Éducation Nationale Française · BCPST
Calcul différentiel et intégral
Ce chapitre rassemble la boîte à outils calculatoire de l'analyse : comment dériver, comment trouver une primitive et comment calculer une intégrale. L'objectif est volontairement opératoire — des recettes fiables pour les sciences expérimentales — aussi la théorie profonde est-elle repoussée : les limites et la continuité, les théorèmes des accroissements finis, la construction de l'intégrale et le calcul différentiel complet des fonctions de plusieurs variables sont étudiés dans des chapitres ultérieurs. Ici on rappelle les règles de dérivation déjà vues, on ajoute les formes composées et les dérivées partielles utilisées en physique, on construit la table des primitives, et on transforme le lien entre primitive et intégrale en un moteur de calcul. Ce lien, le théorème fondamental de l'analyse, est admis à ce stade ; sa démonstration viendra plus tard avec l'intégrale construite. En résumé : ce chapitre répond à la question comment calculer ; les chapitres suivants répondront à pourquoi c'est vrai.
I
Règles de dérivation
I.1
Opérations sur les dérivées
La dérivée mesure un taux de variation instantané ; géométriquement c'est la pente de la tangente. On rappelle la définition et les notations, puis on liste les règles qui permettent de dériver toute combinaison de fonctions connues sans jamais revenir à la limite.
Définition — Dérivée et fonction dérivée
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\), avec \(a\) intérieur à \(I\) (de sorte que \(a+h \in I\) pour tout \(h\) assez petit et que la limite ci-dessous est bilatère). La fonction \(f\) est dérivable en \(a\) lorsque le taux de variation \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) tend vers une limite finie quand \(h \to 0\) ; cette limite est le nombre dérivé \(f'(a)\), la pente de la tangente au graphe de \(f\) au point d'abscisse \(a\). Lorsque \(f\) est dérivable en tout point de \(I\), la fonction \(x \mapsto f'(x)\) est la fonction dérivée \(f'\). En physique on écrit aussi \(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\) pour \(f'\) (notation de Leibniz) : le rapport d'une variation infinitésimale \(\mathrm{d}f\) de la sortie à la variation \(\mathrm{d}x\) de l'entrée. Exemple
La tangente donne une lecture linéaire locale d'une courbe : au point \(A\) d'abscisse \(a\), la courbe et sa tangente de pente \(f'(a)\) se confondent presque au voisinage de \(A\). 
Proposition — Opérations sur les dérivées
Soit \(u\) et \(v\) dérivables sur un intervalle \(I\) et \(k \in \mathbb{R}\). Alors \(u+v\), \(ku\) et \(uv\) sont dérivables sur \(I\), et là où \(v\) ne s'annule pas \(\frac{1}{v}\) et \(\frac{u}{v}\) aussi, avec : - somme : \((u+v)' = u'+v'\) ;
- produit par un scalaire : \((ku)' = k\,u'\) ;
- produit : \((uv)' = u'v + uv'\) ;
- inverse : \(\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}\) ;
- quotient : \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\).
Ces règles sont établies dans une étude antérieure à partir de l'algèbre des limites ; on les rappelle ici et on les utilise comme règles de calcul. Les dérivées usuelles sont de même supposées connues, chacune sur son domaine de validité : \((x^n)' = n x^{n-1}\) sur \(\mathbb{R}\) pour \(n \in \mathbb{N}\) et sur \(\mathbb{R}^*\) (où \(x \ne 0\)) pour \(n \in \mathbb{Z}\) négatif ; \((\sqrt x)' = \frac{1}{2\sqrt x}\) pour \(x > 0\) ; \((e^x)' = e^x\) sur \(\mathbb{R}\) ; \((\ln x)' = \frac{1}{x}\) pour \(x > 0\) ; \((\sin x)' = \cos x\) et \((\cos x)' = -\sin x\) sur \(\mathbb{R}\) ; et \((\tan x)' = 1+\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\) où \(\cos x \ne 0\).
Exemple
Pour \(f(x) = x^2 e^x\) sur \(\mathbb{R}\), la règle du produit donne $$\begin{aligned} f'(x) &= (x^2)'\, e^x + x^2 (e^x)' && \text{(règle du produit)} \\
&= 2x\, e^x + x^2 e^x \\
&= (x^2 + 2x)\, e^x. \end{aligned}$$ Pour \(g(x) = \dfrac{x}{x^2+1}\) sur \(\mathbb{R}\), la règle du quotient donne $$\begin{aligned} g'(x) &= \frac{(x)'(x^2+1) - x\,(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} && \text{(règle du quotient)} \\
&= \frac{(x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} \\
&= \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}. \end{aligned}$$ Méthode — Dériver une fonction rationnelle
Lire d'abord le domaine (exclure les zéros du dénominateur). Appliquer ensuite la règle du quotient avec \(u\) le numérateur et \(v\) le dénominateur, dériver \(u\) et \(v\) séparément, reporter dans \(\frac{u'v-uv'}{v^2}\), et seulement alors simplifier le numérateur. Garder le dénominateur factorisé sous la forme \(v^2\). Compétences à pratiquer
- Dériver avec les règles
I.2
Dérivation en chaîne et formes composées usuelles
La plupart des fonctions rencontrées en pratique sont des composées : \(e^{u(x)}\), \(\ln(u(x))\), \(\sqrt{u(x)}\), \((u(x))^n\). La dérivation en chaîne dérive une composée en multipliant la dérivée de la fonction extérieure, évaluée en la fonction intérieure, par la dérivée de la fonction intérieure.
Proposition — Dérivation en chaîne
Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\) à valeurs dans un intervalle \(J\), et \(g\) dérivable sur \(J\). Alors \(g \circ f\) est dérivable sur \(I\) et, pour tout \(x \in I\), $$(g \circ f)'(x) = f'(x)\, \cdot\, g'\bigl(f(x)\bigr).$$ Exemple
Pour \(h(x) = \sin(x^2)\), prendre la fonction intérieure \(f(x)=x^2\) et l'extérieure \(g(t)=\sin t\) ; alors $$h'(x) = (x^2)' \cdot \cos(x^2) = 2x \cos(x^2).$$ Pour \(k(x) = e^{x^2+1}\), la fonction intérieure est \(x^2+1\) et $$k'(x) = (x^2+1)' \cdot e^{x^2+1} = 2x\, e^{x^2+1}.$$ Proposition — Formes composées usuelles
Soit \(u\) dérivable sur un intervalle \(I\). En appliquant la dérivation en chaîne aux fonctions usuelles on obtient ce qui suit, chacune sous sa condition de domaine : \((\sqrt u)'\) requiert \(u > 0\) ; \((\ln u)'\) requiert \(u > 0\) ; la puissance \((u^n)'\) avec \(n\) négatif requiert \(u \ne 0\) : $$ (u^n)' = n\, u'\, u^{n-1}\ (n \in \mathbb{Z}), \qquad (\sqrt u)' = \frac{u'}{2\sqrt u}, \qquad (e^u)' = u'\, e^u, $$ $$ (\ln u)' = \frac{u'}{u}, \qquad (\cos u)' = -u' \sin u, \qquad (\sin u)' = u' \cos u. $$ Exemple
Avec \(u(x) = x^2+x+1 > 0\) sur \(\mathbb{R}\) : $$\begin{aligned} \bigl(\ln(x^2+x+1)\bigr)' &= \frac{u'}{u} = \frac{2x+1}{x^2+x+1}, \\
\bigl(e^{\sqrt{x^2+x+1}}\bigr)' &= \bigl(\sqrt u\bigr)'\, e^{\sqrt u} = \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}\, e^{\sqrt{x^2+x+1}}. \end{aligned}$$ Méthode — Reconnaître la fonction intérieure
Pour dériver une expression composée, identifier la fonction intérieure \(u\) (ce qui est à l'intérieur de la puissance, de l'exponentielle, du logarithme ou de la racine), calculer \(u'\), puis lire la forme composée correspondante. Le motif récurrent est « \(u'\) fois la dérivée de la fonction extérieure évaluée en \(u\) » — le facteur \(u'\) devant est l'étape la plus souvent oubliée. Compétences à pratiquer
- Dériver des formes composées
I.3
Dérivées d'ordre supérieur, monotonie et optimisation
Dériver à nouveau \(f'\) donne \(f''\), et ainsi de suite ; cela permet de lire la courbure et de préparer l'étude des variations. Surtout, le signe de \(f'\) contrôle la monotonie de \(f\), ce qui est à la base de tout tableau de variations et des problèmes d'optimisation en sciences.
Définition — Dérivées d'ordre supérieur
Lorsque \(f'\) est elle-même dérivable, sa dérivée est la dérivée seconde \(f'' = (f')'\). Plus généralement, la dérivée d'ordre \(n\), notée \(f^{(n)}\), est définie de proche en proche par \(f^{(0)} = f\) et \(f^{(n+1)} = \bigl(f^{(n)}\bigr)'\) tant que chaque dérivée existe. Exemple
Pour \(f(x) = x^n\) avec \(n \in \mathbb{N}\) et \(k \le n\), dériver \(k\) fois donne $$f^{(k)}(x) = n(n-1)\cdots(n-k+1)\, x^{n-k} = \frac{n!}{(n-k)!}\, x^{n-k}.$$ En particulier \(f^{(n)}(x) = n!\) est constante, et \(f^{(k)} = 0\) pour \(k > n\). Pour \(g(x) = e^{-x}\) on trouve \(g'(x) = -e^{-x}\), \(g''(x) = e^{-x}\), et en général \(g^{(n)}(x) = (-1)^n e^{-x}\). Théorème — Signe de la dérivée et monotonie
Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\). - \(f\) est croissante sur \(I\) si et seulement si \(f'(x) \ge 0\) pour tout \(x \in I\) ;
- \(f\) est décroissante sur \(I\) si et seulement si \(f'(x) \le 0\) pour tout \(x \in I\) ;
- si \(f'(x) > 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\) (et de même \(f'(x) < 0\) donne strictement décroissante).
L'hypothèse d'intervalle ne peut être supprimée : \(x \mapsto \frac{1}{x}\) a pour dérivée \(-\frac{1}{x^2} < 0\) partout, et pourtant elle n'est pas décroissante sur \(\mathbb{R}^*\) pris globalement (seulement sur chacun des deux intervalles \(\mathbb{R}_-^*\) et \(\mathbb{R}_+^*\) séparément). Inversement \(x \mapsto x^3\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) bien que sa dérivée s'annule en \(0\) : une dérivée \(\ge 0\) nulle seulement en des points isolés donne encore la stricte monotonie.
Exemple
Étudier les variations de \(f(x) = (x^2-1)e^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\) et localiser ses extrema.
La règle du produit donne $$\begin{aligned} f'(x) &= (x^2-1)'\, e^{-x} + (x^2-1)(e^{-x})' && \text{(règle du produit)} \\
&= 2x\, e^{-x} - (x^2-1)\, e^{-x} && \text{(avec } (e^{-x})' = -e^{-x}\text{)} \\
&= e^{-x}\bigl(-x^2 + 2x + 1\bigr). \end{aligned}$$ Comme \(e^{-x} > 0\), le signe de \(f'\) est celui de \(-x^2+2x+1\), dont les racines sont \(x = 1 \pm \sqrt 2\). La parabole est tournée vers le bas, donc \(f'(x) > 0\) entre les racines et \(f'(x) < 0\) à l'extérieur. Ainsi \(f\) décroît sur \(\left]-\infty, 1-\sqrt2\right]\), croît sur \(\left[1-\sqrt2, 1+\sqrt2\right]\), puis décroît sur \(\left[1+\sqrt2, +\infty\right[\) : elle a un minimum local en \(x = 1-\sqrt2\) et un maximum local en \(x = 1+\sqrt2\). En examinant le comportement à l'infini, \(f(x) \to +\infty\) quand \(x \to -\infty\) (car \(e^{-x} \to +\infty\)) et \(f(x) \to 0^-\) quand \(x \to +\infty\) ; en comparant avec les valeurs aux deux points critiques, le minimum local en \(x = 1-\sqrt2\) est en fait le minimum global de \(f\) sur \(\mathbb{R}\), tandis que \(f\) n'a aucun maximum global (elle n'est pas majorée quand \(x \to -\infty\)).
Méthode — Optimiser avec le signe de la dérivée
Pour trouver les extrema d'une fonction sur un intervalle : calculer \(f'\), la factoriser pour lire son signe, construire le tableau de variations, et conclure. En un point où \(f'\) change de \(+\) à \(-\) la fonction atteint un maximum local (et un minimum local où elle change de \(-\) à \(+\)). Géométriquement la tangente est horizontale en un tel point. Sur un intervalle fermé, les extrema peuvent aussi se produire aux bornes de l'intervalle, et en tout point où \(f\) n'est pas dérivable : il faut les vérifier séparément, et pas seulement les zéros intérieurs de \(f'\). 
Compétences à pratiquer
- Calculer des dérivées d'ordre supérieur
- Étudier la monotonie et optimiser
II
Dérivées partielles pour la physique
II.1
Fonctions de deux variables et dérivées partielles
De nombreuses grandeurs en sciences dépendent de plusieurs variables : un volume d'un rayon et d'une hauteur, une pression d'une température et d'une densité. On introduit ici, de manière purement opératoire, les dérivées partielles d'une fonction de deux variables — le taux de variation par rapport à une variable, l'autre étant fixée.
Définition — Fonction de deux variables et fonctions partielles
Une fonction de deux variables associe à chaque couple \((x,y)\) pris dans un ouvert \(U \subset \mathbb{R}^2\) (un ouvert) un réel \(f(x,y)\). Travailler sur un ouvert garantit qu'autour de tout point \((x_0,y_0) \in U\), chaque fonction partielle est définie sur un véritable intervalle. Fixer l'une des variables donne une fonction partielle de l'autre : avec \(y = y_0\) fixé, \(x \mapsto f(x,y_0)\) est une fonction de la seule variable \(x\) ; avec \(x = x_0\) fixé, \(y \mapsto f(x_0,y)\) est une fonction de \(y\). Définition — Dérivées partielles
Soit \(f\) une fonction de deux variables définie sur un ouvert \(U \subset \mathbb{R}^2\). La dérivée partielle de \(f\) par rapport à \(x\), notée \(\frac{\partial f}{\partial x}\), est la dérivée de la fonction partielle \(x \mapsto f(x,y)\) obtenue en traitant \(y\) comme une constante. De même la dérivée partielle par rapport à \(y\), notée \(\frac{\partial f}{\partial y}\), s'obtient en traitant \(x\) comme une constante et en dérivant en \(y\). Le symbole arrondi \(\partial\) rappelle que l'autre variable est gelée. Exemple
Pour \(f(x,y) = x^2 y + 3y^2\), en gelant \(y\) et en dérivant en \(x\), puis en gelant \(x\) et en dérivant en \(y\) : $$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6y.$$ Pour \(g(x,y) = e^{xy}\), la dérivation en chaîne appliquée avec l'autre variable gelée donne $$\frac{\partial g}{\partial x} = y\, e^{xy}, \qquad \frac{\partial g}{\partial y} = x\, e^{xy}.$$ Méthode — Calculer une dérivée partielle
Pour calculer \(\frac{\partial f}{\partial x}\), lire chaque occurrence de \(y\) comme un nombre fixé et dériver l'expression comme une fonction ordinaire de la seule variable \(x\) (les règles usuelles s'appliquent). Échanger les rôles de \(x\) et \(y\) pour \(\frac{\partial f}{\partial y}\). Un terme ne contenant pas \(x\) (resp. \(y\)) a une dérivée nulle. Compétences à pratiquer
- Calculer des dérivées partielles
II.2
Petites variations et propagation des erreurs
Les dérivées partielles mesurent comment la sortie répond à un petit changement de chaque entrée. Pour de petites variations, les réponses s'ajoutent linéairement — c'est la base de la propagation des erreurs dans les mesures expérimentales.
Proposition — Approximation linéaire pour de petites variations
Soit \(f\) une fonction de deux variables de classe \(C^1\) au voisinage de \((x,y)\) (c'est-à-dire admettant des dérivées partielles qui y sont continues) — la seule existence des dérivées partielles ne suffit pas. Pour de petites variations \(\mathrm{d}x\) et \(\mathrm{d}y\) des entrées, la variation \(\mathrm{d}f\) de la sortie est approximativement $$\mathrm{d}f \approx \frac{\partial f}{\partial x}\, \mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y}\, \mathrm{d}y.$$ Cette approximation linéaire est admise à ce stade ; l'énoncé rigoureux relève du calcul différentiel à plusieurs variables étudié plus tard. Exemple
Le volume d'un cylindre de rayon \(r\) et de hauteur \(h\) est \(V(r,h) = \pi r^2 h\). Ses dérivées partielles sont $$\frac{\partial V}{\partial r} = 2\pi r h, \qquad \frac{\partial V}{\partial h} = \pi r^2,$$ donc une petite erreur \(\mathrm{d}r\) sur le rayon et \(\mathrm{d}h\) sur la hauteur se propagent au volume selon $$\mathrm{d}V \approx 2\pi r h\, \mathrm{d}r + \pi r^2\, \mathrm{d}h.$$ Une erreur relative sur \(r\) pèse ainsi deux fois plus que la même erreur relative sur \(h\), puisque \(\frac{\mathrm{d}V}{V} \approx 2\frac{\mathrm{d}r}{r} + \frac{\mathrm{d}h}{h}\). Les deux dérivées partielles sont deux morceaux visibles du solide : faire croître \(r\) de \(\mathrm{d}r\) enroule sur le côté une mince coque d'aire \(2\pi r h\), tandis que faire croître \(h\) de \(\mathrm{d}h\) pose sur le dessus un mince disque d'aire \(\pi r^2\). 
Compétences à pratiquer
- Estimer de petites variations et propager des erreurs
III
Primitives
III.1
Primitives et table usuelle
Trouver une primitive renverse la dérivation : étant donné \(f\), on cherche une fonction \(F\) dont la dérivée est \(f\). C'est l'opération au cœur de l'intégration ; on fixe le vocabulaire, la liberté de choix à une constante près, et la table des primitives usuelles.
Définition — Primitive
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\). Une primitive de \(f\) sur \(I\) est une fonction dérivable \(F\) telle que \(F'(x) = f(x)\) pour tout \(x \in I\). Exemple
La fonction \(F(x) = x\ln x - x\) est une primitive de \(f(x) = \ln x\) sur \(\mathbb{R}_+^*\), car $$F'(x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln x.$$ De même \(G(x) = \frac{1}{3}x^3\) est une primitive de \(x^2\) sur \(\mathbb{R}\), et \(\frac{1}{3}x^3 + 5\) aussi. Proposition — Deux primitives diffèrent d'une constante
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et \(F\) une primitive de \(f\) sur \(I\). Alors les primitives de \(f\) sur \(I\) sont exactement les fonctions \(F + C\) avec \(C \in \mathbb{R}\).
Si \(G = F + C\) alors \(G' = F' = f\), donc \(G\) est une primitive. Réciproquement, soit \(G\) une primitive quelconque de \(f\) sur \(I\) et posons \(H = G - F\). Alors \(H' = G' - F' = f - f = 0\) sur l'intervalle \(I\). Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante, donc \(H = C\) pour un certain \(C \in \mathbb{R}\), c'est-à-dire \(G = F + C\).
Théorème — Existence de primitives
Toute fonction continue sur un intervalle \(I\) admet une primitive sur \(I\). Ce résultat est admis à ce stade ; il est établi plus tard, avec la construction de l'intégrale. Proposition — Table des primitives usuelles
Sur l'intervalle approprié, une primitive \(F\) de chaque fonction usuelle \(f\) est donnée ci-dessous (toute primitive est alors \(F + C\) avec \(C \in \mathbb{R}\)). Pour la puissance \(x \mapsto x^n\) la primitive est \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\) lorsque \(n \ne -1\) (avec \(n \in \mathbb{N}\) sur \(\mathbb{R}\), ou \(n \in \mathbb{Z}\) sur un intervalle évitant \(0\)) ; le cas \(n = -1\), c'est-à-dire \(f(x) = \frac{1}{x}\), a pour primitive \(\ln|x|\) : $$ f(x) = x^n\ (n \ne -1): \ F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}, \qquad f(x) = \frac{1}{x}: \ F(x) = \ln|x|, \qquad f(x) = e^x: \ F(x) = e^x, $$ $$ f(x) = \sin x: \ F(x) = -\cos x, \qquad f(x) = \cos x: \ F(x) = \sin x, \qquad f(x) = \frac{1}{1+x^2}: \ F(x) = \arctan x. $$ Exemple
Chaque ligne de la table se lit à l'envers à partir d'une dérivée connue. Ainsi une primitive de \(f(x) = 3x^2 - \frac{1}{x} + e^x\) sur \(\mathbb{R}_+^*\) est $$F(x) = x^3 - \ln|x| + e^x,$$ car dériver \(F\) redonne \(f\) terme à terme. Méthode — Lire la table à l'envers
Pour trouver une primitive, reconnaître la fonction comme une ligne de la table (ou une combinaison linéaire de lignes) et écrire l'antidérivée correspondante, en ajustant tout facteur constant. Toujours vérifier en dérivant le candidat : sa dérivée doit redonner exactement la fonction de départ. Compétences à pratiquer
- Trouver des primitives par la table
III.2
Primitives de formes composées
Renverser la dérivation en chaîne donne une seconde table, pour les expressions construites à partir d'une fonction intérieure \(u\) et de sa dérivée \(u'\). Reconnaître le facteur \(u'\) devant est la clé de ces primitives.
Proposition — Primitives de formes composées
Soit \(u\) dérivable sur un intervalle, avec \(u > 0\) là où c'est requis. Alors une primitive \(F\) de chaque forme composée est donnée ci-dessous (toute primitive est \(F + C\) avec \(C \in \mathbb{R}\)) : $$ u'\, u^n\ (n \ne -1): \ F = \frac{u^{n+1}}{n+1}, \qquad \frac{u'}{u}: \ F = \ln|u|, \qquad u'\, e^{u}: \ F = e^{u}, $$ $$ \frac{u'}{2\sqrt u}: \ F = \sqrt u, \qquad u'\, \sin u: \ F = -\cos u, \qquad u'\, \cos u: \ F = \sin u. $$ Exemple
Avec \(u = x^2+1\), donc \(u' = 2x\), la forme \(\frac{u'}{u}\) est reconnue : une primitive de \(x \mapsto \frac{2x}{x^2+1}\) est $$F(x) = \ln(x^2+1).$$ Pour \(x \mapsto x\, e^{x^2}\) la fonction intérieure naturelle est \(u = x^2\) avec \(u' = 2x\) ; l'expression est \(\frac{1}{2}u'e^u\), donc en ajustant la constante, une primitive est $$F(x) = \frac{1}{2}\, e^{x^2}, \qquad \text{car } F'(x) = \frac{1}{2}\cdot 2x\, e^{x^2} = x\, e^{x^2}.$$ Méthode — Ajuster le facteur constant
Identifier la fonction intérieure \(u\) et calculer \(u'\). Si l'intégrande correspond à une ligne composée à un facteur constant près, sortir ce facteur (multiplier et diviser par lui) pour faire apparaître exactement \(u'\), puis lire l'antidérivée. Vérifier en dérivant. Compétences à pratiquer
- Trouver des primitives de formes composées
IV
Calcul d'intégrales
IV.1
Intégrale, aire algébrique et théorème fondamental
L'intégrale d'une fonction sur un segment mesure l'aire algébrique entre son graphe et l'axe horizontal : positive là où la courbe est au-dessus de l'axe, négative là où elle est en dessous. On énonce les propriétés de base (admises avec la construction de l'intégrale, repoussée) puis le théorème fondamental, qui relie l'intégrale à une primitive et la transforme en un calcul.
Définition — Intégrale comme aire algébrique
Pour \(f\) continue sur un segment \([a,b]\), l'intégrale \(\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x\) est l'aire algébrique entre le graphe de \(f\), l'axe, et les droites verticales \(x=a\) et \(x=b\) : les aires au-dessus de l'axe comptent positivement, celles en dessous négativement. Le symbole \(\mathrm{d}x\) indique la variable d'intégration, qui est une variable muette : \(\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x = \int_a^b f(t)\, \mathrm{d}t\). La valeur moyenne de \(f\) sur \([a,b]\) est \(\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x\). Pour autoriser des bornes dans n'importe quel ordre, on fixe les conventions de l'intégrale orientée $$\int_a^a f(x)\, \mathrm{d}x = 0 \qquad \text{et} \qquad \int_b^a f(x)\, \mathrm{d}x = -\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x,$$ de sorte qu'échanger les bornes change le signe ; avec ces conventions \(\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) a un sens pour \(x < a\) comme pour \(x > a\). Exemple
L'intégrale \(\int_0^2 x^2\, \mathrm{d}x\) est l'aire sous la parabole \(y = x^2\) entre \(x=0\) et \(x=2\) (la courbe reste au-dessus de l'axe, l'aire est donc positive) : 
Proposition — Propriétés de l'intégrale
Soit \(f\) et \(g\) continues sur \([a,b]\), \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\), et \(c \in [a,b]\). Alors : - linéarité : \(\displaystyle \int_a^b \bigl(\lambda f + \mu g\bigr)\, \mathrm{d}x = \lambda \int_a^b f\, \mathrm{d}x + \mu \int_a^b g\, \mathrm{d}x\) ;
- Chasles : \(\displaystyle \int_a^b f\, \mathrm{d}x = \int_a^c f\, \mathrm{d}x + \int_c^b f\, \mathrm{d}x\) ;
- positivité : si \(f \ge 0\) sur \([a,b]\) alors \(\int_a^b f\, \mathrm{d}x \ge 0\), et si \(f \le g\) alors \(\int_a^b f\, \mathrm{d}x \le \int_a^b g\, \mathrm{d}x\).
Théorème — Théorème fondamental de l'analyse
Soit \(f\) continue sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). La fonction \(F(x) = \int_a^x f(t)\, \mathrm{d}t\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) : elle est dérivable avec \(F' = f\), et \(F(a) = 0\). Par conséquent, si \(F\) est une primitive quelconque de \(f\) sur \(I\), alors pour tous \(a, b \in I\) $$\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x = F(b) - F(a) = \bigl[\,F(x)\,\bigr]_a^b.$$ Ce théorème est admis à ce stade ; c'est le moteur de calcul reliant primitive et intégrale, et il est démontré plus tard avec l'intégrale construite. Exemple
Une primitive de \(x^2\) est \(\frac{x^3}{3}\), donc $$\int_0^2 x^2\, \mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}.$$ Une primitive de \(\frac{1}{1+x^2}\) est \(\arctan x\), donc $$\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\, \mathrm{d}x = \bigl[\arctan x\bigr]_0^1 = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4}.$$ Méthode — Calculer une intégrale définie
Trouver une primitive \(F\) de l'intégrande sur le segment, évaluer \(F\) aux deux bornes, et soustraire : \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = F(b)-F(a)\). La constante arbitraire de la primitive s'annule dans la soustraction, on peut donc utiliser n'importe quelle primitive. Compétences à pratiquer
- Calculer des intégrales par une primitive
IV.2
Intégration par parties
Renverser la règle du produit transforme l'intégrale d'un produit en une intégrale plus simple. L'intégration par parties est la méthode de choix pour des intégrandes comme \(x e^x\), \(x \ln x\) ou \(\arctan x\), où un facteur se dérive en quelque chose de plus simple.
Proposition — Intégration par parties
Soit \(u\) et \(v\) des fonctions de dérivées continues sur \([a,b]\). Alors $$\int_a^b u'(x)\, v(x)\, \mathrm{d}x = \bigl[\,u(x) v(x)\,\bigr]_a^b - \int_a^b u(x)\, v'(x)\, \mathrm{d}x.$$
La règle du produit donne \((uv)' = u'v + uv'\), donc \(uv\) est une primitive de \(u'v + uv'\). Par le théorème fondamental et la linéarité, $$\bigl[\,uv\,\bigr]_a^b = \int_a^b (u'v + uv')\, \mathrm{d}x = \int_a^b u'v\, \mathrm{d}x + \int_a^b uv'\, \mathrm{d}x.$$ En réarrangeant on isole l'intégrale cherchée : \(\int_a^b u'v\, \mathrm{d}x = \bigl[\,uv\,\bigr]_a^b - \int_a^b uv'\, \mathrm{d}x\).
Exemple
Calculons \(\int_0^1 t\, e^t\, \mathrm{d}t\). Choisir \(v(t) = t\) (donc \(v'=1\)) et \(u'(t) = e^t\) (donc \(u = e^t\)) : $$\begin{aligned} \int_0^1 t\, e^t\, \mathrm{d}t &= \bigl[\,t\, e^t\,\bigr]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^t\, \mathrm{d}t && \text{(intégration par parties)} \\
&= 1 \cdot e^1 - 0 - \bigl[\,e^t\,\bigr]_0^1 \\
&= e - (e - 1) \\
&= 1. \end{aligned}$$ La même méthode, avec \(v = \arctan x\) et \(u' = 1\), donne une primitive de \(\arctan\) : \(F(x) = x \arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2)\). Méthode — Choisir les parties
Découper l'intégrande en \(u'v\), en choisissant \(v\) comme le facteur qui se simplifie par dérivation (une puissance \(x^n\), un logarithme, un \(\arctan\)) et \(u'\) le facteur facile à intégrer (une exponentielle, un sinus ou un cosinus). Appliquer la formule ; l'intégrale restante \(\int u(t) v'(t)\,\mathrm{d}t\) doit être plus simple que la première. Compétences à pratiquer
- Intégrer par parties
IV.3
Changement de variable
Un changement de variable réécrit une intégrale en remplaçant la variable par une fonction d'une nouvelle, en ajustant les bornes et la différentielle. C'est la contrepartie intégrale de la dérivation en chaîne, et il débloque des intégrales où une substitution révèle une forme connue.
Proposition — Changement de variable
Soit \(\varphi\) de dérivée continue sur \([\alpha,\beta]\) et \(f\) continue sur un intervalle contenant les valeurs de \(\varphi\). Alors $$\int_\alpha^\beta f\bigl(\varphi(t)\bigr)\, \varphi'(t)\, \mathrm{d}t = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\, \mathrm{d}x.$$ En pratique on pose \(x = \varphi(t)\), on remplace \(\mathrm{d}x\) par \(\varphi'(t)\, \mathrm{d}t\), et on change les bornes en conséquence. Cette règle est énoncée ici ; sa justification repose sur le théorème fondamental et la dérivation en chaîne, admis plus haut. Exemple
Calculons \(\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\, \mathrm{d}x\) par la substitution \(x = \cos t\). Alors \(\mathrm{d}x = -\sin t\, \mathrm{d}t\), et les bornes \(x=-1\), \(x=1\) deviennent \(t=\pi\), \(t=0\) ; sur \([0,\pi]\), \(\sqrt{1-\cos^2 t} = \sin t \ge 0\), donc $$\begin{aligned} \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\, \mathrm{d}x &= \int_{\pi}^{0} \sin t \cdot (-\sin t)\, \mathrm{d}t && \text{(substitution } x=\cos t\text{)} \\
&= \int_0^{\pi} \sin^2 t\, \mathrm{d}t && \text{(on retourne les bornes)} \\
&= \int_0^{\pi} \frac{1-\cos(2t)}{2}\, \mathrm{d}t && \text{(linéarisation de } \sin^2\text{)} \\
&= \left[\frac{t}{2} - \frac{\sin(2t)}{4}\right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2}. \end{aligned}$$ C'est l'aire d'un demi-disque de rayon \(1\), comme attendu — la courbe \(y = \sqrt{1-x^2}\) est la moitié supérieure du cercle unité, donc l'intégrale était cette aire depuis le début : 
Méthode — Effectuer une substitution
Choisir la substitution \(x = \varphi(t)\) (ou \(u = \varphi(x)\) dans l'autre sens) pour que l'intégrande devienne une forme connue ; calculer \(\mathrm{d}x = \varphi'(t)\, \mathrm{d}t\) ; remplacer la variable, la différentielle et les deux bornes ; puis intégrer dans la nouvelle variable. Ne jamais oublier de convertir les bornes pour une intégrale définie.
Pour aller plus loin. Les primitives construites ici sont le moteur du chapitre suivant sur les équations différentielles, où résoudre une équation revient à intégrer. La signification géométrique de l'intégrale, la construction à partir des sommes de Riemann et la démonstration du théorème fondamental sont reprises plus tard, de même que le théorème des accroissements finis derrière la règle de monotonie et le calcul différentiel complet des fonctions de plusieurs variables — gradient, dérivation en chaîne le long d'un chemin, et symétrie des dérivées partielles d'ordre deux. Les recettes rassemblées dans ce chapitre sont le terrain fiable sur lequel cette théorie se construit.
Compétences à pratiquer
- Effectuer un changement de variable
V
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes de calcul mêlés
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