Éducation Nationale Française · BCPST

Fonctions usuelles

⌚ ~426 min ▢ 51 blocs ✓ 190 exercices ➣ Prérequis : Généralités sur les fonctions, Fonctions exponentielles, Fonctions logarithmes, Fonctions trigonométriques

Une fonction est une règle qui transforme chaque entrée en exactement une sortie. Ce chapitre rassemble le petit catalogue de fonctions utilisées partout ensuite — fonctions affines, puissances entières et réelles, racine carrée, exponentielle et logarithme, fonction $a^x$, fonctions circulaires $\sin$, $\cos$, $\tan$, partie entière et valeur absolue — avec le vocabulaire qui sert à décrire n'importe quelle fonction : domaine, parité, périodicité, monotonie, bornes, et la façon dont les fonctions se combinent par opérations et composition. On fixe aussi la recette pratique pour étudier une fonction : tableau de variations, tangentes et asymptotes. Les limites et dérivées ne servent ici que d'outils, repris des études antérieures ou admis ; la théorie systématique est l'objet des chapitres d'analyse ultérieurs. Les ensembles de nombres $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ sont supposés connus, et l'exponentielle et le logarithme déjà rencontrés sont pris comme points de départ.

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I Ensemble de définition, image, graphe

Ce qui fixe une fonction

Une fonction réelle associe un nombre réel à chaque élément d'une partie de $\mathbb{R}$. Trois mots fixent ce qu'est une fonction avant toute étude : son ensemble de définition, l'ensemble où elle est définie ; son ensemble image, l'ensemble des valeurs qu'elle prend ; et son graphe, l'ensemble des points $(x, f(x))$ du plan, qui dessine la fonction. Deux fonctions sont égales lorsqu'elles ont le même ensemble de définition et les mêmes valeurs, et le graphe donne images et antécédents d'un coup d'œil.

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I.1 Fonctions réelles

Fonctions d'une variable réelle

Le chapitre Fonctions définissait une fonction par une formule, un tableau ou une courbe, et son ensemble de définition comme l'ensemble où la formule a un sens. Pour les démonstrations qui suivent, une fonction réelle est un objet plus précis : une partie $E$ de $\mathbb{R}$, son ensemble de définition, et une règle qui donne à chaque $x \in E$ un réel $f(x)$. L'ensemble $E$ fait partie de la donnée : deux fonctions de même formule et d'ensembles de définition différents sont deux fonctions différentes, comme le montre l'Exemple « Deux fonctions ou une seule ». La façon d'écrire une fonction — les deux flèches, la différence entre la fonction $f$ et le nombre $f(x)$ — suit les Méthodes « Définir une fonction » et « Parler d'une fonction » du chapitre Raisonner et rédiger.

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Définition — Ensemble de définition, image, graphe

Soient $E \subset \mathbb{R}$ et $f \colon E \to \mathbb{R}$ une fonction.

L'ensemble de définition de $f$, noté $D_f$, est l'ensemble $E$ sur lequel $f$ est définie. Lorsque $f$ est donnée par une formule sans $E$ explicite, $D_f$ est la plus grande partie de $\mathbb{R}$ sur laquelle la formule a un sens.
Pour $x \in D_f$, $f(x)$ est l'image de $x$ par $f$, et $x$ est un antécédent de $f(x)$.
L'ensemble image de $f$ est $f(D_f) = \{f(x) \mid x \in D_f\} \subset \mathbb{R}$.
Dans un repère orthonormé $(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})$, le graphe de $f$ est $\Gamma_f = \{(x, f(x)) \mid x \in D_f\} \subset \mathbb{R}^2$ ; son équation est $y = f(x)$.
Deux fonctions $f$ et $g$ sont égales lorsqu'elles ont le même ensemble de définition, $D_f = D_g$, et les mêmes valeurs, $f(x) = g(x)$ pour tout $x$ de cet ensemble.

Exemple — Deux fonctions ou une seule

Les fonctions $f \colon x \mapsto \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ et $g \colon x \mapsto x + 1$ sont-elles égales ? Les fonctions $h \colon x \mapsto \sqrt{x^2}$ et $k \colon x \mapsto \lvert x \rvert$ sont-elles égales ? Chaque fonction est définie sur la plus grande partie de $\mathbb{R}$ où sa formule a un sens.

Correction

Les fonctions $f$ et $g$. Le quotient exige $x - 1 \ne 0$, donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$, alors que $D_g = \mathbb{R}$. Les ensembles de définition diffèrent, donc $f \ne g$, bien que les deux formules coïncident partout où $f$ est définie : pour tout $x \ne 1$, $$ \begin{aligned} f(x) &= \frac{x^2 - 1}{x - 1} && \text{(définition de $f$)} \\ &= \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} && \text{(différence de deux carrés)} \\ &= x + 1, \end{aligned} $$ la dernière étape simplifiant par le facteur $x - 1$, qui est non nul. La fonction $g$ est le prolongement de $f$ à $\mathbb{R}$ qui prend la valeur $2$ en $1$.
Les fonctions $h$ et $k$. Comme $x^2 \ge 0$ pour tout réel $x$, $D_h = \mathbb{R}$, et $D_k = \mathbb{R}$. Pour $x \in \mathbb{R}$, $\lvert x \rvert \ge 0$ et $\lvert x \rvert^2 = x^2$, donc $\lvert x \rvert$ est la racine carrée de $x^2$ (Proposition « Valeur absolue et ordre » du chapitre Nombres réels) : $h(x) = k(x)$. Les deux fonctions ont le même ensemble de définition et les mêmes valeurs : $h = k$.

Compétences à pratiquer

Reconnaître une fonction réelle ★
Calculer des images ★

I.2 Antécédents et graphe

Lire images et antécédents

Lire un graphe répond à deux questions. Quelle est l'image de $x$ ? On monte de $x$ jusqu'à la courbe : il y a exactement une réponse pour chaque $x$ de l'ensemble de définition. Quels sont les antécédents de $c$ ? On suit la droite horizontale de hauteur $c$ : il peut n'y en avoir aucun, un ou plusieurs. La Proposition « Antécédents sur le graphe » fait de cette seconde lecture un énoncé démontré, et l'ensemble image, qui rassemble les valeurs $c$ ayant un antécédent, devient la projection du graphe sur l'axe des ordonnées.

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Proposition — Antécédents sur le graphe

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$ une fonction et $c \in \mathbb{R}$. Les antécédents de $c$ sont les abscisses des points de $\Gamma_f$ situés sur la droite horizontale d'équation $y = c$ : $x$ est un antécédent de $c$ si et seulement si $(x, c) \in \Gamma_f$. Par conséquent $c \in f(E)$ si et seulement si la droite d'équation $y = c$ coupe $\Gamma_f$, et le nombre d'antécédents de $c$ est le nombre de points de $\Gamma_f$ situés sur cette droite.

Preuve

Soit $x \in \mathbb{R}$. Par la définition du graphe, $$ \begin{aligned} (x, c) \in \Gamma_f &\iff x \in E \text{ et } c = f(x) && \text{(définition de $\Gamma_f$)} \\ &\iff x \text{ est un antécédent de } c. \end{aligned} $$ La dernière équivalence est la définition d'un antécédent. Donc les antécédents de $c$ sont les abscisses des points de $\Gamma_f$ situés sur la droite $y = c$. Un point de cette droite est déterminé par son abscisse, donc chaque antécédent donne exactement un point $(x, c)$ de $\Gamma_f$ sur elle, et les deux dénombrements coïncident. Enfin $c \in f(E)$ signifie que $c$ a au moins un antécédent, c'est-à-dire qu'au moins un point de $\Gamma_f$ est sur la droite $y = c$.

Exemple — Niveaux et antécédents

Soit $f \colon [-2, 2] \to \mathbb{R}$, $x \mapsto x^3 - x + 2$, dont le graphe est dessiné. La droite $y = 2$ le coupe en trois points, la droite $y = 8$ en un point, la droite $y = 10$ en aucun.

Pour $y = 2$, $x^3 - x + 2 = 2 \iff x(x - 1)(x + 1) = 0$, donc les antécédents de $2$ sont $-1$, $0$ et $1$, tous dans $[-2, 2]$. Pour $y = 8$, $x^3 - x + 2 = 8 \iff (x - 2)(x^2 + 2x + 3) = 0$, et $x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2 > 0$, donc $8$ a le seul antécédent $2$. Pour $y = 10$, l'identité $8 - f(x) = (2 - x)(x^2 + 2x + 3)$ montre que $f(x) \le 8$ pour tout $x \le 2$, donc $10$ n'a aucun antécédent. De même $f(x) + 4 = (x + 2)(x^2 - 2x + 3) \ge 0$ pour $x \ge -2$. La projection de $\Gamma_f$ sur l'axe des ordonnées est l'ensemble image $f(E)$. Ces calculs placent deux valeurs et deux bornes : $-4 = f(-2)$ et $8 = f(2)$ appartiennent à $f(E)$ (les deux points sur l'axe des ordonnées), et aucun nombre au-dessus de $8$ ni au-dessous de $-4$ n'y appartient, donc $\{-4, 8\} \subset f(E) \subset [-4, 8]$. Ils ne montrent pas que tout nombre compris entre $-4$ et $8$ est une valeur de $f$ : l'égalité $f(E) = [-4, 8]$ est un théorème ultérieur, de l'étude de la continuité.

Compétences à pratiquer

Lire des antécédents sur un graphe ★
Calculer un antécédent ★

II Opérations sur les fonctions

Calculer avec des fonctions

Les fonctions réelles s'additionnent et se multiplient comme les nombres réels, valeur par valeur : la valeur de la somme $f + g$ en $x$ est $f(x) + g(x)$. Ce qui change est l'ensemble de définition, qui ne garde que les points où chaque ingrédient est défini ; et la composition est celle du chapitre Applications, définie là où la valeur intérieure tombe dans l'ensemble de définition de la fonction extérieure. L'ensemble de définition d'une formule découle de ces deux remarques, et une Méthode les met en œuvre.

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II.1 Somme, produit, parties positive et négative

Opérations point par point

Les opérations sur les nombres réels agissent sur les fonctions réelles point par point : la somme, le multiple, le produit et la valeur absolue de fonctions sont les fonctions dont les valeurs sont les sommes, multiples, produits et valeurs absolues des valeurs. L'ordre de $\mathbb{R}$ agit de la même façon, et compare deux fonctions en tout point à la fois ; cette comparaison n'est pas totale en général, car deux fonctions peuvent chacune être au-dessus de l'autre quelque part. La valeur absolue donne deux fonctions à valeurs positives ou nulles, la partie positive et la partie négative, qui séparent une fonction en ce qui est au-dessus de l'axe des abscisses et ce qui est au-dessous.

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Définition — Somme, produit, multiplication par un scalaire

Soient $E \subset \mathbb{R}$, $f, g \colon E \to \mathbb{R}$ deux fonctions et $\lambda \in \mathbb{R}$. Les fonctions $f + g$, $\lambda f$, $fg$ et $\lvert f \rvert$ sont définies sur $E$ par, pour tout $x \in E$ :

$(f + g)(x) = f(x) + g(x)$ : la somme ;
$(\lambda f)(x) = \lambda f(x)$ : le multiple par un scalaire ;
$(fg)(x) = f(x)\,g(x)$ : le produit ;
$\lvert f \rvert(x) = \lvert f(x) \rvert$ : la valeur absolue.

L'ordre sur les fonctions se prend aussi point par point : $f \le g$ lorsque $f(x) \le g(x)$ pour tout $x \in E$. Cet ordre n'est pas total en général : les fonctions $x \mapsto x$ et $x \mapsto -x$ sur $\mathbb{R}$ ne sont pas comparables, puisque $x \mapsto x$ est au-dessus de l'autre en $1$ et au-dessous en $-1$.

Exemple — Somme, produit et valeur absolue de deux fonctions

Pour $f(x) = x^2$ et $g(x) = x + 1$ sur $\mathbb{R}$, calculer $(f + g)(x)$, $(fg)(x)$, $(3f)(x)$ et $\lvert f - g \rvert(x)$.

Correction

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $$ \begin{aligned} (f + g)(x) &= x^2 + (x + 1) && \text{(définition de la somme)} \\ &= x^2 + x + 1, \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} (fg)(x) &= x^2 (x + 1) && \text{(définition du produit)} \\ &= x^3 + x^2, \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} (3f)(x) &= 3 \, x^2, \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \lvert f - g \rvert(x) &= \lvert x^2 - (x + 1) \rvert && \text{(définition de la valeur absolue)} \\ &= \lvert x^2 - x - 1 \rvert. \end{aligned} $$ Le signe de $x^2 - x - 1$ dépend de $x$ : ce trinôme a pour racines $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ et $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ et un coefficient dominant strictement positif, donc il est positif ou nul à l'extérieur de l'intervalle ouvert entre ses racines et strictement négatif à l'intérieur. D'où $$ \lvert f - g \rvert(x) = \begin{cases} x^2 - x - 1 & \text{si } x \le \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \text{ ou } x \ge \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \\ -x^2 + x + 1 & \text{si } \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}. \end{cases} $$

Définition — Parties positive et négative

Soit $f \colon E \to \mathbb{R}$ une fonction. La partie positive $f^{+}$ et la partie négative $f^{-}$ de $f$ sont les fonctions définies sur $E$ par $$ f^{+} = \frac{\lvert f \rvert + f}{2}, \qquad f^{-} = \frac{\lvert f \rvert - f}{2}. $$

Exemple — Les parties d'une droite

Pour $f \colon x \mapsto x - 1$ sur $\mathbb{R}$, calculer $f^{+}(x)$ et $f^{-}(x)$, et vérifier que $f = f^{+} - f^{-}$.

Correction

Le signe de $x - 1$ décide. Pour $x \ge 1$, $\lvert x - 1 \rvert = x - 1$, donc $$ \begin{aligned} f^{+}(x) &= \frac{\lvert x - 1 \rvert + (x - 1)}{2} && \text{(définition de $f^{+}$)} \\ &= \frac{(x - 1) + (x - 1)}{2} && \text{($\lvert x - 1 \rvert = x - 1$)} \\ &= x - 1, \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} f^{-}(x) &= \frac{\lvert x - 1 \rvert - (x - 1)}{2} && \text{(définition de $f^{-}$)} \\ &= \frac{(x - 1) - (x - 1)}{2} && \text{($\lvert x - 1 \rvert = x - 1$)} \\ &= 0. \end{aligned} $$ Pour $x < 1$, $\lvert x - 1 \rvert = 1 - x$, donc $$ \begin{aligned} f^{+}(x) &= \frac{\lvert x - 1 \rvert + (x - 1)}{2} && \text{(définition de $f^{+}$)} \\ &= \frac{(1 - x) + (x - 1)}{2} && \text{($\lvert x - 1 \rvert = 1 - x$)} \\ &= 0, \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} f^{-}(x) &= \frac{\lvert x - 1 \rvert - (x - 1)}{2} && \text{(définition de $f^{-}$)} \\ &= \frac{(1 - x) - (x - 1)}{2} && \text{($\lvert x - 1 \rvert = 1 - x$)} \\ &= 1 - x. \end{aligned} $$ Les deux parties sont positives ou nulles. Vérification : pour $x \ge 1$, $f^{+}(x) - f^{-}(x) = (x - 1) - 0 = f(x)$ ; pour $x < 1$, $f^{+}(x) - f^{-}(x) = 0 - (1 - x) = x - 1 = f(x)$.

Proposition — Décomposition $f \equal f^+ - f^-$

Soit $f \colon E \to \mathbb{R}$ une fonction.

$f = f^{+} - f^{-}$ et $\lvert f \rvert = f^{+} + f^{-}$.
$f^{+} \ge 0$ et $f^{-} \ge 0$, et $f^{+} f^{-} = 0$ : en tout point, l'une au moins des deux valeurs est nulle.
$f^{+} = \max(f, 0)$ et $f^{-} = \max(-f, 0)$, c'est-à-dire $f^{+}(x) = \max(f(x), 0)$ et $f^{-}(x) = \max(-f(x), 0)$ pour tout $x \in E$.

Preuve

Soient $x \in E$ et $a = f(x)$, de sorte que $f^{+}(x) = \frac{\lvert a \rvert + a}{2}$ et $f^{-}(x) = \frac{\lvert a \rvert - a}{2}$.
Les deux identités, en développant les définitions. $$ \begin{aligned} f^{+}(x) - f^{-}(x) &= \frac{(\lvert a \rvert + a) - (\lvert a \rvert - a)}{2} && \text{(même dénominateur)} \\ &= \frac{2a}{2} && \text{(les termes $\lvert a \rvert$ se simplifient)} \\ &= f(x), \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} f^{+}(x) + f^{-}(x) &= \frac{(\lvert a \rvert + a) + (\lvert a \rvert - a)}{2} && \text{(même dénominateur)} \\ &= \frac{2 \lvert a \rvert}{2} && \text{(les termes $a$ se simplifient)} \\ &= \lvert f \rvert(x). \end{aligned} $$ Le produit. $$ \begin{aligned} f^{+}(x) \, f^{-}(x) &= \frac{(\lvert a \rvert + a)(\lvert a \rvert - a)}{4} && \text{(définitions)} \\ &= \frac{\lvert a \rvert^2 - a^2}{4} && \text{($(u + v)(u - v) = u^2 - v^2$)} \\ &= 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $\lvert a \rvert^2 = a^2$.
Les signes. De $-\lvert a \rvert \le a \le \lvert a \rvert$ on tire $\lvert a \rvert + a \ge 0$ et $\lvert a \rvert - a \ge 0$, donc $f^{+}(x) \ge 0$ et $f^{-}(x) \ge 0$.
Les maxima. Par le produit, $f^{+}(x) = 0$ ou $f^{-}(x) = 0$. Si $f^{-}(x) = 0$, alors $a = f^{+}(x) - f^{-}(x) = f^{+}(x) \ge 0$, donc $\max(a, 0) = a = f^{+}(x)$, et $-a \le 0$ donne $\max(-a, 0) = 0 = f^{-}(x)$. Si $f^{+}(x) = 0$, alors $a = -f^{-}(x) \le 0$, donc $\max(a, 0) = 0 = f^{+}(x)$, et $-a = f^{-}(x) \ge 0$ donne $\max(-a, 0) = -a = f^{-}(x)$.
Seconde démonstration : le signe de $f(x)$. On distingue deux cas, qui couvrent tout réel $a$. Si $a \ge 0$, alors $\lvert a \rvert = a$, donc $$ \begin{aligned} f^{+}(x) &= \frac{a + a}{2} && \text{(définition, $\lvert a \rvert = a$)} \\ &= a && \text{($a + a = 2a$)} \\ &= \max(a, 0), \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} f^{-}(x) &= \frac{a - a}{2} && \text{(définition, $\lvert a \rvert = a$)} \\ &= 0 && \text{($a - a = 0$)} \\ &= \max(-a, 0), \end{aligned} $$ la dernière étape de chaque chaîne parce que $a \ge 0$ et $-a \le 0$. Si $a < 0$, alors $\lvert a \rvert = -a$, donc $$ \begin{aligned} f^{+}(x) &= \frac{-a + a}{2} && \text{(définition, $\lvert a \rvert = -a$)} \\ &= 0 && \text{($-a + a = 0$)} \\ &= \max(a, 0), \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} f^{-}(x) &= \frac{-a - a}{2} && \text{(définition, $\lvert a \rvert = -a$)} \\ &= -a && \text{($-a - a = -2a$)} \\ &= \max(-a, 0), \end{aligned} $$ la dernière étape de chaque chaîne parce que $a < 0$ et $-a > 0$. Dans les deux cas les deux valeurs sont positives ou nulles, l'une d'elles est nulle, donc leur produit est nul, et $f^{+}(x) - f^{-}(x) = a$ et $f^{+}(x) + f^{-}(x) = \lvert a \rvert$ : dans le premier cas $a - 0 = a$ et $a + 0 = \lvert a \rvert$, dans le second $0 - (-a) = a$ et $0 + (-a) = \lvert a \rvert$.

Compétences à pratiquer

Calculer une somme ou un produit de fonctions ★
Évaluer $\lvert f \rvert$, $f^{+}$ et $f^{-}$ ★
Établir des identités sur $\lvert f \rvert$, $f^{+}$ et $f^{-}$ ★★

II.2 Ensemble de définition d'une formule

De la formule à son ensemble de définition

Une formule est construite à partir de fonctions élémentaires par des sommes, des produits, des quotients et des compositions, et elle n'a un sens que là où chaque ingrédient en a un. L'ensemble de définition d'une formule est donc une intersection de conditions, une pour chaque ingrédient, et les conditions d'un ingrédient placé à l'intérieur d'un autre sont portées par la composée. La Proposition « Ensemble de définition d'une combinaison de fonctions » énonce les trois règles de cette construction, et la Méthode « Trouver l'ensemble de définition d'une fonction réelle » les applique dans l'ordre.

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Proposition — Ensemble de définition d'une combinaison de fonctions

Soient $f$ et $g$ des fonctions réelles, d'ensembles de définition $D_f$ et $D_g$. Chaque formule a un sens exactement sur l'ensemble indiqué :

$D_{f + g} = D_{fg} = D_f \cap D_g$ pour la somme $x \mapsto f(x) + g(x)$ et le produit $x \mapsto f(x)\,g(x)$ ;
$D_{\frac{f}{g}} = \{x \in D_f \cap D_g \mid g(x) \ne 0\}$ pour le quotient $x \mapsto \frac{f(x)}{g(x)}$ ;
$D_{g \circ f} = \{x \in D_f \mid f(x) \in D_g\}$ pour la composée $x \mapsto g(f(x))$.

Preuve

Une formule a un sens exactement lorsque les réels qu'elle combine existent et que l'opération peut être effectuée sur eux.
Somme et produit. Une somme, ou un produit, exige ses deux termes, ou ses deux facteurs : $$ \begin{aligned} x \in D_{f + g} &\iff f(x) \text{ et } g(x) \text{ existent tous deux} && \text{(une somme exige ses deux termes)} \\ &\iff x \in D_f \text{ et } x \in D_g && \text{(définition des deux ensembles)} \\ &\iff x \in D_f \cap D_g. \end{aligned} $$ La même chaîne, avec « un produit exige ses deux facteurs » à sa première ligne, donne $D_{fg} = D_f \cap D_g$.
Quotient. Le nombre $\frac{f(x)}{g(x)}$ existe exactement lorsque $f(x)$ et $g(x)$ existent et que le dénominateur $g(x)$ est non nul, c'est-à-dire lorsque $x \in D_f \cap D_g$ et $g(x) \ne 0$.
Composée. Le nombre $g(f(x))$ existe exactement lorsque $f(x)$ existe, c'est-à-dire $x \in D_f$, et lorsque $g$ est définie en ce nombre, c'est-à-dire $f(x) \in D_g$ ; c'est la condition de la Méthode « Composer : les ensembles d'abord » du chapitre Applications.

Exemple — Une racine carrée

Déterminer l'ensemble de définition de $f \colon x \mapsto \sqrt{x + 3}$.

Correction

La fonction $\sqrt{\cdot}$ est définie exactement sur $\mathbb{R}_+$, donc, par la Proposition « Ensemble de définition d'une combinaison de fonctions » pour une composée, $$ \begin{aligned} x \in D_f &\iff x + 3 \in \mathbb{R}_+ && \text{(ensemble de définition d'une composée)} \\ &\iff x \ge -3. \end{aligned} $$ Donc $D_f = [-3, +\infty[$.

Exemple — Un logarithme de trinôme

Déterminer l'ensemble de définition de $g \colon x \mapsto \ln(x^2 - 3x + 2)$.

Correction

La fonction $\ln$ est définie exactement sur $]0, +\infty[$, donc $$ \begin{aligned} x \in D_g &\iff x^2 - 3x + 2 > 0 && \text{(ensemble de définition d'une composée)} \\ &\iff (x - 1)(x - 2) > 0 && \text{(factorisation)} \\ &\iff x < 1 \text{ ou } x > 2. \end{aligned} $$ La dernière équivalence vaut parce qu'un produit de deux réels non nuls est strictement positif exactement lorsque les deux facteurs ont le même signe : tous deux strictement positifs, $x > 2$, ou tous deux strictement négatifs, $x < 1$. Donc $D_g = \,]-\infty, 1[ \, \cup \, ]2, +\infty[$.

Exemple — Trois conditions à la fois

Déterminer l'ensemble de définition de $h \colon x \mapsto \dfrac{1 + e^{\sqrt{x}}}{x \sqrt{2 - x}}$.

Correction

Trois conditions valent à la fois. Le numérateur contient $\sqrt{x}$, qui exige $x \ge 0$. Le dénominateur contient $\sqrt{2 - x}$, qui exige $2 - x \ge 0$, c'est-à-dire $x \le 2$. Le dénominateur ne doit pas s'annuler : $x \sqrt{2 - x} \ne 0$ signifie $x \ne 0$ et $\sqrt{2 - x} \ne 0$, c'est-à-dire $x \ne 2$. Par la Proposition « Ensemble de définition d'une combinaison de fonctions », $$ \begin{aligned} x \in D_h &\iff x \ge 0 \text{ et } x \le 2 \text{ et } x \ne 0 \text{ et } x \ne 2 && \text{(les trois conditions)} \\ &\iff 0 < x < 2. \end{aligned} $$ Donc $D_h = \,]0, 2[$.

Méthode — Trouver l'ensemble de définition d'une fonction réelle

Pour trouver l'ensemble de définition d'une fonction donnée par une formule :

Lister les ingrédients : les fonctions élémentaires de la formule — $\sqrt{u}$, $\ln u$, $\frac{1}{u}$, $\tan u$ — et les opérations qui les joignent : somme, produit, quotient, composition.
Écrire la condition de chaque ingrédient : $u \ge 0$ pour $\sqrt{u}$, $u > 0$ pour $\ln u$, $u \ne 0$ pour un dénominateur $u$, $u \notin \frac{\pi}{2} + \pi\mathbb{Z}$ pour $\tan u$. Un ingrédient placé à l'intérieur d'un autre ajoute ses propres conditions à celles de l'ingrédient extérieur, par la Proposition « Ensemble de définition d'une combinaison de fonctions ».
Prendre l'intersection de toutes les conditions et résoudre : l'ensemble des solutions est $D_f$.

Un dénominateur qui contient une racine donne deux conditions : la racine doit être définie, et elle ne doit pas s'annuler.
Par exemple, pour $f \colon x \mapsto \frac{\ln x}{\sqrt{4 - x^2}}$ : $\ln x$ exige $x > 0$ ; $\sqrt{4 - x^2}$ exige $4 - x^2 \ge 0$, c'est-à-dire $-2 \le x \le 2$ ; le dénominateur exige $\sqrt{4 - x^2} \ne 0$, c'est-à-dire $x \ne -2$ et $x \ne 2$. L'intersection des quatre conditions est $D_f = \,]0, 2[$.

Compétences à pratiquer

Compter les entiers d'un ensemble de définition ★
Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction ★
Déterminer un ensemble de définition avec une valeur absolue ou un trinôme ★★
Déterminer l'ensemble de définition d'une composée ★★

III Parité, imparité, périodicité

Deux symétries

Deux symétries raccourcissent l'étude d'une fonction. Une symétrie du graphe par rapport à l'axe des ordonnées ou par rapport à l'origine double ce que montre une moitié du graphe : c'est la parité. Une symétrie du graphe par une translation répète un morceau de lui indéfiniment : c'est la périodicité. Toutes deux se définissent par une égalité entre valeurs. Les règles qui les décident pour les sommes, les produits et les composées sont démontrées, les graphes des fonctions qui les possèdent sont décrits, et la façon dont elles réduisent le domaine d'une étude fait l'objet d'une Méthode.

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III.1 Fonctions paires et impaires

Symétrie par rapport à l'axe et à l'origine

Le lycée lisait la parité sur une courbe : symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, ou par rapport à l'origine. La définition la lit sur les valeurs, en comparant $f(-x)$ à $f(x)$. Elle exige d'abord que $-x$ appartienne à l'ensemble de définition chaque fois que $x$ y appartient, faute de quoi $f(-x)$ n'existe pas ; cette condition, facile à oublier, est la première chose à vérifier, comme le montre le Piège « le domaine doit d'abord être symétrique ».

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Définition — Fonction paire, fonction impaire

Soient $E \subset \mathbb{R}$ une partie symétrique par rapport à $0$, c'est-à-dire telle que $x \in E \Rightarrow -x \in E$, et $f \colon E \to \mathbb{R}$ une fonction.

$f$ est paire si $\forall x \in E, \ f(-x) = f(x)$.
$f$ est impaire si $\forall x \in E, \ f(-x) = -f(x)$.

Seule une fonction définie sur une partie symétrique par rapport à $0$ peut être paire ou impaire : sur une autre partie, $f(-x)$ n'existe pas pour certains $x \in E$. La lecture géométrique, la symétrie du graphe, est la Proposition « Symétrie du graphe d'une fonction paire ou impaire ».

Exemple — Puissances paires et impaires

Pour $k \in \mathbb{N}$, la fonction $x \mapsto x^{2k}$ est paire et la fonction $x \mapsto x^{2k+1}$ est impaire : pour tout $x \in \mathbb{R}$, $$ \begin{aligned} (-x)^{2k} &= \big((-x)^2\big)^k && \text{(puissance d'une puissance)} \\ &= (x^2)^k && \text{($(-x)^2 = x^2$)} \\ &= x^{2k}, \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} (-x)^{2k+1} &= (-x)^{2k} (-x) && \text{(règle des exposants)} \\ &= x^{2k} (-x) && \text{(le cas pair)} \\ &= -x^{2k+1}. \end{aligned} $$ Tout monôme de degré pair est pair, et tout monôme de degré impair est impair.

Exemple — Fonctions de référence paires et impaires

La valeur absolue est paire sur $\mathbb{R}$, puisque $\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert$, et le cosinus aussi, puisque $\cos(-x) = \cos x$. Le sinus, la tangente et l'identité $x \mapsto x$ sont impairs : $\sin(-x) = -\sin x$, $-x = -(x)$, et, sur l'ensemble de définition de la tangente, $$ \begin{aligned} \tan(-x) &= \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} && \text{(définition de la tangente)} \\ &= \frac{-\sin x}{\cos x} && \text{(sinus impair, cosinus pair)} \\ &= -\tan x. \end{aligned} $$ Cet ensemble, $\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$, est symétrique par rapport à $0$, puisque $-\big(\frac{\pi}{2} + k\pi\big) = \frac{\pi}{2} + (-k - 1)\pi$.

Proposition — Symétrie du graphe d'une fonction paire ou impaire

Soient $E \subset \mathbb{R}$ une partie symétrique par rapport à $0$ et $f \colon E \to \mathbb{R}$ une fonction.

$f$ est paire si et seulement si $\Gamma_f$ est invariant par la symétrie $(x, y) \mapsto (-x, y)$ par rapport à l'axe des ordonnées.
$f$ est impaire si et seulement si $\Gamma_f$ est invariant par la symétrie $(x, y) \mapsto (-x, -y)$ par rapport à l'origine.
Si $f$ est impaire et $0 \in E$, alors $f(0) = 0$.

« Invariant » signifie que l'image de $\Gamma_f$ par la transformation est $\Gamma_f$.

Preuve

Soient $\varepsilon \in \{1, -1\}$ et $\sigma_\varepsilon(x, y) = (-x, \varepsilon y)$ : $\sigma_1$ est la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées et $\sigma_{-1}$ la symétrie par rapport à l'origine, et $\sigma_\varepsilon \circ \sigma_\varepsilon = \mathrm{Id}$. Si $\sigma_\varepsilon(\Gamma_f) \subset \Gamma_f$, alors $\Gamma_f = \sigma_\varepsilon\big(\sigma_\varepsilon(\Gamma_f)\big) \subset \sigma_\varepsilon(\Gamma_f)$, donc $\sigma_\varepsilon(\Gamma_f) = \Gamma_f$ : l'invariance de $\Gamma_f$ équivaut à l'inclusion $\sigma_\varepsilon(\Gamma_f) \subset \Gamma_f$. On utilise qu'un point $(u, v)$ est sur $\Gamma_f$ exactement lorsque $u \in E$ et $v = f(u)$. Les deux premiers points sont les deux cas d'une même équivalence, $$ \forall x \in E, \ f(-x) = \varepsilon f(x) \iff \sigma_\varepsilon(\Gamma_f) \subset \Gamma_f, $$ avec $\varepsilon = 1$ pour les fonctions paires et $\varepsilon = -1$ pour les fonctions impaires.
($\Rightarrow$) Supposons que $f(-x) = \varepsilon f(x)$ pour tout $x \in E$, et soit $(x, y) \in \Gamma_f$, donc $x \in E$ et $y = f(x)$. Alors $-x \in E$ et $f(-x) = \varepsilon f(x) = \varepsilon y$, donc $\sigma_\varepsilon(x, y) = (-x, \varepsilon y) \in \Gamma_f$. ($\Leftarrow$) Supposons $\sigma_\varepsilon(\Gamma_f) \subset \Gamma_f$ et soit $x \in E$. Le point $(x, f(x))$ est sur $\Gamma_f$, donc $\sigma_\varepsilon\big(x, f(x)\big) = \big(-x, \varepsilon f(x)\big)$ est sur $\Gamma_f$, c'est-à-dire $f(-x) = \varepsilon f(x)$.
La valeur en $0$. Si $0 \in E$ et si $f$ est impaire, alors prendre $x = 0$ dans $f(-x) = -f(x)$ donne $f(0) = -f(0)$, donc $2f(0) = 0$ et $f(0) = 0$.

Proposition — Parité des sommes, produits et composées

Soient $E \subset \mathbb{R}$ une partie symétrique par rapport à $0$ et $f, g \colon E \to \mathbb{R}$ deux fonctions, chacune paire ou impaire. On note $\varepsilon_f = 1$ si $f$ est paire et $\varepsilon_f = -1$ si $f$ est impaire, de sorte que $f(-x) = \varepsilon_f f(x)$ pour tout $x \in E$ (pour la fonction nulle, à la fois paire et impaire, l'un ou l'autre signe convient), et de même $\varepsilon_g$ pour $g$.

Produit et quotient : $fg$ et $\frac{f}{g}$ ont la parité $\varepsilon_f \varepsilon_g$ : paire si $f$ et $g$ ont la même parité, impaire sinon. Le quotient est défini sur $\{x \in E \mid g(x) \ne 0\}$, partie symétrique par rapport à $0$.
Somme : si $f$ et $g$ sont toutes deux paires, $f + g$ est paire ; si toutes deux impaires, $f + g$ est impaire. Si l'une est paire et l'autre impaire, la somme n'est en général ni l'une ni l'autre.
Composée : soit $h \colon F \to \mathbb{R}$ une fonction, $F$ symétrique par rapport à $0$, avec $f(E) \subset F$. Si $f$ est paire, $h \circ f$ est paire. Si $f$ est impaire et $h$ paire ou impaire, $h \circ f$ a la parité de $h$.

Preuve

Soit $x \in E$ ; par la définition de $\varepsilon_f$ et de $\varepsilon_g$, $f(-x) = \varepsilon_f f(x)$ et $g(-x) = \varepsilon_g g(x)$, avec $\varepsilon_f, \varepsilon_g \in \{1, -1\}$.
Produit. $$ \begin{aligned} (fg)(-x) &= f(-x) \, g(-x) && \text{(définition du produit)} \\ &= \varepsilon_f f(x) \, \varepsilon_g g(x) && \text{(parité de $f$ et de $g$)} \\ &= \varepsilon_f \varepsilon_g \, (fg)(x), \end{aligned} $$ donc $fg$ est paire si $\varepsilon_f \varepsilon_g = 1$ et impaire si $\varepsilon_f \varepsilon_g = -1$.
Quotient. Si $g(x) \ne 0$, alors $g(-x) = \varepsilon_g g(x) \ne 0$ : l'ensemble où $g$ ne s'annule pas est symétrique par rapport à $0$. Pour un tel $x$, $$ \begin{aligned} \frac{f}{g}(-x) &= \frac{f(-x)}{g(-x)} && \text{(définition du quotient)} \\ &= \frac{\varepsilon_f f(x)}{\varepsilon_g g(x)} && \text{(parité de $f$ et de $g$)} \\ &= \varepsilon_f \varepsilon_g \, \frac{f}{g}(x), \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $\frac{1}{\varepsilon_g} = \varepsilon_g$.
Somme. Si $\varepsilon_f = \varepsilon_g = \varepsilon$, $$ \begin{aligned} (f + g)(-x) &= f(-x) + g(-x) && \text{(définition de la somme)} \\ &= \varepsilon f(x) + \varepsilon g(x) && \text{(parité de $f$ et de $g$)} \\ &= \varepsilon \, (f + g)(x). \end{aligned} $$ Si $f$ est paire et $g$ impaire, alors $(f + g)(-x) = f(x) - g(x)$, qui est égal à $(f + g)(x)$ pour tout $x$ si et seulement si $g = 0$, et à $-(f + g)(x)$ pour tout $x$ si et seulement si $f = 0$ ; l'autre cas est le même, la somme étant commutative. Donc la somme n'est en général ni paire ni impaire : elle n'est l'une des deux que si $f$ ou $g$ est la fonction nulle, la seule fonction à la fois paire et impaire. Par exemple $x \mapsto 1 + x$, somme de la fonction paire $x \mapsto 1$ et de la fonction impaire $x \mapsto x$, prend la valeur $2$ en $1$ et la valeur $0$ en $-1$, et $0 \ne 2$, $0 \ne -2$.
Composée. Le nombre $f(-x) = \varepsilon_f f(x)$ est dans $F$, car $F$ est symétrique par rapport à $0$ et $f(x) \in F$, donc $$ \begin{aligned} (h \circ f)(-x) &= h\big(f(-x)\big) && \text{(définition de la composée)} \\ &= h\big(\varepsilon_f f(x)\big), \end{aligned} $$ la dernière étape par la parité de $f$. Si $f$ est paire, $\varepsilon_f = 1$ et c'est $h\big(f(x)\big) = (h \circ f)(x)$ : $h \circ f$ est paire. Si $f$ est impaire, c'est $h\big(-f(x)\big) = \varepsilon_h \, h\big(f(x)\big) = \varepsilon_h \, (h \circ f)(x)$, où $\varepsilon_h$ est défini pour $h$ comme $\varepsilon_f$ l'est pour $f$ : $h \circ f$ a la parité de $h$.
Seconde démonstration : les cas. Pour le produit et la somme, les deux parités de $f$ et de $g$ donnent quatre cas, qui couvrent toutes les possibilités. Toutes deux paires : $(fg)(-x) = f(x) \, g(x)$ et $(f + g)(-x) = f(x) + g(x)$, donc $fg$ et $f + g$ sont paires. Toutes deux impaires : $(fg)(-x) = \big(-f(x)\big)\big(-g(x)\big) = (fg)(x)$, donc $fg$ est paire, et $(f + g)(-x) = -f(x) - g(x) = -(f + g)(x)$, donc $f + g$ est impaire. L'une paire et l'autre impaire : $(fg)(-x) = f(x)\big(-g(x)\big) = -(fg)(x)$ ou $\big(-f(x)\big) g(x) = -(fg)(x)$, donc $fg$ est impaire ; la somme n'est en général ni paire ni impaire, comme l'a montré la première démonstration avec $x \mapsto 1 + x$. Les résultats sont rassemblés dans le tableau.

$f$	$g$	$f + g$	$fg$
paire	paire	paire	paire
paire	impaire	en général ni l'une ni l'autre	impaire
impaire	paire	en général ni l'une ni l'autre	impaire
impaire	impaire	impaire	paire

Proposition — Parties paire et impaire

Soient $E \subset \mathbb{R}$ une partie symétrique par rapport à $0$ et $f \colon E \to \mathbb{R}$ une fonction. Il existe un et un seul couple $(p, i)$ de fonctions sur $E$, avec $p$ paire et $i$ impaire, tel que $f = p + i$, à savoir $$ p(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}, \qquad i(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}. $$ Les fonctions $p$ et $i$ sont la partie paire et la partie impaire de $f$.

Preuve

On démontre l'existence et l'unicité par analyse et synthèse.
Analyse. Supposons que $f = p + i$ avec $p$ paire et $i$ impaire, et soit $x \in E$. Alors $-x \in E$, et $$ \begin{aligned} f(x) &= p(x) + i(x), \\ f(-x) &= p(-x) + i(-x) && \text{($f = p + i$ au point $-x$)} \\ &= p(x) - i(x), \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $p$ est paire et $i$ impaire. En additionnant les deux égalités on obtient $f(x) + f(-x) = 2p(x)$, et en les soustrayant $f(x) - f(-x) = 2i(x)$. Donc $p(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ et $i(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$ pour tout $x \in E$ : le couple $(p, i)$ est déterminé par $f$, ce qui démontre l'unicité.
Synthèse. Définissons $p$ et $i$ par ces deux formules. Pour $x \in E$, $$ \begin{aligned} p(-x) &= \frac{f(-x) + f(x)}{2} && \text{(définition de $p$ en $-x$)} \\ &= \frac{f(x) + f(-x)}{2} && \text{(commutativité de la somme)} \\ &= p(x), \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} i(-x) &= \frac{f(-x) - f(x)}{2} && \text{(définition de $i$ en $-x$)} \\ &= -\frac{f(x) - f(-x)}{2} && \text{(mise en facteur de $-1$)} \\ &= -i(x), \end{aligned} $$ donc $p$ est paire et $i$ est impaire. De plus $$ \begin{aligned} p(x) + i(x) &= \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} && \text{(définitions)} \\ &= \frac{2f(x)}{2} && \text{(les termes $f(-x)$ se simplifient)} \\ &= f(x), \end{aligned} $$ donc $f = p + i$ : le couple existe.
Seconde démonstration de l'unicité : une fonction paire et impaire est nulle. L'existence est la synthèse de la première démonstration. Soient $(p, i)$ et $(p', i')$ deux couples avec $f = p + i = p' + i'$. Alors $h = p - p' = i' - i$. La fonction $h = p - p'$ est paire, comme différence de deux fonctions paires, et $h = i' - i$ est impaire, comme différence de deux fonctions impaires. Pour tout $x \in E$ cela donne $h(x) = h(-x) = -h(x)$, donc $2h(x) = 0$ : $h = 0$. Donc $p = p'$ et $i = i'$.

Exemple — Parties paire et impaire d'une fraction

Déterminer la partie paire et la partie impaire de $f \colon x \mapsto \dfrac{x + 1}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$.

Correction

L'ensemble $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$. Le numérateur $x + 1$ se scinde en le terme pair $1$ et le terme impair $x$, donc $$ f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} + \frac{x}{x^2 + 1}. $$ La fonction $x \mapsto x^2 + 1$ est paire, comme somme des fonctions paires $x \mapsto x^2$ et $x \mapsto 1$, et elle ne s'annule pas. Par la Proposition « Parité des sommes, produits et composées », le quotient $x \mapsto \frac{1}{x^2 + 1}$ de deux fonctions paires est pair, et le quotient $x \mapsto \frac{x}{x^2 + 1}$ de la fonction impaire $x \mapsto x$ par une fonction paire est impair. Par l'unicité de la Proposition « Parties paire et impaire », ces deux fonctions sont la partie paire et la partie impaire de $f$ : $p(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ et $i(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$.
Seconde méthode : les formules. Comme $(-x)^2 + 1 = x^2 + 1$, on a $f(-x) = \frac{-x + 1}{x^2 + 1}$. Par la Proposition « Parties paire et impaire », pour tout $x \in \mathbb{R}$, $$ \begin{aligned} p(x) &= \frac{f(x) + f(-x)}{2} && \text{(partie paire)} \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{x + 1}{x^2 + 1} + \frac{-x + 1}{x^2 + 1} \right) && \text{(définition de $f$)} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{x^2 + 1} && \text{(addition des numérateurs)} \\ &= \frac{1}{x^2 + 1}, \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} i(x) &= \frac{f(x) - f(-x)}{2} && \text{(partie impaire)} \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{x + 1}{x^2 + 1} - \frac{-x + 1}{x^2 + 1} \right) && \text{(définition de $f$)} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} && \text{(soustraction des numérateurs)} \\ &= \frac{x}{x^2 + 1}. \end{aligned} $$ On retrouve la partie paire $x \mapsto \frac{1}{x^2 + 1}$ et la partie impaire $x \mapsto \frac{x}{x^2 + 1}$, et leur somme est bien $f$.

Proposition — Réciproque d'une bijection impaire

Soient $E \subset \mathbb{R}$ une partie symétrique par rapport à $0$ et $f \colon E \to F$ une bijection impaire, avec $F = f(E)$. Alors $F$ est symétrique par rapport à $0$, et la bijection réciproque $f^{-1} \colon F \to E$ est impaire.

Preuve

Soient $y \in F$ et $x = f^{-1}(y) \in E$, de sorte que $y = f(x)$. Alors $-x \in E$, et, $f$ étant impaire, $f(-x) = -f(x) = -y$. Donc $-y = f(-x)$ appartient à $F$ : l'ensemble $F$ est symétrique par rapport à $0$. De plus $$ \begin{aligned} f^{-1}(-y) &= f^{-1}\big(f(-x)\big) && \text{($-y = f(-x)$)} \\ &= -x && \text{($f^{-1} \circ f = \mathrm{Id}_E$)} \\ &= -f^{-1}(y), \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $x = f^{-1}(y)$. Cela vaut pour tout $y \in F$ : $f^{-1}$ est impaire.

Méthode — Étudier la parité d'une fonction

Pour décider si une fonction $f$ est paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre :

L'ensemble de définition d'abord : trouver $D_f$ et vérifier qu'il est symétrique par rapport à $0$. Si un $x \in D_f$ a $-x \notin D_f$, la fonction n'est ni paire ni impaire.
Calculer $f(-x)$ pour $x \in D_f$, et le simplifier.
Comparer : si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x \in D_f$, la fonction est paire ; si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x \in D_f$, elle est impaire.
Pour montrer qu'elle n'est ni l'une ni l'autre : la parité est un énoncé universel, donc sa négation se démontre par des témoins. Exhiber un point $a$ avec $f(-a) \ne f(a)$, qui réfute la parité, et un point $b$ avec $f(-b) \ne -f(b)$, qui réfute l'imparité.
Par les règles : lorsque $f$ est construite à partir de fonctions paires et impaires par des sommes, des produits, des quotients et des composées, la Proposition « Parité des sommes, produits et composées » décide sans calculer.

Par exemple, soit $f \colon x \mapsto \frac{x^3}{x^2 + 1} + \sin x$ sur $\mathbb{R}$. En calculant, $$ \begin{aligned} f(-x) &= \frac{(-x)^3}{(-x)^2 + 1} + \sin(-x) && \text{(définition de $f$)} \\ &= -\frac{x^3}{x^2 + 1} - \sin x && \text{($(-x)^3 = -x^3$, $(-x)^2 = x^2$, sinus impair)} \\ &= -f(x), \end{aligned} $$ donc $f$ est impaire. Par les règles, $x \mapsto x^3$ est impaire et $x \mapsto x^2 + 1$ est paire, donc leur quotient est impair ; $\sin$ est impaire ; et une somme de deux fonctions impaires est impaire.

Piège — le domaine doit d'abord être symétrique

Une fonction définie sur une partie qui n'est pas symétrique par rapport à $0$ n'est ni paire ni impaire, quelle que soit sa formule. La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est définie sur $\mathbb{R}_+$ : pour $x > 0$, $-x$ est hors de l'ensemble de définition et $f(-x)$ n'existe pas, donc l'égalité $f(-x) = \pm f(x)$ n'a même pas de sens. De même la fonction $f \colon [-1, 2] \to \mathbb{R}$, $x \mapsto x^2$, a une formule paire mais n'est pas paire, puisque $2 \in [-1, 2]$ et $-2 \notin [-1, 2]$. La parité est une propriété de la fonction, donc de son ensemble de définition autant que de sa formule : l'ensemble de définition se vérifie avant tout calcul.

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Compétences à pratiquer

Reconnaître la parité ★
Utiliser la parité pour calculer une valeur ★
Étudier la parité d'une fonction ★
Utiliser la parité des sommes, produits et composées ★★
Travailler avec les parties paire et impaire d'une fonction ★★

III.2 Fonctions périodiques

Un graphe qui se répète

Une fonction est périodique lorsque son graphe se répète : les mêmes valeurs reviennent à intervalles réguliers. La définition demande un nombre $T > 0$ tel que $f(x + T) = f(x)$ pour tout $x$, et elle demande que l'ensemble de définition se répète lui aussi, faute de quoi $f(x + T)$ n'existerait pas. Une fonction périodique a une période, jamais la période : tout multiple d'une période est encore une période, comme le démontre la Proposition « Périodes d'une fonction ».

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Définition — Fonction périodique

Soient $E \subset \mathbb{R}$ et $T > 0$. On dit que $E$ est $T$-périodique si $\forall x \in E, x + T \in E$ et $x - T \in E$. Une fonction $f : E \to \mathbb{R}$ définie sur un ensemble $T$-périodique est $T$-périodique si $$ \textcolor{colordef}{\forall x \in E, \quad f(x + T) = f(x).} $$ On dit alors que $T$ est une période de $f$. On dit que $f$ est périodique s'il existe au moins un $T > 0$ tel que $f$ soit $T$-périodique.

Exemple — Fonctions périodiques et non périodiques

Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont $2\pi$-périodiques sur $\mathbb{R}$. La fonction $\tan$ est $\pi$-périodique sur son ensemble de définition, qui est une partie $\pi$-périodique. La fonction $x \mapsto e^x$ n'est pas périodique : si $T > 0$ était une période, alors pour tout $x \in \mathbb{R}$ $$ \begin{aligned} e^x &= e^{x + T} && \text{($T$ est une période)} \\ &= e^T e^x, \end{aligned} $$ la dernière étape par $e^{x + y} = e^x e^y$, donc $e^T = 1$ après division par $e^x > 0$, ce qui contredit $e^T > 1$.

Proposition — Périodes d'une fonction

Soit $T > 0$ une période d'une fonction $f \colon E \to \mathbb{R}$, où $E$ est une partie $T$-périodique.

Pour tout $k \in \mathbb{Z}$ et tout $x \in E$, $x + kT \in E$ et $f(x + kT) = f(x)$.
Pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, $kT$ est une période de $f$.
Si $T' > T$ est une autre période de $f$, alors $T' - T$ est une période de $f$.

Une fonction périodique a donc une infinité de périodes : on parle d'une période, pas de la période.

Preuve

Soit $H$ l'ensemble des réels $t$ tels que, pour tout $x \in E$, $x + t \in E$, $x - t \in E$ et $f(x + t) = f(x)$. Par hypothèse $T \in H$, et $0 \in H$. L'ensemble $H$ est stable par opposé et par somme : c'est un sous-groupe additif de $\mathbb{R}$.
Opposé. Soient $t \in H$ et $x \in E$. Alors $x - t \in E$ et $x + t \in E$, et, $t$ étant dans $H$ au point $x - t \in E$, $f(x) = f\big((x - t) + t\big) = f(x - t)$. Donc $-t \in H$.
Somme. Soient $s, t \in H$ et $x \in E$. Alors $x + t \in E$, donc $x + t + s \in E$ ; $x - t \in E$, donc $x - t - s \in E$ ; et $$ \begin{aligned} f\big(x + (t + s)\big) &= f\big((x + t) + s\big) && \text{(associativité de l'addition)} \\ &= f(x + t) && \text{($s \in H$, au point $x + t \in E$)} \\ &= f(x), \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $t \in H$. Donc $t + s \in H$.
Premier point. Par récurrence sur $k \in \mathbb{N}$, $kT \in H$ : c'est vrai pour $k = 0$, et $kT \in H$ donne $(k + 1)T = kT + T \in H$ par la somme. Pour $k < 0$, $kT = -\big((-k)T\big) \in H$ par l'opposé. Donc, pour tout $k \in \mathbb{Z}$ et tout $x \in E$, $x + kT \in E$ et $f(x + kT) = f(x)$.
Deuxième point. Soit $k \in \mathbb{N}^*$. Alors $kT > 0$ et $kT \in H$ : l'ensemble $E$ est $kT$-périodique et $f(x + kT) = f(x)$ pour $x \in E$, donc $kT$ est une période de $f$.
Troisième point. Soit $T' > T$ une période de $f$, de sorte que $E$ est aussi $T'$-périodique : $T' \in H$. Comme $-T \in H$, $T' - T = T' + (-T) \in H$, et $T' - T > 0$ : c'est une période de $f$.

Proposition — Opérations sur les fonctions périodiques

Soient $T > 0$, $E$ une partie $T$-périodique de $\mathbb{R}$, et $f, g \colon E \to \mathbb{R}$ deux fonctions $T$-périodiques.

$f + g$ et $fg$ sont $T$-périodiques sur $E$. Si $g$ ne s'annule pas sur $E$, $\frac{f}{g}$ est $T$-périodique sur $E$.
Composée : pour une fonction $h$ définie sur un ensemble qui contient $f(E)$, $h \circ f$ est $T$-périodique sur $E$.
Dilatation : pour $\omega \ne 0$, la fonction $x \mapsto f(\omega x)$ est $\frac{T}{\lvert \omega \rvert}$-périodique sur l'ensemble $E_\omega = \{x \in \mathbb{R} \mid \omega x \in E\}$.

Preuve

Soit $x \in E$.
Somme, produit, quotient. $$ \begin{aligned} (f + g)(x + T) &= f(x + T) + g(x + T) && \text{(définition de la somme)} \\ &= f(x) + g(x) && \text{($f$ et $g$ sont $T$-périodiques)} \\ &= (f + g)(x). \end{aligned} $$ La même chaîne donne $$ \begin{aligned} (fg)(x + T) &= f(x + T) \, g(x + T) && \text{(définition du produit)} \\ &= f(x) \, g(x) && \text{($f$ et $g$ sont $T$-périodiques)} \\ &= (fg)(x), \end{aligned} $$ et, si $g$ ne s'annule pas sur $E$, $$ \begin{aligned} \frac{f}{g}(x + T) &= \frac{f(x + T)}{g(x + T)} && \text{(définition du quotient)} \\ &= \frac{f(x)}{g(x)} && \text{($f$ et $g$ sont $T$-périodiques)} \\ &= \frac{f}{g}(x). \end{aligned} $$ Composée. $$ \begin{aligned} (h \circ f)(x + T) &= h\big(f(x + T)\big) && \text{(définition de la composée)} \\ &= h\big(f(x)\big) && \text{($f$ est $T$-périodique)} \\ &= (h \circ f)(x). \end{aligned} $$ Dilatation. Soient $\omega \ne 0$, $\eta = \frac{\omega}{\lvert \omega \rvert} \in \{1, -1\}$, et $\varphi(x) = f(\omega x)$ sur $E_\omega$. Pour $x \in E_\omega$, $\omega x \in E$, donc $\omega x + \eta T \in E$ et $\omega x - \eta T \in E$, car $E$ est $T$-périodique ; ce sont $\omega \big(x + \frac{T}{\lvert \omega \rvert}\big)$ et $\omega \big(x - \frac{T}{\lvert \omega \rvert}\big)$, donc $x \pm \frac{T}{\lvert \omega \rvert} \in E_\omega$ : l'ensemble $E_\omega$ est $\frac{T}{\lvert \omega \rvert}$-périodique. Alors $$ \begin{aligned} \varphi\Big(x + \frac{T}{\lvert \omega \rvert}\Big) &= f\Big(\omega x + \omega \, \frac{T}{\lvert \omega \rvert}\Big) && \text{(définition de $\varphi$)} \\ &= f(\omega x + \eta T) && \text{($\omega / \lvert \omega \rvert = \eta$)} \\ &= f(\omega x) && \text{($f(y + kT) = f(y)$ pour $k \in \mathbb{Z}$, ici $k = \eta$)} \\ &= \varphi(x). \end{aligned} $$ L'avant-dernière étape est la Proposition « Périodes d'une fonction » pour $k = 1$ si $\omega > 0$ et $k = -1$ si $\omega < 0$.

Proposition — Périodes commensurables

Soient $E \subset \mathbb{R}$ une partie à la fois $T$-périodique et $T'$-périodique, avec $T, T' > 0$, $f \colon E \to \mathbb{R}$ une fonction $T$-périodique et $g \colon E \to \mathbb{R}$ une fonction $T'$-périodique, et supposons que $\frac{T}{T'} = \frac{p}{q}$ avec $p, q \in \mathbb{N}^*$. Alors $f + g$ et $fg$ sont $qT$-périodiques, et $qT = pT'$.

Preuve

De $\frac{T}{T'} = \frac{p}{q}$ on tire $qT = pT'$. Par la Proposition « Périodes d'une fonction », $qT$, multiple de la période $T$ de $f$, est une période de $f$, et $pT' = qT$, multiple de la période $T'$ de $g$, est une période de $g$. Donc $f$ et $g$ sont toutes deux $qT$-périodiques, sur l'ensemble $qT$-périodique $E$, et la Proposition « Opérations sur les fonctions périodiques » montre que $f + g$ et $fg$ sont $qT$-périodiques.

Proposition — Graphe d'une fonction périodique

Soit $f \colon E \to \mathbb{R}$ une fonction $T$-périodique et $a \in \mathbb{R}$.

Le graphe $\Gamma_f$ est invariant par toute translation de vecteur $kT\,\vec{\imath}$, $k \in \mathbb{Z}$.
$\Gamma_f$ est la réunion, pour $k \in \mathbb{Z}$, des translatés par $kT\,\vec{\imath}$ de son morceau $\Gamma_0 = \{(x, f(x)) \mid x \in E \cap [a, a + T[\}$ au-dessus de l'intervalle $[a, a + T[$.

En particulier $f$ est connue par sa restriction à $E \cap [a, a + T[$ : pour $x \in E$, $f(x) = f(x - kT)$ avec $k = \big\lfloor \frac{x - a}{T} \big\rfloor$ et $x - kT \in [a, a + T[$.

Preuve

Soit $t_k$ la translation de vecteur $kT\,\vec{\imath}$, $t_k(x, y) = (x + kT, y)$.
Invariance. Soit $(x, y) \in \Gamma_f$, donc $x \in E$ et $y = f(x)$. Par la Proposition « Périodes d'une fonction », $x + kT \in E$ et $f(x + kT) = f(x) = y$, donc $t_k(x, y) = (x + kT, y) \in \Gamma_f$. Ainsi $t_k(\Gamma_f) \subset \Gamma_f$ pour tout $k \in \mathbb{Z}$ ; appliqué à $-k$, cela donne $t_{-k}(\Gamma_f) \subset \Gamma_f$, donc $\Gamma_f = t_k\big(t_{-k}(\Gamma_f)\big) \subset t_k(\Gamma_f)$, et $t_k(\Gamma_f) = \Gamma_f$.
La réunion. Comme $\Gamma_0 \subset \Gamma_f$, l'invariance donne $t_k(\Gamma_0) \subset t_k(\Gamma_f) = \Gamma_f$ pour tout $k$ : la réunion des translatés de $\Gamma_0$ est contenue dans $\Gamma_f$. Réciproquement soient $(x, y) \in \Gamma_f$ et $k = \big\lfloor \frac{x - a}{T} \big\rfloor$. Par la définition de la partie entière, $k \le \frac{x - a}{T} < k + 1$, c'est-à-dire $a \le x - kT < a + T$. Posons $r = x - kT$ : alors $r \in E$ par la Proposition « Périodes d'une fonction », $r \in [a, a + T[$, et $f(r) = f(x) = y$. Donc $(r, y) \in \Gamma_0$, et $(x, y) = t_k(r, y)$ appartient au translaté $t_k(\Gamma_0)$. Donc $\Gamma_f$ est la réunion des translatés de $\Gamma_0$. La dernière phrase est ce qu'a montré le calcul de $k$ et de $r$.

Exemple — Une dent de scie

La fonction $f \colon x \mapsto x - \lfloor x \rfloor$ est $1$-périodique sur $\mathbb{R}$. En effet $\lfloor x + 1 \rfloor = \lfloor x \rfloor + 1$, la translation par un entier de la Proposition « Propriétés de $\lfloor \cdot \rfloor$ » du chapitre Nombres réels, puisque $n \le x < n + 1 \iff n + 1 \le x + 1 < n + 2$, donc $$ \begin{aligned} f(x + 1) &= (x + 1) - \lfloor x + 1 \rfloor && \text{(définition de $f$)} \\ &= (x + 1) - (\lfloor x \rfloor + 1) && \text{($\lfloor x + 1 \rfloor = \lfloor x \rfloor + 1$)} \\ &= f(x). \end{aligned} $$ Sur $[0, 1[$, $\lfloor x \rfloor = 0$ et $f(x) = x$ : le morceau du graphe au-dessus de $[0, 1[$ est le segment de $(0, 0)$ à $(1, 1)$, le point $(1, 1)$ exclu. Par la Proposition « Graphe d'une fonction périodique » avec $a = 0$, le graphe entier est la réunion des translatés de ce morceau par les vecteurs $k\,\vec{\imath}$, $k \in \mathbb{Z}$ : au-dessus de $[k, k + 1[$ c'est le segment de $(k, 0)$ à $(k + 1, 1)$, puisque $f(x) = x - k$ sur cet intervalle.

Méthode — Réduire le domaine d'étude par parité ou périodicité

Pour raccourcir l'étude d'une fonction avant de tracer son graphe, utiliser ses symétries :

Périodicité : si $f$ est $T$-périodique, l'étudier sur un intervalle de longueur $T$ intersecté avec $E$, par exemple $E \cap [a, a + T[$, semi-ouvert pour que les deux extrémités ne soient pas comptées deux fois ; la Proposition « Graphe d'une fonction périodique » donne le reste du graphe par les translations $kT\,\vec{\imath}$.
Parité : si $f$ est paire, ou impaire, l'étudier sur $E \cap \mathbb{R}_+$ seulement ; la Proposition « Symétrie du graphe d'une fonction paire ou impaire » donne la moitié gauche par la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, ou par la symétrie par rapport à l'origine.
Les deux : si $f$ est paire, ou impaire, et $T$-périodique, l'étudier sur $E \cap [0, \frac{T}{2}]$ seulement : la périodicité ramène l'étude à $E \cap [-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]$, la partie de $E$ dans un intervalle de longueur $T$, et la parité à sa moitié droite.

Par exemple, soit $f(x) = \cos(2x) + \sin^2 x$ sur $\mathbb{R}$. Elle est paire et $\pi$-périodique : $$ \begin{aligned} f(-x) &= \cos(-2x) + \sin^2(-x) && \text{(définition de $f$)} \\ &= \cos 2x + (-\sin x)^2 && \text{(cosinus pair, sinus impair)} \\ &= f(x), \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} f(x + \pi) &= \cos(2x + 2\pi) + \sin^2(x + \pi) && \text{(définition de $f$)} \\ &= \cos 2x + (-\sin x)^2 && \text{(cosinus $2\pi$-périodique, $\sin(x + \pi) = -\sin x$)} \\ &= f(x). \end{aligned} $$ Il suffit donc d'étudier $f$ sur $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Compétences à pratiquer

Reconnaître une période ★
Calculer une période ★
Utiliser la périodicité pour calculer une valeur ★
Trouver la plus petite période d'une fonction ★★
Réduire le domaine d'étude ★★

IV Transformations du graphe

Un dictionnaire entre formules et graphes

Translater, dilater ou symétriser une fonction déplace son graphe de façon prévisible, et le dictionnaire entre la formule et le dessin fait du tracé une simple lecture. Le signe est le piège : le graphe de $x \mapsto f(x + a)$ est décalé vers la gauche de $a$ lorsque $a > 0$, pas vers la droite. Le Théorème « Transformations affines d'un graphe » énonce le dictionnaire et le démontre par un critère unique sur les points du graphe. Les symétries qu'un graphe peut avoir par rapport à un axe ou à un centre autres que les axes du repère terminent l'étude.

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IV.1 Translations, symétries, dilatations

Six transformations

Une transformation du plan envoie le graphe de $f$ sur le graphe d'une autre fonction. Le Théorème « Transformations affines d'un graphe » liste les six qui comptent, deux symétries, deux translations et deux dilatations, et chacune se démontre par la même phrase : un point $(x, y)$ est sur le nouveau graphe exactement lorsque le point qu'on en obtient par la transformation inverse est sur $\Gamma_f$. La Méthode « Tracer $g(x) = a + \lambda f(\mu x + b)$ à partir de $\Gamma_f$ » les enchaîne ensuite pour tracer un graphe $y = a + \lambda f(\mu x + b)$ à partir du graphe de $f$.

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Théorème — Transformations affines d'un graphe

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$, $a \in \mathbb{R}$ et $\lambda > 0$. Le graphe de chaque fonction listée se déduit de $\Gamma_f$ comme suit.

$x \mapsto -f(x)$ : symétrie de $\Gamma_f$ par rapport à l'axe des abscisses $Ox$.
$x \mapsto f(-x)$ : symétrie de $\Gamma_f$ par rapport à l'axe des ordonnées $Oy$.
$x \mapsto f(x) + a$ : translation de $\Gamma_f$ de vecteur $a\,\vec{\jmath}$, décalage vertical de $a$ vers le haut (vers le bas si $a < 0$).
$x \mapsto f(x + a)$ : translation de $\Gamma_f$ de vecteur $-a\,\vec{\imath}$, décalage horizontal vers la GAUCHE de $a$ (vers la droite si $a < 0$).
$x \mapsto \lambda f(x)$ : dilatation verticale de rapport $\lambda$, qui étire le graphe si $\lambda > 1$ et le contracte si $\lambda < 1$.
$x \mapsto f(\lambda x)$ : dilatation horizontale de rapport $\frac{1}{\lambda}$, qui contracte le graphe si $\lambda > 1$ et l'étire si $\lambda < 1$.

Pour $\lambda < 0$, combiner le cas de $\lvert \lambda \rvert$ avec la symétrie correspondante. Les fonctions $x \mapsto f(-x)$, $x \mapsto f(x + a)$ et $x \mapsto f(\lambda x)$ sont définies sur $\{x \mid -x \in E\}$, $\{x \mid x + a \in E\}$ et $\{x \mid \lambda x \in E\}$ ; les trois autres sont définies sur $E$.

Preuve

Soient $\tau$ une bijection du plan et $g$ une fonction. Si, pour tout $(x, y) \in \mathbb{R}^2$, $$ (x, y) \in \Gamma_g \iff \tau^{-1}(x, y) \in \Gamma_f, $$ alors $\Gamma_g = \{M \mid \tau^{-1}(M) \in \Gamma_f\} = \tau(\Gamma_f)$ : la transformation $\tau$ envoie $\Gamma_f$ sur $\Gamma_g$. C'est le critère ; on le vérifie pour les six fonctions, en rappelant que $(u, v) \in \Gamma_f \iff u \in E \text{ et } v = f(u)$. Dans chaque chaîne, la dernière équivalence est cette définition de $\Gamma_f$.

$g(x) = -f(x)$ sur $E$, $\tau(x, y) = (x, -y)$ et $\tau^{-1} = \tau$ : $$ \begin{aligned} (x, y) \in \Gamma_g &\iff x \in E \text{ et } y = -f(x) && \text{(définition de $\Gamma_g$)} \\ &\iff x \in E \text{ et } -y = f(x) && \text{(multiplication par $-1$)} \\ &\iff (x, -y) \in \Gamma_f. \end{aligned} $$
$g(x) = f(-x)$, $\tau(x, y) = (-x, y)$ et $\tau^{-1} = \tau$ : $$ \begin{aligned} (x, y) \in \Gamma_g &\iff -x \in E \text{ et } y = f(-x) && \text{(définition de $\Gamma_g$)} \\ &\iff (-x, y) \in \Gamma_f. \end{aligned} $$
$g(x) = f(x) + a$ sur $E$, $\tau(x, y) = (x, y + a)$ et $\tau^{-1}(x, y) = (x, y - a)$ : $$ \begin{aligned} (x, y) \in \Gamma_g &\iff x \in E \text{ et } y = f(x) + a && \text{(définition de $\Gamma_g$)} \\ &\iff x \in E \text{ et } y - a = f(x) && \text{(soustraction de $a$)} \\ &\iff (x, y - a) \in \Gamma_f. \end{aligned} $$
$g(x) = f(x + a)$, $\tau(x, y) = (x - a, y)$ et $\tau^{-1}(x, y) = (x + a, y)$ : $$ \begin{aligned} (x, y) \in \Gamma_g &\iff x + a \in E \text{ et } y = f(x + a) && \text{(définition de $\Gamma_g$)} \\ &\iff (x + a, y) \in \Gamma_f. \end{aligned} $$
$g(x) = \lambda f(x)$ sur $E$, $\tau(x, y) = (x, \lambda y)$ et $\tau^{-1}(x, y) = \big(x, \frac{y}{\lambda}\big)$ : $$ \begin{aligned} (x, y) \in \Gamma_g &\iff x \in E \text{ et } y = \lambda f(x) && \text{(définition de $\Gamma_g$)} \\ &\iff x \in E \text{ et } \tfrac{y}{\lambda} = f(x) && \text{(division par $\lambda \ne 0$)} \\ &\iff \big(x, \tfrac{y}{\lambda}\big) \in \Gamma_f. \end{aligned} $$
$g(x) = f(\lambda x)$, $\tau(x, y) = \big(\frac{x}{\lambda}, y\big)$ et $\tau^{-1}(x, y) = (\lambda x, y)$ : $$ \begin{aligned} (x, y) \in \Gamma_g &\iff \lambda x \in E \text{ et } y = f(\lambda x) && \text{(définition de $\Gamma_g$)} \\ &\iff (\lambda x, y) \in \Gamma_f. \end{aligned} $$

Les transformations $\tau$ sont, dans l'ordre : la symétrie par rapport à $Ox$, la symétrie par rapport à $Oy$, la translation de vecteur $a\,\vec{\jmath}$, la translation de vecteur $-a\,\vec{\imath}$, la dilatation verticale de rapport $\lambda$, et la dilatation horizontale de rapport $\frac{1}{\lambda}$. Pour $\lambda < 0$, posons $\mu = \lvert \lambda \rvert$ : $\lambda f = -(\mu f)$ est la symétrie par rapport à $Ox$ du graphe de $\mu f$, et $x \mapsto f(\lambda x) = f(-\mu x)$ est la symétrie par rapport à $Oy$ du graphe de $x \mapsto f(\mu x)$.

Exemple — Du sinus à un sinus transformé

De $y = \sin x$ à $y = 1 - \dfrac{\sin(2x)}{2}$ en trois étapes, par le Théorème « Transformations affines d'un graphe » : (1) la dilatation horizontale de rapport $\frac{1}{2}$, une contraction, donne $\sin(2x)$ ; (2) la dilatation verticale de rapport $\frac{1}{2}$, aussi une contraction, donne $\frac{\sin(2x)}{2}$ ; (3) la symétrie par rapport à $Ox$ donne $-\frac{\sin(2x)}{2}$, puis la translation de vecteur $\vec{\jmath}$ donne $1 - \frac{\sin(2x)}{2}$.

Exemple — Une symétrie par rapport à une droite verticale

Pour un réel $a$ et une fonction $f \colon E \to \mathbb{R}$, identifier le lien géométrique entre $\Gamma_f$ et le graphe de $x \mapsto f(a - x)$.

Correction

On écrit $f(a - x) = f\big(-(x - a)\big)$ et l'on pose $u \colon x \mapsto f(-x)$. Par le Théorème « Transformations affines d'un graphe », $\Gamma_u$ est le symétrique de $\Gamma_f$ par rapport à $Oy$. La fonction $x \mapsto u(x - a) = f\big(-(x - a)\big) = f(a - x)$ est $x \mapsto u(x + (-a))$, donc son graphe est le translaté de $\Gamma_u$ par le vecteur $-(-a)\,\vec{\imath} = a\,\vec{\imath}$. Ainsi le point $(X, Y)$ de $\Gamma_f$ va en $(-X, Y)$, puis en $(a - X, Y)$. Les abscisses $X$ et $a - X$ sont symétriques par rapport à $\frac{a}{2}$, puisque leur milieu est $\frac{X + (a - X)}{2} = \frac{a}{2}$. Donc le graphe de $x \mapsto f(a - x)$ est le symétrique de $\Gamma_f$ par rapport à la droite verticale $x = \frac{a}{2}$.

Exemple — Les transformations élémentaires

Trois transformations élémentaires : une translation verticale, une dilatation verticale, une symétrie par rapport à $Ox$. Chacune se lit comme une opération unique sur le graphe ; la chaîne de l'Exemple « Du sinus à un sinus transformé » en combine plusieurs successivement.

Méthode — Tracer $g(x) \equal a + \lambda f(\mu x + b)$ à partir de $\Gamma_f$

Soient $\mu \ne 0$ et $\lambda \ne 0$ ; l'ensemble de définition de $g$ est $D = \{x \in \mathbb{R} \mid \mu x + b \in E\}$. Écrire l'argument intérieur sous la forme $\mu x + b = \mu\big(x + \frac{b}{\mu}\big)$, et appliquer les transformations dans cet ordre : changer l'ordre peut changer le résultat, car une translation et une dilatation selon un même axe ne commutent pas en général ($2(x + 1) \ne 2x + 1$), alors que deux transformations selon des axes différents commutent.

Dilatation horizontale d'abord : de $\Gamma_f$ au graphe de $u \colon x \mapsto f(\mu x)$, de rapport $\frac{1}{\mu}$ si $\mu > 0$ ; si $\mu < 0$, combiner le cas de $\lvert \mu \rvert$ avec une symétrie par rapport à $Oy$. Le point $(X, Y)$ de $\Gamma_f$ va en $\big(\frac{X}{\mu}, Y\big)$.
Translation horizontale : de $\Gamma_u$ au graphe de $x \mapsto u\big(x + \frac{b}{\mu}\big) = f(\mu x + b)$, par le vecteur $-\frac{b}{\mu}\,\vec{\imath}$ : vers la GAUCHE si $\frac{b}{\mu} > 0$.
Dilatation verticale : multiplier par $\lambda$, avec une symétrie par rapport à $Ox$ si $\lambda < 0$.
Translation verticale : ajouter $a$, par le vecteur $a\,\vec{\jmath}$.

La translation horizontale va vers la gauche lorsque $\frac{b}{\mu} > 0$, alors qu'un nombre strictement positif donne l'impression d'aller « vers la droite ».
Les deux cas exclus se traitent à part. Si $\lambda = 0$, alors $g = a$ sur $D$. Si $\mu = 0$, alors $g(x) = a + \lambda f(b)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ lorsque $b \in E$, et $D = \emptyset$ sinon.
Par exemple, pour tracer $g(x) = 3 - 2\lvert 2x + 1 \rvert$ à partir du graphe de la valeur absolue, un V de sommet l'origine : ici $\mu = 2$, $b = 1$, $\lambda = -2$ et $a = 3$, et $2x + 1 = 2\big(x + \frac{1}{2}\big)$. La dilatation horizontale de rapport $\frac{1}{2}$ donne $\lvert 2x \rvert$ ; la translation de vecteur $-\frac{1}{2}\,\vec{\imath}$, vers la gauche, donne $\lvert 2x + 1 \rvert$, un V de sommet $\big(-\frac{1}{2}, 0\big)$ ; la multiplication par $-2$, une dilatation verticale de rapport $2$ et une symétrie par rapport à $Ox$, donne $-2\lvert 2x + 1 \rvert$, un V renversé ; la translation de vecteur $3\,\vec{\jmath}$ donne $g$, un V renversé de sommet $\big(-\frac{1}{2}, 3\big)$.

Compétences à pratiquer

Calculer l'image d'un point par une transformation ★
Identifier la suite de transformations ★
Tracer le graphe d'une fonction transformée ★★

V Monotonie, fonctions bornées, extrema

L'ordre sur les valeurs d'une fonction

La monotonie dit comment une fonction suit son entrée. Le caractère borné d'une fonction dit jusqu'où vont ses valeurs. Les extrema disent quelles valeurs sont atteintes. Ensemble, ils donnent l'allure générale d'un graphe. Ces notions se définissent par des inégalités entre valeurs, et se démontrent par des inégalités : le signe d'une dérivée, outil d'un chapitre ultérieur, est un test de monotonie, pas sa définition, et les démonstrations ne font appel qu'à l'ordre de $\mathbb{R}$, aux propriétés de la borne supérieure et d'Archimède du chapitre Nombres réels, et à la logique élémentaire.

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V.1 Fonctions monotones

Comparer deux valeurs

Une fonction est monotone lorsqu'elle ne change jamais d'avis : chaque fois que $x$ augmente, $f(x)$ augmente, ou chaque fois que $x$ augmente, $f(x)$ diminue. La définition compare les valeurs en deux points, pour tout couple de points de l'ensemble. Deux conséquences découlent de cette forme. L'ensemble peut être une partie quelconque de $\mathbb{R}$, pas forcément un intervalle ; et un énoncé sur tous les couples se démontre avec un couple générique et se réfute avec deux témoins.

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Définition — Fonction monotone, strictement monotone

Soient $E \subset \mathbb{R}$ et $f : E \to \mathbb{R}$.

$f$ est croissante sur $E$ si $\forall x, y \in E, \ x \le y \Rightarrow f(x) \le f(y)$.
$f$ est strictement croissante sur $E$ si $\forall x, y \in E, \ x < y \Rightarrow f(x) < f(y)$.
$f$ est décroissante sur $E$ si $\forall x, y \in E, \ x \le y \Rightarrow f(x) \ge f(y)$.
$f$ est strictement décroissante sur $E$ si $\forall x, y \in E, \ x < y \Rightarrow f(x) > f(y)$.
$f$ est (strictement) monotone sur $E$ si elle est (strictement) croissante ou (strictement) décroissante sur $E$.

Exemple — Une fonction monotone sur deux morceaux mais pas sur le tout

La fonction $f \colon x \mapsto x^2$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$ et strictement décroissante sur $\mathbb{R}_-$, mais elle n'est pas monotone sur $\mathbb{R}$. Pour le démontrer, on contredit à la fois « croissante » et « décroissante » par un couple de points chacune. La fonction $f$ n'est pas croissante sur $\mathbb{R}$ : $-1 < 0$ mais $f(-1) = 1 > 0 = f(0)$. Elle n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}$ : $0 < 1$ mais $f(0) = 0 < 1 = f(1)$. Donc $f$ n'est monotone dans aucun des deux sens sur $\mathbb{R}$, bien qu'elle soit monotone de chaque côté de $0$.

Exemple — Monotone sur chaque morceau, pas sur la réunion

La fonction $f \colon x \mapsto \frac{1}{x}$ est strictement décroissante sur $]0, +\infty[$ et sur $]-\infty, 0[$ séparément, mais elle n'est pas monotone sur la réunion $\mathbb{R}^* = \,]-\infty, 0[ \, \cup \, ]0, +\infty[$. Elle n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$ : $-1 < 1$ mais $f(-1) = -1 < 1 = f(1)$. Elle n'est pas croissante sur $\mathbb{R}^*$ non plus : $1 < 2$ mais $f(1) = 1 > \frac{1}{2} = f(2)$. La monotonie sur une réunion d'intervalles n'est pas la monotonie sur chaque morceau. Deux morceaux monotones de même sens se recollent lorsqu'ils ont un point commun, comme dans la Proposition « Recoller des morceaux monotones » ; ici les deux morceaux n'ont aucun point commun, le point $0$ manquant, et la conclusion tombe.

Proposition — La stricte monotonie implique l'injectivité

Soient $D$ et $F$ des parties de $\mathbb{R}$ et $f \colon D \to F$ une application. Si $f$ est strictement monotone sur $D$ — strictement croissante ou strictement décroissante —, alors $f$ est injective.

Preuve

Montrons la lecture contraposée de l'injectivité : pour $x, x' \in D$, $x \ne x' \Rightarrow f(x) \ne f(x')$. Soient $x, x' \in D$ avec $x \ne x'$. Par trichotomie, $x < x'$ ou $x' < x$, le cas $x = x'$ étant exclu ; l'énoncé est symétrique en $x$ et $x'$, donc, quitte à échanger leurs noms, on peut supposer $x < x'$. Si $f$ est strictement croissante, alors $f(x) < f(x')$ ; si $f$ est strictement décroissante, alors $f(x) > f(x')$. Dans les deux cas, les deux images sont strictement ordonnées, donc $f(x) \ne f(x')$. Puisque nous avons prouvé la contraposée, $f$ est injective.
Seconde démonstration : le cas croissant, puis $-f$. Supposons d'abord $f$ strictement croissante, et soient $x, x' \in D$ tels que $f(x) = f(x')$. Si $x < x'$, alors $f(x) < f(x')$ ; si $x' < x$, alors $f(x') < f(x)$ ; les deux contredisent $f(x) = f(x')$. Par trichotomie, $x = x'$ : $f$ est injective. Supposons maintenant $f$ strictement décroissante. L'application $-f \colon D \to \mathbb{R}$, $x \mapsto -f(x)$ est strictement croissante, puisque $x < x'$ donne $f(x) > f(x')$, c'est-à-dire $-f(x) < -f(x')$ ; par le premier cas, elle est injective. Pour $x, x' \in D$, $f(x) = f(x') \iff -f(x) = -f(x')$, donc deux éléments qui ont la même image par $f$ ont la même image par $-f$, et ils sont égaux : $f$ est injective.

Proposition — Recoller des morceaux monotones

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$ une fonction et $a \in E$, et soient $I = E \cap \,]-\infty, a]$ et $J = E \cap [a, +\infty[$, de sorte que $E = I \cup J$ et $a \in I \cap J$. Si $f$ est croissante sur $I$ et sur $J$, alors $f$ est croissante sur $E$. Il en va de même pour strictement croissante, décroissante et strictement décroissante. En particulier, pour $E = [\alpha, \beta]$ et $a \in [\alpha, \beta]$, une fonction croissante sur $[\alpha, a]$ et sur $[a, \beta]$ est croissante sur $[\alpha, \beta]$.

Preuve

Supposons $f$ croissante sur $I$ et sur $J$, et soient $x, y \in E$ avec $x \le y$. On distingue trois cas, qui couvrent toutes les possibilités.

$y \le a$. Alors $x \le y \le a$, donc $x$ et $y$ appartiennent à $I$, et $f(x) \le f(y)$ parce que $f$ est croissante sur $I$.
$x \ge a$. Alors $a \le x \le y$, donc $x$ et $y$ appartiennent à $J$, et $f(x) \le f(y)$ parce que $f$ est croissante sur $J$.
$x < a < y$. Alors $x, a \in I$ avec $x \le a$, donc $f(x) \le f(a)$, et $a, y \in J$ avec $a \le y$, donc $f(a) \le f(y)$. Donc $f(x) \le f(a) \le f(y)$.

Dans chaque cas $f(x) \le f(y)$ : $f$ est croissante sur $E$. Pour la monotonie stricte, prendre $x < y$ et remplacer chaque $\le$ entre valeurs par $<$ ; dans le troisième cas $x < a < y$ donne $f(x) < f(a) < f(y)$. Pour les cas décroissants, renverser les inégalités entre valeurs.

Proposition — Opérations sur les fonctions monotones

Soient $E \subset \mathbb{R}$ et $f, g \colon E \to \mathbb{R}$ deux fonctions.

Somme : si $f$ et $g$ sont croissantes, $f + g$ est croissante ; si $f$ et $g$ sont décroissantes, $f + g$ est décroissante. Si de plus l'une d'elles est strictement monotone, la somme l'est aussi.
Multiple : si $f$ est croissante, $\lambda f$ est croissante pour $\lambda \ge 0$ et décroissante pour $\lambda \le 0$ ; si $f$ est décroissante, c'est l'inverse. Si $f$ est strictement monotone et $\lambda \ne 0$, $\lambda f$ est strictement monotone.
Produit de fonctions positives : si $f$ et $g$ prennent des valeurs positives ou nulles et sont toutes deux croissantes, $fg$ est croissante ; si elles sont toutes deux décroissantes, $fg$ est décroissante. Sans la positivité, le résultat est faux : la fonction $x \mapsto x$ est croissante sur $\mathbb{R}$, mais son produit par elle-même, $x \mapsto x^2$, ne l'est pas.
Inverse : si $f$ prend des valeurs strictement positives et est croissante, $\frac{1}{f}$ est décroissante ; si $f$ prend des valeurs strictement positives et est décroissante, $\frac{1}{f}$ est croissante. La monotonie est stricte si celle de $f$ l'est.

La composée de deux fonctions monotones fait l'objet de la Proposition « Composée de fonctions monotones ».

Preuve

Soient $x, y \in E$ avec $x \le y$ ; pour les énoncés stricts, avec $x < y$.
Somme. Soient $f$ et $g$ croissantes. $$ \begin{aligned} (f + g)(x) &= f(x) + g(x) && \text{(définition de la somme)} \\ &\le f(y) + g(y) && \text{(addition de $f(x) \le f(y)$ et $g(x) \le g(y)$)} \\ &= (f + g)(y). \end{aligned} $$ Si $f$ est strictement croissante et $x < y$, alors $f(x) < f(y)$, et la même chaîne donne $(f + g)(x) < (f + g)(y)$. Pour des fonctions décroissantes, renverser les inégalités entre valeurs.
Multiple. Soit $f$ croissante, de sorte que $f(x) \le f(y)$. Multiplier par $\lambda \ge 0$ conserve l'inégalité, $\lambda f(x) \le \lambda f(y)$, et multiplier par $\lambda \le 0$ la renverse, $\lambda f(x) \ge \lambda f(y)$. Pour $f$ décroissante, les rôles sont échangés. Si $f$ est strictement monotone et $\lambda \ne 0$, la multiplication par $\lambda$ conserve ou renverse une inégalité stricte.
Produit. Soient $f, g \ge 0$ croissantes. $$ \begin{aligned} (fg)(x) &= f(x) \, g(x) && \text{(définition du produit)} \\ &\le f(y) \, g(x) && \text{($f(x) \le f(y)$, multipliée par $g(x) \ge 0$)} \\ &\le f(y) \, g(y) && \text{($g(x) \le g(y)$, multipliée par $f(y) \ge f(x) \ge 0$)} \\ &= (fg)(y). \end{aligned} $$ Soient maintenant $f, g \ge 0$ décroissantes, de sorte que $0 \le f(y) \le f(x)$ et $0 \le g(y) \le g(x)$ : ce sont les hypothèses de la chaîne précédente en échangeant $x$ et $y$, donc la même chaîne donne $(fg)(y) \le (fg)(x)$, et $fg$ est décroissante. Le contre-exemple : $x \mapsto x$ est croissante sur $\mathbb{R}$, et $-1 < 0$ mais $(-1)^2 = 1 > 0 = 0^2$, donc $x \mapsto x^2$ n'est pas croissante.
Inverse. Soit $f > 0$ croissante, de sorte que $0 < f(x) \le f(y)$. $$ \begin{aligned} \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{f(y)} &= \frac{f(y) - f(x)}{f(x) \, f(y)} && \text{(même dénominateur)} \\ &\ge 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que le numérateur $f(y) - f(x)$ est positif ou nul et que le dénominateur $f(x) \, f(y)$ est strictement positif. Donc $\frac{1}{f}$ est décroissante, et strictement si $f(x) < f(y)$, le numérateur étant alors strictement positif. Si $f > 0$ est décroissante, la même chaîne en échangeant $x$ et $y$ montre que $\frac{1}{f}$ est croissante.

Proposition — Composée de fonctions monotones

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$ et $g \colon F \to \mathbb{R}$ deux fonctions monotones, avec $f(E) \subset F$. La composée $g \circ f$ est monotone : elle est croissante si $f$ et $g$ ont le même sens de variation, toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes, et décroissante si elles ont des sens opposés. Il en va de même avec « strictement » : si $f$ et $g$ sont strictement monotones, $g \circ f$ est strictement monotone, strictement croissante pour les mêmes sens.

Preuve

Compter les renversements. Pour $\delta \in \{1, -1\}$ et $u, v \in \mathbb{R}$, écrivons $u \le_\delta v$ pour $u \le v$ si $\delta = 1$ et pour $u \ge v$ si $\delta = -1$. Soit $\delta_f = 1$ si $f$ est croissante et $\delta_f = -1$ si $f$ est décroissante, et de même $\delta_g$ : pour $x \le y$ dans $E$, $f(x) \le_{\delta_f} f(y)$, et pour $u \le v$ dans $F$, $g(u) \le_{\delta_g} g(v)$. On affirme que $$ u \le_\delta v \ \Longrightarrow \ g(u) \le_{\delta \delta_g} g(v) \qquad (u, v \in F). $$ Pour $\delta = 1$ c'est la définition de $\delta_g$. Pour $\delta = -1$ l'hypothèse est $v \le u$, qui donne $g(v) \le_{\delta_g} g(u)$, c'est-à-dire $g(u) \le_{-\delta_g} g(v)$. Soient maintenant $x \le y$ dans $E$. En appliquant $f$, puis l'affirmation à $u = f(x)$ et $v = f(y)$ avec $\delta = \delta_f$, $$ x \le y \ \Longrightarrow \ f(x) \le_{\delta_f} f(y) \ \Longrightarrow \ g\big(f(x)\big) \le_{\delta_f \delta_g} g\big(f(y)\big). $$ Chaque fonction décroissante renverse l'ordre une fois, et deux renversements le rétablissent : $g \circ f$ est croissante si $\delta_f \delta_g = 1$, c'est-à-dire si $f$ et $g$ ont le même sens, et décroissante si $\delta_f \delta_g = -1$. Le même argument avec des inégalités strictes donne l'énoncé strict.
Seconde démonstration : les quatre cas. Soient $x \le y$ dans $E$.

$f$ et $g$ croissantes. $f(x) \le f(y)$, donc $g\big(f(x)\big) \le g\big(f(y)\big)$ : $g \circ f$ est croissante.
$f$ croissante et $g$ décroissante. $f(x) \le f(y)$, donc $g\big(f(x)\big) \ge g\big(f(y)\big)$ : $g \circ f$ est décroissante.
$f$ décroissante et $g$ croissante. $f(x) \ge f(y)$, c'est-à-dire $f(y) \le f(x)$, donc $g\big(f(y)\big) \le g\big(f(x)\big)$ : $g \circ f$ est décroissante.
$f$ et $g$ décroissantes. $f(y) \le f(x)$, donc $g\big(f(y)\big) \ge g\big(f(x)\big)$, c'est-à-dire $g\big(f(x)\big) \le g\big(f(y)\big)$ : $g \circ f$ est croissante.

Pour les énoncés stricts, remplacer $\le$ par $<$ et $\ge$ par $>$ partout.

Proposition — Réciproque d'une bijection monotone

Soit $f \colon E \to F$ une bijection entre parties de $\mathbb{R}$. Si $f$ est monotone, alors $f$ est strictement monotone, et la bijection réciproque $f^{-1} \colon F \to E$ est strictement monotone dans le même sens que $f$.

Preuve

Première démonstration : la contraposée. Supposons $f$ croissante. D'abord $f$ est strictement croissante : pour $x < y$ dans $E$, $f(x) \le f(y)$, et $f(x) \ne f(y)$ car $f$ est injective, donc $f(x) < f(y)$. Soient maintenant $y < y'$ dans $F$, et $x = f^{-1}(y)$, $x' = f^{-1}(y')$. Montrons la contraposée : si $x \ge x'$, alors $y \ge y'$. Supposons que $x \ge x'$. Comme $f$ est croissante, $f(x) \ge f(x')$, c'est-à-dire $y \ge y'$. Puisque nous avons prouvé la contraposée, $y < y'$ donne $x < x'$, c'est-à-dire $f^{-1}(y) < f^{-1}(y')$ : $f^{-1}$ est strictement croissante. Supposons maintenant $f$ décroissante. Alors $-f \colon E \to -F$, avec $-F = \{-y \mid y \in F\}$, est une bijection croissante, le multiple de $f$ par $-1$, donc, par le cas qui vient d'être démontré, $-f$ est strictement croissante, ainsi que sa réciproque $(-f)^{-1} \colon -F \to E$ ; donc $f$ est strictement décroissante. Pour $y \in F$, $(-f)\big(f^{-1}(y)\big) = -y$, donc $f^{-1}(y) = (-f)^{-1}(-y)$ : $f^{-1}$ est la composée de $y \mapsto -y$, strictement décroissante de $F$ dans $-F$, et de $(-f)^{-1}$, strictement croissante, donc elle est strictement décroissante par la Proposition « Composée de fonctions monotones ».
Seconde démonstration : l'ordre se reflète. D'abord $f$ est strictement monotone : supposons $f$ croissante ; pour $x < y$ dans $E$, $f(x) \le f(y)$ et $f(x) \ne f(y)$ car $f$ est injective, donc $f(x) < f(y)$ ; le cas décroissant est le même en renversant les inégalités. Ensuite, une fonction strictement croissante reflète l'ordre : si $f(x) < f(x')$, alors $x < x'$. En effet, par trichotomie $x < x'$, $x = x'$ ou $x > x'$ ; l'égalité donnerait $f(x) = f(x')$ et $x > x'$ donnerait $f(x) > f(x')$, et les deux contredisent $f(x) < f(x')$. Pour une fonction strictement décroissante le même argument montre que $f(x) < f(x')$ donne $x > x'$. On l'applique à $x = f^{-1}(y)$ et $x' = f^{-1}(y')$, pour lesquels $f(x) = y$ et $f(x') = y'$ : si $y < y'$, alors $x < x'$ lorsque $f$ est strictement croissante, et $x > x'$ lorsque $f$ est strictement décroissante. Donc $f^{-1}$ est strictement monotone dans le sens de $f$.

Méthode — Décider la monotonie d'une fonction

Pour décider si une fonction $f$ est monotone sur un ensemble $E$ :

Par la définition : soient $x < y$ dans $E$ ; étudier le signe de $f(y) - f(x)$, par un dénominateur commun, une factorisation ou une quantité conjuguée. S'il est $\ge 0$ pour tout couple, $f$ est croissante ; s'il est $\le 0$, décroissante ; un signe strict donne la monotonie stricte.
Par les règles : écrire $f$ à partir de fonctions de monotonie connue, par les Propositions « Opérations sur les fonctions monotones », « Composée de fonctions monotones » et « Réciproque d'une bijection monotone ». Aucun calcul n'est alors nécessaire : $x \mapsto e^x + x$ est strictement croissante, comme somme de deux fonctions strictement croissantes, et $x \mapsto e^{e^x}$ aussi, comme composée de deux fonctions strictement croissantes.
Pour réfuter : la monotonie est un énoncé universel sur les couples. Pour montrer que $f$ n'est pas croissante, exhiber $x < y$ avec $f(x) > f(y)$ ; pour montrer qu'elle n'est pas monotone, le faire pour les deux sens, avec deux couples.
Sur une réunion d'intervalles : vérifier chaque morceau et le point qu'ils ont en commun, par la Proposition « Recoller des morceaux monotones ».

Par exemple, soit $f \colon x \mapsto x^3 + x$ sur $\mathbb{R}$. Par la définition, pour $x < y$, $$ \begin{aligned} f(y) - f(x) &= (y^3 - x^3) + (y - x) && \text{(définition de $f$)} \\ &= (y - x)(y^2 + xy + x^2 + 1) && \text{(mise en facteur de $y - x$)} \\ &= (y - x)\Big(\big(y + \tfrac{x}{2}\big)^2 + \tfrac{3}{4}x^2 + 1\Big), \end{aligned} $$ et le dernier facteur est au moins égal à $1$, donc $f(y) - f(x) > 0$ : $f$ est strictement croissante. Par les règles, c'est la somme de $x \mapsto x^3$ et de $x \mapsto x$, toutes deux strictement croissantes.

Compétences à pratiquer

Lire la monotonie d'une fonction ★
Déterminer des intervalles de monotonie d'une fonction ★
Décider la monotonie avec la définition ★
Démontrer la stricte monotonie en factorisant $f(y) - f(x)$ ★★
Utiliser les règles sur les sommes, produits et composées ★★

V.2 Fonctions bornées

Rester entre deux bornes

Les valeurs d'une fonction forment un ensemble, et la première question à son sujet est de savoir s'il reste entre des bornes : aucune valeur au-dessus d'un certain nombre, aucune au-dessous d'un certain nombre. « Majorée par $M$ » désigne un nombre $M$, alors que « majorée » dit seulement qu'un tel nombre existe ; il ne faut pas confondre les deux. La lecture géométrique est immédiate : le graphe est au-dessous d'une droite horizontale, ou entre deux droites horizontales.

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Définition — Fonction bornée

Soit $f \colon E \to \mathbb{R}$ une fonction.

$f$ est majorée si $\exists M \in \mathbb{R}, \ \forall x \in E, \ f(x) \le M$. Un tel $M$ est un majorant de $f$, et $f$ est majorée par $M$.
$f$ est minorée si $\exists m \in \mathbb{R}, \ \forall x \in E, \ f(x) \ge m$. Un tel $m$ est un minorant de $f$.
$f$ est bornée si elle est majorée et minorée.

Un majorant de $f$ est un majorant de l'ensemble image $f(E)$ au sens du chapitre Nombres réels : $M$ est un majorant de $f$ si et seulement si $M$ est un majorant de $f(E)$, et de même pour les minorants.

Proposition — Fonction bornée et valeur absolue

Soit $f \colon E \to \mathbb{R}$ une fonction.

$f$ est bornée si et seulement s'il existe $K \ge 0$ tel que $\lvert f(x) \rvert \le K$ pour tout $x \in E$, si et seulement si $\lvert f \rvert$ est majorée.
$f$ est minorée si et seulement si $-f$ est majorée.

Géométriquement, une fonction est bornée lorsque son graphe est contenu dans une bande horizontale $\lvert y \rvert \le K$.

Preuve

On démontre les trois énoncés du premier point par un cercle d'implications, $(1) \Rightarrow (2) \Rightarrow (3) \Rightarrow (1)$ : (1) $f$ est bornée ; (2) $\exists K \ge 0, \ \forall x \in E, \ \lvert f(x) \rvert \le K$ ; (3) $\lvert f \rvert$ est majorée.
$(1) \Rightarrow (2)$. Soit $m \le f(x) \le M$ pour tout $x \in E$, et $K = \max\big(\lvert m \rvert, \lvert M \rvert\big) \ge 0$. Pour $x \in E$, $$ \begin{aligned} -K &\le -\lvert m \rvert && \text{($\lvert m \rvert \le K$)} \\ &\le m && \text{($-\lvert m \rvert \le m$)} \\ &\le f(x) && \text{($m$ est un minorant)} \\ &\le M && \text{($M$ est un majorant)} \\ &\le \lvert M \rvert && \text{($M \le \lvert M \rvert$)} \\ &\le K, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $\lvert M \rvert \le K$. Comme $\lvert u \rvert \le K \iff -K \le u \le K$, cela donne $\lvert f(x) \rvert \le K$.
$(2) \Rightarrow (3)$. Si $\lvert f(x) \rvert \le K$ pour tout $x$, alors $K$ est un majorant de $\lvert f \rvert$.
$(3) \Rightarrow (1)$. Si $\lvert f(x) \rvert \le M'$ pour tout $x$, alors $-M' \le -\lvert f(x) \rvert \le f(x) \le \lvert f(x) \rvert \le M'$ : $f$ est minorée par $-M'$ et majorée par $M'$.
Le second point. Pour $x \in E$ et $m \in \mathbb{R}$, $f(x) \ge m \iff -f(x) \le -m$. Donc $m$ est un minorant de $f$ si et seulement si $-m$ est un majorant de $-f$, et $f$ est minorée si et seulement si $-f$ est majorée.

Exemple — Une bande et une demi-bande

Le graphe d'une fonction bornée est entre deux droites horizontales. À gauche, $f \colon x \mapsto 1 + 2\cos x$ est bornée : $\lvert \cos x \rvert \le 1$ donne $-1 \le f(x) \le 3$. À droite, $g \colon x \mapsto 2 - x^2$ est majorée par $2$, puisque $g(x) = 2 - x^2 \le 2$, mais elle n'a aucun minorant.

La fonction $g$ n'a aucun minorant. Supposons qu'un réel $m$ en soit un, et prenons $x = \lvert m \rvert + 3$. Comme $x \ge 1$, $x^2 \ge x$, donc $$ \begin{aligned} g(x) &= 2 - x^2 && \text{(définition de $g$)} \\ &\le 2 - x && \text{($x^2 \ge x$)} \\ &= -1 - \lvert m \rvert && \text{($x = \lvert m \rvert + 3$)} \\ &< m, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $-1 - \lvert m \rvert < -\lvert m \rvert \le m$ ; cela contredit que $m$ soit un minorant.

Proposition — Opérations sur les fonctions bornées

Soient $f, g \colon E \to \mathbb{R}$ deux fonctions et $\lambda \in \mathbb{R}$.

Si $f$ et $g$ sont majorées, $f + g$ est majorée ; de même pour minorées et pour bornées.
Si $f$ et $g$ sont bornées, $fg$ et $\lambda f$ sont bornées.
S'il existe $c > 0$ tel que $\lvert f(x) \rvert \ge c$ pour tout $x \in E$, alors $\frac{1}{f}$ est définie et bornée sur $E$.

Le produit de deux fonctions majorées n'est pas majoré en général : sur $\mathbb{R}_+$, $x \mapsto -x$ et $x \mapsto -x^2$ sont majorées par $0$, mais leur produit $x \mapsto x^3$ n'est pas majoré.

Preuve

Somme. Soient $f(x) \le M$ et $g(x) \le M'$ pour tout $x \in E$. Alors $$ \begin{aligned} (f + g)(x) &= f(x) + g(x) && \text{(définition de la somme)} \\ &\le M + M', \end{aligned} $$ la dernière étape additionnant les deux inégalités, donc $f + g$ est majorée par $M + M'$. La même chaîne avec $\ge$ et des minorants donne le cas minoré, et les deux ensemble donnent le cas borné.
Produit et multiple. Soient $\lvert f(x) \rvert \le K$ et $\lvert g(x) \rvert \le K'$ pour tout $x \in E$ (la Proposition « Fonction bornée et valeur absolue »). Alors $$ \begin{aligned} \lvert (fg)(x) \rvert &= \lvert f(x) \rvert \, \lvert g(x) \rvert && \text{(valeur absolue d'un produit)} \\ &\le K K', \end{aligned} $$ la dernière étape multipliant deux inégalités entre nombres positifs, et $\lvert (\lambda f)(x) \rvert = \lvert \lambda \rvert \, \lvert f(x) \rvert \le \lvert \lambda \rvert K$ : $fg$ et $\lambda f$ sont bornées.
Inverse. Si $\lvert f(x) \rvert \ge c > 0$ pour tout $x$, alors $f$ ne s'annule pas et $$ \Big\lvert \frac{1}{f(x)} \Big\rvert = \frac{1}{\lvert f(x) \rvert} \le \frac{1}{c}, $$ parce que $\lvert f(x) \rvert \ge c > 0$ donne $\frac{1}{\lvert f(x) \rvert} \le \frac{1}{c}$ : $\frac{1}{f}$ est bornée.
Le contre-exemple. Sur $\mathbb{R}_+$, $-x \le 0$ et $-x^2 \le 0$, et leur produit est $(-x)(-x^2) = x^3$. Pour $M \in \mathbb{R}$, le nombre $x = \lvert M \rvert + 1$ vérifie $x^3 \ge x > M$, donc $x \mapsto x^3$ n'est pas majorée.

Méthode — Prouver qu'une fonction est bornée ou non

Pour décider si une fonction $f$ est majorée, minorée ou bornée :

Pour prouver qu'elle est bornée : trouver une borne et prouver l'inégalité pour tout $x \in E$. Pour un quotient, majorer la valeur absolue du numérateur et minorer la valeur absolue du dénominateur par un nombre strictement positif ; pour une somme, un produit ou un multiple, utiliser la Proposition « Opérations sur les fonctions bornées » ; pour une borne par $K$ des deux côtés, prouver $\lvert f(x) \rvert \le K$, par la Proposition « Fonction bornée et valeur absolue ».
Pour prouver qu'elle n'est pas majorée : la négation de « $\exists M, \ \forall x, \ f(x) \le M$ » est « $\forall M, \ \exists x, \ f(x) > M$ ». Soit $M \in \mathbb{R}$, puis construire $x$ à partir de $M$ et vérifier $f(x) > M$. Non minorée, c'est la même chose avec $f(x) < m$.

Par exemple, soit $f \colon x \mapsto \frac{\cos x}{2 + \sin x}$ sur $\mathbb{R}$. Pour tout $x$, $\lvert \cos x \rvert \le 1$ et $2 + \sin x \ge 1 > 0$, donc $$ \begin{aligned} \lvert f(x) \rvert &= \frac{\lvert \cos x \rvert}{2 + \sin x} && \text{(le dénominateur est strictement positif)} \\ &\le \frac{1}{1}, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $\lvert \cos x \rvert \le 1$ et $2 + \sin x \ge 1$, et $f$ est bornée, par $K = 1$. Et $h \colon x \mapsto x^2 - 4x$ n'est pas majorée : pour $M \in \mathbb{R}$, prenons $x = \lvert M \rvert + 5$ ; alors $x - 4 \ge 1$, donc $h(x) = x(x - 4) \ge x > M$.

Compétences à pratiquer

Reconnaître une fonction bornée ★
Trouver le plus petit entier qui borne une fonction ★
Démontrer qu'une fonction est bornée ★
Démontrer qu'une fonction n'est pas bornée ★★
Borner sommes, produits et quotients ★★

V.3 Extrema, borne supérieure et inférieure

Valeurs atteintes et plus petits majorants

Une fonction majorée a des majorants, et la question est de savoir si l'un d'eux est une valeur de la fonction. Un maximum est un tel majorant, atteint en un point. Souvent il n'y en a pas, et alors le plus petit majorant, la borne supérieure, prend sa place : elle existe pour toute fonction majorée sur une partie non vide, par la propriété de la borne supérieure des réels, que la fonction l'atteigne ou non. La Méthode « Déterminer une borne supérieure ou un maximum » transforme la recherche d'une borne supérieure en trois étapes.

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Définition — Maximum, minimum, extremum

Soient $f \colon E \to \mathbb{R}$ une fonction et $a \in E$.

$f$ a un maximum en $a$ si $\forall x \in E, \ f(x) \le f(a)$. Le nombre $f(a)$ est alors le maximum de $f$ sur $E$, noté $\max_E f$.
$f$ a un minimum en $a$ si $\forall x \in E, \ f(x) \ge f(a)$. Le nombre $f(a)$ est alors le minimum de $f$ sur $E$, noté $\min_E f$.
Un extremum est un maximum ou un minimum.

Un maximum est un majorant de $f$ qui est aussi une valeur de $f$ : un majorant de la forme $f(a)$. Deux maxima sont égaux, chacun étant au plus égal à l'autre, mais le point $a$ où le maximum est atteint n'est pas unique en général.

Exemple — Les extrema du cosinus

Le cosinus sur $\mathbb{R}$ est borné, puisque $\lvert \cos x \rvert \le 1$. Son maximum est $\max_{\mathbb{R}} \cos = 1$, atteint en $x = 0$ et en chaque $x = 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$, puisque $\cos x = 1 \iff x \in 2\pi\mathbb{Z}$. Son minimum est $\min_{\mathbb{R}} \cos = -1$, atteint en chaque $x = \pi + 2k\pi$ : en effet $$ \begin{aligned} \cos x = -1 &\iff \cos(x + \pi) = 1 && \text{($\cos(x + \pi) = -\cos x$)} \\ &\iff x + \pi \in 2\pi\mathbb{Z} && \text{($\cos y = 1 \iff y \in 2\pi\mathbb{Z}$)} \\ &\iff x \in \pi + 2\pi\mathbb{Z}. \end{aligned} $$ Les deux bornes sont atteintes, et en une infinité de points.

Piège — bornée ne veut pas dire avoir un maximum

Une fonction majorée n'a pas forcément de maximum : un majorant n'est pas toujours une valeur de la fonction. La fonction $f \colon x \mapsto \frac{x}{1 + x}$ sur $\mathbb{R}_+$ est majorée par $1$, puisque $1 - f(x) = \frac{1}{1 + x} > 0$, et elle n'atteint jamais $1$. Elle n'a aucun maximum : pour $a \in \mathbb{R}_+$, $$ \begin{aligned} f(a + 1) - f(a) &= \frac{a + 1}{a + 2} - \frac{a}{a + 1} && \text{(définition de $f$)} \\ &= \frac{(a + 1)^2 - a(a + 2)}{(a + 1)(a + 2)} && \text{(même dénominateur)} \\ &= \frac{1}{(a + 1)(a + 2)} && \text{($(a + 1)^2 - a(a + 2) = 1$)} \\ &> 0, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $a + 1 > 0$ et $a + 2 > 0$, donc $f(a)$ n'est pas au-dessus de toutes les valeurs. Inversement, un maximum est toujours un majorant : les deux mots ne sont pas synonymes, et la première chose à dire d'un majorant est s'il est atteint.

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Définition — Borne supérieure et borne inférieure d'une fonction

Soit $f \colon E \to \mathbb{R}$ une fonction, avec $E \ne \emptyset$.

Si $f$ est majorée, la borne supérieure de $f$ sur $E$ est la borne supérieure de l'ensemble image, $\sup_E f = \sup f(E)$ : le plus petit majorant de $f$.
Si $f$ est minorée, la borne inférieure de $f$ sur $E$ est la borne inférieure de l'ensemble image, $\inf_E f = \inf f(E)$ : le plus grand minorant de $f$.

La borne supérieure existe par la propriété de la borne supérieure des réels, et la borne inférieure par sa contrepartie (Théorème « Existence de $\sup$ et $\inf$ dans $\mathbb{R}$ » du chapitre Nombres réels). Autrement dit, $M = \sup_E f$ si et seulement si $M$ est un majorant de $f$ et $M \le M'$ pour tout majorant $M'$ de $f$. Contrairement à un maximum, une borne supérieure n'est pas forcément une valeur de $f$.

Exemple — Deux fonctions et leurs bornes

La fonction $f \colon x \mapsto \dfrac{1}{1 + x^2}$ sur $\mathbb{R}$ est bornée, et $0 < f(x) \le 1$ parce que $1 + x^2 \ge 1$. Sa borne supérieure est $1$, atteinte en $x = 0$ : $1$ est un majorant, et tout majorant est au moins égal à $f(0) = 1$ ; donc $\sup_{\mathbb{R}} f = \max_{\mathbb{R}} f = 1$. Sa borne inférieure est $0$, non atteinte : $0$ est un minorant, et aucun $m > 0$ n'en est un, puisque $x = \frac{1}{\sqrt{m}}$ donne $$ \begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{1 + x^2} && \text{(définition de $f$)} \\ &= \frac{1}{1 + 1/m} && \text{($x^2 = 1/m$)} \\ &= \frac{m}{m + 1} && \text{(en multipliant numérateur et dénominateur par $m$)} \\ &< m, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $m + 1 > 1$. Et aucun $x$ ne vérifie $f(x) = 0$, puisque $f(x) > 0$.
La fonction $g \colon x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ est minorée, et $\inf g = 0$ n'est pas atteinte : $0$ est un minorant, et pour $m > 0$ la valeur $g\big(\frac{2}{m}\big) = \frac{m}{2}$ est au-dessous de $m$. Elle n'est pas majorée : pour $M \in \mathbb{R}$, prenons un entier $n \ge 1$ avec $n > M$, qui existe puisqu'un entier dépasse tout réel ; alors $g\big(\frac{1}{n}\big) = n > M$.

Proposition — Borne supérieure et ordre

Soient $f, g \colon E \to \mathbb{R}$ deux fonctions majorées, avec $E \ne \emptyset$, et $\lambda \ge 0$.

Si $f \le g$, alors $\sup_E f \le \sup_E g$.
$\sup_E (f + g) \le \sup_E f + \sup_E g$, et l'inégalité peut être stricte.
$\sup_E (\lambda f) = \lambda \sup_E f$. De plus, $\inf_E (-f) = -\sup_E f$.
Si $f$ a un maximum, alors $\sup_E f = \max_E f$. Réciproquement, si $\sup_E f$ est une valeur de $f$, c'est le maximum de $f$.

Preuve

Une idée traverse la démonstration : $\sup_E f$ est le plus petit majorant de $f$, donc il est au plus égal à tout majorant de $f$.
Comparaison. Pour tout $x \in E$, $f(x) \le g(x) \le \sup_E g$, donc $\sup_E g$ est un majorant de $f$, et $\sup_E f \le \sup_E g$.
Somme. Pour tout $x \in E$, $$ \begin{aligned} (f + g)(x) &= f(x) + g(x) && \text{(définition de la somme)} \\ &\le \sup_E f + \sup_E g, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $f(x) \le \sup_E f$ et $g(x) \le \sup_E g$, donc $\sup_E f + \sup_E g$ est un majorant de $f + g$, et $\sup_E (f + g) \le \sup_E f + \sup_E g$. L'inégalité peut être stricte : sur $[0, 1]$, pour $f(x) = x$ et $g(x) = -x$, $f + g = 0$ a pour borne supérieure $0$, alors que $\sup f + \sup g = 1 + 0 = 1$.
Multiple, opposé et maximum. Ces trois énoncés sont les Propositions « Somme, multiple et opposé » et « Maximum et borne supérieure » du chapitre Nombres réels, appliquées à l'ensemble image $A = f(E)$, qui est non vide car $E \ne \emptyset$ et majoré car $f$ l'est. En effet $(\lambda f)(E) = \lambda A$ et $(-f)(E) = -A$, et un maximum de $f$ est un plus grand élément de $A$. Pour $\lambda > 0$, l'énoncé sur $\sup(\lambda A)$ donne $\sup_E (\lambda f) = \lambda \sup_E f$, et pour $\lambda = 0$ les deux membres valent $0$, puisque $E \ne \emptyset$. L'énoncé sur $\inf(-A)$ donne $\inf_E (-f) = -\sup_E f$. La Proposition « Maximum et borne supérieure » donne $\sup_E f = \max_E f$ lorsque $f$ a un maximum, et le maximum lorsque $\sup_E f$ est une valeur de $f$.

Exemple — Un maximum atteint deux fois, une borne supérieure non atteinte

À gauche, $f \colon \big[-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\big] \to \mathbb{R}$, $x \mapsto 1 - (x^2 - 1)^2$. À droite, $g \colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$, $x \mapsto \frac{x}{1 + x}$, la fonction du Piège « bornée ne veut pas dire avoir un maximum ».

Comme $1 - f(x) = (x^2 - 1)^2 \ge 0$, le nombre $1$ est un majorant de $f$, et $f(x) = 1 \iff x^2 = 1 \iff x = \pm 1$ : le maximum $1$ est atteint aux deux points $-1$ et $1$. Pour $g$, $1 - g(x) = \frac{1}{1 + x} > 0$ : le nombre $1$ est un majorant qui n'est jamais atteint. C'est le plus petit : soient $m < 1$ et $x = \frac{1}{1 - m} > 0$ ; alors $$ \begin{aligned} 1 - g(x) &= \frac{1}{1 + x} && \text{(définition de $g$)} \\ &< \frac{1}{x} && \text{($1 + x > x > 0$)} \\ &= 1 - m, \end{aligned} $$ la dernière étape parce que $x = \frac{1}{1 - m}$, donc $g(x) > m$ et $m$ n'est pas un majorant. Donc $\sup_{\mathbb{R}_+} g = 1$, bien que $g$ n'ait pas de maximum.

Méthode — Déterminer une borne supérieure ou un maximum

Pour déterminer la borne supérieure, et le maximum s'il y en a un, d'une fonction $f$ sur $E \ne \emptyset$ :

Conjecturer une valeur $M$ : calculer quelques valeurs de $f$, utiliser ses symétries, esquisser son graphe.
Prouver que $M$ est un majorant : étudier le signe de $M - f(x)$ pour tout $x \in E$. Le mettre sur un dénominateur commun, et chercher une identité remarquable qui fasse apparaître un carré, $M - f(x) = \frac{(\dots)^2}{\dots}$, un carré sur une quantité strictement positive.
Conclure : si $f(a) = M$ pour un $a \in E$, en général le point où le carré s'annule, alors $M = \max_E f = \sup_E f$, par la Proposition « Borne supérieure et ordre ». Si $M$ n'est jamais atteint, montrer qu'aucun $m < M$ n'est un majorant : pour tout $m < M$, exhiber $x \in E$ avec $f(x) > m$ ; alors $M = \sup_E f$, le plus petit majorant.

Pour la borne inférieure et le minimum, appliquer les mêmes étapes à $-f$, puisque $\inf_E f = -\sup_E (-f)$.
Par exemple, soit $f \colon x \mapsto \frac{2x + 1}{x^2 + 2}$ sur $\mathbb{R}$. Les valeurs $f(0) = \frac{1}{2}$ et $f(1) = 1$ suggèrent $M = 1$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $$ \begin{aligned} 1 - f(x) &= \frac{x^2 + 2 - (2x + 1)}{x^2 + 2} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2} && \text{(simplification du numérateur)} \\ &= \frac{(x - 1)^2}{x^2 + 2}. \end{aligned} $$ C'est un carré sur un nombre strictement positif, donc positif ou nul : $f(x) \le 1$, avec égalité en $x = 1$, où $f(1) = 1$. Donc $\max_{\mathbb{R}} f = \sup_{\mathbb{R}} f = 1$. De la même façon, $$ \begin{aligned} f(x) + \frac{1}{2} &= \frac{2(2x + 1) + x^2 + 2}{2(x^2 + 2)} && \text{(dénominateur commun)} \\ &= \frac{x^2 + 4x + 4}{2(x^2 + 2)} && \text{(simplification du numérateur)} \\ &= \frac{(x + 2)^2}{2(x^2 + 2)}, \end{aligned} $$ qui est positif ou nul, et $f(-2) = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$ : $\min_{\mathbb{R}} f = \inf_{\mathbb{R}} f = -\frac{1}{2}$.

Pour aller plus loin

La plus petite période. Pour des fonctions définies sur $\mathbb{R}$, une fonction continue périodique non constante a une plus petite période ; c'est un théorème de l'étude de la continuité. Les fonctions constantes n'en ont pas, et la fonction indicatrice $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$ des nombres rationnels non plus, dont tout rationnel strictement positif est une période. Pour une telle fonction, les périodes strictement positives, leurs opposés et $0$ forment un sous-groupe additif de $\mathbb{R}$, dont l'étude relève du chapitre sur les sous-groupes de $\mathbb{R}$.
Espaces de fonctions. L'ensemble $\mathcal{F}(E, \mathbb{R})$ des fonctions réelles sur $E$, muni de la somme et de la multiplication par un scalaire, est un espace vectoriel réel, et l'ordre $f \le g$ pris point par point en est un ordre, non total en général : sur $\mathbb{R}$, $\sin$ et $\cos$ ne sont pas comparables, puisque $\sin 0 < \cos 0$ et $\sin \frac{\pi}{2} > \cos \frac{\pi}{2}$. Le chapitre Relations d'équivalence et d'ordre traite de tels ordres en général, et des applications croissantes entre ensembles ordonnés, dont la composée et la réciproque de fonctions monotones sont le cas réel.
Valeurs complexes. La parité et la périodicité se définissent comme ici pour des fonctions à valeurs complexes ; « bornée » signifie alors que $\lvert f \rvert$ est majorée, puisque les nombres complexes n'ont pas d'ordre.
Limites des fonctions monotones. Une fonction monotone a une limite à gauche et à droite en tout point de l'intérieur de son ensemble de définition : c'est un théorème de l'étude des limites, et il explique pourquoi les fonctions monotones sont les plus simples.

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Compétences à pratiquer

Distinguer maximum et majorant ★
Lire un extremum ★
Démontrer qu'un extremum est atteint ★
Calculer une borne supérieure ou inférieure ★★
Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure d'une fonction ★★

VI Étude d'une fonction

VI.1 Tableau de variations

Le tableau de variations résume toute une étude de fonction sur une ligne : il découpe le domaine en intervalles où le sens est constant, dessine une flèche sur chacun, et inscrit les valeurs aux extrémités.

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Définition — Tableau de variations

Le tableau de variations de $f$ est un tableau qui liste, de gauche à droite, les bornes du domaine (les valeurs $\pm\infty$, et les points exclus tels que $0$ pour $1/x$ — ceux où le graphe part à l'infini, appelés asymptotes verticales dans la sous-section ci-dessous) ainsi que les valeurs de $x$ où le sens de $f$ change, avec une flèche montante ($\nearrow$) sur chaque intervalle où $f$ croît et une flèche descendante ($\searrow$) sur chaque intervalle où $f$ décroît, avec la valeur (ou la limite) de $f$ à chaque extrémité de ces intervalles. Une fonction strictement monotone possède aussi un tableau de variations, avec une unique flèche couvrant tout le domaine bien que le sens ne change jamais.

Exemple

La fonction $f(x) = x^2 - 4x + 1 = (x-2)^2 - 3$ décroît sur $]-\infty, 2]$ et croît sur $[2, +\infty[$, de minimum $f(2) = -3$. Son tableau de variations est :

$x$	$-\infty$		$2$		$+\infty$
$f$	$+\infty$	$\searrow$	$-3$	$\nearrow$	$+\infty$

Le tableau est la courbe, comprimée : la flèche descendante est la branche de gauche, la flèche montante celle de droite, et la valeur inscrite $-3$ est le sommet.

Méthode — Construire un tableau de variations

Pour dresser le tableau d'une fonction $f$ :

trouver le domaine $D_f$, et le réduire par parité ou périodicité s'il y a lieu ;
découper $D_f$ en les intervalles où $f$ garde un sens unique ;
dessiner la flèche correspondante sur chaque intervalle ;
écrire les valeurs de $f$ aux points de coupure, et les limites aux extrémités ouvertes.

Compétences à pratiquer

Construire des tableaux de variations

VI.2 Tangente

En un point de son graphe, une courbe régulière est le mieux approchée par une droite : la tangente. On n'utilise ici que son équation, la pente $f'(a)$ étant prise comme donnée ; le calcul des pentes est l'objet d'un chapitre ultérieur.

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Définition — Tangente

Soit $f$ dérivable au point d'abscisse $a$ — ce qui signifie, au sens formel introduit dans le chapitre de dérivation, que son graphe admet en ce point une pente bien définie, notée $f'(a)$. La tangente au graphe en ce point est la droite passant par $(a, f(a))$ de pente $f'(a)$, d'équation $$y = f'(a)(x - a) + f(a).$$

Exemple

Pour $f(x) = x^2$, la pente en $a = 1$ est $f'(1) = 2$. La tangente en $(1, 1)$ est $$y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1.$$ Elle touche la parabole en $(1,1)$ et reste en dessous ailleurs :

Compétences à pratiquer

Écrire des équations de tangente

VI.3 Asymptotes (verticales et horizontales)

Loin de l'origine, ou près d'une valeur interdite, une courbe peut longer une droite : une asymptote. On la lit directement sur une limite, sans autre outil.

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Définition — Asymptote verticale et horizontale

Le graphe de $f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y = \ell$ lorsque $f(x) \to \ell$ quand $x \to +\infty$ (ou quand $x \to -\infty$), avec $\ell$ réel fini. Il admet une asymptote verticale d'équation $x = a$ lorsque $f(x) \to +\infty$ ou $f(x) \to -\infty$ quand $x \to a$ (d'un côté ou de l'autre).

Exemple

La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ tend vers $0$ quand $x \to +\infty$ et quand $x \to -\infty$, ce qui donne l'asymptote horizontale $y = 0$ ; elle tend vers $+\infty$ quand $x \to 0^+$ et vers $-\infty$ quand $x \to 0^-$, ce qui donne l'asymptote verticale $x = 0$. Dans ce premier exemple les deux asymptotes se trouvent être les axes eux-mêmes ; ce n'est pas obligatoire :

Pour $g(x) = 3 + \dfrac{1}{x - 2}$, la différence $g(x) - 3 = \dfrac{1}{x-2}$ tend vers $0$ en $\pm\infty$, donc la courbe longe la droite $y = 3$ ; et $g(x) \to \pm\infty$ quand $x \to 2^{\pm}$, donc elle longe la droite $x = 2$. Aucune des deux asymptotes n'est un axe :

Méthode — Lire les asymptotes sur les limites

À chaque extrémité ouverte du domaine, calculer la limite de $f$ :

une limite finie $\ell$ en $\pm\infty$ donne l'asymptote horizontale $y = \ell$ ;
une limite infinie en une valeur finie $a$ donne l'asymptote verticale $x = a$.

Compétences à pratiquer

Lire asymptotes horizontales et verticales

VII Fonctions puissances et racine

VII.1 Fonctions affines et puissances entières

Les fonctions les plus simples sont les fonctions affines, dont le graphe est une droite, et les puissances entières $x^n$, les briques de tout polynôme.

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Définition — Fonction affine

Une fonction affine est une fonction $x \mapsto a x + b$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ fixés, définie sur $\mathbb{R}$. Le réel $a$ est sa pente et $b$ son ordonnée à l'origine (la valeur en $x = 0$) ; son graphe est la droite passant par $(0, b)$ de pente $a$. Lorsque $b = 0$ la fonction $x \mapsto ax$ est linéaire.

Exemple

La fonction $x \mapsto 2x - 1$ est croissante (pente $2 > 0$), s'annule en $x = \frac{1}{2}$, est négative avant et positive après. La fonction $x \mapsto -3x + 6$ est décroissante (pente $-3 < 0$) et s'annule en $x = 2$.

Définition — Puissance entière

Pour $n \in \mathbb{N}$, la fonction puissance entière $x \mapsto x^n$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $x^0 = 1$ et, pour $n \ge 1$, $x^n = \underbrace{x \times \cdots \times x}_{n \text{ facteurs}}$. Pour $n \in \mathbb{Z}$ avec $n < 0$, $x^n = \dfrac{1}{x^{-n}}$ est définie sur $\mathbb{R}^*$.

Proposition — Parité et variations de $x^n$

Pour $n \in \mathbb{N}^*$, la fonction $x \mapsto x^n$ est paire quand $n$ est pair et impaire quand $n$ est impair. Quand $n$ est impair elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ; quand $n$ est pair elle est strictement décroissante sur $]-\infty, 0]$ et strictement croissante sur $[0, +\infty[$, de minimum $0$. Ces résultats sont admis.

Exemple

Les graphes de $x$, $x^2$ et $x^3$ passent tous par $(0, 0)$ et $(1, 1)$. Pour $x > 1$ plus la puissance est grande, plus la croissance est rapide ; pour $0 < x < 1$ c'est l'inverse :

Compétences à pratiquer

Manipuler fonctions affines et puissances entières

VII.2 Racine carrée

La racine carrée défait l'élévation au carré d'un nombre positif ou nul. Son graphe est l'image miroir de la parabole par rapport à la première bissectrice $y = x$.

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Définition — Racine carrée

La fonction racine carrée $x \mapsto \sqrt{x}$ est définie sur $[0, +\infty[$ : $\sqrt{x}$ est l'unique réel positif ou nul dont le carré vaut $x$. Elle est la réciproque de $x \mapsto x^2$ restreinte à $[0, +\infty[$, donc $(\sqrt{x})^2 = x$ pour $x \ge 0$, et pour tout réel $x$, $\sqrt{x^2} = |x|$.

Proposition — Variations de la racine carrée

La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$ : pour $a, b \ge 0$, $\sqrt{a} \le \sqrt{b} \Leftrightarrow a \le b$. Elle s'annule en $0$ et tend vers $+\infty$ quand $x \to +\infty$. Ceci est admis.

Exemple

La racine carrée croît de plus en plus lentement : $\sqrt{1} = 1$, $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{9} = 3$. Son graphe est le symétrique de la moitié droite de la parabole par rapport à $y = x$ :

Exemple

Attention à $\sqrt{x^2}$ : puisque $\sqrt{x^2} = |x|$, on a $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|$, et non $-3$. La simplification $\sqrt{x^2} = x$ n'est valable que pour $x \ge 0$.

Compétences à pratiquer

Simplifier des racines carrées

VII.3 Puissance réelle

La définition ci-dessous utilise l'exponentielle $\exp$ et le logarithme $\ln$, pris ici comme connus et admis avec toutes leurs propriétés (ils sont rappelés dans la sous-section exponentielle–logarithme qui suit). Une fois ceux-ci disponibles, une puissance $x^\alpha$ peut recevoir un sens pour tout exposant réel $\alpha$, et pas seulement entier ou fractionnaire. Sur $]0, +\infty[$ cette unique famille coïncide avec la racine carrée et les puissances entières là où celles-ci étaient déjà définies ; elle n'est définie que sur $]0, +\infty[$, donc elle n'atteint pas $0$ (contrairement à $\sqrt{x}$, définie en $0$) ni aucune base négative.

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Définition — Puissance réelle

Pour un réel $\alpha$, la fonction puissance $x \mapsto x^\alpha$ est définie sur $]0, +\infty[$ par $$x^\alpha = \exp(\alpha \ln x).$$ Ceci coïncide avec les puissances entières et avec $x^{1/2} = \sqrt{x}$ sur les valeurs où celles-ci étaient déjà définies.

Proposition — Variations et règles pour $x^\alpha$

Sur $]0, +\infty[$, la fonction $x \mapsto x^\alpha$ est strictement croissante quand $\alpha > 0$ et strictement décroissante quand $\alpha < 0$ (et constante égale à $1$ quand $\alpha = 0$). Pour $x, y > 0$ et des réels $\alpha, \beta$, les règles de puissance sont vraies : $$x^\alpha x^\beta = x^{\alpha + \beta}, \qquad (x^\alpha)^\beta = x^{\alpha \beta}, \qquad (xy)^\alpha = x^\alpha y^\alpha.$$ Ces résultats sont admis.

Exemple

Plusieurs puissances, toutes passant par $(1, 1)$ : $x^2$ et $x^{1/2} = \sqrt{x}$ montent ($\alpha > 0$), tandis que $x^{-1} = \frac{1}{x}$ descend ($\alpha < 0$) :

Exemple

Les puissances réelles apparaissent dans les sciences. En biologie, une loi allométrique relie un débit métabolique $P$ à une masse corporelle $m$ par $P = c\, m^{3/4}$, où l'exposant $\tfrac{3}{4}$ n'est pas entier ; avec $m^{3/4} = \exp\!\left(\tfrac{3}{4} \ln m\right)$ c'est une véritable fonction puissance.

Méthode — Réécrire racines et inverses en puissances

Sur $]0, +\infty[$, convertir en une seule notation puissance avant de calculer :

une racine : $\sqrt{x} = x^{1/2}$ et $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$ ;
un inverse : $\dfrac{1}{x^{\alpha}} = x^{-\alpha}$ ;
puis appliquer les règles de puissance pour ajouter ou multiplier les exposants.

Compétences à pratiquer

Simplifier des puissances réelles

VIII Fonctions exponentielle, logarithme et circulaires

VIII.1 Exponentielle et logarithme népérien

L'exponentielle et le logarithme népérien sont les deux faces d'un même couple de réciproques, déjà rencontré ; on rappelle leurs propriétés et les limites qui gouvernent leur croissance, utilisées ici sans démonstration.

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Définition — Exponentielle et logarithme népérien

L'exponentielle $\exp$ est définie sur $\mathbb{R}$ à valeurs dans $]0, +\infty[$, notée $\exp(x) = e^x$, avec $e^0 = 1$. Le logarithme népérien $\ln$ est sa réciproque, défini sur $]0, +\infty[$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ : pour $x > 0$ et $y \in \mathbb{R}$, $$y = \ln x \;\Longleftrightarrow\; x = e^y, \qquad \ln 1 = 0, \quad \ln e = 1.$$

Proposition — Propriétés de $\exp$ et $\ln$

Les deux fonctions sont strictement croissantes. Pour tous réels $a, b$ et tous $x, y > 0$ et $\alpha \in \mathbb{R}$ : $$e^{a+b} = e^a e^b, \quad e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}, \qquad \ln(xy) = \ln x + \ln y, \quad \ln\!\left(\frac{x}{y}\right) = \ln x - \ln y, \quad \ln(x^\alpha) = \alpha \ln x.$$ Les deux fonctions se défont l'une l'autre : $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, et $e^{\ln x} = x$ pour tout $x > 0$. Leur comportement aux bornes est : $$e^x \xrightarrow[x \to +\infty]{} +\infty, \quad e^x \xrightarrow[x \to -\infty]{} 0^+, \qquad \ln x \xrightarrow[x \to +\infty]{} +\infty, \quad \ln x \xrightarrow[x \to 0^+]{} -\infty.$$ Leur croissance comparée vaut contre toute puissance : pour tout réel $\alpha > 0$, $$\frac{e^x}{x^\alpha} \xrightarrow[x \to +\infty]{} +\infty, \qquad \frac{\ln x}{x^\alpha} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0, \qquad x^\alpha \ln x \xrightarrow[x \to 0^+]{} 0, \qquad x^\alpha e^{-x} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0.$$ Ces résultats sont admis.

La croissance comparée dit que, loin vers la droite, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$ et le logarithme est dépassé par toute puissance positive de $x$ : en mots, l'exponentielle monte plus vite que toute puissance, le logarithme plus lentement que toute puissance.

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Exemple

Les graphes de $\exp$ et $\ln$ sont images miroirs par rapport à la droite $y = x$, puisque les deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre ; $\exp$ passe par $(0, 1)$ et $\ln$ par $(1, 0)$ :

Exemple

La désintégration radioactive utilise l'exponentielle : une quantité $N(t) = N_0\, e^{-\lambda t}$ avec $\lambda > 0$ décroît de $N_0$ vers $0$. Sa demi-vie $T$, le temps après lequel la moitié subsiste, vérifie $e^{-\lambda T} = \tfrac{1}{2}$, c'est-à-dire $$\begin{aligned} -\lambda T &= \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) && \text{(on applique $\ln$)} \\ T &= \frac{\ln 2}{\lambda}. && \text{(car $\ln \tfrac{1}{2} = -\ln 2$)} \end{aligned}$$

Le logarithme décimal $\log$, utilisé en chimie et en acoustique, est le logarithme en base $10$, $\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}$, de sorte que $\log(10^n) = n$. Par exemple le pH d'une solution est $\mathrm{pH} = -\log[\mathrm{H}^+]$, où $[\mathrm{H}^+]$ est la concentration en ions hydrogène ; multiplier la concentration par $10$ abaisse le pH de $1$.

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Compétences à pratiquer

Simplifier et résoudre avec $\exp$ et $\ln$

VIII.2 La fonction $a^x$

En remplaçant la base $e$ par un nombre positif $a$ quelconque, on obtient la fonction $a^x$, le modèle naturel d'une quantité multipliée par un facteur fixe à chaque étape.

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Définition — Exponentielle de base $a$

Pour un réel fixé $a > 0$, l'exponentielle de base $a$ est la fonction $x \mapsto a^x$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$a^x = \exp(x \ln a).$$ En particulier $a^0 = 1$ et $a^1 = a$, et pour $a = e$ on retrouve $e^x = \exp(x)$.

Proposition — Variations de $a^x$

La fonction $x \mapsto a^x$ prend ses valeurs dans $]0, +\infty[$ et passe par $(0, 1)$. Elle est strictement croissante quand $a > 1$, strictement décroissante quand $0 < a < 1$, et constante égale à $1$ quand $a = 1$. Les règles usuelles sont vraies : $a^{x+y} = a^x a^y$ et $(a^x)^y = a^{xy}$. Ceci est admis.

Exemple

Les fonctions $2^x$ (croissante, base $> 1$) et $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ (décroissante, base $< 1$) sont images miroirs par rapport à l'axe des $y$ :

Exemple

Une population qui double à chaque génération, partant de $N_0$, suit $N_n = N_0\, 2^n$ après $n$ générations : une exponentielle de base $2$. Après $10$ générations elle est multipliée par $2^{10} = 1024$.

Compétences à pratiquer

Manipuler la fonction $a^x$

VIII.3 Fonctions circulaires

Le sinus et le cosinus lisent les coordonnées d'un point parcourant le cercle unité ; la tangente est leur quotient. Ce sont les fonctions périodiques de référence.

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Définition — Sinus et cosinus

Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont définies sur $\mathbb{R}$, périodiques de période $2\pi$, à valeurs dans $[-1, 1]$. Le cosinus est pair et le sinus est impair, et pour tout $x$, $$\cos^2 x + \sin^2 x = 1.$$

Exemple

Sur $[-\pi, 2\pi]$, le sinus et le cosinus oscillent entre $-1$ et $1$ ; le cosinus est le sinus décalé vers la gauche de $\tfrac{\pi}{2}$ :

Définition — Tangente

La tangente est $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, définie là où $\cos x \ne 0$, c'est-à-dire sur $\mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}$. Elle est impaire et périodique de période $\pi$, et admet une asymptote verticale en chaque $\tfrac{\pi}{2} + k\pi$.

Exemple

Sur $\left]-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right[$, la tangente est croissante, s'annule en $0$, et va de $-\infty$ à $+\infty$ entre les deux asymptotes verticales :

Exemple

Les valeurs usuelles : $\cos 0 = 1$, $\sin 0 = 0$, $\cos\tfrac{\pi}{2} = 0$, $\sin\tfrac{\pi}{2} = 1$, et $\tan\tfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4)} = 1$.

Compétences à pratiquer

Évaluer des fonctions circulaires

VIII.4 Partie entière et valeur absolue

Deux dernières fonctions complètent le catalogue : la partie entière, qui arrondit à l'entier inférieur, et la valeur absolue, qui mesure la distance à zéro.

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Définition — Partie entière

La partie entière d'un réel $x$, notée $\lfloor x \rfloor$ (également notée $E(x)$), est l'unique entier $n$ tel que $n \le x < n + 1$. De façon équivalente, elle vérifie les inégalités caractéristiques $$\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1, \qquad \text{soit encore} \qquad x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x,$$ qui sont fondamentales pour les encadrements de limites. La fonction $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ est définie sur $\mathbb{R}$, constante sur chaque intervalle $[n, n+1[$, avec un saut de $1$ en chaque entier ; son graphe est un escalier.

Exemple

On a $\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2$, $\lfloor 3 \rfloor = 3$ et $\lfloor -1{,}2 \rfloor = -2$ (la partie entière d'un négatif non entier descend, et ne va pas vers $0$). Le graphe est un escalier, fermé à gauche de chaque marche et ouvert à droite :

Définition — Valeur absolue

La valeur absolue d'un réel $x$ est $|x| = x$ si $x \ge 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$ ; c'est la distance de $x$ à $0$. La fonction $x \mapsto |x|$ est définie sur $\mathbb{R}$, paire, décroissante sur $]-\infty, 0]$ et croissante sur $[0, +\infty[$, de minimum $0$ ; on a $|x| = \sqrt{x^2}$.

Proposition — Propriétés de la valeur absolue

Pour tous réels $x, y$ et tout $r \ge 0$ : $$|x| \ge 0, \qquad |xy| = |x|\,|y|, \qquad |x + y| \le |x| + |y|, \qquad |x| \le r \;\Longleftrightarrow\; -r \le x \le r.$$ Ces résultats sont admis.

Exemple

Le graphe de $|x|$ est un « V » de sommet l'origine ; pour résoudre $|x - 3| \le 2$, la dernière règle donne $-2 \le x - 3 \le 2$, d'où $1 \le x \le 5$, c'est-à-dire $x \in [1, 5]$ :

Ces fonctions sont les briques de l'analyse. Leurs dérivées, limites et intégrales sont étudiées systématiquement dans les chapitres qui suivent ; une étude de fonction complète assemble les outils de ce chapitre dans l'ordre — domaine, parité et périodicité, tableau de variations, tangentes et asymptotes — et se termine par un graphe propre. Connaître par cœur l'allure de chaque fonction usuelle est le moyen le plus sûr de lire toute nouvelle fonction construite à partir d'elles.

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Compétences à pratiquer

Évaluer partie entière et valeur absolue

IX Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Études complètes et inégalités
Études autonomes, limites et tangentes
Quiz

Contrôle du chapitre

4 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h 30.

À traiter sur papier, puis à photographier : la correction est automatique, par IA.

Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.

Aucun exercice composé.

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\(x\)	\(-\infty\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(f\)	\(+\infty\)	\(\searrow\)	\(-3\)	\(\nearrow\)	\(+\infty\)

\(f\)	\(g\)	\(f + g\)	\(fg\)
paire	paire	paire	paire
paire	impaire	en général ni l'une ni l'autre	impaire
impaire	paire	en général ni l'une ni l'autre	impaire
impaire	impaire	impaire	paire