Éducation Nationale Française · BCPST

Nombres complexes

⌚ ~75 min ▢ 9 blocs ✓ 30 exercices ➣ Prérequis : Nombres complexes : approche algébrique, Nombres complexes : approche géométrique

Les nombres réels ne suffisent pas : l'équation simple $x^2 = -1$ n'a pas de solution réelle, car un carré réel est toujours positif. On agrandit $\mathbb{R}$ en un ensemble $\mathbb{C}$ de nombres complexes dans lequel $-1$ possède une racine carrée, notée $i$, et dans lequel toute équation du second degré à coefficients réels se résout. Un nombre complexe a deux visages à la fois : un visage algébrique $a + ib$, commode pour les sommes et les produits, et un visage géométrique — un point du plan — commode pour le module et l'argument. Le pont entre les deux est la forme exponentielle $r\,\mathrm{e}^{i\theta}$, qui transforme la multiplication en addition d'angles et donne, par les formules d'Euler, un outil direct pour la trigonométrie. Les notions de partie réelle et imaginaire, de conjugué, de module et d'argument vues au lycée sont supposées connues et brièvement rappelées. Cet objet est un compagnon constant : les nombres complexes reviennent dans les suites, dans les équations différentielles et dans toute la physique (courants alternatifs, oscillations, ondes).

Signaler une erreur

I La forme algébrique

I.1 L'ensemble des nombres complexes

On admet l'existence d'un ensemble $\mathbb{C}$ contenant $\mathbb{R}$, muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\mathbb{R}$ et obéissent aux mêmes règles de calcul (commutativité, associativité, distributivité, et le fait qu'un produit est nul seulement si l'un de ses facteurs est nul), et contenant un élément $i$ vérifiant $i^2 = -1$. Concrètement, $\mathbb{C} = \{a + ib : a \in \mathbb{R},\ b \in \mathbb{R}\}$, et tout nombre complexe s'écrit sous forme algébrique $a + ib$ d'une, et d'une seule, manière : le couple $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ est unique.

Signaler une erreur

Définition — Nombre complexe et forme algébrique

Un nombre complexe est un nombre $z$ qui peut s'écrire sous forme algébrique $$z = a + ib, \qquad a \in \mathbb{R},\ b \in \mathbb{R},$$ où $i$ est l'unité imaginaire, vérifiant $i^2 = -1$. L'ensemble des nombres complexes est noté $\mathbb{C}$. Le réel $a$ est la partie réelle de $z$, notée $\operatorname{Re}(z)$, et $b$ est la partie imaginaire, notée $\operatorname{Im}(z)$ (remarquer que $\operatorname{Im}(z)$ est un nombre réel). Lorsque $b = 0$, $z = a$ est réel ; lorsque $a = 0$, $z = ib$ est un imaginaire pur.

Exemple

Pour $z = 3 + 2i$ : $\operatorname{Re}(z) = 3$ et $\operatorname{Im}(z) = 2$. Le nombre $z = -5$ est réel ($\operatorname{Im}(z) = 0$) ; le nombre $z = 4i$ est un imaginaire pur ($\operatorname{Re}(z) = 0$).

Exemple

Les puissances de $i$ sont cycliques : $i^2 = -1$, $i^3 = i^2 \cdot i = -i$, $i^4 = (i^2)^2 = 1$, puis cela se répète. Ainsi $i^{2024} = (i^4)^{506} = 1$.

Proposition — Égalité et opérations

Pour $a, b, a', b' \in \mathbb{R}$, deux nombres complexes sont égaux exactement lorsque leurs parties coïncident : $$a + ib = a' + ib' \quad \Longleftrightarrow \quad (a = a') \text{ et } (b = b').$$ En particulier $z = 0 \Leftrightarrow \operatorname{Re}(z) = 0$ et $\operatorname{Im}(z) = 0$. Les sommes et les produits se calculent par les règles usuelles de l'algèbre, en remplaçant $i^2$ par $-1$ : $$(a + ib) + (a' + ib') = (a + a') + i(b + b'), \qquad (a + ib)(a' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + a'b).$$

Preuve

On développe le produit par distributivité et $i^2 = -1$ : $$\begin{aligned} (a + ib)(a' + ib') &= aa' + iab' + ia'b + i^2 bb' && \text{(distributivité)} \\ &= aa' + i(ab' + a'b) - bb' && \text{(par } i^2 = -1 \text{)} \\ &= (aa' - bb') + i(ab' + a'b). && \text{(regroupement des parties réelle et imaginaire)} \end{aligned}$$ La formule de la somme est immédiate. L'égalité découle de l'unicité de la forme algébrique, admise.

Exemple

Avec $z = 2 + 3i$ et $z' = 1 - i$ : $$z + z' = 3 + 2i, \qquad zz' = (2 + 3i)(1 - i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 5 + i.$$

Méthode — Mettre une expression sous forme algébrique

Développer tout produit et toute puissance, remplacer chaque $i^2$ par $-1$ (et $i^3 = -i$, $i^4 = 1$), puis regrouper les termes réels à part des termes portant $i$ : le résultat se lit $a + ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$.

Compétences à pratiquer

Lire les parties et calculer les opérations

I.2 Conjugué et module

Deux quantités mesurent un nombre complexe. Le conjugué change le signe de la partie imaginaire et permet d'isoler les parties réelle et imaginaire ; le module mesure la taille de $z$ et se lira géométriquement comme une distance dans la section suivante. Ensemble, ils fournissent la recette standard de l'inverse et du quotient.

Signaler une erreur

Définition — Conjugué et module

Soit $z = a + ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$. Le conjugué de $z$ est $\overline{z} = a - ib$. Le module de $z$ est le réel positif ou nul $$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$ Pour un nombre réel, le module est la valeur absolue usuelle, donc la notation est cohérente.

Exemple

Pour $z = 3 - 4i$ : $\overline{z} = 3 + 4i$ et $|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5$. Pour $z = -2i$ : $\overline{z} = 2i$ et $|z| = 2$.

Exemple

Pour $z = 1 + i$ : $\overline{z} = 1 - i$ et $z\,\overline{z} = (1+i)(1-i) = 1 - i^2 = 2$, ce qui vaut $|z|^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Proposition — Règles du conjugué et du module

Pour tous $z, z' \in \mathbb{C}$ :

parties : $\operatorname{Re}(z) = \dfrac{z + \overline{z}}{2}$ et $\operatorname{Im}(z) = \dfrac{z - \overline{z}}{2i}$ ; de plus $\overline{\overline{z}} = z$ ;
compatibilité : $\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}$ et $\overline{z\,z'} = \overline{z}\;\overline{z'}$ ;
module et conjugué : $z\,\overline{z} = |z|^2$, $\ |z\,z'| = |z|\,|z'|$, et $|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$.

Preuve

Écrivons $z = a + ib$. Alors $z + \overline{z} = 2a = 2\operatorname{Re}(z)$ et $z - \overline{z} = 2ib$, d'où $\operatorname{Im}(z) = b = \frac{z - \overline{z}}{2i}$ ; et $\overline{\overline{z}} = \overline{a - ib} = a + ib = z$. Les règles de compatibilité viennent d'un développement direct : avec $z' = a' + ib'$, $$\overline{z + z'} = (a + a') - i(b + b') = \overline{z} + \overline{z'}, \qquad \overline{z\,z'} = (aa' - bb') - i(ab' + a'b) = \overline{z}\;\overline{z'}.$$ Pour le produit avec le conjugué : $$\begin{aligned} z\,\overline{z} &= (a + ib)(a - ib) \\ &= a^2 - (ib)^2 && \text{(différence de deux carrés)} \\ &= a^2 + b^2 = |z|^2. && \text{(par } i^2 = -1 \text{)} \end{aligned}$$ La multiplicativité du module se lit alors sur le conjugué : $$|z\,z'|^2 = (z z')\,\overline{(z z')} = z\,\overline{z}\; z'\,\overline{z'} = |z|^2 |z'|^2,$$ donc $|z\,z'| = |z|\,|z'|$ après extraction des racines carrées. Enfin $|z| = 0$ signifie $a^2 + b^2 = 0$, soit $a = b = 0$, soit $z = 0$.

Méthode — Inverse et quotient sous forme algébrique

Pour mettre $\dfrac{z}{z'}$ (avec $z' \ne 0$) sous forme algébrique, multiplier le numérateur et le dénominateur par $\overline{z'}$ : le nouveau dénominateur $z'\overline{z'} = |z'|^2$ est un réel strictement positif, et le numérateur se développe comme un produit.

Exemple

Mettre $\dfrac{2 + i}{1 - i}$ sous forme algébrique : $$\begin{aligned} \frac{2 + i}{1 - i} &= \frac{(2 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} && \text{(on multiplie par le conjugué)} \\ &= \frac{2 + 2i + i + i^2}{1 - i^2} && \text{(on développe)} \\ &= \frac{1 + 3i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i. && \text{(par } i^2 = -1 \text{)} \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Conjuguer, calculer modules et quotients

II Représentation géométrique

II.1 Affixe dans le plan complexe

On fixe un repère orthonormé du plan. Au nombre complexe $z = a + ib$ on associe le point de coordonnées $(a, b)$ : ce dictionnaire entre nombres et points est précisément ce qui rend les nombres complexes si visuels.

Signaler une erreur

Définition — Affixe

Dans un repère orthonormé $(O ; \vec{u}, \vec{v})$, le point $M$ de coordonnées $(a, b)$ est l'image du nombre complexe $z = a + ib$, et $z$ est l'affixe de $M$ (et du vecteur $\overrightarrow{OM}$). Le plan muni de cette correspondance est le plan complexe : l'axe horizontal porte les nombres réels, l'axe vertical les imaginaires purs.

Exemple

Le point d'affixe $z = 3 + 2i$ a pour coordonnées $(3, 2)$ ; son conjugué $\overline{z} = 3 - 2i$ a pour image $(3, -2)$, le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des réels :

Exemple

Le point d'affixe $z = -1 + 2i$ a pour coordonnées $(-1, 2)$. Son opposé $-z = 1 - 2i$ a pour image $(1, -2)$, le symétrique de $M$ par rapport à l'origine.

Proposition — Affixe et opérations

Soient $A$, $B$ d'affixes $z_A$, $z_B$. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B - z_A$. L'image de $\overline{z}$ est la symétrique de l'image de $z$ par rapport à l'axe des réels ; l'image de $-z$ est sa symétrique par rapport à l'origine.

Preuve

Si $A$ a pour coordonnées $(a_1, a_2)$ et $B$ pour coordonnées $(b_1, b_2)$, alors $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(b_1 - a_1, b_2 - a_2)$, dont l'affixe est $(b_1 - a_1) + i(b_2 - a_2) = z_B - z_A$. L'image de $\overline{z} = a - ib$ a pour coordonnées $(a, -b)$, obtenues à partir de $(a, b)$ en changeant le signe de la seconde coordonnée, ce qui est la symétrie par rapport à l'axe des réels. L'image de $-z = -a - ib$ a pour coordonnées $(-a, -b)$, obtenues en changeant le signe des deux coordonnées, ce qui est la symétrie par rapport à l'origine.

Compétences à pratiquer

Placer des affixes et lire des coordonnées

II.2 Le module comme distance

Le module est exactement la longueur du vecteur $\overrightarrow{OM}$. Plus généralement, le module d'une différence mesure la distance entre deux images, ce qui fait du module le bon outil pour lire les distances dans le plan complexe.

Signaler une erreur

Proposition — Module et distance

Soient $A$, $B$ d'affixes $z_A$, $z_B$. Alors $|z_A|$ est la distance $OA$, et $$|z_B - z_A| = AB,$$ la distance entre les deux points. De plus, pour tous $z, z' \in \mathbb{C}$, l'inégalité triangulaire est vérifiée : $$|z + z'| \le |z| + |z'|,$$ avec égalité si et seulement si $z = 0$ ou $z' = \lambda z$ pour un réel $\lambda \ge 0$. Aller tout droit de $0$ à $z + z'$ n'est jamais plus long que le détour par $z$, et les deux coïncident exactement lorsque le détour n'en est pas un — lorsque $z'$ pointe dans la même direction que $z$ :

Preuve

En prenant d'abord $A = O$ (affixe $0$) : $|z_A| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ est la longueur de $\overrightarrow{OA}$, c'est-à-dire la distance $OA$. En général, avec $z_A = a_1 + i a_2$ et $z_B = b_1 + i b_2$, la différence est $z_B - z_A = (b_1 - a_1) + i(b_2 - a_2)$, donc $$|z_B - z_A| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2},$$ qui est exactement la distance $AB$ dans le repère orthonormé : les deux côtés de l'angle droit ci-dessous se lisent sur les coordonnées, et Pythagore donne l'hypoténuse.

L'inégalité triangulaire traduit, dans le plan, que la longueur d'un côté d'un triangle est au plus la somme des deux autres ; elle est admise ici.

Exemple

L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - (1 + i)| = 2$ est le cercle de centre le point d'affixe $1 + i$ et de rayon $2$, car $|z - (1 + i)|$ se lit comme la distance de $M$ à ce centre. L'équation dit « rester à distance $2$ du point $1+i$ » — et c'est un cercle :

Compétences à pratiquer

Lire des distances et décrire des ensembles de points

III La forme exponentielle

III.1 Argument et forme trigonométrique

Un nombre complexe non nul est déterminé par deux données : son module (à quelle distance de l'origine) et son argument (dans quelle direction). Lire les coordonnées sur le cercle de rayon $|z|$ donne la forme trigonométrique.

Signaler une erreur

Définition — Argument et forme trigonométrique

Soit $z \ne 0$ de module $r = |z|$. Un argument de $z$ est tout réel $\theta$ tel que $$z = r(\cos\theta + i\sin\theta).$$ Cette écriture est la forme trigonométrique de $z$. Un argument n'est défini qu'à un multiple de $2\pi$ près ; on note $\arg(z) = \theta \ [2\pi]$. L'unique argument situé dans $\left]-\pi, \pi\right]$ est appelé argument principal. L'argument de $0$ n'est pas défini. Les deux données se lisent directement sur la figure : $r$ est la distance de $M$ à l'origine, $\theta$ est la direction de la demi-droite $[OM)$, et les coordonnées de $M$ valent alors $r\cos\theta$ et $r\sin\theta$ — c'est-à-dire la formule ci-dessus.

Exemple

Pour $z = 1 + i$ : $r = \sqrt{2}$ et $z = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$, donc $\arg(z) = \frac{\pi}{4} \ [2\pi]$. Pour $z = -3$ : $r = 3$ et $\arg(z) = \pi \ [2\pi]$.

Exemple

Pour $z = i$ : $r = 1$ et $\arg(z) = \frac{\pi}{2} \ [2\pi]$. Pour $z = -2i$ : $r = 2$ et $\arg(z) = -\frac{\pi}{2} \ [2\pi]$.

Méthode — Trouver module et argument

À partir de $z = a + ib$ (non nul) : calculer $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, puis le factoriser, $z = r\left(\frac{a}{r} + \frac{b}{r}i\right)$ ; un argument $\theta$ (modulo $2\pi$) est l'angle dont le cosinus est $\frac{a}{r}$ et le sinus $\frac{b}{r}$. Les deux signes ensemble fixent le quadrant ($\cos\theta$ donne gauche/droite, $\sin\theta$ donne haut/bas), et pour une valeur usuelle de $\frac{a}{r}$ et $\frac{b}{r}$ l'angle se lit sur le cercle trigonométrique.

Exemple

Déterminer un argument de $z = -1 + i\sqrt{3}$. Ici $r = \sqrt{1 + 3} = 2$, donc $$z = 2\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right),$$ d'où $\arg(z) = \frac{2\pi}{3} \ [2\pi]$. Le cosinus seul laisserait à la fois $\frac{2\pi}{3}$ et $-\frac{2\pi}{3}$ ; c'est le sinus, positif, qui place le point au-dessus de l'axe des réels — dans le deuxième quadrant, sur le cercle de rayon $r = 2$ :

Compétences à pratiquer

Trouver module et argument, écrire la forme trigonométrique

III.2 La notation $\mathrm{e}^{i\theta}$ et les formules d'Euler

Les nombres de module $1$ forment le cercle unité. Écrire $\cos\theta + i\sin\theta = \mathrm{e}^{i\theta}$ est plus qu'une abréviation : cela fait obéir la multiplication des nombres complexes à la règle des exposants, transformant les produits en sommes d'angles.

Signaler une erreur

Définition — Notation exponentielle

Pour $\theta \in \mathbb{R}$, on pose $$\mathrm{e}^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.$$ Ce nombre est de module $1$. Tout $z$ non nul s'écrit alors sous forme exponentielle $z = r\,\mathrm{e}^{i\theta}$, avec $r = |z| > 0$ et $\theta = \arg(z) \ [2\pi]$.

Exemple

$\mathrm{e}^{i \cdot 0} = 1$, $\ \mathrm{e}^{i\pi/2} = i$, $\ \mathrm{e}^{i\pi} = -1$ et $\mathrm{e}^{2i\pi} = 1$. Le point d'affixe $\mathrm{e}^{i\theta}$ parcourt le cercle unité :

Proposition — Règles de la forme exponentielle

Pour tous $\theta, \theta' \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{Z}$ : $$\mathrm{e}^{i\theta}\,\mathrm{e}^{i\theta'} = \mathrm{e}^{i(\theta + \theta')}, \qquad \frac{1}{\mathrm{e}^{i\theta}} = \mathrm{e}^{-i\theta} = \overline{\mathrm{e}^{i\theta}}, \qquad \bigl(\mathrm{e}^{i\theta}\bigr)^n = \mathrm{e}^{in\theta}.$$ La règle du milieu s'applique au nombre $\mathrm{e}^{i\theta}$ de module $1$ (et non à un $z$ quelconque). La dernière égalité, développée, est la formule de de Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$. Par conséquent, pour tous $z, z' \ne 0$, les modules se multiplient et les arguments s'ajoutent : $|z\,z'| = |z|\,|z'|$ et $\arg(z\,z') = \arg(z) + \arg(z') \ [2\pi]$. Géométriquement, multiplier par $z' = r'\,\mathrm{e}^{i\theta'}$ fait tourner de l'angle $\theta'$ la demi-droite qui porte $z$ et multiplie sa longueur par $r'$ :

Preuve

Pour le produit, on développe et on utilise les formules d'addition de la trigonométrie : $$\begin{aligned} \mathrm{e}^{i\theta}\,\mathrm{e}^{i\theta'} &= (\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\theta' + i\sin\theta') \\ &= (\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta') + i(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta') && \text{(développement, } i^2 = -1 \text{)} \\ &= \cos(\theta + \theta') + i\sin(\theta + \theta') && \text{(formules d'addition)} \\ &= \mathrm{e}^{i(\theta + \theta')}. \end{aligned}$$ En prenant $\theta' = -\theta$, on obtient $\mathrm{e}^{i\theta}\mathrm{e}^{-i\theta} = \mathrm{e}^{i\cdot 0} = 1$, donc $\mathrm{e}^{-i\theta}$ est l'inverse de $\mathrm{e}^{i\theta}$ ; et $\mathrm{e}^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta = \overline{\mathrm{e}^{i\theta}}$. La règle des puissances suit par récurrence sur $n \ge 0$, puis s'étend aux $n$ négatifs par la règle de l'inverse. Enfin, pour $z = r\,\mathrm{e}^{i\theta}$ et $z' = r'\,\mathrm{e}^{i\theta'}$ avec $z, z' \ne 0$, la règle du produit donne $z\,z' = r r'\,\mathrm{e}^{i(\theta + \theta')}$, donc $|z\,z'| = r r' = |z|\,|z'|$ et $\arg(z\,z') = \theta + \theta' = \arg(z) + \arg(z') \ [2\pi]$.

Proposition — Formules d'Euler

Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ : $$\cos\theta = \frac{\mathrm{e}^{i\theta} + \mathrm{e}^{-i\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{\mathrm{e}^{i\theta} - \mathrm{e}^{-i\theta}}{2i}.$$

Preuve

On ajoute puis on soustrait les deux relations $\mathrm{e}^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ et $\mathrm{e}^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$ : $$\begin{aligned} \mathrm{e}^{i\theta} + \mathrm{e}^{-i\theta} &= 2\cos\theta && \text{(les termes } i\sin\theta \text{ se compensent)} \\ \mathrm{e}^{i\theta} - \mathrm{e}^{-i\theta} &= 2i\sin\theta. && \text{(les termes } \cos\theta \text{ se compensent)} \end{aligned}$$ En divisant par $2$ et par $2i$, on obtient les deux formules.

Exemple

Calculer $(1 + i)^6$. Sous forme exponentielle $1 + i = \sqrt{2}\,\mathrm{e}^{i\pi/4}$, donc $$(1 + i)^6 = \bigl(\sqrt{2}\bigr)^6 \mathrm{e}^{6i\pi/4} = 8\,\mathrm{e}^{3i\pi/2} = 8(0 - i) = -8i.$$

Compétences à pratiquer

Convertir les formes et appliquer de Moivre

IV Applications

IV.1 Linéarisation

Les formules d'Euler transforment une puissance $\cos^p\theta\,\sin^q\theta$ en une somme de $\cos(k\theta)$ et $\sin(k\theta)$ : c'est la linéarisation, la préparation standard avant d'intégrer une telle puissance.

Signaler une erreur

Méthode — Linéariser une puissance de cosinus ou sinus

Remplacer $\cos\theta$ par $\frac{\mathrm{e}^{i\theta} + \mathrm{e}^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta$ par $\frac{\mathrm{e}^{i\theta} - \mathrm{e}^{-i\theta}}{2i}$ ; développer le produit par la formule du binôme (binôme de Newton, vu dans les méthodes de calcul) ; regrouper deux à deux les termes conjugués $\mathrm{e}^{ik\theta}$ et $\mathrm{e}^{-ik\theta}$ et les relire en $2\cos(k\theta)$ ou $2i\sin(k\theta)$.

Exemple

Linéariser $\cos^2\theta$ : $$\begin{aligned} \cos^2\theta &= \left(\frac{\mathrm{e}^{i\theta} + \mathrm{e}^{-i\theta}}{2}\right)^2 && \text{(formule d'Euler)} \\ &= \frac{\mathrm{e}^{2i\theta} + 2 + \mathrm{e}^{-2i\theta}}{4} && \text{(développement du carré)} \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2\theta). && \text{(} \mathrm{e}^{2i\theta} + \mathrm{e}^{-2i\theta} = 2\cos 2\theta \text{)} \end{aligned}$$

Exemple

Linéariser $\sin^3\theta$ : $$\begin{aligned} \sin^3\theta &= \left(\frac{\mathrm{e}^{i\theta} - \mathrm{e}^{-i\theta}}{2i}\right)^3 \\ &= \frac{1}{(2i)^3}\bigl(\mathrm{e}^{3i\theta} - 3\mathrm{e}^{i\theta} + 3\mathrm{e}^{-i\theta} - \mathrm{e}^{-3i\theta}\bigr) && \text{(développement du binôme)} \\ &= \frac{1}{-8i}\bigl(2i\sin 3\theta - 3 \cdot 2i\sin\theta\bigr) && \text{(on apparie les termes conjugués)} \\ &= \frac{3}{4}\sin\theta - \frac{1}{4}\sin(3\theta). && \text{(division par } -8i \text{)} \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Linéariser des puissances de cosinus et sinus

IV.2 Équations du second degré

On résout d'abord l'équation élémentaire $z^2 = a$ pour un nombre complexe $a$, puis l'équation générale du second degré à coefficients réels, qui possède toujours des solutions dans $\mathbb{C}$.

Signaler une erreur

Proposition — Racines carrées d'un nombre complexe

Soit $a \in \mathbb{C}$. Si $a = 0$, l'équation $z^2 = a$ a pour unique solution $z = 0$. Si $a \ne 0$, elle possède exactement deux solutions, opposées l'une de l'autre ; en écrivant $a = r\,\mathrm{e}^{i\alpha}$ avec $r > 0$ et $\alpha$ un argument quelconque de $a$, ce sont $\sqrt{r}\,\mathrm{e}^{i\alpha/2}$ et $-\sqrt{r}\,\mathrm{e}^{i\alpha/2}$. Remplacer $\alpha$ par $\alpha + 2\pi$ multiplie $\mathrm{e}^{i\alpha/2}$ par $\mathrm{e}^{i\pi} = -1$, ce qui ne fait qu'échanger les deux racines : la paire de solutions ne dépend pas du choix de $\alpha$.

Preuve

Si $a = 0$, alors $z^2 = 0$ impose $z = 0$. Sinon écrivons $a = r\,\mathrm{e}^{i\alpha}$ avec $r > 0$ et posons $z_0 = \sqrt{r}\,\mathrm{e}^{i\alpha/2}$. Alors $z_0^2 = r\,\mathrm{e}^{i\alpha} = a$, donc $z_0$ est solution. Si $z^2 = a$ et $z_0^2 = a$, alors $z^2 - z_0^2 = 0$, soit $(z - z_0)(z + z_0) = 0$, d'où $z = z_0$ ou $z = -z_0$. Les deux nombres opposés sont distincts car $z_0 \ne 0$.

Méthode — Résoudre $z^2 \equal a$ sous forme algébrique

Lorsque l'argument de $a$ n'est pas un angle usuel, poser $z = x + iy$ avec $x, y \in \mathbb{R}$ et identifier dans $z^2 = a$. En écrivant $a = \alpha + i\beta$ avec $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, on obtient le système $$x^2 - y^2 = \alpha \quad (\text{parties réelles}), \qquad 2xy = \beta \quad (\text{parties imaginaires}), \qquad x^2 + y^2 = |a| \quad (\text{modules}).$$ Ajouter la première et la troisième équation donne $x^2$ ; soustraire la première de la troisième donne $y^2$. Lorsque $\beta \ne 0$, le signe de $2xy = \beta$ apparie $x$ avec $y$. Lorsque $\beta = 0$, alors $a$ est réel et $2xy = 0$ impose $x = 0$ ou $y = 0$ : si $\alpha > 0$ alors $y = 0$ et $z = \pm\sqrt{\alpha}$, tandis que si $\alpha < 0$ alors $x = 0$ et $z = \pm i\sqrt{-\alpha}$.

Exemple

Résoudre $z^2 = -4$. Ici $-4 = 4\,\mathrm{e}^{i\pi}$, donc les solutions sont $2\,\mathrm{e}^{i\pi/2} = 2i$ et $-2i$. On vérifie $(2i)^2 = -4$.

Exemple

Résoudre $z^2 = 3 + 4i$ par la méthode algébrique. Avec $z = x + iy$, le système est $x^2 - y^2 = 3$, $2xy = 4$, $x^2 + y^2 = |3 + 4i| = 5$. En ajoutant la première et la troisième : $2x^2 = 8$, donc $x^2 = 4$ ; en les soustrayant : $2y^2 = 2$, donc $y^2 = 1$. Comme $2xy = 4 > 0$, $x$ et $y$ sont de même signe, d'où $z = 2 + i$ ou $z = -2 - i$.

Théorème — Équation du second degré à coefficients réels

Soient $a, b, c \in \mathbb{R}$ avec $a \ne 0$, et soit $\Delta = b^2 - 4ac$ le discriminant. L'équation $az^2 + bz + c = 0$ admet dans $\mathbb{C}$ :

si $\Delta > 0$, deux racines réelles $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ ;
si $\Delta = 0$, une racine réelle double $\dfrac{-b}{2a}$ ;
si $\Delta < 0$, deux racines complexes conjuguées non réelles $\dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

Preuve

On met le trinôme sous forme canonique en complétant le carré : $$\begin{aligned} az^2 + bz + c &= a\left(z^2 + \frac{b}{a}z\right) + c \\ &= a\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c && \text{(complétion du carré)} \\ &= a\left[\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]. && \text{(} \Delta = b^2 - 4ac \text{)} \end{aligned}$$ L'équation devient $\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}$. Lorsque $\Delta > 0$ le second membre est le réel $\bigl(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\bigr)^2$, ce qui donne les deux racines réelles distinctes ; lorsque $\Delta = 0$ le second membre est $0$, donc $z + \frac{b}{2a} = 0$ est l'unique racine double ; lorsque $\Delta < 0$ il vaut $\bigl(\frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\bigr)^2$, ce qui donne les deux racines conjuguées.

Exemple

Résoudre $z^2 - 2z + 5 = 0$. Ici $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$, donc $\sqrt{-\Delta} = 4$ et les racines sont $$z = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i.$$ Les deux racines $1 + 2i$ et $1 - 2i$ sont conjuguées, comme attendu pour des coefficients réels.

Pour aller plus loin

La forme exponentielle est le moteur d'une grande partie de la suite : les suites arithmético-géométriques et d'ordre deux utilisent les racines d'une équation du second degré, les équations différentielles linéaires à coefficients constants reposent sur la même équation caractéristique, et les formules d'Euler reviennent dès qu'on modélise une oscillation ou une onde. Les deux visages, algébrique et géométrique, méritent d'être gardés côte à côte : choisir la forme algébrique pour les sommes, la forme exponentielle pour les produits et les puissances.

Signaler une erreur

Compétences à pratiquer

Résoudre des équations du second degré et des racines carrées

V Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Sommes d'exponentielles complexes