Mathématiques en BCPST

Au programme

1. Logique, ensembles et raisonnement — Connecteurs logiques, quantificateurs, vocabulaire des ensembles (inclusion, complémentaire, réunion, intersection, produit cartésien) et méthodes de raisonnement classiques : preuve directe, contraposée, absurde, contre-exemple, récurrence (simple, forte, à pas double) et analyse-synthèse.
2. Nombres réels — L'ensemble des nombres réels : intervalles, valeur absolue et distance, puissances entières et rationnelles, racine carrée, cubique et n-ième, trinôme du second degré (discriminant, racines, signe, inéquations), majorants et minorants, plus grand et plus petit élément, borne supérieure et inférieure (admise), et partie entière.
3. Méthodes de calcul — La boîte à outils de calcul : le symbole somme et le symbole produit avec leurs règles (Chasles, linéarité, changement d'indice, télescopage, sommes doubles), les sommes classiques (somme géométrique, somme des premiers entiers et carrés), la factorielle, les coefficients binomiaux avec la relation et le triangle de Pascal, et la formule du binôme de Newton.
4. Applications — Applications : ensembles de départ et d'arrivée, image et antécédent d'un élément, égalité d'applications, identité, application constante et indicatrice ; image directe d'une partie et composition ; applications injectives, surjectives et bijectives ; application réciproque d'une bijection, avec la symétrie des graphes d'une fonction et de sa réciproque par rapport à la droite y = x.
5. Dénombrement — Dénombrer les ensembles finis : cardinal, principe d'addition et inclusion-exclusion pour deux ensembles, principe multiplicatif, et les quatre modèles de tirage classiques - p-uplets (n^p), arrangements, permutations (n!) et combinaisons (binomial) - ainsi que le nombre de parties card(P(E)) = 2^n. Chaque dénombrement est justifié intuitivement.
6. Trigonométrie — Fonctions circulaires sur le cercle trigonométrique (cosinus, sinus, tangente), périodicité, parité et symétries, jeu de formules restreint (relation fondamentale, formules d'addition et de duplication), valeurs remarquables, équations trigonométriques simples, notations réciproques arccos/arcsin/arctan, et réduction de a cos x + b sin x à un cosinus décalé.
7. Nombres complexes — Nombres complexes sous forme algébrique a + ib : parties réelle et imaginaire, conjugué, module ; représentation géométrique dans le plan complexe (affixe, module comme distance) ; forme exponentielle r e^{i theta}, argument, forme trigonométrique, formules de de Moivre et d'Euler ; linéarisation de cos^p sin^q ; équations du second degré à coefficients réels et équation z^2 = a pour a complexe.
8. Fonctions usuelles — Généralités sur les fonctions (domaine et graphe, fonctions paires et impaires, périodicité, monotonie, bornes et extremums, opérations et composition avec la règle des signes), étude d'une fonction (tableau de variations, tangente, asymptotes verticales et horizontales lues sur les limites), et le catalogue des fonctions usuelles : affines, puissances entières, racine carrée, puissance réelle x^alpha, exponentielle et logarithme népérien, fonction a^x, fonctions circulaires sinus, cosinus et tangente, partie entière et valeur absolue.
9. Suites réelles usuelles — Suites réelles et opérations terme à terme ; suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques (terme général, sommes de termes consécutifs) ; récurrences linéaires d'ordre deux u_{n+2}=a u_{n+1}+b u_n résolues par l'équation caractéristique (racines réelles distinctes, racine double, racines complexes conjuguées via C). Point de vue algébrique uniquement, sans limites ni convergence.
10. Calcul différentiel et intégral — Calcul opératoire : règles de dérivation (somme, produit, quotient, dérivation en chaîne et formes composées usuelles), dérivées partielles d'une fonction de deux variables pour la physique (notations partial/partial x, petites variations), primitives usuelles et composées, intégrale définie calculée par une primitive (lien admis), intégration par parties et changement de variable.
11. Équations différentielles linéaires — Équations différentielles linéaires du premier ordre y'+a(t)y=f(t) sur un intervalle : cas homogène à coefficient constant, structure de la solution générale, variation de la constante, principe de superposition. Équations du second ordre à coefficients constants ay''+by'+cy=f(t) : équation caractéristique et les trois cas du discriminant, solution particulière, superposition. Applications à la cinétique, à la désintégration radioactive et à l'oscillateur harmonique.
12. Systèmes linéaires — Équations linéaires et systèmes n x p, systèmes équivalents, les trois opérations élémentaires, forme échelonnée (triangulaire), méthode du pivot de Gauss avec remontée, rang, inconnues principales et secondaires, et description de l'ensemble des solutions (aucune, une, ou une infinité).
13. Matrices — Vocabulaire matriciel, opérations (somme, multiple scalaire, produit), transposée et matrices symétriques, puissances et formule du binôme pour des matrices qui commutent, écriture matricielle d'un système linéaire, rang par échelonnement ; matrices inversibles et inverse, déterminant d'ordre 2 et inversibilité, calcul d'un inverse en résolvant le système AX = I, et résolution de AX = Y par X = A^{-1}Y.
14. Statistique descriptive — Statistique descriptive univariée (caractères quantitatifs et qualitatifs, effectifs et fréquences cumulés, diagrammes en barres et histogrammes, position par mode, moyenne et médiane, dispersion par variance, écart-type et quartiles) et statistique descriptive bivariée (série double, nuage de points, point moyen, covariance, coefficient de corrélation et ajustement affine par les moindres carrés).
15. Géométrie — Vecteurs du plan et de l'espace (relation de Chasles, colinéarité, coplanarité, bases, repères, bases orthonormées), déterminant 2x2 de deux vecteurs et critère de colinéarité, droites et cercles du plan et droites et plans de l'espace (équations cartésiennes et paramétriques), projection orthogonale d'un point sur une droite ou un plan avec le lien à la distance, et produit scalaire (par les coordonnées et par l'angle, bilinéarité admise, Cauchy-Schwarz, norme, orthogonalité et Pythagore).
16. Suites : limites et convergence — Suites bornées et monotones ; convergence (epsilon-n0 présentée, sans technicité), limites infinies ; suites des termes pairs et impairs (u_{2n})/(u_{2n+1}) ; opérations sur les limites et formes indéterminées ; signe et passage à la limite, comparaison et théorème des gendarmes ; théorème de la limite monotone et suites adjacentes ; suites récurrentes u_{n+1}=f(u_n) étudiées par un plan fixe (domaine stable, monotonie, points fixes) ; croissances comparées (factorielle, géométrique, puissance) et suites équivalentes pour lire des limites.
17. Espaces probabilisés — Espaces probabilisés finis : univers, événements, événement contraire, systèmes complets ; probabilité et ses propriétés (contraire, réunion, croissance), équiprobabilité ; conditionnement, probabilités composées, formule des probabilités totales et formule de Bayes ; indépendance de deux et de plusieurs événements.
18. Variables aléatoires — Variables aleatoires sur un univers fini : evenements (X dans I), indicatrices, systeme complet (X=x), loi et fonction de repartition ; independance de variables (fonctions de variables independantes et lemme des coalitions) ; esperance (positivite, croissance, linearite, theoreme de transfert), variance et ecart-type (Konig-Huygens, V(aX+b)=a^2 V(X), variable centree reduite, E(XY) et V(X+Y) sous independance) ; lois usuelles : certaine, uniforme, de Bernoulli et binomiale (esperance np, variance np(1-p), somme de Bernoulli independantes).
19. Limites et continuité — Limites d'une fonction en un point et en l'infini (définitions opératoires, limites latérales, unicité, opérations, composée, caractérisation séquentielle), ordre et encadrement, croissances comparées, équivalents et négligeabilité ; continuité en un point et sur un intervalle, opérations, composition, prolongement par continuité ; le théorème des valeurs intermédiaires, image d'un intervalle, bornes atteintes sur un segment (admis), le théorème de la bijection et la fonction arctangente.
20. Dérivation — La dérivée en un point comme limite du taux de variation, la tangente, la dérivabilité implique la continuité, la fonction dérivée et les opérations (somme, produit, quotient, composée, réciproque), les dérivées des fonctions usuelles, les dérivées d'ordre supérieur et les classes C^n / C^infty ; les extrémums intérieurs et la condition de dérivée nulle, le théorème de Rolle, le théorème des accroissements finis (démontré à partir de Rolle), et le lien entre le signe de la dérivée et la monotonie.
21. Intégration — Intégrale d'une fonction continue sur un segment comme une aire algébrique (existence admise) : conventions et variable muette ; propriétés admises et utilisées (linéarité, Chasles, positivité, ordre, positivité stricte) ; inégalité de la moyenne et inégalité triangulaire ; valeur moyenne et théorème de la valeur moyenne (démontré) ; théorème fondamental de l'analyse, démontré par la valeur moyenne (toute fonction continue admet des primitives, intégrale calculée par une primitive quelconque) ; primitives des fonctions usuelles ; intégration par parties et changement de variable (démontrés), avec le corollaire pair/impair ; sommes de Riemann et leur convergence (admise) pour calculer des limites de sommes et de produits. La construction de l'intégrale de Riemann et l'intégrabilité des fonctions non continues sont hors champ.
22. Polynômes — Polynômes vus comme des fonctions de R dans R : définition, coefficients et degré, unicité des coefficients, les opérations algébriques et leurs règles de degré, et le polynôme dérivé. Racines et le facteur (x - a), comptage des racines (au plus le degré), le fait qu'un polynôme de degré impair possède une racine réelle, factorisation par des racines distinctes, et ordre d'une racine avec la caractérisation d'une racine multiple par P(a) = P'(a) = 0.
23. Développements limités — Notation petit o, développements limités (DL) d'ordre n en 0 et unicité de leurs coefficients, la formule de Taylor-Young (admise), les sept développements usuels en 0 (exp, cos, sin, ln(1+x), (1+x)^alpha, 1/(1-x), arctan), opérations sur les développements (somme, produit, quotient, composition, primitivation), et applications : équivalents, limites, tangente et position locale par rapport à la tangente. On reste à l'ordre trois.
24. Fonctions de deux variables — Fonctions de deux variables réelles : parties du plan, surface et lignes de niveau, dérivées partielles, gradient, classe C^1, plan tangent, règle de la chaîne le long d'un chemin, dérivées partielles d'ordre deux et théorème de Schwarz (admis), points critiques et condition nécessaire d'ordre un pour un extremum local.
25. L'espace vectoriel \(K^n\) — L'espace vectoriel concret K^n (K = R ou C) : vecteurs, vecteur nul, addition et multiplication par un scalaire, combinaisons linéaires ; sous-espaces de K^n (définition, stabilité, droites et plans passant par l'origine, ensembles de solutions de systèmes homogènes, sous-espace engendré Vect d'une famille) ; familles génératrices, familles libres (linéairement indépendantes), bases et base canonique ; coordonnées dans une base ; dimension d'un sous-espace (toutes les bases ont le même cardinal, admis) et rang d'une famille calculé par l'échelonnement de Gauss.
26. Applications linéaires — Applications linéaires de K^p dans K^n : définition et linéarité, exemples géométriques (homothétie, projection, rotation), matrice d'une application linéaire dans les bases canoniques et correspondance entre applications et matrices, noyau et image comme sous-espaces avec les critères d'injectivité et de surjectivité, rang et théorème du rang, composition comme produit matriciel, isomorphismes et matrice inverse, et endomorphismes de K^n.