Éducation Nationale Française · BCPST

Polynômes

⌚ ~75 min ▢ 9 blocs ✓ 34 exercices ➣ Prérequis : Limites et continuité, Dérivation, Polynômes réels

Une fonction polynomiale est l'une des fonctions les plus simples que l'on puisse construire à partir de la variable : en partant de $x$, on ne s'autorise qu'à multiplier et additionner, avec des nombres réels fixés comme coefficients. Ces fonctions sont partout dans les sciences expérimentales — une position $\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + x_0$, une courbe d'étalonnage, une vitesse de réaction ajustée par une cubique. Ce chapitre étudie les polynômes en tant que fonctions $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ : leur degré, qui contrôle leur taille ; les opérations algébriques pour lesquelles ils sont stables ; le polynôme dérivé ; et surtout leurs racines — les points où la courbe rencontre l'axe. Les faits centraux sont qu'une racine $\alpha$ laisse toujours derrière elle un facteur $(x - \alpha)$, qu'un polynôme a au plus autant de racines que son degré, et qu'une courbe de degré impair doit traverser l'axe au moins une fois. Les ensembles de nombres $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{R}$, les limites en $\pm\infty$ et la dérivée sont supposés connus des chapitres précédents.

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I Fonctions polynomiales et degré

I.1 Fonctions polynomiales et unicité des coefficients

Au lycée vous avez manipulé les fonctions affines $ax + b$ et les trinômes $ax^2 + bx + c$. On nomme maintenant toute la famille à laquelle elles appartiennent et on fixe le point de vue précis de l'année : un polynôme est une fonction $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, écrite comme une somme finie de monômes. Le premier vrai résultat sera que cette écriture est unique — un polynôme détermine ses coefficients.

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Définition — Fonction polynomiale

Une fonction polynomiale (ou polynôme) est une fonction $P : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de la forme $$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k,$$ où $n \in \mathbb{N}$ et les $a_0, a_1, \dots, a_n$ sont des nombres réels fixés appelés les coefficients. Chaque terme $a_k x^k$ est un monôme. Un polynôme dont tous les coefficients valent $0$ est le polynôme nul, noté $0$ ; un polynôme $P(x) = a_0$ sans autre terme est un polynôme constant.

Exemple

Les fonctions ci-dessous sont des polynômes :

$P(x) = 3x + 5$ (affine), de coefficients $a_1 = 3$, $a_0 = 5$ ;
$Q(x) = -2x^2 + x - 7$ (un trinôme) ;
$R(x) = x^5$ (un seul monôme) ;
$S(x) = 4$ (un polynôme constant).

Exemple

Les fonctions ci-dessous ne sont pas des polynômes, car elles ne peuvent pas s'écrire comme une somme finie de monômes $a_k x^k$ avec $k \in \mathbb{N}$ :

$x \mapsto \dfrac{1}{x}$ (l'exposant $-1$ n'est pas dans $\mathbb{N}$, et la fonction n'est même pas définie en $0$) ;
$x \mapsto \sqrt{x}$ (même pas définie sur $\mathbb{R}$ tout entier, et l'exposant $\frac{1}{2}$ n'est pas un entier) ;
$x \mapsto \cos x$ et $x \mapsto e^x$.

Proposition — Unicité de l'écriture du polynôme nul

Soit $P(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k$. Si $P$ est la fonction nulle (c'est-à-dire $P(x) = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$), alors tous ses coefficients sont nuls : $a_0 = a_1 = \dots = a_n = 0$.

Preuve

On montre $a_0 = 0$, puis $a_1 = 0$, etc., en n'utilisant que l'évaluation et les limites.
D'abord, évaluer en $x = 0$ annule tous les monômes sauf la constante : $$a_0 = P(0) = 0.$$ Maintenant que $a_0 = 0$, pour tout $x \ne 0$ on peut diviser $P(x) = 0$ par $x$ : $$\begin{aligned} 0 = \frac{P(x)}{x} &= \frac{a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n}{x} && \text{(car } a_0 = 0 \text{)} \\ &= a_1 + a_2 x + \dots + a_n x^{n-1}. && \text{(on simplifie par } x \text{)} \end{aligned}$$ En faisant $x \to 0$ dans cette dernière expression, chaque terme contenant une puissance de $x$ tend vers $0$, donc la limite vaut $a_1$ ; mais l'expression est constamment nulle, donc $a_1 = 0$. On répète le raisonnement : sachant $a_0 = a_1 = 0$, on divise par $x^2$ et on fait $x \to 0$ pour obtenir $a_2 = 0$, et ainsi de suite. Après un nombre fini d'étapes, tous les coefficients sont nuls.

Proposition — Identification des coefficients

Deux polynômes sont égaux en tant que fonctions si et seulement s'ils ont les mêmes coefficients : en les écrivant tous deux jusqu'à un degré commun $n$ (en complétant le plus court par des coefficients nuls), si $\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = \sum_{k=0}^{n} b_k x^k$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, alors $a_k = b_k$ pour tout $k$.

Preuve

Considérons la différence $D(x) = P(x) - Q(x) = \sum_{k=0}^{n} (a_k - b_k) x^k$. Si $P$ et $Q$ coïncident partout, alors $D$ est la fonction nulle, donc par la proposition précédente tous ses coefficients s'annulent : $a_k - b_k = 0$ pour tout $k$, c'est-à-dire $a_k = b_k$. La réciproque est claire : des coefficients égaux donnent des valeurs égales.

Méthode — Identifier des coefficients

Pour trouver les coefficients d'un polynôme écrit sous une autre forme, on développe tout, on regroupe les termes de même degré, puis on identifie les coefficients des puissances égales de $x$ des deux côtés (identification). Par exemple, dans $3x^4 - x^2 + 2x + 1$ on lit directement $a_4 = 3$, $a_3 = 0$, $a_2 = -1$, $a_1 = 2$, $a_0 = 1$.

Compétences à pratiquer

Lire et identifier des coefficients

I.2 Degré et coefficient dominant

Le nombre unique qui contrôle le comportement d'un polynôme — sa croissance à l'infini, le nombre de racines qu'il peut avoir, le comportement de son produit avec un autre — est son degré : la plus grande puissance de $x$ qui apparaît effectivement.

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Définition — Degré et coefficient dominant

Soit $P \ne 0$ un polynôme. Son degré $\deg P$ est le plus grand indice $k$ tel que $a_k \ne 0$ : $$\deg P = \max\{\, k \in \mathbb{N} \mid a_k \ne 0 \,\}.$$ Le coefficient correspondant $a_{\deg P}$ est le coefficient dominant, et $a_0$ est le terme constant. Par convention le polynôme nul a pour degré $\deg 0 = -\infty$. Un polynôme constant non nul a pour degré $0$.

Exemple

$\deg(2x^3 + x - 1) = 3$, coefficient dominant $2$, terme constant $-1$ ;
$\deg(x^n) = n$, coefficient dominant $1$ ;
$\deg(7) = 0$ (constante non nulle) ;
$\deg 0 = -\infty$ par convention.

Exemple

Le degré se lit une fois le polynôme entièrement développé. Pour $(x - 1)(x + 3) = x^2 + 2x - 3$ le degré est $2$, et non le nombre de facteurs. Chaque monôme $x^k$ porte son propre degré, comme le montre le petit tableau ci-dessous.

monôme	$5$	$x$	$x^2$	$x^3$	$x^k$
degré	$0$	$1$	$2$	$3$	$k$

Méthode — Nommer un polynôme par son degré

On développe et on réduit, on cherche la plus grande puissance à coefficient non nul : le degré $1$ est affine, le degré $2$ quadratique, le degré $3$ cubique, le degré $4$ quartique. On lit ensuite le coefficient dominant (facteur de la plus haute puissance) et le terme constant (la valeur en $x = 0$).

Compétences à pratiquer

Calculer le degré

II Opérations et polynôme dérivé

II.1 Somme, multiple scalaire, produit et composition

Additionner deux polynômes, en multiplier un par un réel, multiplier ou composer deux d'entre eux redonne à chaque fois un polynôme : la famille est stable par les opérations algébriques. Le degré se comporte très simplement vis-à-vis de chacune d'elles.

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Proposition — Degré des opérations

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non nuls et $\lambda \in \mathbb{R}$ avec $\lambda \ne 0$. Alors :

$\deg(\lambda P) = \deg P$ ;
$\deg(P + Q) \le \max(\deg P, \deg Q)$, avec égalité dès que $\deg P \ne \deg Q$ ;
$\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$ ;
si de plus $Q$ est non constant, $\deg(P \circ Q) = \deg P \times \deg Q$.

Avec la convention $\deg 0 = -\infty$ et l'arithmétique $-\infty + d = -\infty$, la règle du produit reste valable lorsqu'un facteur est le polynôme nul.

Preuve

Écrivons $\deg P = n$ de coefficient dominant $a_n \ne 0$, et $\deg Q = m$ de coefficient dominant $b_m \ne 0$.
Multiplier par $\lambda \ne 0$ change le coefficient dominant en $\lambda a_n \ne 0$ sans changer la plus haute puissance, donc $\deg(\lambda P) = n$.
Pour la somme, aucune puissance supérieure à $\max(n, m)$ ne peut apparaître, d'où $\deg(P + Q) \le \max(n, m)$. Si $n \ne m$, disons $n > m$, alors le terme $a_n x^n$ n'a pas de partenaire pour l'annuler, donc il subsiste et $\deg(P + Q) = n = \max(n, m)$.
Pour le produit, la plus haute puissance que l'on peut obtenir est $x^{n+m}$, et son coefficient est exactement le produit des deux coefficients dominants : $$PQ = a_n b_m \, x^{n+m} + (\text{termes de degré inférieur}).$$ Comme $a_n \ne 0$ et $b_m \ne 0$, le réel $a_n b_m$ est non nul, donc le terme $x^{n+m}$ ne disparaît pas et $\deg(PQ) = n + m$.
Pour la composition avec $Q$ non constant ($m \ge 1$), le terme dominant de $P \circ Q$ provient de $a_n \, Q(x)^n$, dont la plus haute puissance est $a_n (b_m x^m)^n = a_n b_m^n \, x^{nm}$ de coefficient non nul, d'où $\deg(P \circ Q) = nm$.

Exemple

Prenons $P(x) = 2x^3 - x$ et $Q(x) = 3x^2 + x + 2$. Leur produit se calcule terme à terme : $$\begin{aligned} PQ &= (2x^3 - x)(3x^2 + x + 2) \\ &= 6x^5 + 2x^4 + 4x^3 - 3x^3 - x^2 - 2x && \text{(on développe terme à terme)} \\ &= 6x^5 + 2x^4 + x^3 - x^2 - 2x. && \text{(on regroupe)} \end{aligned}$$ Le degré est $5 = 3 + 2 = \deg P + \deg Q$, comme annoncé, de coefficient dominant $6 = 2 \times 3$.

Exemple

Le degré d'une somme peut chuter lorsque les deux termes dominants s'annulent. Avec $P(x) = x^2 + x$ et $Q(x) = -x^2$, tous deux de degré $2$ : $$P(x) + Q(x) = (x^2 + x) + (-x^2) = x,$$ donc $\deg(P + Q) = 1 < 2 = \max(\deg P, \deg Q)$. L'égalité échoue précisément parce que les deux degrés étaient égaux.

L'inégalité $\deg(P + Q) \le \max(\deg P, \deg Q)$ ne peut être stricte que lorsque $\deg P = \deg Q$ et que les deux coefficients dominants sont opposés, comme dans l'exemple ci-dessus. Lorsque les degrés diffèrent, le plus grand l'emporte toujours et l'égalité a lieu.

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Méthode — Calculer un produit ou une composition et son degré

Pour un produit, on développe et on regroupe ; on vérifie que le degré est la somme des deux degrés et que le coefficient dominant est le produit des coefficients dominants. Pour une composition $P \circ Q$, on remplace la variable de $P$ par $Q(x)$, on développe, et on vérifie que le degré vaut $\deg P \times \deg Q$ (valable lorsque $P \ne 0$ et $Q$ non constant).

Compétences à pratiquer

Calculer des sommes, produits et compositions

II.2 Le polynôme dérivé

La dérivée d'un polynôme, déjà rencontrée au lycée, est encore un polynôme ; elle se lit directement sur les coefficients et son degré baisse d'exactement un. Ce sera l'outil clé pour détecter les racines multiples dans la dernière section.

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Définition — Polynôme dérivé

Le polynôme dérivé de $P(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k$ est $$P'(x) = \sum_{k=1}^{n} k\, a_k x^{k-1} = a_1 + 2 a_2 x + 3 a_3 x^2 + \dots + n\, a_n x^{n-1}.$$ Il coïncide avec la dérivée ordinaire de la fonction $P$ étudiée dans le chapitre sur la dérivation.

Exemple

Pour $P(x) = -2x^5 + x^3 + 3x^2 - 1$, on dérive monôme par monôme : $$P'(x) = -2 \cdot 5\, x^4 + 3 x^2 + 3 \cdot 2\, x - 0 = -10x^4 + 3x^2 + 6x.$$

Exemple

Pour $P(x) = x^4 - 2x^2 + 5$ (un polynôme pair), la constante disparaît : $$P'(x) = 4x^3 - 4x.$$

Proposition — Degré de la dérivée

Si $\deg P \ge 1$, alors $\deg P' = \deg P - 1$. (Si $P$ est constant, $P' = 0$.)

Preuve

Écrivons $\deg P = n \ge 1$ de terme dominant $a_n x^n$, $a_n \ne 0$. En dérivant, ce terme devient $n\, a_n x^{n-1}$, dont le coefficient $n\, a_n$ est non nul car $n \ge 1$ et $a_n \ne 0$. Aucune puissance de $x$ plus haute n'apparaît dans $P'$, donc $x^{n-1}$ est la plus haute puissance et $\deg P' = n - 1$. Si $P$ est constant ($n = 0$), il n'y a aucun terme à dériver et $P' = 0$.

Méthode — Utiliser la dérivée pour étudier les variations

On calcule $P'$ monôme par monôme, on le factorise si possible, et on lit son signe : là où $P' > 0$ le polynôme croît, là où $P' < 0$ il décroît, et les racines de $P'$ sont les points critiques — les candidats à un extremum local, confirmé seulement là où $P'$ change effectivement de signe (en $x = 0$ le polynôme $x^3$ vérifie $P'(0) = 0$ sans extremum). C'est exactement l'étude des variations du chapitre sur la dérivation, appliquée ici à un polynôme.

Compétences à pratiquer

Calculer le polynôme dérivé

III Racines et factorisation

III.1 Racines et le facteur $(x - \alpha)$

Une racine d'un polynôme est une valeur de $x$ où la courbe rencontre l'axe horizontal. Le fait fondamental de tout le chapitre est qu'une racine ne disparaît jamais sans laisser de trace : elle laisse derrière elle un facteur $(x - \alpha)$, ce qui permet de factoriser le polynôme étape par étape.

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Définition — Racine

Un nombre réel $\alpha$ est une racine (ou un zéro) d'un polynôme $P$ lorsque $P(\alpha) = 0$. Graphiquement, $\alpha$ est une racine exactement lorsque la courbe de $P$ croise ou touche l'axe des abscisses au point d'abscisse $\alpha$.

Exemple

$x + 1$ a pour seule racine $-1$ ;
$(x - 1)^2$ a pour seule racine $1$ ;
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ a les deux racines $2$ et $3$ ;
$x^3 - 1$ a pour seule racine réelle $1$ (alors $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$, et $x^2 + x + 1 > 0$ pour tout réel $x$).

Théorème — Division par $(x - \alpha)$

Soit $P$ un polynôme et $\alpha \in \mathbb{R}$. Il existe un unique polynôme $Q$ tel que $$P(x) = (x - \alpha)\, Q(x) + P(\alpha) \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}.$$ De plus, si $\deg P \ge 1$ alors $\deg Q = \deg P - 1$ (et si $P$ est constant alors $Q = 0$).

Preuve

Existence, par récurrence sur $n = \deg P$. Si $P$ est constant, $P(x) = P(\alpha)$ et $Q = 0$ convient. Supposons le résultat pour tout polynôme de degré $< n$, et soit $\deg P = n \ge 1$ de terme dominant $a_n x^n$. Le polynôme $R(x) = P(x) - a_n x^{n-1}(x - \alpha)$ a son terme en $x^n$ annulé, donc $\deg R \le n - 1$. Par hypothèse de récurrence il existe un polynôme $Q_1$ avec $R(x) = (x - \alpha) Q_1(x) + R(\alpha)$ ; et $R(\alpha) = P(\alpha) - a_n \alpha^{n-1}(\alpha - \alpha) = P(\alpha)$. D'où $P(x) = a_n x^{n-1}(x - \alpha) + R(x) = (x - \alpha)\bigl(a_n x^{n-1} + Q_1(x)\bigr) + P(\alpha)$, qui est la forme voulue avec $Q = a_n x^{n-1} + Q_1$.
Unicité. Si $P = (x - \alpha) Q + P(\alpha) = (x - \alpha)\widetilde{Q} + P(\alpha)$, alors $(x - \alpha)(Q - \widetilde{Q}) = 0$ pour tout $x$. Pour $x \ne \alpha$ on peut diviser par $x - \alpha \ne 0$ pour obtenir $Q(x) - \widetilde{Q}(x) = 0$. Le polynôme $Q - \widetilde{Q}$ étant continu, en faisant $x \to \alpha$ on obtient aussi $Q(\alpha) - \widetilde{Q}(\alpha) = 0$ ; ainsi $Q - \widetilde{Q}$ s'annule en tout réel $x$, et par l'identification des coefficients c'est le polynôme nul, d'où $Q = \widetilde{Q}$.
Degré. Si $\deg P = n \ge 1$, la règle du degré du produit donne $\deg\bigl((x - \alpha) Q\bigr) = 1 + \deg Q$. Comme ajouter la constante $P(\alpha)$ ne change pas le terme dominant, $n = 1 + \deg Q$, c'est-à-dire $\deg Q = n - 1$.

Proposition — Factorisation par une racine

Un nombre réel $\alpha$ est racine de $P$ si et seulement si $P$ se factorise sous la forme $P(x) = (x - \alpha)\, Q(x)$ pour un (unique) polynôme $Q$.

Preuve

Par le théorème, $P(x) = (x - \alpha) Q(x) + P(\alpha)$ avec $Q$ unique. Si $\alpha$ est racine, $P(\alpha) = 0$ et le reste s'annule, donc $P(x) = (x - \alpha) Q(x)$. Réciproquement, si $P(x) = (x - \alpha) Q(x)$, alors évaluer en $x = \alpha$ donne $P(\alpha) = (\alpha - \alpha) Q(\alpha) = 0$, donc $\alpha$ est racine.

Méthode — Factoriser par une racine connue

Une fois une racine $\alpha$ connue (par inspection : on essaie $0$, $1$, $-1$, $2$, …), le quotient $Q$ a un degré de moins. On écrit $P(x) = (x - \alpha)(b_{n-1} x^{n-1} + \dots + b_0)$ avec des coefficients inconnus $b_i$, on développe, et on identifie les coefficients de chaque puissance ; on peut aussi mener à la main l'étape de récurrence du théorème.

Compétences à pratiquer

Tester des racines et factoriser par $(x - \alpha)$

III.2 Compter les racines et factoriser

Les racines sont rares : un polynôme ne peut pas avoir plus de racines que son degré. Chaque racine distincte retire un facteur $(x - \alpha)$, et lorsqu'il y a autant de racines que le degré le polynôme est entièrement factorisé. Un argument distinct montre qu'une courbe de degré impair, allant de $-\infty$ à $+\infty$ (ou l'inverse, selon le signe du coefficient dominant), doit traverser l'axe au moins une fois.

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Proposition — Factorisation par plusieurs racines distinctes

Si $\alpha_1, \dots, \alpha_p$ sont des racines distinctes de $P$, alors $P$ se factorise sous la forme $$P(x) = (x - \alpha_1)(x - \alpha_2)\cdots(x - \alpha_p)\, Q(x)$$ pour un certain polynôme $Q$.

Preuve

Par récurrence sur $p$. Pour $p = 1$ c'est la proposition précédente. Supposons $P(x) = (x - \alpha_1)\cdots(x - \alpha_{p-1}) Q_1(x)$ et soit $\alpha_p$ une racine supplémentaire, distincte des autres. En évaluant en $x = \alpha_p$ : $$0 = P(\alpha_p) = (\alpha_p - \alpha_1)\cdots(\alpha_p - \alpha_{p-1})\, Q_1(\alpha_p).$$ Chaque facteur $\alpha_p - \alpha_j$ est non nul car les racines sont distinctes, donc le produit de ces facteurs est un réel non nul ; par conséquent $Q_1(\alpha_p) = 0$, c'est-à-dire $\alpha_p$ est racine de $Q_1$. En le factorisant, $Q_1(x) = (x - \alpha_p) Q(x)$, ce qui donne la forme annoncée.

Proposition — Au plus $\deg P$ racines

Un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines distinctes. Par conséquent, un polynôme de degré $\le n$ ayant strictement plus de $n$ racines est le polynôme nul.

Preuve

Supposons que $P \ne 0$ ait $p$ racines distinctes $\alpha_1, \dots, \alpha_p$. Par la proposition précédente $P(x) = (x - \alpha_1)\cdots(x - \alpha_p) Q(x)$, et en prenant les degrés (avec $Q \ne 0$ puisque $P \ne 0$) : $$n = \deg P = p + \deg Q \ge p,$$ car $\deg Q \ge 0$. Donc $p \le n$. Pour la conséquence : si un polynôme de degré $\le n$ avait plus de $n$ racines, la borne qu'on vient de prouver serait violée, sauf si le polynôme est $0$ — et de fait le polynôme nul admet tout réel pour racine.

Proposition — Factorisation complète

Si un polynôme $P$ de degré $n$ a exactement $n$ racines distinctes $\alpha_1, \dots, \alpha_n$, alors $$P(x) = a_n (x - \alpha_1)(x - \alpha_2)\cdots(x - \alpha_n),$$ où $a_n$ est le coefficient dominant de $P$.

Preuve

Par la proposition de factorisation, $P(x) = (x - \alpha_1)\cdots(x - \alpha_n) Q(x)$. En prenant les degrés, $n = n + \deg Q$, donc $\deg Q = 0$ : $Q$ est une constante non nulle $c$. En comparant les coefficients dominants — le produit des $n$ facteurs $(x - \alpha_j)$ a pour coefficient dominant $1$ — on obtient $c = a_n$. En particulier, un trinôme $ax^2 + bx + c$ à deux racines distinctes $x_1, x_2$ se factorise en $a(x - x_1)(x - x_2)$.

Théorème — Le degré impair force une racine réelle

Tout polynôme de degré impair a au moins une racine réelle.

Preuve

Soit $\deg P = n$ impair de coefficient dominant $a_n \ne 0$. Factorisons la puissance dominante : pour $x \ne 0$, $P(x) = x^n\left(a_n + \frac{a_{n-1}}{x} + \dots + \frac{a_0}{x^n}\right)$. Quand $x \to \pm\infty$ chaque $\frac{a_k}{x^{n-k}} \to 0$, donc la parenthèse tend vers $a_n \ne 0$ ; comme $n$ est impair, $x^n \to +\infty$ en $+\infty$ et $x^n \to -\infty$ en $-\infty$. Par les opérations sur les limites $P$ a donc des limites infinies opposées : l'une des limites $\lim_{x \to -\infty} P$ et $\lim_{x \to +\infty} P$ vaut $+\infty$ et l'autre $-\infty$. Comme $P$ est continue sur $\mathbb{R}$ (c'est un polynôme), le théorème des valeurs intermédiaires du chapitre sur les limites et la continuité garantit que $P$ prend la valeur $0$ quelque part : il existe un réel $\alpha$ tel que $P(\alpha) = 0$.

L'énoncé est faux en degré pair : $x^2 + 1$ a pour degré $2$ et n'a aucune racine réelle, car $x^2 + 1 \ge 1 > 0$ pour tout réel $x$. Les deux limites infinies sont alors égales (toutes deux $+\infty$), donc la courbe peut ne pas traverser l'axe.

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Exemple

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ a pour racine évidente $1$ (la somme des coefficients vaut $0$) ; en factorisant par $(x - 1)$ puis en continuant on obtient la factorisation complète $$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3),$$ trois racines distinctes pour un polynôme de degré $3$.

Exemple

$x^3 - 1$ a pour degré $3$ (impair), donc il doit avoir une racine réelle — ici $1$. Alors $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$, et le second facteur n'a pas de racine réelle (son discriminant vaut $1 - 4 = -3 < 0$), donc $1$ est la seule racine réelle. On laisse $x^2 + x + 1$ non factorisé sur les réels.

Exemple

La cubique $P(x) = 2x^3 - 6x + 1$ a trois racines réelles distinctes. Sa dérivée est $$P'(x) = 6x^2 - 6 = 6(x - 1)(x + 1),$$ positive en dehors de $[-1, 1]$ et négative à l'intérieur, ce qui donne un maximum local en $x = -1$ avec $P(-1) = -2 + 6 + 1 = 5$ et un minimum local en $x = 1$ avec $P(1) = 2 - 6 + 1 = -3$. Comme la valeur maximale $5$ est positive et la valeur minimale $-3$ négative, la courbe continue traverse l'axe une fois sur chacun des trois morceaux monotones (théorème des valeurs intermédiaires) :

Méthode — Factoriser une cubique à partir d'une racine évidente

On teste les petits entiers $0, 1, -1, 2, -2$ dans $P$ ; une somme des coefficients égale à $0$ signale la racine $1$. On factorise par $(x - \alpha)$ pour obtenir un quotient quadratique, puis on factorise ce trinôme (discriminant). Pour compter les racines réelles sans factoriser, on étudie le signe de $P'$ et les signes de $P$ aux extrema locaux : chaque changement de signe le long d'un morceau monotone donne une racine réelle.

Méthode — Construire un polynôme à partir de ses racines

Pour construire un polynôme de racines distinctes prescrites $\alpha_1, \dots, \alpha_p$ et de coefficient dominant choisi $a$, on prend simplement $a(x - \alpha_1)\cdots(x - \alpha_p)$, puis on développe si l'on veut une forme par coefficients. Tout autre polynôme ayant exactement ces racines, ce degré et le même coefficient dominant $a$ lui est égal (sans fixer $a$, tout multiple non nul conviendrait).

Compétences à pratiquer

Compter les racines, factoriser et construire des polynômes

IV Racines multiples

IV.1 Ordre d'une racine

Certaines racines comptent plusieurs fois. Le nombre de fois où l'on peut extraire le facteur $(x - \alpha)$ est la multiplicité de la racine, et elle gouverne la façon dont la courbe rencontre l'axe : à une multiplicité paire la courbe touche l'axe et rebrousse chemin, à une multiplicité impaire elle traverse (donc le simple cube $x^3$, de multiplicité impaire $3$ en $0$, traverse quand même).

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Définition — Multiplicité d'une racine

Soit $P \ne 0$ et $\alpha$ une racine de $P$. La multiplicité (ou ordre) de $\alpha$ est le plus grand entier $m \ge 1$ pour lequel il existe un polynôme $Q$ tel que $$P(x) = (x - \alpha)^m\, Q(x).$$ Pour ce plus grand $m$ on a nécessairement $Q(\alpha) \ne 0$ — sinon $\alpha$ serait une racine de $Q$, donc $(x - \alpha)$ se factoriserait dans $Q$ et $(x - \alpha)^{m+1}$ dans $P$, ce qui contredirait la maximalité de $m$ — et $m \le \deg P$. Une racine de multiplicité $1$ est simple, de multiplicité $2$ double, et de multiplicité $\ge 2$ multiple.

Exemple

Factorisons $x^3 - x^2 - x + 1$ par regroupement : $$x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(x^2 - 1) = (x - 1)^2 (x + 1).$$ Donc $1$ est racine de multiplicité $2$ (double) et $-1$ racine de multiplicité $1$ (simple), et $Q(x) = x + 1$ vérifie $Q(1) = 2 \ne 0$.

Exemple

La multiplicité se lit sur une forme factorisée. Dans $(x - 2)^3 (x + 5)(x - 1)^2$, la racine $2$ est triple (multiplicité $3$), $-5$ est simple, $1$ est double. La figure ci-dessous oppose les trois plus petites multiplicités. Ce qui décide entre traverser et toucher est la parité, non la taille : à la racine simple et à la racine triple — toutes deux de multiplicité impaire — la courbe traverse, tandis qu'à la racine double elle touche et rebrousse chemin. La multiplicité elle-même ne décide que de l'aplatissement du contact : la racine triple est traversée, mais aplatie contre l'axe.

Méthode — Lire et construire des multiplicités

Pour lire une multiplicité sur une forme factorisée, on compte l'exposant du facteur $(x - \alpha)$. Pour construire un polynôme de multiplicités prescrites — disons une racine double en $1$ et une racine simple en $-3$ de coefficient dominant $a$ — on écrit $a(x - 1)^2(x + 3)$ et on développe si besoin.

Compétences à pratiquer

Lire et construire des multiplicités

IV.2 Caractérisation des racines multiples

Détecter une racine multiple ne demande en général pas de factoriser le polynôme : il suffit de regarder la dérivée. Une racine est multiple exactement lorsqu'elle est aussi racine de $P'$.

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Proposition — Critère de racine multiple

Soit $P \ne 0$ et $\alpha \in \mathbb{R}$. Alors $\alpha$ est une racine multiple de $P$ si et seulement si $P(\alpha) = 0$ et $P'(\alpha) = 0$.

Preuve

Écrivons la racine $\alpha$ avec sa multiplicité $m \ge 1$ : $P(x) = (x - \alpha)^m Q(x)$ avec $Q(\alpha) \ne 0$. En dérivant le produit (règle du produit) : $$P'(x) = m(x - \alpha)^{m-1} Q(x) + (x - \alpha)^m Q'(x) = (x - \alpha)^{m-1}\bigl(m Q(x) + (x - \alpha) Q'(x)\bigr).$$ On évalue en $x = \alpha$. Si $m \ge 2$, le facteur $(x - \alpha)^{m-1}$ s'annule en $\alpha$, donc $P'(\alpha) = 0$ (et $P(\alpha) = 0$ car $\alpha$ est racine) : la racine est multiple et les deux conditions sont vérifiées. Si $m = 1$, alors $P'(\alpha) = m Q(\alpha) + 0 = Q(\alpha) \ne 0$ : une racine simple n'est pas racine de $P'$. Ainsi $P'(\alpha) = 0$ a lieu exactement quand $m \ge 2$, c'est-à-dire exactement quand $\alpha$ est multiple.

Exemple

Montrons que $1$ est racine double de $P(x) = x^3 - x^2 - x + 1$ sans factoriser. On calcule $P'(x) = 3x^2 - 2x - 1$, puis $$P(1) = 1 - 1 - 1 + 1 = 0, \qquad P'(1) = 3 - 2 - 1 = 0.$$ Les deux s'annulent, donc $1$ est une racine multiple (multiplicité $\ge 2$). Pour fixer la multiplicité exactement : $P(-1) = -1 - 1 + 1 + 1 = 0$, donc $-1$ est aussi une racine ; comme $\deg P = 3$ et que les deux racines distinctes $1$ et $-1$ comptent déjà pour au moins $2 + 1 = 3$ avec multiplicité, la multiplicité de $1$ est au plus $2$, donc exactement $2$ (double).

Exemple

Trouvons les réels $a$ et $b$ pour que $1$ soit racine double de $P(x) = x^3 + a x^2 + b x - 2$. On impose $P(1) = 0$ et $P'(1) = 0$ avec $P'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ : $$\begin{aligned} P(1) = 1 + a + b - 2 &= 0 && \text{(valeur en } 1 \text{)} \\ P'(1) = 3 + 2a + b &= 0. && \text{(dérivée en } 1 \text{)} \end{aligned}$$ Les deux équations s'écrivent $a + b = 1$ et $2a + b = -3$ ; en soustrayant la première de la seconde on obtient $a = -4$, puis $b = 1 - a = 5$. Ainsi $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = (x - 1)^2(x - 2)$ admet $1$ pour racine double.

Méthode — Tester une racine multiple

Pour vérifier si $\alpha$ est racine multiple de $P$, on vérifie les deux égalités $P(\alpha) = 0$ et $P'(\alpha) = 0$ ; si les deux ont lieu, $\alpha$ est multiple, sinon (si $P(\alpha) = 0$ mais $P'(\alpha) \ne 0$) elle est simple. Pour rendre une valeur donnée $\alpha$ racine multiple d'un polynôme paramétré, on écrit les deux équations $P(\alpha) = 0$ et $P'(\alpha) = 0$ et on résout en les paramètres.

Compétences à pratiquer

Détecter les racines multiples avec la dérivée

V Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Interpolation et polynômes scindés

monôme	\(5\)	\(x\)	\(x^2\)	\(x^3\)	\(x^k\)
degré	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(k\)