Éducation Nationale Française · ECGappliquées

Probabilités sur un univers quelconque

⌚ ~59 min ▢ 7 blocs ✓ 41 exercices ➣ Prérequis : Probabilités sur un ensemble fini, Séries numériques

Ce chapitre étend la boîte à outils du chapitre Probabilités sur un ensemble fini à un univers général $\Omega$, infini en pratique (par exemple une suite infinie de lancers de pièce, ou le rang d'apparition d'un premier succès dans une expérience répétée). Deux ajustements rendent possible le passage au cas infini. D'abord, on admet les unions dénombrables d'événements dans la famille des événements. Ensuite, la formule d'additivité sur les événements disjoints s'étend d'une famille finie à une suite d'événements deux à deux incompatibles ; la série de leurs probabilités converge alors automatiquement (sa convergence n'est jamais une hypothèse supplémentaire à vérifier). De ces deux ajustements découlent les deux résultats nommés du chapitre : la formule des probabilités totales pour un système complet dénombrable (son membre de droite est désormais une série convergente) et l'indépendance mutuelle d'une suite infinie d'événements. Conventions : $\Omega$ désigne l'univers, éventuellement infini ; $\mathcal{A}$ désigne la famille des événements admissibles (une sous-famille distinguée de $\mathcal{P}(\Omega)$ décrite par trois règles de stabilité — à ce niveau on ne soulève aucune difficulté théorique sur $\mathcal{A}$) ; $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ est l'espace probabilisé ; tout ce qui, dans le chapitre Probabilités sur un ensemble fini, n'utilisait pas la finitude de $\Omega$ reste valable, et l'on rappelle les résultats de ce chapitre sans les redémontrer. Le vocabulaire de la convergence des séries (séries à termes positifs à sommes partielles majorées, série géométrique) est repris du chapitre Séries numériques.

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I L'ensemble des événements et l'espace probabilisable

I.1 Ensemble des événements et espace probabilisable

Lorsque $\Omega$ est fini, on a déclaré que toute partie de $\Omega$ est un événement — la famille des événements était $\mathcal{P}(\Omega)$. Quand $\Omega$ est infini (par exemple l'ensemble $\Omega = \{H, T\}^{\mathbb{N}^*}$ de toutes les suites infinies de lancers de pièce), il est commode de ne retenir qu'une sous-famille distinguée $\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega)$, assez grande pour contenir tous les événements que l'on souhaite mesurer et stable par les opérations que l'on utilise — passage au complémentaire et union dénombrable. Le couple $(\Omega, \mathcal{A})$ est alors appelé un espace probabilisable. À ce niveau on ne soulève aucune difficulté théorique sur $\mathcal{A}$ : on le décrit par trois règles de stabilité et l'on n'en construit jamais explicitement dans le cas infini.

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Définition — Ensemble des événements, espace probabilisable

Soit $\Omega$ un ensemble non vide. Un ensemble des événements sur $\Omega$ est une famille $\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega)$ de parties de $\Omega$, appelées événements, telle que :

$\Omega \in \mathcal{A}$ ;
stabilité par passage au complémentaire : si $A \in \mathcal{A}$, alors $\overline{A} \in \mathcal{A}$ ;
stabilité par union dénombrable : si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite d'événements de $\mathcal{A}$, alors $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{A}$.

Le couple $(\Omega, \mathcal{A})$ est alors appelé espace probabilisable. Les trois conditions couvrent aussi les unions finies (poser $A_n = \emptyset$ à partir d'un certain rang) et, comme le montre la proposition suivante, les intersections dénombrables et finies.

Exemple

Quand $\Omega$ est fini ou dénombrable (par exemple $\Omega = \{1, \dots, 6\}$ pour un dé, $\Omega = \mathbb{N}$ pour un temps d'attente), le choix canonique est $\mathcal{A} = \mathcal{P}(\Omega)$. Les trois règles de stabilité sont alors trivialement vérifiées puisque toute partie est admise. On retrouve le cadre du chapitre Probabilités sur un ensemble fini.

Exemple

Sur l'univers infini des lancers de pièce $\Omega = \{H, T\}^{\mathbb{N}^*}$, un ensemble des événements $\mathcal{A}$ adapté à l'expérience existe : il contient tout événement de la forme « le lancer au rang $n$ donne $H$ » pour $n \in \mathbb{N}^*$, toute union, intersection ou complémentaire fini ou dénombrable de tels événements, et ainsi de suite. On ne décrit jamais $\mathcal{A}$ explicitement — le programme énonce « aucune difficulté théorique ne sera soulevée » — mais on considère que tout événement construit par unions, intersections ou complémentaires dénombrables d'événements de base appartient à $\mathcal{A}$.

Proposition — La stabilité par intersection dénombrable se déduit de l'union dénombrable

Un ensemble des événements $\mathcal{A}$ est automatiquement stable par intersection dénombrable : si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite d'événements de $\mathcal{A}$, alors $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{A}$. Ce n'est pas une règle supplémentaire à vérifier ; elle découle de la stabilité par complémentaire et par union dénombrable via l'identité de De Morgan $$\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n = \overline{\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \overline{A_n}}.$$ En effet chaque $\overline{A_n} \in \mathcal{A}$ (complémentaire), donc $\bigcup_n \overline{A_n} \in \mathcal{A}$ (union dénombrable), et son complémentaire est de nouveau dans $\mathcal{A}$ (complémentaire). En pratique on utilise celle de « union » ou « intersection » qui se prête le mieux ; les intersections finies sont le cas particulier où $A_n = \Omega$ à partir d'un certain rang.

Méthode — Vérifier qu'une famille est un ensemble d'événements

Étant donnée une sous-famille $\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega)$, effectuer les trois vérifications dans l'ordre :

$\Omega \in \mathcal{A}$ (l'univers lui-même est un événement) ;
stabilité par complémentaire : prendre un $A \in \mathcal{A}$ générique et vérifier $\overline{A} \in \mathcal{A}$ ;
stabilité par union dénombrable : prendre une suite générique $(A_n) \subset \mathcal{A}$ et vérifier $\bigcup_n A_n \in \mathcal{A}$.

Par la proposition précédente, la stabilité par intersection dénombrable s'en déduit automatiquement ; on n'a pas à la vérifier séparément. Pour montrer qu'une famille n'est pas un ensemble d'événements, il suffit d'exhiber une règle mise en défaut sur un exemple explicite.

Compétences à pratiquer

Identifier un ensemble d'événements valide

I.2 Opérations dénombrables et systèmes complets

Les opérations finies du chapitre Probabilités sur un ensemble fini ($\cup$, $\cap$, complémentaire, distributivité, De Morgan, formule du crible sur des unions finies) restent valables sur un espace probabilisable ; on en rappelle les notations. Les nouveautés sont l'union et l'intersection dénombrables d'événements, par lesquelles l'ensemble des événements est stable par définition, et la notion de système complet étendue à une famille dénombrable.

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Proposition — Distributivité généralisée

Soit $(\Omega, \mathcal{A})$ un espace probabilisable, $(A_k)_{k \in I}$ une famille d'événements avec $I \subset \mathbb{N}$ (fini ou dénombrable), et $B$ un événement. Alors $$B \cap \bigcup_{k \in I} A_k = \bigcup_{k \in I} (B \cap A_k) \qquad \text{et} \qquad B \cup \bigcap_{k \in I} A_k = \bigcap_{k \in I} (B \cup A_k).$$

Preuve

On démontre la première identité par appartenance ; la seconde est symétrique. Pour $\omega \in \Omega$ : $$\begin{aligned} \omega \in B \cap \bigcup_{k \in I} A_k &\Longleftrightarrow \omega \in B \text{ et } \omega \in \bigcup_{k \in I} A_k && \text{(définition de } \cap \text{)} \\ &\Longleftrightarrow \omega \in B \text{ et } \exists k \in I,\ \omega \in A_k && \text{(définition de } \cup \text{)} \\ &\Longleftrightarrow \exists k \in I,\ \omega \in B \text{ et } \omega \in A_k && \text{(}\omega \in B \text{ ne dépend pas de } k\text{)} \\ &\Longleftrightarrow \exists k \in I,\ \omega \in B \cap A_k && \text{(définition de } \cap \text{)} \\ &\Longleftrightarrow \omega \in \bigcup_{k \in I} (B \cap A_k). && \text{(définition de } \cup \text{)} \end{aligned}$$

Proposition — Lois de De Morgan généralisées

Soit $(A_k)_{k \in I}$ une famille d'événements avec $I \subset \mathbb{N}$ (fini ou dénombrable). Alors $$\overline{\bigcup_{k \in I} A_k} = \bigcap_{k \in I} \overline{A_k} \qquad \text{et} \qquad \overline{\bigcap_{k \in I} A_k} = \bigcup_{k \in I} \overline{A_k}.$$

Preuve

La première identité est déjà apparue dans la démonstration de la proposition précédente (stabilité par intersection dénombrable). Pour la seconde, on applique la première à la famille $(\overline{A_k})_{k \in I}$ puis on prend le complémentaire des deux membres : $$\overline{\bigcup_k \overline{A_k}} = \bigcap_k \overline{\overline{A_k}} = \bigcap_k A_k,$$ donc $\overline{\bigcap_k A_k} = \overline{\overline{\bigcup_k \overline{A_k}}} = \bigcup_k \overline{A_k}$ (involution du complémentaire).

Définition — Système complet dénombrable d'événements

Soit $(\Omega, \mathcal{A})$ un espace probabilisable. Une suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ (ou une famille finie $(A_n)_{0 \leq n \leq N}$) d'événements de $\mathcal{A}$ est un système complet d'événements lorsque :

les événements sont deux à deux incompatibles : $\forall n \neq m,\ A_n \cap A_m = \emptyset$ ;
leur réunion vaut $\Omega$ : $\bigcup_n A_n = \Omega$.

C'est l'extension du cas fini du chapitre Probabilités sur un ensemble fini : la famille peut désormais être une suite dénombrable (typiquement indexée par $\mathbb{N}$ ou $\mathbb{N}^*$).

Exemple

Sur le lancer infini d'une pièce $\Omega = \{H, T\}^{\mathbb{N}^*}$, posons $A_i = $ « le premier pile apparaît au rang $i$ » pour $i \in \mathbb{N}^*$ et $A_0 = $ « pile n'apparaît jamais ». La famille $(A_i)_{i \in \mathbb{N}}$ est un système complet dénombrable : tout résultat $\omega \in \Omega$ a soit un premier pile à un certain rang $i \geq 1$ (un unique tel $i$), soit aucun pile, donc les événements sont deux à deux disjoints et leur réunion est $\Omega$.

Exemple

Sur $\Omega = \mathbb{N}$ avec $\mathcal{A} = \mathcal{P}(\mathbb{N})$, la famille des singletons $(\{n\})_{n \in \mathbb{N}}$ est un système complet dénombrable (les singletons sont deux à deux disjoints, leur réunion est $\mathbb{N}$). C'est le système complet atomique de $\mathbb{N}$, analogue naturel du système atomique du cas $\Omega$ fini.

Compétences à pratiquer

Manipuler des unions et intersections dénombrables

II Probabilité sur un espace probabilisable

II.1 Probabilité et additivité sur une suite

La seule nouveauté par rapport au chapitre Probabilités sur un ensemble fini est que l'additivité s'applique désormais à une suite d'événements deux à deux incompatibles, et non plus seulement à une famille finie : la somme de droite devient la somme d'une série. Toutes les autres propriétés de $P$ (le contraire, la monotonie, le crible pour les unions finies, la somme sur un système complet) restent inchangées. On explique ensuite pourquoi la série de droite converge toujours, de sorte que sa convergence n'est jamais une hypothèse supplémentaire à vérifier.

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Définition — Probabilité et espace probabilisé

Soit $(\Omega, \mathcal{A})$ un espace probabilisable. Une probabilité sur $(\Omega, \mathcal{A})$ est une application $$P : \mathcal{A} \longrightarrow [0, 1]$$ telle que :

$P(\Omega) = 1$ ;
additivité sur une suite : pour toute suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'événements de $\mathcal{A}$ deux à deux incompatibles, la série $\sum_n P(A_n)$ converge et $$P\Bigl(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n\Bigr) = \sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n).$$

Le triplet $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ est alors appelé espace probabilisé. En prenant $A_n = \emptyset$ à partir d'un certain rang, on retrouve la formule d'additivité finie du chapitre Probabilités sur un ensemble fini comme cas particulier.

Pourquoi la série de droite converge

La convergence de $\sum_n P(A_n)$ pour une suite deux à deux incompatible n'est pas une hypothèse supplémentaire à vérifier : elle est automatique. Considérons les sommes partielles $$S_N = \sum_{n=0}^{N} P(A_n) = P\Bigl(\bigcup_{n=0}^{N} A_n\Bigr) \leq P(\Omega) = 1,$$ où l'égalité utilise l'additivité finie (les $A_0, \dots, A_N$ sont deux à deux incompatibles) et l'inégalité utilise l'inclusion $\bigcup_{n=0}^{N} A_n \subset \Omega$ et la monotonie de $P$. Ainsi $(S_N)$ est une suite croissante de réels positifs majorée par $1$. Une série à termes positifs dont les sommes partielles sont majorées converge (rappel du chapitre Séries numériques), donc $\sum_n P(A_n)$ converge vers une valeur de $[0, 1]$.

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Exemple

Sur $\Omega = \mathbb{N}$ avec $\mathcal{A} = \mathcal{P}(\mathbb{N})$, définissons $P$ par ses valeurs sur les singletons : $P(\{n\}) = 1/2^{n+1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, et prolongeons à un événement quelconque $E \subset \mathbb{N}$ par $P(E) = \sum_{n \in E} 1/2^{n+1}$. Alors $P$ est une probabilité sur $(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}))$. En effet : $$\begin{aligned} P(\mathbb{N}) &= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{n+1}} && \text{(définition, avec } E = \mathbb{N} \text{)} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - 1/2} && \text{(série géométrique, rappel du chapitre \textit{Séries numériques})} \\ &= 1. \end{aligned}$$ Pour tout $E \subset \mathbb{N}$, la série $\sum_{n \in E} 1/2^{n+1}$ a des termes positifs majorés par la série convergente $\sum 1/2^{n+1} = 1$, donc converge et $P(E) \in [0, 1]$. Enfin, l'additivité sur une suite est vérifiée ici : pour une suite $(E_i)$ deux à deux incompatible dans $\mathcal{P}(\mathbb{N})$, la somme $\sum_{n \in \bigcup_i E_i} 1/2^{n+1}$ peut être réorganisée par paquets indexés par $i$, ce qui donne $$P\Bigl(\bigcup_i E_i\Bigr) = \sum_{n \in \bigcup_i E_i} \frac{1}{2^{n+1}} = \sum_{i} \sum_{n \in E_i} \frac{1}{2^{n+1}} = \sum_i P(E_i).$$ (L'identité de regroupement est une propriété des séries à termes positifs convergentes que le programme admet à ce niveau sans justification supplémentaire.)

Exemple

Sur le même espace probabilisé $(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), P)$ avec $P(\{n\}) = 1/2^{n+1}$, calculer la probabilité de l'événement $A = $ « $n$ est pair ».

Correction

$A = \{0, 2, 4, \dots\} = \{2k \mid k \in \mathbb{N}\}$, donc $$\begin{aligned} P(A) &= \sum_{k=0}^{+\infty} P(\{2k\}) && \text{(}A \text{ est l'union disjointe de ses singletons, additivité sur la suite)} \\ &= \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{2k+1}} && \text{(définition de } P \text{)} \\ &= \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{4^k} && \text{(factoriser } 1/2 \text{, } 1/2^{2k+1} = (1/2) \cdot (1/4)^k \text{)} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - 1/4} && \text{(série géométrique de raison } 1/4 \text{)} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}. \end{aligned}$$

Proposition — Propriétés de $P$ reprises du cas fini

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et $A, B \in \mathcal{A}$.

Événement impossible : $P(\emptyset) = 0$.
Contraire : $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
Monotonie et différence : si $A \subset B$, alors $P(A) \leq P(B)$ et $P(B \setminus A) = P(B) - P(A)$.
Formule du crible (unions finies seulement) : pour tous événements $A, B, C$, $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B);$$ $$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C).$$
Somme sur un système complet : si $(A_n)$ est un système complet d'événements (fini ou dénombrable), alors $\sum_n P(A_n) = 1$.

Les quatre premières propriétés sont reprises du chapitre Probabilités sur un ensemble fini : leurs démonstrations n'utilisent que l'additivité finie, contenue dans l'additivité sur une suite. La dernière est la seule nouveauté, et elle est immédiate : un système complet $(A_n)$ est deux à deux incompatible d'union $\Omega$, donc l'additivité sur la suite donne $\sum_n P(A_n) = P(\bigcup_n A_n) = P(\Omega) = 1$.

Compétences à pratiquer

Vérifier la convergence et calculer P

III Conditionnement

III.1 Probabilité conditionnelle

La définition du chapitre fini de la probabilité conditionnelle $P_C(B) = P(C \cap B) / P(C)$, valable lorsque $P(C) \neq 0$, s'étend verbatim au cas général. La nouveauté est que le triplet $(\Omega, \mathcal{A}, P_C)$ est lui-même un espace probabilisé — ce qui signifie que tout résultat de ce chapitre s'applique aussi à $P_C$. Dans cette section on réserve le $\mathcal{A}$ cursif à la famille des événements et l'on utilise la lettre romaine $C$ pour l'événement conditionnant, afin d'éviter toute confusion.

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Définition — Probabilité conditionnelle $P_C$

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et $C \in \mathcal{A}$ avec $P(C) \neq 0$. La probabilité conditionnelle sachant $C$ est l'application $$P_C : \mathcal{A} \longrightarrow [0, 1], \qquad P_C(B) = \frac{P(C \cap B)}{P(C)}.$$ La notation $P_C(B)$ se lit « la probabilité de $B$ sachant $C$ » ; certains auteurs écrivent $P(B \mid C)$, ce qui est synonyme. La formule est l'extension verbatim du cas fini.

Proposition — La probabilité conditionnelle définit un espace probabilisé

Soit $C \in \mathcal{A}$ avec $P(C) \neq 0$. L'application $P_C$ définie ci-dessus est une probabilité sur $(\Omega, \mathcal{A})$. En particulier, toute propriété d'une probabilité quelconque (le contraire, la monotonie, la somme sur un système complet, la formule des probabilités totales ci-dessous) s'applique aussi à $P_C$.

Preuve

Trois vérifications.

Valeurs dans $[0, 1]$. Pour tout $B \in \mathcal{A}$, $C \cap B \subset C$, donc $0 \leq P(C \cap B) \leq P(C)$ par monotonie, et en divisant par $P(C) > 0$ on obtient $0 \leq P_C(B) \leq 1$.
Masse totale $1$. $P_C(\Omega) = P(C \cap \Omega)/P(C) = P(C)/P(C) = 1$.
Additivité sur une suite. Pour une suite deux à deux incompatible $(B_n)$, les événements $(C \cap B_n)$ sont aussi deux à deux incompatibles (leur intersection est $C \cap B_n \cap B_m = C \cap \emptyset = \emptyset$), donc par additivité de $P$ sur la suite $(C \cap B_n)$, $$\begin{aligned} P_C\Bigl(\bigcup_{n} B_n\Bigr) &= \frac{P\bigl(C \cap \bigcup_n B_n\bigr)}{P(C)} && \text{(définition de } P_C \text{)} \\ &= \frac{P\bigl(\bigcup_n (C \cap B_n)\bigr)}{P(C)} && \text{(distributivité généralisée)} \\ &= \frac{\sum_n P(C \cap B_n)}{P(C)} && \text{(additivité de } P \text{ sur la suite)} \\ &= \sum_n \frac{P(C \cap B_n)}{P(C)} && \text{(diviser chaque terme)} \\ &= \sum_n P_C(B_n). && \text{(définition de } P_C \text{)} \end{aligned}$$

Méthode — Utiliser $P_C$ dans une expérience à plusieurs étapes

La formule des probabilités composées du chapitre Probabilités sur un ensemble fini s'étend telle quelle aux intersections finies dans le cas général : pour $A_1, \dots, A_n \in \mathcal{A}$ avec $P(A_1 \cap \dots \cap A_{n-1}) \neq 0$, $$P(A_1 \cap \dots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P_{A_1}(A_2) \cdot P_{A_1 \cap A_2}(A_3) \cdots P_{A_1 \cap \dots \cap A_{n-1}}(A_n).$$ C'est l'outil adapté à une expérience à plusieurs étapes décrite étape par étape (tirages sans remise, suite d'épreuves conditionnées) : lire chaque probabilité conditionnelle sur l'expérience, puis multiplier.

Compétences à pratiquer

Calculer des probabilités conditionnelles dans le cas général

III.2 Formule des probabilités totales

Résultat phare du chapitre. La formule des probabilités totales du chapitre Probabilités sur un ensemble fini (qui somme un système complet fini) s'étend à un système complet dénombrable : le membre de droite devient une série convergente. C'est l'énoncé nommé du programme pour ce chapitre et l'outil principal des problèmes faisant intervenir un premier succès infini (temps d'attente géométriques, répétitions d'épreuves jusqu'à succès).

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Proposition — Formule des probabilités totales — système complet infini

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et $(A_n)_{n \in I}$ un système complet d'événements avec $I \subset \mathbb{N}$ (fini ou dénombrable). Pour tout événement $B \in \mathcal{A}$ : $$\textcolor{blue}{première forme :} \quad P(B) = \sum_{n \in I} P(B \cap A_n);$$ et, sous réserve que $P(A_n) \neq 0$ pour tout $n \in I$, $$\textcolor{blue}{forme conditionnelle :} \quad P(B) = \sum_{n \in I} P(A_n) \cdot P_{A_n}(B).$$ Quand $I$ est fini, on retrouve la formule des probabilités totales finies. Quand $I$ est dénombrable, les deux membres de droite sont des séries convergentes (à termes positifs, majorées par $P(B) \leq 1$).

Preuve

Première forme. Puisque $(A_n)_{n \in I}$ est un système complet, les $A_n$ sont deux à deux incompatibles et $\bigcup_n A_n = \Omega$. Donc $$\begin{aligned} B &= B \cap \Omega && \text{(}B \subset \Omega\text{)} \\ &= B \cap \bigcup_{n \in I} A_n && \text{(système complet)} \\ &= \bigcup_{n \in I} (B \cap A_n) && \text{(distributivité généralisée)}, \end{aligned}$$ et les événements $(B \cap A_n)$ sont deux à deux incompatibles (leur intersection $B \cap A_n \cap A_m \subset A_n \cap A_m = \emptyset$ pour $n \neq m$). Appliquer l'additivité de $P$ sur la suite $(B \cap A_n)_{n \in I}$ : $$P(B) = P\Bigl(\bigcup_{n \in I} (B \cap A_n)\Bigr) = \sum_{n \in I} P(B \cap A_n).$$
Forme conditionnelle. Pour chaque $n \in I$, $P(A_n) \neq 0$ par hypothèse, donc la définition de $P_{A_n}$ donne $P(B \cap A_n) = P(A_n) \cdot P_{A_n}(B)$. En substituant dans la première forme, $$P(B) = \sum_{n \in I} P(B \cap A_n) = \sum_{n \in I} P(A_n) \cdot P_{A_n}(B).$$

Remarque sur les événements de probabilité nulle. Si un système complet écrit contient des $A_n$ avec $P(A_n) = 0$, on retire ces indices : par monotonie $P(B \cap A_n) \leq P(A_n) = 0$, donc ils contribuent à $0$ dans la première forme (qui reste donc valable : la somme sur les indices retenus égale $P(B)$), et ne sont pas définis dans la seconde forme (car $P_{A_n}$ exige $P(A_n) \neq 0$). On applique alors la forme conditionnelle avec la sommation restreinte aux indices retenus.

Méthode — Appliquer les probabilités totales avec un système complet infini

Cinq étapes :

identifier le système complet $(A_n)_{n \in I}$ qui découpe $\Omega$ — typiquement : le rang du premier succès, la valeur d'une observation discrète, la cause d'un événement ;
vérifier que $P(A_n) \neq 0$ pour tout $n$ retenu, et que la famille est bien deux à deux disjointe d'union $\Omega$ ;
calculer les probabilités a priori $P(A_n)$ (souvent un schéma géométrique ou binomial) ;
calculer les conditionnelles $P_{A_n}(B)$ (souvent constantes en $n$, ou une fonction simple de $n$) ;
sommer la série $\sum_n P(A_n) P_{A_n}(B)$, en identifiant celle-ci avec une série de référence (géométrique, exponentielle, dérivée de la géométrique — rappel du chapitre Séries numériques).

Exemple

On lance une pièce équilibrée indéfiniment et de façon indépendante. Soit $A_n = $ « le premier pile apparaît au rang $n$ » pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $A_0 = $ « pile n'apparaît jamais ». La famille $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est un système complet dénombrable ; d'après la sous-section précédente, $P(A_0) = 0$, donc par la remarque sur les indices de probabilité nulle de la démonstration ci-dessus, la forme conditionnelle des probabilités totales se somme uniquement sur $n \geq 1$. On a $P(A_n) = (1/2)^{n-1} \cdot (1/2) = 1/2^n$ pour $n \geq 1$ (face aux rangs $1, \dots, n - 1$ puis pile au rang $n$, par indépendance — voir section 4 ci-dessous pour la définition formelle de l'indépendance mutuelle sur le lancer infini ; on l'utilise ici informellement). Soit $B = $ « le deuxième pile apparaît exactement au rang $2n + 1$ » pour un $n \geq 1$ fixé. Calculer $P(B)$.

Correction

On applique les probabilités totales le long du système complet $(A_k)_{k \geq 1}$, où $A_k = $ « le PREMIER pile est au rang $k$ ». Sachant $A_k$, le deuxième pile apparaît au rang $2n + 1$ ssi le pile suivant après le rang $k$ tombe exactement au rang $2n + 1$, c'est-à-dire face aux rangs $k+1, k+2, \dots, 2n$ et pile au rang $2n + 1$. Cela n'est possible que pour $1 \leq k \leq 2n$ (sinon le premier pile est déjà au rang $2n + 1$ ou plus, ce qui contredit « deuxième pile au rang $2n + 1$ »). Pour un tel $k$, par indépendance, $$P_{A_k}(B) = \frac{1}{2^{(2n - k) + 1}} = \frac{1}{2^{2n - k + 1}}.$$ Pour $k \geq 2n + 1$, $P_{A_k}(B) = 0$. Donc $$\begin{aligned} P(B) &= \sum_{k=1}^{+\infty} P(A_k) P_{A_k}(B) && \text{(probabilités totales, système infini)} \\ &= \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{2^k} \cdot \frac{1}{2^{2n - k + 1}} && \text{(contribution nulle pour } k \geq 2n+1\text{)} \\ &= \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{2^{2n + 1}} && \text{(simplifier les exposants)} \\ &= \frac{2n}{2^{2n + 1}} && \text{(} 2n \text{ termes identiques)} \\ &= \frac{n}{2^{2n}}. \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Appliquer la formule des probabilités totales avec un système complet infini

IV Indépendance mutuelle d'une suite infinie

IV.1 Indépendance mutuelle — extension dénombrable

L'indépendance de deux événements, l'indépendance deux à deux et l'indépendance mutuelle d'un nombre fini d'événements sont rappelées du chapitre Probabilités sur un ensemble fini telles quelles. La nouveauté : la définition pour une suite infinie. L'indépendance mutuelle de $(A_i)_{i \in I}$ avec $I$ infini se vérifie sur toute partie finie non vide $J \subset I$ — elle ne teste jamais de produit infini ni d'intersection infinie. Le modèle standard où cela apparaît est le lancer infini d'une pièce avec lancers indépendants.

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Définition — Indépendance mutuelle d'une famille d'événements

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et $(A_i)_{i \in I}$ une famille d'événements avec $I \subset \mathbb{N}$ (fini ou dénombrable). La famille est mutuellement indépendante lorsque pour toute partie FINIE non vide $J \subset I$, $$P\Bigl(\bigcap_{j \in J} A_j\Bigr) = \prod_{j \in J} P(A_j).$$ Quand $I$ est fini, c'est la définition finie du chapitre Probabilités sur un ensemble fini inchangée. Quand $I$ est dénombrable, la définition ne teste que des produits finis — elle ne fait jamais référence à un produit infini ni à une intersection infinie.

Exemple

Lancer infini d'une pièce $\Omega = \{H, T\}^{\mathbb{N}^*}$ avec la probabilité standard qui modélise des lancers indépendants et équilibrés. Soit $H_n = $ « pile au rang $n$ » pour $n \in \mathbb{N}^*$. La famille $(H_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est mutuellement indépendante : pour toute partie finie $J \subset \mathbb{N}^*$, l'événement $\bigcap_{j \in J} H_j$ enregistre « pile à chaque rang de $J$, n'importe quoi aux autres rangs » et le modèle standard lui attribue la probabilité $\prod_{j \in J} P(H_j) = (1/2)^{|J|}$, où $|J|$ est le cardinal de $J$. C'est l'exemple phare du programme d'une famille infinie mutuellement indépendante.

Proposition — Mutuelle entraîne deux à deux

Soit $(A_i)_{i \in I}$ une famille mutuellement indépendante d'événements. Alors elle est deux à deux indépendante : pour tous $i \neq j$ dans $I$, $P(A_i \cap A_j) = P(A_i) P(A_j)$. La réciproque est fausse (rappel du contre-exemple du chapitre Probabilités sur un ensemble fini).

Preuve

On applique la définition de l'indépendance mutuelle à la partie finie $J = \{i, j\}$ : $P(A_i \cap A_j) = P(A_i) P(A_j)$. La réciproque est fausse car trois événements deux à deux indépendants peuvent ne pas être mutuellement indépendants (contre-exemple : sur un couple uniforme de lancers de pièce, les événements « pile à la pièce $1$ », « pile à la pièce $2$ » et « les deux pièces donnent le même résultat » sont deux à deux indépendants mais pas mutuellement — le troisième est déterminé par les deux premiers).

Méthode — Quelle formule et quand

Cette synthèse finale liste les outils licites du chapitre pour calculer une probabilité, classés selon la forme de l'événement.

Contraire : $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ — le réflexe quand l'événement se lit « au moins un ... » (son contraire se lit « aucun ... »).
Intersection finie : si les événements sont mutuellement indépendants, $P(A_1 \cap \dots \cap A_n) = \prod_{k=1}^{n} P(A_k)$ ; sinon utiliser la formule des probabilités composées $P(A_1 \cap \dots \cap A_n) = P(A_1) P_{A_1}(A_2) \cdots P_{A_1 \cap \dots \cap A_{n-1}}(A_n)$.
Union de deux ou trois événements : la formule du crible de Poincaré.
Union dénombrable d'événements deux à deux incompatibles : l'additivité sur la suite, $P(\bigcup_n A_n) = \sum_n P(A_n)$ — typiquement le rang d'un premier succès, où l'on somme la série géométrique.
Probabilité d'un événement découpé par un système complet : la formule des probabilités totales $P(B) = \sum_n P(A_n) P_{A_n}(B)$.

Une identité d'indépendance deux à deux $P(A_i \cap A_j) = P(A_i) P(A_j)$ s'obtient gratuitement à partir de l'indépendance mutuelle (prendre $J = \{i, j\}$). La probabilité d'une intersection infinie ou d'une union infinie quelconque d'une suite d'événements n'est pas atteignable avec les outils de ce niveau ; dans un tel problème on se ramène toujours à l'un des cas finis ci-dessus (souvent via le contraire d'un événement « premier succès »).

Pour aller plus loin

Les chapitres suivants — Variables aléatoires discrètes et Lois discrètes usuelles — se construisent directement sur le cadre installé ici. La formule des probabilités totales sur un système complet dénombrable est l'outil principal pour calculer la loi d'une variable aléatoire discrète ; l'additivité sur une suite réapparaît dès qu'on somme les probabilités des valeurs prises par une variable ; l'indépendance mutuelle d'une suite infinie est le modèle standard derrière les épreuves répétées indépendantes. L'espace probabilisé général $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ reste en arrière-plan de tout argument probabiliste à partir de maintenant.

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Compétences à pratiquer

Manipuler l'indépendance mutuelle sur une suite infinie

V Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes de synthèse