Éducation Nationale Française · BCPST
Fonctions de deux variables
Jusqu'ici une fonction mangeait un nombre et en renvoyait un. Beaucoup de grandeurs des sciences expérimentales dépendent de deux entrées à la fois : une température qui varie avec la position \(x\) et le temps \(t\), une vitesse de réaction qui dépend de deux concentrations, l'altitude d'un point d'une carte donnée par ses deux coordonnées. Ce chapitre étudie les fonctions \(f\) de deux variables réelles, \((x, y) \mapsto f(x, y)\). On se représente une telle fonction par sa surface \(z = f(x, y)\) et par ses lignes de niveau, puis on apprend à la dériver : les deux dérivées partielles, réunies dans le gradient, la règle pour dériver \(f\) le long d'un point mobile, les dérivées partielles d'ordre \(2\), et la recherche des points où \(f\) pourrait atteindre un maximum ou un minimum. Le traitement reste résolument pratique : l'objectif est de calculer et de lire la géométrie, non de bâtir une théorie des limites dans le plan.
I
Fonctions de deux variables
I.1
Parties du plan et fonctions
Une fonction de deux variables est définie sur une partie \(U\) du plan \(\mathbb{R}^2\). Les parties que l'on rencontre sont simples : un rectangle, un disque, un demi-plan, ou le plan tout entier. On distingue les parties ouvertes — celles qui contiennent un petit disque autour de chacun de leurs points — car le calcul différentiel de ce chapitre se déroule à l'intérieur d'une telle partie, loin de son bord.
Définition — Parties du plan
Un point du plan est un couple \((x, y) \in \mathbb{R}^2\). Des parties utiles de \(\mathbb{R}^2\) sont le rectangle \([a, b] \times [c, d]\), le disque ouvert de centre \((x_0, y_0)\) et de rayon \(r > 0\), à savoir \(\{(x, y) \mid (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 < r^2\}\), et un demi-plan comme \(\{(x, y) \mid x > 0\}\). Une partie \(U\) est dite ouverte lorsque, autour de chaque point de \(U\), un disque ouvert centré en ce point est encore entièrement contenu dans \(U\). Exemple
Le plan entier \(\mathbb{R}^2\) et tout disque ouvert sont ouverts. Le demi-plan ouvert \(\{x > 0\}\) est ouvert, mais le demi-plan fermé \(\{x \ge 0\}\) ne l'est pas : un point du bord \(x = 0\) a, à sa gauche, des points avec \(x < 0\) hors de l'ensemble. On travaillera toujours sur une partie ouverte, afin de pouvoir bouger un peu dans toutes les directions sans en sortir. Définition — Fonction de deux variables
Soit \(U\) une partie de \(\mathbb{R}^2\). Une fonction de deux variables sur \(U\) est une application \(f\) qui envoie chaque couple \((x, y) \in U\) sur un réel \(f(x, y)\) ; on écrit \(f : U \to \mathbb{R}\). Fixer une variable donne une fonction partielle d'une variable, définie sur la tranche de \(U\) le long de laquelle l'autre variable peut se déplacer : avec \(y_0\) fixé, \(x \mapsto f(x, y_0)\) ; avec \(x_0\) fixé, \(y \mapsto f(x_0, y)\). Exemple
Pour \(f(x, y) = x^2 + y^2\) définie sur \(\mathbb{R}^2\), fixer \(y = 1\) donne la fonction partielle \(x \mapsto x^2 + 1\), une parabole ; fixer \(x = 0\) donne \(y \mapsto y^2\). Pour \(g(x, y) = \dfrac{x}{y}\), le domaine naturel est \(\{(x, y) \mid y \ne 0\}\), le plan privé de l'axe horizontal. Méthode — Lire le domaine naturel
Pour trouver où \(f(x, y)\) est définie, lister les contraintes venant de chaque opération : un dénominateur doit être non nul, l'argument d'une racine carrée doit être \(\ge 0\), l'argument d'un logarithme doit être \(> 0\). Le domaine est l'ensemble des couples \((x, y)\) vérifiant toutes les contraintes à la fois ; le décrire comme une région du plan. Compétences à pratiquer
- Déterminer un domaine
I.2
Surface et lignes de niveau
Deux images aident à voir une fonction de deux variables. La première est sa surface : au-dessus de chaque point \((x, y)\) du domaine, on porte la hauteur \(z = f(x, y)\) ; les points \((x, y, z)\) décrivent une surface dans l'espace. La seconde est sa carte de lignes de niveau : dans le plan, on trace les courbes le long desquelles \(f\) garde une valeur constante, exactement comme une carte topographique trace les lignes d'égale altitude.
Définition — Surface et lignes de niveau
Soit \(f : U \to \mathbb{R}\). La surface (ou graphe) de \(f\) est l'ensemble des points \((x, y, z)\) de l'espace avec \((x, y) \in U\) et \(z = f(x, y)\). Pour un réel \(c\), la ligne de niveau (ou courbe de niveau) de valeur \(c\) est l'ensemble des points du plan où \(f\) prend la valeur \(c\) : $$\{(x, y) \in U \mid f(x, y) = c\}.$$ Exemple
Prenons \(f(x, y) = x^2 + y^2\). Sa surface est un bol (un paraboloïde) ouvert vers le haut, et ses lignes de niveau \(x^2 + y^2 = c\) sont des cercles de rayon \(\sqrt{c}\) pour \(c > 0\), un point unique pour \(c = 0\), et vides pour \(c < 0\) — les cercles se resserrent donc à mesure que \(c\) grandit, le rayon ne croissant que comme \(\sqrt{c}\) : 
Exemple
Pour le plan \(f(x, y) = 2x + y\), la ligne de niveau de valeur \(c\) est la droite \(2x + y = c\), c'est-à-dire \(y = c - 2x\) ; toutes les lignes de niveau sont des droites parallèles de pente \(-2\). Des valeurs de \(c\) régulièrement espacées donnent des droites régulièrement espacées, signature d'une surface plate (un plan) inclinée dans l'espace. Méthode — Tracer les lignes de niveau
Fixer plusieurs valeurs \(c\). Pour chacune, résoudre \(f(x, y) = c\) en exprimant une variable en fonction de l'autre (ou reconnaître une courbe usuelle : droite, cercle, parabole, hyperbole). Tracer ces courbes dans le même plan et étiqueter chacune par sa valeur \(c\) ; l'espacement des courbes montre où \(f\) varie vite (courbes resserrées) ou lentement (courbes écartées). Compétences à pratiquer
- Tracer des lignes de niveau
II
Dérivées partielles et gradient
II.1
Dérivées partielles d'ordre un
Une fonction d'une variable a une dérivée ; une fonction de deux variables en a deux. Pour dériver par rapport à \(x\), on gèle \(y\) comme une constante et on dérive la fonction d'une variable obtenue avec les règles usuelles de dérivation ; symétriquement pour \(y\). Ces deux nombres sont les dérivées partielles, notées avec des « d » ronds : \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\).
Définition — Dérivées partielles
Soit \(f : U \to \mathbb{R}\) définie sur une partie ouverte \(U\), et soit \((x_0, y_0) \in U\). La dérivée partielle de \(f\) par rapport à \(x\) en \((x_0, y_0)\) est la dérivée de la fonction partielle \(x \mapsto f(x, y_0)\) en \(x_0\), lorsqu'elle existe ; on la note \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)\). De même la dérivée partielle par rapport à \(y\), notée \(\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)\), est la dérivée de \(y \mapsto f(x_0, y)\) en \(y_0\). Méthode — Calculer une dérivée partielle
Pour calculer \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\), traiter \(y\) comme une constante et dériver l'expression par rapport à \(x\) avec les règles usuelles d'une variable (somme, produit, quotient, dérivée composée). Pour calculer \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\), traiter \(x\) comme une constante et dériver par rapport à \(y\). Les facteurs constants dans la variable gelée se contentent de suivre. Exemple
Soit \(f(x, y) = x^3 y^2 + 5x - y\) sur \(\mathbb{R}^2\). En gelant \(y\) et en dérivant en \(x\), puis en gelant \(x\) et en dérivant en \(y\) : $$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) &= 3x^2 y^2 + 5 && \text{(} y^2 \text{ et } y \text{ sont constants)} \\
\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) &= 2x^3 y - 1. && \text{(} x^3 \text{ et } 5x \text{ sont constants)} \end{aligned}$$ Exemple
Soit \(f(x, y) = e^{xy}\) sur \(\mathbb{R}^2\). Dériver \(e^{xy}\) en \(x\) multiplie par la dérivée en \(x\) de l'exposant \(xy\), soit \(y\) ; en \(y\) cela multiplie par \(x\) : $$\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = y\, e^{xy}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = x\, e^{xy}.$$ Compétences à pratiquer
- Calculer des dérivées partielles
II.2
Fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) et gradient
Lorsque les deux dérivées partielles existent partout sur \(U\) et sont elles-mêmes continues, la fonction est dite de classe \(\mathcal{C}^1\). On ne demandera jamais de montrer qu'une fonction est de classe \(\mathcal{C}^1\) ; en pratique toute fonction construite à partir des fonctions usuelles par sommes, produits, quotients (là où le dénominateur ne s'annule pas) et compositions est \(\mathcal{C}^1\) sur la partie ouverte où toutes ces opérations sont valides (un point intérieur, jamais un point du bord comme là où l'argument d'une racine carrée s'annule), et on l'admet. Les deux dérivées partielles, réunies en un vecteur, forment le gradient.
Définition — Classe \(\mathcal{C}^1\)
Une fonction \(f : U \to \mathbb{R}\) sur une partie ouverte \(U\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(U\) lorsque ses deux dérivées partielles \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) existent en tout point de \(U\) et sont continues sur \(U\). Définition — Gradient
Soit \(f : U \to \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et \((x_0, y_0) \in U\). Le gradient de \(f\) en \((x_0, y_0)\) est le vecteur de ses deux dérivées partielles : $$\nabla f(x_0, y_0) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0),\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \right).$$ Le symbole \(\nabla\) se lit « nabla ». Exemple
Pour \(f(x, y) = x^2 + y^2\) les dérivées partielles sont \(\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2x\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial y} = 2y\), d'où \(\nabla f(x, y) = (2x, 2y)\). Au point \((1, 0)\) le gradient vaut \((2, 0)\), vecteur pointant dans la direction des \(x\) croissants, qui est bien la direction de plus forte montée sur le bol. Exemple
Pour \(f(x, y) = x^2 y - \ln(1 + y^2)\) sur \(\mathbb{R}^2\) : $$\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 2xy, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = x^2 - \frac{2y}{1 + y^2},$$ donc \(\nabla f(x, y) = \left(2xy,\ x^2 - \dfrac{2y}{1 + y^2}\right)\). En \((1, 0)\) cela donne \(\nabla f(1, 0) = (0, 1)\). Méthode — Écrire le gradient
Calculer séparément les deux dérivées partielles, puis les empiler en un vecteur, toujours dans l'ordre \(\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\ \dfrac{\partial f}{\partial y}\right)\). Pour obtenir le gradient en un point précis, substituer les coordonnées du point dans chaque composante à la fin.
Géométriquement, en un point où il est non nul, le gradient \(\nabla f\) pointe dans la direction selon laquelle \(f\) croît le plus vite, et il est perpendiculaire à la ligne de niveau passant par ce point. Sur la carte de lignes de niveau de \(f(x, y) = x^2 + y^2\), le gradient \(\nabla f = (2x, 2y)\) en un point d'un cercle est radial, pointant vers l'extérieur (vers le haut) et à angle droit du cercle : 
C'est pourquoi, sur une carte topographique, le chemin de plus forte pente coupe les courbes de niveau à angle droit. On utilise cette image pour l'intuition ; elle n'est pas démontrée ici.
Compétences à pratiquer
- Évaluer un gradient en un point
II.3
Plan tangent
De même qu'une courbe a une tangente, la surface \(z = f(x, y)\) d'une fonction \(\mathcal{C}^1\) possède, en chaque point, un plan tangent : le plan plat qui épouse au mieux la surface en ce point. Son équation se lit directement sur le gradient, tout comme la tangente \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\) se lisait sur la dérivée d'une variable.
Définition — Plan tangent
Soit \(f : U \to \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et \((x_0, y_0) \in U\). Le plan tangent à la surface \(z = f(x, y)\) au point \((x_0, y_0, f(x_0, y_0))\) a pour équation $$z = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)\,(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)\,(y - y_0).$$ Exemple
Pour \(f(x, y) = x^2 + y^2\) en \((1, 1)\) : \(f(1, 1) = 2\), \(\nabla f(1, 1) = (2, 2)\), donc le plan tangent est $$z = 2 + 2(x - 1) + 2(y - 1) = 2x + 2y - 2.$$ Près de \((1, 1)\) le bol est bien approché par ce plan incliné ; la figure ci-dessous montre la coupe verticale \(y = 1\), dans laquelle la surface devient la parabole \(z = x^2 + 1\) et le plan devient sa tangente \(z = 2x\) — la droite touche la parabole en l'unique point \(x = 1\) et reste en dessous partout ailleurs, puisque \(x^2 + 1 - 2x = (x-1)^2 \ge 0\) : 
Méthode — Trouver le plan tangent
Au point \((x_0, y_0)\) : calculer la valeur \(f(x_0, y_0)\) et les deux dérivées partielles en ce point, puis les reporter dans l'équation du plan tangent. Le résultat est une équation de la forme \(z = a + b(x - x_0) + c(y - y_0)\), que l'on peut développer en \(z = \alpha x + \beta y + \gamma\). Compétences à pratiquer
- Trouver un plan tangent
III
Règle de la chaîne et dérivées d'ordre deux
III.1
Dérivée le long d'un chemin
Supposons qu'un point se déplace dans le plan, ses coordonnées \(x(t)\) et \(y(t)\) dépendant d'un temps \(t\), et que l'on suive la valeur \(f(x(t), y(t))\) au fil du parcours — pensons à l'altitude d'un randonneur qui suit un sentier balisé. Le taux de variation de cette valeur combine les deux dérivées partielles avec la vitesse du point mobile. C'est la règle de la chaîne à deux variables.
Théorème — Règle de la chaîne le long d'un chemin
Soit \(f : U \to \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\), et soient \(x, y\) deux fonctions dérivables d'une variable réelle \(t\) telles que \((x(t), y(t)) \in U\). Alors la fonction \(g(t) = f(x(t), y(t))\) est dérivable et $$g'(t) = x'(t)\, \frac{\partial f}{\partial x}(x(t), y(t)) + y'(t)\, \frac{\partial f}{\partial y}(x(t), y(t)).$$ Ce résultat est admis. Exemple
Soit \(f(x, y) = x^2 + y^2\) et faisons bouger le point sur le cercle \(x(t) = \cos t\), \(y(t) = \sin t\). Alors \(x'(t) = -\sin t\), \(y'(t) = \cos t\), et la règle de la chaîne donne $$\begin{aligned} g'(t) &= x'(t)\,(2x) + y'(t)\,(2y) \\
&= (-\sin t)(2\cos t) + (\cos t)(2\sin t) && \text{(on substitue)} \\
&= 0. && \text{(les deux termes s'annulent)} \end{aligned}$$ En effet \(g(t) = \cos^2 t + \sin^2 t = 1\) est constante : se déplacer le long d'une ligne de niveau (ici le cercle de rayon \(1\)) laisse \(f\) inchangée. Exemple
Soit \(f(x, y) = x\, y^2\) et \(x(t) = t\), \(y(t) = e^t\). Alors \(x'(t) = 1\), \(y'(t) = e^t\), \(\dfrac{\partial f}{\partial x} = y^2\), \(\dfrac{\partial f}{\partial y} = 2xy\), donc $$\begin{aligned} g'(t) &= 1 \cdot y^2 + e^t \cdot 2xy \\
&= e^{2t} + e^t \cdot 2 t\, e^t && \text{(on substitue } x=t,\ y=e^t \text{)} \\
&= e^{2t}(1 + 2t). && \text{(on factorise } e^{2t} \text{)} \end{aligned}$$ Méthode — Dériver le long d'un chemin
Identifier \(x(t)\), \(y(t)\) et calculer leurs dérivées \(x'(t)\), \(y'(t)\). Calculer les deux dérivées partielles de \(f\), puis y substituer \(x = x(t)\), \(y = y(t)\). Assembler \(g'(t) = x'(t)\,\dfrac{\partial f}{\partial x} + y'(t)\,\dfrac{\partial f}{\partial y}\) et simplifier. Compétences à pratiquer
- Dériver le long d'un chemin
III.2
Dérivées partielles d'ordre deux
Chaque dérivée partielle est elle-même une fonction de deux variables, donc elle peut à son tour être dérivée, par rapport à \(x\) ou à \(y\). Cela produit quatre dérivées partielles d'ordre deux. Un fait remarquable, admis ici, est que les deux dérivées « croisées » sont égales dès que la fonction est assez régulière.
Définition — Dérivées partielles d'ordre deux
Pour une fonction \(f : U \to \mathbb{R}\) dont les dérivées partielles sont elles-mêmes dérivables, les quatre dérivées partielles d'ordre deux sont $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right), \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right), \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right), \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right).$$ Une fonction dont les quatre dérivées partielles d'ordre deux existent et sont continues est dite de classe \(\mathcal{C}^2\). Théorème — Théorème de Schwarz
Si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur la partie ouverte \(U\), alors ses deux dérivées partielles croisées d'ordre deux sont égales en tout point : $$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}.$$ Ce théorème est admis. Exemple
Soit \(f(x, y) = x^3 y^2\). Alors \(\dfrac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 y^2\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial y} = 2x^3 y\). En dérivant une fois de plus : $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x y^2, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2x^3, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 6x^2 y, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 6x^2 y.$$ Les deux dérivées croisées coïncident, comme l'annonce Schwarz. Exemple
Soit \(f(x, y) = \sin(x) e^{y}\). Alors \(\dfrac{\partial f}{\partial x} = \cos(x) e^{y}\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial y} = \sin(x) e^{y}\), donc $$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \cos(x) e^{y} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}.$$ Méthode — Calculer les dérivées d'ordre deux
Calculer d'abord \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\). Puis dériver chacune une fois de plus : dériver \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) en \(x\) et en \(y\), et \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) en \(x\) et en \(y\). Utiliser l'égalité des dérivées croisées comme vérification rapide des deux calculs croisés. Compétences à pratiquer
- Calculer des dérivées d'ordre deux
IV
Points critiques et extrema
IV.1
Extrema locaux et points critiques
On cherche les points où une fonction de deux variables atteint un maximum ou un minimum local. Comme en une variable, où une fonction régulière a une tangente horizontale en un extremum intérieur, ici une fonction \(\mathcal{C}^1\) a un gradient nul en un extremum intérieur. Cela donne une condition nécessaire qui sélectionne une courte liste de points candidats, les points critiques.
Définition — Extremum local
Soit \(f : U \to \mathbb{R}\) et \((x_0, y_0) \in U\). La fonction \(f\) a un maximum local en \((x_0, y_0)\) si \(f(x, y) \le f(x_0, y_0)\) pour tout \((x, y)\) dans un certain disque ouvert autour de \((x_0, y_0)\) contenu dans \(U\) ; elle a un minimum local en ce point si \(f(x, y) \ge f(x_0, y_0)\) sur un tel disque. Un extremum local est un maximum local ou un minimum local. Définition — Point critique
Soit \(f : U \to \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur une partie ouverte \(U\). Un point \((x_0, y_0) \in U\) est un point critique de \(f\) lorsque son gradient s'y annule : $$\nabla f(x_0, y_0) = (0, 0), \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = 0 \ \text{ et } \ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = 0.$$ Théorème — Condition nécessaire d'ordre un
Soit \(f : U \to \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur une partie ouverte \(U\). Si \(f\) a un extremum local en un point \((x_0, y_0)\) de \(U\), alors \((x_0, y_0)\) est un point critique de \(f\), c'est-à-dire \(\nabla f(x_0, y_0) = (0, 0)\). Ce résultat est admis.
La condition est nécessaire, non suffisante : un point critique n'est pas forcément un extremum. Pour \(f(x, y) = x^2 - y^2\) l'unique point critique est \((0, 0)\), pourtant \(f\) n'y a ni maximum ni minimum — le long de l'axe des \(x\), \(f = x^2 \ge 0\) monte, le long de l'axe des \(y\), \(f = -y^2 \le 0\) descend. Un tel point est un col. Décider de la nature d'un point critique dépasse le cadre de ce cours ; on s'arrête à la localisation des points critiques.
Exemple
Trouver les points critiques de \(f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x + 2y\) sur \(\mathbb{R}^2\). Le gradient est \(\nabla f = (2x - 4,\ 2y + 2)\), donc $$\begin{aligned} \nabla f(x, y) = (0, 0) &\Leftrightarrow 2x - 4 = 0 \ \text{ et } \ 2y + 2 = 0 \\
&\Leftrightarrow x = 2 \ \text{ et } \ y = -1. && \text{(résoudre chaque équation)} \end{aligned}$$ L'unique point critique est \((2, -1)\). Ici \(f(x, y) = (x - 2)^2 + (y + 1)^2 - 5 \ge -5\), avec égalité en \((2, -1)\), c'est donc un minimum global. Exemple
Trouver les points critiques de \(f(x, y) = x^3 - 3x + y^2\) sur \(\mathbb{R}^2\). Le gradient est \(\nabla f = (3x^2 - 3,\ 2y)\), et $$\begin{aligned} \nabla f(x, y) = (0, 0) &\Leftrightarrow 3x^2 - 3 = 0 \ \text{ et } \ 2y = 0 \\
&\Leftrightarrow x^2 = 1 \ \text{ et } \ y = 0 && \text{(on simplifie)} \\
&\Leftrightarrow (x, y) = (1, 0) \ \text{ ou } \ (x, y) = (-1, 0). && \text{(} x = \pm 1 \text{)} \end{aligned}$$ Il y a deux points critiques, \((1, 0)\) et \((-1, 0)\). Méthode — Trouver les points critiques
Calculer le gradient \(\nabla f = \left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\ \dfrac{\partial f}{\partial y}\right)\), puis résoudre le système \(\dfrac{\partial f}{\partial x} = 0\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial y} = 0\) simultanément. Chaque couple solution \((x, y)\) situé dans le domaine ouvert est un point critique. Ce sont les seuls candidats à un extremum local ; ne pas affirmer que chacun est un extremum sans argument supplémentaire.
Pour aller plus loin
Les objets de ce chapitre sont partout dans les sciences. Une carte topographique est un diagramme de lignes de niveau de la fonction altitude ; le gradient pointe vers le haut et coupe les courbes de niveau à angle droit. En physique, une énergie potentielle \(V(x, y)\) a ses équilibres exactement en ses points critiques, et la force se lit sur le gradient sous la forme \(-\nabla V\) (elle pointe vers le bas, vers les énergies plus basses). La règle de la chaîne le long d'un chemin est l'outil qui transforme « comment la température varie-t-elle quand je me déplace » en une seule dérivée. Le calcul à deux variables est le langage naturel de toute grandeur qui dépend de plus d'une chose à la fois.
Compétences à pratiquer
- Trouver des points critiques
V
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Identités du gradient et lecture sous contrainte
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