Éducation Nationale Française · ECGappliquées

Intégration sur un segment

⌚ ~83 min ▢ 10 blocs ✓ 42 exercices ➣ Prérequis : Fonctions usuelles, Dérivation

Vue d'ensemble du chapitre

Jusqu'ici, l'intégrale $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ était l'aire sous une courbe, obtenue comme limite de sommes de rectangles et calculée à l'aide d'une primitive : $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = F(b) - F(a)$. Ce chapitre fait de cette boîte à outils une théorie sur laquelle on peut s'appuyer — pour toute fonction continue, et même pour les fonctions qui présentent un nombre fini de sauts.
Convention. Dans tout le chapitre, $K$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ; les énoncés qui font intervenir l'ordre ($\le$, positivité, croissance) portent sur des fonctions à valeurs réelles.

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Prérequis

Ce chapitre suppose connu le chapitre Intégrales qui le précède : les primitives des fonctions usuelles (puissances, exponentielle, logarithme, sinus et cosinus, $\frac{1}{1 + t^2}$) et la règle $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = F(b) - F(a)$ pour une fonction continue $f$ de primitive $F$. Cette règle sert dans les exercices dès la première section, pour calculer une intégrale ou une valeur moyenne, alors qu'elle n'est démontrée ici que dans la section Lien avec les primitives. C'est le seul endroit où le chapitre utilise, avant de le démontrer, un résultat repris d'un chapitre antérieur. Les techniques de cette section ne sont pas supposées connues et n'apparaissent qu'à partir de là.
Du chapitre sur la continuité : le théorème de Heine — une fonction continue sur un segment est uniformément continue.

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I L'intégrale d'une fonction continue

I.1 Aire et signe

Cette section fixe la définition de l'intégrale (l'aire algébrique) et les règles qu'utilise tout calcul : linéarité, positivité, relation de Chasles, inégalité triangulaire, valeur moyenne.

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De l'aire à l'aire algébrique

Pour une fonction continue $f \ge 0$ sur $[a, b]$, l'intégrale $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ mesure l'aire du domaine limité par le graphe de $f$, l'axe des abscisses et les droites verticales $x = a$ et $x = b$ ; c'est la limite des sommes de rectangles qui remplissent ce domaine. Quand $f$ change de signe, les domaines situés sous l'axe comptent négativement : l'intégrale est une aire algébrique. Sur la figure, $$\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \mathcal{A}_1 - \mathcal{A}_2 + \mathcal{A}_3.$$ En pratique, on calcule l'intégrale à l'aide d'une primitive $F$ de $f$, par $F(b) - F(a)$ ; cette règle est démontrée dans la section Lien avec les primitives (théorème fondamental du calcul intégral).

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Compétences à pratiquer

Lire le signe d'une intégrale ★

I.2 Définition et extension aux fonctions continues par morceaux

Ce que l'on admet

On admet la notion d'aire : toute fonction continue sur un segment a une aire algébrique, et cette aire obéit aux règles énoncées dans la sous-section Propriétés. Construire l'intégrale à partir de rien — des rectangles jusqu'à toute fonction continue par morceaux — et démontrer ces règles est l'objet du chapitre Intégration sur un segment : la construction.

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Définition — Intégrale d'une fonction continue

Soient $a < b$ et $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ continue. L'intégrale de $f$ sur $[a, b]$ est l'aire algébrique comprise entre le graphe de $f$ et l'axe des abscisses au-dessus de $[a, b]$ — l'aire de la partie située au-dessus de l'axe moins l'aire de la partie située en dessous. On la note $$\textcolor{colordef}{\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t} \qquad \text{ou} \qquad \textcolor{colordef}{\int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t}.$$ La lettre $t$ est muette : $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$. Sur un segment réduit à un point, l'aire est nulle : $\int_a^a f(t)\,\mathrm{d}t = 0$. Pour une fonction continue $f : [a, b] \to \mathbb{C}$, l'intégrale se définit par les parties réelle et imaginaire : $$\textcolor{colordef}{\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \int_a^b \operatorname{Re} f(t)\,\mathrm{d}t + i \int_a^b \operatorname{Im} f(t)\,\mathrm{d}t}.$$

Fonctions en escalier et fonctions continues par morceaux

Une subdivision de $[a, b]$ est une famille finie $a = x_0 < x_1 < \dots < x_p = b$. Une fonction $f : [a, b] \to K$ est

en escalier si, pour une certaine subdivision, $f$ est constante sur chaque intervalle ouvert $]x_k, x_{k+1}[$ ;
continue par morceaux si, pour une certaine subdivision, $f$ est continue sur chaque intervalle ouvert $]x_k, x_{k+1}[$ et admet des limites finies en $x_k^+$ et en $x_{k+1}^-$ ; la restriction de $f$ à $]x_k, x_{k+1}[$ se prolonge alors en une fonction continue $f_k$ sur $[x_k, x_{k+1}]$.

On note $\mathcal{CM}([a, b], K)$ l'ensemble des fonctions continues par morceaux ; il contient les fonctions continues et les fonctions en escalier. Une fonction continue par morceaux est bornée, et l'on note $\|f\|_\infty = \sup_{[a, b]} |f|$. Son intégrale se définit morceau par morceau : $$\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \sum_{k=0}^{p - 1} \int_{x_k}^{x_{k+1}} f_k(t)\,\mathrm{d}t.$$ Cette valeur ne dépend ni de la subdivision choisie ni des valeurs de $f$ aux points $x_k$. Pour une fonction en escalier égale à $y_k$ sur $]x_k, x_{k+1}[$, c'est la somme des aires algébriques des rectangles : $$\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \sum_{k=0}^{p - 1} y_k \, (x_{k+1} - x_k).$$ Ces définitions sont celles du chapitre Intégration sur un segment : la construction, où sont démontrés le caractère borné et l'indépendance vis-à-vis de la subdivision.

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Exemple

Calculer $\int_0^3 \lfloor t \rfloor\,\mathrm{d}t$, puis $\int_0^2 g(t)\,\mathrm{d}t$, où $g(t) = t$ pour $t \in [0, 1[$ et $g(t) = 3 - t$ pour $t \in [1, 2]$.

Correction

La fonction partie entière est en escalier sur $[0, 3]$, pour la subdivision $(0, 1, 2, 3)$, de valeurs $0$, $1$, $2$ sur les trois intervalles ouverts. Somme des rectangles : $$\int_0^3 \lfloor t \rfloor\,\mathrm{d}t = 0 \times 1 + 1 \times 1 + 2 \times 1 = 3.$$ La fonction $g$ est continue par morceaux pour la subdivision $(0, 1, 2)$ : sur $]0, 1[$ elle se prolonge en $g_0(t) = t$, sur $]1, 2[$ en $g_1(t) = 3 - t$ ; le saut en $1$ (limite à gauche $1$, valeur $g(1) = 2$) ne joue aucun rôle. Chaque morceau est affine et positif, donc son intégrale est une aire lue sur le graphe : un triangle de base $1$ et de hauteur $1$, puis un trapèze de largeur $1$ et de côtés parallèles $g_1(1) = 2$ et $g_1(2) = 1$ : $$\begin{aligned} \int_0^2 g(t)\,\mathrm{d}t &= \int_0^1 t\,\mathrm{d}t + \int_1^2 (3 - t)\,\mathrm{d}t && \text{(définition morceau par morceau)} \\ &= \frac{1 \times 1}{2} + \frac{(2 + 1) \times 1}{2} && \text{(triangle, trapèze)} \\ &= \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2. \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Calculer une intégrale comme une aire algébrique ★

I.3 Propriétés

Des règles lues sur les aires

Tout calcul d'intégrale repose sur quelques règles, intuitives sur les aires : multiplier une fonction par $\lambda$ multiplie son aire algébrique par $\lambda$ ; un domaine situé au-dessus de l'axe a une aire positive ; deux domaines adjacents ont des aires qui s'ajoutent. Elles sont énoncées ci-dessous pour des fonctions continues par morceaux — à valeurs dans $K$ pour les règles algébriques, à valeurs réelles pour les règles qui font intervenir l'ordre.

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Proposition — Propriétés de l'intégrale

Soient $f, g \in \mathcal{CM}([a, b], K)$ avec $a < b$ et $\lambda, \mu \in K$.

Linéarité : $\int_{[a, b]} (\lambda f + \mu g) = \lambda \int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t + \mu \int_{[a, b]} g(t)\,\mathrm{d}t$.
Inégalité triangulaire : $\left| \int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t \right| \le \int_{[a, b]} |f(t)|\,\mathrm{d}t \le (b - a) \|f\|_\infty$.
Chasles : Pour tout $c \in \,]a, b[$, $\int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t = \int_{[a, c]} f(t)\,\mathrm{d}t + \int_{[c, b]} f(t)\,\mathrm{d}t$.
Parties réelle et imaginaire : $\int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t = \int_{[a, b]} \operatorname{Re}(f) + i \int_{[a, b]} \operatorname{Im}(f)$. En particulier, si $f$ est réelle, $\int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t \in \mathbb{R}$.
Modification sur un ensemble fini : Si $f$ et $g$ coïncident sur $[a, b]$ sauf sur un ensemble fini, alors $\int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t = \int_{[a, b]} g(t)\,\mathrm{d}t$.

Admise ici, démontrée dans Intégration sur un segment : la construction. Pour une fonction continue, la linéarité et la relation de Chasles se lisent directement sur l'aire algébrique, et l'inégalité triangulaire exprime que les compensations entre les parties situées au-dessus et en dessous de l'axe ne peuvent que diminuer la taille de l'intégrale.

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Proposition — Cas réel

Soient $f, g \in \mathcal{CM}([a, b], \mathbb{R})$ avec $a < b$.

Positivité : $f \ge 0 \Rightarrow \int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t \ge 0$.
Croissance : $f \le g \Rightarrow \int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t \le \int_{[a, b]} g(t)\,\mathrm{d}t$.
Positivité stricte : Si $f \ge 0$ sur $[a, b]$, $f$ est continue en un certain $x_0 \in [a, b]$ avec $f(x_0) > 0$, et $a < b$, alors $\int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t > 0$.
Nullité pour les fonctions continues positives : Si $f \in C([a, b], \mathbb{R}_+)$, $a < b$, et $\int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t = 0$, alors $f \equiv 0$ sur $[a, b]$.

Corollaire de (iv) : si $f$ est continue sur $[a, b]$ et de signe constant avec $\int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t = 0$ et $a < b$, alors $f \equiv 0$ (appliquer (iv) à $f$ ou à $-f$).

Admise ici, démontrée dans Intégration sur un segment : la construction. La propriété (iv) est la plus utilisée en exercice : lorsque $a < b$, une fonction continue $f \ge 0$ dont l'intégrale sur $[a, b]$ est nulle est nulle sur tout $[a, b]$.

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Méthode — Majorer ou comparer des intégrales

Pour majorer ou comparer des intégrales sans les calculer (ici $a \le b$) :

Majorer : trouver une constante $M$ telle que $|f| \le M$ sur $[a, b]$ ; alors $\left| \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \right| \le \int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t \le M (b - a)$.
Comparer : si $f \le g$ sur $[a, b]$ (fonctions à valeurs réelles), alors $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \le \int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t$.
Encadrer une suite d'intégrales : encadrer, pour tout $n$, la fonction intégrée entre deux fonctions dont on connaît les intégrales, puis faire tendre $n$ vers $+\infty$.

Les inégalités doivent valoir sur tout le segment (sauf éventuellement en un nombre fini de points, qui ne changent pas une intégrale), et les bornes d'intégration doivent être dans l'ordre croissant. Si $b < a$, les appliquer sur $[b, a]$ à $\int_b^a f(t)\,\mathrm{d}t = -\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ : cela donne $\left| \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \right| \le M \, |b - a|$, et une comparaison entre deux intégrales change de sens.

Exemple

Montrer que $I_n = \int_0^1 \frac{t^n}{1 + t}\,\mathrm{d}t$ vérifie $0 \le I_n \le \frac{1}{n + 1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, et en déduire la limite de $(I_n)$.

Correction

Pour $t \in [0, 1]$, $1 + t \ge 1$ et $t^n \ge 0$, donc $0 \le \frac{t^n}{1 + t} \le t^n$. Les trois fonctions sont continues sur $[0, 1]$, donc, par positivité et croissance de l'intégrale : $$\begin{aligned} 0 \le I_n &\le \int_0^1 t^n\,\mathrm{d}t && \text{(croissance)} \\ &= \left[\frac{t^{n+1}}{n + 1}\right]_0^1 = \frac{1}{n + 1}. \end{aligned}$$ Comme $\frac{1}{n + 1} \to 0$, le théorème des gendarmes donne $I_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$.

Définition — Extension de la notation à $b \le a$

Pour $f \in \mathcal{CM}(I, K)$ définie sur un intervalle plus large $I$ et $a, b \in I$ avec $b < a$, on étend la notation par $$ \textcolor{colordef}{\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t := -\int_b^a f(t)\,\mathrm{d}t}. $$ Le cas $b = a$ donne $\int_a^a f(t)\,\mathrm{d}t = 0$. La linéarité et Chasles restent valables pour la notation étendue ; dans le (ii) de la Proposition « Propriétés de l'intégrale », la majoration devient $\left| \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \right| \le |b - a| \|f\|_\infty$ (avec $|b - a|$ à la place de $b - a$).

Compétences à pratiquer

Utiliser la linéarité et la relation de Chasles ★

I.4 Valeur moyenne et symétrie

Hauteur moyenne, graphes symétriques

La valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$ est la hauteur du rectangle de base $[a, b]$ qui a la même aire algébrique que $f$. Les symétries du graphe — parité, périodicité — deviennent des égalités entre intégrales, qui épargnent souvent un calcul.

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Définition — Valeur moyenne

La valeur moyenne de $f \in \mathcal{CM}([a, b], K)$ sur $[a, b]$ (avec $a < b$) est $$ \textcolor{colordef}{\bar f := \frac{1}{b - a} \int_{[a, b]} f(t)\,\mathrm{d}t}. $$

Proposition — Encadrement de la valeur moyenne

Soit $f \in \mathcal{CM}([a, b], \mathbb{R})$ avec $a < b$. Si $m \le f(x) \le M$ pour tout $x \in [a, b]$, alors $$ \textcolor{colorprop}{m (b - a) \le \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \le M (b - a)}, \qquad \text{donc} \qquad m \le \bar f \le M. $$ Si de plus $f$ est continue sur $[a, b]$, alors il existe $c \in [a, b]$ tel que $\bar f = f(c)$.

Preuve

L'inégalité $m \le f \le M$ sur $[a, b]$ donne, par croissance de l'intégrale (Proposition « Cas réel », (ii)) : $$ \int_a^b m \, \mathrm{d}t \le \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \le \int_a^b M\,\mathrm{d}t, \qquad \text{soit} \qquad m(b - a) \le \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \le M(b - a). $$ En divisant par $b - a > 0$ : $m \le \bar f \le M$.
Si $f$ est continue sur $[a, b]$, le théorème des bornes atteintes donne $m_0, M_0 \in [a, b]$ avec $f(m_0) = \min f$ et $f(M_0) = \max f$. Alors $f(m_0) \le \bar f \le f(M_0)$, et par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à $f$ entre $m_0$ et $M_0$, il existe $c$ entre $m_0$ et $M_0$ (donc dans $[a, b]$) avec $f(c) = \bar f$.

Proposition — Intégrales de fonctions continues paires / impaires / périodiques

Soient $a \ge 0$ et $f \in C([-a, a], K)$.

Si $f$ est paire : $\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x = 2 \int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x$.
Si $f$ est impaire : $\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0$.

Pour $f \in C(\mathbb{R}, K)$ $T$-périodique et tout $a \in \mathbb{R}$ : $\int_a^{a+T} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^T f(x)\,\mathrm{d}x$.
Règles familières. Ces propriétés servent couramment de règles de calcul. On les redonne ici pour référence ; leur démonstration utilise le théorème de changement de variable (dans la section Lien avec les primitives), énoncé pour des fonctions continues — d'où l'hypothèse de continuité ici.

Méthode — Calculer une intégrale par symétrie

Pour une intégrale $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ :

Vérifier si le domaine d'intégration est symétrique ($[-A, A]$) et $f$ paire ou impaire : utiliser la Proposition « Intégrales de fonctions continues paires / impaires / périodiques » (cas pair / impair).
Vérifier si $f$ est $T$-périodique et le domaine de longueur $T$ : translater à $[0, T]$ par la même Proposition (cas périodique).
Sinon, scinder par Chasles en sous-intervalles où $f$ a une forme plus simple.

Toujours chercher les symétries en premier — elles peuvent réduire une intégrale compliquée à une triviale (par exemple, un intégrande impair sur $[-A, A]$ donne $0$ sans calcul).

Exemple

Calculer $\int_{-\pi}^\pi \sin t \, \mathrm{d}t$.

Correction

L'intégrande $\sin$ est impair et le domaine $[-\pi, \pi]$ est symétrique, donc $\int_{-\pi}^\pi \sin t \, \mathrm{d}t = 0$ par la Proposition « Intégrales de fonctions continues paires / impaires / périodiques » (cas impair).

Exemple

Calculer $\int_0^{2\pi} \cos^2 t \, \mathrm{d}t$ par périodicité et la formule de duplication.

Correction

La fonction $\cos^2$ est $\pi$-périodique (puisque $\cos^2(t + \pi) = (-\cos t)^2 = \cos^2 t$), donc $$ \int_0^{2\pi} \cos^2 t \, \mathrm{d}t = 2 \int_0^\pi \cos^2 t \, \mathrm{d}t. $$ En utilisant $\cos^2 t = (1 + \cos 2t)/2$ : $$ \begin{aligned} \int_0^\pi \cos^2 t \, \mathrm{d}t &= \int_0^\pi \frac{1 + \cos 2t}{2} \, \mathrm{d}t && \text{(formule de duplication)} \\ &= \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \int_0^\pi \cos 2t \, \mathrm{d}t && \text{(linéarité)} \\ &= \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2} && \text{(car $\int_0^\pi \cos 2t \,\mathrm{d}t = [\sin 2t / 2]_0^\pi = 0$).} \end{aligned} $$ D'où $\int_0^{2\pi} \cos^2 t \, \mathrm{d}t = \pi$.

Compétences à pratiquer

Calculer une valeur moyenne ★

II Lien avec les primitives

II.1 Le théorème fondamental

Cette section démontre le pont avec la dérivation — $x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est une primitive de $f$ — et en tire des méthodes de calcul.

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Le pont fondamental

Le Théorème fondamental du calcul intégral (TFCI) relie deux notions à première vue sans rapport : l'intégration (aire algébrique sous une courbe) et la dérivation (pente d'une tangente). Pour $f$ continue sur un intervalle $I$, la fonction $F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est dérivable avec $F'(x) = f(x)$ — toute fonction continue admet une primitive, et l'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ est la différence d'une primitive aux deux bornes. Le TFCI permet aussi deux techniques pratiques — intégration par parties et changement de variable — démontrées ici comme théorèmes rigoureux (les versions informelles figurent dans le chapitre Intégrales).

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Définition — Primitive

Soit $f : I \to K$ une fonction sur un intervalle $I$. Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F : I \to K$ dérivable sur $I$ vérifiant $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.

Proposition — Unicité des primitives à une constante additive près

Si $F_1, F_2 : I \to K$ sont deux primitives de la même fonction $f : I \to K$ sur un intervalle $I$, alors $F_1 - F_2$ est constante sur $I$. En particulier, les primitives de $f$ sont exactement les fonctions $F + \lambda$ pour $\lambda \in K$, où $F$ est une primitive quelconque.

Preuve

Posons $G = F_1 - F_2$. Alors $G' = F_1' - F_2' = f - f = 0$ sur $I$. Pour $K = \mathbb{C}$, raisonnons composante par composante : $(\operatorname{Re} G)' = \operatorname{Re}(G') = 0$ et $(\operatorname{Im} G)' = \operatorname{Im}(G') = 0$, toutes deux réelles dérivables sur un intervalle. Par le théorème des accroissements finis réel appliqué séparément à $\operatorname{Re} G$ et à $\operatorname{Im} G$, chacune est constante, donc $G$ est constante. Pour $K = \mathbb{R}$, cela se réduit à l'unique argument réel.

Théorème — Théorème fondamental du calcul intégral

Soit $f : I \to K$ continue sur un intervalle $I$ et $a \in I$. Alors :

La fonction $F : x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est une primitive de $f$ sur $I$.
Pour toute primitive $G$ de $f$ sur $I$ et tout $b \in I$ : $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = G(b) - G(a)$.

En particulier, toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive.

Preuve

Fixons $x \in I$ et soit $h \ne 0$ avec $x + h \in I$ ; notons $J_h$ le segment d'extrémités $x$ et $x + h$. Par Chasles, $F(x + h) - F(x) = \int_x^{x + h} f(t)\,\mathrm{d}t$, et $\int_x^{x + h} f(x)\,\mathrm{d}t = h\,f(x)$, donc $$ \begin{aligned} \left| \frac{F(x + h) - F(x)}{h} - f(x) \right| &= \frac{1}{|h|} \left| \int_x^{x + h} \bigl( f(t) - f(x) \bigr)\,\mathrm{d}t \right| && \text{(linéarité)} \\ &\le \frac{1}{|h|} \cdot |h| \cdot \sup_{t \in J_h} |f(t) - f(x)| && \text{($\left|\int_a^b g\right| \le |b - a|\,\sup|g|$)} \\ &= \sup_{t \in J_h} |f(t) - f(x)| \xrightarrow[h \to 0]{} 0. && \text{(continuité de $f$ en $x$)} \end{aligned} $$ Donc $F$ est dérivable en $x$ avec $F'(x) = f(x)$. Pour $K = \mathbb{R}$ on peut aussi dire : $\frac{F(x + h) - F(x)}{h}$ est la valeur moyenne de $f$ sur $J_h$, donc vaut $f(c_h)$ pour un $c_h \in J_h$ (Proposition « Encadrement de la valeur moyenne ») ; quand $h \to 0$, $c_h \to x$ et $f(c_h) \to f(x)$.
D'après (i), $F$ est une primitive de $f$. Par la Proposition « Unicité des primitives à une constante additive près », $G = F + \lambda$ pour un certain $\lambda \in K$. Alors $G(b) - G(a) = (F(b) + \lambda) - (F(a) + \lambda) = F(b) - F(a) = \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t - \int_a^a f(t)\,\mathrm{d}t = \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$.

Méthode — Dériver une intégrale à borne mobile

Pour $f$ continue sur un intervalle $I$ et $u : J \to I$ dérivable sur un intervalle $J$, posons $H(x) = \int_a^{u(x)} f(t)\,\mathrm{d}t$ sur $J$. Alors $H$ est dérivable sur $J$ avec $$ \textcolor{colorprop}{H'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x)}. $$ Démonstration : $H = F \circ u$ avec $F(y) = \int_a^y f(t)\,\mathrm{d}t$, et appliquer la règle de la chaîne.
Attention. La variable $x$ doit apparaître seulement dans les bornes ; si $x$ apparaît aussi dans l'intégrande, la règle ne s'applique pas directement — séparer d'abord la dépendance dans les bornes de celle dans l'intégrande.

Exemple

Calculer la dérivée de $H(x) = \int_0^{x^2} e^{-t^2}\,\mathrm{d}t$ sur $\mathbb{R}$.

Correction

L'intégrande $f(t) = e^{-t^2}$ est continu sur $\mathbb{R}$, et $u(x) = x^2$ est $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$. Par la règle de borne mobile : $$ H'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x) = e^{-(x^2)^2} \cdot 2x = 2x \, e^{-x^4}. $$

Compétences à pratiquer

Calculer une intégrale à partir d'une primitive ★
Dériver une intégrale à borne supérieure mobile ★

II.2 Intégration par parties

La dérivée d'un produit, intégrée

L'intégration par parties est la dérivée d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ relue à travers le théorème fondamental. Elle échange l'intégrale de $u'v$ contre celle de $uv'$ : elle sert quand dériver $v$ le simplifie (un polynôme, un logarithme, une fonction trigonométrique réciproque) et que $u'$ s'intègre facilement.

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Théorème — Intégration par parties (IPP)

Soient $u, v \in C^1(I, K)$ et $a, b \in I$. Alors $$ \textcolor{colorprop}{\int_a^b u'(t) v(t)\,\mathrm{d}t = \left[ u(t) v(t) \right]_a^b - \int_a^b u(t) v'(t)\,\mathrm{d}t}. $$

Preuve

Comme $u, v \in C^1(I, K)$, le produit $uv$ est $C^1$ avec $(uv)' = u'v + uv'$. La fonction $(uv)'$ est continue, donc par TFCI (ii) : $$ \begin{aligned} [u(t) v(t)]_a^b &= \int_a^b (uv)'(t)\,\mathrm{d}t && \text{(TFCI)} \\ &= \int_a^b u'(t) v(t)\,\mathrm{d}t + \int_a^b u(t) v'(t)\,\mathrm{d}t && \text{(linéarité $+$ règle du produit).} \end{aligned} $$ En réarrangeant, on obtient la formule d'IPP.

Méthode — Appliquer l'intégration par parties

Pour une intégrale $\int_a^b u'(t) v(t)\,\mathrm{d}t$ :

Identifier $u'$ (le facteur facile à primitiver) et $v$ (le facteur facile à dériver).
Calculer $u$ (primitive de $u'$) et $v'$.
Appliquer la formule et intégrer le second morceau $\int u(t) v'(t)\,\mathrm{d}t$ — il doit être plus simple que l'original.

Cibles classiques. $\int t \ln t\,\mathrm{d}t$, $\int t^2 e^t\,\mathrm{d}t$, $\int t \sin t\,\mathrm{d}t$, $\int \arctan t\,\mathrm{d}t$, $\int \ln t\,\mathrm{d}t$. Le choix de $u'$ vs $v$ est gouverné par ce qui devient plus simple après dérivation/primitivation.

Exemple

Calculer $\int_0^1 t e^t\,\mathrm{d}t$ par IPP.

Correction

Posons $u'(t) = e^t$, $v(t) = t$. Alors $u(t) = e^t$, $v'(t) = 1$. Appliquons l'IPP : $$ \begin{aligned} \int_0^1 t e^t\,\mathrm{d}t &= [t e^t]_0^1 - \int_0^1 e^t\,\mathrm{d}t && \text{(IPP)} \\ &= (1 \cdot e^1 - 0) - [e^t]_0^1 && \text{(évaluer le crochet)} \\ &= e - (e - 1) = 1. \end{aligned} $$

Compétences à pratiquer

Intégrer par parties un polynôme fois une exponentielle ★
Intégrer par parties avec un logarithme ou une fonction trigonométrique réciproque ★

III Exercices de colle

Compétences à pratiquer

Travailler un exercice de colle ★

IV Problèmes d'écrit

Compétences à pratiquer

Travailler un problème d'écrit ★

Contrôle du chapitre

2 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h 30.

À traiter sur papier, puis à photographier : la correction est automatique, par IA.

Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.

Aucun exercice composé.