Éducation Nationale Française · BCPST
Trigonométrie
La trigonométrie étudie les deux fonctions \(\cos\) et \(\sin\) — ainsi que leur quotient \(\tan\) — à travers une seule image : le cercle trigonométrique. Toutes les formules de ce chapitre se lisent sur ce cercle. On garde un jeu de formules petit et fixe : la relation fondamentale \(\cos^2 + \sin^2 = 1\), les formules d'addition et les formules de duplication. À partir d'elles on résout des équations trigonométriques simples, on introduit les notations réciproques \(\arccos\), \(\arcsin\), \(\arctan\), et on réduit une combinaison \(a\cos\theta + b\sin\theta\) à un seul cosinus. Ces outils reviennent sans cesse ensuite — dans les nombres complexes, dans les signaux oscillants de la physique, et en intégration. Le nombre \(\pi\) et la mesure des angles en radians sont supposés connus.
I
Fonctions circulaires
I.1
Le cercle trigonométrique
On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})\). Le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\). En enroulant la droite réelle autour de lui, on associe à chaque réel \(x\) un unique point, dont les coordonnées sont le cosinus et le sinus de \(x\).
Définition — Cosinus, sinus et tangente
Pour un réel \(x\), on enroule la droite réelle sur le cercle trigonométrique : en partant du point \((1,0)\) et en parcourant le cercle sur une longueur d'arc \(x\) (dans le sens direct si \(x > 0\), indirect si \(x < 0\)), on atteint un unique point \(M(x)\). De façon équivalente, \(M(x)\) est le point tel que l'angle orienté de \(\vec{\imath}\) à \(\overrightarrow{OM(x)}\) admette \(x\) pour l'une de ses mesures en radians (la mesure n'étant définie que modulo \(2\pi\), tandis que l'enroulement fixe \(M(x)\) pour chaque réel \(x\)). Le cosinus \(\cos x\) est l'abscisse de \(M(x)\) et le sinus \(\sin x\) est son ordonnée. Lorsque \(\cos x \ne 0\), la tangente est \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\) ; la tangente est donc définie exactement sur \(D_{\tan} = \mathbb{R} \setminus \left\{ \tfrac{\pi}{2} + k\pi : k \in \mathbb{Z} \right\}\), l'ensemble des réels où \(\cos x \ne 0\). 
Comme \(M(x)\) est sur le cercle trigonométrique, ses coordonnées sont comprises entre \(-1\) et \(1\) : pour tout réel \(x\), \(-1 \le \cos x \le 1\) et \(-1 \le \sin x \le 1\). Pour un angle aigu \(x \in \left]0, \tfrac{\pi}{2}\right[\) (premier quadrant), le triangle rectangle \(OM(x)A\) avec \(A = (\cos x, 0)\) a toutes ses longueurs de côtés positives, et redonne les formules du collège \(\cos x = \text{adjacent}/\text{hypoténuse}\) et \(\sin x = \text{opposé}/\text{hypoténuse}\), puisque l'hypoténuse \(OM(x)\) est de longueur \(1\). En dehors de ce quadrant, ces rapports sont faux à moins de prendre des coordonnées signées ; la définition par le cercle trigonométrique ci-dessus reste la définition valable pour tout réel \(x\).
Définition — Mesure principale
Chaque point \(M\) du cercle trigonométrique est \(M(x)\) pour exactement un réel \(x\) dans \(]-\pi, \pi]\). Ce réel est la mesure principale de l'angle de \(\vec{\imath}\) à \(\overrightarrow{OM}\). Exemple
Le point en haut du cercle est \(M(\tfrac{\pi}{2})\), avec \(\cos\tfrac{\pi}{2} = 0\) et \(\sin\tfrac{\pi}{2} = 1\). L'angle de mesure \(\tfrac{5\pi}{2}\) donne le même point, car \(\tfrac{5\pi}{2} = \tfrac{\pi}{2} + 2\pi\) ; la mesure principale est \(\tfrac{\pi}{2}\). L'angle \(-\tfrac{3\pi}{2}\) donne aussi ce point, et sa mesure principale est encore \(\tfrac{\pi}{2}\). De même, le point le plus à gauche \((-1 ; 0)\) du cercle est \(M(\pi)\) : la lecture de ses coordonnées donne \(\cos\pi = -1\) et \(\sin\pi = 0\). Compétences à pratiquer
- Lire le cercle trigonométrique
I.2
Périodicité et symétries
Tourner d'un tour complet ramène au même point, donc \(\cos\) et \(\sin\) se répètent tous les \(2\pi\). Les symétries géométriques du cercle — réflexions et symétrie centrale — se traduisent par les relations entre \(\cos\), \(\sin\), \(\tan\) de \(x\) et de \(-x\), \(\pi - x\), \(\pi + x\), \(\tfrac{\pi}{2} - x\).
Proposition — Périodicité
Les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques : pour tout \(x \in \mathbb{R}\) et tout \(k \in \mathbb{Z}\), $$\cos(x + 2k\pi) = \cos x \qquad \text{et} \qquad \sin(x + 2k\pi) = \sin x.$$ La fonction \(\tan\) est \(\pi\)-périodique : pour tout \(x \in D_{\tan}\) (c'est-à-dire \(x \not\equiv \tfrac{\pi}{2} \ [\pi]\)) et tout \(k \in \mathbb{Z}\), \(\tan(x + k\pi) = \tan x\).
Ajouter \(2k\pi\) à \(x\) ajoute \(k\) tours complets à l'angle, donc \(M(x + 2k\pi) = M(x)\) : les deux réels donnent le même point du cercle, donc les mêmes coordonnées \(\cos\) et \(\sin\). Pour la tangente, fixons \(x \in D_{\tan}\) ; alors \(x + \pi \in D_{\tan}\) également, donc \(\tan x\) et \(\tan(x + \pi)\) sont tous deux définis. Ajouter \(\pi\) envoie \(M(x)\) sur le point diamétralement opposé \((-\cos x, -\sin x)\), donc $$\begin{aligned} \tan(x + \pi) &= \frac{\sin(x + \pi)}{\cos(x + \pi)} \\
&= \frac{-\sin x}{-\cos x} && \text{(point opposé)} \\
&= \tan x. \end{aligned}$$
Proposition — Parité et symétries
Pour tout réel \(x\) (et, pour \(\tan\), tout \(x\) où elle est définie) : - parité : \(\cos(-x) = \cos x\), \(\sin(-x) = -\sin x\), \(\tan(-x) = -\tan x\) ;
- supplémentaire : \(\cos(\pi - x) = -\cos x\), \(\sin(\pi - x) = \sin x\) ;
- demi-tour : \(\cos(\pi + x) = -\cos x\), \(\sin(\pi + x) = -\sin x\) ;
- complémentaire : \(\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x\), \(\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x\) ;
- quart de tour : \(\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x\), \(\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} + x\right) = \cos x\).
Chaque relation se lit sur une symétrie du cercle. La réflexion par rapport à l'axe horizontal envoie \(M(x) = (\cos x, \sin x)\) sur \(M(-x) = (\cos x, -\sin x)\), ce qui donne les relations de parité ; la tangente suit alors par quotient. La réflexion par rapport à l'axe vertical envoie \(M(x)\) sur \(M(\pi - x) = (-\cos x, \sin x)\), donnant les relations du supplémentaire. La symétrie centrale de centre \(O\) donne les relations du demi-tour (le point opposé, déjà utilisé ci-dessus). La réflexion par rapport à la première bissectrice envoie \(M(x)\) sur \(M\!\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) = (\sin x, \cos x)\), donnant les relations du complémentaire. Enfin, en composant le complémentaire avec la parité (remplacer \(x\) par \(-x\)) : \(\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} + x\right) = \cos(-x) = \cos x\) et \(\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2} + x\right) = \sin(-x) = -\sin x\) — géométriquement, la rotation d'un quart de tour autour de \(O\) envoie \(M(x) = (\cos x, \sin x)\) sur \(M\!\left(\tfrac{\pi}{2} + x\right) = (-\sin x, \cos x)\). 
Exemple
À l'aide de la relation du supplémentaire, \(\cos\tfrac{2\pi}{3} = \cos\!\left(\pi - \tfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\tfrac{\pi}{3} = -\tfrac{1}{2}\). À l'aide de la parité, \(\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{4}\right) = -\sin\tfrac{\pi}{4} = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}\). Méthode — Réduire un angle
Pour évaluer \(\cos\) ou \(\sin\) en un angle grand ou négatif, soustraire d'abord un multiple de \(2\pi\) pour se ramener à \(]-\pi, \pi]\) (périodicité), puis utiliser une relation de symétrie (\(-x\), \(\pi - x\), \(\pi + x\) ou \(\tfrac{\pi}{2} - x\)) pour revenir à une valeur connue sur \([0, \tfrac{\pi}{2}]\). Compétences à pratiquer
- Utiliser périodicité et symétries
II
Relation fondamentale et formules d'addition
II.1
Relation fondamentale et addition
Deux relations sont au cœur du chapitre. La première lie \(\cos\) et \(\sin\) en un même angle ; la seconde exprime \(\cos\) et \(\sin\) d'une somme. Tout le reste cette année s'en déduit.
Proposition — Relation fondamentale
Pour tout réel \(x\), $$\cos^2 x + \sin^2 x = 1.$$
Le point \(M(x) = (\cos x, \sin x)\) est sur le cercle trigonométrique, donc sa distance à \(O\) vaut \(1\). En écrivant cette distance avec le théorème de Pythagore sur le triangle rectangle \(OM(x)A\) (avec \(A = (\cos x, 0)\)) : $$\begin{aligned} OM(x)^2 &= \cos^2 x + \sin^2 x && \text{(coordonnées de } M(x) \text{)} \\
1 &= \cos^2 x + \sin^2 x. && \text{(rayon } 1 \text{)} \end{aligned}$$
Exemple
Si \(\cos x = \tfrac{3}{5}\) et \(x \in \left[0, \tfrac{\pi}{2}\right]\), alors \(\sin^2 x = 1 - \tfrac{9}{25} = \tfrac{16}{25}\), et comme \(\sin x \ge 0\) sur cet intervalle, \(\sin x = \tfrac{4}{5}\). Proposition — Formules d'addition
Pour tous réels \(a\) et \(b\) : $$\begin{aligned} \cos(a + b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b, & \cos(a - b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b, \\
\sin(a + b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b, & \sin(a - b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b. \end{aligned}$$
Soient \(M(a)\) et \(M(b)\) les points du cercle trigonométrique de coordonnées \((\cos a, \sin a)\) et \((\cos b, \sin b)\). On calcule le produit scalaire \(\overrightarrow{OM(a)} \cdot \overrightarrow{OM(b)}\) de deux façons. Avec les coordonnées, $$\overrightarrow{OM(a)} \cdot \overrightarrow{OM(b)} = \cos a \cos b + \sin a \sin b.$$ Avec les longueurs et l'angle entre les deux vecteurs (tous deux de longueur \(1\), angle \(a - b\)), $$\overrightarrow{OM(a)} \cdot \overrightarrow{OM(b)} = 1 \times 1 \times \cos(a - b) = \cos(a - b).$$ La comparaison donne \(\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\). En remplaçant \(b\) par \(-b\) et en utilisant la parité (\(\cos(-b) = \cos b\), \(\sin(-b) = -\sin b\)) on obtient \(\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\). Les formules du sinus découlent de la relation du complémentaire : avec \(\sin u = \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2} - u\right)\), $$\begin{aligned} \sin(a + b) &= \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2} - a - b\right) \\
&= \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2} - a\right)\cos b + \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} - a\right)\sin b && \text{(addition pour } \cos \text{)} \\
&= \sin a \cos b + \cos a \sin b, && \text{(complémentaire)} \end{aligned}$$ et \(\sin(a - b)\) suit en remplaçant \(b\) par \(-b\).
Exemple
La formule d'addition pour \(\sin\) donne $$\sin\!\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right) = \sin x \cos\tfrac{\pi}{2} + \cos x \sin\tfrac{\pi}{2} = \cos x,$$ en cohérence avec la relation du quart de tour \(\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} + x\right) = \cos x\) établie à la section précédente. De même \(\cos\!\left(x + \pi\right) = \cos x \cos\pi - \sin x \sin\pi = -\cos x\). Compétences à pratiquer
- Appliquer la relation fondamentale et les formules d'addition
II.2
Duplication et valeurs remarquables
En prenant \(b = a\) dans les formules d'addition, on obtient les formules de duplication, qui expriment \(\cos\) et \(\sin\) de \(2a\). Avec une courte table de valeurs en \(0\), \(\tfrac{\pi}{6}\), \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{\pi}{3}\), \(\tfrac{\pi}{2}\), elles permettent de calculer de nombreuses valeurs exactes.
Proposition — Formules de duplication
Pour tout réel \(a\), $$\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a, \qquad \sin(2a) = 2\sin a \cos a.$$
On pose \(b = a\) dans les formules d'addition. Pour le cosinus, $$\begin{aligned} \cos(2a) &= \cos(a + a) \\
&= \cos a \cos a - \sin a \sin a && \text{(addition)} \\
&= \cos^2 a - \sin^2 a. \end{aligned}$$ En remplaçant \(\sin^2 a = 1 - \cos^2 a\) on obtient \(\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1\) ; en remplaçant \(\cos^2 a = 1 - \sin^2 a\) on obtient \(\cos(2a) = 1 - 2\sin^2 a\). Pour le sinus, $$\begin{aligned} \sin(2a) &= \sin(a + a) \\
&= \sin a \cos a + \cos a \sin a && \text{(addition)} \\
&= 2\sin a \cos a. \end{aligned}$$
Proposition — Valeurs remarquables
On rappelle de l'enseignement secondaire les valeurs suivantes, qui se lisent sur le cercle trigonométrique (et que les relations ci-dessus permettent de retrouver à volonté) : | \(x\) | \(0\) | \(\tfrac{\pi}{6}\) | \(\tfrac{\pi}{4}\) | \(\tfrac{\pi}{3}\) | \(\tfrac{\pi}{2}\) |
| \(\cos x\) | \(1\) | \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\tfrac{1}{2}\) | \(0\) |
| \(\sin x\) | \(0\) | \(\tfrac{1}{2}\) | \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) |
| \(\tan x\) | \(0\) | \(\tfrac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | — |
Exemple
La valeur en \(\tfrac{\pi}{12}\) s'obtient en écrivant \(\tfrac{\pi}{12} = \tfrac{\pi}{3} - \tfrac{\pi}{4}\) et en appliquant la formule d'addition : $$\begin{aligned} \cos\tfrac{\pi}{12} &= \cos\!\left(\tfrac{\pi}{3} - \tfrac{\pi}{4}\right) \\
&= \cos\tfrac{\pi}{3}\cos\tfrac{\pi}{4} + \sin\tfrac{\pi}{3}\sin\tfrac{\pi}{4} && \text{(addition)} \\
&= \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2} && \text{(table)} \\
&= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}. \end{aligned}$$ Méthode — Calculer une valeur non standard
Pour trouver \(\cos\) ou \(\sin\) en un angle qui n'est pas dans la table, écrire l'angle comme somme, différence ou double d'angles de la table, puis appliquer la formule d'addition ou de duplication. Garder le calcul symbolique ; ne pas passer à une valeur décimale approchée. Compétences à pratiquer
- Utiliser duplication et valeurs remarquables
III
Équations trigonométriques
III.1
Résoudre \(\cos x \equal c\), \(\sin x \equal s\), \(\tan x \equal t\)
Une équation trigonométrique demande tous les réels \(x\) ayant un cosinus, un sinus ou une tangente prescrit. Les symétries du cercle donnent, dans chaque cas, l'ensemble complet des solutions sous la forme « \(x\) congru à un angle de base modulo \(2\pi\) (ou \(\pi\)) ».
Proposition — Équations de base
Pour tous réels \(x\) et \(y\) : - \(\cos x = \cos y \iff x \equiv y \ [2\pi] \ \text{ ou } \ x \equiv -y \ [2\pi]\) ;
- \(\sin x = \sin y \iff x \equiv y \ [2\pi] \ \text{ ou } \ x \equiv \pi - y \ [2\pi]\) ;
- pour \(x, y \in D_{\tan}\) (c'est-à-dire \(x, y \notin \left\{ \tfrac{\pi}{2} + k\pi : k \in \mathbb{Z} \right\}\), de sorte que les deux tangentes sont définies), \(\tan x = \tan y \iff x \equiv y \ [\pi]\).
Deux réels ont le même cosinus exactement lorsque leurs points sur le cercle ont la même abscisse, c'est-à-dire lorsque les points sont égaux ou symétriques par rapport à l'axe horizontal : \(x \equiv y \ [2\pi]\) ou \(x \equiv -y \ [2\pi]\). Deux réels ont le même sinus exactement lorsque leurs points ont la même ordonnée, c'est-à-dire sont égaux ou symétriques par rapport à l'axe vertical : \(x \equiv y \ [2\pi]\) ou \(x \equiv \pi - y \ [2\pi]\). 
\(\qquad\) 
Pour la tangente (avec \(x, y \in D_{\tan}\)), on admet que \(\tan\) est injective sur \(\left]-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right[\). Combinée à la \(\pi\)-périodicité, cela donne \(x \equiv y \ [\pi]\).
\(\qquad\) Exemple
Résoudre \(\cos x = \tfrac{1}{2}\) sur \(\mathbb{R}\). Comme \(\tfrac{1}{2} = \cos\tfrac{\pi}{3}\), $$\cos x = \cos\tfrac{\pi}{3} \iff x \equiv \tfrac{\pi}{3} \ [2\pi] \ \text{ ou } \ x \equiv -\tfrac{\pi}{3} \ [2\pi].$$ Méthode — Résoudre une équation trigonométrique simple
Vérifier d'abord la faisabilité : \(\cos x = c\) n'a pas de solution lorsque \(|c| > 1\), et \(\sin x = s\) n'a pas de solution lorsque \(|s| > 1\) (le cosinus et le sinus d'un réel sont toujours dans \([-1, 1]\)) ; l'équation \(\tan x = t\) a des solutions pour tout réel \(t\). Lorsqu'une solution existe, réécrire le second membre comme un \(\cos\), \(\sin\) ou \(\tan\) d'un angle connu (à l'aide de la table et des relations de symétrie), puis appliquer l'équivalence correspondante. Lire les deux familles de solutions pour \(\cos\) et \(\sin\), l'unique famille pour \(\tan\). Si un intervalle borné est demandé, énumérer les valeurs de \(k\) qui maintiennent \(x\) à l'intérieur. Compétences à pratiquer
- Résoudre une équation trigonométrique
III.2
Les notations réciproques
Lorsque la valeur prescrite n'est pas remarquable, la solution est nommée par une fonction plutôt que calculée : \(\arccos\), \(\arcsin\), \(\arctan\) renvoient chacune l'unique solution située dans un intervalle de référence fixé. On admet l'existence et l'unicité de cette solution, ce qui définit les trois fonctions.
Définition — Notations trigonométriques réciproques
On admet l'existence et l'unicité énoncées ci-dessous ; elles définissent trois fonctions. - La fonction \(\arccos : [-1, 1] \to [0, \pi]\) envoie \(c\) sur l'unique \(\theta \in [0, \pi]\) tel que \(\cos\theta = c\).
- La fonction \(\arcsin : [-1, 1] \to \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]\) envoie \(s\) sur l'unique \(\theta \in \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]\) tel que \(\sin\theta = s\).
- La fonction \(\arctan : \mathbb{R} \to \left]-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right[\) envoie \(t\) sur l'unique \(\theta \in \left]-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right[\) tel que \(\tan\theta = t\).
\(\qquad\) 
Exemple
Comme \(\tfrac{1}{2} = \cos\tfrac{\pi}{3}\) et \(\tfrac{\pi}{3} \in [0, \pi]\), on a \(\arccos\tfrac{1}{2} = \tfrac{\pi}{3}\). Comme \(1 = \tan\tfrac{\pi}{4}\) et \(\tfrac{\pi}{4} \in \left]-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right[\), on a \(\arctan 1 = \tfrac{\pi}{4}\).
La relation \(\arccos(\cos\theta) = \theta\) n'est vraie que lorsque \(\theta \in [0, \pi]\). En dehors de cet intervalle, il faut d'abord ramener \(\theta\) dans \([0, \pi]\) par une symétrie. Par exemple \(\arccos\!\left(\cos\!\left(-\tfrac{\pi}{3}\right)\right) = \arccos\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{\pi}{3}\), et non \(-\tfrac{\pi}{3}\). La même prudence vaut pour \(\arcsin\) et \(\arctan\) avec leurs propres intervalles.
Méthode — Résoudre \(\cos x \equal c\) pour un \(c\) non remarquable
Lorsque \(c \in [-1, 1]\) n'est pas une valeur de la table, écrire \(c = \cos(\arccos c)\) et appliquer l'équivalence du cosinus : $$\cos x = c \iff x \equiv \arccos c \ [2\pi] \ \text{ ou } \ x \equiv -\arccos c \ [2\pi].$$ Pour \(\sin x = s\) avec \(s \in [-1, 1]\), les deux familles suivent le schéma du sinus (et non le schéma en \(\pm\) du cosinus) : $$\sin x = s \iff x \equiv \arcsin s \ [2\pi] \ \text{ ou } \ x \equiv \pi - \arcsin s \ [2\pi].$$ Pour \(\tan x = t\) avec \(t \in \mathbb{R}\), il y a une unique famille : $$\tan x = t \iff x \equiv \arctan t \ [\pi].$$ Compétences à pratiquer
- Utiliser les notations réciproques
IV
Combinaisons linéaires \(a\cos x + b\sin x\)
IV.1
Combinaisons linéaires \(a\cos x + b\sin x\)
Additionner deux oscillations de même fréquence — situation récurrente en physique — produit une expression \(a\cos\theta + b\sin\theta\). Une telle expression est toujours un seul cosinus décalé, ce qui rend immédiates son amplitude et ses zéros.
Proposition — Réduction de \(a\cos x + b\sin x\)
Soient \(a, b\) des réels non tous deux nuls, et posons \(r = \sqrt{a^2 + b^2} > 0\). Il existe un réel \(\varphi\) tel que, pour tout réel \(\theta\), $$a\cos\theta + b\sin\theta = r\cos(\theta - \varphi),$$ où \(\varphi\) est n'importe quel réel vérifiant \(\cos\varphi = \dfrac{a}{r}\) et \(\sin\varphi = \dfrac{b}{r}\).
On factorise par \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) : $$a\cos\theta + b\sin\theta = r\left(\frac{a}{r}\cos\theta + \frac{b}{r}\sin\theta\right).$$ Les nombres \(\dfrac{a}{r}\) et \(\dfrac{b}{r}\) vérifient \(\left(\dfrac{a}{r}\right)^2 + \left(\dfrac{b}{r}\right)^2 = \dfrac{a^2 + b^2}{r^2} = 1\), donc ce sont les coordonnées d'un point du cercle trigonométrique : il existe un réel \(\varphi\) avec \(\cos\varphi = \dfrac{a}{r}\) et \(\sin\varphi = \dfrac{b}{r}\). Alors $$\begin{aligned} a\cos\theta + b\sin\theta &= r\left(\cos\varphi\cos\theta + \sin\varphi\sin\theta\right) && \text{(définition de } \varphi \text{)} \\
&= r\cos(\theta - \varphi). && \text{(addition pour } \cos \text{)} \end{aligned}$$
Exemple
Pour \(\cos\theta + \sin\theta\) on a \(a = b = 1\), donc \(r = \sqrt{2}\) et on cherche \(\varphi\) avec \(\cos\varphi = \sin\varphi = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\), soit \(\varphi = \tfrac{\pi}{4}\). Donc $$\cos\theta + \sin\theta = \sqrt{2}\cos\!\left(\theta - \tfrac{\pi}{4}\right).$$ Son amplitude est \(\sqrt{2}\). Méthode — Réduire et résoudre \(a\cos x + b\sin x \equal c\)
Calculer \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\), puis trouver un angle \(\varphi\) avec \(\cos\varphi = \tfrac{a}{r}\) et \(\sin\varphi = \tfrac{b}{r}\) (le lire sur le cercle ou la table). Réécrire l'équation sous la forme \(r\cos(x - \varphi) = c\), soit \(\cos(x - \varphi) = \tfrac{c}{r}\), puis résoudre comme une équation de cosinus de base. Il n'y a pas de solution lorsque \(\left|\tfrac{c}{r}\right| > 1\). Exemple
Résoudre \(\sqrt{3}\sin x - \cos x = 1\) sur \(\mathbb{R}\).
Ici \(a = -1\) (coefficient de \(\cos\)) et \(b = \sqrt{3}\) (coefficient de \(\sin\)), donc \(r = \sqrt{1 + 3} = 2\). L'angle \(\varphi\) de la Méthode vérifie \(\cos\varphi = \tfrac{a}{r} = -\tfrac{1}{2}\) et \(\sin\varphi = \tfrac{b}{r} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\) : la table et la relation du supplémentaire donnent \(\varphi = \tfrac{2\pi}{3}\). La division par \(2\) fait apparaître exactement ces deux valeurs : $$\begin{aligned} \sqrt{3}\sin x - \cos x = 1 &\iff \tfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \tfrac{1}{2}\cos x = \tfrac{1}{2} && \text{(on divise par } 2 \text{)} \\
&\iff \cos\tfrac{2\pi}{3}\cos x + \sin\tfrac{2\pi}{3}\sin x = \tfrac{1}{2} && \text{(} \cos\tfrac{2\pi}{3} = -\tfrac{1}{2},\ \sin\tfrac{2\pi}{3} = \tfrac{\sqrt{3}}{2} \text{)} \\
&\iff \cos\!\left(x - \tfrac{2\pi}{3}\right) = \cos\tfrac{\pi}{3} && \text{(addition pour } \cos \text{)} \\
&\iff x - \tfrac{2\pi}{3} \equiv \tfrac{\pi}{3} \ [2\pi] \ \text{ ou } \ x - \tfrac{2\pi}{3} \equiv -\tfrac{\pi}{3} \ [2\pi] && \text{(équation de cosinus de base)} \\
&\iff x \equiv \pi \ [2\pi] \ \text{ ou } \ x \equiv \tfrac{\pi}{3} \ [2\pi]. \end{aligned}$$
Pour aller plus loin
Le même cercle revient tout au long de l'année. En nombres complexes, \(\cos\theta + i\sin\theta\) devient la forme exponentielle \(e^{i\theta}\), et les formules d'addition deviennent une seule multiplication. En équations différentielles, \(a\cos + b\sin\) est l'oscillation libre générale. En intégration, les formules de réduction transforment les produits de sinus et cosinus en sommes que l'on sait intégrer. Le petit jeu de formules fixé ici suffit à tout cela.
Compétences à pratiquer
- Réduire et résoudre \(a\cos x + b\sin x\)
V
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Au-delà du jeu de formules fixé
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