dim \ker f = 3 - 1 = 2.$$ Ainsi \(\dim \operatorname{Im} f = 2 < 3\), donc \(\operatorname{Im} f \ne \mathbb{R}^3\) et \(f\) n'est pas surjective. (Comme \(\ker f \ne \{0\}\), \(f\) n'est pas injective non plus — en accord avec l'équivalence ci-dessus pour un endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\).)
Méthode — Appliquer le théorème du rang
La relation \(\dim \ker f + \mathrm{rg}(f) = n\) permet de calculer l'une des deux dimensions à partir de l'autre. Usages typiques : calculer \(\ker f\) (résoudre \(MX = 0\)) pour obtenir \(\mathrm{rg}(f) = n - \dim \ker f\) ; ou calculer le rang (Gauss sur les colonnes) pour obtenir \(\dim \ker f\). Pour un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\), vérifier l'une quelconque des propriétés « injective / surjective / \(\mathrm{rg} = n\) » règle la bijectivité — souvent la moins coûteuse est \(\ker f = \{0\}\).
Going further
Pour aller plus loin. La matrice \(M\) est le c\oe ur calculatoire de toute question de ce chapitre : noyau, image, rang, composition et bijectivité se ramènent tous à un calcul sur \(M\). En deuxième année, cette même matrice devient l'objet de la réduction : on cherche une base dans laquelle la matrice d'un endomorphisme est la plus simple possible (diagonale, quand c'est possible), via ses valeurs propres et ses vecteurs propres. Le noyau et le rang étudiés ici sont les premiers invariants de cette analyse plus fine.
Compétences à pratiquer
- Appliquer le théorème du rang
- Pour aller plus loin
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